Line´ arn´ı algebra — 5. pˇ redn´ aˇ ska: B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav Dalibor Luk´ aˇ s Katedra aplikovan´e matematiky ˇ FEI VSB–Technick´ a univerzita Ostrava email:
[email protected] http://homel.vsb.cz/∼luk76/LA1 Text byl vytvoˇren v r´amci realizace projektu Matematika pro inˇzen´yry 21. stolet´ı (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kter´em se spoleˇcnˇe pod´ılela Vysok´a ˇskola b´an ˇsk´a – Technick´a univerzita Ostrava a Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni
B´ aze vektorov´ eho prostoru B´ aze je uspoˇra´dan´a mnoˇzina vektor˚ u generuj´ıc´ı jednoznaˇcnˇe cel´y prostor. • e1, e2 tvoˇr´ı b´azi R2, a tedy generuj´ı R2 jednoznaˇcnˇe: 1
∀x := (x1, x2) ∈ R2 : x = x1e1 + x2e2 .
0.9
f2
0.8
• f1, f2 netvoˇr´ı b´azi R2, nesplˇnuj´ı 2. ani 3.
0.7 0.6
x2
e2
0.5
• e1, e2, f2 netvoˇr´ı b´azi R2, nejsou lin. nez´avisl´e:
f1
0.4 0.3
∀x := (x1, x2) ∈ R2 : x = x1e1+x2e2 = (x1−x2)e1+x2f2.
0.2
e1
0.1 0 0
0.2
0.4
x1
0.6
0.8
1
• e1, f2 tvoˇr´ı b´azi R2, a tedy generuj´ı R2 jednoznaˇcnˇe: ∀x := (x1, x2) ∈ R2 : x = (x1 − x2)e1 + x2f2.
B´ aze vektorov´ eho prostoru B´ aze Mˇejme vektorov´y prostor V. Uspoˇra´dan´a mnoˇzina nenulov´ych vektor˚ u F (f1, f2, . . . , fn) tvoˇr´ı b´ azi vektorov´ eho prostoru V, pokud
:=
1. F ⊂ V, 2. f1, f2, . . . , fn jsou line´arnˇe nez´avisl´e, 3. libovoln´y vektor v ∈ V je line´arn´ı kombinac´ı f1, f2, . . . , fn, tj. α1f1 + α2f2 + . . . αnfn = v. Souˇ radnice vektoru v b´ azi, dimenze Plat´ı, ˇze line´arn´ı kombinace je pro b´azi vˇzdy jednoznaˇcn´a. V´ysledn´e koeficienty α1, . . . , αn naz´yv´ame souˇ radnice vektoru v v b´ azi F a znaˇc´ıme [v]F := (α1, . . . , αn). Plat´ı, ˇze poˇcet b´azov´ych vektor˚ u n vektorov´eho prostoru V je vˇzdy stejn´y, ˇr´ık´ame mu dimenze V a znaˇc´ıme dim V := n.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Jednoznaˇ cnost souˇ radnic Mˇejme b´azi F := (f1, . . . , fn ) vektorov´eho prostoru V a bud’ v ∈ V. Souˇradnicov´y vektor [v]F ∈ Rn je jednoznaˇcn´y. D˚ ukaz sporem Pˇredpodkl´adejme, ˇze existuj´ı dva r˚ uzn´e souˇradnicov´e vektory α 6= β, tedy dvˇe r˚ uzn´e line´arn´ı kombinace α1f1 + · · · + αn fn = v, β1f1 + · · · + βn fn = v Odeˇcten´ım rovnic dost´av´ame (α1 − β1)f1 + · · · + (αn − βn)fn = 0. Jelikoˇz vektory b´aze jsou line´arnˇe nez´avisl´e, posledn´ı rovnice m´a pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı α1 − β1 = 0,
...,
αn − βn = 0,
coˇz je spor s pˇredpokladem, tud´ıˇz souˇradnice jsou jednoznaˇcn´e.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Dimenze je jednoznaˇ cn´ a Mˇejme b´aze E := (e1, . . . , en) a F := (f1, . . . , fm) vektorov´eho prostoru V. Pak m = n. D˚ ukaz, jak jinak neˇ z sporem Pˇredpokl´adejme, ˇze m > n (pˇr´ıpad n > m se vyvr´at´ı analogicky). Jelikoˇz E je b´aze, m´ame jednoznaˇcn´e souˇradnicov´e vektory [fi]E tak, ˇze napˇr. α11e1 + . . . + αn1 en = f1, .. α1ne1 + . . . + αnnen = fn, α1n+1e1 + . . . + αnn+1en = fn+1. Uk´aˇzeme, ˇze fn+1 je line´arn´ı kombinac´ı f1, . . . , fn, tj. ˇze existuj´ı β1, . . . , βn: β1f1 + · · · + βnfn = fn+1.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Dimenze je jednoznaˇ cn´ a Mˇejme b´aze E := (e1, . . . , en) a F := (f1, . . . , fm) vektorov´eho prostoru V. Pak m = n. Pokraˇ cov´ an´ı d˚ ukazu Rozep´ıˇseme-li levou i pravou stranu pomoc´ı souˇradnic v b´azi E, dost´av´ame n X i=1
