Logaritmen

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering

H. 9 9.1

WISKUNDE

H.9

Het getal e / Logaritmen Het getal e

Het getal e is een speciaal getal in de wiskunde, net zoals het getal π. Het is als volgt gedefinieerd:

1 1 1 1 1 + + + + """"" 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5

e = 1+ +

Als we dit uitrekenen, dan wordt de waarde van het getal

e=

e:

2.718281828459"""

En afgerond op 2 decimalen:

e≈

2.72

Er is ook nog een andere manier om het getal e te benaderen met behulp van de exponentiële functie. Zie Wisnet in de cursus “Exponentiële functies en logaritmen”.


9.2

WISKUNDE

H.9

De exponentiële functie f ( x) = g x

De exponentiële functie is een functie van de

vorm:

In deze functie is x de (onafhankelijke) variabele, terwijl g een constante is. Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële functie. In een exponentiële functie noemen we g het grondtal en x de exponent. We eisen dat het grondtal g groter dan 0 is, oftewel: g > 0 . Voorbeelden van exponentiële functies zijn: f ( x) = 2 x f ( x) = 10 x Een speciale exponentiële functie Om de grafiek van f ( x ) = grafiek: x = −2 :

x = −1: x = 0: x = 1: x = 2:

y = f ( −2 ) =

f ( x) =

ex

is:

e x te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze

e − 2 ≈ 0.14 y = f ( −1) = e − 1 ≈ 0.37 y = f ( 0) = e 0 = 1 y = f (1) = e 1 ≈ 2.72 y = f ( 2 ) = e 2 ≈ 7,39 y = f ( 3) = e 3 ≈ 20, 09

⇒

A ( −2 , 0.14 )

⇒ B ( −1 , 0.37 ) ⇒ C ( 0 , 1) ⇒ D (1 , 2.72 ) ⇒ E ( 2 , 7.39 )

x = 3: ⇒ F ( 3 , 20.09 ) Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

f ( x) =

ex


H.9

WISKUNDE

Voorbeeld 1: Teken de grafiek van functie f ( x ) =

e−x .

Oplossing: We bepalen weer eerst enkele punten van deze grafiek:

x = −3 : x = −2 : x = −1: x = 0: x = 1: x = 2:

y = f ( −3) =

e 3 ≈ 20.09 y = f ( −2 ) = e 2 ≈ 7.39 y = f ( −1) = e 1 ≈ 2.72 y = f ( 0) = e 0 = 1 y = f (1) = e − 1 ≈ 0.37 y = f ( 2 ) = e − 2 ≈ 0.14

⇒

A ( −3 , 20.09 )

⇒ B ( −2 , 7.39 ) ⇒ C ( −1 , 2.72 ) ⇒ D ( 0 , 1) ⇒ E (1 , 0.37 ) ⇒ F ( 2 , 0.14 )

Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

f ( x) =

e −x

Opmerking: Dit is ook de grafiek van de functie f ( x ) =

1

ex


9.3

WISKUNDE

H.9

Logaritmen

Definitie logaritme:

log g (a) is een getal c, zodanig dat g c = a .

Of anders gezegd:

log g (a) = c ⇔

gc = a

In de logaritmische vorm log g (a) = c noemen we g het grondtal, a het argument en c de exponent. Het grondtal g moet aan de volgende eisen voldoen: Het argument a moet aan de volgende eis voldoen:

g > 0 en g ≠ 1 a>0

Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen: 1a.

log 2 (8) Oplossing:

log 2 (8) = 3 , omdat 23 = 8

1b.

log 5 (25) = 2

⇔ 52 = 25

2a.

log 4 (16) = 2 ⇔ 42 = 16

2b.

log10 (1000) = 3 ⇔ 103 = 1000


WISKUNDE

Eigenschappen voor logaritmen:

Eig. 1

log g (a ⋅ b) = log g (a) + log g (b)

Eig. 2

⎛a⎞ log g ⎜ ⎟ = log g (a) − log g (b) ⎝b⎠

Eig. 3

log g ( a p ) = p ⋅ log g ( a )

Eig. 4

log g ( g ) = 1

Eig. 5

log g (1) = 0

Voorbeelden: Herleid de volgende uitdrukkingen tot één logaritme: 1.

log 3 ( x + 1) + log 3 (2 x − 5) Oplossing: M.b.v. eigenschap 1:

log 3 ( x + 1) + log 3 (2 x − 5) = log3 (( x + 1)(2 x − 5))

2.

log 3 ( x + 1) − log 3 (2 x − 5) Oplossing: M.b.v. eigenschap 2: log 3 ( x + 1) − log 3 (2 x − 5) = ⎛ x +1 ⎞ log 3 ⎜ ⎟ ⎝ 2x −5⎠

3a.

