M - Matematika - třída 2ODK celý ročník

M - Matematika - třída 2ODK celý ročník

Obsahuje učivo celého školního roku 2006/2007.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník

1

± Iracionální rovnice

Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici:

x 2 - 2 x + 10 = x - 10 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: 2 2 x - 2x + 10 = (x - 10) 2

2

x - 2x + 10 = x - 20x + 100 po úpravě: x=5 Zkouška:

L = 52 - 2.5 + 10 = 5 P = 5 - 10 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení.

Příklad 2: Řešte rovnici:

x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: 2 x + 7 = (x - 5) Po úpravě 2 x + 7 = x - 10x + 25 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9. Zkouška:

29.10.2007 20:20:00

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 118


1

L(2) = 2 + 7 = 9 = 3 P(2) = 2 - 5 = -3 L(2) ¹ P(2) Kořen 2 tedy není řešením.

L(9) = 9 + 7 = 16 = 4 P(9) = 9 - 5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici:

5 - 5 x = 3 x - 11 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5 - 5x) = (3x - 11) Po úpravě: x=2 Zkouška:

L = 5 - 5.2 = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici:

x+9 +3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme:

x + 9 + 6 x x + 9 + 9 x = 49 Po ekvivalentních úpravách:

3 x x + 9 = 20 - 5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 2 2 9x + 81x = 400 - 200x + 25x Po úpravě: 2 16x - 281x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16.

29.10.2007 20:20:00


2 z 118


1


x2 + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, 2 2 proto rovnice x + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 25 má dvě řešení, a to x1 = 4 a x2 = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když 2 2 platí u = v .

± Iracionální rovnice - procvičovací příklady 1.

1197 Výsledek:

4

2.

1178 Výsledek:

3.

20

(x + 3)(. x - 1) Výsledek:

4.

1194

Řešte rovnici:

x.(1 - x ) = 0

1 1186

Řešte rovnici: Výsledek:

P = {0; 3}

5.

1191 Výsledek:

-0,5

6.

1187 Výsledek:

Nemá řešení

7.

1190 Výsledek:

-5/3

8.

1189 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

5


3 z 118

M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 9.

1 1185


-1

10.

1184 Výsledek:

9

11.

1195 Výsledek:

12.

9 1193

Řešte rovnici:

(x + 1)(. x - 5) Výsledek:

7 - 3x = 0

-3

13.

1182 Výsledek:

Nemá řešení

14.

1192 Výsledek:

P = {9; -1/3}

15.

1179 Výsledek:

±3 2

16.

1183 Výsledek:

8

17.

1196 Výsledek:

P = {8; 4}

18.

1181 Výsledek:

P = {0; 2}

19.

1188

Výsledek:

2,5

20.

1180 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

3


4 z 118


1

± Planimetrie

Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cm Pozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC

29.10.2007 20:20:00


5 z 118


1

Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: |úhel ABC| = a Úhel může být: nulový (velikost 0°) ostrý (velikost 0° < a < 90°) pravý (velikost 90°) tupý (velikost 90° < a < 180°) přímý (velikost 180°) plný (velikost 360°) Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

• • • • • • • •

Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)

29.10.2007 20:20:00


6 z 118


1

4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)

Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

• • • • • • • • • • • • • •

S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s=

a+b+c 2

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník

•

29.10.2007 20:20:00


7 z 118


1

• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník • trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré • zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°. • u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny • u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty • pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami • v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) • v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: 2

2

2

protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b

sin a =

D. Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60° má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120° je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360° B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180° úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°

• • • • • • • • • •

•

29.10.2007 20:20:00


8 z 118


1

• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé • průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček • je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) • obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a • obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u /2 • úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2 b) obdélník • má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné • má všechny vnitřní úhly pravé • úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí • průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané • je středově souměrný podle středu úhlopříček • je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran • obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) • obsah se vypočte podle vzorce S = a.b • pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec • má všechny strany stejně dlouhé • každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné • každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° • úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček • je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami • obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a • obsah se vypočte podle vzorce S = a.v nebo také S = u .u /2 • lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník • má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné • má každé dva protější vnitřní úhly shodné • každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180° • úhlopříčky se navzájem půlí • je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček 2

2

a

1

2

C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

• • •

S=

(a + c ).v 2 a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám

• • • • • •

III. Pravidelný pětiúhelník

• • •

má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB

• •

29.10.2007 20:20:00


9 z 118


• • •

1

sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

IV. Pravidelný šestiúhelník

• • • • • • •

má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120° lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka

• • •

V. Pravidelný osmiúhelník

• • • •

má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.

29.10.2007 20:20:00


10 z 118


1

2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tečna je vždy kolmá na poloměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: 2 2 S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk

Pro délku kruhového oblouku a platí:

a=

p .r .a 180

a= nebo

p .d .a 360

Soustředné kružnice

29.10.2007 20:20:00


11 z 118


1

Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

p .r 2 S= .a 360

nebo

p .d 2 S= .a 1440

Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar.

Mezikruží Rovinný útvar.

Obsah mezikruží:

29.10.2007 20:20:00


12 z 118

M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 2

1

2

S = p . (R - r )

± Shodnost trojúhelníků, důkazy

Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí. Shodnost rozlišujeme: 1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí) 2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.

Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss. Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´BĆ´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu: Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů: 1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty. 2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.

Důkazové úlohy: Příklad 1:

29.10.2007 20:20:00


13 z 118


1

Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení:

|AC| = |CD| |BC| = |CE| |AC| = |BC|

.. .. ..

vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)

Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| úhel g = 60°

..

...

