Fizikai optika A fény mint hullám. A fényinterferencia feltételei, koherencia. Az elektromágneses fényelmélet szerint a (látható) fény egy olyan elektromágneses hullám, amelynek hullámhossza (vákuumban) 380 nm és 780 nm közötti tartományban van. A fényben tehát az elektromágneses tér jellemezői rezegnek, melyek a következők: Lineáris és izotróp közegben
• elektromos térerősség,
E
[V/m = N/C = N/As]
• elektromos eltolás,
D
[As/m2]
• mágneses indukció,
B
[T (tesla) = Vs/m2 = N/Am]
D = εr ε0 ⋅ E ,
• mágneses térerősség,
H
[A/m]
B = µ r µ0 ⋅ H ε 0 = 8.8542 ⋅10 −12 As Vm ,
• ε0 a vákuum permittivitása (dielektromos állandója): • εr a közeg relatív permittivitása,
µ 0 = 4π ⋅10 −7 Vs Am
• µ0 a vákuum permeabilitása: • µr a közeg relatív permeabilitása.
• Az elektromágneses tér jellemzőinek tér- és időbeli függését a Maxwell-egyenletek írják le. • Ezekből megmutatható, hogy töltés- és árammentes közegben a tér jellemzői kielégítik a hullámegyenletet. Ebből következtethetünk az elektromágneses hullámok létezésére! • Vákuumbeli a terjedési sebesség pontosan a vákuumbeli fénysebességgel azonos. Ezért (is) következtethetünk arra, hogy a fény is elektromágneses hullám!
A Maxwell-féle elmélet szerint az elektromágneses hullámok terjedési sebessége a közegre jellemző állandóktól függ: c=
1 c0 = ε0 ε r µ0 µ r εr µr
, ahol
c0 =
c0 c0T λ 0 = = c cT λ , ahol λ0 vákuumbeli hullámhossz
1 ε0 µ0
a vákuumbeli terjedési sebesség. (εr = 1 és µr = 1)
n=
n=
c0 = εr µr c
(Maxwell-féle reláció)
Elektromágneses síkhullám (a monokromatikus, párhuzamos, homogén fénynyaláb közelítőleg ilyen) c r ⎡ ⎛ x⎞ ⎤ r E = E0 sin ⎢ω ⋅ ⎜ t − ⎟ + α ⎥ ⋅ e y ⎣ ⎝ c⎠ ⎦ r ⎡ ⎛ x⎞ ⎤ r H = H 0 sin ⎢ω ⋅ ⎜ t − ⎟ + α ⎥ ⋅ e z ⎣ ⎝ c⎠ ⎦ A Maxwell-egyenletekből következik, hogy a két térmennyiség egymásra és terjedési irányra is merőleges és azonos fázisban változik. A hullám fázisát más alakba is felírhatjuk: ⎛ t nx⎞ x ⎞ ⎛ t x⎞ ⎛t ⎟⎟ = 2π(ν t − n k0 x) ω ⋅ (t − x c) = 2π⎜ − ⎟ = 2π⎜ − ⎟ = 2π⎜⎜ − ⎝ T cT ⎠ ⎝T λ ⎠ ⎝ T λ0 ⎠
A Maxwell-egyenletekből az is következik, hogy az amplitúdók nem függetlenek egymástól: E0 µ0 µr =Z = H0 ε0 εr
ε 0 ε r E02 = µ 0 µ r H 02
Z a közeg hullámellenállása. Vákuumra εr = µr = 1, így Z 0 = µ 0 ε 0 ≈ 377 Ω
vákuumra Az elektromágneses hullámok energiasűrűsége: w=
Tetszőleges elektromágneses hullámra:
1 1 ε 0 ε r E 2 + µ 0µ r H 2 2 2
Behelyettesítve a síkhullám formuláit: 1 w = ε 0 ε r E02 + µ 0 µ r H 02 sin 2 [ω ⋅ (t − x c) + α ] = ε 0 ε r E02 sin 2 [ω ⋅ (t − x c) + α ] 2 1 w = ε 0 ε r E02 A fényintenzitás kiszámításánál w időbeli átlagértéke számít: 2
(
)
Az energiaáramlás sűrűsége (Poynting-vektor) r r r E2 r r E2 S = E × H = 0 sin 2 [ω ⋅ (t − x c) + α ]e x = S e x , ahol S = 0 sin 2 [ω ⋅ (t − x c) + α ] Z Z A fény intenzitása E 2 ε0 εr E2 E2 E2 ε0 ε r ε ε E2 J = S = 0 sin 2 [ω ⋅ (t − x c) + α ] = 0 = 0 = 0 = 0 r 0 c 2 µ0 µr 2Z Z 2 ε0 ε r µ0 µ r 2 E02 Z H 02 J= = 2Z 2
