Matematika 9 Tank¨onyv ´es feladatgy˝ujtem´eny Juh´asz L´aszl´o matematika ´es fizika szakos k¨oz´episkolai tan´ar V. fejezet (kb. 24 tan´ora)
o ><∗ 2015. okt´ober 18.
c copyright: Juh´ asz L´aszl´o Ennek a k¨onyvnek a haszn´alat´at szerz˝oi jog v´edi. A megv´as´arl´asra vonatkoz´o inform´aci´ok´ert k´erem l´atogasson el honlapomra. www.bioszoft.hu ∗
Ez a log´ o Dittrich Katalin ¨ otlete alapj´ an sz¨ uletett.
1
A fejezet f˝obb r´eszei: vektorok, egybev´ag´os´agi transzform´aci´ok, h´aromsz¨ogek, n´egysz¨ogek, soksz¨ogek, k¨or (r´eszletesen l´asd a tartalomjegyz´eket a fejezet v´eg´en) Ez a fejezet a geometri´aval foglalkozik. Az al´abbi k´et k´ep a wikip´edi´ar´ol sz´armazik, az els˝o a G¨omb¨oc¨ot, a m´asodik pedig egy tekn˝osb´ek´at a´br´azol. Hogyan lett egy geometriai sejt´esb˝ol kitart´o, lelkes munk´aval k´ezzel foghat´o val´os´ag? Mit jelent az, hogy mono - monostatikus test? Megtudhatod, ha r´akeresel a wikip´edi´an a g¨omb¨oc sz´ora vagy ide kattintasz.
A geometria a matematik´anak a s´ık ´es t´er elemeivel foglalkoz´o a´ga. Eredetileg f¨oldm´er´est jelentett. Egyik modernkori felhaszn´al´asa a helyzetmeghat´aroz´o rendszer (gps). Ennek a m˝ uk¨od´es´er˝ol is lesz sz´o a k¨ovetkez˝o fejezetekben. 2
K¨onyvaj´anl´o: Euklidesz: Elemek (pdf form´atumban let¨olthet˝o a mek.oszk.hu oldalr´ol) Euklideszi ´es Bolyai geometria Euklidesz g¨or¨og term´eszettud´os az Elemek (l´asd wikip´edia) c´ım˝ u m˝ uv´eben rendszerezte a kor matematikai ismereteit. Az euklideszi geometria alapfogalmakra (pl. pont, egyenes, s´ık; nincsen r´ajuk defin´ıc´o), alap´all´ıt´asokra (axi´om´akra vagy m´as n´even posztul´atumokra, melyeket bizony´ıt´as n´elk¨ ul fogadunk el) ´ep¨ ul. A legh´ıresebb axi´oma a p´arhuzamoss´agi, mely azt mondja ki, hogy egy adott egyenessel (a egyenes az a´br´an) egy rajta k´ıv¨ uli ponton (C pont) kereszt¨ ul egyetlen p´arhuzamos egyenes h´ uzhat´o (b egyenes).
Ezt az axi´om´at elhagyva Bolyai J´anos (Kolozsv´ar, 3
1802. december 15. – Marosv´as´arhely, 1860. janu´ar 27.) egy u ´j geometri´at teremtett. Eml´ekeztet˝o ´ Altal´ anos iskol´aban m´ar kialakult egy elk´epzel´es a t´erelemekr˝ol, a pontr´ol, egyenesr˝ol, s´ıkr´ol. Tudjuk, hogy mit jelent az, hogy egy pont illeszkedik egy egyenesre (m´as sz´oval rajta van), el tudjuk k´epzelni, hogy egy egyenes illeszkedik egy s´ıkra. Sz´o volt a h´aromsz¨ogekr˝ol, n´egysz¨ogekr˝ol, soksz¨ogekr˝ol, ezek alaptulajdons´agair´ol. Ismerj¨ uk az alapszerkeszt´eseket (felez˝o mer˝oleges, sz¨ogfelez˝o, 60, 30, 120, 90 fokos sz¨og, h´aromsz¨og h´arom adatb´ol, be´ırhat´o, k¨or¨ ul´ırhat´o k¨or, speci´alis h´aromsz¨ogek, n´egysz¨ogek). Ismeretes a sz¨og fogalma, Pitagorasz t´etele, a k¨or, g¨omb, has´abok, hengerek ´es g´ ul´ak ´es ezek alaptulajdons´agaik. A k¨ovetkez˝okben felid´ezz¨ uk ezen ismereteket, pr´ob´aljuk elm´ely´ıteni az ezekkel kapcsolatos tud´ast ´es ezen fogalmak seg´ıts´eg´evel fejlesztj¨ uk gondolkod´asunkat.
4
1. Vektorok kb. 2 tan´ora A vektor fogalma alapvet˝o a matematik´aban ´es a fizik´aban. A matematik´aban sok-sok bizony´ıt´as, sz´amol´as leegyszer˝ us¨odik a vektor alkalmaz´as´aval. A 11. oszt´alyban a koordin´ata geometria a vektor fogalm´ara ´ep¨ ul. Sok fizikai mennyis´egnek ir´anya is van, ´ıgy ezek is vektorok. 1.1. Vektorok - bevezet´es 1.1.1. Vektorokkal kapcsolatos alapfogalmak
Az ir´any´ıtott szakaszt vektornak nevezz¨ uk. Jel¨ol´ese: −→ AB vagy ~a vagy nyomtat´asban a. ´Ir´asban szok´as m´eg az a jel¨ol´es is.
A vektornak van kezd˝opontja, v´egpontja, ir´anya, nagys´aga. A vektor nagys´ag´an vagy m´as sz´oval abszol´ ut −→ ´ert´ek´en a hossz´at ´ertj¨ uk. Ennek a jel¨ol´ese: |AB| 5
vagy |~a| vagy nyomtat´asban |a| vagy a, teh´at a vektor jel´et abszol´ ut´ert´ekbe tessz¨ uk, vagy egyszer˝ uen elhagyjuk a vektor jelet. A matematik´aban k´et vektor egyenl˝o, ha megegyezik a nagys´aga ´es az ir´anya. A fizik´aban k´et vektort akkor tekint¨ unk egyenl˝onek, ha megegyezik a hat´asvonaluk, a nagys´aguk ´es az ir´anyuk is. Ez a megk¨ ul¨onb¨oztet´es pl. az er˝o eset´eben a forgat´onyomat´ek miatt van, mert nem mindegy p´eld´aul, hogy hov´a u ¨l¨ unk a libik´ok´an. Az a´br´an matematikai ´ertelemben egyenl˝o vektorokat l´atunk.
Az ~a ellentettj´en a vele ellent´etes ir´any´ u vektort ´ertj¨ uk, ennek a jele −~a. 6
Nullvektornak azt a vektort nevezz¨ uk, amelynek megegyezik a kezd˝o ´es a v´egpontja. Jele: ´ ~0. Ertelemszer˝ uen |~0| = 0, vagyis a nullvektor abszol´ ut ´ert´eke nulla. 1.1.2. Feladat 2 perc
Az al´abbi a´br´akon egy paralelogramma ´es egy szab´alyos hatsz¨og l´athat´o. Keress rajtuk egyenl˝o ´es ellent´etes vektorokat:
a)
7
b) M: −→ −−→ −→ a) pl.: AB = DC; ellentett vektorok: AB ´es −−→ GH −→ −→ −→ −−→ b) pl.: AB = OC; ellentett vektorok: AB ´es DE
1.1.3. Feladat 2 perc
Az a´br´an egy kocka l´athat´o. Keress egyenl˝o ´es ellent´etes vektorokat!
8
M: −→ −−→ −→ −−→ pl.: AB = DC; ellentett vektorok: AB ´es GE
1.2. M˝uveletek vektorokkal ¨ 1.2.1. Osszead´ as
K´et vektor o¨sszege is egy vektor, szok´as ered˝onek is nevezni. A h´aromsz¨og szab´aly alapj´an k´epezhetj¨ uk az ¨osszegvektort:
Ha a k´et vektor nem p´arhuzamos, akkor a para9
lelogramma szab´aly alapj´an is k´epezhetj¨ uk k´et vektor ered˝oj´et, a k´et m´odszer ugyanazt az eredm´enyt adja:
Megjegyz´es: A vektorokra ´erdemes u ´gy gondolni, mint elmozdul´as, k´et vektor ¨osszeg´ere pedig u ´gy, hogy a k´et elmozdul´as egym´asut´anj´at hogyan lehet egy elmozdul´assal megval´os´ıtani.
1.2.2. Kivon´as
K´et vektor k¨ ul¨onbs´eg´enek a fogalm´at az o¨sszead´asra ´ep´ıthetj¨ uk a val´os sz´amokhoz hasonl´oan. 5−3 az a sz´am, amit a 3-hoz adva 5-¨ot kapunk, teh´at a 2. Ez alapj´an ~a − ~b az a vektor, amelyet ~b-hez adva ~a-t kapunk. Ha k¨oz¨os a kezd˝opont, akkor ~a − ~b olyan vektor, melynek a kezd˝opontja megegyezik 10
a ~b v´egpontj´aval, a v´egpont pedig megegyezik az ~a v´egpontj´aval.
A h´aromsz¨og szab´alyra gondolva l´athatjuk, hogy a ~b vektorhoz hozz´aadva ~a − ~b vektort val´oban megkapjuk az ~a vektort.
1.2.3. Vektor szorz´asa val´os sz´ammal
Ha ~a 6= ~0, akkor α · ~a vektor az a vektor, amelynek a hossza |α| · |~a|, ir´anya pedig α > 0 eset´en megegyezik ~a ir´any´aval, α < 0 eset´en vele ellent´etes. Ha α = 0, akkor az eredm´eny nullvektor lesz.
11
Megjegyz´es: A fenti 3 vektorm˝ uvelet eredm´enye mindegyik esetben vektor. K´es˝obbiekben lesz sz´o olyan vektorm˝ uveletr˝ol, amelynek az eredm´enye egy val´os sz´am, skal´ar mennyis´eg. Ezt a m˝ uveletet skal´aris szorz´asnak h´ıvj´ak ´es a 10. oszt´alyban tanulunk r´ola. Ezen k´ıv¨ ul ismeretes a vektori´alis szorzat is, annak az eredm´enye vektor. 1.3. Feladatok 1.3.1. Feladat+ 5 perc
Bizony´ıtsd be az al´abbi ´abra seg´ıts´eg´evel, hogy a h´aromsz¨og b ´es c oldal´anak felez˝opontj´at o¨sszek¨ot˝o k¨oz´epvonal p´arhuzamos az a oldallal ´es fele akkora!
12
−−→ −→ Tipp: Legyen AD = d~ ´es AE = ~e. Fejezd ki −−→ −−→ ezen vektorokkal ED ´es BC vektorokat. M: −−→ −−→ ED = d~ − ~e ´es BC = 2d~ − 2~e = 2(d~ − ~e) ´es innen k¨ovetkezik az a´ll´ıt´as, mert egy vektort kett˝ovel megszorozva a hossz k´etszeres lesz ´es p´arhuzamos az eredeti vektorral. 1.3.2. Feladat 9 perc
Az al´abbi ´abr´an egy paralelogramma l´athat´o. A ~b ´es d~ vektorokkal, valamint vektorm˝ uveletek seg´ıts´eg´evel add meg az al´abbi vektorokat:
−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ AC, BC, DC, BD, DB, BF , DF , AF M: −→ ~ ~ AC = b + d, −−→ ~ ~ DB = b − d,
−−→ −→ ~ − BC = d, DC = −−→ BF = 21 (d~ − ~b), 13
−→ ~b, − BD = d~ − ~b, −−→ ~ DF = 12 (~b − d),
−→ 1 ~ ~ AF = 2 (b + d) 1.3.3. Feladat 9 perc
Az al´abbi a´br´an egy szab´alyos hatsz¨og l´athat´o. Az ~u ´es ~v vektorokkal, valamint vektorm˝ uveletek seg´ıts´eg´evel add meg az al´abbi vektorokat:
−−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ BO, F O, AO, BF , F B, BE, AC, DA M: −−→ −→ −→ −−→ BO = ~v , F O = ~u, AO = ~u + ~v , BF = ~v − ~u, −−→ −−→ −→ −−→ F B = ~u − ~v , BE = 2~v , AC = 2~u + ~v , DA = −2~u − 2~v
14
1.3.4. Feladat 10 perc
Az al´abbi a´br´an egy kocka l´athat´o. A ~t, ~u ´es ~v vektorokkal, valamint vektorm˝ uveletek seg´ıts´eg´evel add meg az al´abbi vektorokat:
−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ AE, F D, AC, BD, AH, BF , AG, CF M: −→ −−→ −→ −−→ AE = ~u+~t, F D = ~u−~t, AC = ~u+~v , BD = ~u−~v , −−→ −−→ −→ AH = ~t + ~v , BF = ~t − ~v , AG = ~t + ~u + ~v , −→ CF = −~u − ~v + ~t
1.3.5. Feladat 3 perc
Az a´br´an l´athat´o vektorokat fejezd ki ~i ´es ~j vektorok seg´ıts´eg´evel! 15
M: ~a = 5~i + 2~j, ~b = 2~i + 2~j, ~c = −2~i + 3~j Megjegyz´es: Vegy¨ uk ´eszre, hogy azon vektorok eset´en, amelyeknek a kezd˝opontja az orig´o (~a ´es ~c), az egy¨ utthat´ok ´eppen megegyeznek a vektor v´egpontj´anak a koordin´at´aj´aval. 1.3.6. Feladat 3 perc
Hat´arozd meg az a´br´an l´athat´o vektorok hossz´at!
16
Tipp: Keress der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogeket! M: √ √ √ |~i| = 1, |~j| = 1, |~a| = 29, |~b| = 8, |~c| = 13, 1.4. Egy´eb feladatok 1.4.1. Feladat
Az a ´es b vektorok 120 fokos sz¨oget z´arnak be egym´assal, mindk´et vektor hossza 4 cm. Hat´arozza meg az a + b vektor hossz´at!1 M: 4 cm 1.4.2. Feladat
Az ABCD n´egyzet k¨oz´eppontja K, az AB oldal −−→ −−→ felez˝opontja F. Legyen a = KA ´es b = KB. Fe−−→ jezze ki az a ´es b vektorok seg´ıts´eg´evel a KF vektort!2 1´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2012 okt. 10; 2 pont) Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2012 okt. 10; 2 pont)
2´
17
M: −−→ 1 KF = 2 (a + b)
2. Egybev´ag´os´agi transzform´aci´ok kb. 4 tan´ora A f¨ uggv´enyek kapcs´an l´attuk, hogy a transzform´aci´o olyan f¨ uggv´eny, amely ponthalmazokat rendel ponthalmazokhoz, ´altal´aban itt a k¨oz´episkolai tananyagban a s´ık pontjait rendeli a s´ık pontjaihoz valamilyen m´odon. A tengelyes ´es k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, valamint a ny´ ujt´as m´ar el˝oker¨ ult a f¨ uggv´enyek transzform´aci´oja sor´an. Ezek k¨oz¨ ul az el˝obbi kett˝o u ´gynevezett egybev´ag´os´agi transzform´aci´o. Ez azt jelenti, hogy b´armely szakasz ´es a k´ep´enek a hossza megegyezik. A k¨ovetkez˝o a´bra a transzform´aci´okat pr´ob´alja szeml´eltetni.
