KREATIVITAS MATEMATIKA DALAM MENDORONG BERFIKIR MATEMATIKA TINGKAT TINGGI Disusun oleh : Elah Nurlaelah Jurusan Pendidikan Matematika – FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia A. Pendahuluan Kreativitas memegang peranan penting dalam rangkaian berfikir matematika tingkat tinggi. Kreativitas berkontribusi pada tingkat pertama dalam pengembangan teori matematika, sehingga memungkinkan konjekture disajikan sebagai pengalaman individual seseorang pada
suatu konsep matematika.
Kreativitas juga merupakan suatu bagian dalam merumuskan matematika
bentuk akhir
dalam membentuk suatu sistem deduktif dengan aksioma yang
didefinisikan secara jelas dan pembuktian yang disusun secara formal. Disamping itu kreativitas merupakan suatu faktor yang penting dalam penelitian matematika. Saat ini terdapat beberapa hal dari luar yang mempengaruhi teori matematika, seperti kegiatan manusia, proses yang beraneka ragam,dan lain-lain yang akan bertindak dan membangun matematika baru. Hal seperti itu sering dipandang sebagai sesuatu fenomena yang misterius.
Kebanyakan para ahli
matematika tidak tertarik dalam menganalisis prosedur pemikirannya dan tidak menjelaskan bagaimana mereka bekerja dan membangun teorinya. Hanya sedikit (Seperti Poincara, Hadamard) yang secara eksplisit menjelaskan ide-ide yang berkaitan dengan kreativitas matematika. Referensi yang baik ( paling tidak untuk para matematikawan) berkaitan dengan hal ini dari
Hadamard (1945) yang
selanjutnya diikuti oleh Muir (1988). Makalah ini tidak bertujuan untuk memberikan penjelasan yang terperinci tentang kebenaran dari kreativitas matematika dan bagaimana kreativitas itu bekerja. Melainkan ingin melihat lebih jelas tentang macam-macam aktivitas matematika sebagai suatu prosedur heuristik dalam menyajikan contoh-contoh dari kreativitas matematika. Selanjutnya akan diuraikan pula beberapa karakteristik dari kreativitas
dan kerangka definisi sementara mengenai
kreativitas.
B. Langkah-Langkah untuk Mengembangkan Kreativitas Matematika.
Kreativitas matematika tidak akan muncul dalam situasi yang pakum. Kreativitas membutuhkan suatu konteks dimana individu dipersiapkan yang didasarkan kepada pengalaman-pengalaman sebelumnya yang signifikan untuk menghadapi keadaan yang baru. Persiapan seperti itu muncul melalui aktivitas sehingga terbentuk lingkungan yang tepat untuk tumbuhnya sifat kreatif. Konteks tentang kreativitas dibentuk melalui langkah-langkah persiapan sehingga prosedur matematika diinteriorize melalui action selanjutnya kreativitas tersebut disusun menjadi object-object berfikir matematika. Berikut adalah langkah-langkah terbentuknya kreativitas dalam diri seseorang; Langkah 0 : Langkah Pesiapan Teknik Aktivitas Matematika yang mendasar didahului oleh langkah persiapan yang terdiri dari beberapa teknik dan aplikasi praktis dari aturan –aturan dan prosedur matematika, dimana inidividu tidak memiliki suatu kesadaran tentang fondasi kematematikaannya. Suatu contoh dari prosedur praktis adalah aturan yang digunakan oleh Mesopotania dan Mesir Kuno untuk menghasilkan sudut siku-siku: mereka menggunakan tali dan membaginya menjadi tiga bagian yang mempunyai panjang 3, 4, dan 5, selanjutnya mereka membentuk permukaan segitiga, akhirnya mereka memperoleh sudut siku-siku diantara sisi-sisi dengan panjang 3 dan 4. Langkah persiapan ini telah menjadi bagian dari teori modern dalam pembelajaran matematika, sebagai contoh “ toolobject” dari Douady (1986) yang pertama kali mengajukan ide tentang suatu alat aktivitas problem- solving, untuk dijadikan alat untuk membangun pengalaman struktur kognitif individu sebelum direfleksikan menjadi suatu object dalam dirinya sendiri. Langkah 1 : Aktivitas Algoritmik Pada aktivitas algoritmik prosedur digunakan untuk menghasilkan operasioperasi matematik, menghitung, memanipulasi, dan menyelesaikan. Aktivitas Algoritmik sangat berkaitan dengan penampilan teknik-teknik matematik. Contoh dari teknik-teknik ini adalah: Penggunaan algoritma, bekerja dengan rumus, memfaktorkan suatu polinomial, menghitung suatu integral, aktivitas perhitungan dengan menggunakan program komputer seperti metode numerik untuk menyelesaikan
persamaan
diferensial.
