Kwantitatieve Analyse
Maatstaf voor rentegevoeligheid weer actueel
De ‘duration’ van aandelen
________________________________________________________________________________________________________________________ tekst: Erik L. van Dijk en Harry Geels
De nieuwe boekhoudkundige regels stellen steeds meer het marktwaardedenken centraal. Dat wil zeggen dat zowel de activa als de passiva moeten worden gewaardeerd tegen de actuele marktwaarde. Vooral voor pensioenfondsen betekent dit een enorme omschakeling. Tot 1 januari 2006 kunnen zij hun verplichtingen (ofwel de toekomstige uitkeringen aan gepensioneerden) op de balans zetten door deze contant te maken tegen een vaste rekenrente van 4%. Vanaf begin 2006 kan dat niet meer en moeten ze de marktwaarde van de verplichtingen gaan opvoeren. Is er bovendien sprake van een zogenoemde Defined Benefit-regeling (met de pensioengerechtigden is dan in principe een bepaald vast pensioen, al dan niet geïndexeerd afgesproken), dan geldt eveneens dat een tekort of overschot van een pensioenfonds op de balans van de moeder of sponsor moet worden getoond. De vigerende rente gaat dus direct de resultaten beïnvloeden, zowel bij ondernemingen als pensioenfondsen.
Rente-invloed Voorheen was een dalende rente goed voor de beleggingen. Immers, de waarde van de obligatieportefeuille nam daardoor toe en ook aandelen gedijen in principe beter in een klimaat van lagere rentestanden. Maar bij de nieuwe regels die voorschrijven dat ook de verplichtingen tegen marktwaarde moeten worden gewaardeerd, pakt een dalende rente – althans voor de dekkingsgraad van het pensioenfonds – verkeerd uit. Immers, door een dalende rente wordt de contanIn de rubriek Kwantitatieve Analyse te waarde van de verplichtingen groter. worden de resultaten van opmerkelijke Hoewel door een dalende rente enerzijds wetenschappelijke onderzoeken de waarde van de activa zal stijgen, zal beschreven en vertaald in praktische consequenties voor de financiële wereld. anderzijds de waarde van de verplichtinERIK L. VAN DIJK is CIO (chief investment gen stijgen. Hoe een en ander uitwerkt officer) van Compendeon b.v. heeft te maken met de rentegevoeligheid HARRY GEELS is senior investment manager bij Compendeon, een van de activa en de passiva, die – zoals onafhankelijk bedrijf dat pensioenfondsen gezegd – kan worden gemeten met de ondersteunt bij hun pensioenmanagement en beleggingsvraagstukken duration. De duration van de verplichtin(
[email protected]). gen hangt sterkt af van de tijdstippen
28
waarop de deelnemers van het pensioenfonds met pensioen gaan. Een pensioenfonds dat nog niet zo lang bestaat en waar relatief jonge werknemers werken, heeft een veel langere duration dan een oud bedrijf dat reeds veel (aanstaande) gepensioneerden heeft. Gemiddeld ligt de duration van de verplichtingen tussen tien en twintig jaar. Nu ontstaat het probleem: aan de actiefzijde van de pensioenbalans is de duration van de obligatieportefeuille doorgaans (beduidend) lager en over de duration van aandelen bestaat veel verwarring. Deze wordt daarom door velen (gemakshalve) op nul gesteld. Kortom: er is sprake van een (veel) lagere duration bij de beleggingen dan bij de verplichtingen. Een rentedaling is daarom slecht voor de dekkingsgraad! Zowel (beursgenoteerde) ondernemingen alsook pensioenfondsen zijn thans aan het zoeken naar manieren om het risico van een rentedaling af te dekken. Om precies te weten wat er te doen staat, moet men een goede berekening maken van de duration, zowel die van de verplichtingen als die van de beleggingen. Voor obligaties is de duration redelijk eenvoudig te bepalen (zie kader), maar als het om de andere beleggingscategorieën als aandelen, vastgoed, en dergelijke gaat, wordt het mathematisch gezien een stuk lastiger, wat nog wordt versterkt door de nodige tegenstrijdige visies.
erwijl de ‘duration’ een vaak gebruikte maatstaf is om de rentegevoeligheid van obligaties te meten (zie kader aan het einde van dit artikel), is deze maatstaf veel minder in zwang bij aandelen. Met de komst van IFRS en de nieuwe regels voor pensioenfondsen in 2006 (het zogenoemde nieuwe Financiële Toetsingskader: nFTK) blijkt de duration van aandelen ineens weer een heel actueel onderwerp te zijn. In dit artikel wordt uitgelegd waarom de duration van aandelen opnieuw in de belangstelling staat en hoe de duration voor aandelen kan worden uitgerekend, een onderwerp dat niet helemaal onomstreden is.