18
Az ´abr´an l´athat´o tulajdons´agok a k¨ovetkez˝ok: a: t´avols´agtart´o, vagyis b´armely szakasz ´es a k´ep´enek a hossza megegyezik b: sz¨ogtart´o, vagyis b´armely sz¨og ´es a k´ep´enek a nagys´aga megegyezik c: k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megtartja pl. egy ABC h´aromsz¨og ´es a k´epe A’B’C’ h´aromsz¨og k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anya megegyezik d: a k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megford´ıtja e: ar´anytart´o, vagyis b´armely szakasz k´ep´enek a hossz´anak ´es a szakasz hossz´anak az ar´anya min19
den esetben megegyezik A k¨ovetkez˝okben az egybev´ag´os´agi transzform´aci´okat vessz¨ uk sorra. 2.1. Tengelyes t¨ukr¨oz´es 2.1.1. Defin´ıci´o
Legyen adott a s´ıkon egy t egyenes, a t¨ ukr¨oz´es tengelye. A s´ık tetsz˝oleges P pontj´anak a k´epe o¨nmaga, ha P ∈ t, ha P ∈ / t, akkor P k´epe az a P’ pont, amelyre teljes¨ ul, hogy a PP’ szakasz felez˝o mer˝olegese t egyenes.
20
2.1.2. A tengelyes t¨ukr¨oz´es tulajdons´agai
t´avols´agtart´o, sz¨ogtart´o, a k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megford´ıtja, fixpontok (amelyek k´epe ¨onmaga) a t tengely pontjai, fix egyenes (amelynek minden pontja helyben marad) a t tengely, invari´ans egyenesek (amelyek k´epe o¨nmaga) a tengelyre mer˝oleges egyenesek 2.1.3. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok
Azt az alakzatot nevezz¨ uk tengelyesen szimmetrikusnak, amelyhez tal´alhat´o olyan tengelyes t¨ ukr¨oz´es, amely az alakzatot o¨nmag´aba viszi ´at. Az adott t¨ ukr¨oz´es tengely´et az alakzat szimmetria ten21
gely´enek (szt.) nevezz¨ uk. Egy-egy alakzatnak t¨obb szimmetria tengelye is lehet. A h´aromsz¨ogek k¨oz¨ ul az egyenl˝o sz´ar´ u (1 db szt.) ´es az egyenl˝o oldal´ u (3 db szt.) tengelyesen szimmetrikus. A n´egysz¨ogek k¨oz¨ ul az egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez (1 db szt.), a deltoid (1 db szt.), a rombusz (2 db szt.), a t´eglalap (2 db szt.) ´es a n´egyzet (4 db szt.) tengelyesen szimmetrikus. Az n oldal´ u szab´alyos soksz¨og tengelyesen szimmetrikus (n db szt.). A k¨or is tengelyesen szimmetrikus (v´egtelen sok szt.). Ide kattintva tengelyesen szimmetrikus alakzatokat tal´alhatsz az interneten.
22
2.1.4. Feladat 3 perc
Az ABC h´aromsz¨og cs´ ucsainak a koordin´at´ai A(1; 1), B(4; 1), C(2; 4). T¨ ukr¨ozd a h´aromsz¨oget az y tengelyre! M:
2.1.5. Feladat 3 perc
D¨ontsd el az al´abbi a´ll´ıt´asokr´ol, hogy igazak vagy hamisak! a) Minden h´aromsz¨og tengelyesen szimmetrikus. b) Nem minden h´aromsz¨og tengelyesen szimmetrikus. 23
c) Van olyan h´aromsz¨og, amelyik nem tengelyesen szimmetrikus. d) Van olyan trap´ez, amelyik tengelyesen szimmetrikus. e) Nincs olyan trap´ez, amelyik tengelyesen szimmetrikus. f) B´armely trap´ezt tekint¨ unk, az nem tengelyesen szimmetrikus. g) Minden deltoidnak egy darab szimmetria tengelye van. h) Nem minden deltoidnak van egy darab szimmetria tengelye. i) Van olyan deltoid, amelyiknek egy darab szimmetria tengele van. j) Van olyan paralelogramma, amelyik tengelyesen szimmetrikus. k) Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. l) Az n odal´ u szab´alyos soksz¨ognek n darab szimmetria tengelye van. M: a) H b) I c) I d) I e) H f) H g) H h) I i) I j) I k) 24
H l) I 2.1.6. Feladat 4 perc
´ azold az f : [0; ∞[→ R x 7→ x2 f¨ Abr´ uggv´eny grafikonj´at, majd t¨ ukr¨ozd azt az y = x egyenlet˝ u egyenesre. Melyik f¨ uggv´eny grafikonj´at kaptad ´ıgy meg? M:
√ A kapott grafikon a g : [0; ∞[→ R x 7→ x f¨ uggv´enyhez tartozik. (A k´et f¨ uggv´eny egym´as 25
´ aban is igaz, hogy egy f¨ uggv´enynek inverzei. Altal´ ´es az inverz´enek a grafikonja egym´as t¨ uk¨ork´epei az y = x egyenesre vonatkoztatva.) 2.1.7. Feladat 10 perc
Szerkessz egy h´aromsz¨oget, melynek adatai: a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm. Szerkeszd meg a C cs´ ucsb´ol indul´o bels˝o sz¨ogfelez˝oj´et, majd t¨ ukr¨ozd erre a h´aromsz¨oget. Mit tapasztalsz? M:
Tapasztalat: Az A pont k´epe az a, B pont k´epe pedig b egyenesre esik.
26
2.1.8. Feladat 10 perc
Adott a s´ıkon egy h´aromsz¨og A ´es B cs´ ucsa, valamint a C cs´ ucson a´thalad´o sz¨ogfelez˝o egyenes. Szerkeszd meg a C cs´ ucsot! M:
2.1.9. Feladat 10 perc
Az a´br´an egy bili´ard asztal l´athat´o ´es rajta 3 goly´o. Rajzolj egy ABCD t´eglalapot ´es vedd fel az ´abr´ahoz hasonl´oan az F, G ´es H pontokat. Szerkeszd meg az asztal AB oldal´an azt a P pontot, amit meg kell c´eloznunk az F goly´oval, 27
hogy onnan visszapattanva eltal´alja H goly´ot. Felt´etelezz¨ uk, hogy az oldalfalr´ol visszapattanva a bees´esi sz¨og megegyezik a visszaver˝od´esi sz¨oggel.
M:
28
Megjegyz´es: A technik´at kipr´ob´altam ´elesben is. M˝ uk¨od¨ott! 2.1.10. Feladat 12 perc
Szerkessz ABCD deltoidot, ha adott a s´ıkon k´et egyenes, g ´es h, adott a deltoid szimmetria tengely´enek egyenese f, az oldalai 3 cm ´es 5 cm, tov´abb´a tudjuk, hogy A ∈ g, A ∈ / f , C ∈ h, C ∈ / f. M: Az ´abr´an a geogebra szoftverrel v´egzett szerkeszt´es l´athat´o.
29
2.1.11. Feladat 20 perc
Adottak az A(2;1) ´es a B(6;3) koordin´at´aj´ u pontok. Hol van az x tengelyen az a P pont, amelyre teljes¨ ul, hogy az AP + BP t´avols´ag a lehet˝o legr¨ovidebb? Mennyi ez a t´avols´ag? Tipp: V´altoztasd a feladat felt´eteleit! 30
M: √ P(3;0), a t´avols´ag 4 2 ≈ 5, 66 2.1.12. Feladat+ 30 perc
Egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og k´et sz¨oge 30◦ ´es 60◦ , r¨ovidebbik befog´oja 3 cm. A be´ırhat´o k¨or k¨oz´eppontj´at t¨ ukr¨ozz¨ uk a h´aromsz¨og oldalaira. Az ´ıgy kapott pontokat k¨oss¨ uk ¨ossze a h´aromsz¨og cs´ ucsaival. H´any oldal´ u soksz¨oget kapunk? Mekkor´ak a sz¨ogei? Mekkor´ak az oldalai? Tipp: K´esz´ıts pontos ´abr´at, szerkeszd meg a soksz¨oget! (Ez nem eleged˝o, de adhat o¨tletet a megold´ashoz.) M: ¨ oget kapunk. A sz¨ogei 120◦ , 60◦ , 135◦ , 120◦ , Otsz¨ 105◦ . Az oldalai 4,24 cm; 4,24 cm; 2,2 cm; 2,2 cm; 3,11 cm
31
2.2. K¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es 2.2.1. Defin´ıci´o
Adott a s´ıkon egy O pont, a t¨ ukr¨oz´es k¨oz´eppontja. Ennek k´epe o¨nmaga. A s´ık O-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o P pontj´anak a k´epe az a P’ pont, amelyre teljes¨ ul, hogy a PP’ szakasz felez˝opontja O.
2.2.2. A k¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es tulajdons´agai
t´avols´agtart´o, sz¨ogtart´o, a k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megtartja, fixpont O, invari´ans egyenesek azok, amelyek ´atmennek O-n, minden olyan egyenes, amely nem megy a´t O-n p´arhuzamos a k´ep´evel 2.2.3. K¨oz´eppontosan szimmetrikus alakzatok
Azt az alakzatot nevezz¨ uk k¨oz´eppontosan szimmetrikusnak, amely eset´en l´etezik olyan pont, amelyre t¨ ukr¨ozve az alakzat ¨onmag´aba megy a´t. Nincs olyan h´aromsz¨og, amely k¨oz´eppontosan szimmetrikus. 32
N´egysz¨ogek k¨oz¨ ul a paralelogramm´ak (´ıgy a rombusz, t´eglalap ´es a n´egyzet is) k¨oz´eppontosan szimmetrikusak, a szimmetria k¨oz´eppont az a´tl´ok metsz´espontja. Szab´alyos soksz¨ogek k¨oz¨ ul a p´aros oldalsz´am´ uak szimmetrikusak k¨oz´eppontosan. A k¨or k¨oz´eppontosan szimmetrikus. Ide kattintva a google ´altal adott tal´alatok l´athat´ok a k¨oz´eppontosan szimmetrikus alakzatok c´ımsz´ora. 2.2.4. Feladat 3 perc
Az al´abbi ´abr´akon f¨ uggv´enyek grafikonjai l´athat´ok. D¨ontsd el, hogy melyik tengelyesen ´es melyik k¨oz´eppontosan szimmetrikus!
a)
b)
33
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
M: Tengelyesen szimmetrikusak: b, d, i K¨oz´eppontosan szimmetrikusak: a, c, e, f, h, j
34
2.2.5. Feladat 4 perc
Az ABC h´aromsz¨og cs´ ucsainak a koordin´at´ai A(1;1), B(4;2), C(2;4). T¨ ukr¨ozd a h´aromsz¨oget az orig´ora! M:
2.2.6. Feladat 2 perc
Az al´abbi a´ll´ıt´asokr´ol d¨ontsd el, hogy melyik igaz ´es melyik hamis. a) Van olyan h´aromsz¨og, amelyik k¨oz´eppontosan szimmetrikus. b) Nincsen olyan h´aromsz¨og, amelyik k¨oz´eppontosan szimmetrikus. c) Van olyan deltoid, amelyik k¨oz´eppontosan szimmetrikus. d) Van olyan paralelogramma, amelyik nem k¨oz´eppontosan 35
szimmetrikus. e) Minden szab´alyos soksz¨og k¨oz´eppontosan szimmetrikus. M: a) H b) I c) I d) H e) H 2.2.7. Feladat 4 perc
Rajzold bele az al´abbi halmaz´abr´aba a k¨ovetkez˝o alakzatokat: trap´ez, egyenl˝osz´ar´ u trap´ez, deltoid, rombusz, paralelogramma, t´eglalap, n´egyzet
36
37
2.2.8. Feladat 3 perc
Ketten j´atszanak egy j´at´ekot, a szab´aly a k¨ovetkez˝o. Egy t´eglalap alak´ u t´abl´ara, melynek az oldalainak hossza 10 cm ´es 20 cm 1 cm ´atm´er˝oj˝ u, k¨or alak´ u, kis korongokat kell felv´altva letenni u ´gy, hogy nem fedhetik egym´ast ´es nem l´oghatnak le a t´abl´ar´ol. Az nyer, aki az utols´o korongot le tudja tenni. Kinek van nyer˝o strat´egi´aja, aki 38
kezd, vagy aki nem? Mi ez a strat´egia? M: A kezd˝o j´at´ekos nyerhet, ha az asztal szimmetria k¨oz´eppontj´ara teszi a korongj´at, majd mindig a m´asik j´at´ekos a´ltal tett korong k¨oz´eppontos t¨ uk¨ork´ep´ere teszi a saj´atj´at. 2.2.9. Feladat 5 perc
Szerkessz egy szab´alyos h´aromsz¨oget, majd t¨ ukr¨ozd egyik cs´ ucs´ara! M:
2.2.10. Feladat 9 perc
Szerkessz egy h´aromsz¨oget, majd t¨ ukr¨ozd egyik oldal´anak a felez˝opontj´ara. Milyen alakzatot hat´aroz 39
meg az eredeti h´aromsz¨og ´es a t¨ uk¨ork´ep´enek az egyes´ıt´ese? M:
Paralelogramm´at hat´aroz meg a k´et h´aromsz¨og egyes´ıt´ese. Indokl´as: A k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es t´avols´agtart´o, ´ıgy AB=A’B’ ´es AC=A’C’ ´es ez elegend˝o felt´etel ahhoz, hogy a kapott n´egysz¨og paralelogramma legyen. 2.2.11. Feladat++ 9 perc
Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel c = 6 cm, b = 3 cm ´es sa = 2, 5 cm (az a oldalhoz tartoz´o s´ ulyvonal hossza). Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! Tipp1: L´asd az el˝oz˝o feladatot! 40
Tipp2: A paralelogramma szerkeszthet˝o k´et oldal´ab´ol ´es a´tl´oj´ab´ol. M:
2.3. Pont k¨or¨uli forgat´as 2.3.1. Defin´ıci´o
Adott a s´ıkon egy O pont, a forgat´as k¨oz´eppontja, ennek a k´epe ¨onmaga, valamint egy α forg´assz¨og. A s´ık tetsz˝oleges P pontj´anak a k´epe az a P’ pont, amelyre teljes¨ ul, hogy OP=OP’, tov´abb´a 0 P OP ∠ = α. Megjegyz´es: A 180 fokos forgat´as megegyezik a k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´essel. 2.3.2. A pont k¨or¨uli forgat´as tulajdons´agai
t´avols´agtart´o, sz¨ogtart´o, a k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megtartja, fixpont O 41
2.3.3. Forg´asszimmetrikus alakzatok
Egy alakzat forg´asszimmetrikus, ha l´etezik olyan 0 fok ´es 360 fok k¨ozti forgat´as, amely az alakzatot ¨onmag´aba viszi a´t. H´aromsz¨ogek k¨oz¨ ul egyed¨ ul a szab´alyos h´aromsz¨og forg´asszimmetrikus. N´egysz¨ogek k¨oz¨ ul a paralelogramm´ak (´es ´ıgy a rombusz, t´eglalap, n´egyzet) forg´asszimmetrikusak. Minden szab´alyos soksz¨og forg´asszimmetrikus. A k¨or forg´asszimmetrikus. Ide kattintva forg´asszimmetrikus alakzatok tal´alhat´ok. 2.3.4. Feladat 6 perc
Szerkessz egy szab´alyos h´aromsz¨oget ´es forgasd el −90 fokkal egyik cs´ ucsa k¨or¨ ul! M: 42
2.4. P´arhuzamos eltol´as 2.4.1. Defin´ıci´o
Tegy¨ uk fel, hogy adott a s´ıkon egy ~v vektor amely nem nullvektor. A s´ık tetsz˝oleges P pontj´anak a −−→ k´epe az a P’ pont, amelyre teljes¨ ul, hogy P P 0 = ~v . 2.4.2. A p´arhuzamos eltol´as tulajdons´agai
sz¨ogtart´o, t´avols´agtart´o, a k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anyt megtartja, nincsen fixpont ´es fixalakzat, invari´ans egyenesek azok, amelyek p´arhuzamosak ~v vektorral.
