QM
Crystalline Solid
TB Method
Kuliah Karbon Nanotube
Hasdeo Tohoku University
Summary
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Purpose
1 2 3 4 5
Persiapan skripsi Theoretical Condensed Matter Dosen pembimbing: Dosen UB + R. Saito (wacana) Target: Simple tight binding + Fortran Problem: Hanya 4 kali pertemuan Requirement: Solid state + Quantum
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Contract
Contract
1
2 3
4 kali pertemuan 1
Intro
2
Basic Tight Binding Method
3
Electronic structure of Graphene
4
Electronic structure of SWNT
Dokumentasi = Absen + tugas Tugas: Analitik & Programming
Summary
Tugas
QM
Crystalline Solid
Contract
Outline 1
Quantum Mechanics Particle in a 1D box
2
Crystalline Solid Unit Cell Teorema Bloch Reciprocal Lattice
3
Tight Binding Method De nition Energy Eigenvalue Dispersi Energi
4
Summary
5
Tugas
TB Method
Summary
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Quantum Mechanics 1 2
3
Quantum: kuantisasi besaran sika Menjadi model terbaik untuk menjelaskan fenomena mikroskopik Persamaan Schrodinger −
4 5 6
h¯2 2 ∇ Ψ+V Ψ = EΨ 2m
− 2h¯m ∇2 → K , 2
Ψ →natur gelombang sebuah partikel (de Broglie)
Hamiltonian H = K + V , Pers. (1),
H Ψ = EΨ 7
(1)
(2)
Turunkan persamaan Schrodinger dari hukum kekekalan energi
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
1D Box
Particle in a 1D box 1
1D box untuk 0 ≤ x ≤ L:
1
Pers. Schrodinger
h¯2 d 2 Ψ = EΨ 2m dx 2 Solusi Ψ(x ) = Ae ikx + Be −ikx Syarat batas Ψ(0) = 0, A = −B , Ψ(x ) = A sin (kx ), 1/2 k = 2mE /¯h2 Syarat batas Ψ(L)=0, kL = nπ −
2 3
4 5
V = 0, ∇ → d /dx
Kuantisasi energi:
(3)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Unit cell
Crystalline Solid
Crystal: atom yang periodik Unit cell: unit periodisitas terkecil
Solusi bergantung pada bentuk unit cell Makin tinggi tingkat simetri makin mudah diselesaikan
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Teorema Bloch
Teorema Bloch
Fungsi gelombang Ψ dalam kristal memenuhi teorema Bloch → − T a Ψ (r) = Ψ (r + ai ) = e i k.a Ψ (r) (5) i
i
→ −
T a adalah operasi translasi sepanjang vektor ai , dan k wave i
vector Bentuk paling sederhana Ψ (r) = e i k.r plane wave
Figure : Unit vektor kisi
a
i
pada kristal kotak 2D
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Reciprocal Lattice
Reciprocal Lattice
1 2
Ingat persamaan gelombang Ψ (x) = e i kx Karena teorema Bloch Ψ(x) = Ψ(x + a)
e i kx
3 4
=
e i kx e i ka
(6)
Vektor resiprok k memenuhi e i ka = 1 → k = 2π/a untuk 1D Untuk 3D, misal vektor unit a = (a1 , a2 , a3 ), maka reciprocal vector
ki ai .kj
= 2π
aj × ak , ai . (aj × ak )
= 2πδij
(i , j , k = 1..3) cyclic
(7) (8)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Reciprocal Lattice
Reciprocal Lattice (2)
1
Tentukan reciprocal lattice vector untuk graphene unit cell
dengan |a1 | = a
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
De nition
Tight Binding (TB) Method
Aproksimasi TB → elektron-inti
kuat, atom-atom lemah
lemah
hooping electron
electron
inti
inti kuat
overlap
Figure : Ilustrasi aproksimasi TB
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
De nition
Tight Binding (TB) Method
Fungsi gelombang Ψ dalam TB yang memenuhi Pers. (5) → kombinasi linear orbital atom n Ψj (k, r) = ∑ Cjj 0 (k) Φj 0 (k, r) (9) j 0 =1 Ψj (k, r) adalah fungsi gelombang untuk state ke
j (j = 1...n),
n adalah jumlah atomik orbital, Cjj adalah koe sien yang akan 0
dicari, dan Φj (k, r) adalah fungsi Bloch diberikan oleh 1 N Φj (k, r) = √ ∑ e i k.R ψj (r − R) , (j = 1, ..., n)
N
R
dengan R adalah posisi atom pada kisi, ψj fungsi gelombang atomik orbital, dan N ∼ 1023 adalah jumlah unit cell.