Karakteristik
dari
aktivitas
ini
membutuhkan sesuatu yang benar-benar eksplisit. Setiap langkah harus diperhatikan, paling tidak secara mutlak, jika tidak maka kesalahan yang serius akan muncul dan secara total akan menghasilkan hasil yang tidak valid. Sebagai
contoh dalam algoritma komputer, tidak diperbolehkan terdapat langkah yang trivial dilupakan. Karena akibatnya akan terdapat regenerasi dari langkah yang salah dalam algoritma. Aktivitas algoritmik merupakan suatu bagian yang dapat diterima dalam matematika lanjut sebab aktivitas ini dapat dilihat sebagai bagian dari keseluruhan teori, dibentuk berkaitan dengan prinsip-prinsip pada aktivitas yang lebih tinggi. Aktivitas algoritmik adalah bagian yang penting dalam pembelajaran matematika sebab proses seperti itu harus diinteriorize untuk menjadi hal yang rutin sebelum konsep-konsep tersebut dapat direfleksikan sebagai suatu mental object yang manipulatif dalam urutan teori yang lebih tinggi. Sebagai suatu alat object dialetic, aktivitas algoritmik menjadi lebih dikenal dalam action sebelum dia menjadi fokus dalam aktivitas reflektif. Langkah 2 : Aktivitas Kreatif ( Secara Konsep, konstruktif ). Aktivitas kreatif merupakan kreatifitas matematika yang biasanya muncul dan bertidak sebagai motivasi dalam pengembangan teori matematika. Suatu keputusan yang tidak algoritmik yang diambil berkaitan dengan suatu keadaan yang mendua pada struktur konsep yang mendasarinya. Keputusan yang diambil mungkin memuat hal-hal yang luas dan memuat berbagai pilihan, seperti suatu pilihan dari suatu konsep tertentu untuk didefinisikan ( sebagai contoh, dalam pilihan Hausdorff tentang pengertian dari himpunan buka, yang pembuktiannya menjadi bagian yang sangat penting dalam matematika utama ) atau keputusan untuk menyatakan atau membuktikan suatu teorema. Terdapat dua langkah kreatif yang berbeda; Memilih hipotesis yang tepat sedemikian sehingga kesimpulan akhir menjadi bernilai untuk teori yang lebih luas, dan deduksi nyata dari suatu hipotesis untuk menyajikan bukti suatu teorema. Kreativitas aktivitas yang rumit untuk memunculkan
adalah suatu
bagaimana kreativitas matematika
berikutnya muncul. Kreativitas matematika harus diaktifkan, bagian yang paling aktif dari kegiatan kreativitas adalah tingkat intuisi mengenai regenerasi dan renovasi. Davis & Hersh
menyarankan bahwa kreativitas matematika muncul melalui
pesan dari coarse ( secara intuitif ) menuju ke fine ( secara formal ). Apa yang menjadi bagian yang penting dari individu adalah suatu keadaan dimana kesiapan mental untuk aktivitas mental untuk menghubungkan konsepkonsep yang tidak berhubungan dengan sebelumnya. Aktivitas mental ini akan muncul setelah priode waktu yang lama supaya menghasilkan aktivitas yang lebih
kuat sehingga memuat keadaan dengan kesadaran
lebih tinggi tentang suatu
konsep dan semua unsur pokok. Kreativitas tingkat tinggi memungkinkan tersusunnya struktur mental yang lebih kompleks yang dapat dimunculkan.