43
2.4.3. Feladat 5 perc
Szerkessz egy ABC h´aromsz¨oget, majd told el −→ AB vektorral! M:
2.4.4. Feladat++ 9 perc
Az ´abr´an A ´es B pontok egy-egy v´arost, a ´es b p´arhuzamos egyenesek egy foly´o k´et partj´at jelk´epeznek. Egy utat ´es egy hidat kell tervezni A ´es B pontok k¨oz¨ott u ´gy, hogy minim´alis legyen az A ´es B pontok k¨ozti u ´t hossza ´es a h´ıd mer˝oleges legyen a foly´ora. V´egezd el a szerkeszt´est!
44
Tipp1: V´altoztasd a felt´eteleket! Tipp2: Mi lenne a megold´as, ha nem lenne foly´o? M:
2.5. Egybev´ag´os´ag 2.5.1. Defin´ıci´o
Egybev´ag´os´agi transzform´aci´onak nevezz¨ uk a n´egy alaptranszform´aci´o (tengelyes ´es k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, pont k¨or¨ uli forgat´as, eltol´as), v´eges sokszori, egym´as ut´ani alkalmaz´as´at. K´et alakzatot egybev´ag´onak nevez¨ unk, ha l´etezik 45
olyan egybev´ag´os´agi transzform´aci´o, amely egym´asba viszi ˝oket. Az egybev´ag´os´ag jele: ∼ = Az al´abbi a´br´an egybev´ag´os´agi transzform´aci´o l´athat´o, amely a´ll egy eltol´asb´ol, egy tengelyes t¨ ukr¨oz´esb˝ol A’B’ oldalra, mint tengelyre, v´eg¨ ul pedig egy −120 fokos, A” k¨or¨ uli forgat´asb´ol. Ez 000 alapj´an teljes¨ ul, hogy ABC4 ∼ = A000 B 000 C4
Megjegyz´es: T¨orekedj¨ unk arra, hogy a k´et h´aromsz¨ogben a megfelel˝o cs´ ucsok ugyanazon sorrendben sze46
repeljenek, teh´at el¨ol A ´es A”’, k¨oz´epen B ´es B”’, v´eg¨ ul C ´es C”’. Ez k´es˝obb a hasonl´os´agn´al is nagyban megk¨onny´ıti a bizony´ıt´asokat. 2.5.2. A h´aromsz¨ogek egybev´ag´os´ag´anak alapesetei
Az egybev´ag´os´aggal nagyon sok geometriai t´etel bizony´ıthat´o, viszont el´egg´e bonyolult lenne minden esetben transzform´aci´okat keresg´elni, amelyek ´atviszik az egyik alakzatot a m´asikba. Ezt k¨onny´ıtik meg az al´abbi t´etelek: Bebizony´ıthat´oak a k¨ovetkez˝o t´etelek: 1) Ha k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o, akkor az oldalaik ´es a sz¨ogeik p´aronk´ent megegyeznek. (sz¨ uks´eges felt´etel az egybev´ag´os´agra) 2) Ha k´et h´aromsz¨og oldalai p´aronk´ent megegyeznek, akkor a k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o. (1. elegend˝o felt´etel k´et h´aromsz¨og egybev´ag´os´ag´ara) 3) Ha k´et h´aromsz¨og egy-egy oldala ´es a rajta fekv˝o sz¨ogek megegyeznek, akkor a k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o. (2. elegend˝o felt´etel k´et h´aromsz¨og 47
egybev´ag´os´ag´ara) 4) Ha k´et h´aromsz¨og k´et-k´et oldala ´es a k¨ozbez´art sz¨og¨ uk megegyezik, akkor a k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o. (3. elegend˝o felt´etel k´et h´aromsz¨og egybev´ag´os´ag´ara) 5) Ha k´et h´aromsz¨og k´et-k´et oldala ´es a nagyobbikkal szemk¨ozti sz¨og¨ uk megegyezik, akkor a k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o. (4. elegend˝o felt´etel k´et h´aromsz¨og egybev´ag´os´ag´ara)
2.5.3. Soksz¨ogek egybev´ag´os´aga
Az al´abbi a´br´an az l´athat´o, hogyan lehet k´et, egyenl˝o oldal´ u n´egyzetet egym´asba a´tvinni egy eltol´assal (a vektor a k´et k¨oz´eppont a´ltal meghat´arozott) ´es egy +30 fokos forgat´assal. Ez alapj´an kimondhatjuk, hogy a k´et n´egyzet egybev´ag´o.
48
A h´aromsz¨ogh¨oz hasonl´oan soksz¨ogekre is bizony´ıthat´o az egybev´ag´os´agra vonatkoz´o t´etel: K´et soksz¨og akkor ´es csak akkor egybev´ag´o, ha oldalaik ´es sz¨ogeik p´aronk´ent megegyeznek. M´as megfogalmaz´asban: K´et soksz¨og egybev´ag´os´ag´anak a sz¨ uks´eges ´es elegend˝o felt´etele, hogy oldalaik ´es sz¨ogeik p´aronk´ent megegyezzenek.
49
2.5.4. Feladat+ 1 perc
Ellenp´elda keres´es´evel c´afold az al´abbi a´ll´ıt´asokat: a) Ha k´et soksz¨og oldalai p´aronk´ent megegyeznek, akkor a k´et soksz¨og egybev´ag´o. b) Ha k´et soksz¨og sz¨ogei p´aronk´ent megegyeznek, akkor a k´et soksz¨og egybev´ag´o. M: a) Egy n´egyzet ´es egy ugyanakkora oldal´ u rombusz. b) Egy n´egyzet ´es egy t´eglalap, amelynek k¨ ul¨onb¨oznek az oldalai. 2.5.5. Feladat++ 9 perc
Bizony´ıtsd be az al´abbi a´ll´ıt´asokat: a) K¨orh¨oz egy k¨ uls˝o pontb´ol h´ uzott ´erint˝oszakaszok egyenl˝ok. b) A paralelogramm´at az a´tl´oi k´et-k´et egybev´ag´o h´aromsz¨ogre bontj´ak. c) Ha egy h´aromsz¨ogben k´et oldal megegyezik, akkor a vel¨ uk szemk¨ozti sz¨ogek is megegyeznek. d) B´armely k´et szab´alyos h´aromsz¨og egybev´ag´o, 50
ha megegyezik az oldaluk. e) B´armely k´et, egyenl˝o sugar´ u k¨or egybev´ag´o. M: a) 4. elegend˝o felt´etel miatt b) 3. elegend˝o felt´etel miatt (cs´ ucssz¨ogek egyenl˝oek, az ´atl´ok felezik egym´ast) c) H´ uzzuk be a magass´agot, ekkor ADB4 ∼ = ADC4 , mert k´et-k´et oldal (AD k¨oz¨os, AB=AC a felt´etel miatt) ´es a nagyobbikkal szemk¨ozti sz¨og (der´eksz¨og) egyenl˝o. Ha k´et h´aromsz¨og egybev´ag´o, abb´ol k¨ovetkezik, hogy a sz¨ogeik p´aronk´ent egyenl˝oek, vagyis B ´es C cs´ ucsn´al megegyeznek a sz¨ogek.
d) 1. elegend˝o felt´etelb˝ol k¨ovetkezik. 51
e) Eltol´assal (k¨oz´eppontok a´ltal meghat´arozott vektorral) egym´asba vihet˝ok, ´ıgy egybev´ag´oak. 2.6. Egy´eb feladatok 2.6.1. Feladat
Adja meg, hogy az al´abbi geometriai transzform´aci´ok k¨oz¨ ul melyek viszik a´t o¨nmag´aba az a´br´an l´athat´o, h´aromsz¨og alak´ u (sug´arvesz´elyt jelz˝o) t´abl´at! A) 60 fokos elforgat´as a t´abla k¨oz´eppontja k¨or¨ ul. B) 120 fokos elforgat´as a t´abla k¨oz´eppontja k¨or¨ ul. C) K¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es a t´abla k¨oz´eppontj´ara. D) Tengelyes t¨ ukr¨oz´es a t´abla k¨oz´eppontj´an ´es a t´abla egyik cs´ ucs´an a´tmen˝o tengelyre.3
3´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2013 okt. 7; 2 pont)
52
M: B ´es D 2.6.2. Feladat
Adja meg az al´abbi a´ll´ıt´asok logikai ´ert´ek´et!4 A ´all´ıt´as: Minden rombusznak pontosan k´et szimmetriatengelye van. B ´all´ıt´as: Minden rombusznak van k´et szimmetriatengelye. C a´ll´ıt´as: Van olyan rombusz, amelynek pontosan k´et szimmetriatengelye van. D a´ll´ıt´as: Nincs olyan rombusz, amelynek n´egy szimmetriatengelye van. M: A: H; B: I; C: I; D: H 4´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2008 okt. 7; 4 pont)
53
3. H´aromsz¨ogek, n´egysz¨ogek, soksz¨ogek, k¨or kb. 18 tan´ora 3.1. T´erelemek, sz¨ogek, t´avols´agok 3.1.1. Feladat 2 perc
V´alaszolj az al´abbi k´erd´esekre! a) H´any pont hat´aroz meg egy egyenest? b) H´any pont hat´aroz meg egy s´ıkot? c) K´et egyenes milyen helyzet˝ u lehet egym´ashoz k´epest? d) Egy s´ıkhoz k´epest egy egyenes milyen helyzet˝ u lehet? e) Mi a sz¨og? f) Mit ´ert¨ unk hegyessz¨og, der´eksz¨og, tompasz¨og, egyenessz¨og, teljessz¨og alatt? M: a) 2 b) 3 c) metsz˝o (egy k¨oz¨os pont), p´arhuzamos (egy s´ıkban vannak, a k¨oz¨os pontok sz´ama 0), kit´er˝o (nincsenek k¨oz¨os s´ıkban) d) illeszkedik r´a, metszi vagy p´arhuzamos vele e) K´et, k¨oz¨os kezd˝opont´ u f´elegyenes ´altal meghat´arozott s´ıkr´esz. f) sor54
rendben: 0 ´es 90 fok k¨ozti sz¨og, 90 fokos sz¨og, 90 ´es 180 fok k¨ozti sz¨og, 180 fokos sz¨og, 360 fokos sz¨og 3.1.2. Egy´all´as´u, v´alt´o ´es cs´ucssz¨ogek
K´et sz¨og akkor egy´all´as´ u, ha sz´araik p´arhuzamosak ´es egyir´any´ uak. Az al´abbi a´br´an ABC∠ ´es EAD∠ sz¨ogek egy´all´as´ uak.
T´etel: Egy´all´as´ u sz¨ogek egyenl˝ok. K´et sz¨og akkor alkot v´alt´osz¨ogp´art, ha sz´araik p´arhuzamosak ´es ellent´etes ir´any´ uak. Az al´abbi a´br´an CAB∠ ´es DCA∠ sz¨ogek v´alt´osz¨ogek (dkc).
55
T´etel: A v´alt´osz¨ogek egyenl˝oek. Ha k´et sz¨og cs´ ucsa k¨oz¨os ´es sz´araik p´aronk´ent egym´as meghosszabb´ıt´asai, akkor cs´ ucssz¨ogeknek nevezz¨ uk ˝oket. Az al´abbi a´br´an egy paralelogramm´at l´athatunk, itt AED∠ ´es CEB∠ cs´ ucssz¨ogek.
T´etel: A cs´ ucssz¨ogek egyenl˝ok.
56
3.1.3. Feladat 3 perc
Az al´abbi ´abr´an l´ev˝o egyenesek p´aronk´ent p´arhuzamosak. Keress v´alt´osz¨ogeket, egy´all´as´ u sz¨ogeket, cs´ ucssz¨ogeket!
M: v´alt´osz¨ogek p´eld´aul: FBG∠ ´es KCJ∠ egy´all´as´ u sz¨ogek p´eld´aul: FBG∠ ´es ACD∠ cs´ ucssz¨ogek p´eld´aul: FBG∠ ´es ABD∠
3.1.4. Mer˝oleges sz´ar´u sz¨ogek
Mer˝oleges sz´ar´ u sz¨ogekr˝ol akkor besz´elhet¨ unk, ha sz´araik p´aronk´ent mer˝olegesek egym´asra. Ha 57
a sz¨ogtartom´anyok nem tartalmazz´ak a m´asik sz¨og cs´ ucs´at, akkor a mer˝oleges sz´ar´ u sz¨ogek egyenl˝ok. Az al´abbi ´abr´an BCA∠ ´es ABD∠ sz¨ogek mer˝oleges sz´ar´ u sz¨ogp´art alkotnak (B-n´el der´eksz¨og van, tov´abb´a b szakasz ´es d egyenes mer˝olegesek egym´asra).
3.1.5. Mell´ek, kieg´esz´ıt˝o ´es p´otsz¨ogek
Mell´eksz¨ogeknek nevez¨ unk k´et olyan sz¨oget, amelyeknek k¨oz¨os az egyik sz´ara, a m´asik k´et sz´ar pedig egy¨ utt egyenest alkot (l´asd a´bra).
58
Kieg´esz´ıt˝o sz¨ogeknek nevez¨ unk k´et sz¨oget, ha o¨sszeg¨ uk 180 fok. P´otsz¨ogeknek nevez¨ unk k´et sz¨oget, ha o¨sszeg¨ uk 90 fok. A der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og hegyessz¨ogei p´eld´aul p´otsz¨ogp´art alkotnak.
3.1.6. P´elda
V´altsuk a´t fokba a 23◦ 340 -et. M: Ez az a´talak´ıt´as az´ert fontos, mert a sz´amol´og´epekbe legegyszer˝ ubben a m´odos´ıtott alakban vihetj¨ uk be az ´ert´eket. Mivel egy fok az 60 perc, ez´ert a 34-et el kell osztanunk 60-nal, ami 0,6 kerek´ıtve, ´ıgy 23◦ 340 ≈ 23, 6◦ . 3.1.7. Feladat 12 perc
a) Melyik az a sz¨og, amelyik 100 fokkal kisebb, mint a mell´eksz¨oge? b) Melyik az a sz¨og, amelyiknek az o¨tsz¨or¨ose 60 fokkal kisebb a kieg´esz´ıt˝o sz¨og´en´el? 59
c) Egy sz¨og ´es a p´otsz¨og´enek az ar´anya 7:11. Mekkor´ak ezek a sz¨ogek? M: a) 40 fok b) 20 fok c) 35 fok ´es 55 fok 3.1.8. Defin´ıci´o - t´avols´ag
Pont ´es egyenes t´avols´ag´an a pontb´ol az egyenesre a´ll´ıtott mer˝oleges szakasz hossz´at ´ertj¨ uk (Az ´abr´an a PQ szakasz hossza).