(10)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
De nition
Quiz...
Buktikan bahwa fungsi Bloch Pers. (10) memenuhi teorema Bloch Pers. (5) Φj (k, r + a) = e i k.a Φj (k, r) (11)
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
De nition
Answer
1 N i k.R ∑ e ψj (r + a − R)
Φj (k, r + a) =
√
=
√
N
1
N
R
N
e i k.a ∑ e i k.(R−a) ψj (r + a − R) R−a
= e i k.a Φj (k.r)
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Eigenvalue
Energy eigenvalue
Energy eigenvalue ke j dapat diselesaikan dengan persamaan
d rΨ∗j H Ψj hΨ |H |Ψj i Ej (k) = j = R hΨj |Ψj i d rΨ∗j Ψj R
(12)
H adalah Hamiltonian zat padat. Dengan substitusi Pers. (10) ke
Pers.(12) dan dengan sedikit mengganti indeks, kita dapatkan ∑n 0 C ∗ Cij 0 hΦj |H |Φj 0 i ∑nj,j 0 Cij∗ Cij 0 Hjj 0 = n ∗ Ei (k) = j ,j n ij ∗ 0 ∑j ,j 0 Cij Cij hΦj |Φj 0 i ∑j ,j 0 Cij Cij 0 Sjj 0
Hjj 0 = hΦj |H |Φj 0 i adalah transfer integral dan Sjj 0 = hΦj |Φj 0 i adalah overlap integral.
(13)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Eigenvalue
Energy eigenvalue
Dengan melakukan optimasi Pers.(13) dengan mengambil ∂ Ei (k) /∂ Cij∗ = 0, kita mendapatkan persamaan sekular
n
∑ Hjj (k) Cij
j 0 =1
0
0
= Ei (k)
n
∑ Sjj (k) Cij
j 0 =1
0
0
(14)
Dalam representasi mariks dapat dituliskan sebagai det [H −E S] = 0
(15)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Dispersi Energi
Prosedur Mendapatkan Dispersi Energi
1
2 3 4
Tentukan a,
1
unit cell dan unit vektor
2
tentukan koordinat atom pada unit cell
3
dan tentukan jumlah
n
i
orbital atom yang diperhitungkan
Carilah Brillouin zone dan reciprocal lattice vector bi Hitung Hij (k) dan Sij (k) Selesaikan persamaan sekular, dapatkan Ei (k) dan Cij (k).
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Dispersi Energi
Contoh Rantai Metal 1D
Diketahui: 1 satu atom per unit cell, ai = a^ x, jumlah orbital = 1 1 N Ψk (x ) = √ ∑ e ikla ψ (x − la) N l =1 2
Hamiltonian H =−
h¯2 2 ∇ + V (x ) 2m
(16)
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Tugas
Dispersi Energi
Contoh Rantai Metal 1D
Dispersi energi
Ek (k)
=
hΨk |H |Ψk i hΨk |Ψk i
(17)
1 N dx ψ ∗ (x − la) H ψ (x − ma) ∑l ,m=1 e N = R 1 N ik (m−l )a dx ψ ∗ (x − la) ψ (x − ma) (18) N ∑l ,m=1 e ik (m−l )a Hlm ∑N l ,m=1 e (19) = ik (m−l )a Slm ∑N l ,m=1 e
ik (m−l )a R
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Dispersi Energi
Contoh Rantai Metal 1D
Aproksimasi 1 tetangga terdekat, H + e ika H1 + e −ika H1 Ej (k) = 0
Ej (k)
S0
= ε − t cos (ka)
Kerjakan soal yang sama untuk bila atom A dan B saling bergantian dengan transfer integral t1 dan t2 .
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Summary
1 2
3
4 5
Quantum mechanics → solusi mikroskopik terbaik Pers. Schrodinger →sulit untuk diselesaikan untuk atom dalam jumlah banyak Dengan periodisitas kristal →masalah jadi sederhana (teorema Bloch) Tight binding approximation →state dide nisikan Dispersi energi → secular equation + aproksimasi tetangga terdekat
Tugas
QM
Crystalline Solid
TB Method
Summary
Additional Task
1 2
3
Install linux http://www.ubuntu.com/download/desktop Install fortran composer XE 2013 linux http://software.intel.com/en-us/non-commercial-softwaredevelopment Download PPT ex.phys.tohoku.ac.jp/~hasdeo
Tugas
