MATEMATIKA GIMNÁZIUM ÉVFOLYAM. Célok és feladatok

Matematika MATEMATIKA GIMNÁZIUM 9–12. ÉVFOLYAM Célok és feladatok A matematikatanítás célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása. A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati

183

Matematika problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A „ha ..., akkor ...”, az „akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos.

184

Matematika Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. 9. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 148 Szintre hozás (8 óra) Gondolkodási módszerek (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei

A megismert számhalmazok, Tájékozottság a racionális ponthalmazok áttekintése, véges számkörben. és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, Részhalmaz, unió, metszet, metszet, részhalmaz képzés, két két halmaz különbsége. halmaz különbsége. Módszer keresése az összes eset Kombinatorikai feladatok, az áttekintéséhez. összes eset áttekintése. A szükséges és elégséges Az „akkor és csak akkor” feltétel megkülönböztetése. használata – (folyamatos). Tétel és megfordítása (folyamatos). Számtan, algebra (44 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


185

Matematika A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

A hatványozás értelmezése 0 és Az azonosságok ismerete és negatív egész kitevőre, a alkalmazásuk. hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: Számok abszolútértéke, kommutativitás, asszociativitás, normál alakja. disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 – b3 A másodfokú azonosságok szorzat alakja. alkalmazása. Műveletek végzése számokkal Ezen azonosságok alkalmazása A négy alapművelet és algebrai kifejezésekkel, a egyszerű algebrai törtekkel egyszerű algebrai törtekkel. végzett műveleteknél. szaknyelv használata. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Algoritmikus gondolkodás és a Elsőfokú kétismeretlenes Egyszerű gyakorlati problémák egyenletrendszer megoldása. egyenletrendszerek biztos modellezése, értő Egyenletrendszerre vezető megoldása. A százalékszámítás szövegolvasás. szöveges feladatok, alkalmazása a gyakorlatban. százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerezőképesség Abszolútértékes egyenletek. fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés Relatív prímek, oszthatósági 3-mal, 9-cel való erősítése az elemi számelmélet feladatok, a prímszámok száma, oszthatóság ismerete. alapvető problémáival és példa számrendszerekre. Számok prímtényezőkre matematikatörténeti való bontása. vonatkozásaival. Függvények, sorozatok (21 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelő modell megkeresése.

Célszerű eszközhasználat.

186

Tartalom


A függvény fogalma, elemi Az alapfüggvények tulajdonságai; a lineáris tulajdonságainak ismerete. függvény, abszolútértékKéplettel megadott függvény függvény, másodfokú függvény, ábrázolása értéktáblázat a négyzetgyök függvény, segítségével. gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a a fordított arány, x a . x Függvénytranszformációk. Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

Matematika Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Geometria (27 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Tartalom


Geometriai alapfogalmak, Speciális háromszögek, háromszögekkel, négyszögek és szabályos négyszögekkel, sokszögekkel sokszögek tulajdonságainak kapcsolatos ismeretek ismerete. kiegészítése, rendszerezése. Sejtések megfogalmazása, új A háromszög nevezetes vonalai, A nevezetes vonalak összefüggések felfedezése, beírt köre, körülírt körre. ismerete, a háromszög beírt bizonyítási igény kialakítása. és köréírt körének ismerete. Thalész tétele, a kör és érintői, A körrel kapcsolatos érintősokszög fogalma. fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. A transzformációk mint A tengelyes és középpontos A megismert függvények értelmezése, a tükrözés, az eltolás áttekintése, transzformációk tulajdonságainak matematika különböző területei rendszerezése, példa további közötti kapcsolatok keresése. egybevágósági transzformációra felhasználása egyszerű, (pont körüli elforgatás). konkrét esetekben. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a A forgásszög fogalma, konstrukciós, analizáló ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk képesség és a diszkussziós kerülete, területe. igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, Egyszerű szerkesztési feladatok. szerkesztőprogramok megismerése. Valószínűség, statisztika (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése.