T
technische en kwantitatieve analyse • april 2005
Verschillende meningen In 1986 baarde Leibowitz opzien met een studie in het septembernummer van de Financial Analyst Journal met als titel ‘Total Portfolio Duration: A New Perspective on Asset Allocation’. Leibowitz stelde dat de empirisch geschatte varianties en covarianties van aandelen en obligaties gebruikt konden worden om een positieve duration van aandelen te kunnen schatten, en wel met een grootte van ongeveer twee jaar. Het hoofd van de kwantitatieve ‘research desk’ van Goldman Sachs Asset Management – een van de grootste en meest gezaghebbende kwantitatieve afdelingen in de financiële wereld –, Bob Litterman, stelt in IPE van februari 2005 echter dat de studie van Leibowitz tegenwoordig minder waarde heeft. Het onderzoek van Leibowitz vond, volgens hem, namelijk plaats in een periode dat obligaties en aandelen een min of meer gelijke correlatie met de rente hadden. Zowel voor aandelen als obligaties was een stijgende rente slecht en een dalende rente goed. Litterman stelt echter dat de laatste jaren de rendementen van obligaties en aandelen negatief
LINK TUSSEN GROEIVOET VAN DIVIDEND EN RENTE (1939-2004)
Figuur 1: De link tussen de groeivoet van het dividend en verandering in de rente is bijna altijd positief (hogere rente betekent een hoger dividend). Alleen in de periode 2000-2001 werd hij zwaar negatief: de rente ging in die periode naar beneden, maar de koersen ook, waardoor het dividendrendement bijna automatisch steeg.
De berekening van de duration van aandelen is complexer dan die van obligaties
zijn gecorreleerd. De duration van aandelen zou daarom sinds 2001 negatief zijn. Litterman laat bovendien zien dat – door de aandelenrendementen te regresseren op de 10-jaars Treasury-yield – de duration van aandelen erg instabiel is. Hij concludeert vervolgens dat de duration van aandelen niet geschikt is om te gebruiken in een context van duration-matching (ofwel het afstemmen van de duration van de verplichtingen op die van de beleggingen). Dat is volgens Litterman ook helemaal niet erg, omdat met behulp van derivaten als Interest Rate Swaps (IRS’en) het renterisico ofwel een eventuele duration-gap prima kan worden geminimaliseerd. UCLA-professor Bradford Cornell toont in zijn studie ‘Equity Duration, Growth Options, and Asset Pricing’ in de Journal of Portfolio Management van het voorjaar van 2000 aan dat het voor de berekening van de duration uitmaakt wat voor soort regressie men uitvoert. Hij laat zien dat als je de 10-jaars Treasury-yield regresseert op het rendement van 25 verschillende aandelenportefeuilles (gerangschikt naar marktkapitalisatie) en op het rendement van vijf aandelenportefeuilles (gerangschikt naar boekwaarde per aandeel), je een negatieve duration1 krijgt. Voor kleinere of groeiaandelen bleek overigens de duration duidelijk minder negatief te zijn dan voor grotere of waardeaandelen. Cornell toont echter aan dat als je de regressie uitbreidt met andere variabelen – dus een multivariabele regressie uit-
voert – de resultaten anders worden. Als het marktrendement als verklarende variabele2 voor het aandelenrendement wordt toegevoegd, dan wordt de duration positief, althans voor kleine tot middelgrote ondernemingen. Voor grote ondernemingen blijft de duration negatief3. Wordt een regressie uitgevoerd op basis van een meerfactorenmodel, waarbij behalve de rente en het marktrendement ook de grootte van de onderneming en de boekwaarde per aandeel als verklarende factoren worden opgenomen – het zogenoemde FamaFrench-model –, dan ontstaan er voor de 25 op marktkapitalisatie gerangschikte portefeuilles, wisselende durations (dan weer net negatief, dan weer net positief), die bij bijna alle portefeuilles niet significant van nul afwijken. Ons model Uit de vorige paragraaf blijkt dat er dus verschillende uitkomsten en visies zijn ten aanzien van de vraag hoe groot nu de duration van aandelen is. De berekening van de duration van aandelen is complexer dan die van obligaties en wel om twee redenen: 1. De looptijd van aandelen is oneindig (n= ∞). 