M - Matematika - třída 2SAB - celý ročník

M - Matematika - třída 2SAB celý ročník

Kompletní učebnice obsahující veškeré učivo 2. ročníku.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

M - Matematika - třída 2SAB - celý ročník

1

± Stereometrie - Vzájemná poloha

Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy.

Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být:

• • •

rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné)

• •

Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé.

•

• •

•

± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol

Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: 2

S = 6.a 3 V=a us = a.Ö2 ut = a.Ö3

... ... ... ...

S je povrch krychle, a je hrana krychle V je objem krychle, a je hrana krychle us je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle ut je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle

Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce:

5.11.2006 16:46:17

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 63


1

Použité veličiny: a, b, c ... délky hran kvádru S ... povrch tělesa V ... objem tělesa us ... stěnová úhlopříčka ut ... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c 2 2 us = Ö(a +b ) ... CZ 2 2 2 ut = Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: 2 S = 2a + 4ac 2 V = a .c 2 2 us = a.Ö2 (pro podstavu) nebo us = Ö(a +c ) (pro boční stěnu) 2 2 ut = Ö(2a +c )

Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S = 2.Sp + SQ V = SP . v

... SP je obsah podstavy, SQ je obsah pláště ... SP je obsah podstavy, v je výška tělesa

Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso.

± Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady

5.11.2006 16:46:17


2 z 63

M - Matematika - třída 2SAB - celý ročník 1.

1

V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá.

453

Návod: Řešení:

a = 25 cm = 2,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm 3 V = 13,5 l = 13,5 dm c=? --------------------------------V = a.b.c

13,5 V c= a.b 2,5.3,0 c = 1,8 dm = 18 cm c=

Výsledek:

2.

Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm.

Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku.

452

Návod:

3.

Řešení:

a = 5,4 cm ut = ? -------------------------------ut = a.Ö3 ut = 5,4.Ö3 ut = 9,4 cm (přibližně)

Výsledek:

Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem.

454

Návod: Řešení:

a = 3 cm b = 4 cm v = 0,25 m = 25 cm V=? ---------------------------------V = Sp.v

V =

a.b .v 2 3

V = 150 cm Výsledek:

3

Objem hranolu je 150 cm .

± Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady

5.11.2006 16:46:17


3 z 63


1

1.

Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Výsledek: Objem 18 720 cm3; povrch 5 016 cm2

472

2.

Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, 3 ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m je v náspu o délce 1 km? Výsledek: 104 000 t

462

3.

Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka 3 měří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm . Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výsledek: Výška 28 cm, povrch 1 116 cm2

457

4.

Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm . Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. Výsledek: 20,8 cm

471

5.

Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? Výsledek: 27 krát

468

6.

Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou do výšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. Výsledek: 864 cm3

455

7.

Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. Výsledek: 27,5 l

456

8.

Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm . stěnové úhlopříčky. Výsledek: 10 cm

Vypočtěte velikost největší

461

9.

Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? Výsledek: 210 m3

473

10.

Rozměry kvádru jsou v poměru 2:3:6 . Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. Výsledek: 288 cm3

460

3

5.11.2006 16:46:17


4 z 63


1

11.

Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? Výsledek: 192

Kolika

466

12.

Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? Výsledek: 1,5 m

469

13.

Povrch kvádru je 1 008 cm . Šířka kvádru je o 20% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. Výsledek: 2 074 cm3

14.

Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. Výsledek: 162 kg, 39 %

463

15.

Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, 3 kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? Výsledek: 15,75 t

474

16.

Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah 2 největší stěny pláště je 120 cm a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa. Výsledek: 288 cm3

464

17.

Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem hranolu. Výsledek: 18 720 cm3

465

18.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch. Výsledek: 312 cm2

458

19.

Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m. Výsledek: Objem 1,08 m3; povrch 8,7 m2

470

20.

Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. Výsledek: 3 h 20 min

459

2

3

5.11.2006 16:46:17


467

5 z 63


1

± Stereometrie - válec

Válec Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: 2

S = 2p.r + 2p.r.v 2 S = p d /2 + p.d.v 2 V = p.r .v 2 V = p.d /4.v

S ... povrch tělesa; r ... poloměr podstavy, v ... výška tělesa d ... průměr podstavy V ... objem tělesa

Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy.

± Válec - ukázkové příklady 1.

Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m.

476

Návod: Řešení:

3

V = 62,8 l = 62,8 dm v = 0,5 m = 5 dm Sp = ? ---------------------------------------V = Sp . v Sp = V / v Sp = 62,8 / 5 2 Sp = 12,56 dm

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

2

Obsah podstavy válce je 12,56 dm .


6 z 63


1

Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 l 2 barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m , jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř?

475

Návod: Řešení:

d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm 3 V0 = 0,72 l = 0,72 dm V=? ---------------------------------Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): 2

S = pd /2 + 2p.d.v 2 S = 3,14.6 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8 2 2 S = 376,8 dm = 3,77 m (přibližně) V = V0/S V = 0,72 / 3,77 V = 0,191 l (přibližně) Výsledek:

Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy.

± Válec - procvičovací příklady 1.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30% ? Výsledek: Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm.

480

2.

Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m , je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Výsledek: Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu.

478

3.

Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm . Výsledek: Výška válce je 5 dm.

496

4.

Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1 2 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m . Výsledek: Je zapotřebí 33 plechovek.

477

5.

Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Výsledek: Válec má průměr 28,2 cm.

481

2

5.11.2006 16:46:17


7 z 63


1

6.

V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? Výsledek: 1 413 hl

498

7.

V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Výsledek: Hloubka nádrže je 5 m.