J = wc
és
A fény interferenciája Mivel az interferencia hullámok találkozásánál fellépő jelenség, ezért a fény interferenciája a fény hullámtermészetének egyik bizonyítéka. A szuperpozíció elvével értelmezhető. • Ha a hullámok azonos fázisban találkoznak, akkor a hullám amplitúdója maximális, • ha a hullámok ellentétes fázisban találkoznak, akkor a hullám amplitúdója minimális. Hogyan függ a fényintenzitás a két találkozó fényhullám intenzitásától? r ⎤r ⎡ ⎛ t ns ⎞ s1 F1 E1 = A1 sin ⎢2π⎜ − 1 ⎟ + α1 ⎥ e y λ ⎠ P ⎦ ⎣ ⎝T
s2 F2
r ⎤r ⎡ ⎛ t ns ⎞ E 2 = A2 sin ⎢2π⎜ − 2 ⎟ + α 2 ⎥ e y λ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝T r r r r E = E1 + E 2 = A sin( 2π t T + α) e y δ = ϕ 2 − ϕ1 = 2π
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos δ
, ahol
A12 A22 A A2 + +2 1 J= = 2Z 2Z 2Z 2Z
A2 cos δ = J1 + J 2 + 2 J1 J 2 cos δ 2Z
J = J1 + J 2 + 2 J1 J 2 cos δ
( =(
J max = J min
J1 + J 2 J1 − J 2
) )
2
2
n s1 − n s2 + α 2 − α1 λ
, ha δ = 2mπ , ha
δ = (2m + 1)π
m = 0, ± 1, ± 2, K
Ha a két fényforrás azonos fázisban rezeg (α1 = α2) δ = 2mπ
∆ = n s1 − n s2 = 2m λ 2 = m λ
δ = (2m + 1)π
∆ = n s1 − n s2 = (2m + 1) λ 2
a maximális erősítés feltétele: a maximális gyengítés feltétele:
m = 0, ± 1, ± 2, K
Koherencia
• Minden napos tapasztalat, hogy két fényforrással egy helyre világítva, a megvilágított hely nem lesz sötétebb! (Az interferencia esetén ilyen előfordulhat!) • Többnyire a két fényforrás fényének intenzitása egyszerűen összeadódik, vagyis az eredő intenzitásra J = J1 + J2 áll fenn! • Miért nem tapasztaljuk általában az előzőekben tárgyalt interferenciát? • Ennek oka a fénykibocsátás sajátosságaival kapcsolatos! • Ha két fényhullám találkozásánál interferencia lép fel, akkor azt mondjuk, hogy a két fényhullám koherens. • Ha két fényhullám találkozásánál interferencia nem lép fel, akkor azt mondjuk, hogy a két fényhullám nem koherens, vagy inkoherens. • Tehát két fényhullám találkozásánál az eredő intenzitásra koherens esetben:
inkoherens esetben:
J = J1 + J 2 + 2 J1 J 2 cos δ
J = J1 + J 2
koherenciatag
A fénykibocsátás interferenciát befolyásoló sajátosságai, koherenciafeltételek • A fényforrások kiterjedtek. • A fényt a fényforrásban lévő gerjesztett atomok és/vagy molekulák sugározzák ki. • Szokásos fényforrásainknál a gerjesztett atomok (molekulák) fénykibocsátása egymástól függetlenül és rendszertelenül, spontán módon, az esetleg jelenlévő elektromágneses tértől függetlenül történik (spontán emisszió). • A fénykibocsátás igen rövid idejű (ps – ns nagyságrendű). Ennek következtében a kibocsátott fényhullám nem monokromatikus, hanem egy véges tér- és időbeli hosszúságú hullámvonulat (hullámcsomag). A hullámvonulat hosszát koherenciahossznak nevezik.