C. Struktur Teori Matematika Sangat penting untuk menyajikan pandangan yang menyeluruh tentang struktur matematika sebagai suatu konstruksi mental sebelum berkonsentrasi pada proses kreatif untuk mewujudkannya. Teori formal matematika
adalah suatu
kerangka kerja yang terdiri dari definisi suatu konsep dan relasinya dengan konsep-konsep tertentu, selanjutnya menjadi suatu bentuk tertentu; relasiI tersebut diperluas dengan implementasi yang sangat ketat ( aturan deduktif). Kepentingan ini diperlukan untuk menentukan ( mendefinisikan ) suatu konsep dengan cara yang tepat. Konsep- konsep itu dapat difikirkan sebagai suatu titik pada suatu jaringan dan relasinya disajikan dengan anak panah yang menghubungkan titiktitik tersebut. Selanjutnya jaringan itu
memiliki ciri-ciri khusus, yaitu;
hubungannya terurut berdasarkan logika dasar sehingga menjadi urutan yang lebih kompleks. Kreatifitas matematika memuat semua visi untuk menyusun bagian – bagian yang dibangun oleh konjektur dan argumen, juga untuk memperbaiki struktur matematika deduktif. Realisasi kegiatan kreativitas paling tidak untuk mewujudkan satu dari tujuan –tujuan berikut; a. Untuk menghasilkan suatu konsep baru yang bermanfaat, arti bermanfaat dalam konteks ini adalah
menguntungkan untuk perkembangan teori
selanjutnya secara nyata. b. Untuk menemukan hubungan yang belum tertulis antara dua hal, dengan memanfaatkan urutan yang ada. c. Untuk mengkonstruksi dan mengorganisasikan bagian dari teori seperti logikanya, dan urutan deduktifnya sehingga menjadi lebih jelas. Spesifikasi keberhasilan untuk menyusun aksioma-aksioma dari teori yang belum teraksioma sebelumnya dapat dipandang sebagai suatu contoh kreatrivitas matematika yang dapat direalisasikan.
D. Definisi Sementara tentang Kreativitas Matematika
Contoh-contoh kreativitas dalam
matematika adalah: keahlian untuk
merumuskan definisi yang menggunakan konsep dari objek-objek yang terdefinisi dalam teori –teori bagiannya; merumuskan ide dasar yang berasal dari konteks fisik yang merupakan dasar persoalan matematika. Kreativitas matematika secara esensial adalah suatu keahlian untuk menghasilkan objek-objek matematika, bersama-sama dengan penemuan lain yang terpisah. Kadang-kadang Aktivitas diperhatikan sebagai sesuatu yang berbeda, dan bahkan bertentangan dengan algoritmik objek-objek matematika. Definisi sementara kreativitas matematika adalah; “ Kreativitas matematika adalah keahlian untuk menyelesaikan persoalan atau untuk mengembangkan struktur berfikir, menyusun logika deduktif dan mencocokan konsep yang dibangun untuk digabung menjadi bagian yang penting dalam matematika”.
E. Isi dari Kreativitas Matematika Prosedur kerja kreativitas matematika dapat dihubungkan dengan langkah – langkah yang telah didiskusikan pada bagian C. Secara esensial langkah – langkah
itu
merupakan
rangsangan
untuk
menyetir
kreativitas
para
matematikawan dan mengoperasikan secara umum dalam urutan sebagai berikut; 1. Studi, menghasilkan sesuatu yang berkaitan dengan materi. 2. Intuisi kedalaman struktur suatu materi. 3. Imaginasi dan inspirasi. 4. Hasil, kerangka dalam struktur deduktif. Urutan yang diuraikan di atas merupakan usaha yang diharapkan menjadi kebiasaan untuk memunculkan kreativitas matematika yang potensial. Intuisi merupakan hasil aksi suatu struktur konsep dari data yang tersedia. Intuisi dapat diasah dan dipoles menjadi suatu alat yang berguna. Struktur mental yang diperbaiki, akan menghasilkan intuisi yang baik. Dengan refleksi yang dalam dari suatu subjek maka intuisi akan menghasilkan imajinasi dan inspirasi yang diinginkan, pertama kali intuisi muncul mungkin bentuknya tidak sempurna, tapi akan terasah dengan refleksi menuju pada urutan deduksi formal.
F. Motivasi untuk Kreativitas Matematika
Kekuatan kreativitas matematika didasarkan pada interkasi antara elemenelemen yang tertulis dibawah ini; ( Walaupun urutannya masih belum diyakini benar ) Pemahaman (understanding): kemampuan untuk meregenerasi langkahlangkah kreativitas matematika daripada yang ditulis oleh penulis asli suatu teorema, suatu bagian dari teori … kreativitas matematika adalah dasar, dan bersama-sama dengannya, pendalaman secara simultan tentang pemahaman dan wawasan dari suatu konsep. Intuisi (Intuitioni): susunan image konsep yang cukup dekat dengan konsep formalnya sehingga memungkinkan konjektur menjadi masuk akal.