Tartalom


Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Témazárók írása – javítása (8 óra) Ismétlés (20 óra)

187

Matematika 10. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek ( 10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tartalom


Tétel és megfordítása. A csak kimondott, illetve be Bizonyítási módszerek, is bizonyított összefüggések jellegzetes gondolatmenetek megkülönböztetése. (indirekt módszer, skatulyaelv). Változatos kombinatorikai feladatok.

Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

Számtan, algebra (37 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

Tartalom A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák irracionális számokra.

A négyzetgyökvonás azonosságai, az n-edik gyök fogalma. A megoldás keresése többféle A másodfokú egyenlet úton, tanulói felfedezések, megoldása, a megoldóképlet, önálló eljárások keresése. gyöktényezős alak, gyökök és Az algoritmikus gondolkodás együtthatók összefüggése, fejlesztése. összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. A matematika eszközként való Másodfokú egyenletre vezető felhasználása gyakorlati és szöveges feladatok. természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai Ekvivalens és nem ekvivalens feladatoknál. lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az algebrai és grafikus Másodfokú egyenlőtlenség módszerek együttes megoldása. alkalmazása a problémamegoldásban.

188

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.

Matematika Függvények, sorozatok (13 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerű használata.

Tartalom


A forgásszög A szögfüggvények szögfüggvényeinek értelmezése, definíciójának ismerete, az összefüggés a szög x a sinx és x a cosx szögfüggvényei között. függvények ábrázolása és A szögfüggvények tulajdonságai. tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása.

Geometria (24 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.

Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

A vektorok további alkalmazása.

Tartalom


A hasonlósági transzformáció, A hasonlóság szemléletes síkidomok hasonlósága. tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A háromszögek hasonlóságának Az alapesetek ismerete. alapesetei. A felsorolt tételek ismerete A hasonlóság alkalmazásai: és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek számítási feladatoknál. a derékszögű háromszögben. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások, nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban.

189

Matematika Valószínűség, statisztika (6 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, További valószínűségi megértése és értékelése. kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. Témazárók írása, javítása (6 óra) Ismétlés (15 óra)

A továbbhaladás feltételei Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

11. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (9 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A kombinatív készség Permutációk, variációk, Egyszerű kombinatorikai fejlesztése. kombinációk. feladatok megoldása. A többféle megoldási mód Binomiális együtthatók. lehetőségének keresése. Vegyes kombinatorikai Előzetes becsléshez szoktatás, a feladatok. becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való Gráfelméleti alapfogalmak, A gráf szemléletes fogalma, felhasználása. alkalmazásuk. egyszerű alkalmazásai. Feladatok megoldása gráfokkal. Számtan, algebra (18 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. A matematikai fogalom A hatványozás kiterjesztése A hatványozás definíciója, célszerű kiterjesztése, a pozitív alap esetén racionális műveletek, azonosságok fogalmak általánosításánál a kitevőkre. ismerete egész kitevő esetén. permanenciaelv felhasználása. A hatványozási azonosságok. Bizonyítás iránti igény A logaritmus értelmezése. A logaritmus fogalmának mélyítése. A logaritmus mint a ismerete, azonosságainak Matematikatörténeti hatványozás inverz művelete. alkalmazása egyszerűbb vonatkozások megismerése A logaritmus azonosságai. esetekben. (könyvtár- és internethasználat).

190

Matematika Az absztrakciós és szintetizáló Exponenciális és logaritmikus képesség fejlesztése. egyenletek. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén.

Függvények, sorozatok (15 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. A 2x, a 10x függvény, az Összefüggések felismerése a exponenciális függvény matematika különböző területei vizsgálata, exponenciális között. folyamatok a természetben. A bizonyításra való törekvés A logaritmusfüggvény mint az fejlesztése. exponenciális függvény inverze. Számítógép használata a A szögfüggvényekről tanultak Az alapfüggvények ábrái és függvényvizsgálatokban és a áttekintése. legfontosabb transzformációkban. A tanult függvények tulajdonságainak vizsgálata tulajdonságai (értelmezési (értelmezési tartomány, tartomány, értékkészlet, értékkészlet, zérushely, zérushely, szélsőérték, szélsőérték). monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). Geometria, mérés (43 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése.

