M - Matematika - třída 2DOP celý ročník

M - Matematika - třída 2DOP celý ročník

Učebnice obsahující učivo celého 2. ročníku.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

M - Matematika - třída 2DOP - celý ročník

1

± Nerovnice s absolutní hodnotou

Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x +2| < 8 Řešení: 1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2) 2. Nulové body znázorníme na číselné ose

3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ¥; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1) 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; +¥ ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8 x+2<8 x<6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů:

Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2) 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6). Příklad 2: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici |x - 1| + x < 2 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1.

23.9.2007 15:14:06

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 156


1

1. x Î (- ¥; 1) (-x + 1) + x < 2 -x + 1 + x < 2 0x < 1 0 < 1 ... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K1 = (- ¥; 1) 2. x Î <1; +¥ ) (x - 1) + x < 2 x-1+x<2 2x < 3 x < 1,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K2 = <1; 1,5) 3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ¥; 1,5)

(1)

(2)

Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici:

1 ³5 2x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1,5 1. x Î (- ¥; 1,5)

1 ³5 - 2x + 3 1 -5 ³ 0 - 2x + 3 1 - 5.( -2 x + 3) ³0 - 2x + 3 1 + 10 x - 15 ³0 - 2x + 3 10 x - 14 ³0 - 2x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

5x - 7 ³0 3 - 2x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3 - 2x > 0 b) 5x - 7 £ 0 Ù 3 - 2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x £ 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ¥; 1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K1 = <7/5; 3/2) 2. x Î (1,5; +¥)

1 ³5 2x - 3 1 -5 ³ 0 2x - 3 23.9.2007 15:14:06


2 z 156


1

1 - 5.( 2 x - 3) ³0 2x - 3 1 - 10 x + 15 ³0 2x - 3 16 - 10 x ³0 2x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění.

8 - 5x ³0 2x - 3 a) 8 - 5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8 - 5x £ 0 Ù 2x - 3 < 0 x £ 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5; +¥) , proto musíme provést průnik: Tím je K2 = (3/2; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K1 a K2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5>

± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.

1080 Výsledek:

K={}

2.

1090

Výsledek:

K=R

3.

1083

Výsledek:

4.

1088

Výsledek:

K={}

5.

1077

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

K=R


3 z 156


1

6.

1086

Výsledek:

7.

1078 Výsledek:

8.

1079 Výsledek:

9.

1089

Výsledek:

K={}

10.

1082 Výsledek:

11.

1085

Výsledek:

12.

1091

Výsledek:

13.

1081 Výsledek:

K=R

14.

1084

Výsledek:

15.

1087

Výsledek:

K = {2,5}

± Soustava kvadratické a lineární rovnice

Soustava kvadratické a lineární rovnice

23.9.2007 15:14:06


4 z 156


1

Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1 Řešení: 2 2 x + y = 74 3x - 2y = 1

x=

1+ 2 y 3

(1)

2

æ1+ 2 y ö 2 ç ÷ + y = 74 è 3 ø

(1 + 2 y )2 9

+ y 2 = 74

1+ 4 y + 4 y2 + y 2 = 74 9 2

2

1 + 4y + 4y + 9y = 666 2 13y + 4y - 665 = 0 2

y1, 2

4 æ4ö - ± ç ÷ - 13.(- 665) 2 - 2 ± 8649 - 2 ± 93 è2ø = = = 13 13 13

y1 = 7 y2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x:

x1 =

1 + 2.7 =5 3

æ 95 ö 1 + 2.ç - ÷ è 13 ø = - 59 x2 = 3 13 Závěr:

ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 13 13 û þ î Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: 2 2 x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0

23.9.2007 15:14:06


5 z 156


1

Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2

æ 7y ö 2 ç ÷ - y = 640 è 3 ø 49 y 2 - y 2 = 640 9 2

2

49y - 9y = 5760 2 40y = 5760 2 4y = 576 2 y = 144 y1 = 12 y2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x1 = 7 . 12 : 3 = 28 x2 = 7 . (-12) : 3 = -28 Závěr:

K = {[28;12]; [- 28;-12]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady 1.

1171

Výsledek:

2.

1176

Výsledek:

K = {[0; -1]}

3.

1173

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


6 z 156


1

4.

1170

Výsledek:

K = {[3; 0]}

5.

1169

Výsledek:

6.

1177

Výsledek:

K = {[3; 0]}

7.

1175

Výsledek:

8.

K = {[0; 0], [2; 4]}

Řešte soustavu rovnic:

1174

Výsledek:

9.

1172

Výsledek:

± Iracionální rovnice

Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou.

23.9.2007 15:14:06


7 z 156


1

Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici:

x 2 - 2 x + 10 = x - 10 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: 2 2 x - 2x + 10 = (x - 10) 2

2

x - 2x + 10 = x - 20x + 100 po úpravě: x=5 Zkouška:

L = 52 - 2.5 + 10 = 5 P = 5 - 10 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení.

Příklad 2: Řešte rovnici:

x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: 2 x + 7 = (x - 5) Po úpravě 2 x + 7 = x - 10x + 25 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9. Zkouška:

L(2) = 2 + 7 = 9 = 3 P(2) = 2 - 5 = -3 L(2) ¹ P(2)

23.9.2007 15:14:06


8 z 156


1

Kořen 2 tedy není řešením.

L(9) = 9 + 7 = 16 = 4 P(9) = 9 - 5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici:

5 - 5 x = 3 x - 11 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5 - 5x) = (3x - 11) Po úpravě: x=2 Zkouška:

L = 5 - 5.2 = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici:

x+9 +3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme:

x + 9 + 6 x x + 9 + 9 x = 49 Po ekvivalentních úpravách:

3 x x + 9 = 20 - 5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 2 2 9x + 81x = 400 - 200x + 25x Po úpravě: 2 16x - 281x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16. Příklad 5: Řešte rovnici:

x2 + 9 = 5

23.9.2007 15:14:06


9 z 156


1

Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, 2 2 proto rovnice x + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 25 má dvě řešení, a to x1 = 4 a x2 = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když 2 2 platí u = v .

± Iracionální rovnice - procvičovací příklady 1.

1191 Výsledek:

-0,5

2.

1197 Výsledek:

4

3.

1192 Výsledek:

P = {9; -1/3}

4.

1179 Výsledek:

5.

±3 2 1194

Řešte rovnici:

(x + 3)(. x - 1) Výsledek:

x.(1 - x ) = 0

1

6.

1183 Výsledek:

8

7.

1182 Výsledek:

Nemá řešení

8.

1180 Výsledek:

3

9.

1196 Výsledek:

10.

P = {8; 4} 1186

Řešte rovnici: Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

P = {0; 3}


10 z 156


1

11.

1189 Výsledek:

5

12.

1184 Výsledek:

13.

9

(x + 1)(. x - 5) Výsledek:

14.

1193

Řešte rovnici:

7 - 3x = 0

-3 1185


-1

15.

1195 Výsledek:

9

16.

1181 Výsledek:

P = {0; 2}

17.

1188

Výsledek:

2,5

18.

1178 Výsledek:

20

19.

1190 Výsledek:

-5/3

20.

1187 Výsledek:

Nemá řešení

± Lineární rovnice s parametrem

Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět 23.9.2007 15:14:06


11 z 156


1

nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m . (x - 1) = x + m Řešení: Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = 2m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x . (m - 1) = 2m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m¹1

x=

2m m -1

Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m:

Příklad 2: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y:

3 = 5- y m-2 Řešení: Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y) . (m - 2) Roznásobíme závorky: 3 = 5m - 10 - my + 2y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - 2y = 5m - 13 Na levé straně rovnice vytkneme y: y . (m - 2) = 5m - 13 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno:

y=

5m - 13 m-2

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

23.9.2007 15:14:06


12 z 156


1

Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: 2 (x + 3) . (x - c) = x +3c - 18 Řešení: 2

2

x - cx + 3x - 3c = x + 3c - 18 3x - cx = 6c - 18 x . (3 - c) = 6 . (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

Příklad 4:

Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: 12y + 16y - 18y = 5m - 10my 10y + 10my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: 2y + 2my = m 2y . (1 + m) = m Uvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit:

y=

m 2.(1 + m)

Provedeme diskusi vzhledem k parametru:

± Lineární rovnice s parametrem - procvičovací příklady

23.9.2007 15:14:06


13 z 156


1

1.

968

Výsledek:

2.

984

Výsledek:

3.

975

Výsledek:

4.

980

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


14 z 156


1

5.

978

x-

2 1 = 2 (4 x + 1) 3 a a

Výsledek:

6.

976

Výsledek:

7.

974

Výsledek:

8.

967

Výsledek:

9.

970

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


15 z 156


1

10.

973

Výsledek:

11.

979

Výsledek:

12.

966

Výsledek:

13.

983

Výsledek:

14.

977

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


16 z 156


1

15.

972

Výsledek:

16.

982

Výsledek:

17.

969

Výsledek:

18.

971

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

Rovnice nemá smysl.


17 z 156


1

19.

981

Výsledek:

± Kvadratické rovnice s parametrem

Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení , pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: 2

(m - 3)x - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení: 1. Pro m = 3 ...

lineární rovnice

2. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: 2

2

2

2

D = b - 4ac = [-(3m + 9)] - 4.(m - 3).9m = 9m + 54m + 81 - 36m + 108m = 2 = -27m + 162m + 81 a) D > 0 ... 2 reálné různé kořeny ... nastane tehdy, jestliže: 2 -27m + 162m + 81 > 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 < 0 |: 3 2 m - 6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici 2 m - 6m - 3 = 0

m1, 2

6 ± 6 2 - 4.1.( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 2 3 = = = = = 3± 2 3 2.1 2 2 1

m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3 - 2Ö3)] < 0

23.9.2007 15:14:06


18 z 156


1

Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3 - 2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3 - 2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3 - 2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3) b) D = 0 ... Jeden dvojnásobný kořen ... 2 -27m + 162m + 81 = 0 |:(-9) 2 3m - 18m - 9 = 0 |: 3 2 m - 6m - 3 = 0 [m - (3 + 2Ö3)] . [m - (3 - 2Ö3)] = 0 m1 = 3 + 2Ö3 m2 = 3 - 2Ö3

nastane tehdy, jestliže:

c) D < 0 ... V reálném oboru nemá řešení ... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (-¥; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; +¥)

± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 1.