2. Terwijl er ‘zekerheid’ is over de te ontvangen coupons en aflossing van obligaties, is die er niet over het te ontvangen dividend. Door echter gebruik te maken van de Macaulayduration (zie kader ‘De duration van obligaties), het Dividend Discount-model (DDM)4 ter bepaling van de waarde van het aandeel en een tweetal correcties (voor de correlatie tussen renteveranderingen en de groeivoet van het dividend enerzijds en voor de non-stationariteit van de groeivoet van het dividend anderzijds), is het volgens ons toch goed mogelijk om de duration voor aandelen te bepalen. We omzeilen zo bovendien de problematiek die samenhangt met de regressieanalysen. De regressie-uitkomsten verschilden immers al naar gelang het prijsverklaringsmodel dat werd gebruikt. Het DDM zegt dat de waarde van een aandeel (P0) op dit moment gelijk is aan de contante waarde van de toekomstige kasstromen, ofwel dividenden. In formulevorm: (1) waarbij ‘g’ de groeivoet van het dividend is en ‘k’
1
Een negatieve ‘duration’ betekent dat een rentestijging positief doorwerkt in de waarde van aandelen. Zoals in het aparte kader over de berekening van de duration van obligaties is te lezen, is de rentegevoeligheid immers de inverse van de duration. 2 Het marktrendement is de enige verklarende rendementsfactor in een CAPM-setting. 3 In een studie van Hevert, McLaughlin en Taggert (1998) wordt eveneens geconcludeerd dat groeiaandelen (met een lage boekwaarde per aandeel) een positieve duration hebben en dat waardeaandelen (met een hoge boekwaarde per aandeel) een lage of negatieve duration hebben. Overigens twijfelt Cornell aan de significantie van deze uitspraak, gezien de kleine steekproef, maar acht hij het goed mogelijk dat het boekwaarde-effect feitelijk kan worden gezien als een size-effect. En dat kleinere ondernemingen meer groeiopties hebben. Uit het kader met de duration-berekening van obligaties weten we dat de duration langer wordt naarmate er langer moet worden gewacht op inkomsten. 4 Het DDM is een goed model om de langetermijnwaarde van een aandeel te bepalen. Alleen zal in de praktijk de werkelijke koers – onder andere door fricties en psychologische verschijnselen – kunnen afwijken van de theoretische langetermijnwaarde. april 2005 • technische en kwantitatieve analyse
29
Kwantitatieve Analyse
de disconteringsvoet (=rente + risico-opslag). Tevens staat DI0 voor het dividend op tijdstip 0. Omdat t naar ∞ gaat, geldt: (2) Nu pakken we de Macaulay-duration (zie kader Duration van obligaties) er nogmaals bij: (3) aangezien ∂(1+k) gelijk is aan ∂k geldt: (4) Na enige algebra blijkt dit hetzelfde te zijn als: (5) ∂P0/∂k staat gelijk aan de afgeleide van P0 naar de marktrentedisconteringsvoet. We moeten dus nu de afgeleide bepalen van DI0*(1+g)/(k-g)-1. Die is gelijk aan: DI0*(1+g) * -1 * (k-g)-2 * 1 Ofwel: (7) Vullen we dit in de durationformule die we tot nu toe hebben in, dan krijgen we: (8) Stel nu dat de disconteringsvoet 7% is en de groeivoet van het dividend 4%, dan zou, althans op basis van de hier gegeven nog niet volledige formule, de duration gelijk zijn aan 35,67. Een alternatieve weergave van de Macaulay-duration van aandelen is de volgende: (9) ofwel de duration is de reciproque van het dividendrendement + 1. Dat dit klopt, kan worden ingezien door voor P0 in te vullen: DI0 * (1+g)/(k-g), zijnde de eerder berekende waarde van het aandeel. We krijgen dan: (10) Als we nu de DI0’s tegen elkaar wegstrepen en voor 1 invullen (k-g)/(k-g), dan resulteert:
(11) Waarom willen we graag bewijzen dat de duration eigenlijk gelijk is aan de reciproque van het dividendrendement +1? Wel, omdat deze formule eenvoudiger oogt en ten tweede omdat ze zich
30
technische en kwantitatieve analyse • april 2005