K´et p´arhuzamos egyenes t´avols´ag´an az egyik egyenes egy tetsz˝oleges pontj´anak a m´asik egyenest˝ol val´o t´avols´ag´at ´ertj¨ uk.
60
3.1.9. Feladat 8 perc
a) Az ABC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u cs´ ucsa C. Milyen t´avol van ez a cs´ ucs az ´atfog´ot´ol, ha az egyik befog´o 3 cm, az a´tfog´o pedig 5 cm? b) Az ABC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u cs´ ucsa C. Milyen t´avol van ez a cs´ ucs az ´atfog´ot´ol, ha az egyik befog´o 5 cm, az a´tfog´o pedig 13 cm? Tipp1: K´esz´ıts ´abr´at! Tipp2: Sz´amold ki a ter¨ uletet! M: a) 2,4 cm b) 4,62 cm
61
3.1.10. Feladat 12 perc
a) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel: a = 17cm, b = 17cm, c = 30cm. (i) Milyen t´avol van C cs´ ucs a c oldalt´ol? (ii) Milyen t´avol van A cs´ ucs az a oldalt´ol? b) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel: a = 25cm, b = 25cm, c = 14cm. (i) Milyen t´avol van C cs´ ucs a c oldalt´ol? (ii) Milyen t´avol van A cs´ ucs az a oldalt´ol? M: a) (i) 8 cm (ii) 14,1 cm b) (i) 24 cm (ii) 13,4 cm 3.1.11. Feladat 6 perc
a) Egy k¨or sugara 41 cm. Milyen t´avol van a k¨oz´eppontj´at´ol a 80 cm hossz´ us´ag´ u h´ urja? b) Egy k¨or sugara 61 cm. Milyen t´avol van a k¨oz´eppontj´at´ol a 22 cm hossz´ us´ag´ u h´ urja? M: 62
a) 9 cm b) 60 cm 3.1.12. Feladat 6 perc
a) Egy trap´ez alapjainak a hossza 44 cm ´es 20 cm, sz´arai 37 cm-esek. Milyen t´avol vannak egym´ast´ol az alapjai? b) Egy trap´ez alapjainak a hossza 51 cm ´es 25 cm, sz´arai 85 cm-esek. Milyen t´avol vannak egym´ast´ol az alapjai? M: a) 35 cm b) 84 cm 3.1.13. Feladat 3 perc
Az ´abr´an egy 10 m hossz´ us´ag´ u gerenda l´athat´o (CD=10 m), amelyre a v´ızszintessel 30 fokos sz¨oget bez´ar´o er˝o hat a C pontban. Mennyi ennek az er˝onek a D pontra vonatkoz´o er˝okarja? (Az er˝okar 63
az er˝o hat´asvonal´anak a forg´astengelyt˝ol m´ert t´avols´aga.) M: 5m 3.1.14. Feladat+ 15 perc
Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 5 cm. Milyen t´avol van C cs´ ucs a c oldalt´ol? M: 7,92 cm 3.2. Nevezetes ponthalmazok 3.2.1. Defin´ıci´o - k¨or ´es r´eszei
Azon pontok m´ertani helye a s´ıkban, melyek a s´ık egy adott O pontj´at´ol egyenl˝o r t´avols´agra vannak egy O k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u k¨orvonal, r¨oviden k¨or. A k¨or r´eszeit az al´abbi a´br´akon szeml´eltetj¨ uk:
64
Megjegyz´es: A k¨or t´erbeli megfelel˝oje a g¨omb. 3.2.2. T´etel
Azon pontok m´ertani helye a s´ıkon, melyek egy adott egyenest˝ol adott t´avols´agra vannak, az egyenessel p´arhuzamos, adott t´avols´agban l´ev˝o k´et egyenes.
Megjegyz´es: Ennek a m´ertani helynek a t´erbeli megfelel˝oje a hengerpal´ast.
65
3.2.3. T´etel - felez˝o mer˝oleges
A s´ıkon k´et adott pontt´ol egyenl˝o t´avols´agra l´ev˝o pontok halmaza a pontok a´ltal meghat´arozott szakasz felez˝o mer˝olegese.
Megjegyz´es: A t´erbeli megfelel˝o a felez˝o s´ık. 3.2.4. Feladat 2 perc
Bizony´ıtsd be, hogy egy k¨or tetsz˝oleges h´ urj´anak a felez˝o mer˝olegese a k¨or k¨oz´eppontj´an megy kereszt¨ ul! M: A k¨or k¨oz´eppontja a h´ ur k´et v´egpontj´at´ol egyenl˝o (r) t´avols´agra van, ez´ert illeszkedik a h´ ur felez˝o mer˝oleges´ere.
66
3.2.5. T´etel - sz¨ogfelez˝o
A s´ıkon egy sz¨og sz´arait´ol egyenl˝o t´avols´agra l´ev˝o, a sz¨ogtartom´anyban l´ev˝o pontok halmaza a sz¨og felez˝oje.
3.2.6. T´etel - Thalesz t´etele ´es megford´ıt´asa
A k¨or a´tm´er˝oje a k¨orvonal pontjaib´ol (az a´tm´er˝o v´egpontjainak kiv´etel´evel) der´eksz¨og alatt l´atszik.
Azt kell bizony´ıtani, hogy a C-n´el l´ev˝o sz¨og der´eksz¨og. Ehhez ¨osszek¨otj¨ uk a k¨or k¨oz´eppontj´at C-vel, ´ıgy k´et egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨og keletkezik. Mivel 67
2α + 2β = 180◦ → α + β = 90◦ ´es ezzel igazoltuk az ´all´ıt´ast. A t´etelt u ´gy is megfogalmazhattuk volna, hogy: Ha egy pont rajta van egy szakasz, mint a´tm´er˝o f¨ol´e rajzolt k¨orvonalon (´es a szakaszon nincsen), akkor a szakasz ebb˝ol a pontb˝ol der´eksz¨og alatt l´atszik. A t´etel megford´ıt´asa: Ha egy pontb´ol egy szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik, akkor rajta van a szakasz, mint a´tm´er˝o f¨ol´e rajzolt k¨or¨on. A bizony´ıt´asn´al felhaszn´aljuk, hogy A ⇒ B ⇔ ¬B ⇒ ¬A, vagyis A-b´ol k¨ovetkezik B egyen´ert´ek˝ u azzal az a´ll´ıt´assal, hogy nem B-b˝ol k¨ovetkezik nem A. Tekints¨ unk egy k¨orvonalon bel¨ uli (E) ´es egy k´ıv¨ uli (D) pontot, ezekb˝ol 90 fokn´al nagyobb (ε = 90◦ +φ) ill. kisebb (δ, amely egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og hegyes sz¨oge) sz¨og alatt l´atszik az AB szakasz. Az, hogy C-n´el 90 fokos sz¨og van, Thalesz t´etel´eb˝ol k¨ovetkezik.
68
Megjegyz´es: Egy m´asik bizony´ıt´as alap¨otlete, hogy t¨ ukr¨ozz¨ uk a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨oget az a´tfog´o felez˝opontj´ara. Ennek kivitelez´es´et az olvas´ora b´ızzuk. A t´etel ´es a megford´ıt´asa egyben megfogalmazva: Azon pontok m´ertani helye a s´ıkon, amelyekb˝ol egy adott szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik egy, a szakasz, mint ´atm´er˝o f¨ol´e rajzolt k¨or, a szakasz v´egpontjainak kiv´etel´evel. 3.2.7. Feladat - k´et m´ertani hely 15 perc
Az al´abbiakban a m´ertani helyekre vonatkoz´o szerkeszt´esi feladatok k¨ovetkeznek. Javasolt a 69
diszkusszi´o elv´egz´ese, vagyis annak a vizsg´alata, hogy att´ol f¨ ugg˝oen, hogy milyen az adatok elhelyezked´ese, mennyi megold´asa lehet a feladatnak. a) Adott egy e egyenes ´es rajta k´ıv¨ ul egy P pont. Szerkeszd meg azon pontokat a s´ıkon, melyek az egyenest˝ol 1 cm-re, P pontt´ol pedig 1,5 cmre vannak! b) Adott egy e egyenes, valamint k´et pont P ´es Q. Szerkeszd meg a s´ık azon pontjait, melyek az egyenest˝ol 2 cm-re, P-t˝ol ´es Q-t´ol pedig egyenl˝o t´avols´agra vannak! c) Adott a s´ıkon egy 60 fokos sz¨og ´es a sz¨ogtartom´anyon bel¨ ul egy P pont. Szerkeszd meg a sz¨ogtartom´anyon bel¨ ul azon pontokat, amelyek a sz¨og sz´arait´ol egyenl˝o t´avols´agra vannak, a P pontt´ol pedig 2 cm-re! d) Adott a s´ıkon egy e egyenes ´es k´et pont P ´es Q. Szerkeszd meg a s´ık azon pontjait, melyek 70
az e egyenest˝ol 2 cm-re vannak ´es amelyekb˝ol a PQ szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik! e) Adott a s´ıkon egy 30 fokos sz¨og ´es a sz¨ogtartom´anyban k´et pont P ´es Q. Szerkeszd meg a sz¨ogtartom´any azon M pontjait, melyek egyenl˝o t´avol vannak a k´et sz¨ogsz´art´ol, tov´abb´a teljes¨ ul, hogy PM=QM (PM t´avols´ag megegyezik QM t´avols´aggal)! f) Adott a s´ık h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja A, B, ´es C. Szerkeszd meg a s´ık azon pontjait, amelyekb˝ol az AB szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik, tov´abb´a C pontt´ol 1,5 cm-re vannak! g) Adott egy 45 fokos sz¨og ´es a sz¨ogtartom´anyban A ´es B pontok. Szerkeszd meg a sz¨ogtartom´anyban azokat a pontokat, amelyek egyenl˝o t´avol vannak a sz¨og k´et sz´ar´at´ol ´es amelyekb˝ol az AB szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik! h) Adott a s´ıkon k´et pont A ´es B. Szerkeszd meg a s´ıkon azokat a pontokat, amelyek egyenl˝o 71
t´avols´agra vannak A ´es B pontokt´ol, tov´abb´a az AB szakasz der´eksz¨og alatt l´atszik bel˝ol¨ uk! i) Adott a s´ıkon egy 120 fokos sz¨og ´es egy a sz¨og sz´arait metsz˝o e egyenes. Szerkeszd meg a sz¨ogtartom´any azon pontjait, amelyek a sz¨ogsz´arakt´ol egyenl˝o t´avols´agra vannak, tov´abb e egyenest˝ol 1,5 cm-re vannak! j) Adott a s´ıkon 3 pont A, B ´es C. Szerkeszd meg a s´ık azon pontjait, amelyek egyenl˝o t´avols´agra vannak A ´es B pontokt´ol, C pontt´ol pedig 2 cmre vannak! M:
a)
72
b)
c)
d)
73
e)
f)
g)
74
h)
i)
j)
75
3.2.8. Feladat 6 perc
Adott egy C k¨oz´eppont´ u, 2 cm sugar´ u k k¨or, valamint C-t˝ol 5 cm-re P pont. Szerkeszd meg a P pontb´ol a k¨orh¨oz h´ uzhat´o ´erint˝oket! M: A PC szakaszhoz, mint ´atm´er˝oh¨oz tartoz´o Thalesz k¨or ´es a k k¨or metsz´espontjai lesznek az ´erint´esi pontok. 3.2.9. Feladat+ 5 perc
Rajzolj egy koordin´ata rendszert, majd szerkeszd meg azt a P pontot, amelyre teljes¨ ul az al´abbi 3 felt´etel: -az orig´ot´ol 5 egys´eg t´avols´agra van -a B(−1; −9) pontb´ol kibocs´atott, 2 egys´eg/s sebess´eg˝ u jel 6,5 s alatt ´er P-be -a C(−4; −3) pontb´ol kibocs´atott, 2 egys´eg/s sebess´eg˝ u jel 5 s alatt ´er P-be M: H´arom k¨orvonalat kell rajzolni: orig´o k¨oz´eppont´ u, 76
5 egys´eg sugar´ u k¨ort, B k¨oz´eppont´ u, 13 egys´eg sugar´ u k¨ort, C k¨oz´eppont´ u, 10 egys´eg sugar´ u k¨ort. Ezek k¨oz¨os pontja adja a megold´ast.
Megjegyz´es: Ez a feladat a GPS (Global Positioning System - Glob´alis helymeghat´aroz´o rendszer) m˝ uk¨od´es´et szeml´elteti k´et dimenzi´oban. Az orig´o k¨oz´eppont´ u k¨or a F¨old fel¨ ulet´enek, B k¨oz´eppont´ u k¨or az egyik m˝ uhold, mint k¨oz´eppont k¨or¨ uli g¨ombnek, C k¨oz´eppont´ u k¨or pedig egy m´asik g¨ombnek felel meg. A jel sebess´ege a val´os´agban f´enysebess´eg, 77
az pedig, hogy mennyi id˝o alatt ´er oda a k¨ovetkez˝ok alapj´an tudhat´o meg: -minden m˝ uhold r¨ovid id˝ok¨oz¨onk´ent kisug´arozza az aktu´alis poz´ıci´oj´at ´es a pontos id˝ot -a vev˝oegys´eg tartalmaz egy pontos ´or´at ´es amikor be´erkezik a jel, ¨osszehasonl´ıtja a saj´at ´or´aj´at az ´eppen kapott jel idej´evel, ebb˝ol tudja, hogy mennyi id˝o alatt ´ert oda a jel A val´os´agban legal´abb n´egy m˝ uhold jel´ere van sz¨ uks´eg a helyzetmeghat´aroz´ashoz, mert 3 g¨ombnek k´et metsz´espontja van, a 4. jel az id˝o folyamatos pontos´ıt´as´ahoz sz¨ uks´eges. A vonatkoz´o wikip´edia cikk ide kattintva olvashat´o el. 3.3. H´aromsz¨og 3.3.1. T´etel
A h´aromsz¨og bels˝o sz¨ogeinek az ¨osszege 180 fok. Biz.: H´ uzzunk p´arhuzamost C cs´ ucson kereszt¨ ul a c oldallal (a p´arhuzamoss´agi axi´oma miatt egy ilyen van). Ekkor v´alt´osz¨ogp´arok keletkeznek (l´asd a´bra).