(2)

vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka

|úhel DCB| = g + 60° |úhel ACE| = g + 60° Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE| Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus.

...

(3) CBD

Příklad 2: Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV| Řešení:

29.10.2007 20:20:00


14 z 118


1

D BCE je shodný s D ABF (Ssu) Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ| Závěr: |PQ| = |UV|

CBD

± Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1.

Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.

1257

Výsledek:

2.

Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|.

1256

Výsledek:

3.

Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC.

1259

Výsledek:

4.

Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.

1258

Výsledek:

5.

Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.

1255

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


15 z 118


1

± Podobnost trojúhelníků

Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a´= k . a b´= k . b c´= k . c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.

Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné

Důkazové úlohy: Příklad 1: Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad 2: Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz:

29.10.2007 20:20:00


16 z 118


1

Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) |AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka |A´B´| = |AĆ´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka

A´B´ AB

=

AĆ´ AC

=k

Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD

Výpočtové úlohy: Příklad 3: Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´BĆ´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: |A´B´| = 3,2 cm |BĆ´| = 4,8 cm |AĆ´| = 5,4 cm k = 1 : 50 000 |AB| = ? [cm] |BC| = ? [cm] |AC| = ? [cm] -----------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´| |AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km |BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km |AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.

± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 1.

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. Výsledek: k2

29.10.2007 20:20:00


1269

17 z 118


1

2.

Jsou dány trojúhelníky ABC a A´BĆá platí: a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2 Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Výsledek: Jsou podobné.

1273

3.

Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký. Výsledek: 350 m

1263

4.

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |MK|. Výsledek: 8,4 cm

1272

5.

Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy. Výsledek: 1 : 25 000

1260

6.

Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů? Výsledek: 62,1 m

1262

7.

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = 11/6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70° a´= 5/2 b´= 11/4 vnitřní úhel při vrcholu C´je 70° Výsledek: Jsou podobné

1264

8.

Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: |EF| = 5 cm |MN| = 7 cm |EG|= 6 cm |NK| = 4 cm Vypočtěte délku strany |FG|. Výsledek: 2,86 cm

1271

9.

Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´BĆ´jsou podobné, je-li zadáno: a = 2,5 b=7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90° a´= 5 b´= 13,9 vnitřní úhel při vrcholu C´je 90° Výsledek: Nejsou podobné

1265

29.10.2007 20:20:00


18 z 118


1

10.

Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy. Výsledek: 12,12 m

1261

11.

Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. Výsledek: k

1268

12.

Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´BĆ, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.

1270

Výsledek:

13.

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´

1266

Výsledek:

14.

Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí. Výsledek: 46,3 m

1267

± Eukleidovy věty

Eukleidovy věty 1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

v ca = Þ v 2 = ca .cb cb v 29.10.2007 20:20:00


19 z 118


1

Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

v cb = Þ v 2 = ca .cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně

Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

cb b = Þ b 2 = cb .c b c Rovněž by se dalo vyjádřit:

ca a = Þ a 2 = ca .c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení:

29.10.2007 20:20:00


20 z 118


1

1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10

± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: 2

v = ca . cb neboli

v = ca .cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit: 2

r1 =

r2 2

29.10.2007 20:20:00


21 z 118


r1 =

1

r .r 2

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah

a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah:

3 2 2 = 5 x

Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

x=

a2 b

Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

x a = a b 29.10.2007 20:20:00


22 z 118


1

neboli

b a = a x

± Eukleidovy věty - procvičovací příklady 1.

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 4,12

1366

2.

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 4,58

1358

3.


1363

4.


1369

5.


1355

6.

Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Výsledek: Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.

1421

29.10.2007 20:20:00


23 z 118


1

7.


1364

8.


1354

9.


1357

10.


1365

11.


1362

12.


1352

13.


1353

14.


1367

15.


1368

16.

1422 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d , kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Výsledek: Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.

17.


1359

18.


1361

2

29.10.2007 20:20:00


24 z 118


1

19.


1360

20.


1356

21.


1351

22.


1370

± Pythagorova věta

Pythagorova věta Věta:

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: 2 a = c . ca 2 b = c . cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: 2 2 2 a + b = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta:

2

2

2

Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b , pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a´ = a b´ = b Pro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta: 2 2 2 2 2 2 c´ = a´ + b´ = a + b = c Z toho vyplývá, že c´ = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.

Ukázkové příklady:

29.10.2007 20:20:00


25 z 118


1

Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c´= ? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

c´= a 2 + b 2 = 4 2 + 52 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.

± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1.

1350 Výsledek:

4,9 cm

2.

1349 Výsledek:

1,78 cm

3.

1346 Výsledek:

12

4.

1347

Výsledek:

5.

1348 Výsledek:

6.

1345

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


26 z 118


1

7.

1344 Výsledek:

12 cm

8.

1340 Výsledek:

0,6 cm

9.

1342

Výsledek:

110 m

10.

1341

Výsledek:

6,06 cm

11.

1343 Výsledek:

2

1 092 cm

12.

1339 Výsledek:

1,4 m

± Výpočty rovinných útvarů

Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady

29.10.2007 20:20:00


27 z 118


1

1.

1595

Výsledek:

b)

2.

1565 Výsledek:

Čtverec má větší obsah než obdélník.

3.

1577 Výsledek:

Tupoúhlý

4.

1543 Výsledek:

4,8 cm

5.

1532 Výsledek:

0,4 m

6.

1602

Výsledek:

2

o = 24 cm; S = 41,6 cm

7.

1586

Výsledek:

2

54 cm

8.

1603 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

10 cm


28 z 118


1

9.

1615 Výsledek:

155°, resp. 205°

10.

1566

Výsledek:

Nemohou

11.