E
∆t
l = c ∆t ≈
λ20 ∆λ
t • Ahhoz, hogy a – hullámvonulat időtartamához képest viszonylag hosszú – megfigyelési idő alatt észlelhető interferencia jöjjön létre, időben állandó fáziskülönbség szükséges! • Ez – egyrészt – csak úgy jöhet létre, ha a találkozó fényhullámok (közel) azonos frekvenciájú (közel) monokromatikus hullámok.
• Másrészt általában, az egymástól független és rendezetlen elemi fénykibocsátások miatt az egyes hullámvonulatok fáziskülönbsége időben véletlenszerűen változik, vagyis az interferenciához szükséges időben állandó fáziskülönbség általában nem teljesül. • Például, az A és B pontokból származó (a1,b1) vonulatok – a fáziskülönbségtől függően – az átfedésük rövid ideje alatt létre hoznak valamilyen fényhatást (pl. erősítést). • Azonban, az egymást rendszertelenül követő további, (a2,b2), (a3,b3), … vonulatok már teljesen más fényhatást hoznak létre. • A detektor a hullámvonulatok hosszának megfelelő rövid időt nem képes felbontani, így az elemi folyamatokhoz tartozó intenzitások megfigyelési időre vonatkozó átlagát méri. • A rendszertelen fáziskülönbség miatt, a megfigyelési időre vonatkozólag a koherenciatag időbeli átlaga zérus. Ekkor a megfigyelt intenzitás a két intenzitás összege. • Ennek következtében a szokásos fényforrásoknál a fényinterferenciát csak akkor figyelhetünk meg, ha olyan fényhullámok találkoznak, melyek a fényforrás ugyanazon pontjából, és ugyanazon elemi fénykibocsátási folyamatból származnak. Ezt a feltételt kísérletileg nem könnyű megvalósítani, ezért érhető, hogy miért fedezték fel viszonylag későn a fényhullámtermészetét bizonyító interferenciajelenségeket. • Az interferenciához nyílván az is szükséges, hogy az elemi hullámvonulatok találkozzanak. A hullámok csak akkor találkoznak, ha az útkülönbségük egy adott érték alatt marad: Az interferenciához szükséges, hogy az útkülönbség a koherenciahossznál kisebb legyen.
t t t
F1 t t t
J
(
t
J1 + J 2
t t
) 2
F2
t J1+J2
t t t
y
Kiterjedt fényforrások esetén további feltétel szükséges a koherenciához • Az L1 pontból származó 1 és 1’ sugarak az s1’– s1 útkülönbségüktől függő fényhatást hoznak létre a P pontban.
P
ϑ=u
• Az L2 pontból származó 2 ás 2’ sugarak csak akkor keltik a P pontban ugyanazt a fényhatást, ha az útkülönbségük eltérése 1 és 1’ sugarak közötti útkülönbségtől a hullámhossznál sokkal kisebb, azaz ( s1' − s1 ) − ( s2 ' − s2 ) « λ ( s1' − s2 ' ) + ( s2 − s1 ) « λ
• A Fremat-elv miatt 1-n P-től L1-ig az optikai úthossz azonos a P-től az A2-ig a 2 mentén. • Hasonlóan,2’-n P- től L2-ig az optikai úthossz azonos a P-től az A1-ig az 1’ mentén. • Amelyekből:
s1' − s2 ' = D sin u
és
s2 − s1 = D sin u
• Vagyis ahhoz, hogy egy D kiterjedésű fényforrás esetén még megfigyelhető interferenciát kapjunk szükséges, hogy az interferenciát létesítő sugarak 2u nyílásszöge eleget tegyen a D sin u « λ 2
koherenciafeltételnek.