1157

Výsledek:

2.

1153 Výsledek:

3.

1146

Výsledek:

m = -0,4 nebo m = 6

... ...

dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R

4.

1158

Výsledek:

5.

1150 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


19 z 156


1

6.

1149

Výsledek:

7.

1155

Výsledek:

8.

1156

Výsledek:

9.

1151 Výsledek:

10.

1147

Výsledek:

11.

1154 Výsledek:

12.

1152 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


20 z 156


1

13.

1148

Výsledek:

± Lineární funkce s absolutní hodnotou

Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = |x - 1| Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x <1 2. x ³ 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ 1 Závěr:

23.9.2007 15:14:06


21 z 156


1

Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = |2x - 1| Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr:

± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.

1280 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


22 z 156


1

2.

1275 Výsledek:

3.

1276

Výsledek:

4.

1279 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


23 z 156


1

5.

1281 Výsledek:

6.

1284

Výsledek:

7.

1283 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


24 z 156


1

8.

1282 Výsledek:

9.

1274 Výsledek:

10.

1278 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


25 z 156


1

11.

1277 Výsledek:

± Exponenciální funkce

Exponenciální funkce Definice: x Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a , kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující:

Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:

x

Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální x funkce. Má rovnici y = e .

23.9.2007 15:14:06


26 z 156


1

Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...

Vlastnosti exponenciální funkce:

± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1.

Je dána funkce f: y = 0,5x-3. Narýsujte graf funkce |f(|x|)|

1299

Výsledek:

2.

1291

Výsledek:

a>1

3.

1286 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


27 z 156


1

4.

1290

Výsledek:

a>2

5.

1293

Výsledek:

6.

1285 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


28 z 156


1

7.

1304

Výsledek:

8.

1287

Výsledek:

9.

1301

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


29 z 156

M - Matematika - třída 2DOP - celý ročník 10.

1

Narýsujte graf funkce y = 0,5x+3

1296

Výsledek:

11.

1303

Výsledek:

12.

1302 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


30 z 156


1

13.

1292

Výsledek:

14.

Je dána funkce f: y = 0,5x-3. Narýsujte graf funkce |f(x)|

1297

Výsledek:

15.

1300

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


31 z 156


1

x-3

Je dána funkce f: y = 0,5 . Narýsujte graf funkce f(|x|).

1298

Výsledek:

17.

1288 Výsledek:

18.

Narýsujte graf funkce y = 0,5x-3

1295

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


32 z 156


1

19.

1289 Výsledek:

20.

1294

Výsledek:

± Logaritmická funkce

Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. y

Pozn.: Zápis y = logax vyjadřuje totéž jako zápis x = a

Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:

23.9.2007 15:14:06


33 z 156


1

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce:

Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.

± Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1.

1306

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


34 z 156


1

2.

1313 Výsledek:

3.

1332

Výsledek:

4.

1337

Výsledek:

5.

1315 Výsledek:

6.

1305 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


35 z 156


1

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = |log4x|

1326

Výsledek:

8.

1329 Výsledek:

9.

Narýsuj graf funkce

y = log1/3(x + 2)

1319

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


36 z 156


1

10.

1317

Výsledek:

11.

1333 Výsledek:

12.

1318

Výsledek:

13.

1335 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


37 z 156


1

14.

1331

Výsledek:

15.

1316

Výsledek:

16.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x

1323

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


38 z 156


1

17.

1311 Výsledek:

18.

1314

Výsledek:

19.

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(|x|)|.

1322

Výsledek:

20.

1310 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


39 z 156


1

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x)

1325

Výsledek:

22.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x

1324

Výsledek:

23.

1312 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


40 z 156


1

24.

1330

Výsledek:

25.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = |log4|x||

1328

Výsledek:

26.

1309

Výsledek:

27.

1308 Výsledek:

28.

1307

Výsledek:

29.

1334 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


41 z 156


1

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f(|x|).

1321

Výsledek:

31.

Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4|x|

1327

Výsledek:

32.

1336 Výsledek:

33.

Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce |f(x)|.

1320

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


42 z 156


1

± Logaritmy

Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y Û x = a

y

[Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený.

• • • • •

Příklad 1: Vypočtěte log5 25 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5 Odtud snadno zjistíme, že y = 2

y

Příklad 2:

23.9.2007 15:14:06


43 z 156


1

Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 216 = 3 Řešení 3

Podle definice převedeme na výpočet z = 216 3 3 3 Protože platí 216 = 6 , pak z = 6 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: -1

Podle definice převedeme výpočet log0,1x = -1 na tvar 0,1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10.

± Logaritmy - procvičovací příklady 1.

1377 Výsledek:

0,5

2.

1380 Výsledek:

2

3.

1372 Výsledek:

0,25

4.

1376 Výsledek:

0,375

5.

1383 Výsledek:

6

6.

1385

Výsledek:

4

7.

1388

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

6


44 z 156


1

8.

1393

Výsledek:

1

9.

1379 Výsledek:

6

10.

1394

Výsledek:

2

11.

1386 Výsledek:

3

3

12.

1378 Výsledek:

2

13.

1371 Výsledek:

0,5

14.

1390

Výsledek:

0,2

15.

1375 Výsledek:

0,25

16.

1382 Výsledek:

17.

16

Stanovte číslo x, platí-li Výsledek:

log10 = -1

1392

0,1

18.

1389

Výsledek: 3

23.9.2007 15:14:06

3 4


45 z 156


1381

Určete log4 (log4 4) Výsledek:

20.

1

0

Stanovte číslo Výsledek:

x, platí-li

log1/10 x = -1

1395

10

21.

1387 Výsledek:

22.

1391

Výsledek:

2/3

23.

1373 Výsledek:

0,125

24.

1374 Výsledek:

0,5

25.

1384

Výsledek:

1/3

± Věty o logaritmech

Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y

x = a loga x

(1)

Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x.

x = a loga x y = a loga y xy = a loga xy 1. Nelze logaritmovat součet

23.9.2007 15:14:06


46 z 156


1

logz (a + b) ¹ logz a + logz b

2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz:

a = z logz a b = z logz b ab = z logz ab vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1

ab = z logz ab = z logz a .z logz b = z logz a + logz b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: logz ab = logz a + logz b Např.:

3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz:

a = z logz a b = z logz b a

logz a =z b b

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 a

logz a z logz a b =z = logz b = z logz a -logz b b z

log z

a = log z a - log z b b

Např.:

23.9.2007 15:14:06


47 z 156


1

4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz:

a = z logz a n

(

a n = z logz a = z logz a

)

n

= z n.logz a

n

logz a = n . logz a Např.:

± Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1.

1401

Určete logz x, je-li

x = 3 a -3 .4

1 b2

Výsledek:

2.

1415

Výsledek:

x=a+2

3.

1419

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


48 z 156


1

4.

1409

Výsledek:

5.

3

2

x = a .b .z 1403


3 x = .3 a. a 7 Výsledek:

6.

1404

Určete logzx, je-li

x=

a a

Výsledek:

7.

1402

Výsledek:

8.

1412

Výsledek:

9.

1411

Výsledek:

10.

1407

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

x = abc


49 z 156


1

11.

1420

Výsledek:

12.

1413

Výsledek:

4

x=

a 3 .6 b 5 c

13.

1416

Výsledek:

x = (a - b).3 a 2 .b

14.

1417

Výsledek:

15.

1398 Výsledek:

16.

1405 Výsledek:

17.


x = a-2 . b-3

1397

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


50 z 156


1 1/2

Určete logz x, je-li x = a

2/3

b

1400

Výsledek:

19.

1399 Výsledek:

20.

1408

Výsledek:

x = ab/c

21.

1414

Výsledek:

x=

ab.6 ab 5z 4

22.

1418

Výsledek:

23.

1410

Výsledek:

3 (n+3) 3

x = ab

/z

24.

1406 Výsledek:

25.

1396


x=

a 2 . tga b 3 .3 c

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


51 z 156


1

± Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí):

1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: x

81 æ3ö ç ÷ = 256 è4ø Řešení: x

34 æ3ö ç ÷ = 4 4 è4ø x

æ3ö æ3ö ç ÷ =ç ÷ è4ø è4ø

4

Závěr: x = 4 Příklad 2: Řešte rovnici: 3

2 2 x -3 = 7 0,53- x

Řešení: 3

2 2 x -3 = 7 2 x -3 2 x -3 3

x -3 7

2 =2 2x - 3 x - 3 = 3 7 14x - 21 = 3x - 9 11x = 12 Závěr: x = 12/11 Příklad 3: Řešte rovnici: 23.9.2007 15:14:06


52 z 156


1

2 x -1 + 2 x - 2 + 2 x -3 = 448 2 x.( 2 -1 + 2 -2 + 2 -3 ) = 448 æ1 1 1ö 2 x.ç + + ÷ = 448 è 2 4 8ø 7 2 x. = 7.26 8 x 2 = 8.26 2 x = 29 Závěr: x = 9

2. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel:

9 x + 2.3 x - 3 = 0 Řešení:

(3 )

x 2

+ 2.3 x - 3 = 0

Zavedeme substituci y = 3 Dostaneme rovnici: 2 y + 2y - 3 = 0 (y - 1) . (y + 3) = 0

x

y1 = 1 y2 = -3 Vrátíme se zpět k zavedené substituci: x a) 3 =1 x 0 3 =3 x1 = 0 x b) 3 = -3 x V tomto případě není řešení, protože 3 je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.

3. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledem většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x 3x 3 =5 Řešení:

23.9.2007 15:14:06


53 z 156


1

Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme: 5x 3x log 3 = log 5 5x . log 3 = 3x . log 5 x . (5log 3 - 3log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování.

± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 1.

1430

Řešte rovnici: x

3 x +3m .x 3 x -3m = 27

Výsledek:

Nemá řešení

2.

1433 Výsledek:

3

3.

1454

Výsledek:

3

4.

1457 Výsledek:

5.

1

V oboru reálných čísel řešte rovnici:

1446

x -6

3 log 27 = 5- 2 x 3 log 3 Výsledek:

4

6.

1436 Výsledek:

7.

1434 Výsledek:

8.

1441

Řešte rovnici: x

4 +3

x+4

=4

x +3

-3

x+2

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


54 z 156


1

9.

1439

Výsledek:

10.

1432 Výsledek:

3

11.

1423

Výsledek:

3

12.

1456 Výsledek:

13.

1429

Řešte rovnici:

23 x.43 x -3 = 82 x +1 Výsledek:

3

14.

1453

Výsledek:

3

15.

1443 Výsledek:

3,5

16.

1426

Výsledek:

-4

17.

1427 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

1


55 z 156


1445

Řešte rovnici: æ 4 ö ç ÷ è 25 ø

x +3

Výsledek:

19.

1

æ 125 ö .ç ÷ è 8 ø

4 x -1

=

5 2

1

Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x

3.2 + 2

3- x

1450

= 10

Výsledek:

20.

Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5ö ç1 - ÷ è 9ø Výsledek:

2 3- 2 x

æ9ö =ç ÷ è4ø

1459

3 x -5

-0,25

21.

1435 Výsledek:

22.

1449 Výsledek:

23.

1 1438

Řešte rovnici:

105-3 x = 27 - 2 x Výsledek:

24.

1452

Výsledek:

25.

1455 Výsledek:

26.

1424

Řešte rovnici: x

æ3ö æ5ö ç ÷ =ç ÷ è5ø è3ø Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

3

-3


56 z 156


1 1431

Řešte rovnici:

0,252- x = Výsledek:

256 2 x +3

3

28.

1442 Výsledek:

29.

1458

Výsledek:

30.

2

Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x

3x

2 .3 = 4

1448

x -1

Výsledek:

31.

1437 Výsledek:

32.

1

V oboru reálných čísel řešte rovnici:

1447

4 x + 3x +3 = 4 x +3 - 3x + 2 Výsledek:

33.

1440

Výsledek:

34.

1444 Výsledek:

35.

x1 = 2 x2 = 2log 3 / log 5 1428

Řešte rovnici:

23 x +1.2 2 x +3 = 25 x +1.2 x + 2 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

1


57 z 156


1

V oboru reálných čísel řešte rovnici: x +3

x+2

1451

x-2

2 .3 9 = 7 - x x -1 6 .8 3 Výsledek:

-1

37.

1425 Výsledek:

6

± Logaritmické rovnice

Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu

a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru

Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar

kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí:

a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice).

23.9.2007 15:14:06


58 z 156


1

Příklad 1: 3

4

5

Řešte logaritmickou rovnici log x - log x + log x = 8 Řešení: 3

4

5

log x - log x + log x = 8 3log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = 2 x = 100 Příklad 2:

1 log x 3 + log x 2 + 7 log x 4 + 64 = 0 2 Řešení:

1 log x 3 + log x 2 + 7 log x 4 + 64 = 0 2 3log x + 0,5 . 2 . log x + 7 . 4 . log x + 64 = 0 3 log x + log x + 28 log x + 64 = 0 32 log x = -64 log x = -2 x = 0,01

Příklad 3:

3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 Řešení:

3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 3log x + 4log x - (1/3)log x = 5 (20/3)log x = 5 log x = 0,75

x = 4 1000

23.9.2007 15:14:06


59 z 156


1

± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady 1.

1496

Výsledek:

2.

1505

Výsledek:

x=6

3.

1500

log 4 log 3 log 2 x = Výsledek:

1 2

512

4.

1492

Výsledek:

4,5

5.

1494

Výsledek:

-3

6.

1487

Výsledek:

7

7.

1488

Výsledek:

Nemá řešení

8.

1484

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

10.3 10


60 z 156


1483

Řešte rovnici:

Výsledek:

10.

1

0,01 1482

Řešte rovnici:

3 5 1 log 3 x 4 - log = 11 5 2 x Výsledek:

x = 33 10110 = 103.33 1011

11.

1493

Výsledek:

25

12.

1503

Výsledek:

13.

1499

Výsledek:

100

14.

1497

1 + log x 3 = Výsledek:

10 log x

x1= 0,01

x2 = 10.3 100 15.

1486 Výsledek:

1

16.

1489

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

0,5


61 z 156


1

17.

1504

Výsledek:

x=3

18.

1495

Výsledek:

5

19.

1502

Výsledek:

20.

1485

Výsledek:

99/101

21.

1501

Výsledek:

22.

1491

Výsledek:

101

23.

1498

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

10


62 z 156


1

24.

1506

Výsledek:

100

25.

1490

Výsledek:

36

± Komplexní čísla

Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje).

Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a1; a2] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a1 + a2 i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1].

23.9.2007 15:14:06


63 z 156


1

Pro imaginární jednotku platí: 2 i = -1 3 i = -i 4 i = +1 5 i =i 6 i = -1 atd...

Algebraický tvar komplexního čísla

Nechť je dáno komplexní číslo a = [a1; a2]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a1 + a2i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a2 představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny.

Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: 2

z = a1 + a2

2

Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy |z| = 1

Čísla komplexně sdružená

Čísla komplexně sdružená označujeme . [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají.

23.9.2007 15:14:06


64 z 156


1

Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné.

Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné.

Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a1 = a2 a zároveň b1 = b2

Součet komplexních čísel

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Rozdíl komplexních čísel 23.9.2007 15:14:06


65 z 156


1

Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich podíl takto:

23.9.2007 15:14:06


66 z 156


1

Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině

Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli).

Goniometrický tvar komplexního čísla

23.9.2007 15:14:06


67 z 156


1

Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven

23.9.2007 15:14:06


68 z 156


1

součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky:

a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla:

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

23.9.2007 15:14:06


69 z 156


1

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6:

Řešení:

23.9.2007 15:14:06


70 z 156


1

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8: Vypočtěte i

148

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

Příklad 10:

Řešení:

Příklad 11:

Řešení:

23.9.2007 15:14:06


71 z 156


1

± Komplexní čísla - procvičovací příklady 1.

1662 Výsledek:

2.

1634 Výsledek:

3.

1633 Výsledek:

4.

1652

Výsledek:

0,4

5.

1629 Výsledek:

1

6.

1661 Výsledek:

7.

1637 Výsledek:

8.

1635 Výsledek:

-7

9.

1636 Výsledek:

1

10.

1647

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

-100


72 z 156


1

11.

1641

Výsledek:

1-i

12.

1644

Výsledek:

13.

1632 Výsledek:

14.

1651

Výsledek:

10,6

15.

1646

Výsledek:

16.

1664 Výsledek:

2i

17.

1666 Výsledek:

18.

1638 Výsledek:

3i

19.

1653

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

2,83


73 z 156


1

20.

1645

Výsledek:

21.

1665 Výsledek:

22.

1657 Výsledek:

23.

1640

Výsledek:

24.

1649

Výsledek:

25.

1663 Výsledek:

26.

1654

Výsledek:

18 + 4i

27.

1642

Výsledek:

i

28.

1655 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

-i


74 z 156


1

29.

1659 Výsledek:

30.

1658 Výsledek:

31.

1643

Výsledek:

32.

1630 Výsledek:

1

33.

1631 Výsledek:

1

34.

1650

Výsledek:

0

35.

1639 Výsledek:

36.

1656

Výsledek:

x = 3; y = -2

37.

1648

Výsledek:

38.

1660 Výsledek:

± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný.

23.9.2007 15:14:06


75 z 156


1

Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. Platí totiž, že např. Ö(-4) = i . Ö2 2

Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x1 = i . Ö2 a x2 = -i . Ö2 V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad 1: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 Řešení: 2

7x + 5 = 0 2 7 . (x + 5/7) = 0 2 x + 5/7 = 0 [x + i .Ö(5/7)] . [x - i . Ö(5/7)] = 0 x1 = - i . Ö(5/7) x2 = i . Ö(5/7) Příklad 2: 2

V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x + 2 = 0 Řešení: 2

D = b - 4ac 2 D = (-4) - 4 . 3 . 2 = -8

-b± D 2a - (-4) ± - 8 x1, 2 = 2.3 4 ± i. 8 x1, 2 = 6 4 ± 2i. 2 x1, 2 = 6 2.( 2 ± i. 2 ) x1, 2 = 6 2± 2 x1, 2 = 3 x1, 2 =

23.9.2007 15:14:06


76 z 156


1

Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: 2

Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - 12x + 25 Řešení: 2

Protože kořeny rovnice 4x - 12x + 25 = 0 jsou čísla

x1, 2 =

12 ± i. 256 3 = ± 2i 8 2

dostáváme:

3 3 æ öæ ö 4 x 2 - 12 x + 25 = 4.ç x - - 2i ÷.ç x - + 2i ÷ = 2 2 è øè ø = (2 x - 3 - 4i )( . 2 x - 3 + 4i ) ± Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady 1.