1555

Výsledek:

2

3 200 m

12.

1508

Výsledek:

0,8 m

13.

1522

Výsledek:

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cm

14.

1626

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


29 z 118


1

15.

1539 Výsledek:

2

24,3 cm

16.

1563 Výsledek:

17.

1601

Výsledek: 2

480 cm 26 cm 18.

1515

Výsledek:

19.

1559

Výsledek:

20.

1513

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

280 Kč


30 z 118


1

21.

1623

Výsledek:

22.

1579

Výsledek:

2

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm

23.

1548 Výsledek:

5,7 m

24.

1572

Výsledek:

2

6,6 dm

25.

1583

Výsledek:

,

,

26.

1596

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

2

3350 m


31 z 118


1

27.

1590 Výsledek:

58°

28.

1553 Výsledek:

2

60 cm

29.

1521 Výsledek:

30 m

30.

1549

Výsledek:

31.

1541 Výsledek:

90°

32.

1509

Výsledek:

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°

33.

1578 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


32 z 118


1

34.

1574

Výsledek:

2 řešení:

35.

1552

Výsledek:

v = 4,33 cm 36.

1609

Výsledek:

9,18 cm

37.

1607

Výsledek:

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 %

38.

1544

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

,

,


33 z 118


1

39.

1561

Výsledek:

27 obdélníků

40.

1604

Výsledek:

41.

1514 Výsledek:

42.

1551

Výsledek:

43.

1582

Výsledek:

6

44.

1610 Výsledek:

17,32 cm

45.

1605

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


34 z 118


1

46.

1624 Výsledek:

2

795, 2 m

47.

1569 Výsledek:

2

977 m

48.

1524

Výsledek:

40 m

49.

1547 Výsledek:

4 100 krát

50.

1528

Výsledek:

88 cm

51.

1570

Výsledek:

2

40,2 m

52.

1538

Výsledek:

Ne

53.

1512

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

70°


35 z 118


1

54.

1564

Výsledek:

4/5

55.

1533

Výsledek:

34,9 %

56.

1519 Výsledek:

57.

1576

Výsledek:

Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 %

58.

1518

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

2

53,7 cm


36 z 118


1

59.

1617

Výsledek:

2

4 cm

60.

1592 Výsledek:

2

56,25 cm

61.

1557

Výsledek:

ABD

62.

1597

Výsledek:

75°

63.

1625

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

193 m


37 z 118


1

64.

1593

Výsledek:

2

700 m ; 160 m

65.

1529

Výsledek:

2

50 cm

66.

1613

Výsledek:

67.

1520

Výsledek:

7,5 ha

68.

1594 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

75°


38 z 118


1

69.

1536 Výsledek:

30 cm

70.

1517

Výsledek:

,

71.

1531

Výsledek:

2

2

0,08 m , 800 cm

72.

1584 Výsledek:

10

73.

1612 Výsledek:

13,5 cm

74.

1567

Výsledek:

2

414 m

75.

1587

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

77,8 %


39 z 118


1

76.

1614 Výsledek:

2

204 cm

77.

1608

Výsledek:

2

19 cm

78.

1537

Výsledek:

2

Není zavlažováno 61,81 m , třetí strana pole je 33,94 m.

79.

1554 Výsledek:

2

57,74 cm

80.

1598

Výsledek:

15

81.

1545 Výsledek:

2

3,14 cm

82.

1516

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


40 z 118


1

83.

1620

Výsledek:

84.

1581 Výsledek:

11

85.

1530 Výsledek:

0,35 m

86.

1550 Výsledek:

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm

87.

1589

Výsledek:

20°

88.

1556

Výsledek:

v = 6,06 cm ABD

89.

1618

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

16 trojúhelníků


41 z 118


1

90.

1627 Výsledek:

2

249 cm

91.

1526

Výsledek:

,

,

92.

1546

Výsledek:

94°

93.

1510

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

120°


42 z 118


1

94.

1562

Výsledek:

95.

1560 Výsledek:

52 cm

96.

1588

Výsledek:

13,9 cm

97.

1591

Výsledek:

98.

1527

Výsledek:

99.

1507 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

5 cm


43 z 118


1

100.

1558 Výsledek:

101.

1622 Výsledek:

25 mm

102.

1585 Výsledek:

4 krát

103.

1542

Výsledek:

104.

1535 Výsledek:

105.

1599 Výsledek:

106.

1568

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

5 cm


44 z 118


1

107.

1621

Výsledek:

108.

1511

Výsledek:

50°

109.

1534

Výsledek:

112 dlaždic

110.

1540 Výsledek:

2

6,075 cm

111.

1575

Výsledek:

1/2

112.

1606

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

65,1 %


45 z 118


1

113.

1580

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku. Oba obsahy jsou shodné

Výsledek:

114.

1525 Výsledek:

2

2 400 cm

115.

1611 Výsledek:

140 m

116.

1616

Výsledek:

46 cm

117.

1628

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

5 cm


46 z 118


1

118.

1523

Výsledek:

119.

1600 Výsledek:

4 cm

± Shodná zobrazení

Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.

Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B

II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B

III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B

IV. Středová souměrnost 29.10.2007 20:20:00


47 z 118


1

Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B

V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R[S;+30°]: Útvar A ---> Útvar B Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.

± Shodná zobrazení - procvičovací příklady 1.

1688 Výsledek:

2.

1696

Výsledek:

3.

1693

Výsledek:

4.

1682

Výsledek:

5.

1695

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


48 z 118


1

6.

1686

Výsledek:

7.

1681

Výsledek:

8.

1694

Výsledek:

9.

1692

Výsledek:

10.

