Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 2006
MA2ACZMZ06DT
MATEMATIKA 2 didaktický test
Testový sešit obsahuje 20 úloh.
Pokyny pro vyplňování záznamového archu
Na řešení úloh máte 120 minut.
nalepte podle pokynů zadavatele na • Nejdříve vyznačené místo v záznamovém archu identifikační
Úlohy řešte v testovém sešitu.
štítek s čárovým kódem.
kterou považujete za správnou, zřetelně • Odpověď, zakřížkujte v příslušném poli záznamového archu.
Odpovědi pište do záznamového archu. Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je-li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body.
4
A
B
C
D
A
B
C
D
budete chtít následně zvolit jinou odpověď, • Pokud pečlivě zabarvěte původně zakřížkované pole a
zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D
U všech úloh/podúloh je právě jedna odpověď správná. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. V průběhu testování je povoleno používat Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického displeje.
4
A
B
C
D
jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav • Jakýkoli bude považován za nesprávnou odpověď.
zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše • Pokud odpověď považována za nesprávnou. na otevřené úlohy pište čitelně do • Odpovědi vyznačených oblastí v záznamovém archu
5
• Do barevných polí nic nevpisujte. • Pište modrou nebo černou propisovací tužkou. Zadání neotvírejte, počkejte na pokyn! MA2ACZMZ06DT -
Úloha 1 max. 2b. Najděte nejmenší přirozené číslo c takové, aby nejmenší společný násobek čísel c , 42 a 12 byl 252, tedy n ( c , 42,12 ) = 252 .
Úloha 2 max. 2b. 30 16 Vypočtěte číslo q , kde q = ( 6 ⋅10 + 3 ⋅10 ) :12 . Číslo q zapište rozvinutým zápisem v desítkové
soustavě, podobně jako je zapsán dělenec.
Úloha 3
Určete nejmenší hodnotu proměnné z ∈R , pro níž platí: z + 1 =
Úloha 4 Výraz V ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x + 1) je definován pro všechna x ∈R . 4.1
Pro která x je hodnota výrazu V ( x ) nulová?
4.2
Určete nejmenší hodnotu výrazu V ( x ) .
MA2ACZMZ06DT - 2
(
)(
z +5 −2 ⋅
)
max. 2b.
z +5 +2 .
max. 2b.
Úloha 5 Určete hodnotu neznámé t ∈R v rovnici 0,25t = 4 .
max. 2b.
Úloha 6 Upravte výraz a vypočtěte r , kde r = 0,5 ⋅ log4 100 − log4 5 .
max. 2b.
Úloha 7
max. 2b.
Určete hodnotu y ∈R , kde y = sin2 α + cos2 α , jestliže je sinα =
1 ⎛π ⎞ a α ∈⎜ ; π ⎟ . 2 ⎝2 ⎠
Úloha 8 Určete souřadnice středu S úsečky PQ dané parametrickým vyjádřením: PQ : x =1− t
y = 2t , kde t ∈ −5; 1 .
MA2ACZMZ06DT - 3
max. 2b.
Úloha 9 max. 2b. Desátý člen aritmetické posloupnosti je nulový ( a10 = 0 ). Určete podíl p nenulových členů a20 a a30 : a p = 20 . a30
Úloha 10 Vypočtěte číslo s : 2006! 2005! 2004 ! 2! 1! s= − + −…+ − . 2005! 2004 ! 2003! 1! 0!
max. 2b.
Úloha 11 max. 2b. V polorovině ABS najděte a vyznačte vrchol C trojúhelníku ABC , jehož vnitřní úhel při vrcholu C má velikost 45° a délka strany a ( = BC ) je shodná s délkou těžnice t c na stranu c ( = AB ). Všechna řešení vyznačte v obrázku uvedeném v záznamovém archu.
S
A
MA2ACZMZ06DT - 4
B
Úloha 12 max. 4b. Pozemek tvaru obdélníka má výměru 1 hektar. Jedna jeho delší strana je ohraničena řekou, pouze tři zbývající strany jsou oploceny. Délka plotu je 285 metrů. Jaké jsou rozměry pozemku? Do záznamového archu uveďte celé řešení.
S = 1 ha
MA2ACZMZ06DT - 5
Úloha 13 max. 5b. Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy „MOULA&spol.“, v němž stálo: Naše firma zhodnotí Vaše peníze! Za 100 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou investici v hodnotě 10 000 korun a více garantujeme 6% zisk za 100 dnů. Dokonce i investice pod 10 000 korun Vám přinese za 100 dnů 3% zisk. Chybí Vám peníze? Půjčíme Vám až 10 000 korun na 100 dnů! Teprve až uplyne celých 100 dnů, zaplatíte 15% úrok z půjčené částky.