gemakkelijker leent om verder te bewerken. We moeten namelijk, zoals gezegd, nog een tweetal correcties doorvoeren, omdat er bij aandelen, zoals eerder opgemerkt, meer onzekerheid is over de te ontvangen bedragen dan bij obligaties. Die onzekerheid zal ervoor zorgen dat de duration lager zal liggen dan we op basis van bovenstaande standaardformules, gebruikmakend van onder andere het DDM, kunnen bepalen. We noemen de volgende drie factoren: 1. De correlatie tussen de groeivoet van het dividend en de rente. Het is aannemelijk dat de stand van de rente invloed uitoefent op de hoogte van het dividend. We moeten dus de duration aanpassen voor deze afhankelijkheidsrelatie. Hiervoor zullen we een correctiefactor (C1) introduceren. 2. Als we de duration uitrekenen, werken we met een constante, tijdsonafhankelijke disconteringsvoet ‘k’ die gelijk is aan Rf (risicovrije rente) plus een zogenoemde risicopremie voor aandelen. In de praktijk zal zowel Rf als de risico-opslag niet stabiel zijn in de tijd. Er ontstaat met andere woorden een volatiliteit in de factor k. Deze volatiliteit introduceert een additionele bron van onzekerheid, wat zich vertaalt in een lagere duration, net als in feite een hogere disconteringsvoet sec zal leiden tot een lagere duration. 3. Een andere belangrijke factor is de instabiliteit van de groeivoet in het dividendrendement ‘g’. Dit is ook weer een gemiddelde schatting die echter in de tijd zal variëren. Ook dit zorgt voor een extra element aan onzekerheid dat zich zal vertalen in een verlaging van de duration. Voor de variabiliteit en non-stationariteit in de ‘k’ en ‘g’ zullen we een correctiefactor C2 introduceren. Eerste correctiefactor In bovenstaande weergaven van de duration wordt verondersteld dat de groeivoet van het dividend en de disconteringsvoet/rente onafhankelijk zijn. Dit lijkt niet reëel. Het is aannemelijk dat er wel degelijk een verband is tussen de groei van het dividend en de rente of disconteringsvoet ‘k’. De duration van aandelen moet daarom met de volgende, eerste van de twee, correctietermen (C1) worden vermenigvuldigd: (12) In deze berekening wordt dus het huidige dividendrendement vermenigvuldigd met de afgeleide van de groeivoet van het dividend naar de disconteringsvoet. In de eerder beschreven empirische studies werd gesteld dat de duration van aandelen veel lager is dan een getal als 35. Dat kan dus alleen als de verhouding ∂g/∂k (de afgeleide van ‘g’ naar ‘k’) positief is. Met andere woorden: als een rentestijging zich ook in een stijging van de groeivoet van het dividend moet vertalen! Dit lijkt een anomalie – immers, een rentestijging lijkt slecht voor de winst van een onderne-
ming –, maar volgens Hallerbach (1991) en Cornell (1999) is er wel degelijk een verklaring voor dit positieve dividendeffect. Aandelen moeten voor de gunst van de belegger namelijk concurreren met de andere assetcategorieën. Als beleggers een hogere rentevergoeding krijgen, moet er eigenlijk meer dividend worden betaald om aandelen relatief aantrekkelijk te houden. Een hogere rente gaat op de lange termijn bovendien gepaard met slechtere aandelenmarkten. Onderzoek van John Lintner uit de jaren vijftig en zestig heeft aangetoond dat bedrijven de neiging hebben om de payout-ratio (ofwel het percentage van de winst dat aan aandeelhouders wordt uitgekeerd) in een slecht klimaat te laten stijgen – er zijn immers toch geen goede investeringsalternatieven – en de neiging hebben om in een goed klimaat de payout-ratio te laten dalen. Kortom: op lange termijn gaan een slecht aandelenklimaat, een stijgende rente en stijgende payout-ratio’s (en vice versa) vaak hand in hand. En dat kan zich dan vertalen in een positieve relatie tussen de groeivoet van het dividend, g, en de disconteringsvoet, k. Voor wie dit (positieve relatie tussen rente en groeivoet van dividend) toch HET VERLOOP VAN CORRECTIEFACTOR C2 (1949-2004)
Figuur 2: De correctiefactor C2 is in de loop der jaren langzaam opgelopen. Dit heeft in principe een durationverlagend effect.