Tartalom


A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása.

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai.

Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).

A matematika gyakorlati Távolság, magasság és szög felhasználása. meghatározása gyakorlati A zsebszámológép és a feladatokban és a fizikában. számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és 191

Matematika pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése.

Adott probléma többféle megközelítése.

Helyvektor. Vektorok koordinátáinak Műveletek koordinátákkal adott biztos használata. vektorokkal. Szakasz osztópontja. A Szakasz felezőpontja háromszög súlypontja. koordinátáinak kiszámítása. Két pont távolsága, szakasz A kör középponti hossza. egyenletének ismerete. A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, Az egyenes egy szabadon választott egyenletének az iránytangens fogalma. Az tudása. egyenes egyenlete. Két egyenes Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két metszéspontjának egyenes metszéspontja. meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. A parabola mint ponthalmaz. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

Valószínűség, statisztika (14 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Modellalkotásra nevelés.

Tartalom

Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűség-számítási példák esetén („és”, „vagy”, „nem”). Relatív gyakoriság. A relatív gyakoriság és a A valószínűség klasszikus valószínűség közötti modellje. szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. Statisztikai mintavétel.

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Témazárók írása, javítása (6 óra) Ismétlés (15 óra)

192


Matematika 12. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 128 Gondolkodási módszerek (11 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: Ekvivalencia, implikáció. Az előző években felsorolt A matematika különböző A halmazelméleti és logikai továbbhaladási feltételek. területei közti összefüggéseinek ismeretek kapcsolata, tudatosítása. rendszerezése. A deduktív gondolkodás A megismert bizonyítási fejleszmódszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció tése. megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Számtan, algebra (26 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


Rendszerező összefoglalás. Az előző években felsorolt Számhalmazok továbbhaladási feltételek. Matematikatörténeti ismeretek Számelméleti összefoglalás. (könyvtár- és internethasználat). A valós számok és részhalmazai. Szám- és műveletfogalom A műveletek értelmezése, biztos alkalmazása. műveleti tulajdonságok. Közelítőértékek. Egyenletek Tervszerű, pontos és Nevezetes másod- és fegyelmezett munkára nevelés. harmadfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok. gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

193

Matematika Függvények, sorozatok (24 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A sorozat fogalma. A matematika alkalmazása a Számtani és mértani sorozat, az gyakorlati életben. n. tag, az első n elem összege. Matematikatörténeti feladatok. Kamatoskamat-számítás. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió). Rendszerező összefoglalás

Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

A továbbhaladás feltételei Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével.

Geometria, mérés (43 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Térelemek kölcsönös helyzete, Az esztétikai érzék fejlesztése. távolsága, szöge. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek.


Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A matematika gyakorlati A terület- és kerületszámítással A megismert felszín- és alkalmazásai a térgeometriában. kapcsolatos ismeretek térfogatszámítási képletek Sík- és térgeometriai ismeretek összefoglalása. alkalmazása egyszerű összekapcsolása, analógiák A poliéderek felszíne, térfogata. feladatokban. felismerése. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A függvényszemlélet A geometriai transzformációk fejlesztése. áttekintése. A deduktív gondolkodás Háromszögekre vonatkozó 194

Matematika fejlesztése.

tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái. területei közötti összefüggések Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. felhasználása. Derékszögű koordinátarendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (14 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A leíró statisztika és a Statisztikai és mintavételi Az előző években felsorolt valószínűség-számítás adatok vizsgálata továbbhaladási feltételek. gyakorlati szerepe, alkalmazása. (közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés). A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Geometriai modell A valószínűség meghatározása szerepeltetése a valószínűség geometriai mérték segítségével. meghatározására. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: Egyszerű klasszikus számtani közép, mértani közép, valószínűség-számítási súlyozott közép, medián, feladatok megoldása. módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Témazáró írása – javítása (4 óra) Év végi kétórás dolgozat írása – javítása (6 óra)

195

Matematika MATEMATIKA SZAKKÖZÉPISKOLA 9–12. ÉVFOLYAM Célok és feladatok A matematikatanítás célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati

196

Matematika problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit, s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A „ha ..., akkor ...”, az „akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az, hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos.