Interferenciajelenségek fénnyel. Interferométerek Az interferencia jelenségek osztályozása Az interferáló hullámok száma alapján • kétsugaras interferencia, • soksugaras interferencia. Az interferáló hullámok előállítása (a fényhullám osztásának módja) alapján • hullámfrontosztással előállított interferencia (pl. Young-kísérlet vagy Fresnel-féle tükör) • amplitúdóosztással előállított interferencia (pl. Michelson-féle interferométer). Young-Fresnel-féle interferenciák • Két divergens nyaláb találkozásánál létrejövő (ezért kétsugaras) interferenciajelenség, amely ernyőn felfogható minden olyan helyen, ahol a két nyaláb átfedi egymást. Gyűjtőlencsék képsíkjában keletkező interferenciák • Sík-párhuzamos lemeznél, ék alakú lemeznél, vékonyrétegeknél tapasztalható (két- és soksugaras) interferenciák. Young-Fresnel-féle interferenciajelenségek Young-féle interferenciakísérlet (1802)
Mekkora az interferenciacsíkok távolsága?
A világos csíkok helyét meghatározó feltétel: r1 − r2 = m λ ( r1 − r2 )(r1 + r2 ) = r12 − r22 |x|«a
és
b«a
r1 + r2 ≈ 2a
r12 = a 2 + (b 2 + x ) = a 2 + (b 2) 2 + bx + x 2 2
r22 = a 2 + (b 2 − x ) = a 2 + (b 2) 2 − bx + x 2 2
∆x =
r12 − r22 = 2bx
a λ b
( r1 − r2 ) ⋅ 2a = 2b ⋅ x
r1 − r2 = (b a ) ⋅ x
Az m-ed rendű világos csík helye: xm = m ⋅
∆x
∆x
• λ = 0,5 µm esetén ∆x ≥ 1 mm teljesüléséhez a/b ≥ 2000 szükséges. • Ez a tény jelentős mértékben közrejátszott abban, hogy a kísérletet csak az 1800-as évek elején sikerült elvégezni.
A Young kísérlet fizika történeti jelentősége: a fény hullámtermészetét bizonyítja.
Fresnel-féle kettőstükör
a λ b
Fresnel-féle biprizma
Lloyd-féle tükör
Michelson-interferométer
∆ = n 2d
Erősítés feltétele: ∆ = m⋅λ n ⋅ 2d = m ⋅ λ • A Michelson interferométer igen pontos távolságmérést tesz lehetővé, akár még λ/50 távolságváltozás – ez zöld fény esetén 0,01 µm (!) – is mérhető vele. • Az ábráról is látható, hogy a Michelson-interferométerrel a koherenciahossz megmérhető! • Spektroszkópiai alkalmazása is fontos.
Két- és soksugaras interferencia sík-párhuzamos és ék alakú lemezeken • Vékonyrétegeken, pl. vízen úszó olajfolton, szappanhártyán gyakran láthatunk színeződéseket. Ezek a vékonyréteg felső és alsó felületéről visszaverődő hullámok interferenciájával magyarázhatók meg. • Ezen típusú interferencia gyakorlati szempontból is lényeges, mert ezen alapul több fontos optikai eszköz működése. • Az interferencia-mintázatok egy gyűjtőlencse képsíkjában (pl. a szemünk retináján) jönnek létre. Ezért a fényforrás mérete nagy lehet, ugyanis az interferenciát létrehozó sugarak nyílásszöge 2u ≈ 0, így a fényforrás D méretére vonatkozó D · sin u « λ/2 feltétel nagy kiterjedésű fényforrásra is teljesül.
• Ez előnyösen befolyásolja az interferenciajelenség fényerrőségét.