1963 Výsledek:

2.

1965 Výsledek:

3.

1972 Výsledek:

4.

1969 Výsledek:

5.

1971 Výsledek:

6.

1964 Výsledek:

7.

1973

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


77 z 156


1

8.

1967 Výsledek:

9.

1974

Výsledek:

10.

1970 Výsledek:

11.

1968 Výsledek:

12.

1966 Výsledek:

± Stereometrie - Vzájemná poloha

Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy.

Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být:

• • •

rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné)

• •

Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé.

•

• •

•

23.9.2007 15:14:06


78 z 156


1

± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol

Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: 2

S = 6.a 3 V=a us = a.Ö2 ut = a.Ö3

... ... ... ...

S je povrch krychle, a je hrana krychle V je objem krychle, a je hrana krychle us je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle ut je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle

Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c ... délky hran kvádru S ... povrch tělesa V ... objem tělesa us ... stěnová úhlopříčka ut ... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c 2 2 us = Ö(a +b ) ... CZ 2 2 2 ut = Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: 2 S = 2a + 4ac 2 V = a .c 2 2 us = a.Ö2 (pro podstavu) nebo us = Ö(a +c ) (pro boční stěnu) 2 2 ut = Ö(2a +c )

Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol

23.9.2007 15:14:06


79 z 156


1

kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S = 2.Sp + SQ V = SP . v

... SP je obsah podstavy, SQ je obsah pláště ... SP je obsah podstavy, v je výška tělesa

Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso.

± Krychle, kvádr, hranol - ukázkové příklady 1.

V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 13,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. Řešení: a = 25 cm = 2,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm 3 V = 13,5 l = 13,5 dm c=? --------------------------------V = a.b.c

453

13,5 V c= a.b 2,5.3,0 c = 1,8 dm = 18 cm Voda v akváriu sahá do výšky 18 cm. c=

Výsledek:

2.

Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. Řešení: a = 5,4 cm ut = ? -------------------------------ut = a.Ö3 ut = 5,4.Ö3 ut = 9,4 cm (přibližně) Výsledek: Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm.

452

3.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočtěte jeho objem. Řešení: a = 3 cm b = 4 cm v = 0,25 m = 25 cm V=? ----------------------------------

454

V = Sp.v

V =

a.b .v 2

3

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

V = 150 cm 3 Objem hranolu je 150 cm .


80 z 156


1

± Krychle, kvádr, hranol - procvičovací příklady 1.

Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem hranolu. Výsledek: 18 720 cm3

465

2.

Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 200 cm, je-li přítok 2 l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. Výsledek: 3 h 20 min

459

3.

Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 144 cm. Výška sloupu je 2,5 m. Výsledek: Objem 1,08 m3; povrch 8,7 m2

470

4.

Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, 3 kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost 1 m lisované slámy 100 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? Výsledek: 15,75 t

474

5.

Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah 2 největší stěny pláště je 120 cm a výška hranolu je 12 cm. Vypočítejte objem tělesa. Výsledek: 288 cm3

464

6.

Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (24 cm, 12 cm) bylo naplněno vodou do výšky 20 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. Výsledek: 864 cm3

455

7.

Z dřevěné válcové klády poloměru 15 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m byl otesán trám o tloušťce 18 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. Výsledek: 162 kg, 39 %

463

8.

Rozměry kvádru jsou v poměru 2:3:6 . Jeho tělesová úhlopříčka má délku 14 cm. Určete jeho povrch a objem. Výsledek: 288 cm3

460

9.

Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o 12 cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. Výsledek: 27,5 l

456

3

23.9.2007 15:14:06


81 z 156


1

10.

Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka 3 měří 15 cm, jedna odvěsna 12 cm. Objem hranolu je 1,512 dm . Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výsledek: Výška 28 cm, povrch 1 116 cm2

457

11.

Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 16 m napršely 4 mm vody. desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? Výsledek: 192

Kolika

466

12.

Povrch kvádru je 1 008 cm . Šířka kvádru je o 20% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. Výsledek: 2 074 cm3

467

13.

Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 16 m a 10 m, 3 ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 2 000 kg/m je v náspu o délce 1 km? Výsledek: 104 000 t

462

14.

Objem trojbokého kolmého hranolu je 1 248 cm . Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 13 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. Výsledek: 20,8 cm

471

15.

Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 25 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda? Výsledek: 1,5 m

469

16.

Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2:3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Výsledek: Objem 18 720 cm3; povrch 5 016 cm2

472

17.

Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,25 m. Vypočítejte jeho povrch. Výsledek: 312 cm2

458

18.

Jaký objem má prostor pod střechou domu 150 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? Výsledek: 210 m3

473

19.

Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou 2 dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? Výsledek: 27 krát

468

2

3

23.9.2007 15:14:06


82 z 156


1

Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm . stěnové úhlopříčky. Výsledek: 10 cm

Vypočtěte velikost největší

461

± Stereometrie - válec

Válec Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: 2

S = 2p.r + 2p.r.v 2 S = p d /2 + p.d.v 2 V = p.r .v 2 V = p.d /4.v

S ... povrch tělesa; r ... poloměr podstavy, v ... výška tělesa d ... průměr podstavy V ... objem tělesa

Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy.

± Válec - ukázkové příklady 1.

Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,72 l 2 barvy. Kolik barvy je potřeba na 1 m , jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Řešení: d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm 3 V0 = 0,72 l = 0,72 dm V=? ----------------------------------

475

Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): 2

S = pd /2 + 2p.d.v 2 S = 3,14.6 /2 + 2.3,14.6.8,5 = 376,8 2 2 S = 376,8 dm = 3,77 m (přibližně)

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

V = V0/S V = 0,72 / 3,77 V = 0,191 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,191 l barvy.


83 z 156


1 476

Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 62,8 l a výšce 0,5 m. 3 Řešení: V = 62,8 l = 62,8 dm v = 0,5 m = 5 dm Sp = ? ----------------------------------------

Výsledek:

V = Sp . v Sp = V / v Sp = 62,8 / 5 2 Sp = 12,56 dm 2 Obsah podstavy válce je 12,56 dm .

± Válec - procvičovací příklady 2

1.

Vypočtěte výšku válce o objemu 62,8 litru, je-li obsah podstavy 12,56 dm . Výsledek: Výška válce je 5 dm.

496

2.

V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? Výsledek: 1 413 hl

498

3.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Výsledek: Do nádoby můžeme nalít maximálně 100 litrů vody.

479

4.

Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 25 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Výsledek: Válec má průměr 28,2 cm.

481

5.

V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 942 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Výsledek: Hloubka nádrže je 5 m.

482

6.

Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,191 litru barvy na 1 m . Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Výsledek: Na nátěr sudu se spotřebuje 0,72 litru barvy.

495

7.

Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že 1 2 kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m . Výsledek: Je zapotřebí 33 plechovek.

477

2

23.9.2007 15:14:06


84 z 156


1

8.

Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30% ? Výsledek: Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm.

480

9.

Kanystr tvaru válce s průměrem 28,22 cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? 2 Výsledek: Obsah podstavy kvádru je 625 cm .

497

10.

Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m , je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Výsledek: Koryto může odvádět maximálně 314 litrů vody za sekundu.

478

± Stereometrie - jehlan

Jehlan Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní.

U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = Sp.v/3

S = Sp + SQ

Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné.

23.9.2007 15:14:06


85 z 156


1

± Jehlan - ukázkové příklady 1.

3

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je 72,0 cm . Výška jehlanu se rovná délce podstavné hrany. Vypočítejte délku podstavné hrany a povrch jehlanu. 3 Řešení: V = 72,0 cm v=a=? S=? --------------------------------------------V = Sp.v/3 3 V = a /3

483

Po dosazení: a = 6 cm Stěnová výška va:

Po dosazení: va = 6,71 cm (přibližně) Obsah jedné stěny: S1 = a.va/2 Obsah pláště: SQ = 4.S1 = 2.a.va Povrch jehlanu: Po dosazení: Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

2

S = SP + SQ = a + 2.a.va 2 S = 6 + 2.6.6,71 2 S = 116,5 cm (přibližně) 2 Hrana jehlanu má délku 6 cm a povrch tělesa je 116,5 cm .


86 z 156


1

Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 8,4 m a výšce tělesa 6,5 m, stojí-li 1 kg barvy 63 Kč a z jednoho kilogramu natřeme 12 2 m . Zaokrouhlete na stovky. Řešení: a = 8,4 m v = 6,5 m m0 = 1 kg c0 = 63 Kč 2 S0 = 12 m c=? --------------------------------------------

484

Je zapotřebí spočítat obsah pláště, proto musíme nejprve spočítat stěnovou výšku

po dosazení dostáváme va = 7,74 m (přibližně)

Výsledek:

S = 4 . a.va/2 = 2a.va S = 2 . 8,4.7,74 2 S = 130 m (přibližně) c = S/S0.c0 c = 130/12.63 c = 682,5 Kč, což je přibližně 700 Kč Natření stříšky bude stát přibližně 700 Kč.

± Jehlan - procvičovací příklady 1.

Vypočtěte objem pravidelného trojbokého jehlanu, je-li a = 17 cm, v = 35 cm. 3 Objem pravidelného trojbokého jehlanu je asi 1 460 cm .

491

2.

Vypočti povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, má-li hranu podstavy 4 cm a pobočnou hranu dlouhou 15 cm. Výsledek: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu je asi 135 cm2.

493

3.

Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 16 cm, b = 12 cm, h = 20 cm, kde a, b jsou hrany podstavy a h je pobočná hrana. Výsledek: Povrch jehlanu je asi 714 cm2.

494

4.