482

8.

Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m . Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Výsledek: Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy.

495

9.

Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Výsledek: Obsah podstavy kvádru je 625 cm2.

497

10.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Výsledek: Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody.

479

2

± Stereometrie - jehlan

Jehlan Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní.

U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = Sp.v/3

S = Sp + SQ

Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou

5.11.2006 16:46:17


8 z 63


1

tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné.

± Jehlan - ukázkové příklady 1.

3

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm . Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu.

483

Návod: Řešení:

3

V = 72,0 cm v=a=? S=? --------------------------------------------V = Sp.v/3 3 V = a /3

Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška va:

Po dosazení: va = 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S1 = a.va/2 Obsah pláště: SQ = 4.S1 = 2.a.va Povrch jehlanu: Po dosazení: Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

2

S = SP + SQ = a + 2.a.va 2 S = 6 + 2.6.6,71 2 S = 116,5 cm (přibližně) 2

Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm .


9 z 63


1

Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 12 2 m . Zaokrouhlete na stovky.

484

Návod: Řešení:

a = 8,4 m v = 6,5 m m0 = 1 kg c0 = 63 Kč 2 S0 = 12 m c=? -------------------------------------------Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku

po dosazení dostáváme va = 7,74 m (přibližně) S = 4 . a.va/2 = 2a.va S = 2 . 8,4.7,74 2 S = 130 m (přibližně) c = S/S0.c0 c = 130/12.63 c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Výsledek:

Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč.

± Jehlan - procvičovací příklady 1.

Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Výsledek: Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm3.

489

2.

Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Výsledek: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm2.

493

± Stereometrie - kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče.

5.11.2006 16:46:17


10 z 63


r v V s

... ... ... ...

1

poloměr podstavy výška kužele hlavní vrchol strana kužele

Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce:

1 V = p .r 2 .v 3 2

S = p .r + p .r.s S V d

... ... ...

V=

1 p .d 2 .v 12

1 1 S = p .d 2 + p .d .s 4 2

povrch tělesa objem tělesa průměr podstavy

± Kužel - ukázkové příklady

5.11.2006 16:46:17


11 z 63


1

Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte 2 spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m plechu.

501

Návod: Řešení:

d = 80 cm v = 60 cm m0 = 1 kg 2 S0 = 6 m m = ? [kg] --------------------------------------------------------Natíráme pouze plášť kužele, proto S = p d.s/2 (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty:

s=

æd ö v +ç ÷ è2ø

s=

æ 80 ö 60 + ç ÷ è 2 ø

2

2

2

2

s = 72,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S = 3,14 . 80 . 72,11/2 2 2 S = 9057 cm = 0,91 m (po zaokrouhlení) 2

1 kg ... 6m 2 m [kg] ... 0,91 m --------------------------------------Jedná se o přímou úměrnost, proto m = 1 . 0,91/6 m = 0,152 kg (o zaokrouhlení) Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy.


12 z 63


1

Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 25° a ramenem délky 0,75 m?

500

Návod: Řešení:

Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a = 25° s = 0,75 m 3 V = ? [m ] ---------------------------------------------sin a = v/s v = s . sin a v = 0,75 . sin 25° v = 0,75 . 0,4226 v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení) cos a = r/s r = s . cos a r = 0,75 . cos 25° r = 0,75 . 0,9063 r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení) V V V V Výsledek:

3.

= = = =

2

p r v/3 2 3,14.0,68 .0,32/3 3 0,155 m (po zaokrouhlení) 3 155 dm 3

Objem kužele je 155 dm . 3

Objem kužele je 12 cm , jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele?

499

Návod: Řešení:

3

V = 12 cm v = 4 cm 2 Sp = ? [cm ] ----------------------------------------

V =

1 Sp.v 3

Sp=3V/v Sp = 3.12/4 2 Sp= 9 cm Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

2

Obsah podstavy kužele je 9 cm .


13 z 63


1

± Kužel - procvičovací příklady 2

3

1.

Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm a objem celého tělesa je 131,88 cm . Určete jeho výšku. Výsledek: Výška kužele je 14 cm.

508

2.

Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Výsledek: Objem kužele je 718 cm3.

503

3.

V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje? Výsledek: Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky.

510

4.

Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Výsledek: Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody.

514

5.

Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. Výsledek: Objem kužele je 24 361 cm3.

504

6.

Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Výsledek: Povrch kužele je 628 cm2.

513

7.

Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m. Výsledek: Objem kužele je 13 397 cm3.

505

8.

Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. Výsledek: Povrch kužele je 6 029 cm2.

512

9.

Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Výsledek: Povrch kužele je 235,5 cm2.

511

10.

Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Výsledek: Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm.

515

11.

Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m a největší šířka hromady 7 m? Výsledek: Na hromadě je uloženo asi 33,3 m3 písku.

509

5.11.2006 16:46:17


14 z 63


1 3

12.

Kužel má objem 1 441 cm a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Výsledek: Poloměr podstavy kužele je 9 cm.

13.

Kužel má objem 83,7 cm a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výsledek: Výška kužele je 5 cm.

507

14.

Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výsledek: Výška nálevky je asi 9,6 cm.

502

3

506

± Stereometrie - koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru. U koule počítáme opět povrch nebo objem.

r d

... ...

poloměr koule průměr koule

Povrch koule:

S = 4p .r

2

2

S = p .d

Objem koule:

4 V = .p .r 3 3

1 V = .p .d 3 6

± Koule - ukázkové příklady 1.

Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr 2,5 m?