1687

Výsledek:

11.

1689

Výsledek:

12.

1691

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


49 z 118


1

13.

1684

Výsledek:

14.

1683

Výsledek:

15.

1698

Výsledek:

16.

1697

Výsledek:

17.

1699

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


50 z 118


1

18.

1685

Výsledek:

19.

1690 Výsledek:

± Orientovaný úhel

Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček.

29.10.2007 20:20:00


51 z 118


1

Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360°) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti 2p rad). Stupňová míra:

Oblouková míra:

29.10.2007 20:20:00


52 z 118


1

p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,14. Plný úhel má tedy hodnotu 2p rad, což je tedy přibližně 6,28 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad 1: Úhel o velikosti 15° převeďte do obloukové míry. Řešení: 180° ... p rad 15° ... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

x=

p .15 p = rad 180 12

Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,26 rad (přibližně) Příklad 2: Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 180°

...

29.10.2007 20:20:00

p rad Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

53 z 118


1

x° ... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

3p x = 180. 4 = 135o p Úhel má tedy velikost 135°. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem: 1. Převod ze stupňů na míru obloukovou

x=

p .a o rad 180

2. Převod z radiánů na míru stupňovou

x=

180.arad p

± Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1.

1234 Výsledek:

2.

1252 Výsledek:

70,02°

3.

1243 Výsledek:

180°

4.

1245 Výsledek:

2°

5.

1233 Výsledek:

6.

1248 Výsledek:

195°

7.

1239 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


54 z 118


1

8.

1236 Výsledek:

9.

1251 Výsledek:

9,97°

10.

1235 Výsledek:

11.

1232 Výsledek:

12.

1244 Výsledek:

36°

13.

1249 Výsledek:

23°

14.

1240 Výsledek:

15.

1231 Výsledek:

16.

1238 Výsledek:

17.

1237 Výsledek:

18.

1250 Výsledek:

270°

19.

1241 Výsledek:

20.

1254 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

40°


55 z 118


1

21.

1247 Výsledek:

210°

22.

1242 Výsledek:

23.

1246 Výsledek:

15°

24.

1253 Výsledek:

172°

± Jednotková kružnice

Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je 1. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník.

± Funkce sinus

Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

29.10.2007 20:20:00


56 z 118


1

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony.

Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina

Poznámky: Funkce shora omezená:

29.10.2007 20:20:00


57 z 118


1

Funkce zdola omezená:

29.10.2007 20:20:00


58 z 118


1

Funkce periodická:

29.10.2007 20:20:00


59 z 118


1

Funkce lichá:

Funkce

se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a

29.10.2007 20:20:00


60 z 118


1

± Funkce kosinus

Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony.

Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a .

Poznámky: Funkce sudá:

29.10.2007 20:20:00


61 z 118


1

Funkce

se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a

± Funkce tangens

Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:

29.10.2007 20:20:00


62 z 118


1

Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny.

Poznámky: Funkce rostoucí:

29.10.2007 20:20:00


63 z 118


1

± Funkce kotangens

Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice:

Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny.

29.10.2007 20:20:00


64 z 118


1

Poznámky: Funkce klesající:

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:

29.10.2007 20:20:00


65 z 118


1

Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: |AB| = c = 8 cm |BC| = a = 5 cm a = ? [° ´] b = ? [° ´] ----------------------------

a c 5 sin a = 8

sin a =

29.10.2007 20:20:00


66 z 118


1

sin a = 0,625 a = 38°41´

a c 5 cos b = 8

cos b =

cos b = 0,625 b = 51°19´ Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41á vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´. Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o. Řešení: |OQ| = p = 5 cm |úhel QOP| = 35°10´ |PQ| = o = ? [cm] -----------------------------

tg úhelQOP =

PQ OQ

|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP| |PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) |PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: |BC| = 1 díl |AB| = 18 dílů a = ? [°´] ------------------------------

tga =

BC

AB 1 tga = 18 tg a = 0,0556 a = 3°11´

29.10.2007 20:20:00


67 z 118


1

Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.

± Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady 1.

Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. Výsledek: 0,83°

1461

2.

Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm. Výsledek: 2,1 cm2

1471

3.

Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)

1462

Výsledek:

4.

3,4 m

Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.

Výsledek:

1481

140,8 cm

5.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC. Výsledek: a = 3,9 cm, b = 5,7 cm

1467

6.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63°10´, a = 6,7 m Výsledek: b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°

1466

29.10.2007 20:20:00


68 z 118


1

7.

V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. Výsledek: 54 cm

1475

8.

Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.

1473

Výsledek:

2

9083 cm

9.

Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty. Výsledek: 43,3 m2

1470

10.

Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?

1479

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

22,8 cm


69 z 118


1

Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?

Výsledek:

1478

21 m

12.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48°30´, c = 3,2 m Výsledek: a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°

1465

13.

Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?

1480

Výsledek:

14.

36,1°

Tělesová úhlopříčka u1kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u 2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

1463

6,5 dm


70 z 118


1

15.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a. Výsledek: 12,7 cm

1460

16.

Na obrázku jsou narýsovány tečny t 1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.

1476

Výsledek:

5,7 cm

17.

Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? Výsledek: S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.

1469

18.

Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.

1472

Výsledek:

56,7 cm

19.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 24 cm, c = 30 cm. Výsledek: b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°

1464

20.

V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. Výsledek: 24,3 cm2

1474

29.10.2007 20:20:00


71 z 118


1

21.

V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Výsledek: Úhel při vrcholu E má velikost 56°49á úhel při vrcholu F má velikost 33°11´

1468

22.

Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.

1477

Výsledek:

1040 ks

± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí

Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí

± Goniometrické funkce úhlů větších než 90°

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90°.