3 ⋅ log 5 ( x) + log 5 ( x + 1) Oplossing: Eerst eigenschap 3: 3 ⋅ log 5 ( x) + log 5 ( x + 1) = log 5 ( x 3 ) + log 5 ( x + 1)

Dan eigenschap 1:

log 5 ( x 3 ( x + 1)) 3b.

log 2 ( x − 2) − 2 ⋅ log 2 ( x + 2) = log 2 ( x − 2) − log 2 (( x + 2) 2 ) = ⎛ x−2 ⎞ log 2 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ( x + 2) ⎠

H.9


WISKUNDE

H.9

Speciale grondtallen bij logaritmen: Er zijn bij logaritmen 2 grondtallen die allebei veel voorkomen. Dat zijn het grondtal 10 en het grondtal e . Omdat ze zoveel gebruikt worden, heeft de bijbehorende logaritme een speciale notatie gekregen. Bij grondtal 10 schrijven we in plaats van 10 log a meestal: log a . Dit noemen we de Briggse logaritme. Bij grondtal e schrijven we in plaats van log e (a ) altijd: ln(a ) . Dit noemen we de natuurlijke logaritme. De 5 eigenschappen voor logaritmen zijn uiteraard ook van toepassing op natuurlijke logaritmen. Voorbeeld: ln ( 2 x ) + ln ( 3 y ) ⇒ ln ( 6 x y ) Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmachine) de volgende uitdrukkingen: 1a.

log (100 )

Oplossing:

log (100 ) = log (102 ) = 2 ⋅ log (10 ) = 2 × 1 = 2

1b.

⎛ 1 ⎞ log ⎜ 6 ⎟ = log (10−6 ) = −6 ⋅ log(10) = −6 ×1 = −6 ⎝ 10 ⎠

2a.

ln ( e 4 ) Oplossing:

2b.

ln ( e 4 ) = 4 ⋅ ln ( e ) = 4 × 1 = 4

⎛ 1 ⎞ ln ⎜ 3 ⎟ = ln(e −3 ) = −3 ⋅ ln(e) = −3 × 1 = −3 ⎝e ⎠


9.4

H.9

WISKUNDE

De logaritmische functie

De logaritmische functie is een functie van de

Als g gelijk is aan

f ( x ) = log g ( x )

vorm:

f ( x ) = ln( x)

e , dan schrijven we:

Om de grafiek van f ( x ) = ln( x) te tekenen, bepalen we eerst enkele punten van deze grafiek: x = 0,5 : y = f ( 0,5 ) = ln ( 0.5 ) ≈ −0.69

⇒

A ( 0.5 , − 0.69 )

x = 1:

y = f (1) = ln (1) = 0

⇒ B (1 , 0 )

x = 2:

y = f ( 2 ) = ln ( 2 ) ≈ 0.69

⇒ C ( 2 , 0.69 )

x = 5:

y = f ( 5 ) = ln ( 5 ) ≈ 1.61

⇒ D ( 5 , 1.61)

x = 10 :

y = f (10 ) = ln (10 ) ≈ 2.30

⇒ E (10 , 2.30 )

x = 100 :

y = f (100 ) = ln (100 ) ≈ 4.61

⇒ E (100 , 4.61)

Als we de punten getekend hebben, dan tekenen we de grafiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultaat is dan:

f ( x ) = ln ( x )


9.5

WISKUNDE

H.9

Rekenregel voor de verandering van het grondtal bij logaritmen

Eigenschap 6:

log a ( b ) =

log g ( b )

log g ( a )

Met deze regel kunnen we het grondtal a van een logaritme veranderen in grondtal g. Voorbeelden: 1a.

Bereken de logaritme log 2 ( 5 ) door over te gaan op grondtal 10. Oplossing: log10 ( 5 ) 0.69897 log 2 ( 5 ) = ≈ ≈ 2.322 log10 ( 2 ) 2.30103

1b.

Bereken de logaritme log 5 (12 ) door over te gaan op grondtal Oplossing:

log 5 (12 ) =

ln (12 ) 2.48491 ≈ ≈ 1.54396 ln ( 5 ) 1.60944

e.


9.6

WISKUNDE

H.9

Exponentiële vergelijking

Een exponentiële vergelijking is een vergelijking van de vorm:

a

f ( x)

= b

Omdat de variabele x in de exponent staat, noemen we dit een exponentiële vergelijking. Dergelijke vergelijkingen gaan we oplossen door aan beide kanten van het ‘= -teken’ de natuurlijke logaritme te nemen. Voorbeelden: Los de volgende vergelijkingen op: 1a.

2x = 6 Oplossing: Neem de natuurlijke logaritme van het linker- en het rechterlid: 2 x = 6 ⇒ ln(2 x ) = ln ( 6 )

Dan eigenschap 3 van de logaritmen: x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 6 )

Vervolgens deze vergelijking oplossen en x vrijmaken:

x= 1b. 3 x = 12 Oplossing: ln(3 x ) = ln(12) x ⋅ ln(3) = ln(12) x=

ln(12) ≈ 2.26186 ln(3)

ln ( 6 ) 1.7918 = = 2.585 ln ( 2 ) 0.6931

⇒ ⇒

Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering 2.

5 x −1 = 2 Oplossing: ln(5 x −1 ) = ln ( 2 )

⇒

( x − 1) ⋅ ln ( 5 ) = ln ( 2 )

x −1 =

⇒

ln ( 2 ) ln ( 5 )

0.6931 1.6094 x − 1 = 0.431

x −1 =

⇒ ⇒ ⇒

x = 1.431 3.

6 2 x +5 = 9 Oplossing: ln(6 2 x +5 ) = ln 9

⇒

(2 x + 5) ⋅ ln ( 6 ) = ln ( 9 )

2x+5=

ln ( 9 ) ln ( 6 )

2x+5=

2.1972 1.7918

⇒

⇒

⇒

2 x + 5 = 1.226

⇒

2 x = 1.226 − 5

⇒

2 x = −3.774

⇒

x = − 1.887

WISKUNDE

H.9

Logaritmen

Recommend Documents