VERLOOP NIET GECORRIGEERDE EN WEL GECORRIGEERDE (CORRECTE) DURATION (1949-2004)
vreemd vindt, kan ook de volgende alternatieve uitleg helpen. In een periode van stijgende rentestanden wordt de zogeheten ‘cut-off rate’ voor investeringsprojecten, die gelijk is aan de risicovrije rente plus een risico-opslag, hoger. Gegeven een bepaald feitelijk rendement op investeringen, zijn er dan dus relatief minder projecten die zullen worden uitgevoerd. Het terugschroeven van de investeringsuitgaven wordt dan dus kennelijk voor een deel gebruikt voor een relatieve verhoging van het dividend via een verhoging van de payout-ratio. In perioden van dalende rentestanden gebeurt dan het omgekeerde. Overigens is ∂g/∂k niets anders dan de hellingscoëfficiënt van een regressie tussen de disconteringsvoet ‘k’ en de groeivoet van het dividend ‘g’. Wij stellen voor om 120 maandobservaties te nemen om deze regressie te bepalen. In figuur 1 (pagina 31) hebben we de relatie tussen g en k uitgerekend voor de S&P500-index over een zeer lange periode. En inderdaad blijkt de relatie meestal positief te zijn. Zoals in de formule van C1 te zien is, speelt ook het dividendrendement (DI0/P0) een belangrijke rol bij correctiefactor C1. Zoals gezegd zal in relatief slechte beurstijden het dividendrendement de neiging hebben op te lopen en in relatief goede beursjaren de neiging hebben weer kleiner te worden. Aangezien factor C1 zal worden vermenigvuldigd met de oorspronkelijke durationformule, ontstaat dus een hogere duration in betere beurstijden en een lagere in slechtere tijden. Met andere woorden: in goede tijden is de rentegevoeligheid groter dan in slechtere tijden. In betere tijden hebben beleggers de neiging om bepaalde risicofactoren een grotere rol te laten spelen. In zekere zin is dit ook logisch. Wanneer de markten (erg) bullish zijn, zijn de ‘downside’ risico’s (bijvoorbeeld ten gevolge van de schokken van de rente) groter dan wanneer de markten (erg) laag staan. De neerwaartse risico’s in een slechte markt zijn niet zo groot. De rentegevoeligheid, dus de duration, van de markt is dan ook kleiner. De tweede correctie De tweede correctiefactor (C2) wordt ook wel de surplusgroeifactor genoemd. Deze surplusgroeifactor, SurplusG, kan worden afgeleid door de normale of fictieve aandelenkoers te vergelijken met de werkelijke aandelenkoers. SurplusG kan als volgt worden bepaald: (13)
Figuur 3: De donkere lijn geeft de correcte, tweemaal gecorrigeerde duration weer die de laatste veertig jaar zo rond een waarde van 13-20 heeft gefluctueerd. De andere, lichtere lijn geeft de ongecorrigeerde duration weer.