29.10.2007 20:20:00


72 z 118


1

Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90° + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90° + a) = cos a cos (90° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90° + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců:

sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a

tg (90 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 -a):

29.10.2007 20:20:00


73 z 118


1

Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (180° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (180° - a) = sin a cos (180° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° - a) = - cos a

sin (180 - a ) sin a = = - tg a cos(180 - a ) - cos a cos(180 - a ) - cos a cotg (180 - a ) = = = -cotg a sin (180 - a ) sin a

tg (180 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (180° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (180° + a) = - sin a cos (180° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° + a) = - cos a

sin (180 + a ) - sin a = = tg a cos(180 + a ) - cos a cos(180 + a ) - cos a cotg (180 + a ) = = = cotg a sin (180 + a ) - sin a

tg (180 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (270° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° - a) = - cos a cos (270° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (270° - a) = - sin a

sin (270 - a ) - cos a = = cotg a cos(270 - a ) - sin a cos (270 - a ) - sin a cotg (270 - a ) = = = tg a sin (270 - a ) - cos a

tg (270 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. 29.10.2007 20:20:00


74 z 118


1

sin (270° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° + a) = - cos a cos (270° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (270° + a) = sin a

sin (270 + a ) - cos a = = -cotg a cos(270 + a ) sin a cos(270 + a ) sin a cotg (270 + a ) = = = - tg a sin (270 + a ) - cos a

tg (270 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360° - a) = - sin a cos (360° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360° - a) = cos a

sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a

tg (360 - a ) =

Ukázkové příklady: Příklad 1: Vypočtěte: sin 330° - cos 210° + tg 150° - 0,5 tg 45° Řešení: sin (360°- 30°) - cos (180° + 30°) + tg (180° - 30°) - 0,5 . 1 = = - sin 30° - (- cos 30°) + (- tg 30°) - 0,5 =

1 3 3 1 -3+3 3 - 2 3 -3 =- + - = = 2 2 3 2 6 =

-3+ 3 -3 3 = -1 + 6 6

Příklad 2: Vypočtěte: sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495°

29.10.2007 20:20:00


75 z 118


1

Řešení: Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360°, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 180°. sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° = sin 300° - cos 225° + 0,5 . tg 60° + tg 135° = = sin (360° - 60°) - cos (180° + 45°) + 0,5 . tg 60° + tg (90° + 45°) = = - sin 60° - (- cos 45°) + 0,5 . tg 60° + (- cotg 45°) =

3 2 1 + + . 3 -1 = 2 2 2 - 3+ 2 + 3-2 = = 2

=-

=

2 -1 2

± Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady 1.

1735 Výsledek:

-0,577

2.

1730 Výsledek:

-1

3.

1719 Výsledek:

1

4.

1724 Výsledek:

0,125

5.

1720 Výsledek:

-0,866

6.

1715 Výsledek:

0

7.

1722 Výsledek:

-0,707

8.

1738 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

1,155


76 z 118


1

9.

1728 Výsledek:

-0,577

10.

1713

Výsledek:

0,25

11.

1731 Výsledek:

-1

12.

1739 Výsledek:

-1,155

13.

1744 Výsledek:

4

14.

1742 Výsledek:

0,134

15.

1729 Výsledek:

-1,732

16.

1716 Výsledek:

0,707

17.

1736 Výsledek:

-1

18.

1734 Výsledek:

-1,732

19.

1723 Výsledek:

-0,707

20.

1718 Výsledek:

0,866

21.

1743 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

-2


77 z 118


1

22.

1741 Výsledek:

0

23.

1714 Výsledek:

0

24.

1725 Výsledek:

0

25.

1740 Výsledek:

0

26.

1727 Výsledek:

1,732

27.

1732 Výsledek:

0,577

28.

1712

Výsledek:

1

29.

1726 Výsledek:

0,577

30.

1733 Výsledek:

1,732

31.

1721 Výsledek:

-0,707

32.

1737 Výsledek:

-1

33.

1717 Výsledek:

-0,5

± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později.

29.10.2007 20:20:00


78 z 118


1

Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat:

sin x cos x cos x cotg x = sin x

tgx =

sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x 2

2

sin x + cos x = 1 tg x . cotg x = 1 sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y sin (x - y) = sin x . cos y - cos x . sin y cos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin y cos (x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y

tgx + tgy 1 - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = 1 + tgx.tgy tg ( x + y ) =

sin 2x = 2sin x . cos x 2 2 cos 2x = cos x - sin x

tg 2 x =

2tgx 1 - tg 2 x

sin

x 1 - cos x = 2 2

cos

x 1 + cos x = 2 2

tg

x 1 - cos x = 2 1 + cos x

x+ y x- y cos 2 2 x+ y x- y sin x - sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x- y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x- y cos x - cos y = -2 sin sin 2 2

sin x + sin y = 2 sin

Příklad 1:

29.10.2007 20:20:00


79 z 118


1

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6:

29.10.2007 20:20:00


80 z 118


1

Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8:

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

29.10.2007 20:20:00


81 z 118


1

Příklad 10:

Řešení:

± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady

29.10.2007 20:20:00


82 z 118


1

1.

1770

Výsledek:

2

2.

1762

Výsledek:

3.

1763

Výsledek:

4.

1773

Výsledek:

5.

1779

Výsledek:

6.

1766

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


83 z 118


1

7.

1755

Výsledek:

8.

1761

Výsledek:

9.

1759

Výsledek:

10.

1774

Výsledek:

11.

1780

Výsledek:

12.

1757 Výsledek:

13.

1771

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

1


84 z 118


1

14.

1758 Výsledek:

15.