197

Matematika Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is.

9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 111 Gondolkodási módszerek 7 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Tartalom

A megismert számhalmazok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmazképzés, két halmaz különbsége. Módszer keresése az összes eset Kombinatorikai feladatok, az áttekintéséhez. összes eset áttekintése. A szükséges és elégséges Az „akkor és csak akkor” feltétel megkülönböztetése. használata (folyamatos). Tétel és megfordítása (folyamatos).

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben. Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Számtan, algebra 34 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek 198

Tartalom


Matematika A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

A hatványozás értelmezése 0 és Az azonosságok ismerete és negatív egész kitevőre, a alkalmazásuk. hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: Számok abszolútértéke, kommutativitás, asszociativitás, normál alakja. disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 – b3 A másodfokú szorzat alakja. azonosságok alkalmazása. Műveletek végzése számokkal Ezen azonosságok alkalmazása A négy alapművelet és algebrai kifejezésekkel, a egyszerű algebrai törtekkel egyszerű algebrai törtekkel. végzett műveleteknél. szaknyelv használata. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Algoritmikus gondolkodás és a Elsőfokú kétismeretlenes Egyszerű gyakorlati problémák egyenletrendszer megoldása. egyenletrendszerek biztos modellezése, értő Egyenletrendszerre vezető megoldása. A százalékszámítás szövegolvasás. szöveges feladatok, alkalmazása a gyakorlatban. százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerezőképesség Abszolútértékes egyenletek. fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés Relatív prímek, oszthatósági 3-mal, 9-cel való erősítése az elemi számelmélet feladatok, a prímszámok száma, oszthatóság ismerete. alapvető problémáival és példa számrendszerekre. Számok prímtényezőkre matematikatörténeti való bontása. vonatkozásaival. Függvények, sorozatok 18 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A függvényszemlélet A függvény fogalma, elemi Az alapfüggvények fejlesztése: a hozzárendelések tulajdonságai; a lineáris tulajdonságainak ismerete. szabályként való értelmezése. függvény, abszolútérték Képlettel megadott függvény függvény, másodfokú függvény, ábrázolása értéktáblázat A megfelelő modell a négyzetgyökfüggvény, segítségével. megkeresése. gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a a fordított arány, x a . x Célszerű eszközhasználat. Függvénytranszformációk. Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

199

Matematika Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Geometria 21 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Tartalom


Geometriai alapfogalmak, Speciális háromszögek, háromszögekkel, négyszögek és szabályos négyszögekkel, sokszögekkel sokszögek tulajdonságainak kapcsolatos ismeretek ismerete. kiegészítése, rendszerezése. Sejtések megfogalmazása, új A háromszög nevezetes vonalai, A nevezetes vonalak összefüggések felfedezése, beírt köre, köréírt köre. ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete. bizonyítási igény kialakítása. Thalész tétele, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. A tengelyes és középpontos A transzformációk mint A megismert tükrözés, az eltolás áttekintése, transzformációk függvények értelmezése, a tulajdonságainak matematika különböző területei rendszerezése, példa további közötti kapcsolatok keresése. egybe-vágósági felhasználása egyszerű, transzformációra (pont körüli konkrét esetekben. elforgatás). Síkbeli tájékozódás, tervezés, a A forgásszög fogalma, konstrukciós, analizáló ívmérték, a kör középponti képesség és a diszkussziós szöge, körív hossza, körcikk igény kialakítása, sokoldalú kerülete, területe. szemléltetés, Egyszerű szerkesztési feladatok. szerkesztőprogramok megismerése. Valószínűség, statisztika 6 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése.