Vypočtěte objem čtyřbokého jehlanu s lichoběžníkovou podstavou, je-li a = 7 cm, c = 4 cm, va = 3 cm, v = 12 cm. Výsledek: Objem jehlanu s lichoběžníkovou podstavou je 66 cm3.

490

5.

Ve čtyřbokém kolmém jehlanu jsou dány podstavné hrany a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová výška v = 17 cm. Vypočtěte velikost pobočné hrany. Výsledek: Délka pobočné hrany je asi 20,1 cm.

486

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


87 z 156


1

6.

Plášť pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtyřikrát větší než podstava. Podstavná hrana má délku 1 dm. Určete tělesovou výšku jehlanu. Výsledek: Tělesová výška jehlanu je asi 1,94 dm.

487

7.

Vypočtěte objem pravidelného osmibokého jehlanu, jestliže hrana podstavy má délku 3 cm a výška tělesa je 9 cm. Výsledek: Objem pravidelného osmibokého jehlanu je asi 130,3 cm3.

489

8.

Vypočti povrch jehlanu s obdélníkovou podstavou, je-li a = 10 cm, b = 8 cm a tělesová výška je 15 cm. Výsledek: Povrch jehlanu je 362 cm2.

534

9.

Žulový obelisk o výšce 18 m a stranou čtvercové podstavy 0,8 m se má ustavit na místo jeřábem. 3 Jakou minimální nosnost musí jeřáb mít? Hustota žuly se počítá 2 800 kg/m . Výsledek: Jeřáb musí mít minimální nosnost 11 tun.

492

10.

Vypočtěte povrch a objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany stejně dlouhé, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 4 cm. Výsledek: Objem jehlanu je asi 42,7 cm3, povrch asi 87,5 cm2.

485

11.

Vypočtěte objem pravidelného šestibokého jehlanu, který má hranu podstavy dlouhou 6 cm a výšku tělesa dlouhou 8 cm. 3. Výsledek: Objem jehlanu je asi 249,6 cm

535

12.

Kolik korun bude stát natření střechy věžičky tvaru pravidelného čtyřstěnu s podstavou o 2 obsahu 20 m , stojí-li natření jednoho metru čtverečního 5,25 Kč? Výsledek: Natření střechy bude stát 315 Kč.

533

13.

Pobočné hrany o délce 1 dm čtyřbokého jehlanu mají od obdélníkové podstavy odchylku 58°34´. 2 Obsah podstavy je 20 cm . Jak velká je tělesová výška jehlanu? Výsledek: Tělesová výška jehlanu je asi 8,53 cm.

488

14.

Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má boční hranu dvakrát delší než je hrana podstavy, je-li poloměr kružnice opsané podstavě 6 cm. Výsledek: Objem čtyřbokého jehlanu je asi 381,5 cm3.

532

± Stereometrie - kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče.

23.9.2007 15:14:06


88 z 156


r v V s

... ... ... ...

1

poloměr podstavy výška kužele hlavní vrchol strana kužele

Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce:

1 V = p .r 2 .v 3 2

S = p .r + p .r.s S V d

... ... ...

V=

1 p .d 2 .v 12

1 1 S = p .d 2 + p .d .s 4 2

povrch tělesa objem tělesa průměr podstavy

± Kužel - ukázkové příklady

23.9.2007 15:14:06


89 z 156


Objem kužele je 12 cm , jeho výška je 4 cm. Jaký je obsah podstavy kužele? 3 Řešení: V = 12 cm v = 4 cm 2 Sp = ? [cm ] ----------------------------------------

V =

Výsledek:

2.

1 3

499

1 Sp.v 3

Sp=3V/v Sp = 3.12/4 2 Sp= 9 cm 2 Obsah podstavy kužele je 9 cm .

Jak velký objem by měl kužel, který by vznikl rotací rovnoramenného trojúhelníku s úhlem při základně 25° a ramenem délky 0,75 m?

500

Řešení:

Obrázek je jen ilustrační Výška tělesa je tedy zároveň výškou trojúhelníka. a = 25° s = 0,75 m 3 V = ? [m ] ---------------------------------------------sin a = v/s v = s . sin a v = 0,75 . sin 25° v = 0,75 . 0,4226 v = 0,316 95 m = 0,32 m (po zaokrouhlení) cos a = r/s r = s . cos a r = 0,75 . cos 25° r = 0,75 . 0,9063 r = 0,679 725 m = 0,68 (po zaokrouhlení) 2

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

V = p r v/3 2 V = 3,14.0,68 .0,32/3 3 V = 0,155 m (po zaokrouhlení) 3 V = 155 dm 3 Objem kužele je 155 dm .


90 z 156


1

Plechová stříška tvaru kužele má průměr podstavy 80 cm a výšku 60 cm. Vypočtěte 2 spotřebu barvy na natření této stříšky, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m plechu. Řešení: d = 80 cm v = 60 cm m0 = 1 kg 2 S0 = 6 m m = ? [kg] --------------------------------------------------------Natíráme pouze plášť kužele, proto S = p d.s/2 (1) Neznáme s, proto ho spočítáme pomocí Pythagorovy věty:

s=

æd ö v +ç ÷ è2ø

s=

æ 80 ö 60 + ç ÷ è 2 ø

501

2

2

2

2

s = 72,11 (po zaokrouhlení) Dosadíme do (1): S = 3,14 . 80 . 72,11/2 2 2 S = 9057 cm = 0,91 m (po zaokrouhlení) 2

Výsledek:

1 kg ... 6m 2 m [kg] ... 0,91 m --------------------------------------Jedná se o přímou úměrnost, proto m = 1 . 0,91/6 m = 0,152 kg (o zaokrouhlení) Na natření stříšky je zapotřebí asi 0,152 kg barvy.

± Kužel - procvičovací příklady 1.

Vypočti objem kužele, který má průměr podstavy roven výšce tělesa. Poloměr podstavy kužele je 7 cm. Výsledek: Objem kužele je 718 cm3.

503

2.

Vypočti povrch kužele, jehož strana je 10 cm a průměr podstavy je 10 cm. Výsledek: Povrch kužele je 235,5 cm2.

511

3.

Kužel má objem 83,7 cm a průměr podstavy 8 cm. Vypočti výšku tělesa. Výsledek: Výška kužele je 5 cm.

23.9.2007 15:14:06

3


507

91 z 156


1

4.

Vypočti povrch kužele, je-li jeho výška 15 cm a strana 17 cm. Výsledek: Povrch kužele je 628 cm2.

513

5.

Nálevka na 1 litr má tvar kužele s poloměrem podstavy 10 cm. Jaká je výška nálevky? Výsledek: Výška nálevky je asi 9,6 cm.

502

6.

Vypočti objem kužele s průměrem podstavy 32 cm a výškou tělesa 0,5 m. Výsledek: Objem kužele je 13 397 cm3.

505

7.

V závodě na výrobu nápojového skla vyrábějí dva typy skleniček ve tvaru kužele. První typ o průměru 9 cm s výškou 6,5 cm a druhý typ o průměru 6 cm s výškou 14,5 cm. Která sklenička má větší objem? Vejdou se do některé z nich 2 dl nápoje? Výsledek: Větší objem má sklenička 1. typu; 2 dl nápoje se ale nevejdou do žádné skleničky.

510

8.

Nádobka tvaru kužele o poloměru podstavy 20 cm a výšce 36 cm byla zcela naplněna vodou. Voda byla přelita do nádoby tvaru válce o poloměru podstavy 12 cm. Jak vysoko byla voda v nádobě tvaru válce? Výsledek: Voda v nádobě tvaru válce sahala do výšky asi 33,3 cm.

515

9.

Vypočti objem kužele o poloměru podstavy 35 cm, je-li výška tělesa rovna 19 cm. Výsledek: Objem kužele je 24 361 cm3.

504

10.

Kužel má objem 1 441 cm a výšku 17 cm. Vypočti poloměr podstavy tohoto kužele. Výsledek: Poloměr podstavy kužele je 9 cm.

506

11.

Nádoba tvaru kužele s průměrem dna 60 cm a stranou délky 50 cm je zcela naplněna vodou. Vodu přelijeme do nádoby, která má tvar válce o poloměru dna 30 cm a výšce 20 cm. Kolik litrů vody je třeba do nádoby tvaru válce dolít, aby byla zcela naplněna? Výsledek: Do nádoby musíme dolít asi 18,8 litru vody.

514

12.

Rotační kužel má obsah podstavy 28,26 cm a objem celého tělesa je 131,88 cm . Určete jeho výšku. Výsledek: Výška kužele je 14 cm.

508

13.

Vypočti povrch kužele, který má výšku 16 cm a poloměr podstavy 0,3 m. Výsledek: Povrch kužele je 6 029 cm2.

512

14.

Kolik metrů krychlových je uloženo na hromadě tvaru kužele, je-li výška hromady 2,6 m a největší šířka hromady 7 m? Výsledek: Na hromadě je uloženo asi 33,3 m3 písku.

509

3

2

3

± Stereometrie - koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru.

23.9.2007 15:14:06


92 z 156


1

U koule počítáme opět povrch nebo objem.

r d

... ...

poloměr koule průměr koule

Povrch koule:

S = 4p .r

2

2

S = p .d

Objem koule:

4 V = .p .r 3 3

1 V = .p .d 3 6

± Koule - ukázkové příklady 1.

2.

Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr 2,5 m? Řešení: r = 2,5 m 2 S = ? [m ] --------------------------2 2 S = 4.p.r = 4 . 3,14 . 2,5 2 S = 78,5 m Výsledek: Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m2 materiálu.

617

Vypočti objem koule o průměru 75 cm.

616

Řešení:

d = 75 cm 3 V = ? [cm ] ---------------------------

1 1 V = .p .d 3 = .3,14.753 6 6 3

Výsledek:

3

V = 220 781,25 cm = 0,22 m (po zaokrouhlení) 3 Objem koule je asi 0,22 m .

