Kvantitativní řízení rizik
7.11.2014
Ekonomický kapitál ekonomický kapitál - kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L - riziko, tj. náhodná veličina představující ztrátu v uvažovaném období ρ(L) - míra rizika (nezáporné číslo, závisí na rozdělení n.v. L) ekonomický kapitál: EC(L) = ρ(L) − E L
Alokace kapitálu
alokace kapitálu - rozdělení celkového kapitálu drženého firmou mezi její komponenty (např. odvětví podnikání, typy rizik, území, produkty v portfoliu) důvody pro dělení kapitálu mezi odvětví (lines of business): - redistribuce nákladů spojených s držením kapitálu (promítnou se do poplatků účtovaných klientům) - alokace nákladů pro účely finančních výkazů - hodnocení výkonnosti pomocí výnosu z alokovaného kapitálu - podpora rozhodování o případné expanzi nebo redukci odvětví
Alokace kapitálu Nechť pro celkové riziko L společnosti platí L=
n X
Li ,
i=1
kde L1 , . . . , Ln jsou náhodné veličiny představující ztráty z jednotlivých odvětví podnikání. Je dán celkový rizikový kapitál K , cílem je stanovit nezáporné hodnoty K1 , . . . , Kn (alokace jednotlivým odvětvím) tak, aby K=
n X i=1
Ki .
Haircut princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako Ki = γ FL−1 (p), i kde FL−1 (p) = inf{x ∈ R |FL (x) ≥ p}, p ∈ [0, 1], je kvantilová funkce příslušná distribuční funkci FL . γ se stanoví tak, aby součet alokovaných kapitálů byl roven K , tj. K FL−1 (p), i = 1, . . . , n. −1 i j=1 FLj (p)
Ki = Pn
Haircut princip
◮
Při daném celkovém kapitálu K vede k alokaci, která nezávisí na závislostní struktuře mezi ztrátami jednotlivých odvětví.
◮
Při použití VaR jako míry rizika může být Ki > FL−1 (p) (VaR i není subaditivní).
◮
(p) se uplatňuje stejná Na všechny hodnoty FL−1 i proporcionální redukce (resp. zvýšení) dané koeficientem γ.
Inverze distribuční funkce
α-smíšená inverzní distribuční funkce: −1(α)
FX
(p) = α FX−1 (p) + (1 − α) FX−1+ (p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1],
kde FX−1+ (p) = sup{x ∈ R |FX (x) ≤ p}, p ∈ [0, 1]. Pro každé x takové, že 0 < FX (x) < 1, existuje αx ∈ [0, 1] takové, že −1(αx )
FX
(FX (x)) = x.
Kvantilový princip
Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = F Li
−1(α)
kde α a β se volí tak, aby K =
(βp),
Pn
i=1 Ki .
◮
Nezohledňuje závislosti mezi odvětvími.
◮
Používá stejné kvantily pro všechna rizika (efekt diverzifikace se projeví v použití kvantilu na hladině β p místo p).
Pomocné výsledky Tvrzení. Pro zleva spojitou neklesající funkci g platí −1 Fg−1 (p) = g F (p) . X (X ) Důkaz. Z definice kvantilové funkce plyne Fg−1 (X ) (p) ≤ x ⇔ p ≤ Fg (X ) (x). Ze spojitosti zleva funkce g máme pro všechna x a z g (z) ≤ x ⇔ z ≤ sup{y |g (y ) ≤ x}. Odtud p ≤ Fg (X ) (x) ⇔ p ≤ FX [sup{y |g (y ) ≤ x}] .
Pomocné výsledky Pokud je sup{y |g (y ) ≤ x} = 6 ±∞, platí p ≤ FX [sup{y |g (y ) ≤ x}] ⇔ FX−1 (p) ≤ sup{y |g (y ) ≤ x}. (Platí i v případě sup{y |g (y ) ≤ x} = ±∞.) FX−1 (p) ≤ sup{y |g (y ) ≤ x} ⇔ g FX−1 (p) ≤ x. Celkem −1 Fg−1 (p) ≤ x ⇔ g F (p) ≤x X (X ) platí pro všechna x, odtud plyne tvrzení.