Intuisi memungkinkan
matematikawan
menampilkan suatu
pemilihan yang baik. Faktor-faktor lain yang berkaitan, dan berelasi dengan intuisi yang bertindak sebagai pendorong dalam proses kreasi matematika adalah imaginasi, fantasi matematika dan keingintahuan. Wawasan (Insight) : sebagai pendorong untuk membentuk suatu rumusan pengetahuan yang baru. Wawasan meliputi pemusatan kembali tentang ketertarikan
dan
reorentasi
apa
yang
penting,
dan
selanjutnya
membayangkan hal yang penting di masa yang akan datang. Generalisasi (Generalization): kemampuan mengenaralisasi dihubungkan dengan wawasan sebab hal ini sangat tergantung pada kemampuan untuk melihat sesuatu ke depan tentang apa yang dipentingkan pada masa yang akan datang. Generalisasi adalah suatu bentuk kretivitas mental, tapi dalam bentuk yang lemah: teori generalisasi kadang-kadang
sulit, kadang-
kadang langsung, kadang-kadang hanya sebagai suatu ilusi: Suatu grup berhingga mempunyai representasi sebagai suatu grup permutasi, generalisasi dari teori grup permutasi dari Galois dan Jordan dalam teori grup berhingga adalah hanya dalam bentuk merumuskan kembali, walaupun perumusannya tidak diragukan lebih baik dari yang terdahulu.
Dapat dilihat bahwa keempat isi di atas paralel dengan empat topik yang telah diuraikan pada bagian terdahulu. Dengan pemahaman (understanding), tidak diartikan hanya sebagai pemahaman intrumental
yang memuat suatu proses,
tetapi pemahaman relasional, dalam pandangan Skemp (1976), pemahaman meliputi
relasi dengan konsep-konsep dalam konteks yang mereka ketahui.
Kreativitas menuntut suatu perluasan konteks dengan cara yang belum disusun sebelumnya.
Itulah sebabnya memungkinkan individu untuk menciptakan ide
yang baru dan digabungkan bersama-sama dengan ide yang lama dalam format yang baru. Selanjutnya sebagai
suatu generalisasi pengetahuan sebelumnya, atau
merupakan perluasan dari skema yang ada dalam memperluas konteks. Tall. D (1991) mengemukakan
terdapat dua macam generalisasi, yaitu; generalisasi
ekspansif yang memperluas pemakaian teori tanpa merubah struktur kognitif yang ada, dan generalisasi rekonstruksi yang menyediakan struktur pengetahuan untuk direorganisasi. Yang pertama mungkin relatif lebih mudah, meskipun dalam pemunculan pertama kalinya, sedangkan yang kedua memuat transisi kognitif dengan
kesulitan yang besar dengan menyediakan kualitas karakter
secara
khusus supaya berhasil dalam menghadapi kesulitan
F. Karakteristik-Karakteristik Kreativitas Matematika Dalam membangun cabang yang lebih besar tentang kreativitas matematik, muncul karakteristik-karakteristik tertentu mengenai
kreativitas matematika,
sebagai berikut;
Relasional ( dalam pengertian Skemp ).
Relasional
muncul melalui
interaksi; relasional muncul sebagai suatu rantai antara dua atau lebih konsep, sedemikian sehingga ide baru yang muncul digabungkan dengan aspek-aspek yang berbeda sehingga membentuk konsep tertentu menjadi satu kesatuan. Interaksi ide-ide dalam fikiran seorang ahli matematika mungkin yang terpenting untuk mendorong kreativitas maematika. Ide-ide dan konsep-konsep matematik muncul sebagai usaha untuk membangun blok-blok
yang
dikombinasikannya
untuk
membangun
beberapa
konfigurasi yang baru. Jika konfigurasi itu bermakna, maka konfigurasi itu menjadi suatu teori. Sebagaimana telah dijelaskan oleh Poincare.
Pandangan yang mendalam terhadap proses ini menimbulkan pertanyaan: “Apakah kreativitas matematika bertindak seperti mutasi dalam biologi ?”
Suatu mutasi dalam matematika muncul ketika rantai ide distruktur ulang, mungkin dalam satu tempat. Tidak semua restruktur tersebut berguna, sehingga
ada beberapa yang bertahan dan yang lainnya dieliminasi. Sebagai contoh untuk hal ini adalah teori kubus, kurva dengan derajat tiga yang dibangun sebagai suatu generalisasi dari teori konik, teori ini dikembangkan pada abad ke sembilan belas, tapi masih sering diajarkan sampai sekarang. Selanjutnya dapat dilihat bahwa kreaivitas matematika adalah;
Selektif: Istilah ini analog dengan istilah biologi, istilah ini muncul sebagai perjuangan untuk hidup diantara konsep-konsep matematika, berdasarkan seleksi alam dan ketahanan untuk hidup. Sebagai contoh, beberapa teori tentang integral muncul pada akhir abad ke sembilan belas dan pada awal abad ke dua puluh generalisasi dari integral Riemann masuk dalam kompetisi dengan yang lainnya dan akhirnya integral Lebesgue bertahan untuk mendominasi matematika analisis. (Van Dale & Monna, 1972). Keselektifan memunculkan suatu kriteria yang berkaitan;
Kecocokan: Kecocokan merupakan kriteria kualitas untuk menilai definisi dan teorema dalam membentuk aksioma-aksioma dalam matematika. Estimasi terkenal dari Stanislas Ulam yang menghasilkan 200.000 teorem setiap
tahun
menjelaskan
bahwa
saringan
sangat
diperlukan.