Interferencia planparalel lemezeken • Az erősítés és gyengítés feltételének kiszámítása
AB = BC = CD = d cos β
∆ 21 = n ⋅ ( AB + BC ) − n0 AE ∆ 2 '1' = n ⋅ ( BC + CD ) − n0 BE ' 2d (n − n0 sin α ⋅ sin β) = cos β 2d n = (1 − sin 2 β) = 2d n cos β cos β
∆ 21 =
∆ 21 = 2d n 1 − sin 2 β
n0 sin α = n sin β
AE = BE ' = 2d ⋅ tg β ⋅ sin α
∆ 21 = ∆ 2 '1' = 2d n 2 − n02 sin 2 α • Optikailag sűrűbb közeg határán való visszaverődésnél a kísérletek szerint – összhangban az elmélettel – 180º fázisugrás lép fel, amelynek ±λ/2 útkülönbség felel meg. Ezért visszavert fény estén az optikai úthosszhoz még ±λ/2 hozzá kell adni. • A 180º fázisugrás miatt a visszavert és az átmenő fényben az interferenciaképek egymás komplementerei. ⎧ (2m + 1) λ 2 esetén maximum • Visszavert fényre: m = 0, 1, 2, K 2d n 2 − n02 sin 2 α = ⎨ ⎩2m λ 2 = mλ esetén minimum • Átmenő fényre megfordítva, összhangban a két jelenség komplementer jellegével.
• Az interferencia láthatósága J0 R ≈n00,04
R·J0 α
T = 1–R d
R3·T 2·J
n
0
R7·T 2·J
R5·T 2·J0
R·T 2·J0
Visszavert fény esetén J2 = T 2 = 0,9216 J1 J3 J4 = = K = R 2 = 0,0016 J2 J3
0
R9·T 2·J0
T ·J0
Átmenő fény esetén J2 J3 = = K = R 2 = 0,0016 J1 J 2
β
n0 visszavert
R2·T 2·J0 T 2·J0
R6·T 2·J0 R4·T 2·J0
R10·T 2·J0 R8·T 2·J0
• Mivel R kicsi az interferencia gyakorlatilag kétsugaras!
• Visszavert fény esetén a két hullám intenzitása közel egyenlő (92,16%). • Átmenő fényre a második nyaláb sokkal kisebb intenzitású mint az első (0,16%). • Ezért, bár a visszavert fényre a jelenség sokkal fényszegényebb, mégis az interferencia kontrasztja sokkal jobb!
átmenő
• Az interferenciajelenség láthatósága: V=
J max − J min J max + J min
( 0 ≤V ≤1)
Alkalmazások Egyenlő beesés görbéi • Egy adott α beesési szögű fénysugarat a lemez két párhuzamos fénysugárra bont, melyek a lencse fókuszsíkjának egy adott pontjában találkoznak és itt az útkülönbségüknek megfelelően interferálnak. • Egy adott lemezre az interferáló két sugár közötti útkülönbség csak az α beesési szögtől függ. • Így, az azonos beesési szögű fénysugarak azonos fényhatást létesítenek a fókuszsík nekik megfelelő pontjában. Ezek a pontok egy görbén helyezkednek el. Nyílván más beesési szöghöz más fényhatású görbe tartozik. • Mivel egy adott görbéhez ugyanolyan beesési szög tartozik, ezért az azonos beesés görbéinek nevezik a fókuszsíkban létrejövő görbéket. Reflexió csökkentés • Az üvegre egy adott törésmutatójú vékonyréteg felvitelével a felület reflexiója csökkenhető. • A reflexió csökken, ha a két felületről visszaverődő hullámok gyengítik egymást. Ennek feltételei: n x ⋅ 2d = λ 2
és
nx nü = n0 nx
nx = n0 nü ≈ nü
levegő
n0 nx
d
nü üveg és
d=
λ λ ≈ 4 n0 nü 4 nü