Pomocné výsledky Podobně se dokáže, že pro neklesající zprava spojitou funkci g platí −1+ Fg−1+ (p) = g F (p) . X (X ) Mějme náhodný vektor L = (L1 , . . . , Ln ). Potom náhodný vektor −1 (U) , kde U je n. v. s rovnoměrným rozdělením FL−1 (U), . . . , F Ln 1 na (0, 1), je vektor komonotonních veličin se stejnými marginálními d.f. Označme SC =
n X i=1
FL−1 (U). i
Pomocné výsledky
Tvrzení. −1(α) FSC (p)
=
n X
−1(α)
F Li
(p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1].
i=1
Důkaz vychází z toho, že g (u) =
n X i=1
je zleva spojitá neklesající funkce.
(u) FL−1 i
Pomocné výsledky Tj. dle předchozího pro p ∈ (0, 1) n X −1 −1 FL−1 (p). FS−1 (p) = F (p) = g F (p) = g (p) = U g (U) i C i=1
Podobně se dokáže FS−1+ (p) = C
n X
FL−1+ (p), p ∈ (0, 1) i
i=1
užitím toho, že g (u) =
n X
(u) FL−1+ i
i=1
je zprava spojitá neklesající funkce.
Kvantilový princip Hodnoty α a β se stanoví ze vztahu K=
n X
−1(α)
F Li
(βp).
i=1
Zavedeme opět sumu komonotonních veličin SC =
n X
(U), FL−1 i
i=1
kde U má rovnoměrné rozdělení na (0, 1). Z výše uvedených pomocných výsledků vyplývá K = FS C
−1(α)
(β p).
Kvantilový princip
Odtud plyne β p = FSC (K ) a také K = FS C
−1(α)
(FSC (K )) .
Z posledního vztahu určíme parametr α, alokace podle kvantilového principu je pak popsána vztahem K i = F Li
−1(α)
(FSC (K )) , i = 1, . . . , n.
Kvantilový princip
Uvažujme speciální případ, kdy všechny distribuční funkce FLi jsou spojité a rostoucí. Potom se alokace podle kvantilového principu redukuje na (FSC (K )) , i = 1, . . . , n. Ki = FL−1 i Kvantilový princip lze v tomto případě chápat jako speciální případ haircut principu s volbou p = FSC (K ).
Kovarianční princip
Kapitál pro odvětví i se stanoví jako Ki =
K σ 2 (L)
Cov(Li , L), i = 1, . . . , n,
kde σ 2 (L) je rozptyl celkového rizika. Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětvím, jejichž riziko je více korelováno s celkovým rizikem, je alokováno více kapitálu.
Princip zbytkové hodnoty v riziku Uvažujme rizika se spojitými distribučními funkcemi. Potom má zbytková hodnota v riziku na hladině p pro celkové riziko vyjádření ESp (L) = E L|L > FL−1 (p) . Princip alokace kapitálu založený na zbytkové hodnotě v riziku popisuje formule Ki =
K E Li |L > FL−1 (p) , i = 1, . . . , n. ESp (L)
Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětví s větší podmíněnou střední hodnotou při ”vysoké” celkové ztrátě mají alokován větší kapitál.
Proporcionální alokace
Výše uvedené principy alokace kapitálu lze chápat jako speciální případy principu proporcionální alokace. Při něm volíme míru rizika ρ a alokujeme kapitál Ki = α ρ(Li ), i = 1, . . . , n. α se volí tak, aby K =
P
Ki , tj.
K ρ(Li ), i = 1, . . . , n. j=1 ρ(Lj )
Ki = Pn
Proporcionální alokace
◮
haircut princip: ρ(Li ) = FL−1 (p) i
◮
(FSC (K )) kvantilový princip: ρ(Li ) = FL−1 i
◮
kovarianční princip: ρ(Li ) = Cov(Li , L)
◮
princip zbytkové hodnoty v riziku: ρ(Li ) = E Li |L > FL−1 (p)
Poslední dvě míry rizika nezávisí jen na rozdělení Li (vliv závislostní struktury).
Proporcionální alokace
Předpokládejme, že K = ρ(L). Potom diverzifikační efekt vyjádřený nerovností Ki ≤ ρ(Li ), i = 1, . . . , n, je dosažen právě když K = ρ(L) ≤
n X
ρ(Lj ).
j=1
Tato podmínka je splněna, pokud míra rizika ρ je subaditivní.
Literatura I. Justová: Agregace rizik. (V: Matematika a řízení rizik 2009/10, Matfyzpress Praha 2010) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University Press 2005. J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012, Vol.79, No1, 1-28. J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance: Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.