Tartalom


Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Témazárók írása – javítása 6 óra. Ismétlés 19 óra.

200

Matematika 10. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek 10 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése.

Tartalom


Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv). Változatos kombinatorikai feladatok.

A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

Számtan, algebra 37 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

Tartalom A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák irracionális számokra.

A négyzetgyökvonás azonosságai, az n-edik gyök fogalma. A megoldás keresése többféle A másodfokú egyenlet úton, tanulói felfedezések, megoldása, a megoldóképlet, önálló eljárások keresése. gyöktényezős alak, gyökök és Az algoritmikus gondolkodás együtthatók összefüggése, fejlesztése. összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. A matematika eszközként való Másodfokú egyenletre vezető felhasználása gyakorlati és szöveges feladatok. természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai Ekvivalens és nem ekvivalens feladatoknál. lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az algebrai és grafikus Másodfokú egyenlőtlenség módszerek együttes megoldása. alkalmazása a problémamegoldásban.

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.

Függvények, sorozatok 13 óra. Fejlesztési feladatok,

Tartalom


201

Matematika tevékenységek Új függvénytulajdonságok A forgásszög A szögfüggvények megismerése, függvénytransz- szögfüggvényeinek értelmezése, definíciójának ismerete, az formációk további alkalmazása. összefüggés a szög x a sinx és x a cosx A négyjegyű szögfüggvényei között. függvények ábrázolása és függvénytáblázatok és A szögfüggvények tulajdonságai. matematikai összefüggések tulajdonságai (értelmezési célszerű használata. tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Geometria 24 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.

Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

A vektorok további alkalmazása.

Tartalom


A hasonlósági transzformáció, A hasonlóság szemléletes síkidomok hasonlósága. tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A háromszögek hasonlóságának Az alapesetek ismerete. alapesetei. A felsorolt tételek ismerete A hasonlóság alkalmazásai: és alkalmazása egy vagy két háromszög súlyvonalai, lépéssel megoldható súlypontja, arányossági tételek számítási feladatoknál. a derékszögű háromszögben. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások, nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban.

Valószínűség, statisztika 6 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, További valószínűségi Egyszerű problémák megértése és értékelése. kísérletek, a valószínűség megoldása a klasszikus becslése, kiszámítása egyszerű valószínűségi modell 202

Matematika esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. Témazárók írása –javítása 6 óra. Ismétlés 15 óra.

alapján.

11. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek 9 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A kombinatív készség Permutációk, variációk, Egyszerű kombinatorikai fejlesztése. kombinációk. feladatok megoldása. A többféle megoldási mód Binomiális együtthatók. lehetőségének keresése. Vegyes kombinatorikai Előzetes becsléshez szoktatás, a feladatok. becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való Gráfelméleti alapfogalmak, A gráf szemléletes fogalma, felhasználása. alkalmazásuk. egyszerű alkalmazásai. Feladatok megoldása gráfokkal. Számtan, algebra 18 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. A matematikai fogalom A hatványozás kiterjesztése A hatványozás definíciója, célszerű kiterjesztése, a pozitív alap esetén racionális műveletek, azonosságok fogalmak általánosításánál a kitevőkre. ismerete egész kitevő esetén. permanenciaelv felhasználása. A hatványozási azonosságok. Bizonyítás iránti igény A logaritmus értelmezése. A logaritmus fogalmának mélyítése. A logaritmus mint a ismerete, azonosságainak Matematikatörténeti hatványozás inverz művelete. alkalmazása egyszerűbb vonatkozások megismerése A logaritmus azonosságai. esetekben. (könyvtár- és internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló- Exponenciális és logaritmikus A definíció és az képesség fejlesztése. egyenletek. azonosságok egyszerű Az önellenőrzés igényének alkalmazása exponenciális, fejlesztése. logaritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén.