βi
n X j=1
αji ej =
n X
αjn+1ej ,
j=1
coˇz d´ıky line´arn´ı nez´avislosti e1, . . . , en vede na n´asleduj´ıc´ı soustavu line´arn´ıch rovnic: 1 n+1 n α1 . . . α1 β1 α1 .. . . . .. · .. = .. . αn1 . . . αnn βn αnn+1
Matice soustavy je regul´arn´ı, jinak by sloupce αi byly line´arnˇe z´avisl´e, ale pak by byly line´arnˇe z´avisl´e i vektory f1, . . . , fn. Soustava tedy m´a jednoznaˇcn´e ˇreˇsen´ı a fn+1 je line´arnˇe kombinac´ı f1, . . . , fn, tud´ıˇz F nen´ı b´aze. Pˇredpoklad m > n byl myln´y.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Pˇ r´ıklad: Najdˇ ete b´ azi U := {x ∈ R2 : x1 + x2 = 0}. ˇ s´ıme ,,soustavu” Hled´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı prostoru U . Reˇ x1 + x2 = 0. Pro vyj´adˇren´ı nekoneˇcnˇe mnoha ˇreˇsen´ı, zavedeme parametr x2 := t ∈ R a dopoˇcteme x1 = −x2 = −t. Zjistili jsme, ˇze U = {x = (−t, t) : t ∈ R} = {x = t(−1, 1) : t ∈ R} , a tedy libovoln´y vektor x ∈ U je line´arn´ı kombinac´ı jedin´eho b´azov´eho vektoru F := (f1 := (−1, 1)). Dimenze U je 1. U je pˇr´ımka v R2 proch´azej´ıc´ı poˇca´tkem.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Pˇ r´ıklad: Najdˇ ete b´ azi U := {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0}. ˇ s´ıme soustavu Reˇ x1 + x2 + x3 = 0. Zavedeme parametry x3 := t ∈ R,
x2 := s ∈ R
a dosad´ıme x1 = −x2 − x3 = −s − t. Dost´av´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı prostoru U := {x = (−s − t, s, t) : s, t ∈ R} = {x = s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1) : s, t ∈ R} , a tedy libovoln´y vektor x ∈ U je line´arn´ı kombinac´ı dvou b´azov´ych vektor˚ u F := (f1 := (−1, 1, 0), f2 := (−1, 0, 1)). Dimenze U je 2. Jedn´a se o rovinu v R3 proch´azej´ıc´ı poˇca´tkem.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Pˇ r´ıklad: Najdˇ ete b´ azi U := {p(x) :=
P2
i a x : a0 + a1 = 0, a0 − a1 + a2 = 0}. i i=0
ˇ s´ıme soustavu (nulovou pravou stranu neopisujeme) Reˇ 1 1 0 a0 + a1 = 0, 1 1 0 −−−−−→ . 1 −1 1 r2:=r2−r1 0 −2 1 a0 − a1 + a2 = 0, Zavedeme parametr a2 := t ∈ R a dosad´ıme
1 1 1 a1 = a2 = t, a0 = −a1 = − t. 2 2 2 Dost´av´ame parametrick´e vyj´adˇren´ı prostoru 1 1 1 1 2 U := p(x) = − t + tx + tx : t ∈ R = p(x) = t − + x + x2 : t ∈ R , 2 2 2 2 a tedy F :=
1 1 f1(x) := − + x + x2 , 2 2
dim U = 1.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Pˇ r´ıklad: Vypoˇ ctˇ ete souˇ radnice [(1, 2)]F v b´ azi F := ((1, 1), (1, −1)). Hled´ame koeficienty α1, α2 ∈ R line´arn´ı kombinace α1(1, 1) + α2(1, −1) = (1, 2). ˇ s´ıme tedy soustavu Reˇ
ˇ sen´ı je Reˇ a tedy
1 1 1 1 −1 2
−−−−−→ r2 :=r2 −r1
1 1 1 0 −2 1
3 α1 = 1 − α2 = , 2 3 1 [(1, 2)]F = ,− . 2 2
1 α2 = − , 2
.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Pˇ r´ıklad: Vypoˇ ctˇ ete souˇ radnice [1 − x + x2]F v b´ azi F := (1 − x − x2, 1 + x − x2, −1 + x + 2x2). Hled´ame koeficienty α1, α2, α3 ∈ R line´arn´ı kombinace ∀x ∈ R :
α1(1 − x − x2) + α2(1 + x − x2) + α3(−1 + x + 2x2) = 1 − x + x2,
tj. ∀x ∈ R :
1(α1 + α2 − α3)+x(−α1 + α2 + α3)+x2(−α1 − α2 + 2α3) = 1+(−1)x+1x2.