617

Návod: Řešení:

r = 2,5 m 2 S = ? [m ] --------------------------2 2 S = 4.p.r = 4 . 3,14 . 2,5 2 S = 78,5 m

Výsledek:

Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m materiálu.

5.11.2006 16:46:17

2


15 z 63


1 616

Vypočti objem koule o průměru 75 cm. Návod: Řešení:

d = 75 cm 3 V = ? [cm ] ---------------------------

1 1 V = .p .d 3 = .3,14.753 6 63 3

V = 220 781,25 cm = 0,22 m (po zaokrouhlení) Výsledek:

3

Objem koule je asi 0,22 m .

± Koule - procvičovací příklady 1.

Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o 1 mm? Výsledek: Kovová kulička má průměr asi 11 mm.

612

2.

Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Výsledek: Do akvária se vejde asi 52,3 litru vody.

611

3.

Vypočti poloměr koule, jejíž objem je 1 litr. Výsledek: Koule má poloměr asi 6,2 cm.

608

4.

Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 10 cm a byla pevně uložena? Výsledek: Pouzdro musí mít poloměr asi 17,4 cm.

615

5.

Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo 1,2 m materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Výsledek: Míč má průměr asi 0,52 m.

614

Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. 3 Objem koule je 268 dm .

604

7.

Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. Výsledek: Povrch koule je asi 63,6 dm2.

607

8.

Kolik olověných kuliček o průměru 18 mm se odlije z 1 kg materiálu o hustotě 10 600 kg/m ? Výsledek: Z uvedeného materiálu odlijeme asi 31 kuliček.

613

9.

Vypočti povrch koule o poloměru 2 m. Výsledek: Povrch koule je asi 50,2 m2.

606

6.

2

Výsledek:

3

5.11.2006 16:46:17


16 z 63


1 2

Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm . 3 Objem koule je asi 898 cm .

610

Vypočti objem koule o poloměru 52 cm. 3 Objem koule je 589 dm .

603

12.

Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Výsledek: Povrch koule je asi 6,2 m2.

605

13.

Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm . Výsledek: Povrch koule je asi 442 cm2.

Výsledek:

11.

Výsledek:

3

609

± Lineární funkce Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část).

Definičním oborem každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla. Průsečíky grafu lineární funkce s osami: 1. s osou x: - v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x. Příklad: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x. Řešení: Hledaný bod X[x; y] Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5 Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0].

5.11.2006 16:46:17


17 z 63


1

2. s osou y: - v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y. Příklad: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y. Řešení: Hledaný bod Y[x;y] Dosadíme za x = 0, proto y = 2.0 - 1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1 Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1]. Zvláštní případy lineární funkce: 1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b - jedná se o tzv. konstantní funkci - grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x

2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax - jedná se o přímou úměrnost - grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému

Vlastnosti lineární funkce: 1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > 0. 2. Lineární funkce je klesající, je-li a < 0. Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky. Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající. Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů

5.11.2006 16:46:17


18 z 63


1

Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému. Příklad: Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2] Řešení: Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů: 3 = 2a + b 2 = -a + b -----------------Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou. Já použiji např. sčítací: První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma: 3 = 2a + b 4 = -2a + 2b -----------------Obě rovnice sečtu: 7 = 3b b = 7/3 Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1): 3 = 2a + b -2 = a - b -----------------Opět obě rovnice sečtu: 1 = 3a a = 1/3 Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme:

1 7 x+ 3 3 Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází. y=

Grafické řešení soustavy lineárních rovnic Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic.

± Lineární funkce - procvičovací příklady

5.11.2006 16:46:17


19 z 63


1

1.

669

Výsledek:

2.

675 Výsledek:

3.

671

Výsledek:

4.

682

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


20 z 63


1

5.

670

Výsledek:

6.

672

Výsledek:

7.

677 Výsledek:

8.

680

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


21 z 63


1

9.

681

Výsledek:

10.

668

Výsledek:

11.

678

Výsledek:

12.

676

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


22 z 63


1

13.

667

Výsledek:

14.

673 Výsledek:

15.

679

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


23 z 63


1

16.

674 Výsledek:

± Vyjádření neznámé ze vzorce Při vyjadřování neznámé ze vzorce postupujeme obdobně, jako kdybychom řešili rovnici, s tím, že za neznámou považujeme veličinu, kterou potřebujeme vyjádřit. Základní pravidla: 1. Pokud některý člen převádíme z jedné strany "rovnice" na druhou, měníme u tohoto členu znaménko Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu 2a + 3b = 4mn, dostáváme 2a = 4mn - 3b 2. Pokud osamostatňujeme proměnnou, která je vázána v součinu, dělíme celou "rovnici" všemi činiteli, které se kromě osamostatňované proměnné v součinu vyskytují 2 2 Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu 4abc = 4mn, dostáváme a = (4mn) : (4bc ) 3. Je-li proměnná, kterou chceme osamostatnit, zapsána ve druhé (resp. ve třetí mocnině), provedeme odmocnění (resp. třetí odmocnění) celé "rovnice". 2 Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu a = 4mn, dostáváme a = Ö(4mn)

± Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady 1.

Ze vzorce pro výpočet povrchu rotačního kužele S = p . r . (r + s) vyjádřete stranu kužele s: Výsledek:

s= 2.

3.

S -r p .r

Pro efektivní proud platí vzorec I = Im . †2/2. Vyjádřete z něj amplitudu Im: Výsledek:

725

Im = I 2

Pro výpočet transformátoru platí vzorec N2/N1 = U2/U1. Vyjádřete sekundární napětí U2: Výsledek: U2 = (N2 . U1)/N1

5.11.2006 16:46:17

726


722

24 z 63


1

4.