78
α, β ´es γ egy¨ utt egyenessz¨oget alkot, amely ´eppen 180 fok. 3.3.2. T´etel
A h´aromsz¨og egy k¨ uls˝o sz¨oge egyenl˝o a vele nem szomsz´edos k´et bels˝o sz¨og o¨sszeg´evel. 3.3.3. T´etel-h´aromsz¨og egyenl˝otlens´eg
A h´aromsz¨og b´armely k´et oldal´anak az ¨osszege nagyobb, mint a harmadik oldal. 3.3.4. T´etel
Ha egy h´aromsz¨ogben k´et oldal megegyezik, akkor ezen oldalakkal szemk¨ozti sz¨ogek is megegyeznek. Ennek egy m´asik megfogalmaz´asa: Egy h´aromsz¨ogben k´et oldal egyenl˝os´eg´enek a 79
sz¨ uks´eges felt´etele a vel¨ uk szemk¨ozti sz¨ogek egyenl˝os´ege. Szok´asos jel¨ol´essel: a = b ⇒ α = β Igaz a megford´ıt´as is: Ha egy h´aromsz¨ogben k´et sz¨og megegyezik, akkor a vel¨ uk szemk¨ozti oldalak is megegyeznek. M´as megfogalmaz´asban: Egy h´aromsz¨ogben k´et oldal egyenl˝os´eg´enek elegend˝o felt´etele az, hogy a vel¨ uk szemk¨ozti sz¨ogek megegyezzenek. Szok´asos jel¨ol´essel: α = β ⇒ a = b Az el˝oz˝o k´et t´etelt o¨ssze is vonhatjuk: Egy h´aromsz¨og k´et oldala akkor ´es csak akkor egyezik meg, ha a vel¨ uk szemk¨ozti sz¨ogek megegyeznek. M´ask´eppen is megfogalmazhatjuk: Egy h´aromsz¨ogben k´et oldal egyenl˝os´eg´enek sz¨ uks´eges ´es elegend˝o felt´etele, hogy a vel¨ uk szemk¨ozti sz¨ogek megegyezzenek. Jelekkel: a = b ⇔ α = β
80
3.3.5. T´etel
A h´aromsz¨ogben nagyobb oldallal szemben nagyobb sz¨og van ´es megford´ıtva, vagyis nagyobb sz¨oggel szemben nagyobb oldal (a < b ⇔ α < β)
3.3.6. T´etel - Pitagorasz
A der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og k´et befog´oj´anak a n´egyzet¨osszege megegyezik az ´atfog´o n´egyzet´evel. Bizony´ıthat´o a t´etel megford´ıt´asa is: Ha egy h´aromsz¨ogben k´et oldal n´egyzet´enek az o¨sszege megegyezik a harmadik oldal n´egyzet´evel, akkor a h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u. A t´etel ´es a megford´ıt´asa egyben: Egy h´aromsz¨og akkor ´es csak akkor der´eksz¨og˝ u, ha k´et oldal´anak a n´egyzet¨osszege megegyezik a harmadik oldal n´egyzet´evel. M´as megfogalmaz´asban: Annak, hogy egy h´aromsz¨og der´eksz¨og˝ u legyen sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy k´et oldal´anak a n´egyzet¨osszege egyenl˝o legyen a harmadik oldal n´egyzet´evel. 81
Megjegyz´es: A ⇒ B ⇔ ¬B ⇒ ¬A, vagyis Ab´ol k¨ovetkezik B egyen´ert´ek˝ u azzal az a´ll´ıt´assal, hogy nem B-b˝ol k¨ovetkezik nem A. Ez´ert, ha egy h´aromsz¨ogben, ahol a < b < c ´es a2 + b2 6= c2 , akkor a h´aromsz¨og nem der´eksz¨og˝ u ´es ez Pitagorasz t´etel´eb˝ol k¨ovetkezik ´es nem a megford´ıt´as´ab´ol. 3.3.7. A h´aromsz¨og nevezetes vonalai
A fenti ´abr´an a h´aromsz¨og C cs´ ucs´ab´ol kiindul´o h´arom nevezetes vonal´at ´abr´azoltuk, valamint a 82
c oldal felez˝o mer˝oleges´et. Tekints¨ uk ´at az ezekre vonatkoz´o legfontosabb ismereteket: A h´aromsz¨og magass´agvonala (az a´br´an m) egy cs´ ucsb´ol a szemk¨ozti oldalra ´all´ıtott mer˝oleges egyenes vagy szakasz. A h´aromsz¨ognek h´arom magass´agvonala van, ezek egy pontban metszik egym´ast, ez a pont a h´aromsz¨og magass´agpontja, jele M. A h´aromsz¨og bels˝o sz¨ogfelez˝oje (az a´br´an f), mint a nev´eben is benne van felezi az adott bels˝o sz¨oget. A h´aromsz¨ognek h´arom bels˝o sz¨ogfelez˝oje van, ezek egy pontban metszik egym´ast, ez a pont a h´aromsz¨og be´ırt k¨or´enek a k¨oz´eppontja.
: Figyelj¨ uk meg az a´br´an, hogy a sz¨ogfelez˝o a szemk¨ozti oldalt nem a felez˝opontban metszi!!! (10. oszt´alyban majd kider¨ ul, hogy a sz¨ogfelez˝o a szemk¨ozti oldalt a szomsz´edos oldalak ar´any´aban osztja k´et r´eszre.) Fontos t´etelek: T = r · K2 , ahol r a be´ırhat´o k¨or sugara, T ´es K a h´aromsz¨og ter¨ ulete ´es ker¨ ulete. 83
A der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og c a´tfog´oja, a ´es b befog´oja, tov´abb´a r be´ırhat´o k¨or´enek a sugara k¨ozt fenn´all a c + 2r = a + b o¨sszef¨ ugg´es. A h´aromsz¨og s´ ulyvonala egy cs´ ucsot a szemk¨ozti oldal felez˝opontj´aval ¨osszek¨ot˝o egyenes vagy szakasz. H´arom s´ ulyvonala van a h´aromsz¨ognek, ezek egy pontban metszik egym´ast, ez a pont a s´ ulypont, jele S. Bebizony´ıthat´o, hogy a s´ ulypont a s´ ulyvonalat 2:1 ar´any´ u r´eszekre osztja u ´gy, hogy a nagyobbik r´esz a cs´ ucshoz van k¨ozelebb. Az a´br´an l´athat´o e egyenes a c oldal felez˝o mer˝olegese. A h´arom felez˝o mer˝oleges egy pontban metszi egym´ast, ez a pont a h´aromsz¨og k¨or´e ´ırhat´o k¨or´enek a k¨oz´eppontja. Ez a pont hegyessz¨og˝ u h´aromsz¨og eset´en a h´aromsz¨og¨on bel¨ ul, tompasz¨og˝ u h´aromsz¨og eset´en k´ıv¨ ul, der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og eset´en pedig az ´atfog´o felez˝opontj´aban van. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og k¨or´e ´ırhat´o k¨or sugara ´eppen fele az a´tfog´onak, tov´abb´a, hogy az ´atfog´ohoz tartoz´o s´ ulyvonal szint´en az ´atfog´o fele. 84
Van egy ¨ot¨odik nevezetes vonala is a h´aromsz¨ognek, ez a k¨oz´epvonal, amely k´et oldal felez˝opontj´at o¨sszek¨ot˝o szakasz (l´asd ´abra).
Az ´abr´an l´ev˝o DE k¨oz´epvonal p´arhuzamos AB szakasszal ´es fele akkora. A bizony´ıt´as pl. vektorral t¨ort´enhet. 3.3.8. Feladat 9 perc
a) Egy h´aromsz¨og k´et bels˝o sz¨oge 27 fok ´es 73 fok. Hat´arozd meg a 3. bels˝o sz¨og´et ´es a k¨ uls˝o sz¨ogeket is! b) Egy egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨og egyik bels˝o sz¨oge 38 fok. Mekkora a m´asik k´et bels˝o sz¨og? 85
c) Egy h´aromsz¨og bels˝o sz¨ogeinek az ar´anya 1:2:6. Mekkor´ak ezek a sz¨ogek? M: a) 80◦ , a k¨ uls˝o sz¨ogek 153◦ , 107◦ , 100◦ b) 1. megold´as: 38◦ , 104◦ ; 2. megold´as: 71◦ , 71◦ c) 20◦ , 40◦ , 120◦ 3.3.9. Feladat 6 perc
L´etezik-e olyan h´aromsz¨og, amelyben az oldalak hossza: a) 2, 4, 5 egys´eg b) 2, 3, 5 egys´eg c) 5, 7, 13 egys´eg d) 5, 6, 10 egys´eg M: a) igen b) nem c) nem d) igen 3.3.10. Feladat 2 perc
´ Allap´ ıtsd meg, hogy az al´abbi sz´amh´armasok k¨oz¨ ul melyik lehet der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og h´arom oldala? 86
a) 7, 24, 25 b) 8, 15, 17 c) 9, 40, 42 M: a) lehet b) lehet c) nem lehet 3.3.11. Feladat 2 perc
Adott egy h´aromsz¨og k´et oldala 2 ´es 6 egys´eg. Mekkora lehet a 3. oldala, ha azt tudjuk, hogy eg´esz sz´am? Tipp: Pr´ob´algass! M: 5, 6, 7 egys´eg 3.3.12. Feladat 2 perc
Adottak egy h´aromsz¨og oldalai a szok´asos jel¨ol´esekkel. Rendezd nagys´ag szerint sorba a sz¨ogeit: a) a = 5, b = 3, c = 8 egys´eg b) a = 4, b = 4, c = 3 egys´eg M: a) β < α < γ b) γ < α = β 87
3.3.13. Feladat 60 perc
Az al´abbi t´abl´azatban a ´es b egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og befog´oit, c pedig az a´tfog´oj´at jel¨oli. R a k¨or¨ ul´ırt, r pedig a be´ırt k¨or sugar´at jelenti. Tov´abbi jel¨ol´esek: mc a c oldalhoz tartoz´o magass´ag, T ter¨ ulet, K ker¨ ulet, sa , sb , sc az egyes s´ ulyvonalak. T¨oltsd ki a t´abl´azat hi´anyz´o r´eszeit! a b c T K mc R r sa sb sc 45 53 3,9 8,9 7,2 9,7 M: a 28 3,9 6,5
b 45 8 7,2
c 53 8,9 9,7
T 630 15,6 23,4
K 126 20,8 23,4
mc 23,8 3,51 4,82
R 26,5 4,45 4,85
r 10 1,5 2
sa 47,1 8,23 7,9
3.3.14. Feladat 35 perc
Az al´abbi t´abl´azatban b ´es c egy egyenl˝osz´ar´ u h´aromsz¨og sz´arait, a pedig az alapj´at jel¨oli. R a k¨or¨ ul´ırt, r pedig a be´ırt k¨or sugar´at jelenti. Tov´abbi jel¨ol´esek: mc a c oldalhoz tartoz´o ma88
sb 35,9 5,59 7,43
sc 26,5 4,45 4,85
gass´ag, T ter¨ ulet, K ker¨ ulet. T¨oltsd ki a t´abl´azat hi´anyz´o r´eszeit! a b c T K mc R r 16 10 10 60 16 120 M: a 16 10 16
b 10 13 17
c 10 13 17
T 48 60 120
K 36 36 50
mc 9,6 9,23 14,1
R 8,33 7,04 9,63
r 2,67 3,33 4,8
3.3.15. Feladat 25 perc
a) Mekkora a ker¨ ulete ´es a ter¨ ulete egy 10 cm oldal´ u szab´alyos h´aromsz¨ognek? b) Egy szab´alyos h´aromsz¨og ker¨ ulete 12 cm. Mennyi a ter¨ ulete? c) Igazold, hogy a szab´alyos h´aromsz¨og magass´aga √ 3 anak! 2 ≈ 0, 866-szorosa az oldal´ d) Egy szab´ayos h´aromsz¨og ter¨ ulete 20 cm2 . Mennyi a ker¨ ulete? 89
e) Mennyi annak a szab´alyos h´aromsz¨ognek a ker¨ ulete ´es a ter¨ ulete, amelynek az oldala 5 egys´eggel nagyobb, mint a magass´aga? f) Mennyi a 6 cm sugar´ u k¨orbe ´ırhat´o szab´alyos hatsz¨og ker¨ ulete ´es ter¨ ulete? M: a) K=30 cm, T≈ 43, 3 cm2 b) T≈ 6, √ 93 cm2 2 2 c) a2 = m2 + a4 → 3a4 = m2 → m = 23 a d) K≈20,4 cm e) K≈112 cm, T≈ 602 cm2 f) K=36 cm, T≈ 93, 5 cm2 3.3.16. Feladat 45 perc
a) Egy emelked˝o hossza 200 m, a v´ızszintessel 30 fokos sz¨oget z´ar be. Milyen magasra visz? Mennyi a s´ıkra es˝o mer˝oleges vet¨ ulet´enek a hossza? b) Egy l´etr´at nekit´amasztunk a falnak, ekkor az alja a fal alj´at´ol 1 m-re van ´es a l´etra a v´ızszintessel 60 fokos sz¨oget z´ar be. Milyen hossz´ u a l´etra? Milyen magasan van a teteje? c) Egy n´egyzet oldala 2,12 egys´eg. Milyen t´avol van az a´tl´oj´anak az egyik harmadol´o pontja a n´egyzet oldalait´ol ´es cs´ ucsait´ol? 90
d) Egy gy´ark´em´eny magass´ag´at u ´gy hat´arozzuk meg, hogy az alj´at´ol megm´erj¨ uk, hogy milyen t´avols´agban l´atszik a teteje 30 fokos sz¨ogben. Milyen magas a gy´ark´em´eny, ha ez a t´avols´ag 52 m? e) Egy gy´ark´em´eny magass´ag´at u ´gy hat´arozzuk meg, hogy az alj´at´ol megm´erj¨ uk, hogy milyen t´avols´agban l´atszik a teteje 45 fokos sz¨ogben. Milyen magas a gy´ark´em´eny, ha ez a t´avols´ag 40 m? f) Egy gy´ark´em´eny magass´ag´at u ´gy hat´arozzuk meg, hogy az alj´at´ol megm´erj¨ uk, hogy milyen t´avols´agban l´atszik a teteje 60 fokos sz¨ogben. Milyen magas a gy´ark´em´eny, ha ez a t´avols´ag 20 m? g) Egy h´az mellett k¨ozvetlen¨ ul van egy foly´o. Az 5 m magas ablakb´ol letekintve a foly´o m´asik sz´el´et 30 fokos depresszi´os sz¨ogben l´atjuk. Milyen sz´eles a foly´o? h) Egy h´az mellett k¨ozvetlen¨ ul van egy foly´o. Az 8 m magas ablakb´ol letekintve a foly´o m´asik sz´el´et 45 fokos depresszi´os sz¨ogben l´atjuk. Milyen sz´eles a foly´o? 91
i) Egy h´az mellett k¨ozvetlen¨ ul van egy foly´o. Az 10 m magas ablakb´ol letekintve a foly´o m´asik sz´el´et 60 fokos depresszi´os sz¨ogben l´atjuk. Milyen sz´eles a foly´o? M: a) 100 m magasra visz a lejt˝o, a vet¨ ulete 173 m. b) A l´etra 2 m-es, a teteje 1,73 m magasan van. c) A n´egyzet oldalait´ol 0,707 ill. 1,41 egys´eg t´avols´agra, a cs´ ucsokt´ol 1; 2; 1,58; 1,58 egys´eg t´avol van. d) 30 m e) 40 m f) 34,6 m g) 8,66 m h) 8 m i) 5,77 m 3.3.17. Feladat 10 perc
a) Milyen t´avol van az orig´ot´ol a P (3;4) pont? b) Milyen t´avol van az orig´ot´ol a P (−3; −4) pont? c) Milyen t´avol van az orig´ot´ol a P (6; 8) pont? d) Mennyi a P (6;8) ´es a Q (3;4) pontok t´avols´aga? e) Mennyi a P (2;1) ´es a Q (-4;3) pontok t´avols´aga? M: √ a) 5 b) 5 c) 10 d) 5 e) 40 92
3.3.18. Feladat 45 perc
a) Egy h´aromsz¨og oldalai 3 cm, 3,5 cm ´es 4 cm. Szerkeszd meg ezt a h´aromsz¨oget, majd szerkeszd meg a k¨or´e ´ırhat´o k¨ort! b) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel c = 4 cm, α = 30◦ , β = 45◦ . Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! Szerkeszd meg a be´ırhat´o k¨ort! c) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel b = 3, 2 cm, c = 4 cm, β = 60◦ . Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! d) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel b = 3, 8 cm, c = 3 cm, β = 120◦ . Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! e) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel b = 2, 5 cm, c = 4, 2 cm, β = 30◦ . Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! f) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel mc = 3 cm, c = 4 cm, α = 45◦ . Szerkeszd meg a 93
h´aromsz¨oget! g) Egy h´aromsz¨ogben a szok´asos jel¨ol´esekkel a = 3 cm, c = 4, 4 cm, mc = 2, 8 cm. Szerkeszd meg a h´aromsz¨oget! h) Szerkeszd meg azt a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨oget, melynek az a´tfog´oja 5 cm, az ´atfog´ohoz tartoz´o magass´aga pedig 1,7 cm! i) Szerkessz 3,5 cm oldal´ u szab´alyos h´aromsz¨oget! j) Szerkessz egyenl˝o sz´ar´ u h´aromsz¨oget, melynek alapja 4 cm, az alaphoz tartoz´o magass´aga pedig 3,5 cm! Tipp: K´esz´ıts v´azlatot! 3.3.19. Feladat+++
Egy h´aromsz¨og egyik oldala 2 egys´eg hossz´ us´ag´ u, a rajta fekv˝o sz¨ogek 60 fok ´es 75 fokosak. Iga-
94
zold, hogy a h´aromsz¨og ter¨ ulete
√ 3+ 3 5 2 !