D´ıky line´arn´ı nez´avislosti funkc´ı 1, x, x2 staˇc´ı porovnat 1 1 −1 1 1 r2 :=r2+r1 −1 1 1 −1 − −−−−→ 0 r3 :=r3+r1 −1 −1 2 1 0 ˇ sen´ı je Reˇ
α3 = 2,
α2 = 0,
α1 = 1 − α2 + α3 = 3,
koeficienty u tˇechto funkc´ı 1 −1 1 2 0 0 . 0 1 2
a tedy [1 − x + x2]F = (3, 0, 2).
Zkouˇska: 3(1 − x − x2) + 0(1 + x − x2) + 2(−1 + x + 2x2) = 1 − x + x2.
B´ aze vektorov´ eho prostoru B´ aze a souˇ radnice pˇ rev´ adˇ ej´ı u ´ lohy do Rn Line´arn´ı u´loha ve V
b´aze V, souˇradnice
−−−−−−−−−−→
line´arn´ı u´loha v Rn .
Pˇ r´ıklad: Jsou 1 − x − x2, 1 + x + x2 a 1 − x + x2 line´ arnˇ e nez´ avisl´ e? Vezmˇeme kanonickou b´azi E := (1, x, x2) prostoru P2. Pˇr´ısluˇsn´e souˇradnicov´e vektory jsou tyto [1−x−x2]E = (1, −1, −1),
[1+x+x2]E = (1, 1, 1),
[1−x+x2]E = (1, −1, 1) ∈ R3.
ˇ s´ıme ekvivalentn´ı u´lohu v R3: Jsou (1, −1, −1), (1, 1, 1) a (1, −1, 1) lin. nez´avisl´e? Reˇ α1(1, −1, −1) + α2(1, 1, 1) + α3(1, −1, 1) = (0, 0, 0), 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r2 :=r2 +r1 −1 1 −1 −−−−−→ 0 2 0 −−−−−→ 0 2 0 . r3 :=r3 +r1 r3 :=r3−r2 −1 1 1 0 2 2 0 0 2 Jedin´e ˇreˇsen´ı je α1 = α2 = α3 = 0, odpovˇed’ na obˇe u´lohy (v R3 i v P2) tedy je Ano, jsou line´arnˇe nez´avisl´e.
B´ aze vektorov´ eho prostoru Line´ arn´ı obal Mˇejme vektorov´y prostor V. Line´ arn´ı obal vektor˚ u v1, . . . , vn ∈ V je mnoˇzina vˇsech jejich line´arn´ıch kombinac´ı, znaˇc´ıme hv1, . . . , vni := {α1v1 + · · · + αn vn : α1, . . . , αn ∈ R} . Line´arn´ı obal tvoˇr´ı podprostor V. Ekvivalentn´ı definice b´ aze Mˇejme vektorov´y prostor V. Uspoˇra´dan´a mnoˇzina nenulov´ych vektor˚ u F (f1, f2, . . . , fn) tvoˇr´ı b´ azi vektorov´ eho prostoru V, pokud 1. f1, f2, . . . , fn jsou line´arnˇe nez´avisl´e, 2. hf1, f2, . . . , fni = V.