719

Výsledek:

5.

2

723

Elektrická práce se vypočítá podle vzorce W = R . I . t. Vyjádřete veličinu I: Výsledek:

I=

W Rt

6.

Pro výpočet tepla platí vzorec Q = m . c . (t 2 - t1). Vyjádřete teplotu t2: Výsledek: t2 = Q/(c . m) + t1

7.

Ze vzorce pro výpočet objemu pravidelného čtyřbokého jehlanu V = (1/3) . a . v vyjádřete velikost a:

2

Výsledek:

a= 8.

721

3V v

Pro výsledný odpor paralelně zapojených rezistorů platí vzorec: 1/R = 1/R1 + 1/R2. Vyjádřete veličinu R: Výsledek:

R=

727

724

R1.R2 R1 + R2

9.

720

Výsledek:

10.

Ze vzorce S = 2 . p . r . (r + v) pro výpočet povrchu rotačního válce vyjádřete veličinu v: Výsledek:

728

S - 2.p .r 2 v= 2.p .r

± Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. př.:

2x + 5 = 7x - 3

5.11.2006 16:46:17


25 z 63


1

Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice. Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně.

Ekvivalentní úpravy rovnic 1. ekvivalentní úprava K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: 2x + 3 = 7 - 3x /+3x 5x + 3 = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko. 2. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 24 /:8 x=3 Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti. Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

5.11.2006 16:46:17


26 z 63


1

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4: Řešení:

x = 9/7 Příklad 5:

Řešení:

5.11.2006 16:46:17


27 z 63


1

± Lineární rovnice - procvičovací příklady 1.

805

Výsledek:

2 3

2.

842

Výsledek:

0,5

3.

824

Výsledek:

2

4.

819

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

-2


28 z 63


1

5.

832

Výsledek:

-5

6.

827

Výsledek:

-0,5

7.

847

Výsledek:

-9

8.

823

Výsledek:

-1,2

9.

840

Výsledek:

-

1 3

10.

812

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

-10


29 z 63


1

11.

820

Výsledek:

3

12.

843

Výsledek:

0

13.

825

Výsledek:

1 3

14.

830

Výsledek:

13

15.

834

Výsledek:

-2,5

16.

808

Výsledek:

5

17.

848

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

0,1


30 z 63


1

18.

831

Výsledek:

-4

19.

809

Výsledek:

0,5

20.

814

Výsledek:

2

21.

835 Výsledek:

4

22.

806

Výsledek:

-1

23.

838

Výsledek:

87

24.

845

Výsledek:

-

5.11.2006 16:46:17

1 3


31 z 63


1

25.

828

Výsledek:

4 3

26.

844

Výsledek:

-1

27.

816

Výsledek:

1

28.

829

Výsledek:

13

29.

839

Výsledek:

-1

30.

810

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

5


32 z 63


1

31.

813

Výsledek:

-1

32.

849

Výsledek:

Všechna reálná čísla

33.

833

Výsledek:

-0,5

34.

811

Výsledek:

-0,5

35.

841

Výsledek:

0,5

36.

817

Výsledek:

10

37.

822

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

10


33 z 63


1

38.

846

Výsledek:

-5

39.

821

Výsledek:

3

40.

807

Výsledek:

-

1 6

41.

818 Výsledek:

6

42.

850

Výsledek:

0

43.

815

Výsledek:

0,5

44.

837

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

12


34 z 63


1

45.

826

Výsledek:

5

46.

836

Výsledek:

11

± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů

• • • • •

Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod.

Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x+y=3 x - y = -1 x=3-y

5.11.2006 16:46:17


35 z 63


1

(3 - y) - y = -1 3 - y - y = -1 -2y = -4 y=2 x=3-2 x=1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; 2] Zkouška: L1 = 1 + 2 = 3 P1 = 3 L2 = 1 - 2 = -1 P2 = -1 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 17 3 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7 Řešení: 2 . (x + y) - 5 . (y - x) = 17 3 . (x + 2y) + 7 . (3x + 5y) = 7 2x + 2y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 21x + 35y = 7 7x - 3y = 17 24x + 41y = 7

17 + 3 y 7 17 + 3 y 24. + 41 y = 7 7 408 + 72 y + 41y = 7 7 408 + 72y + 287y = 49 x=

359y = -359 y = -1 x=2 Výsledek zapíšeme [x; y] = [2; -1] Zkouška: L1 = 2 . [2 + (-1)] - 5 . (-1 - 2) = 2 - 5 . (-3) = 17 P1 = 17 L2 = 3 . [2 + 2.(-1)] + 7 . [3 . 2 + 5 . (-1)] = 3 . 0 + 7 . 1 = 7 P2 = 7 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 3: Řešte soustavu rovnic

5.11.2006 16:46:17


36 z 63


1

x-y=1 3x - 3y = 3 x=1+y 3 . (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0=0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L1 = 1 - 0 = 1 P1 = 1 L2 = 3 . 1 - 3 . 0 = 3 P2 = 3 L1 = P1 L2 = P2 Příklad 4: Řešte soustavu rovnic:

3x + y =2 z +1 3y + z =2 x +1 3x + z =2 y +1

-------------------Stanovíme podmínky řešitelnosti:

z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1

3x + y = 2 . (z + 1) 3y + z = 2 . (x + 1) 3x + z = 2 . (y + 1) 3x + y = 2z + 2 3y + z = 2x + 2 3x + z = 2y + 2 3x + y - 2z = 2 -2x + 3y + z = 2 3x - 2y + z = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + 2z + 2 (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3 . (-3x + 2z + 2) + z = 2 . (x + 1) 3x + z = 2 . (-3x + 2z + 2 + 1) -9x + 6z + 6 + z = 2x + 2 3x + z = -6x + 4z + 4 + 2 -11x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - 2 (2) Dosadíme do první rovnice:

5.11.2006 16:46:17


37 z 63


1

-11x + 7 . (3x - 2) = -4 -11x + 21x - 14 = -4 10x = 10 x=1 Dosadíme do rovnice (2): z=3.1-2=1 Dosadíme do rovnice (1): y = -3 . 1 + 2 . 1 + 2 = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] Zkouška:

L1 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P1 = 2 L1 = P1

L2 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P2 = 2 L2 = P2

L3 =

3.1 + 1 4 = =2 1+1 2

P3 = 2 L3 = P3

Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti 2. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky 2) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí.

Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic: 2 . (x - 3y) = 15

5.11.2006 16:46:17


38 z 63


1

4x - y = -3 2x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-2) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 12y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 12y - y = -30 - 3 11y = -33 y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): 2x - 6y = 15 -24x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: 2x - 24x - 6y + 6y = 15 + 18 -22 x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5.

± Soustavy rovnic - procvičovací příklady 1.

899

Výsledek:

Řešením je uspořádaná dvojice [4; 2]

2.

898

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

Řešením je uspořádaná dvojice [4; -3]


39 z 63


1

3.

903

Výsledek:

Nekonečně mnoho řešení

4.

893

Výsledek:


5.

897

Výsledek:

Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1].

6.

896

Výsledek:


7.

907

Výsledek:

Nemá řešení

8.

892

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


40 z 63


1

9.

900

Výsledek:

Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3]

10.

908

Výsledek:


11.

901

Výsledek:


12.

905

Výsledek:


13.

894

Výsledek:


14.

906

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17



41 z 63


1

15.

895

Výsledek:

Soustava nemá řešení.

16.

902

Výsledek:

Nemá řešení.

17.

904

Výsledek:


18.

891

Výsledek:


± Slovní úlohy řešené rovnicí Slovní úlohy řešené rovnicí Do této skupisy slovních úloh patří jednak klasické slovní úlohy (např. typu "Ve skladu je ve třech policích ... výrobků, v první polici jich je o 10 více než ve druhé a ve třetí o pět méně než v druhé. Kolik výrobků je v každé polici?"). Patří sem ale i slovní úlohy o pohybu ("Z místa A vyjelo auto rychlostí..., z místa B vyjelo auto v opačném směru rychlostí... atd.) nebo úlohy o společné práci ("První zedník by sám postavil zeď za 12 hodin, druhý zedník by ji sám postavil za 8 hodin. Jak dlouho budou stavět zeď oba současně?), ale i úlohy o směsích ("Kolika procentní vznikne roztok, smícháme-li 1 litr 8%-ního octa s 0,5 litrem vody?") Většinu úloh je vhodné řešit pomocí tabulky. Obecný postup řešení (platí pro většínu slovních úloh řešených rovnicí):

5.11.2006 16:46:17


42 z 63


1. 2. 3. 4.

1

Do tabulky provedeme zápis. Sestavíme rovnici. Vyřešíme rovnici a provedem zkoušku (můžeme též provést zkoušku příkladu). Zapíšemé závěr - odpověď.

± Slovní úlohy řešené rovnicí - procvičovací příklady 1.

Ve městě jsou dvě školy, ve kterých je celkem 1 157 žáků. V první škole je o 9 dívek více než chlapců, ve druhé škole je o 2 chlapce více než dívek. Kolik je v obou školách dohromady chlapců a kolik dívek? Výsledek: 575 chlapců, 582 dívek

1011

2.

Písemná práce z matematiky dopadla takto: Polovina žáků vyřešila jen část úloh, všechny úlohy vyřešilo 8 žáků, čtvrtina žáků nevyřešila nic. Kolik žáků psalo písemnou práci? Výsledek: 32 žáků

994

3.

Prodavač prodal za tři dny celkem 1 200 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal 1,5krát více losů než druhý den. Kolik losů prodal první den? Výsledek: 430 losů

986

4.

Denní produkce mléka 630 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? Výsledek: 14 konví po 25 litrech, 8 konví po 35 litrech

1010

5.

Mezi tři soutěžící děti byly rozděleny body tak, že poslední získalo jednu šestinu všech bodů, předposlední získalo jednu třetinu všech bodů a první získalo 60 bodů. Kolik bodů se celkem rozdělilo a kolik dostalo druhé dítě? Výsledek: Celkem 120 bodů, druhé dítě 40 bodů.

993

6.

Jedna čtvrtina délky pilíře je zaražena v zemi, dvě třetiny jeho délky jsou ve vodě a nad hladinu vyčnívá část dlouhá 1,20 m. Jak dlouhý je pilíř? Výsledek: 14,4 m

995

7.

Žák má ve stavebnici 15 volantů a 53 koleček. Ze všech volantů a koleček sestavuje tříkolky (1 volant a tři kolečka) a autíčka (1 volant a 4 kolečka). Kolik sestavil tříkolek a kolik autíček? Výsledek: 8 autíček, 7 tříkolek.

1006

8.

Otec chtěl původně rozdělit majetek svým dvěma synům v poměru 7:6. Pak ho však rozdělil v poměru 6:5 (ve stejném pořadí). Jeden ze dvou synů se rozzlobil, že měl původně dostat o 120 Kč víc. Kolik korun dostal každý syn? Výsledek: První syn dostal 9 360 Kč, druhý syn dostal 7 800 Kč.