1778

Výsledek:

16.

1777

Výsledek:

17.

1775

Výsledek:

18.

1764

Výsledek:

19.

1756 Výsledek:

20.

1767

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


85 z 118


1

21.

1765

Výsledek:

22.

1768

Výsledek:

23.

1772

Výsledek:

24.

1769

Výsledek:

0

25.

1776

Výsledek:

26.

1760

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


86 z 118


1

± Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad 1: Řešte rovnici sin x = 0,5 Řešení: Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30°. Platí tedy, že x1= 30° + k.360° Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180° - 30°) = 150° (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x2 = 150° + k.360° Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře:


sin x = -

3 2

Řešení: Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici

sin x =

3 2

Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60°. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x1 = (180° + 60°) + k.360° = 240° + k.360° x2 = (360° - 60°) + k.360° = 300° + k.360° I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře:

Příklad 3: Řešte rovnici sin 2x = 0,5

29.10.2007 20:20:00


87 z 118


1

Řešení: V tomto případě je vhodné použít substituci: y = 2x Řešíme pak rovnici sin y = 0,5 Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y1 = 30°+ k.360° y2 = 150° + k.360° Vrátíme se k substituci a dostaneme: 2x1 = 30° + k.360° a odtud: x1 = 15° + k.180° 2x2 = 150° + k.360° a odtud: x2 = 75° + k.180° I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře:

Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x . sin 2x = 0 Řešení: Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části: 1. část: Řešíme cos 3x = 0 Substituce: y = 3x Rovnice cos y = 0 má řešení: y1´ = 90° + k . 360° y2´ = 270°+ k . 360° Vzhledem k tomu, že ale 270° = 3 . 90°, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90°. Získáme tak řešení: y1 = (2k + 1) . 90° Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (2k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme 2k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x1 = (2k + 1) . 90° neboli x1 = (2k + 1) . 30° 2. část: Řešíme sin 2x = 0 Substituce: y = 2x Rovnice sin y = 0 má dvě řešení: y1´= 0° + k . 360° y2´= 180° + k . 360° Vzhledem k tomu, že ale 180° = 2 . 90° a 0° = 0 . 90°, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90° a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90°. Získáme tak opět jediné řešení: y2 = 2k . 90° Vrátíme se k substituci a získáme: 2x2 = 2k . 90° neboli x2 = k . 90° Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře:

29.10.2007 20:20:00


88 z 118


1

Příklad 5: 2

Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 = 0 Řešení: Substituce y = cos x 2 Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 = 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y1 = -1,5 a y2 = 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x1 = -1,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-1; 1> cos x2 = 0,5 x2 = 60° + k . 360° x3 = (360° - 60°) + k . 360° = 300° + k . 360° Řešením tedy je x1 = 60° + k . 360°, x2 = 300° + k . 360°, neboli v obloukové míře:

± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 1.

1808

Řešte rovnici:

Výsledek:

2.

1814

Řešte rovnici:

Výsledek:

3.

1811


4.

2

2

Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x = 0

1794

Výsledek:

5.

1826


29.10.2007 20:20:00


89 z 118


1 1833


7.

2

2

Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x . cos x - 5cos x = 2

1800

Výsledek:

8.

1825


9.

1816


10.

1824


11.

1785


12.

1820

Řešte rovnici:

Výsledek:

13.

1781

Řešte rovnici: cos 2x = 1 Výsledek:

14.

1823


15.

1784

Řešte rovnici: cotg 6x = -1 Výsledek:

16.

1829


29.10.2007 20:20:00


90 z 118


1 1815

Řešte rovnici:

Výsledek:

18.

1805


19.

1809


20.

1813


21.

1822

Řešte rovnici:

Výsledek:

22.

1806


23.

Řešte rovnici: 2tg x - 3cotg x = 1

1792

Výsledek:

24.

1831


25.

1832


26.

1791

Řešte rovnici:

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


91 z 118


1 1819


28.

1807


29.

2

Řešte rovnici: 2sin x + sin x - 1 = 0

1793

Výsledek:

30.

2

2

Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin 2x = 0

1790

Výsledek:

31.

2

Řešte rovnici: cos 2x = cos 2x

1803

Výsledek:

32.

1818


33.

2

Řešte rovnici: 2sin x = 3cos x

1795

Výsledek:

34.

1830


35.

1788

Řešte rovnici:

Výsledek:

36.

1783


37.

2

Řešte rovnici: sin 2x = 3sin x

1797

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


92 z 118


1 1817


39.

1802

Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = 8 Výsledek:

40.

Výsledek:

41.

1827

Řešte rovnici: Rovnice nemá řešení.

1828


42.

2

2

Řešte rovnici: sin x - 2sin x . cos x - cos x = 0

1799

Výsledek:

43.

Řešte rovnici: sin x . (1 + 2cos x) = 0

1787

Výsledek:

44.

Řešte rovnici: sin x . cos x == 0,25

1789

Výsledek:

45.

1821

Řešte rovnici:

Výsledek:

46.

1812

Řešte rovnici:

Výsledek:

47.

1810


48.

2

2

Řešte rovnici: sin x + 1,5cos x = 2,5sin x . cos x

1801

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


93 z 118


1 1798


50.

1782

Řešte rovnici: tg x = 1 Výsledek:

51.

1804

Řešte rovnici:

Výsledek:

52.

Řešte rovnici: cos 2x = 2cos x

1796

Výsledek:

53.