M: K´esz´ıts¨ unk ´abr´at!
Rajzoljuk be a 75 fokos sz¨ogh¨oz tartoz´o B cs´ ucsb´ol indul´o magass´agot, ´es legyen a talppontja a szemk¨ozti oldalon T! Ez a magass´ag a h´aromsz¨oget k´et der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogre bontja. Az ABT der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og egy f´el” szab´ aromsz¨ √alyos h´ √ og, ez´ert ” 3 AB AT = 2 = 1 ´es BT = 2 · AB = 3. A BTC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogben a B cs´ ucsn´al l´ev˝o sz¨og nagys´aga 45 fok, ´ıgy ez egy egyenl˝ u der´eksz¨og˝ u √ o sz´ar´ h´aromsz¨og, azaz T C = BT = 3. ´Igy a h´aromsz¨og 5
Arany D´ aniel matematika verseny feladata (2015 Kezd˝ok I–II. kateg´ oria, I. fordul´ o 4. fa.)
95
ter¨ ulete: t =
b·mb 2
=
√ √ (1+ 3)· 3 2
=
√ 3+ 3 2 .
3.3.20. Feladat+++
Arany D´aniel matematika verseny (2014, Kezd˝ok I–II. kateg´oria, I. fordul´o, 4. feladat a 2. oldalon) 3.4. N´egysz¨ogek 3.4.1. Speci´alis n´egysz¨ogek
Deltoid: Azt a n´egysz¨oget, amelynek k´et-k´et szomsz´edos oldala megegyezik deltoidnak nevezz¨ uk.
T = e·f 2 , K = 2a + 2b F˝obb tulajdons´agai: ´atl´oi mer˝olegesek egym´asra, tengelyesen szimmetrikus, egy-egy szemk¨ozti sz¨oge 96
egyenl˝o Trap´ez: Azt a n´egysz¨oget, amelynek van egy p´arhuzamos oldalp´arja trap´eznak nevezz¨ uk. (a ´es c az alapjai, b ´es d a sz´arai)
T = a+c 2 · m, K = a + b + c + d Tulajdons´agok: A sz´aron l´ev˝o sz¨ogek o¨sszege 180 fok, vagyis α + δ = β + γ = 180◦ A trap´ez k¨oz´epvonala a sz´arak felez˝opontj´at o¨sszek¨ot˝o szakasz. Bebizony´ıthat´o, hogy a hossza a trap´ez alapjainak az ¨osszeg´enek a fele, vagyis k = a+c 2 , tov´abb´a p´arhuzamos a trap´ez alapjaival. Speci´alis trap´ez: egyenl˝osz´ar´ u vagy h´ ur vagy szimmetrikus trap´ez:
97
Paralelogramma: Azt a n´egysz¨oget, amelynek a szemk¨ozti oldalai p´arhuzamosak paralelogramm´anak nevezz¨ uk.
T = ama = bmb , K = 2(a + b) Tulajdons´agok: Szemk¨ozti sz¨ogei ´es oldalai egyenl˝ok. B´armely k´et szomsz´edos sz¨og´enek o¨sszege 180 fok. Az ´atl´oi felezik egym´ast, ez a pont a paralelogramma szimmetria k¨oz´eppontja. e2 + f 2 = 2a2 + 2b2
: Nem minden paralelogramma tengelyesen szim98
metrikus. (Csak a speci´alis paralalegramm´ak, mint a rombusz, t´eglalap, n´egyzet.) A paralelogramma k¨oz´epvonala k´et szemk¨ozti oldal felez˝opontjait ¨osszek¨ot˝o szakasz. Bebizony´ıthat´o, hogy a hossza megegyezik a paralelogramma m´asik k´et oldal´aval ´es azokkal p´arhuzamos. A paralelogramm´anak k´et k¨oz´epvonala van. Elegend˝o felt´etelek ahhoz, hogy egy n´egysz¨og paralelogramma legyen: Ha egy n´egysz¨ogre teljes¨ ul a k¨ovetkez˝o felt´etelek valamelyike, akkor paralelogramma: -szemk¨ozti sz¨ogei egyenl˝ok -szemk¨ozti oldalai egyenl˝ok -´atl´oi felezik egym´ast -van egy olyan oldalp´arja, amelyik p´arhuzamos ´es egyenl˝o Rombusz: Azt a n´egysz¨oget, amelyiknek minden oldala egyenl˝o rombusznak nevezz¨ uk.
99
T = e·f 2 = a · m, K = 4a Tulajdons´agok: az ´atl´oi mer˝olegesek ´es felezik egym´ast a szemk¨ozti sz¨ogei egyenl˝ok az ´atl´ok felezik a sz¨ogeit tengelyesen szimmetrikus, k´et szimmetria tenge100
lye van, az ´atl´oi k¨oz´eppontosan is szimmetrikus T´eglalap: Azt a n´egysz¨oget, amelynek minden sz¨oge egyenl˝o (90 fok), t´eglalapnak nevezz¨ uk.
T = ab, K = 2(a + b) Tulajdons´agok: az ´atl´oi egyenl˝o hossz´ uak tengelyesen ´es k¨oz´eppontosan is szimmetrikus (k´et szimmetria tengelye van) N´egyzet: Azt a n´egysz¨oget, amelynek minden oldala ´es minden sz¨oge egyenl˝o n´egyzetnek h´ıvjuk.
101
√ 2 T = a2 = e2 , K = 4a, e = 2 a Tulajdons´agok: az a´tl´oi mer˝olegesek egym´asra ´es egyenl˝o hossz´ uak tengelyesen ´es k¨oz´eppontosan is szimmetrikus (4 szimmetria tengelye van) Megjegyz´es1: Minden n´egysz¨og bels˝o sz¨ogeinek az ¨osszege 360 fok. Megjegyz´es2: Az olyan n´egysz¨ogeket, amelynek oldalai egy k¨or ´erint˝oi, ´erint˝on´egysz¨ogeknek nevezz¨ uk. Bebizony´ıthat´o a k¨ovetkez˝o t´etel: Egy n´egysz¨og akkor ´es csak akkor ´erint˝on´egysz¨og, ha a szemk¨ozti oldalainak az o¨sszege megegyezik.
102
3.4.2. Feladat 12 perc
a) Egy deltoid k´et sz¨oge 42 ◦ ´es 60 ◦ . Mennyi lehet a harmadik sz¨og? b) Egy trap´ez egyik alapj´an fekv˝o sz¨ogek 32 ◦ ´es 73 ◦ . Mennyi a m´asik k´et sz¨og? c) Egy rombusz egyik sz¨oge 44 ◦ . Mennyi a t¨obbi sz¨oge? d) Egy paralelogramma egyik sz¨oge 110 ◦ . Mennyi a t¨obbi sz¨oge? e) Egy t´eglalap a´tl´oi 26 ◦ os sz¨oget z´arnak be egym´assal. Mekkora sz¨oget z´arnak be az a´tl´ok az oldalakkal? f) Mekkora sz¨oget z´arnak be a n´egyzet a´tl´oi az oldalaival? Tipp: K´esz´ıts ´abr´at! M: a) 1. eset: 129 ◦ ´es 129 ◦ ; 2. eset: 60 ◦ ´es 198 ◦ (konk´av); 3. eset: 42 ◦ ´es 216 ◦ (konk´av) b) 148 ◦ ´es 107 ◦ c) 44 ◦ , 136 ◦ , 136 ◦ d) 110 ◦ , 70 ◦ , 70 ◦ e) 77 ◦ , 13 ◦ f) 45 ◦
103
3.4.3. Feladat 120 perc
a) Egy deltoid k´et oldala 28 cm ´es 45 cm, k´et sz¨oge pedig 90 ◦ . Mennyi a ter¨ ulete ´es mekkor´ak az ´atl´oi? b) Egy deltoid szimmetria a´tl´oj´at 1:5 ar´anyban osztja k´et r´eszre m´asik, 30 cm hossz´ u a´tl´oja. Mennyi a deltoid ker¨ ulete, ha a ter¨ ulete 720 cm2 ? c) Egy deltoid ter¨ ulete 1323 cm2 , a szimmetria ´es a m´asik a´tl´o ar´anya 3:2 ebben a sorrendben, egyik oldala 29 cm. Mennyi a m´asik oldal hossza? d) Egy rombusz ker¨ ulete 260 cm, egyik ´atl´oja 66 cm. Mennyi a ter¨ ulete? e) Egy rombusz egyik sz¨oge 120 ◦ , ker¨ ulete 40 cm. Mekkor´ak az a´tl´oi ´es a ter¨ ulete? Milyen t´avol vannak a cs´ ucsai azokt´ol az oldalakt´ol, amelyekre nem illeszkednek? f) Egy egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez alapjai 17 m ´es 5 m, sz´arai 10 m-esek. Mennyi a ter¨ ulete? g) Egy egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez magass´aga 21 m, sz´arai 29 m-esek, egyik alapja 10 m. Mennyi a ter¨ ulete? h) Egy egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez ter¨ ulete 3960 m2 , magass´aga 55 m, p´arhuzamos oldalainak az ar´anya 104
1:5. Mennyi a ker¨ ulete? i) Egy der´eksz¨og˝ u trap´ez r¨ovidebbik sz´ara 5 m, egyik alapja 3 m, egyik sz¨oge pedig 45 ◦ . Mennyi a ker¨ ulete ´es a ter¨ ulete? j) Egy paralelogramma egyik oldala 10 m, ker¨ ulete ◦ 30 m, egyik sz¨oge 30 . Mennyi a ter¨ ulete? k) Egy paralelogramma egyik sz¨oge 45 fok, hosszabbik oldala 25 m, ter¨ ulete 250 m2 . Mennyi a ker¨ ulete? l) Egy t´eglalap (TV k´eperny˝o) oldalainak ar´anya 9:16, k´ep´atl´oja 42” (col). H´any cm-esek az oldalai, ha 1”=2,54 cm? Mekkora a k´eperny˝o ter¨ ulete? Mekkora a k´eperny˝o ter¨ ulete annak a monitornak, amelyiknek a k´ep´atl´oja 21”, vagyis fele a TV-nek? m) Egy t´eglalap oldalainak az ar´anya 4:5, ter¨ ulete 2 180 cm . Mekkor´ak az oldalai? n) Egy n´egyzet a´tl´oja 12 cm. Mennyi a ter¨ ulete? 2 o) Egy n´egyzet ter¨ ulete 169 cm . Mennyi a ker¨ ulete? p+) Egy trap´ez alapjai 14 m ´es 3 m, sz´arai 5 m ´es 8,94 m. Mennyi a ter¨ ulete? M: a) T = 1260 cm2 , e = 47, 5 cm, f = 53 cm 105
2 b) 84 cm √ c) 47,9 cm d) 3696 cm e) e = 10 cm; f = 10 3 ≈ 17, 3 cm; T ≈ 86, 6 cm; a t´avols´ag 8,66 cm f) 88 m2 g) 630 m2 h) 290 m i) K=23,1 m; T=27,5 m2 j) 25 m2 k) 78,2 m l) az oldalak hossza 52,5 cm ´es 93,3 cm; a k´eperny˝o ter¨ ulete kb. 4900 cm2 ; a monitor ter¨ ulete kb. 1225 cm2 m) 12 cm ´es 15 cm n) 72 cm2 o) 52 cm p) 34 m2
3.4.4. Feladat 45 perc
a) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek a szimmetria a´tl´oja 6 cm hossz´ u, oldalai pedig 3 cm ´es 5 cm hossz´ uak! b) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek 5 cmes szimmetria a´tl´oj´at a 4 cm-es a´tl´oja 1:3 ar´anyban osztja k´et r´eszre! c) Szerkeszd meg azt a deltoidot, amelynek a szimmetria ´atl´oja 5,5 cm hossz´ u ´es ezen ´atl´o k´et v´egpontj´an´al l´ev˝o sz¨ogek nagys´aga 90 ◦ ´es 60 ◦ ! e) Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelynek az a´tl´oi 6 cm ´es 3 cm hossz´ uak! f) Szerkeszd meg azt a rombuszt, amelynek az oldala 4 cm, a magass´aga pedig 2,5 cm hossz´ u! g) Szerkeszd meg azt a trap´ezt, amelynek egyik 106
alapja 8 cm-es, a rajta fekv˝o sz¨ogek nagys´aga 60 ◦ ´es 45 ◦ , a magass´aga pedig 4,5 cm! h) Egy der´eksz¨og˝ u trap´ez alapjainak a hossza 6 cm ´es 2,5 cm, hosszabbik sz´ara 5 cm-es. Szerkeszd meg a trap´ezt! i) Egy egyenl˝o sz´ar´ u trap´ez alapjainak a hossza 5 cm ´es 2 cm, sz´arai 4 cm-esek. Szerkeszd meg ezt a trap´ezt! j) Szerkeszd meg azt a paralelogramm´at, amelynek az a´tl´oi 30 ◦ -os sz¨oget z´arnak be egym´assal ´es a hosszuk 8,2 cm ´es 4,3 cm! k) Szerkeszd meg azt a paralelogramm´at, amely k´et oldal´anak a hossza 3 cm ´es 2,5 cm, valamint egyik ´atl´oja 4 cm-es! l) Szerkeszd meg azt a t´eglalapot, amelynek az oldalainak a hossza 5 cm ´es 3 cm! m) Szerkeszd meg azt a n´egyzetet, amelynek az a´tl´oja 6 cm hossz´ u! Tipp: K´esz´ıts v´azlatot!