Als de werkelijke koers in de markt P hoger ligt dan het normale niveau P’, gebaseerd op een gemiddelde waarde voor g en k (wij stellen voor om de gemiddelde waarde te bepalen aan de hand van een 15-jaars gemiddelde), dan nemen marktparticipanten impliciet aan dat de groeiniveaus hoger zullen zijn dan het historisch gemiddelde. Het omgekeerde geldt als P < P’. Anders geformuleerd: als de koersen heel hoog staan in relaapril 2005 • technische en kwantitatieve analyse
31
Kwantitatieve Analyse
tie tot wat men op basis van de normale groeivoet van het dividend en de normale k zou verwachten, dan bereikt C2 een hoge waarde en als de markt weinig (surplus)groei verwacht, bereikt C2 een lage waarde. In de periode 1960 tot en met 1990 heeft Japan bijvoorbeeld een erg hoge surplusgroeifactor gekend. In die tijd onderging Japan een transformatie van een emerging-market naar een industrieland. De winstgevendheid van de grote ondernemingen nam sterk toe, maar het dividend werd niet of nauwelijks verhoogd (in feite een vorm van dividendstabilisatie). Het dividendrendement daalde tot onder 1%. De verwachting van de markt was dus klaarblijkelijk dat de enorme winstreserves vroeg of laat in de vorm van dividend naar buiten moesten komen. Immers, de feitelijke marktprijs was fors hoger dan de marktprijs die we op grond van het gerealiseerde dividendrendement zouden verwachten. Hoe bepalen we overigens nog de gemiddelde k? Deze kan immers niet direct worden waargenomen. We zullen in ons onderzoek de volgende formule gebruiken voor de gemiddelde k. (14) Rf kan direct worden waargenomen. Daarvoor gebruiken we een 15-jaars gemiddelde van de risicovrije lange obligatierente. De gemiddelde risicopremie π kan niet direct worden waargenomen. Hiervoor zullen we nemen de schattingen van professor Aswath Damodaran (New York University), zoals afgebeeld in tabel 1. De duration van de S&P500-aandelen De formule voor de duration van aandelen inclusief de twee correctiefactoren is nu: (15) Opvallend aan deze formule is dat een hoge waarde van C2 de duration zal verlagen. Uit de vorige paragraaf bleek dat een hoge waarde van C2 samenhangt met koersen die relatief hoger liggen dan men op basis van de gemiddelde k en g zou verwachten. Beleggers verwachten vroeg of laat dat de steeds winstgevender wordende bedrijven hun winsten zullen gaan uitkeren. Dat C2 dan toch de duration zal verlagen, kan alleen worden verklaard als beleggers inderdaad verwachten dat het geld naar hen toe zal komen, ongeacht wat de rente ook zal doen. Anderzijds is C2 welbe5
schouwd een correctie op de reciproque van het dividendrendement. In goede beurstijden is het dividendrendement (erg) laag, dus de reciproque (erg) hoog. Feitelijk is C2 niet meer dan een tempering. In figuur 2 (pagina 33) hebben we de waarde van C2 afgebeeld over de periode 1949 tot begin 2005. Er vallen twee zaken op. De waarde van C2 loopt op in de tijd. Met andere woorden: de beurs is duurder dan men op basis van de normale (historische) groei van het dividend en de normale (historische) disconteringsvoet5 zou verwachten. Een oorzaak hiervan zou kunnen zijn dat de groeivoet van het dividend in het verleden groter was dan nu, iets dat wellicht kan worden verklaard uit het feit dat veel bedrijven in plaats van dividend uit te keren, aandelen zijn gaan inkopen. Overigens heeft een hogere waarde voor C2, zoals gezegd, een verlagend effect op de duration. De factor C2 moet ook wel oplopen in de tijd, omdat – door het lagere dividend in de loop der jaren – het dividendrendement is gedaald (dus de reciproque is gestegen). De oplettende lezer zal wellicht zijn opgevallen dat we de waarde van C2 hebben afgekapt op respectievelijk 0,2 en 5. Lagere waarden dan 0,2 werden gelijkgesteld aan 0,2 en hogere waarden dan 5 werden op 5 gesteld. Dit deden we om een te grote grilligheid van de factor C2, bijvoorbeeld ten gevolge van psychologische factoren of van het feit dat in een DDM-model bepaalde eisen moeten worden gesteld aan de langetermijnwaarde van (k-g)6, weg te nemen. Tot slot geven we het verloop van de gecorrigeerde duration (en de niet gecorrigeerde duration) over de naoorlogse periode weer in figuur 3 (pagina 33). Het blijkt dat de correcte, gecorrigeerde duration (donkere lijn) de laatste 40 jaar stabiel schommelt tussen 13 en 20, een positieve en relatief lange duration dus. Alleen in de jaren vlak na de oorlog was de duration tamelijk grillig, omdat het hier – rekening houdend met ons 15-jaars tijdsvenster voor berekeningen – een calculatie betrof die betrekking had op een periode waarin de wereld (en daarmee dus ook de Amerikaanse beurs) heftig werd beïnvloed door herstel na de eerste beurskrach in het begin van de jaren ’30, de depressie gedurende datzelfde decennium, een wereldoorlog en daarna het begin van de wederopbouw. Niet bepaald een gemiddelde 15jaars periode. De niet gecorrigeerde duration (de reciproque van het dividendrendement +1), zoals die kan worden afgeleid met behulp van DDM