Hermína by ráda investovala 10 000 korun, a proto zvažovala možnost půjčky. Zodpovězte následující otázky za předpokladu, že firma dostojí svým slibům. 13.1 Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500 korun? 13.2 O kolik korun se zvýší její zisk, pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 10 000 korun? 13.3 Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Naopak pro nízké částky je výhodnější investice bez půjčky. Pro jakou částku přinášejí obě možnosti (investice částky s půjčkou i bez půjčky) stejný zisk? Do záznamového archu uveďte celé řešení.
MA2ACZMZ06DT - 6
Úloha 14
max. 4b.
V R × R jsou dány funkce f : y = ( x + 4 ) a funkce g : y = 4 − log ( x − 3 ) . −2
Určete následující množiny: 14.1 definiční obor Df funkce f , 14.2 obor hodnot Hf funkce f , 14.3 definiční obor Dg funkce g , 14.4 obor hodnot Hg funkce g . Příslušné množiny vybírejte z následujících nabídek A–F: A)
R \ {−4}
B)
( −∞ ; 4 )
C)
( −∞; 4
D)
4; ∞ )
E)
( 4; ∞ )
F)
jiná možnost
Úloha 15 Na kuželosečce s ohnisky E , F leží bod X . Umístění bodů je v náčrtku. Z hodnot uvedených v A–F vyberte: 15.1 velikost delší poloosy, je-li kuželosečkou elipsa, 15.2 velikost kratší poloosy, je-li kuželosečkou elipsa, 15.3 velikost delší poloosy, je-li kuželosečkou hyperbola, 15.4 velikost kratší poloosy, je-li kuželosečkou hyperbola. A)
3
B)
2
C)
2⋅ 3
D)
3⋅ 3
E) F)
8 jiná hodnota
max. 4b.
X
6
E
Pozor! U hyperboly nemusí být hlavní poloosa delší než vedlejší poloosa.
MA2ACZMZ06DT - 7
10
F
Úloha 16 Stěnová a tělesová úhlopříčka v krychli vycházejí z téhož vrcholu. Jejich odchylka je ϕ . Které z následujících tvrzení je pravdivé?
2b.
2 2
A)
tgϕ =
B)
sinϕ =
2 2
C)
cos ϕ =
2 2
D)
cot gϕ =
2 2
Úloha 17 2b. Za půl roku zaplatila domácnost s Kč za spotřebovanou elektrickou energii. Měsíční poplatek za pronájem elektroměru byl přitom r Kč a spotřeba 1 kWh stála t Kč. Kolik kWh domácnost za toto období spotřebovala? A)
⎛ s + 6r ⎞ ⎜ ⎟ kWh ⎝ t ⎠
B)
⎛ t ⎞ ⎜ ⎟ kWh ⎝ s − 6r ⎠
C)
⎛ s − 6r ⎞ ⎜ ⎟ kWh ⎝ t ⎠
D)
⎛ 6r − s ⎞ ⎜ ⎟ kWh ⎝ t ⎠
MA2ACZMZ06DT - 8
Úloha 18 2b. Průměry kružnic jsou úsečky KL a AB . Určete koeficient podobnosti k (0 < k < 1) daných trojúhelníků. A) B) C) D)
8 15 3 k= 5 2 k= 3 jiná hodnota k=
C
L
8 15 9
Úloha 19 Které z následujících tvrzení je pravdivé?
B) C) D)
lim
3+n
n→∞ 4 + n
lim
=
n→∞
( 2n + 4 )
lim
3n 3 = 4 n2 4
n→∞
lim
n→∞
2
B
=
3n ⋅ ( 3n + 1)
3 4
4 n ⋅ ( 4 n + 1)
=
K
2b.
3 4
3n2
α
α M
A)
A
3 4
MA2ACZMZ06DT - 9
Úloha 20 Hází se dvěma hracími kostkami s 1, 2 až 6 oky na stěnách. Označme následující jevy: J: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o jednotku. D: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o dvě. T: Počty ok, které padnou na obou kostkách, se liší o tři. S: Na obou kostkách padne stejný počet ok. Pravděpodobnosti jednotlivých jevů označme po řadě P ( J ) , P ( D ) , P ( T ) , P ( S ) .
max. 3b.
Rozhodněte, jsou-li následující tvrzení pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE). 1 6
20.1
P (S) =
20.2
P ( J ) > P (D)
(ANO–NE)
20.3
P ( S ) ≠ P (T )
(ANO–NE)
20.4
P ( D ) = P (T )
(ANO–NE)
(ANO–NE)
KONEC TESTU
MA2ACZMZ06DT - 10