1012

9.

Dvě dílny jednoho závodu vyrobí denně 26 součástek. Aby společně vyrobily 350 součástek, pracovala první dílna 14 dní a druhá o den méně. Kolik součástek vyrobí každá dílna denně? Výsledek: První dílna 12 součástek, druhá dílna 14 součástek.

996

5.11.2006 16:46:17


43 z 63


1

10.

Z kovové tyče byly zhotoveny tři součástky. Na první byla spotřebována polovina tyče, na druhou dvě třetiny zbytku a třetí měla hmotnost 3 kg. Jakou hmotnost měla celá tyč? Výsledek: 18 kg

1003

11.

Během dne navštívilo výstavu 130 návštěvníků, kteří zaplatili vstupné v celkové částce 630 Kč. Kolik z nich bylo dospělých a kolik bylo dětí, jestliže vstupné pro dospělé bylo 6 Kč a vstupné pro děti bylo 3 Kč. Výsledek: Dospělých 80, dětí 50

1005

12.

Orba skončí v plánovaném termínu, jestliže traktoristé zorají denně 150 ha pole. Díky dobré péči mechaniků pracovaly traktory bez poruchy a traktoristé zorali denně 200 hektarů pole a skončily orbu o dva dny dříve, než se plánovalo. Kolik hektarů pole zorali a za kolik dní?

1004

Výsledek:

Za 6 dní 1 200 ha pole.

13.

Limonáda s kelímkem stála 5,80 Kč. Limonáda byla o 5 Kč dražší než kelímek. Kolik stál kelímek? Výsledek: 40 haléřů

989

14.

Slavného řeckého matematika Pythagora se ptali, kolik žáků navštěvuje jeho školu. Odpověděl: "Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, semina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři ženy." Kolik žáků navštěvuje jeho školu? Výsledek: 28

988

15.

Jana a Eva četly stejnou knihu. Jana přečetla denně 14 stránek a dočetla knihu o den dříve než Eva, která přečetla denně 12 stránek. Kolik stran měla kniha? Výsledek: 84

991

16.

Přátelé jeli na výlet. Nejprve 15 % celkové trasy jeli vlakem, pak jednu dvacetinu cesty šli pěšky, dalších 6 km jeli lanovkou, poté dvě pětiny cesty urazili pěšky a nakonec 14 km jeli vlakem. Kolik kilometrů ujeli vlakem a kolik kilometrů ušli pěšky? Výsledek: Vlakem 21,5 km, pěšky 22,5 km

1001

17.

Když byl cestující ve vlaku v polovině cesty, usnul. Po probuzení zjistil, že má jet ještě pětinu té cesty, kterou projel ve spánku. Jakou část cesty zaspal? Výsledek: Pět dvanáctin celé cesty

1016

18.

V teplárně spotřebovali první den pětinu zásoby uhlí, druhý den spotřebovali třetinu zbytku. Třetí a čtvrtý den spotřebovali zbývajících 6 400 tun uhlí. Jakou zásobu uhlí měla teplárna původně? Výsledek: 12 000 tun

1009

19.

Denní produkce mléka 620 litrů byla slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? Výsledek: 15 konví po 25 litrech, 7 konví po 35 litrech

1008

5.11.2006 16:46:17


44 z 63


21.

1

Do třídy chodí 27 žáků. V určitý den chybělo 6 chlapců a 1 dívka a počet chlapců a dívek byl v tento den stejný. Kolik chlapců a kolik dívek má třída celkem, jsou-li všichni žáci přítomni? Výsledek: 11 dívek, 16 chlapců

1000

Číslo 138 napište jako součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel. 33, 34, 35, 36

992

22.

Na rekreační zájezd jelo 35 účastníků. Bylo zaplaceno celkem 8 530 Kč. Zaměstnanci platili 165 Kč, rodinní příslušníci 310 Kč. Vypočítejte, kolik bylo zaměstnanců a kolik bylo rodinných příslušníků. Výsledek: 16 zaměstnanců, 19 rodinných příslušníků.

997

23.

Dvě stě krabic pracích prášků bylo v obchodě narovnáno ve třech policích. V první bylo o 13 krabic více než ve druhé, ve druhé o jednu pětinu více než ve třetí polici. Kolik krabic bylo ve které polici? Výsledek: První police 79 krabic, druhá police 66 krabic, třetí police 55 krabic.

1007

24.

Zahradník koupil 80 květináčů za 2 832 Kč. Menší byly po 32 Kč, větší po 40 Kč. Kolik bylo kterých? Výsledek: 46 květináčů po 32 Kč, 34 květináčů po 40 Kč.

999

25.

Žáci 8. ročníku byli na třídenním výletu a ušli celkem 42 km. První den ušli dvakrát více než třetí den a druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušli každý den? Výsledek: První den 19 km, druhý den 13,5 km, třetí den 9,5 km.

26.

Dvěma sourozencům je dohromady šest let. Jeden je o pět roků mladší než druhý. Určete věk obou sourozenců. Výsledek: Staršímu je 5,5 roku, mladšímu je 0,5 roku.

27.

Turista utratil každý den polovinu částky, kterou vlastní, a ještě 10 Kč. Za tři dny utratil všechny své peníze. Kolik peněz měl turista původně? Výsledek: 140 Kč

1014

28.