Řešte rovnici: sin x . cotg 2x = 0

1786

Výsledek:

± Sinová věta

Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak:

a sin a = b sin b

;

b sin b = c sin g

;

c sin g = a sin a

nebo

a b c = = sin a sin b sin g Důkaz:

29.10.2007 20:20:00


94 z 118


1

Volme jednotkovou kružnici. Platí:

BC = a =

a r

Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu:

a2 2 = sin 2 2a + (1 - cos 2a ) = sin 2 2a + 1 - 2 cos 2a + cos 2 2a = 2 r = 2 - 2cos2a = 2.(1 - cos 2a ) = 2. sin 2 a + cos 2 a - cos 2 a + sin 2 a = 2

BC =

(

)

= 2.2 sin 2 a = 4 sin 2 a a2 = 4 sin 2 a 2 r a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme:

a = 2r sin a Obdobně bychom dokázali:

c b = 2r = 2r sin b ; sin g Odtud tedy platí:

a b c = = sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich.

29.10.2007 20:20:00


95 z 118


1

Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad 1: Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 123,07 m b = 65° 30´ 12´´ g = 72° 02´ 36´´ ----------------------------------Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a = 180° - (b + g ) = 180° - (65° 30´ 12´´ + 72° 02´ 36´´) = 180° - 137° 32´ 48´´= = 42° 27´12´´

a b = sin a sin b a. sin b b= sin a 123,07. sin 65°30´12´´ b= sin 42°27´12´´ b = 165,92 m

a c = sin a sin g a. sin g c= sin a 123,07. sin 72°02´36´´ c= sin 42°27´12´´ c = 173,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 42°27´12´´, strana b je dlouhá 165,92 metru a strana c má délku 173,45 m.

± Sinová věta - procvičovací příklady 1.

1845

Výsledek:

46 m

2.

1846 Výsledek:

3.

Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

1841

21° 34´ 48´´


96 z 118


1

4.

1847

Výsledek:

5.

1843

Výsledek:

103 m

6.

1844

Výsledek:

7.

43,3 m

Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno:

1839

Výsledek:

8.

1834

Výsledek:

9.

107,8 m

Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

1837

251,6 m

10.

1848 Výsledek:

11.

Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

12.

23,75 m

Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

1836

1835

11,35 m


97 z 118


1

13.

1849

Výsledek:

14.

Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

15.

2094 m

319,1 m

Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: Výsledek:

1838

1840

13° 18´ 36´´

16.

1842

Výsledek:

8 523,3 m

8 219 m

± Kosinová věta

Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g , a stranami a, b, c platí: 2 2 2 a = b + c - 2bc.cosa 2 2 2 b = a + c - 2ac.cosb 2 2 2 c = a + b - 2ab.cosg Důkaz:

29.10.2007 20:20:00


98 z 118


1

a2 a = BC = 2 c 2

2

2

b2 b æb ö 2 BC = ç - cos a ÷ + sin a = 2 - 2 cos a + cos 2 a + sin 2 a = c c èc ø 2 b 2b = 2 + 1 - cos a c c 2

2

2

2

a = b + c - 2bc.cosa Je-li a > 90°, pak cosa = - cos(180° - a) a platí tedy: 2 2 2 a = b + c +2bc.cos(180° - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad 1: Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 78° Řešení: a = 7 cm c = 4 cm b = 78° b = ? [cm] a = ? [° ´] g = ? [° ´] -------------------------------------2 2 2 b = a + c - 2ac.cosb 2 2 2 b = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos 78° 2 b = 49 + 16 - 56 . cos 78° 2 b = 53,3576 b = 7,3 cm (po zaokrouhlení)

a b = sin a sin b a. sin b sin a = b 7. sin 78° sin a = = 0,9379 7,3 a = 69° 42´

a c = sin a sin g c. sin a sin g = a 4. sin 69°42´ sin g = = 0,5359 7

29.10.2007 20:20:00


99 z 118


1

g = 32° 24´ Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69° 42´, g = 32° 24´. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: 2

2

2

a = b + c - 2bc . cos a

b2 + c2 - a2 2bc 2 7,3 + 4 2 - 7 2 cos a = = 0,3474 2.7,3.4

cos a =

a = 69°40´ 2

2

2

c = a + b - 2ab . cos g

a2 + b2 - c2 cos g = 2ab 2 7 + 7,32 - 4 2 cos g = = 0,8443 2.7.7,3 g = 32°24´ Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější.

± Kosinová věta - procvičovací příklady 1.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 36° 52´

1877

2.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 115° 23´

1859

3.

1850

Výsledek:

365,3 m

4.

1851

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

5,6


100 z 118


1

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 75° 45´

1879

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 55° 46´

1871

7.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 29° 32´

1858

8.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 67° 23´

1878

9.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 120° 49´

1866

10.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 35° 05´

1860

6.

Výsledek:

11.

1856

Výsledek:

7

12.

1881

Výsledek:

117° 17´

13.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Výsledek: Trojúhelník neexistuje.

1875

14.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Výsledek: Trojúhelník neexistuje.

1874

15.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 103° 55´

1862

16.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 29° 35´ 30´´

1865

29.10.2007 20:20:00


101 z 118


1

17.

1853

Výsledek:

18.

5,3

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4 Výsledek: 104° 29´

19.

1884

Výsledek:

8 885 m

20.

1880

Výsledek:

21.

1869

75° 11´

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c = 2 : 3 : 4 46° 34´

1868

Výsledek:

22.

1876

Výsledek:

70° 32´

38° 56´

23.

1857

Výsledek:

1 825 N

24.

1855

Výsledek:

2,5

25.

1883

Výsledek:

1635 m

26.

1852

Výsledek:

5

27.

1854

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

3,6


102 z 118


1

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4 28° 57´

1867

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 29° 35´ 30´´

1864

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 82° 49´

1872

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Trojúhelník neexistuje

1873

Výsledek:

29.