107
3.4.5. Feladat+++
Az ABCD szimmetrikus trap´ez hosszabbik alapja AB = 3 cm hossz´ u. A BC a´tm´er˝oj˝ u k¨or ´atmegy az a´tl´ok metsz´espontj´an ´es az AB alap B-hez legk¨ozelebbi negyedel˝opontj´an. Mekkora a trap´ez ter¨ ulete?6 M:
Legyen az ´atl´ok metsz´espontja M, az AB oldal B-hez k¨ozelebbi negyedel˝opontja H! Mivel a BC szakasz Thal´esz k¨ore a´tmegy az M ´es a H pontokon, ez´ert CM B∠ = CHB∠ = 90◦ . ´Igy CH a szimmetrikus trap´ez magass´aga. Ebb˝ol a a−c k¨ovetkez˝oen HB = a−c ıgy c = 2 , azaz 4 = 2 , ´ 6
Arany D´ aniel matematika verseny feladata (2015 Kezd˝ok I–II. kateg´ oria, II. fordul´ o 2. fa.)
108
1, 5 cm. Mivel a trap´ez egyenl˝o sz´ar´ u, ez´ert a CDM ´es az ABM h´aromsz¨og egyenl˝o sz´ar´ u ´es az el˝oz˝oek alapj´an der´eksz¨og˝ u is. Emiatt F M = 2c = 34 cm ´es GM = a2 = 1, 5 cm, ahol F a CD oldal, G az AB oldal felez˝opontja. ´Igy CH=FG=FM+MG=2,25 cm. Teh´at a trap´ez 81 ter¨ ulete: T = 16 cm2 . 3.5. Soksz¨ogek ´ 3.5.1. Erdekess´ eg
R´eszlet a wikip´edi´ab´ol: ”A szab´alyos 65537-sz¨og szerkeszt´es´et Johann Gustav Hermesnek tulajdon´ıthatjuk (1894). A szerkeszt´es nagyon o¨sszetett, Hermes 10 ´evet t¨olt¨ott a 200 oldalas k´ezirat elk´esz´ıt´es´evel.” Ide kattintva megtudhatod, hogy lehet-e szerkeszteni szab´alyos 9 sz¨oget.
3.5.2. T´etelek
T´etel: n oldal´ u konvex soksz¨og egy cs´ ucsb´ol h´ uzhat´o a´tl´oinak a sz´ama n − 3. 109
T´etel: n oldal´ u konvex soksz¨og o¨sszes a´tl´oinak n(n−3) a sz´ama 2 . T´etel: n oldal´ u soksz¨og bels˝o sz¨ogeinek az ¨osszege ◦ (n − 2) · 180 . T´etel: n oldal´ u soksz¨og k¨ uls˝o sz¨ogeinek az ¨osszege ◦ 360 az oldalsz´amt´ol f¨ uggetlen¨ ul. T´etel: n oldal´ u szab´alyos soksz¨og egy-egy bels˝o (n−2)·180◦ 360◦ sz¨oge , egy-egy k¨ u ls˝ o sz¨ o ge pedig n n . Szimmetri´ak: Az n oldal´ u szab´alyos soksz¨og tengelyesen szimmetrikus ´es n darab szimmetria tengelye van. A p´aros oldalsz´am´ u szab´alyos soksz¨ogek k¨oz´eppontosan is szimmetrikusak, a p´aratlan oldalsz´am´ uak nem. 3.5.3. Feladat 25 perc
Az al´abbi t´abl´azat egy konvex soksz¨ogre vonatkozik. T¨oltsd ki az u ¨res r´eszeket! r¨ovid´ıt´esek: n: oldalak sz´ama; ecsh´asz: egy cs´ ucsb´ol 110
h´ uzhat´o ´atl´ok sz´ama; o¨a´sz: ¨osszes a´tl´ok sz´ama; bsz¨o: bels˝o sz¨ogek o¨sszege; ksz¨o: k¨ uls˝o sz¨ogek o¨sszege n 10 15 20
ecsh´asz
o¨´asz
bsz¨o
13 15 3780◦ 2700◦ 20 54 M:
111
ksz¨o
n 10 15 20 16 18 23 17 8 12
ecsh´asz 7 12 17 13 15 20 14 5 9
o¨´asz 35 90 170 104 135 230 119 20 54
bsz¨o 1440◦ 2340 3240◦ 2520◦ 2880◦ 3780◦ 2700◦ 1080◦ 1800◦
ksz¨o 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ 360◦ 360◦
3.5.4. Feladat 12 perc
Az al´abbi t´abl´azat egy szab´alyos konvex soksz¨ogre vonatkozik. T¨oltsd ki az u ¨res r´eszeket! r¨ovid´ıt´esek: n: oldalak sz´ama; ecsh´asz: egy cs´ ucsb´ol h´ uzhat´o ´atl´ok sz´ama; o¨a´sz: ¨osszes a´tl´ok sz´ama; bsz: bels˝o sz¨ogek ´ert´eke; ksz: k¨ uls˝o sz¨ogek ´ert´eke
112
n
ecsh´asz
o¨´asz
bsz 140◦ 165◦
ksz
20◦ 30◦ M: n 9 24 18 12
ecsh´asz 6 21 15 9
o¨´asz 27 252 135 54
bsz 140◦ 165◦ 160◦ 150◦
ksz 40◦ 15◦ 20◦ 30◦
3.5.5. Feladat 6 perc
Az al´abbi ´abr´an egy szab´alyos o¨tsz¨oget l´athatunk. Hat´arozd meg, hogy mekkora sz¨ogeket hat´aroz meg az A-b´ol indul´o k´et a´tl´o ´es az oldalak!
113
M: Mindh´arom sz¨og 36 fokos. 3.6. K¨or ´es r´eszei 3.6.1. T´etelek
K¨or: K = 2rπ; T = r2 π Az ´erint´esi pontba h´ uzott sug´ar mer˝oleges az ´erint˝ore.
A k¨orh¨oz adott k¨ uls˝o pontb´ol k´et ´erint˝o h´ uzhat´o ´es ezek egyenl˝oek, vagyis PE1=PE2, tov´abb´a 114
d2 = x2 +r2 ( : Itt gyakran rossz ´abr´at k´esz´ıtenek a di´akok ´es emiatt rosszul ´ırj´ak fel ezt az egyenletet. T¨orekedj¨ unk a pontos ´abr´ara!)
2rπ K¨orcikk: i = 360 ˘ ; K = i + 2r; ◦ · α = r · α r2 π i·r T = 360◦ · α = 2
Megjegyz´es: Az ´ıvhosszra vonatkoz´o k´epletet u ´gy jegyezhetj¨ uk meg, hogy kiindulunk a k¨or ker¨ ulet´eb˝ol, ha ezt osztjuk 360 fokkal, akkor az 1 fokhoz tartoz´o ´ıv hossz´at kapjuk, majd ezt kell m´eg szo115
rozni az adott k¨oz´epponti sz¨oggel, amely itt fokban kell, hogy legyen. Itt azt haszn´altuk fel, hogy a k¨oz´epponti sz¨og ´es az ´ıvhossz k¨oz¨ott egyenes ar´anyoss´ag a´ll fenn. Az α ˘ jel¨ol´es arra utal, hogy a sz¨oget radi´anban kell a k´epletbe helyettes´ıteni. A k¨orcikk ter¨ ul´ere vonatkoz´o k´epletet hasonl´oan jegyezhetj¨ uk meg, mint az ´ıvhosszra vonatkoz´ot, csak itt a k¨or ter¨ ulet´eb˝ol indulunk ki. Itt azt haszn´aljuk fel, hogy a k¨oz´epponti sz¨og ´es a k¨orcikk ter¨ ulete k¨oz¨ott egyenes ar´anyoss´ag ´all fenn. K¨orszelet:
A k¨orszeleten az a´br´an l´athat´o FG h´ ur ´es az i ´ıvhossz a´ltal hat´arolt tartom´anyt ´ertj¨ uk. Ennek a ter¨ ulet´et megkapjuk, ha a k¨orcikk ter¨ ulet´eb˝ol 116
kivonjuk a h´aromsz¨og ter¨ ulet´et. Teh´at: Tksz = Tkc − Thsz
3.6.2. ´Ivm´ert´ek fogalma
Ahogyan a t´avols´agot is t¨obbf´ele m´ert´ekegys´eggel m´erj¨ uk, u ´gy a sz¨oget is. A fok ut´an a tudom´anyos ´eletben bevezett´ek a radi´ant, vagyis az ´ıvm´ert´eket. Ennek a defin´ıci´oja a k¨ovetkez˝o: Egy adott sz¨og ´ıvm´ert´ek´et u ´gy kapjuk meg, hogy k¨or´ıvez¨ unk egys´egnyi sug´arral ´es az ´ıgy kapott ´ıv hossza (amely a sz¨ogtartom´anyba esik) adja a sz¨og ´ıvm´ert´ek´et. l´asd a´bra:
A jobb oldali a´br´an a teljes sz¨oget (360 fok) l´athatjuk. Az ehhez tartoz´o egys´eg sugar´ u ´ıvhossz 117
2·1·π = 2π, vagyis az a´tv´alt´as fokb´ol radi´anba a 360◦ = 2π vagy 180◦ = π szab´aly alapj´an egyenes ar´anyoss´ag alkalmaz´as´aval t¨ort´enhet. A rad egys´eget nem szoktuk ki´ıni. Sz´amol´og´epeken (Sharp EL-520) is a´t lehet v´altani a fokot radi´anba, ezt ismertetj¨ uk: Tegy¨ uk fel, hogy a 180 fokot szeretn´enk a´tv´altani radi´anba. El˝osz¨or bizonyosodjunk meg, hogy fokban van a g´ep¨ unk, fel¨ ul a DEG feliratot l´athatjuk. Ha RAD (radi´an) vagy GRAD (gon, u ´jfok, a teljes sz¨og 400 fok, mi itt Magyarorsz´agon soha sem haszn´aljuk) a felirat, akkor nyomjuk meg a setup gombot, a 0-t (DRG), majd megint a 0-t. Ezut´an ´ırjuk be, hogy 180, majd a DRG funkci´ot haszn´aljuk (2ndF majd tizedes pont). 3,14-et kaptunk, ezt is v´artuk. Ezek ut´an az a´tv´alt´as radi´anb´ol fokba: A SETUP gombbal a´ll´ıtsuk be a RAD feliratot (ezt megtehetj¨ uk a DRG gombbal is), ´ırjuk be pl., hogy 6,28, majd k´etszer alkalmazzuk a DRG funkci´ot (2ndF majd tizedes pont). Ha kerek´ıt¨ unk, akkor a 360 fokot kapjuk. 118
3.6.3. Feladat - fok ´atv´alt´asa radi´anba 6 perc
Fejezd ki π-vel az al´abbi, fokban megadott sz¨ogeket! a) 30◦ =? rad; 150◦ =? rad; 210◦ =? rad; 330◦ =? rad b) 60◦ =? rad; 120◦ =? rad; 240◦ =? rad; 300◦ =? rad c) 45◦ =? rad; 135◦ =? rad; 225◦ =? rad; 315◦ =? rad d) 23◦ =? rad; 157◦ =? rad; 243◦ =? rad; 327◦ =? rad M: 7π 11π π 2π 4π 5π π 3π 5π a) π6 ; 5π 6 ; 6 ; 6 ; b) 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; c) 4 ; 4 ; 4 ; 7π 4 ; 157π 243π 327π d) 23π 180 ≈ 0, 401; 180 ≈ 2, 74; 180 ≈ 4, 24; 180 ≈ 5, 7; 3.6.4. Feladat - ´atv´alt´as radi´anb´ol fokba 9 perc
a) 2,3 (rad)=?◦ ; b) 3, 8 =?◦ ; c) 5, 7 =?◦ ; d) 3, 14 =?◦ ; e) 6, 28 =?◦ ; f) π3 =?◦ ; g) π2 =?◦ ; h) π π π 5π 3π ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 6 =? ; i) 4 =? ; j) 5 =? ; k) 3 =? ; l) 2 =? ; 119
2014π ◦ m) 7π =?◦ ; o) 2019π =?◦ ; 4 =? ; n) 5 2 M: a) 132◦ ; b) 218◦ ; c) 327◦ ; d) 180◦ ; e) 360◦ ; f) 60◦ ; g) 90◦ ; h) 30◦ ; i) 45◦ ; j) 36◦ ; k) 300◦ ; l) 270◦ ; m) 315◦ ; n) 72504◦ ≈ 72500◦ ; o) 181710◦ ≈ 182000◦ ;
3.6.5. Feladat - k¨orcikk ker¨ulete ´es ter¨ulete 15 perc
Az a´bra egy AOB k¨orcikket mutat, a k¨or k¨oz´eppontja O, sugara r. AOB sz¨og α radi´an. (i) Hat´arozd meg a k¨orcikk ker¨ ulet´et. (ii) Hat´arozd meg a k¨orcikk ter¨ ulet´et. a) r = 3 cm, α =5,13; b) r = 12 cm, α =3,5; c) r = 20 cm, α =6,1; d) r = 57 cm, α =4,3; 120
e) r = 8 cm, α =5,7; M: a) (i) 21,4 cm (=6+15,4) (ii) 23,1 cm2 b) (i) 66 cm (ii) 252 cm2 c) (i) 162 cm (ii) 1220 cm2 d) (i) 359 cm (ii) 6983 cm2 e) (i) 61,6 cm (ii) 182 cm2
3.6.6. Feladat - k¨orcikk ker¨ulete ´es ter¨ulete 18 perc
Az a´bra egy AOB k¨orcikket mutat, a k¨or k¨oz´eppontja O, sugara r. AOB hegyessz¨og α fok. (i) Hat´arozd meg a k¨orcikk ker¨ ulet´et. (ii) Hat´arozd meg a k¨orcikk ter¨ ulet´et. 121
a) r = 5 cm, α = 72◦ ; b) r = 18 cm, α = 34◦ ; c) r = 25 cm, α = 83, 7◦ ; M: a) (i) 16,3 cm (ii) 15,7 cm2 b) (i) 46,7 cm (ii) 96,1 cm2 c) (i) 86,5 cm (ii) 456 cm2
3.6.7. Feladat - k¨orcikk ker¨ulete ´es ter¨ulete 12 perc
a) Az a´bra egy k¨orcikket mutat, a k¨or sugara r, AOB sz¨og α radi´an. Hat´arozd meg r ´ert´ek´et, ha α = 1, 23 ´es a k¨orcikk ter¨ ulete 84,2 cm2 . b) Az ´abra egy k¨orcikket mutat, a k¨or sugara r, 122
AOB sz¨og α fok. Hat´arozd meg r ´ert´ek´et, ha α = 108◦ ´es a k¨orcikk ter¨ ulete 671 cm2 . c+) Az a´bra egy k¨orcikket mutat, a k¨or sugara r, AOB sz¨og α radi´an. Hat´arozd meg r ´ert´ek´et, ha α = 2, 3 ´es a k¨orcikk ker¨ ulete 38,3 cm. d+) Az ´abra egy k¨orcikket mutat, a k¨or sugara r, AOB sz¨og α radi´an. Hat´arozd meg r ´ert´ek´et, ha α = 4, 5 ´es a k¨orcikk ker¨ ulete 231 cm. M: a) 11,7 cm; b) 26,7 cm; c) 8,91 cm; d) 35,5 cm 3.6.8. Feladat 40 perc
a) Egy 5 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 90 fokos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? b) Egy 10 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 90 fokos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? c) Egy 12 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 60 fokos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? d) Egy 16 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 60 fo123
kos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? e) Egy 20 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 120 fokos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? f) Egy 4 cm sugar´ u k¨orben mennyi a 120 fokos k¨oz´epponti sz¨og ´altal meghat´arozott k¨orszelet ter¨ ulete? M: a) 7,125 cm2 b) 28,5 cm2 c) 13 cm2 d) 23,1 cm2 e) 245 cm2 f) 9,82 cm2 3.7. Egy´eb feladatok 3.7.1. Feladat+ 12 perc
Az al´abbi a´br´akon az egys´egnyi oldal´ u n´egyzetet osztottuk fel k¨ ul¨onb¨oz˝o m´odokon. Mekkor´ak a keletkezett ter¨ uletek?7 7
Ez a feladat a Mozaik kiad´ o Soksz´ın˝ u matematika 9 tank¨onyv 229. oldal´ an tal´ alhat´ o
124
a)
b)
125
c) E, F, G ´es H oldalfelez˝o pontok M: a) π4 ≈ 0, 785 ´es 1 − π4 ≈ 0, 215 b) 1 − π4 ≈ 0, 215 ill. π2 − 1 ≈ 0, 57 π c) 16 ≈ 0, 196 ill. 1 − π8 ≈ 0, 6075
3.7.2. Feladat
D¨ontsd el, hogy az al´abbi a´ll´ıt´as igaz vagy hamis: Az 1 cm sugar´ u k¨or ker¨ ulet´enek cm-ben m´ert sz´am´ert´eke k´etszer akkora, mint ter¨ ulet´enek cm2 ben m´ert sz´am´ert´eke.8 M: igaz 8´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2012 okt. 7c; 1 pont)
126
3.7.3. Feladat
Sz´am´ıtsa ki a szab´alyos tizenk´etsz¨og egy bels˝o sz¨og´enek nagys´ag´at! V´alasz´at indokolja! 9 M: 150 fok 3.7.4. Feladat+
Az a´br´an egy ejt˝oerny˝os klub kit˝ uz˝oje l´athat´o. (Az egyik k¨or´ıv k¨oz´eppontja a szab´alyos h´aromsz¨og A cs´ ucsa, a m´asik k¨or´ıv k¨oz´eppontja az A cs´ uccsal szemk¨ozti oldal felez˝opontja.)