:=
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Sloupcov´ y prostor matice S(A) je line´arn´ı obal sloupc˚ u matice A = (as1, . . . , asn) ∈ Rm×n , tj. S(A) := {α1as1 + α2as2 + · · · + αnasn : α1, α2, . . . , αn ∈ R} . To n´am umoˇznˇuje zkr´acenˇe zapsat podm´ınku ˇreˇsitelnosti soustavy lin. rovnic ∃x ∈ Rn : A · x = b
⇔
b ∈ S(A).
Hodnost matice je dimenze sloupcov´eho prostoru matice A, znaˇc´ıme h(A) := dim S(A).
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Pˇ r´ıklad: Najdˇ ete b´ azi S(A), kde
1 −1 1 2 A := 2 −2 0 1 . 1 −1 −1 −1
ˇ s´ıme Staˇc´ı zjistit, kter´e ze sloupc˚ u jsou line´arnˇe z´avisl´e na ostatn´ıch. Reˇ 1 −1 1 2 0 α1 2 + α2 −2 + α3 0 + α4 1 = 0 , 1 −1 −1 −1 0 1 −1 1 2 1 −1 1 2 1 −1 1 2 r2:=r2 −2r1 2 −2 0 1 −−−−−−→ 0 0 −2 −3 −−−−−→ 0 0 −2 −3 . r3 :=r3 −r2 r3 :=r3−r1 1 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 −2 −3 α2 a α4 jsou tzv. voln´e nezn´am´e, b´aze S(A) sest´av´a z pivotovan´ych sloupc˚ u 1 1 F := 2 , 0 , h(A) = 2. 1 −1
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic ˇ adkov´ R´ a hodnost = sloupcov´ a hodnost ˇ adkov´a hodnost je dimenze line´arn´ıho obalu ˇra´dk˚ R´ u matice, tj. poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych ˇra´dk˚ u, a plat´ı, ˇze je rovna sloupcov´e hodnosti. Tedy h(A) = h(AT ). Pˇ r´ıklad: Vypoˇ ctˇ ete ˇ r´ adkovou hodnost A, kde
1 −1 1 2 A := 2 −2 0 1 . 1 −1 −1 −1
ˇ s´ıme soustavu Reˇ 1 2 1 1 1 2 1 −1 −2 −1 0 0 0 0 r2 :=r2+r1 −−−−−−−−−−−→ −−−−−−−→ 1 0 −1 − 0 −2 −2 r4:=2r4−3r3 0 r3 :=r3−r1 ,r4=r4 −2r1 0 −3 −3 2 1 −1 0
2 0 −2 0
1 0 , −2 0
h(AT ) = 2.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Nulov´ y prostor (j´ adro) matice A N (A) := {x : A · x = 0} . Obecn´ eˇ reˇ sen´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic Uvaˇzujme A ∈ Rm×n , b ∈ Rm a soustavu A · x = b. M´ame-li libovoln´e tzv. partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı xP t´eto soustavy, pak obecn´e ˇreˇsen´ı se bude liˇsit od partikul´arn´ıho pr´avˇe o vektory z j´adra matice A, tj. ∀xH ∈ N (A) :
A · (xH + xP) = b,
kde A · xP = b.
Vektor˚ um xH ∈ N (A) ˇr´ık´ame homogenn´ı ˇreˇsen´ı, nebot’ ˇreˇs´ı homogenn´ı (s nulovou pravou stranou) soustavu A · xH = 0.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic V´ ypoˇ cet b´ aze j´ adra matice — Gaussova eliminace s parametrizac´ı Najdˇeme nˇejakou b´azi N (A), kde 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 r2 :=r2−2r1 A := 2 4 6 8 −−−−−−→ 0 0 2 4 −−−−−→ 0 0 2 4 r3 :=r3−r2 r3 :=r3−3r1 3 6 8 10 0 0 0 0 0 0 2 4
Za nepivotovan´e promˇenn´e zavedeme parametry α4 = t ∈ R,
α2 = s ∈ R,
zpˇetnˇe dosad´ıme a dost´av´ame α3 = −2α4 = −2t,
α1 = −2α2 − 2α3 − 2α4 = −6t − 2s.