Voor alle duidelijkheid willen we overigens vermelden dat we gekozen hebben voor een vaste risico-opslag van 5,5% (naar Damodaran). Het is natuurlijk zo dat deze risico-opslag de neiging heeft in de loop der tijd te veranderen en wellicht zelfs lager kan worden. We hebben een scenario-analyse van de risicopremie hier verder achterwege gelaten. Een risicopremie van 0 zal er overigens voor zorgen dat de duration nog langer wordt. 6 Economisch gezien moet het zo zijn dat over voldoende lange intervallen (k-g) voldoende positief is. Over relatief te korte intervallen kan (k-g) extreem hoog of laag of zelfs negatief worden. Dit kan dan leiden tot extreem hoge of lage, zelfs negatieve waarden van C2. Omdat zelfs bij het gebruik van 15-jaars gemiddelden geen 100% zekerheid bestaat aangaande de gevoeligheid voor deze extremiteiten, hebben wij gekozen voor hantering van afkapgrenzen, waarbij wordt verondersteld dat een ‘normale’ afwijking tussen beurskoersen (feitelijk) en beurskoersen op basis van een langetermijnmodel een factor 5 (bovengrens) respectievelijk 1/5 (ondergrens) zal zijn.
32
technische en kwantitatieve analyse • april 2005
TABEL 1: RISICOPREMIES PER LAND VOLGENS DAMODARAN Karakteristieken financiële markt
Premie boven rendement obligaties
- emerging-markets met politiek risico - emerging-markets (Mexico en Azië, behalve Japan) - ontwikkelde landen met grote variëteit aan beursnoteringen - ontwikkelde landen met beperkte beursnoteringen (Europa, met uitzondering van Duitsland en Zwitserland) - ontwikkelde stabiele economieën met beperkte beursnoteringen (Duitsland, Zwitserland)
8,50% 7,50% 5,50% 4,5 - 5,5% 3,50%
(zie de lichte lijn uit figuur 3), heeft de neiging om juist de laatste jaren op te lopen. En het was overigens dit fenomeen dat aanhangers (Litterman e.a.) van de regressiemethodiek munitie gaf om de op DDM-gebaseerde standaarddurationberekening voor aandelen af te schieten. Wij tonen echter aan dat de DDM-benadering met een aantal correcties wel stabiel is. Tot besluit De duration van aandelen is een niet onomstreden onderwerp, maar wel een onderwerp dat door de nieuwe regels voor pensioenfondsen (nFTK) weer volop in de belangstelling is komen te staan. Recentelijk heeft een aantal bekende analisten gezegd dat we de duration van aandelen beter op nul kunnen zetten. Ze beroepen zich op uitkomsten uit redelijk eenvoudige regressies. Cornell toonde echter aan dat de uitkomsten van regressies nogal verschillen al naar gelang het
prijsvormingsmodel dat men gebruikt. Wij hebben aangetoond dat op basis van het DDM en een aantal correcties wel degelijk een ruim positieve duration – althans voor de S&P500-index – kan worden berekend. Deze methodiek zit naar onze mening economisch logisch in elkaar en leidt bovendien tot een uitkomst die ook logisch is. Een aandeel heeft namelijk kenmerken van een obligatie, alleen met dat verschil dat aandelen een in principe oneindige looptijd hebben (wat durationverlengend werkt ten opzichte van obligaties) met een onzeker dividend en een in de tijd fluctuerende disconteringsvoet (wat durationverlagend werkt ten opzichte van obligaties). Een duration van nul lijkt op basis van ons model alsmede op grond van de economische logica, niet juist. Natuurlijk moet men dit wel op portefeuilleniveau zien. Op individueel aandelenniveau nemen de onzekerheden inderdaad een dermate grote vorm aan dat de duration zich dan lastiger laat berekenen. Maar aangezien iedere verstandige belegger uit het oogpunt van risicodiversificatie een portefeuille met aandelen aanlegt, speelt dit probleem niet en kunnen we stellen dat een aandelenportefeuille in principe een positieve duration heeft. Hoe groot hangt af van het land, maar een duration van 10 lijkt voor westerse beurzen een redelijk zekere ondergrens. Het verkopen van aandelen omdat ze de durationproblematiek zouden vergroten, is dan ook een onverstandige strategie.