Ezt a lapot fogj´ak tartom´anyonk´ent sz´ınesre festeni. a) Sz´am´ıtsa ki egyenk´ent mindh´arom tartom´any 9´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2012 okt. 11; 3 pont)
127
ter¨ ulet´et, ha a = 2, 5 cm! Sz´am´ıt´asait legal´abb k´et tizedesjegy pontoss´aggal v´egezze, ´es az ´ıgy kapott eredm´enyt egy tizedesjegyre kerek´ıtve adja meg! b) H´anyf´ele m´odon festhet˝o sz´ınesre a kit˝ uz˝o, ha minden tartom´anyt a piros, s´arga, z¨old ´es k´ek sz´ınek valamelyik´ere festenek a k¨ovetkez˝o k´et felt´etel egy¨ uttes figyelembe v´etel´evel: (1) szomsz´edos tartom´anyok nem lehetnek azonos sz´ın˝ uek; (2) piros ´es s´arga sz´ın˝ u tartom´any nem lehet egym´as mellett. (Szomsz´edos tartom´anyoknak van k¨oz¨os hat´arvonala.)10 M: a) 2,7 cm2 , 0,6 cm2 , 1,9 cm2 b) 26 3.7.5. Feladat++
Egy ´ep´ıt˝ok´eszletben a rajzon l´athat´o n´egyzetes has´ab alak´ u elem is megtal´alhat´o. K´et ilyen 10 ´
Eretts´egi feladat (K¨ oz´ep; 2010 okt. 17; 6-11 pont)
128
´ep´ıt˝oelem illeszked´es´et az egyik elem tetej´en kiemelked˝o n´egy egyforma kis henger ´es a m´asik elem alj´an l´ev˝o nagyobb henger szoros, ´erintkez˝o kapcsolata biztos´ıtja. (Ez azt jelenti, hogy a hengerek tengely´ere mer˝oleges s´ıkmetszetben a nagyobb k¨ort ´erinti a n´egy kisebb k¨or, amelyek k¨oz´eppontjai egy n´egyzetet hat´aroznak meg.) Tudjuk, hogy a kis hengerek sugara 3 mm, az egym´as melletti kis hengerek tengely´enek t´avols´aga pedig 12 mm.
a) Mekkora a nagyobb henger a´tm´er˝oje? V´alasz´at millim´eterben, k´et tizedesjegyre kerek´ıtve adja meg!11 ´ Tipp: Erdemes pontos a´br´at k´esz´ıteni! M: 11 ´
Eretts´egi feladat (Emelt; 2013 m´ aj. 8a; 5 pont)
129
10,97 mm 3.7.6. Feladat++
Az ´abr´an egy mos´og´ep v´azlatos rajza l´athat´o. A kisebb, 1 cm sugar´ u ker´ek a motor tengely´ehez kapcsol´odik, ´es egy hajt´osz´ıj seg´ıts´eg´evel forgatja meg a mos´og´ep dobj´ahoz r¨ogz´ıtett, 20 cm sugar´ u kereket, amit˝ol a dob ´es benne a ruh´ak forognak mos´as k¨ozben. A k´et ker´ek tengelye p´arhuzamos, a tengelyek t´avols´aga 46 cm. (A hajt´osz´ıj a tengelyekre mer˝oleges s´ıkban van.) Milyen hossz´ u a feszes hajt´osz´ıj? 12
12 ´
Eretts´egi feladat (Emelt; 2013 m´ aj. 2; 13 pont)
130
M: 166 cm (2 · 41, 9 + 79, 9 + 2, 3) 3.7.7. Feladat++
Az ABCD der´eksz¨og˝ u ´erint˝otrap´ez AB ´es CD alapjai (CD kisebb, mint AD) hossz´anak o¨sszege 20. A be´ırt k¨ornek az alapokra nem mer˝oleges AD sz´arral vett ´erint´esi pontja negyedeli az AD sz´arat. Sz´am´ıtsa ki a trap´ez oldalainak hossz´at! 13 M: a ≈ 12, 68, b ≈ 9, 28, c ≈ 7, 32, d ≈ 10, 72 13 ´
Eretts´egi feladat (Emelt; 2005 okt. 6b; 12 pont)
131
Tartalomjegyz´ek 1. Vektorok kb. 2 tan´ora 1.1. Vektorok - bevezet´es . . . . . . . . 1.1.1. Vektorokkal kapcsolatos alapfogalmak . . . . . . . . . . . 1.1.2. Feladat 2 perc . . . . . . . . 1.1.3. Feladat 2 perc . . . . . . . . 1.2. M˝ uveletek vektorokkal . . . . . . . ¨ 1.2.1. Osszead´ as . . . . . . . . . . . 1.2.2. Kivon´as . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Vektor szorz´asa val´os sz´ammal 1.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Feladat+ 5 perc . . . . . . . 1.3.2. Feladat 9 perc . . . . . . . . 1.3.3. Feladat 9 perc . . . . . . . . 1.3.4. Feladat 10 perc . . . . . . . . 1.3.5. Feladat 3 perc . . . . . . . . 1.3.6. Feladat 3 perc . . . . . . . . 1.4. Egy´eb feladatok . . . . . . . . . . . 1.4.1. Feladat . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Feladat . . . . . . . . . . . .
132
5 5 5 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 15 16 17 17 17
2. Egybev´ag´os´agi transzform´aci´ok kb. 4 tan´ora 18 2.1. Tengelyes t¨ ukr¨oz´es . . . . . . . . . 20 2.1.1. Defin´ıci´o . . . . . . . . . . . 20 2.1.2. A tengelyes t¨ ukr¨oz´es tulajdons´agai 21 2.1.3. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4. Feladat 3 perc . . . . . . . . 23 2.1.5. Feladat 3 perc . . . . . . . . 23 2.1.6. Feladat 4 perc . . . . . . . . 25 2.1.7. Feladat 10 perc . . . . . . . . 26 2.1.8. Feladat 10 perc . . . . . . . . 27 2.1.9. Feladat 10 perc . . . . . . . . 27 2.1.10.Feladat 12 perc . . . . . . . . 29 2.1.11.Feladat 20 perc . . . . . . . . 30 2.1.12.Feladat+ 30 perc . . . . . . . 31 2.2. K¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es . . . . . . . 32 2.2.1. Defin´ıci´o . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. A k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es tulajdons´agai . . . . . . . . . . 32 2.2.3. K¨oz´eppontosan szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . 32 2.2.4. Feladat 3 perc . . . . . . . . 33 133
2.2.5. Feladat 4 perc . . . . . . . . 35 2.2.6. Feladat 2 perc . . . . . . . . 35 2.2.7. Feladat 4 perc . . . . . . . . 36 2.2.8. Feladat 3 perc . . . . . . . . 38 2.2.9. Feladat 5 perc . . . . . . . . 39 2.2.10.Feladat 9 perc . . . . . . . . 39 2.2.11.Feladat++ 9 perc . . . . . . 40 2.3. Pont k¨or¨ uli forgat´as . . . . . . . . 41 2.3.1. Defin´ıci´o . . . . . . . . . . . 41 2.3.2. A pont k¨or¨ uli forgat´as tulajdons´agai . . . . . . . . . . . 41 2.3.3. Forg´asszimmetrikus alakzatok 42 2.3.4. Feladat 6 perc . . . . . . . . 42 2.4. P´arhuzamos eltol´as . . . . . . . . . 43 2.4.1. Defin´ıci´o . . . . . . . . . . . 43 2.4.2. A p´arhuzamos eltol´as tulajdons´agai . . . . . . . . . . . 43 2.4.3. Feladat 5 perc . . . . . . . . 44 2.4.4. Feladat++ 9 perc . . . . . . 44 2.5. Egybev´ag´os´ag . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1. Defin´ıci´o . . . . . . . . . . . 45 2.5.2. A h´aromsz¨ogek egybev´ag´os´ag´anak alapesetei . . . . . . . . . . . 47 134
2.5.3. Soksz¨ogek egybev´ag´os´aga 2.5.4. Feladat+ 1 perc . . . . . 2.5.5. Feladat++ 9 perc . . . . 2.6. Egy´eb feladatok . . . . . . . . . 2.6.1. Feladat . . . . . . . . . . 2.6.2. Feladat . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
3. H´aromsz¨ogek, n´egysz¨ogek, soksz¨ogek, k¨or kb. 18 tan´ora 3.1. T´erelemek, sz¨ogek, t´avols´agok . . . 3.1.1. Feladat 2 perc . . . . . . . . 3.1.2. Egy´all´as´ u, v´alt´o ´es cs´ ucssz¨ogek 3.1.3. Feladat 3 perc . . . . . . . . 3.1.4. Mer˝oleges sz´ar´ u sz¨ogek . . . 3.1.5. Mell´ek, kieg´esz´ıt˝o ´es p´otsz¨ogek 3.1.6. P´elda . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Feladat 12 perc . . . . . . . . 3.1.8. Defin´ıci´o - t´avols´ag . . . . . 3.1.9. Feladat 8 perc . . . . . . . . 3.1.10.Feladat 12 perc . . . . . . . . 3.1.11.Feladat 6 perc . . . . . . . . 3.1.12.Feladat 6 perc . . . . . . . . 3.1.13.Feladat 3 perc . . . . . . . . 135
48 50 50 52 52 53 54 54 54 55 57 57 58 59 59 60 61 62 62 63 63
3.1.14.Feladat+ 15 perc . . . . . . . 3.2. Nevezetes ponthalmazok . . . . . . 3.2.1. Defin´ıci´o - k¨or ´es r´eszei . . . 3.2.2. T´etel . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. T´etel - felez˝o mer˝oleges . . . 3.2.4. Feladat 2 perc . . . . . . . . 3.2.5. T´etel - sz¨ogfelez˝o . . . . . . . 3.2.6. T´etel - Thalesz t´etele ´es megford´ıt´asa . . . . . . . . . . . 3.2.7. Feladat - k´et m´ertani hely 15 perc . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Feladat 6 perc . . . . . . . . 3.2.9. Feladat+ 5 perc . . . . . . . 3.3. H´aromsz¨og . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. T´etel . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. T´etel . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. T´etel-h´aromsz¨og egyenl˝otlens´eg 3.3.4. T´etel . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. T´etel . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. T´etel - Pitagorasz . . . . . . 3.3.7. A h´aromsz¨og nevezetes vonalai 3.3.8. Feladat 9 perc . . . . . . . . 3.3.9. Feladat 6 perc . . . . . . . . 136
64 64 64 65 66 66 67 67 69 76 76 78 78 79 79 79 81 81 82 85 86
3.3.10.Feladat 2 perc . . . 3.3.11.Feladat 2 perc . . . 3.3.12.Feladat 2 perc . . . 3.3.13.Feladat 60 perc . . . 3.3.14.Feladat 35 perc . . . 3.3.15.Feladat 25 perc . . . 3.3.16.Feladat 45 perc . . . 3.3.17.Feladat 10 perc . . . 3.3.18.Feladat 45 perc . . . 3.3.19.Feladat+++ . . . . 3.3.20.Feladat+++ . . . . 3.4. N´egysz¨ogek . . . . . . . . 3.4.1. Speci´alis n´egysz¨ogek 3.4.2. Feladat 12 perc . . . 3.4.3. Feladat 120 perc . . 3.4.4. Feladat 45 perc . . . 3.4.5. Feladat+++ . . . . 3.5. Soksz¨ogek . . . . . . . . . ´ 3.5.1. Erdekess´ eg . . . . . 3.5.2. T´etelek . . . . . . . 3.5.3. Feladat 25 perc . . . 3.5.4. Feladat 12 perc . . . 3.5.5. Feladat 6 perc . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86 87 87 88 88 89 90 92 93 94 96 96 96 103 104 106 108 109 109 109 110 112 113
3.6. K¨or ´es r´eszei . . . . . . . . . . . . 114 3.6.1. T´etelek . . . . . . . . . . . . 114 3.6.2. ´Ivm´ert´ek fogalma . . . . . . 117 3.6.3. Feladat - fok ´atv´alt´asa radi´anba 6 perc . . . . . . . . . . . . . 119 3.6.4. Feladat - ´atv´alt´as radi´anb´ol fokba 9 perc . . . . . . . . . 119 3.6.5. Feladat - k¨orcikk ker¨ ulete ´es ter¨ ulete 15 perc . . . . . . . 120 3.6.6. Feladat - k¨orcikk ker¨ ulete ´es ter¨ ulete 18 perc . . . . . . . 121 3.6.7. Feladat - k¨orcikk ker¨ ulete ´es ter¨ ulete 12 perc . . . . . . . 122 3.6.8. Feladat 40 perc . . . . . . . . 123 3.7. Egy´eb feladatok . . . . . . . . . . . 124 3.7.1. Feladat+ 12 perc . . . . . . . 124 3.7.2. Feladat . . . . . . . . . . . . 126 3.7.3. Feladat . . . . . . . . . . . . 127 3.7.4. Feladat+ . . . . . . . . . . . 127 3.7.5. Feladat++ . . . . . . . . . . 128 3.7.6. Feladat++ . . . . . . . . . . 130 3.7.7. Feladat++ . . . . . . . . . . 131
138
