Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I

Lineární a adaptivní zpracování dat 8. Modely časových řad I.

Daniel Schwarz

Investice do rozvoje vzdělávání

Cíl, motivace Popis a identifikace systémů

BLACK BOX

Bi0440

© Institute of Biostatistics and Analyses


BLACK BOX

Bi0440



BLACK BOX

Bi0440



z‐1

z‐1 c1

z‐1 c2

z‐1 cq‐1

cq +

Analýza, Simulace, Predikce, Monitoring, Diagnostika, Řízení

Bi0440


Časové řady Definice časové řady: …………………………?...............................

Bi0440


Časové řady Definice časové řady: uspořádaná posloupnost hodnot závislé proměnné měřené v ekvidistantních časových intervalech.

Bi0440


Časové řady Definice časové řady: uspořádaná posloupnost hodnot závislé proměnné měřené v ekvidistantních časových intervalech. 355

350

koncentrace CO2

345

340

335

330

325 1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

čas

Bi0440


Signály vs. časové řady

??? SIGNÁLY ≈ ČASOVÉ ŘADY

Bi0440


Signály vs. časové řady

1‐D DISKRÉTNÍ SIGNÁLY ≈ ČASOVÉ ŘADY

Bi0440


Časové řady Definice časové řady: uspořádaná posloupnost hodnot závislé proměnné měřené v ekvidistantních časových intervalech. Využití modelů časových řad je dvojí: 1. ……………………..?........................ 2. ……………………..?........................

Bi0440


Časové řady Definice časové řady: uspořádaná posloupnost hodnot závislé proměnné měřené v ekvidistantních časových intervalech. Využití modelů časových řad je dvojí: 1. porozumění procesu, který vyprodukoval pozorovaná data 2. předpovídání budoucích hodnot, případně i jejich ovlivňování ‐> řízení

Bi0440


Dekompozice časových řad – aditivní model

X(t)=T(t)+S(t)+C(t)+I(t)

Trendová složka Sezónní složka Cyklická složka

Bi0440

Nesystematická složka






Časové řady je možné očistit od sezónnosti, což umožňuje lépe porovnávat trend několika časových řad. Bi0440






Časové řady lze očistit od trendu, což umožňuje lépe modelovat sezónnost, protože charakter sezónnosti je výraznější. Bi0440






S(t) vs. C(t): liší se periodou. • S(t): den, týden, měsíc, kvartál, rok • C(t): perioda > 1 rok Bi0440






T(t): trendové funkce: lineární, kvadratická, exponenciální, logistická, …

Bi0440


Stacionarita Stacionarita je obvyklým předpokladem většiny technik analýzy časových řad. Definice stacionárního procesu: …………… ? …………..

Bi0440


Stacionarita Stacionarita je obvyklým předpokladem většiny technik analýzy časových řad. Definice stacionárního procesu: jedná se o náhodný proces jehož rozdělení pravděpodobnosti se v čase nemění. V důsledku toho se nemění ani parametry jeho pravděpodobnostní funkce (např. střední hodnota, rozptyl). Autokorelační funkce stacionárního procesu závisí pouze na rozdílu svých argumentů.

Předpokladem stacionarity rozumějme ty časové řady či signály, které jsou bez trendu, mají s měnícím se časem stejný rozptyl a stejnou podobu autokorelační funkce.

Bi0440


Stacionarita V případě nestacionárních časových řad lze provést: 1. diferencování dxi = xi‐xi‐1 2. odstranění trendu odečtením proložené trendové funkce (polynom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady.

Bi0440



Bi0440



Funguje dobře jen pro lineární trend

Bi0440


Stacionarita V případě nestacionárních časových řad lze provést: 1. diferencování dxi = xi‐xi‐1 2. odstranění trendu odečtením proložené trendové funkce (např. polynom atd.) 3. stabilizace rozptylu logaritmizací čtverce řady.

Bi0440


Sezónnost Sezónní složka popisuje periodické změny v signálu či časové řadě.

• Je‐li sezónní složka v datech přítomna, musí být zahrnuta do modelu. • Detekce periodické složky pomocí: • ....................... ? ………………………. • ....................... ? ………………………. • ....................... ? ……………………….

Bi0440



• Je‐li sezónní složka v datech přítomna, musí být zahrnuta do modelu. • Detekce periodické složky pomocí: • sezónní vizualizace v případě, že periodu složky známe • autokorelační funkce signálu • spektra signálu

Bi0440




Bi0440




Bi0440




Bi0440




Bi0440



• Je‐li sezónní složka v datech přítomna, musí být zahrnuta do modelu. • Detekce periodické složky pomocí: • sezónní vizualizace v případě, že periodu složky známe • autokorelační funkce signálu •spektra signálu

Bi0440



• Je‐li sezónní složka v datech přítomna, musí být zahrnuta do modelu. • Detekce periodické složky pomocí: • sezónní vizualizace v případě, že periodu složky známe • autokorelační funkce signálu • spektra signálu perioda 12 měsíců

Bi0440

perioda 6 měsíců


Sezónní diference Sezónní diference je diference mezi okamžiky vzdálenými o celistvý násobek periody.

• Diferencí se data zbavují lineárního trendu • Sezónní diferencí se data zbavují sezónních vlivů.