Anička jela na jarní prázdniny k babičce. Za cestu zaplatila 38 Kč, což byly dvě třetiny jejích úspor. Babičce koupila dárek za 35,50 Kč a sestřence koupila knížku za 16,70 Kč. Kolik Kč jí zbylo na útratu, jestliže si ještě odložila peníze na zpáteční cestu? Výsledek: 42,80 Kč

990

29.

Podnikatel měl dodat v lednu a v únoru stejné množství výrobků, v březnu pak dvojnásobné množství než v lednu. Kvůli provozním potížím však dodal v lednu o třetinu méně než měl, v únoru ještě o 60 kusů méně než v letnu a teprve v březnu dodal o 280 kusů víc než původně měl dodat za březen. Přesto chybělo ještě 12 kusů ke splnění celé dodávky. Jaké množství měl dodávat v jednotlivých měsících?

1015

Výsledek:

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

1002

985

Leden a únor po 360 kusech, březen 720 kusů.


45 z 63


1

30.

Petr šel se svou sestrou Ivou na houby. Petr našel o 23 hub více než Iva. Cestou z lesa Iva poprosila Petra: "Dej mi tolik hub, abych jich měla alespoň o 5 více než ty." Petr jí vyhověl. Kolik hub jí nejméně musel dát? Výsledek: 14 hub

31.

Viktor ušetřil dvakrát víc korun než Hanka, Tomáš o sedm korun méně než Viktor, Dáša o 13 Kč více než Tomáš. Dohromady ušetřili 293 Kč. Kolik ušetřil každý? Výsledek: Hanka 42 Kč, Tomáš 77 Kč, Viktor 84 Kč, Dáša 90 Kč.

987

32.

Ivana si hrála s dvoumiskovými rovnoramennými vahami. Když položila na levou misku autíčko a na pravou míč a dvě kostky, nastala rovnováha. Další rovnováhu docílila, když na levou misku položila autíčko a jednu kostku a na pravou dva míče. Kolik kostek má právě takovou hmotnost jako autíčko?

998

Výsledek:

1013

5

± Kvadratická funkce 2

Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a ¹ 0. Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část).

Graf kvadratické funkce y

-1,5

-1 -0,5

0

0,5

1

1,5 x

Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla. Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum.

5.11.2006 16:46:17


46 z 63


1

Graf kvadratické funkce y -1,5

-1 -0,5

0

x 0,5

1

1,5

Názvy členů funkce: 2

ax bx c

... ... ...

kvadratický člen lineární člen absolutní člen

I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu -

2

jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax definičním oborem jsou všechna reálná čísla oborem hodnot je interval <0; +¥ ), je-li a > 0 a interval (-¥; 0> je-li a < 0 souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0] graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější.

II. Kvadratická funkce bez lineárního členu 2

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla - oborem hodnot je interval: pro a > 0 ... - souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c] - graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum) - je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice:

é -c ù é -c ù X1 ê ;0ú X 2 ê;0ú a a ë û ë û III. Kvadratická funkce se všemi členy 2

- jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax + bx + c - definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla 2

Příklad.: Je dána funkce y = 2x + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami. Řešení: Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup: 2 1. Vytkneme číslo a ... y = 2.(x + 1,5x + 2) 2 2. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B) 2 nebo (A-B) . V tomto případě použijeme ten první. 3. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x.

5.11.2006 16:46:17


47 z 63


1

4. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,75 2 2 2 5. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75) - 0,75 + 2] Pozn. 0,75 odečítáme proto, aby nebyla porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky 6. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: 2 y = 2.(x + 0,75) + 2,875 7. Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875] Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno. Určení průsečíků s osami: a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2 2x + 3x + 4 = 0 2 Diskriminant D = 3 - 4.2.4 = 9 - 32 = -23 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x. b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y 2 y = 2.0 + 3.0 + 4 = 4 Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4] Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší. Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; +¥)

± Kvadratická funkce - procvičovací příklady 1.

715 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


48 z 63


1

2.

701 Výsledek:

3.

713 Výsledek:

4.

709 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


49 z 63


1

5.

711 Výsledek:

6.

704 Výsledek:

Neexistuje - viz graf 7.

706

Výsledek:

Platí - viz graf

5.11.2006 16:46:17


50 z 63


1

8.

702 Výsledek:

9.

708 Výsledek:

10.

714 Výsledek:

11.

700 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


51 z 63


1

12.

705

Výsledek:

Existuje - viz graf 13.

698 Výsledek:

14.

707

Výsledek:

15.

710 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


52 z 63


1

16.

703 Výsledek:

17.

712 Výsledek:

18.

697 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


53 z 63


1

19.

699 Výsledek:

± Kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. 2

Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat:

ax + bx + c = 0, kde a ¹ 0

Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: 2 ax ... kvadratický člen bx ... lineární člen c ... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x1, x2, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru 2 ax + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních.

1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně:

2

ax = 0

Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. 2 Dostaneme tak: x =0 A odtud tedy: x1,2= Ö0 x1,2= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: 2

Řešte kvadratickou rovnici 3x = 0

5.11.2006 16:46:17


54 z 63


1

Řešení: 2

3x = 0 2 x =0 x1,2= 0

|:3

Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.

2. Kvadratická rovnice bez lineárního členu 2

Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: 2 Dostaneme: ax = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 2 Dostaneme: x = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x1,2= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x1 = +Ö(-c/a) x2 = -Ö(-c/a) Příklad 2: 2

Řešte kvadratickou rovnici -3x + 27 = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: 2

-3x + 27 = 0 |:(-1) 2 3x - 27 = 0 2 3x = 27 |:3 2 x =9 x1,2= ±Ö9 x1 = 3 x2 = -3 Příklad 3: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x + 6 = 0 Řešení: 2

3x = -6 2 x = -2 V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 6 = 0 Řešení: 2

3x = 6 2 x =2 x1,2= ±Ö2 x1 = +Ö2

5.11.2006 16:46:17

x2 = -Ö2


55 z 63


1

3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu 2

Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že x1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x2 = -b/a Příklad 5: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 2x + 6x = 0 Řešení: 2

x + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x1 = 0

x2 = -3

Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule.