Vékonyrétegek egyenletes színeződése • Fehér fényt alkalmazva interferenciát csak vékonyrétegek esetén figyelhetünk meg, hiszen az útkülönbségnek kisebbnek kell lennie mint a koherenciahossz, amely fehér fényre csak néhány hullámhossznyi. • A rétegre távolról ránézve – a pupilla fényhatárolása miatt – előfordulhat, hogy csak bizonyos irányokból jutnak sugarak a szemünkbe. • Ha az adott irányból egy adott spektrumszínre kioltás van, akkor szemünkben a színkeverés miatt a spektrumszín kiegészítő (komplementer) színének megfelelő színérzet áll elő. Azaz a réteg (adott része) a kioltott spektrumszín komplementerében látszik. • Nagyon vékony rétegeknél (d « λ) az optikai úthosszkülönbség elhanyagolható. Így az optikailag sűrűbb felületen fellépő a 180º-os fázisugrás miatt a megfigyelési szögtől függetlenül kioltás lép fel. Vagyis a rétegre ránézve, sötétnek látszik a felülete! Soksugaras interferencia planparalel lemezen • A lemez felületeinek reflexióképessége vékony fém- (pl. ezüst, arany) réteggel való bevonásával megnövelhető. Ekkor az interferenciánál már soksugaras lesz. • A reflexióképesség a beesési növelésével növelhető. Ha a lemezen belül a beesési szög közel van a teljes visszaverődés határszögéhez, akkor a reflexióképesség megnő (LummerGehrcke-lemez). • Soksugaras interferenciánál a világos csíkok, gyűrűk sokkal keskenyebbek! (lásd később)
Az átengedett (transzmittált) intenzitás szemléltetése soksugaras interferenciánál.
n0 d
n
α
két egymást követő hullám közötti fáziskülönbség: β δ=
4π nd cos β λ
It =
Ii
n0
1 + F sin 2
F=
δ 2
4R (1 − R) 2
R a reflexiós tényező
Fabry-Perot-interferométer
A soksugaras interferencia sokkal keskenyebb intenzitáseloszlást eredményez mint a kétsugaras interferencia.
A Fabry-Perot interferométerrel igen nagy felbontás érhető el spektrumok vizsgálatánál!
Interferencia ék alakú lemezeken P' P’
P P • A lencse helyzetét a megfigyelés helyétől és irányától függőn kell megválasztani. • A megfigyelésnél kis belépési pupillájú lencsét kell alkalmazni, mert különben a lencsébe jutó más irányú sugarak hatására az interfenciacsíkok elmosódnak.
L1
L2 F F Q’
Q' a a a' a ' Q
• Ha L1 és L2 lencsék szerepét a szemlencsénk helyettesíti, akkor az első esetben az ék alatt, míg a második esetben az ék felett látjuk az interferenciajelenséget.
θ
Q
Azonos vastagság görbéi • Adott beesési szög esetén az útkülönbség a lemez vastagságától függ. Így a képsíkban látható az azonos fényhatású interferenciagörbék pontjaihoz a lemez vastagságú helyei tartoznak.
d ≈ x⋅ϑ ∆ = n2d
• Ezért a képsíkbeli görbéket az azonos vastagság görbéinek nevezik. • Igen kis hajlásszögű ék esetén, közel merőleges beesésnél, az ék élével párhuzamos csíkrendszert látunk az ék felületén. λ xm( v ) = (m + 1 2) • A világos és sötét csíkok helyei: 2nϑ
xm( s ) = m
λ 2nϑ
Newton-féle gyűrűk Fehér fény esetén a gyűrűk színesek.
• Optikai úthosszkülönbség ∆ = nl 2d ≈ nl r 2 R
r = ∆ R nl
Sötét gyűrűk sugara • Visszavert fény esetén (fázisugrás) d≈
r2 2R
∆ + λ 2 = (2m + 1) λ 2
∆ = mλ
m = 0, 1, 2, K rm = mλ R nl ≈ mλR • Átmenő fény esetén (nincs fázisugrás) ∆ = (2m + 1) λ 2 rm = (m + 1 2)λ R nl ≈ (m + 1 2)λR • A gyűrűk sugara a hullámhossz gyökével arányos.