Bi0440


Exponenciální vyhlazování a predikce

yˆ n = αyn + (1 − α ) yˆ n −1

Vážené (exponenciální) průměry Konstanta vyhlazování Bi0440



yˆ n = αyn + (1 − α ) yˆ n −1 = αyn + (1 − α )[αyn −1 + (1 − α ) yˆ n − 2 ] = = αyn + α (1 − α ) yn −1 + (1 − α ) [αyn − 2 + (1 − α ) yˆ n −3 ] = 2

n −1

i

= α ∑ (1 − α ) yn −i + (1 − α ) yˆ 0 n

i =0

„Exponenciální filtr“: • FIR nebo IIR? • MA nebo AR?

Bi0440



yˆ n = αyn + (1 − α ) yˆ n −1 = αyn + (1 − α )[αyn −1 + (1 − α ) yˆ n − 2 ] = = αyn + α (1 − α ) yn −1 + (1 − α ) [αyn − 2 + (1 − α ) yˆ n −3 ] = 2

n −1

i

= α ∑ (1 − α ) yn −i + (1 − α ) yˆ 0 n

i =0

Klouzavý průměr (MA) s exponenciálním zapomínáním

n −1

i

yˆ n = α ∑ (1 − α ) yn −i

Pokud uměle zkrátíme impulsní charakteristiku, která je pro „exponenciální filtr“ přirozeně nekonečná.

i =0

Bi0440


Exponenciální vyhlazování a predikce n −1

i

yˆ n = α ∑ (1 − α ) yn −i i =0

Užívá se jako jednoduchá technika předpovídání s horizontem predikce m=1.

Bi0440



i

yˆ n = α ∑ (1 − α ) yn −i i =0

Užívá se jako jednoduchá technika předpovídání s horizontem predikce m=1.

Exponenciální průměr v čase t je predikcí časové řady v čase t+1

Bi0440



i

yˆ n = α ∑ (1 − α ) yn −i i =0

Užívá se jako jednoduchá technika předpovídání s horizontem predikce m=1. Předpovídání formou korekce chyby predikce

yˆ n = αyn + (1 − α ) yˆ n −1 = α ( yn − yˆ n −1 ) + yˆ n −1 = αeˆn + yˆ n −1 Predikce na čas n+1 se určí jako součet predikce na čas n a α‐násobku chyby predikce na čas n.

Bi0440



i

yˆ n = α ∑ (1 − α ) yn −i i =0

Užívá se jako jednoduchá technika předpovídání s horizontem predikce m=1. Předpovídání formou korekce chyby predikce

yˆ n = αyn + (1 − α ) yˆ n −1 = α ( yn − yˆ n −1 ) + yˆ n −1 = αeˆn + yˆ n −1 Predikce na čas n+1 se určí jako součet predikce na čas t a α‐násobku chyby predikce na čas n.

Bi0440


Modely časových řad Jakoukoli stacionární časovou řadu či signál s náhodnou složkou generuje stochastický proces, kterému lze přiřadit jeden z těchto modelů: • • • •

čistě rekursivní model nerekursivní model s klouzavým průměrem kombinovaný model bílý šum

Bi0440

AR – autoregressive MA – moving average ARMA ν


Bílý šum Náhodný proces označujeme za bílý šum, pokud jeho střední hodnota a autokorelační funkce (ACF) splňují tyto podmínky: Diracova distribuce

μν = Ε{ν n } = 0 , Rνν (n1 , n2 ) = Ε{ν (n1 )ν (n2 )} =

N0 δ (n1 − n2 ). 2

1000

0.6 0.4

800

0.2

600

Rww(n1,n2)

w(n)

Empirická ACF

0 -0.2 -0.4

400 200 0

-0.6 0

20

40

60 n

Bi0440

80

100

-200 -100

-50

0 50 n1-n2 © Institute of Biostatistics and Analyses

100

Bílý šum Bílý šum má rovnoměrnou spektrální hustotu výkonu.

Zdroj: wikipedia. Bi0440


Barevný šum Barvy šumu – viz Wikipedia (jen zajímavost)…

Zdroj: wikipedia. Bi0440


8. cvičení 1) Vytvořte aditivní model (funkce v Matlabu) pro náhodný proces generující časovou řadu která představuje celodenní monitoring krevního tlaku člověka. Měřící zařízení snímá tlak 4x v hodině. Tlak roste při probouzení a klesá při usínání (dipping) zhruba formou cosinusového průběhu. Jako rušivou složku volte bílý šum. Jako parametry modelu volte: • Délku výsledných časových řad • Průměrný tlak krve za den v mmHg • Dipping v procentech • Amplitudový poměr signálu a šumu Pozn.: Výstupem funkce bude ideální časová řada a dále časová včetně rušení.

Bi0440


8. cvičení 2) Časovou řadu z předchozího příkladu (monitoring TK) zpracujte pomocí kumulačních technik zvýrazňování signálu v šumu s cílem získat z mnoha vygenerovaných repetic (period) jednu průměrnou. Jedná se o vizualizaci sezónní složky časové řady a zároveň se jedná o kumulační zvýraznění signálu z šumu.

Bi0440


8. cvičení 3) Na časové řadě vygenerované v příkladu 1 (monitoring TK) vyzkoušejte techniku „exponenciální vyhlazování a predikce“. Vyhodnoťte kvantitativně kvalitu predikce jednoho následujícího vzorku řady z M předchozích.

Bi0440


8. cvičení – příklad č. 1 [xclean,x,t]=monitoringtk(2*24*4,100,15,1,1,1); plot(t,x,'c:'), hold on, plot(t,xclean,'k');

Bi0440


8. cvičení – příklad č. 1

Bi0440



Bi0440



Bi0440



Bi0440



alfa=0.8

Bi0440



alfa=0.4

Bi0440



Bi0440


;

ffgf

Otázky ? [email protected]

55 Bi0440


Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I

Recommend Documents