4. Obecná kvadratická rovnice 2

Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce:

x1, 2

- b ± b 2 - 4ac = 2a

Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: 2

x1, 2

b æbö - ± ç ÷ - ac 2 è2ø = a

Příklad 6: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 4x - 60 = 0 Řešení: a=1

b=4

c = -60

Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: 2

x1, 2

b æbö - ± ç ÷ - ac 2 è2ø = a

5.11.2006 16:46:17


56 z 63


1

2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 1.(- 60 ) 2 - 2 ± 4 + 60 è2ø x1, 2 = = = -2 ± 64 1 1 x1,2= -2 ± 8 x1 = 6

x2 = -10

Příklad 7: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x + 8 = 0 Řešení: a=3

x1, 2

b = -5

c=8

- b ± b 2 - 4ac = 2a

x1, 2 =

- (- 5) ±

(- 5)2 - 4.3.8 2.3

=

5 ± 25 - 96 5 ± - 71 = 6 6

V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. 2

Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0 ... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0 ... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0 ... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: 2

V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x - 8 = 0 Řešení: a=3

x1, 2

b = -5

c = -8

- b ± b 2 - 4ac = 2a

x1, 2 =

- (- 5) ±

(- 5)2 - 4.3.( -8) 2.3

=

5 ± 25 + 96 5 ± 121 = 6 6

5 ± 11 x1 = 8/3 x26= -1 x1, 2 =

5.11.2006 16:46:17


57 z 63


1

± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1.

1130 Výsledek:

2.

1127 Výsledek:

3.

1104 Výsledek:

4.

1118

Výsledek:

5.

1103

Výsledek:

6.

1122 Výsledek:

7.

1132 Výsledek:

8.

1109 Výsledek:

9.

1106 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


58 z 63


1

10.

1126 Výsledek:

11.

1107 Výsledek:

12.

1128 Výsledek:

13.

1124 Výsledek:

14.

1114

Výsledek:

15.

1113

Výsledek:

16.

1110 Výsledek:

17.

1121 Výsledek:

18.

1102 Výsledek:

19.

1117

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


59 z 63


1

20.

1131 Výsledek:

21.

1116

Výsledek:

22.

1120 Výsledek:

23.

1108 Výsledek:

24.

1123 Výsledek:

25.

1133 Výsledek:

26.

1119 Výsledek:

27.

1111

Výsledek:

28.

1115

Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


60 z 63


1

29.

1105 Výsledek:

30.

1125 Výsledek:

31.

1112

Výsledek:

32.

1129 Výsledek:

± Vztahy mezi kořeny a koeficienty

Vztah mezi kořeny a koeficienty 2

Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru ax + bx + c = 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice:

x2 +

b c x+ =0 a a

Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p = b/a q = c/a 2 Dostaneme: x + px + q = 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: x1 + x2 = -p x1 . x2 = q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny x1, x2 kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin 2 dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru x + px + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar (x - a).(x - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice.

5.11.2006 16:46:17


61 z 63


1

Příklad: Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí (x - 5) . (x + 8) = 0 2 x + 8x - 5x - 40 = 0 2 x + 3x - 40 = 0 Jiný způsob řešení: x1 + x2 = -p x1 . x2 = q 5 - 8 = -p 5 . (-8) = q

proto p = 3 proto q = -40

2

Závěr: x + 3x - 40 = 0

± Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 1.

1139 Výsledek:

2.

1143

Výsledek:

3.

1141 Výsledek:

4.

1142

Výsledek:

5.

1134 Výsledek:

6.

1140 Výsledek:

7.

1145 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17


62 z 63


1

8.

1144 Výsledek:

9.

1138 Výsledek:

10.

1135 Výsledek:

11.

1136 Výsledek:

p=7

12.

1137 Výsledek:

5.11.2006 16:46:17

p = -8


63 z 63


1

Obsah Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Kvádr, krychle, hranol - ukázkové příklady Kvádr, krychle, hranol - procvičovací příklady Stereometrie - válec Válec - ukázkové příklady Válec - procvičovací příklady Stereometrie - jehlan Jehlan - ukázkové příklady Jehlan - procvičovací příklady Stereometrie - kužel Kužel - ukázkové příklady Kužel - procvičovací příklady Stereometrie - koule Koule - ukázkové příklady Koule - procvičovací příklady Lineární funkce Lineární funkce - procvičovací příklady Vyjádření neznámé ze vzorce Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady Rovnice a jejich ekvivalentní úpravy Lineární rovnice - procvičovací příklady Soustavy rovnic Soustavy rovnic - procvičovací příklady Slovní úlohy řešené rovnicí Slovní úlohy řešené rovnicí - procvičovací příklady Kvadratická funkce Kvadratická funkce - procvičovací příklady Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice - procvičovací příklady Vztahy mezi kořeny a koeficienty Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady

5.11.2006 16:46:17


1 1 2 3 6 6 7 8 9 10 10 11 14 15 15 16 17 19 24 24 25 28 35 39 42 43 46 48 54 58 61 62

M - Matematika - třída 2SAB - celý ročník

Recommend Documents