De duration van obligaties De duration van obligaties wordt weergegeven door middel van de volgende formule:
waarbij C de coupon en A de aflossing is op tijdstip n. Wat er in feite boven de streep (teller) staat, is een tijdgewogen contante waarde van elk bedrag dat ontvangen wordt. Er wordt ‘t’ maal een coupon ontvangen en elke coupon wordt vermenigvuldigd met het tijdstip waarop het geld wordt ontvangen en dit wordt vervolgens elke keer contant gemaakt. De noemer is niets anders dan de contante waarde van alle coupons, ofwel de theoretische waarde van de obligatie. De duration is eigenlijk een soort looptijdbegrip, maar is wel beter dan de gewone resterende looptijd, althans als het erom gaat de rentegevoeligheid te meten. Het maakt immers nogal wat uit wanneer en hoeveel er telkens wordt ontvangen. Hebben we twee leningen met dezelfde looptijd maar met een verschillende coupon, dan zal de lening met een hogere coupon een lagere duration hebben. Door de hogere couponvergoeding wordt als het ware de tijd dat op ‘vergoeding’ moet worden gewacht, kleiner. Bij een lagere coupon is de relatieve importantie van de aflossing aan het einde van de looptijd groter. De rentegevoeligheid van een obligatie is nu niets anders dan de inverse van de duration. Stel nu dat een obligatie een duration heeft van 5,61 en de rente stijgt van 6 naar 7%. Dan is de waarde van de verandering – 5,61 (inverse van de duration) * 0,94% (=100 basispunten stijging gedeeld door 1,06) – 5,27%. Als men deze berekening goed tot zich laat doordringen, dan kan aannemelijk worden gemaakt dat de duration gelijk is aan:
Ofwel de duration is gelijk aan de verandering van de koers van de obligatie gedeeld door de koers van de obligatie (procentuele waardeverandering) en gedeeld door het quotiënt van de renteverandering en de (oude) stand van de rente. Ingevuld voor ons voorbeeld: 5,61 = - Procentuele waardeverandering (= x) / 0,94 ofwel: x = 5,61 * -0,94 = -5,27% Dit wordt ook wel de Macaulay-duration genoemd. De hier gepresenteerde durationberekeningen zijn gebaseerd op een lineaire relatie tussen de marktrente en de marktwaarde van de obligatie. Dit is in de praktijk niet zo. In werkelijkheid is de relatie rente en waarde convex, maar voor kleine stapjes in de renteverandering – wat de praktijk is – werkt de duration prima. We kunnen de formule niet loslaten op een situatie waarin de rente plotsklaps stijgt van 6 naar 11%, maar dit komt, zoals gezegd, zelden of nooit voor. In de praktijk wordt ook wel gebruikgemaakt van de modified duration, in formulevorm:
Het voordeel van deze berekening is dat men renteveranderingen niet hoeft om te rekenen als ∆ rente/(1+r). Eerder beschreven we een situatie van een obligatie met een duration van 5,61 en een stijging van de rente van 5 naar 6%. De Dmod is nu gelijk aan 5,61/(1,06) = 5,29. De waardeverandering van de obligatie is nu -5,29*1% = -5,29%.
april 2005 • technische en kwantitatieve analyse
33