± Koule - procvičovací příklady 1.

Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. Výsledek: Objem koule je 268 dm3.

23.9.2007 15:14:06


604

93 z 156


1

Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. 2 Povrch koule je asi 6,2 m .

605

3.

Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 10 cm a byla pevně uložena? Výsledek: Pouzdro musí mít poloměr asi 17,4 cm.

615

4.

Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm . Výsledek: Povrch koule je asi 442 cm2.

609

5.

Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Výsledek: Do akvária se vejde asi 52,3 litru vody.

611

Vypočti objem koule o poloměru 52 cm. 3 Objem koule je 589 dm .

603

Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o 1 mm? Výsledek: Kovová kulička má průměr asi 11 mm.

612

Vypočti povrch koule o poloměru 2 m. 2 Povrch koule je asi 50,2 m .

606

Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. 2 Povrch koule je asi 63,6 dm .

607

Vypočti poloměr koule, jejíž objem je 1 litr. Koule má poloměr asi 6,2 cm.

608

Výsledek:

6.

3

Výsledek:

7.

8.

Výsledek:

9.

Výsledek:

10.

Výsledek:

2

11.

Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm . Výsledek: Objem koule je asi 898 cm3.

610

12.

Kolik olověných kuliček o průměru 18 mm se odlije z 1 kg materiálu o hustotě 10 600 kg/m ? Výsledek: Z uvedeného materiálu odlijeme asi 31 kuliček.

13.

Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo 1,2 m materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Výsledek: Míč má průměr asi 0,52 m.

3

2

613

614

± Pythagorova věta

Pythagorova věta Věta:

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

Důkaz: 23.9.2007 15:14:06


94 z 156


1

Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: 2 a = c . ca 2 b = c . cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: 2 2 2 a + b = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta:

2

2

2

Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b , pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a´ = a b´ = b Pro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta: 2 2 2 2 2 2 c´ = a´ + b´ = a + b = c Z toho vyplývá, že c´ = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c´= ? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

c´= a 2 + b 2 = 4 2 + 52 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.

± Pythagorova věta - procvičovací příklady

23.9.2007 15:14:06


95 z 156


1

1.

1350 Výsledek:

4,9 cm

2.

1344 Výsledek:

12 cm

3.

1342

Výsledek:

110 m

4.

1339 Výsledek:

1,4 m

5.

1341

Výsledek:

6,06 cm

6.

1346 Výsledek:

12

7.

1345

Výsledek:

8.

1347

Výsledek:

9.

1340 Výsledek:

0,6 cm

10.

1348 Výsledek:

11.

1343 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

2

1 092 cm


96 z 156


1

12.

1349 Výsledek:

1,78 cm

± Eukleidovy věty

Eukleidovy věty 1. Věta o výšce

Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

v ca = Þ v 2 = ca .cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:

v cb = Þ v 2 = ca .cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.

2. Věta o odvěsně

23.9.2007 15:14:06


97 z 156


1

Trojúhelník ACĆ je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:

cb b = Þ b 2 = cb .c b c Rovněž by se dalo vyjádřit:

ca a = Þ a 2 = ca .c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.

Ukázkové příklady Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = Ö10 Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně:

23.9.2007 15:14:06


98 z 156


1

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10 Řešení: 1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 5 2 2 2. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x = 10, resp. x = 2 . 5 3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10

± Eukleidovy věty - procvičovací příklady 1.

Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 4,12

1366

2.

Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. Výsledek: 3,32

1354

3.


1367

4.


1360

5.


1352

6.


1364

7.


1359

8.


1368

23.9.2007 15:14:06


99 z 156


1

9.


1356

10.


1363

11.


1361

12.


1358

13.


1365

14.


1355

15.


1357

16.


1362

17.


1369

18.


1353

19.


1370

20.


1351

23.9.2007 15:14:06


100 z 156


1

± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná

Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: 2

v = ca . cb neboli

v = ca .cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad 1: Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:

r2 r1 = 2 r r1 = .r 2 2

Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou

Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah

a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad 2: Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah:

23.9.2007 15:14:06


101 z 156


1

3 2 2 = 5 x

Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:

a2 x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru

x a = a b neboli

b a = a x

± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady 1.

2

1422

Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d , kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.


102 z 156


1 1421

Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Výsledek: Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.

± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady

Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.

± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1.

1582

Výsledek:

6

2.

1515

Výsledek:

± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka.

± Orientovaný úhel

Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček.

23.9.2007 15:14:06


103 z 156


1

Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček.

Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360°) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti 2p rad). Stupňová míra:

23.9.2007 15:14:06


104 z 156


1

Oblouková míra:

23.9.2007 15:14:06


105 z 156


1

p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,14. Plný úhel má tedy hodnotu 2p rad, což je tedy přibližně 6,28 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad 1: Úhel o velikosti 15° převeďte do obloukové míry. Řešení: 180° ... p rad 15° ... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

x=

p .15 p = rad 180 12

Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,26 rad (přibližně) Příklad 2: Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 180°

...

23.9.2007 15:14:06

p rad Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

106 z 156


1

x° ... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)

3p x = 180. 4 = 135o p Úhel má tedy velikost 135°. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem: 1. Převod ze stupňů na míru obloukovou

x=

p .a o rad 180

2. Převod z radiánů na míru stupňovou

x=

180.arad p

± Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 1.

1252 Výsledek:

70,02°

2.

1236 Výsledek:

3.

1250 Výsledek:

270°

4.

1247 Výsledek:

210°

5.

1244 Výsledek:

36°

6.

1254 Výsledek:

40°

7.

1249 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

23°


107 z 156


1

8.

1235 Výsledek:

9.

1251 Výsledek:

9,97°

10.

1243 Výsledek:

180°

11.

1242 Výsledek:

12.

1245 Výsledek:

2°

13.

1233 Výsledek:

14.

1237 Výsledek:

15.

1253 Výsledek:

172°

16.

1239 Výsledek:

17.

1248 Výsledek:

195°

18.

1231 Výsledek:

19.

1234 Výsledek:

20.

1240 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


108 z 156


1

21.

1246 Výsledek:

15°

22.

1232 Výsledek:

23.

1238 Výsledek:

24.

1241 Výsledek:

± Jednotková kružnice

Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je 1. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník.

± Funkce sinus

Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

23.9.2007 15:14:06


109 z 156


1

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony.

Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina

Poznámky: Funkce shora omezená:

23.9.2007 15:14:06


110 z 156


1

Funkce zdola omezená:

23.9.2007 15:14:06


111 z 156


1

Funkce periodická:

23.9.2007 15:14:06


112 z 156


1

Funkce lichá:

Funkce

se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a

23.9.2007 15:14:06


113 z 156


1

± Funkce kosinus

Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony.

Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a .

Poznámky: Funkce sudá:

23.9.2007 15:14:06


114 z 156


1

Funkce

se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a

± Funkce tangens

Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:

23.9.2007 15:14:06


115 z 156


1

Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny.

Poznámky: Funkce rostoucí:

23.9.2007 15:14:06


116 z 156


1

± Funkce kotangens

Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice:

Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:

V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny.

23.9.2007 15:14:06


117 z 156


1

Poznámky: Funkce klesající:

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka

Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:

23.9.2007 15:14:06


118 z 156


1

Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad 1: V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: |AB| = c = 8 cm |BC| = a = 5 cm a = ? [° ´] b = ? [° ´] ----------------------------

a c 5 sin a = 8

sin a =

23.9.2007 15:14:06


119 z 156


1

sin a = 0,625 a = 38°41´

a c 5 cos b = 8

cos b =

cos b = 0,625 b = 51°19´ Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41á vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´. Příklad 2: V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o. Řešení: |OQ| = p = 5 cm |úhel QOP| = 35°10´ |PQ| = o = ? [cm] -----------------------------

tg úhelQOP =

PQ OQ

|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP| |PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) |PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: |BC| = 1 díl |AB| = 18 dílů a = ? [°´] ------------------------------

tga =

BC

AB 1 tga = 18 tg a = 0,0556 a = 3°11´

23.9.2007 15:14:06


120 z 156


1

Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.

± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady 1.

Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.

Výsledek:

2.

3.

140,8 cm

Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

1477

1040 ks

Na obrázku jsou narýsovány tečny t 1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.

Výsledek:

1481

1476

5,7 cm


121 z 156


1

4.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC. Výsledek: a = 3,9 cm, b = 5,7 cm

1467

5.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a. Výsledek: 12,7 cm

1460

6.

Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?

1479

Výsledek:

22,8 cm

7.

V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. Výsledek: 24,3 cm2

1474

8.

Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty. Výsledek: 43,3 m2

1470

9.

Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.

1473

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

2

9083 cm


122 z 156


1

Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?

Výsledek:

1478

21 m

11.

Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. Výsledek: 0,83°

1461

12.

V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Výsledek: Úhel při vrcholu E má velikost 56°49á úhel při vrcholu F má velikost 33°11´

1468

13.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 24 cm, c = 30 cm. Výsledek: b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°

1464

14.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63°10´, a = 6,7 m Výsledek: b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°

1466

15.

Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48°30´, c = 3,2 m Výsledek: a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°

1465

Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm. 2 2,1 cm

1471

16.

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


123 z 156


Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.

Výsledek:

18.

20.

1463

6,5 dm

Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? Výsledek: S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.

23.9.2007 15:14:06

1480

36,1°

Tělesová úhlopříčka u1kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u 2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.

Výsledek:

1472

56,7 cm

Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?

Výsledek:

19.

1


1469

124 z 156


1

21.

V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. Výsledek: 54 cm

1475

22.

Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)

1462

Výsledek:

3,4 m

± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí

Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí

± Goniometrické funkce úhlů větších než 90°

Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90°.

23.9.2007 15:14:06


125 z 156


1

Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90° + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90° + a) = cos a cos (90° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90° + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců:

sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a

tg (90 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 -a):

23.9.2007 15:14:06


126 z 156


1

Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (180° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (180° - a) = sin a cos (180° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° - a) = - cos a

sin (180 - a ) sin a = = - tg a cos(180 - a ) - cos a cos(180 - a ) - cos a cotg (180 - a ) = = = -cotg a sin (180 - a ) sin a

tg (180 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (180° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (180° + a) = - sin a cos (180° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (180° + a) = - cos a

sin (180 + a ) - sin a = = tg a cos(180 + a ) - cos a cos(180 + a ) - cos a cotg (180 + a ) = = = cotg a sin (180 + a ) - sin a

tg (180 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (270° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° - a) = - cos a cos (270° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (270° - a) = - sin a

sin (270 - a ) - cos a = = cotg a cos(270 - a ) - sin a cos (270 - a ) - sin a cotg (270 - a ) = = = tg a sin (270 - a ) - cos a

tg (270 - a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. 23.9.2007 15:14:06


127 z 156


1

sin (270° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (270° + a) = - cos a cos (270° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (270° + a) = sin a

sin (270 + a ) - cos a = = -cotg a cos(270 + a ) sin a cos(270 + a ) sin a cotg (270 + a ) = = = - tg a sin (270 + a ) - cos a

tg (270 + a ) =

-------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360° - a) = - sin a cos (360° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360° - a) = cos a

sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a

tg (360 - a ) =

Ukázkové příklady: Příklad 1: Vypočtěte: sin 330° - cos 210° + tg 150° - 0,5 tg 45° Řešení: sin (360°- 30°) - cos (180° + 30°) + tg (180° - 30°) - 0,5 . 1 = = - sin 30° - (- cos 30°) + (- tg 30°) - 0,5 =

1 3 3 1 -3+3 3 - 2 3 -3 =- + - = = 2 2 3 2 6 =

-3+ 3 -3 3 = -1 + 6 6

Příklad 2: Vypočtěte: sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495°

23.9.2007 15:14:06


128 z 156


1

Řešení: Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360°, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 180°. sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° = sin 300° - cos 225° + 0,5 . tg 60° + tg 135° = = sin (360° - 60°) - cos (180° + 45°) + 0,5 . tg 60° + tg (90° + 45°) = = - sin 60° - (- cos 45°) + 0,5 . tg 60° + (- cotg 45°) =

3 2 1 + + . 3 -1 = 2 2 2 - 3+ 2 + 3-2 = = 2

=-

=

2 -1 2

± Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady 1.

1742 Výsledek:

0,134

2.

1732 Výsledek:

0,577

3.

1719 Výsledek:

1

4.

1744 Výsledek:

4

5.

1730 Výsledek:

-1

6.

1726 Výsledek:

0,577

7.

1715 Výsledek:

0

8.

1743 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

-2


129 z 156


1

9.

1713

Výsledek:

0,25

10.

1714 Výsledek:

0

11.

1737 Výsledek:

-1

12.

1712

Výsledek:

1

13.

1734 Výsledek:

-1,732

14.

1720 Výsledek:

-0,866

15.

1721 Výsledek:

-0,707

16.

1733 Výsledek:

1,732

17.

1731 Výsledek:

-1

18.

1729 Výsledek:

-1,732

19.

1740 Výsledek:

0

20.

1738 Výsledek:

1,155

21.

1739 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

-1,155


130 z 156


1

22.

1727 Výsledek:

1,732

23.

1735 Výsledek:

-0,577

24.

1741 Výsledek:

0

25.

1724 Výsledek:

0,125

26.

1717 Výsledek:

-0,5

27.

1725 Výsledek:

0

28.

1722 Výsledek:

-0,707

29.

1716 Výsledek:

0,707

30.

1728 Výsledek:

-0,577

31.

1718 Výsledek:

0,866

32.

1736 Výsledek:

-1

33.

1723 Výsledek:

-0,707

± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později. Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat:

23.9.2007 15:14:06


131 z 156


1

sin x cos x cos x cotg x = sin x

tgx =

sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x 2

2

sin x + cos x = 1 tg x . cotg x = 1 sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y sin (x - y) = sin x . cos y - cos x . sin y cos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin y cos (x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y

tgx + tgy 1 - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = 1 + tgx.tgy tg ( x + y ) =

sin 2x = 2sin x . cos x 2 2 cos 2x = cos x - sin x

tg 2 x =

2tgx 1 - tg 2 x

sin

x 1 - cos x = 2 2

cos

x 1 + cos x = 2 2

tg

x 1 - cos x = 2 1 + cos x

x+ y x- y cos 2 2 x+ y x- y sin x - sin y = 2 cos sin 2 2 x+ y x- y cos x + cos y = 2 cos cos 2 2 x+ y x- y cos x - cos y = -2 sin sin 2 2

sin x + sin y = 2 sin

Příklad 1:

23.9.2007 15:14:06


132 z 156


1

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:

Příklad 3:

Řešení:

Příklad 4:

Řešení:

Příklad 5:

Řešení:

Příklad 6:

23.9.2007 15:14:06


133 z 156


1

Řešení:

Příklad 7:

Řešení:

Příklad 8:

Řešení:

Příklad 9:

Řešení:

23.9.2007 15:14:06


134 z 156


1

Příklad 10:

Řešení:

± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 1.

1755

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


135 z 156


1

2.

1780

Výsledek:

3.

1767

Výsledek:

4.

1768

Výsledek:

5.

1775

Výsledek:

6.

1773

Výsledek:

7.

1765

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


136 z 156


1

8.

1761

Výsledek:

9.

1764

Výsledek:

10.

1762

Výsledek:

11.

1778

Výsledek:

12.

1774

Výsledek:

13.

1777

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


137 z 156


1

14.

1759

Výsledek:

15.

1766

Výsledek:

16.

1760

Výsledek:

17.

1763

Výsledek:

18.

1758 Výsledek:

19.

1770

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

2


138 z 156


1

20.

1769

Výsledek:

0

21.

1771

Výsledek:

1

22.

1772

Výsledek:

23.

1779

Výsledek:

24.

1776

Výsledek:

25.

1757 Výsledek:

26.

1756 Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


139 z 156


1

± Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad 1: Řešte rovnici sin x = 0,5 Řešení: Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30°. Platí tedy, že x1= 30° + k.360° Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180° - 30°) = 150° (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x2 = 150° + k.360° Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře:

Příklad 2: Řešte rovnici:

sin x = -

3 2

Řešení: Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici

sin x =

3 2

Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60°. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x1 = (180° + 60°) + k.360° = 240° + k.360° x2 = (360° - 60°) + k.360° = 300° + k.360° I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře:

Příklad 3: Řešte rovnici sin 2x = 0,5

23.9.2007 15:14:06


140 z 156


1

Řešení: V tomto případě je vhodné použít substituci: y = 2x Řešíme pak rovnici sin y = 0,5 Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y1 = 30°+ k.360° y2 = 150° + k.360° Vrátíme se k substituci a dostaneme: 2x1 = 30° + k.360° a odtud: x1 = 15° + k.180° 2x2 = 150° + k.360° a odtud: x2 = 75° + k.180° I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře:

Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x . sin 2x = 0 Řešení: Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části: 1. část: Řešíme cos 3x = 0 Substituce: y = 3x Rovnice cos y = 0 má řešení: y1´ = 90° + k . 360° y2´ = 270°+ k . 360° Vzhledem k tomu, že ale 270° = 3 . 90°, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90°. Získáme tak řešení: y1 = (2k + 1) . 90° Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (2k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme 2k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x1 = (2k + 1) . 90° neboli x1 = (2k + 1) . 30° 2. část: Řešíme sin 2x = 0 Substituce: y = 2x Rovnice sin y = 0 má dvě řešení: y1´= 0° + k . 360° y2´= 180° + k . 360° Vzhledem k tomu, že ale 180° = 2 . 90° a 0° = 0 . 90°, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90° a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90°. Získáme tak opět jediné řešení: y2 = 2k . 90° Vrátíme se k substituci a získáme: 2x2 = 2k . 90° neboli x2 = k . 90° Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře:

23.9.2007 15:14:06


141 z 156


1

Příklad 5: 2

Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 = 0 Řešení: Substituce y = cos x 2 Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 = 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y1 = -1,5 a y2 = 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x1 = -1,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-1; 1> cos x2 = 0,5 x2 = 60° + k . 360° x3 = (360° - 60°) + k . 360° = 300° + k . 360° Řešením tedy je x1 = 60° + k . 360°, x2 = 300° + k . 360°, neboli v obloukové míře:

± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 1.

1822

Řešte rovnici:

Výsledek:

2.

1785


3.

1833


4.

2

2

Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x . cos x - 5cos x = 2

1800

Výsledek:

5.

2

2

Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x = 0

1794

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


142 z 156


1 1783


7.

1811


8.

1832


9.

1817


10.

1782

Řešte rovnici: tg x = 1 Výsledek:

11.

2

Řešte rovnici: cos 2x = cos 2x

1803

Výsledek:

12.

2

2

Řešte rovnici: sin x + 1,5cos x = 2,5sin x . cos x

1801

Výsledek:

13.

1830


14.

Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = 8

1802

Výsledek:

15.

1813


16.

1806


17.

1807


23.9.2007 15:14:06


143 z 156


1 1821

Řešte rovnici:

Výsledek:

19.

Výsledek:

20.

1827

Řešte rovnici:

Rovnice nemá řešení. 1784

Řešte rovnici: cotg 6x = -1 Výsledek:

21.