30.

Výsledek:

31.

Výsledek:

32.

1882

Výsledek:

59°

70° 32´

50° 28´

33.

Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 315,5 m

1863

34.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 Výsledek: 41° 25´

1870

35.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 49° 27´

1861

± Komplexní čísla

Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). 29.10.2007 20:20:00


103 z 118


1

Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a1; a2] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a1 + a2 i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: 2 i = -1 3 i = -i 4 i = +1 5 i =i 6 i = -1 atd...

Algebraický tvar komplexního čísla

Nechť je dáno komplexní číslo a = [a1; a2]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a1 + a2i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a2 představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny.

Absolutní hodnota komplexního čísla 29.10.2007 20:20:00


104 z 118


1

Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: 2

z = a1 + a2

2

Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy |z| = 1

Čísla komplexně sdružená

Čísla komplexně sdružená označujeme . [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají.

Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné.

Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné.

Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a1 = a2 a zároveň b1 = b2

Součet komplexních čísel

29.10.2007 20:20:00


105 z 118


1

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Rozdíl komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

29.10.2007 20:20:00


106 z 118


1

Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich podíl takto:

Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

29.10.2007 20:20:00


107 z 118


1

Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli).

Goniometrický tvar komplexního čísla

29.10.2007 20:20:00


108 z 118


1

Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky:

a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla:

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

29.10.2007 20:20:00


109 z 118


1

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6: 29.10.2007 20:20:00


110 z 118


1

Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8: Vypočtěte i

148

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

Příklad 10:

Řešení:

29.10.2007 20:20:00


111 z 118


1

Příklad 11:

Řešení:

± Komplexní čísla - procvičovací příklady 1.

1658 Výsledek:

2.

1656

Výsledek:

x = 3; y = -2

3.

1638 Výsledek:

3i

4.

1641

Výsledek:

1-i

5.

1666 Výsledek:

6.

1657 Výsledek:

7.

1632 Výsledek:

8.

1634 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


112 z 118


1

9.

1646

Výsledek:

10.

1644

Výsledek:

11.

1636 Výsledek:

1

12.

1630 Výsledek:

1

13.

1637 Výsledek:

14.

1650

Výsledek:

0

15.

1652

Výsledek:

0,4

16.

1633 Výsledek:

17.

1639 Výsledek:

18.

1655 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00

-i


113 z 118


1

19.

1654

Výsledek:

18 + 4i

20.

1665 Výsledek:

21.

1645

Výsledek:

22.

1663 Výsledek:

23.

1629 Výsledek:

1

24.

1647

Výsledek:

-100

25.

1642

Výsledek:

i

26.

1664 Výsledek:

2i

27.

1660 Výsledek:

28.

1662 Výsledek:

29.

1661 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


114 z 118


1

30.

1659 Výsledek:

31.

1651

Výsledek:

10,6

32.

1653

Výsledek:

2,83

33.

1649

Výsledek:

34.

1635 Výsledek:

-7

35.

1648

Výsledek:

36.

1631 Výsledek:

1

37.

1640

Výsledek:

38.

1643

Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


115 z 118


1

± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný. Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) = 2i 2

Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x1 = 2i a x2 = -2i V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad 1: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 Řešení: 2

7x + 5 = 0 2 7 . (x + 5/7) = 0 2 x + 5/7 = 0 [x + i .Ö(5/7)] . [x - i . Ö(5/7)] = 0 x1 = - i . Ö(5/7) x2 = i . Ö(5/7) Příklad 2: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x + 2 = 0 Řešení: 2

D = b - 4ac 2 D = (-4) - 4 . 3 . 2 = -8

-b± D 2a - (-4) ± - 8 x1, 2 = 2.3 4 ± i. 8 x1, 2 = 6 4 ± 2i. 2 x1, 2 = 6 x1, 2 =

29.10.2007 20:20:00


116 z 118


1

2.( 2 ± i. 2 ) 6 2± 2 = 3

x1, 2 = x1, 2

Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: 2

Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - 12x + 25 Řešení: 2

Protože kořeny rovnice 4x - 12x + 25 = 0 jsou čísla

x1, 2 =

12 ± i. 256 3 = ± 2i 8 2

dostáváme:

3 3 æ öæ ö 4 x 2 - 12 x + 25 = 4.ç x - - 2i ÷.ç x - + 2i ÷ = 2 2 è øè ø = (2 x - 3 - 4i )( . 2 x - 3 + 4i ) ± Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady 1.

1965 Výsledek:

2.

1973

Výsledek:

3.

1963 Výsledek:

4.

1971 Výsledek:

5.

1970 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


117 z 118


1

6.

1968 Výsledek:

7.

1964 Výsledek:

8.

1974

Výsledek:

9.

1967 Výsledek:

10.

1969 Výsledek:

11.

1972 Výsledek:

12.

1966 Výsledek:

29.10.2007 20:20:00


118 z 118


1

Obsah Iracionální rovnice Iracionální rovnice - procvičovací příklady Planimetrie Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady Eukleidovy věty Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Eukleidovy věty - procvičovací příklady Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Shodná zobrazení Shodná zobrazení - procvičovací příklady Orientovaný úhel Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice - procvičovací příklady Sinová věta Sinová věta - procvičovací příklady Kosinová věta Kosinová věta - procvičovací příklady Komplexní čísla Komplexní čísla - procvičovací příklady Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady

29.10.2007 20:20:00


1 3 5 13 15 16 17 19 21 23 25 26 27 27 47 48 51 54 56 56 61 62 64 65 68 72 72 76 78 82 87 89 94 96 98 100 103 112 116 117

M - Matematika - třída 2ODK celý ročník

Recommend Documents