Nulov´y prostor m´a tedy tvar N (A) = {x = (−6t − 2s, s, −2t, t) : t, s ∈ R} = h(−6, 0, −2, 1), (−2, 1, 0, 0)i a jeho b´aze je N := (n1 := (−6, 0, −2, 1), n2 := (−2, 1, 0, 0)). Line´arn´ı nez´avislost N bychom jeˇstˇe radˇeji mˇeli ovˇeˇrit z definice.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic V´ ypoˇ cet b´ aze N (A) — Gauss–Jordanova metoda s ,,nulov´ ymi pivoty” Najdˇeme nˇejakou b´azi N (A), kde 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 r2 :=r2−2r1 A := 2 4 6 8 −−−−−−→ 0 0 2 4 −−−−−→ 0 0 2 4 r3 :=r3−r2 r3 :=r3−3r1 0 0 2 4 3 6 8 10 0 0 0 0
Pokraˇcujeme d´ale Jordanovou metodou pro pivotovan´e sloupce 1 a 3 1 2 0 −2 1 2 0 −2 1 2 2 2 r2 :=(1/2)r2 R r1:=r1 −r2 0 0 2 4 − , −−−−→ 0 0 2 4 −−−−−−→ 0 0 1 2 =: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 coˇz je redukovan´a matice soustavy s pivot. sloupci 1 a 3 a voln´ymi sloupci 2 a 4.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic V´ ypoˇ cet b´ aze N (A) — Gauss–Jordanova metoda s ,,nulov´ ymi pivoty” M´ame redukovanou matici soustavy s pivot. sloupci 1 a 3 a voln´ymi sloupci 2 a 4 1 2 0 −2 R := =: FI . 0 0 1 2
Permutujme sloupce
e := I F := R
1 0 2 −2 . 0 1 0 2
e Nyn´ı najdeme b´azi N (A) pomoc´ı matice N: −2 2 0 −2 −F e e e a po zpˇetn´e permutaci = R·N = 0 ⇔ N = I 1 0 0 1 B´ aze N (A) je ((−2, 1, 0, 0), (2, 0, −2, 1)). Zkouˇska: A · N = 0.
−2 1 N := 0 0
2 0 . −2 1
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Podm´ınka ˇ reˇ sitelnosti ∃x ∈ Rn : A · x = b
⇔
b ∈ S(A).
Obecn´ eˇ reˇ sen´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic Uvaˇzujme A ∈ Rm×n , b ∈ Rm. Oznaˇcme hodnost matice h := h(A). Pak m´ame r pivotovan´ych sloupc˚ u/nezn´am´ych a n − h voln´ych sloupc˚ u/promˇenn´ych. Za voln´e promˇenn´e dosazujeme n − h parametr˚ u.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Obecn´ a Gauss–Jordanova metoda pro 0, 1 i ∞ ˇ reˇ sen´ı Gaussova (dopˇredn´a) eliminace
1. (A|b) −−−−−−−−−−−−−−−−→ (U|c) 2. Pokud c 6∈ S(U) soustava nem´a ˇreˇsen´ı, jinak Jordanova (zpˇetn´a) eliminace
(U|c) −−−−−−−−−−−−−−−→
P
R x 0 0
.
3. Pokud R = I, pak xP je jedin´ym ˇreˇsen´ım, jinak z´amˇena sloupc˚ u z´amˇena ˇra´dk˚ u e = I F , N e = −F − R −−−−−−−−→ R −−−−−−→ N. I 4. Soustava m´a ∞ ˇreˇsen´ı ve tvaru
x := xP + N | {z· }t, =xH
kde t ∈ Rn−h je vektor parametr˚ u.
B´ aze a ˇ reˇ sitelnost soustav line´ arn´ıch rovnic Frobeniova vˇ eta Uvaˇzujme soustavu lin. rovnic A · x = b, kde A ∈ Rm×n , b ∈ Rm. Oznaˇcme hodnost matice h := h(A). • Pokud b 6∈ S(A), pak soustava nem´a ˇreˇsen´ı. • Pokud b ∈ S(A) a h = n ≤ m pak redukovan´a matice soustavy R=I a soustava m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. • Pokud b ∈ S(A) a h ≤ m a h < n, pak e = I F R
a soustava m´a ∞ ˇreˇsen´ı, zav´ad´ıme n − h parametr˚ u.