Řešte rovnici: cos 2x = 2cos x

1796

Výsledek:

22.

Řešte rovnici: 2tg x - 3cotg x = 1

1792

Výsledek:

23.

1809


24.

1798


25.

1814

Řešte rovnici:

Výsledek:

26.

1825


27.

1826


23.9.2007 15:14:06


144 z 156


1 2

Řešte rovnici: sin 2x = 3sin x

1797

Výsledek:

29.

Řešte rovnici: sin x . (1 + 2cos x) = 0

1787

Výsledek:

30.

1828


31.

Řešte rovnici: sin x . cotg 2x = 0

1786

Výsledek:

32.

2

Řešte rovnici: 2sin x + sin x - 1 = 0

1793

Výsledek:

33.

1812

Řešte rovnici:

Výsledek:

34.

1808

Řešte rovnici:

Výsledek:

35.

1820

Řešte rovnici:

Výsledek:

36.

1829


37.

1818


23.9.2007 15:14:06


145 z 156


1 1824


39.

1819


40.

1791

Řešte rovnici:

Výsledek:

41.

2

1795

Řešte rovnici: 2sin x = 3cos x Výsledek:

42.

2

2

Řešte rovnici: sin x - 2sin x . cos x - cos x = 0

1799

Výsledek:

43.

Řešte rovnici: sin x . cos x == 0,25

1789

Výsledek:

44.

1805


45.

1788

Řešte rovnici:

Výsledek:

46.

1816


47.

1823


23.9.2007 15:14:06


146 z 156


1 1815

Řešte rovnici:

Výsledek:

49.

2

2

Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin 2x = 0

1790

Výsledek:

50.

1831


51.

1810


52.

1804

Řešte rovnici:

Výsledek:

53.

1781

Řešte rovnici: cos 2x = 1 Výsledek:

± Sinová věta

Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak:

a sin a = b sin b

;

b sin b = c sin g

;

c sin g = a sin a

nebo

a b c = = sin a sin b sin g Důkaz:

23.9.2007 15:14:06


147 z 156


1

Volme jednotkovou kružnici. Platí:

BC = a =

a r

Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu:

a2 2 = sin 2 2a + (1 - cos 2a ) = sin 2 2a + 1 - 2 cos 2a + cos 2 2a = 2 r = 2 - 2cos2a = 2.(1 - cos 2a ) = 2. sin 2 a + cos 2 a - cos 2 a + sin 2 a = 2

BC =

(

)

= 2.2 sin 2 a = 4 sin 2 a a2 = 4 sin 2 a 2 r a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme:

a = 2r sin a Obdobně bychom dokázali:

c b = 2r = 2r sin b ; sin g Odtud tedy platí:

a b c = = sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich.

23.9.2007 15:14:06


148 z 156


1

Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad 1: Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 123,07 m b = 65° 30´ 12´´ g = 72° 02´ 36´´ ----------------------------------Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a = 180° - (b + g ) = 180° - (65° 30´ 12´´ + 72° 02´ 36´´) = 180° - 137° 32´ 48´´= = 42° 27´12´´

a b = sin a sin b a. sin b b= sin a 123,07. sin 65°30´12´´ b= sin 42°27´12´´ b = 165,92 m

a c = sin a sin g a. sin g c= sin a 123,07. sin 72°02´36´´ c= sin 42°27´12´´ c = 173,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 42°27´12´´, strana b je dlouhá 165,92 metru a strana c má délku 173,45 m.

± Sinová věta - procvičovací příklady 1.

1844

Výsledek:

43,3 m

2.

1846 Výsledek:

3.

1843

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

103 m


149 z 156


1

4.

1847

Výsledek:

5.

1848 Výsledek:

6.

Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno:

1839

Výsledek:

7.

1849

Výsledek:

8.

2094 m

Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

319,1 m

9.

1842

Výsledek:

10.

8 523,3 m

8 219 m

Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

1837

251,6 m

11.

1834

Výsledek:

12.

1838

107,8 m

Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

1840

13° 18´ 36´´


150 z 156


1

13.

1845

Výsledek:

14.

Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: Výsledek:

15.

1841

21° 34´ 48´´

Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: Výsledek:

1835

11,35 m

Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: Výsledek:

16.

46 m

1836

23,75 m

± Kosinová věta

Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g , a stranami a, b, c platí: 2 2 2 a = b + c - 2bc.cosa 2 2 2 b = a + c - 2ac.cosb 2 2 2 c = a + b - 2ab.cosg Důkaz:

23.9.2007 15:14:06


151 z 156


1

a2 a = BC = 2 c 2

2

2

b2 b æb ö 2 BC = ç - cos a ÷ + sin a = 2 - 2 cos a + cos 2 a + sin 2 a = c c èc ø 2 b 2b = 2 + 1 - cos a c c 2

2

2

2

a = b + c - 2bc.cosa Je-li a > 90°, pak cosa = - cos(180° - a) a platí tedy: 2 2 2 a = b + c +2bc.cos(180° - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad 1: Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 78° Řešení: a = 7 cm c = 4 cm b = 78° b = ? [cm] a = ? [° ´] g = ? [° ´] -------------------------------------2 2 2 b = a + c - 2ac.cosb 2 2 2 b = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos 78° 2 b = 49 + 16 - 56 . cos 78° 2 b = 53,3576 b = 7,3 cm (po zaokrouhlení)

a b = sin a sin b a. sin b sin a = b 7. sin 78° sin a = = 0,9379 7,3 a = 69° 42´

a c = sin a sin g c. sin a sin g = a 4. sin 69°42´ sin g = = 0,5359 7

23.9.2007 15:14:06


152 z 156


1

g = 32° 24´ Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69° 42´, g = 32° 24´. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: 2

2

2

a = b + c - 2bc . cos a

b2 + c2 - a2 2bc 2 7,3 + 4 2 - 7 2 cos a = = 0,3474 2.7,3.4

cos a =

a = 69°40´ 2

2

2

c = a + b - 2ab . cos g

a2 + b2 - c2 cos g = 2ab 2 7 + 7,32 - 4 2 cos g = = 0,8443 2.7.7,3 g = 32°24´ Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější.

± Kosinová věta - procvičovací příklady 1.

1880

Výsledek:

75° 11´

2.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Výsledek: Trojúhelník neexistuje.

1874

3.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4 Výsledek: 104° 29´

1869

4.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Výsledek: Trojúhelník neexistuje

1873

5.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 49° 27´

1861

23.9.2007 15:14:06


153 z 156


1

6.

1850

Výsledek:

365,3 m

7.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4 Výsledek: 28° 57´

1867

8.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 29° 32´

1858

9.

1876

Výsledek:

70° 32´

38° 56´

10.

1855

Výsledek:

2,5

11.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 120° 49´

1866

12.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 115° 23´

1859

13.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 103° 55´

1862

14.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 29° 35´ 30´´

1864

15.

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 75° 45´

1879

16.

1882

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06

59°

70° 32´

50° 28´


154 z 156


1

17.

1854

Výsledek:

18.

3,6

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 41° 25´

1870

Výsledek:

19.

1883

Výsledek:

1635 m

20.

1851

Výsledek:

21.

5,6

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c = 2 : 3 : 4 46° 34´

1868

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m Výsledek: 35° 05´

1860

Výsledek:

22.

23.

1881

Výsledek:

117° 17´

24.

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m Výsledek: 29° 35´ 30´´

1865

25.

Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 36° 52´

1877

26.

1884

Výsledek:

27.

8 885 m

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 55° 46´

1871

Výsledek:

23.9.2007 15:14:06


155 z 156


1

28.

1857

Výsledek:

29.

1 825 N

Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m Výsledek: 315,5 m

30.

1856

Výsledek:

31.

7

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3 Výsledek: Trojúhelník neexistuje.

32.

5,3

Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 Výsledek: 82° 49´

34.

1872

1852

Výsledek:

35.

1875

1853

Výsledek:

33.

1863

5

Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m Výsledek: 67° 23´

23.9.2007 15:14:06


1878

156 z 156


1

Obsah Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady Iracionální rovnice Iracionální rovnice - procvičovací příklady Lineární rovnice s parametrem Lineární rovnice s parametrem - procvičovací příklady Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady Exponenciální funkce Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce Logaritmická funkce - procvičovací příklady Logaritmy Logaritmy - procvičovací příklady Věty o logaritmech Věty o logaritmech - procvičovací příklady Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice - procvičovací příklady Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice - procvičovací příklady Komplexní čísla Komplexní čísla - procvičovací příklady Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Krychle, kvádr, hranol - ukázkové příklady Krychle, kvádr, hranol - procvičovací příklady Stereometrie - válec Válec - ukázkové příklady Válec - procvičovací příklady Stereometrie - jehlan Jehlan - ukázkové příklady Jehlan - procvičovací příklady Stereometrie - kužel Kužel - ukázkové příklady Kužel - procvičovací příklady Stereometrie - koule Koule - ukázkové příklady Koule - procvičovací příklady Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Eukleidovy věty Eukleidovy věty - procvičovací příklady Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná 23.9.2007 15:14:06


1 3 4 6 7 10 11 13 18 19 21 22 26 27 33 34 43 44 46 48 52 54 58 60 63 72 75 77 78 79 80 81 83 83 84 85 86 87 88 89 91 92 93 93 94 95 97 99 101


1

Obsah Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Goniometrie a trigonometrie Orientovaný úhel Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90° Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice - procvičovací příklady Sinová věta Sinová věta - procvičovací příklady Kosinová věta Kosinová věta - procvičovací příklady

23.9.2007 15:14:06


102 103 103 103 103 107 109 109 114 115 117 118 121 125 125 129 131 135 140 142 147 149 151 153

M - Matematika - třída 2DOP celý ročník

Recommend Documents