203

Matematika Függvények, sorozatok 15 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. A 2x, a 10x függvény, az Összefüggések felismerése a exponenciális függvény matematika különböző területei vizsgálata, exponenciális között. folyamatok a természetben. A bizonyításra való törekvés A logaritmusfüggvény mint az fejlesztése. exponenciális függvény inverze. Számítógép használata a A szögfüggvényekről tanultak Az alapfüggvények ábrái és függvényvizsgálatokban és a áttekintése. legfontosabb transzformációkban. A tanult függvények tulajdonságainak vizsgálata tulajdonságai (értelmezési (értelmezési tartomány, tartomány, értékkészlet, értékkészlet, zérushely, zérushely, szélsőérték, szélsőérték). monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). Geometria, mérés 34 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése.

A matematika gyakorlati felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése.

204

Tartalom


A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása.

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai.

Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).

Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában.

Helyvektor. Vektorok koordinátáinak Műveletek koordinátákkal adott biztos használata. vektorokkal. Szakasz osztópontja. A Szakasz felezőpontja háromszög súlypontja. koordinátáinak kiszámítása.

Matematika

Adott probléma többféle megközelítése.

Két pont távolsága, szakasz A kör középponti hossza. egyenletének ismerete. A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, Az egyenes egy szabadon az iránytangens fogalma. Az választott egyenletének egyenes egyenlete. tudása. Két egyenes párhuzamosságának, Két egyenes merőlegességének feltétele, két metszéspontjának egyenes metszéspontja. meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. Kör és egyenes kölcsönös A parabola mint ponthalmaz. helyzetének vizsgálata.

Valószínűség, statisztika 14 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Modellalkotásra nevelés.

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Témazárók írása – javítása 6. Ismétlés 15 óra.

Tartalom


Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűség-számítási példák esetén („és”, „vagy”, „nem”). A relatív gyakoriság és a Relatív gyakoriság. valószínűség közötti A valószínűség klasszikus modellje. szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. Statisztikai mintavétel.

12. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 96 Gondolkodási módszerek 4 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző

Tartalom Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 205

Matematika területei közti összefüggéseinek ismeretek kapcsolata, tudatosítása. rendszerezése. A deduktív gondolkodás A megismert bizonyítási fejlesztése. módszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Számtan, algebra 26 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Matematikatörténeti ismeretek Számelméleti összefoglalás. (könyvtár- és internethasználat). A valós számok és részhalmazai. Szám- és műveletfogalom A műveletek értelmezése, biztos alkalmazása. műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek.

Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága.

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek

Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete- formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Szöveges feladatok.

Függvények, sorozatok 20 óra. Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. 206

Tartalom


A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat Számtani és mértani sorozat, az esetén az n-dik tag és az első

Matematika Matematikatörténeti feladatok. n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió). Rendszerező összefoglalás

Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudomá-nyokban.

n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével.

Geometria, mérés 30 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Térelemek kölcsönös helyzete, Az esztétikai érzék fejlesztése. távolsága, szöge. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek. A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése.

A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás Fejlesztése.


Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A területés A megismert felszín- és kerületszámítással térfogat-számítási képletek kapcsolatos ismeretek alkalmazása egyszerű összefoglalása. feladatokban. A poliéderek felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

207

Matematika A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása.

Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

Valószínűség, statisztika 4 óra. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek A leíró statisztika és a Statisztikai és mintavételi Az előző években felsorolt valószínűség-számítás adatok vizsgálata továbbhaladási feltételek. gyakorlati szerepe, (közvélemény-kutatás, alkalmazása. minőség-ellenőrzés). A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Geometriai modell A valószínűség meghatározása szerepeltetése a valószínűség geometriai mérték segítségével. meghatározására. Összefoglalás: Egyszerű klasszikus Adathalmazok jellemzői: valószínűség-számítási számtani közép, mértani feladatok megoldása. középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Témazárók írása – javítása 6 óra.

208

MATEMATIKA GIMNÁZIUM ÉVFOLYAM. Célok és feladatok

Recommend Documents