Kenyataannya, saringan itu memang ada, sebagai contoh, pada awalnya tidak terdapat penilaian untuk menghasilkan jurnal-jurnal yang baik, tapi secara spontan dan secara tidak sadar berkitan dengan waktu perjuangan untuk perbaikan dannkesesuaian ide matematika terdapat suatu seleksi.
Kreativitas
matematika
menjadi
cara
baru
dalam
mengatasi
kekomplekan kaitan antara konsep-konsep matematika yang rumit. Ini dilakukan dengan mengenkapsulate struktur baru menjadi objek tunggal yang lebih mudah untuk dimanipulasi secara mental. Akibatnya;
Ringkasan: Kreativitas matematika
termasuk keahlian untuk memilih
kata – kata dan simbol yang tepat untuk merepresentasikan konsep-konsep matematika. Kepentingan dari representasi simbolik dalam matematika tidak diestimasi berlebihan. Simbol yang tepat memungkinkan untuk meringkaskan beberapa aspek dalam satu konsep yang tunggal yang akan digunakan setiap saat sebagai simbol yang muncul dalam suatu teks. Dalam keadaan ini penggunaan simbol bebas „ dalam ruang ingatan “ yang
ada untuk digunakan selanjutnya, sampai konsep-konsep yang tidak diketahui dan tidak jelas.
G. Hasil-Hasil dari Kreativitas Matematika Setelah proses kreativitas matematika, terdapat beberapa kualitas dimana ide baru muncul berkaitan dengan diterima dan dipertahankannya ide-ide tersebut dalam komunitas matematika ayang lebih besar. McLane (1986) menyarankan sejumlah kriteria yang dimunculkan sedemikian sehingga suatu ide dapat disebut “ matematika yang baik”, maka haruslah: Illuminating
(Memberikan
Penjelasan):
Bentuk
ini
merupakan
karakteristik yang perlu pada kreativitas matematika. Matematika yang baik harus menjadi penolong dalam pemahaman. Suatu hal yang tidak jelas tidak akan menjadikan kreatif, atau kretivitas akan digunakan pada arah yang tidak tepat, sebagai contoh urutan dalam teknik perhitungan yang panjang. Untuk alasan yang sama dikatakan bahwa kretivitas matematika berada pada langkah pertama (aktivitas logika ) sangat lemah. Deep (kedalaman): Kreativitas matematika diharapkan membuka relasirelasi yang tersembunyi. Hasil yang mendalam tidak cukup sulit untuk dibuktikan, tapi harus luas secara relevansi dan aplikasi. Responsive or fruitful (Bermakna): Produk yang berhasil dari kreativitas didasarkan pada hasil akhir dalam merespon kebutuhan saat itu. Jika produk tersebut bertahan lama, maka akan menjadi dasar dalam pengembangan di masa yang akan datang, dengan demikian hasil tersebut akan menjadi bagian yang penting dalam kehidupan matematika. Original (keaslian). Kadang-kadang terdapat suatu hal yang tidak diharapkan dalam hasil, sesuatu hal yang baru di lapangan tetapi hanya merupakan penyusunan kembali dari hasil yang telah diketahui, akan menjadi keraguan yang sangat kuat berkaitan dengan pencapaian.aspek kreatif.
H.
Kekeliruan dalam Kreativitas Matematika Karakteristik utama dari kreativitas matematika yang membedakannya dari
karakteristik umum dalam teori matematika adalah kadang-kadang timbul kekeliruan. Hal ini mungkin termuat dalam baru dapat dibuktikan secara jelas,
atau mungkin memuat suatu kesalahan. Tidak ada jaminan bahwa teorema yang disusun adalah benar, atau teorema tersebut telah dibuktikan secara benar. Contoh yang sangat terkenal adalah bukti pertama dari teorema Empatt Warna, bukti terkenal postulat kelima Euclid dan bukti terakhir dari Poincare yang terlihat masuk akal untuk beberapa bulan yang akhirnya cacatnya ditemukan.
I. Konsekuensi dalam Pengajaran Berfikir Matematika Tingkat Tinggi Para siswa berpendapat bahwa matematika adalah sesuatu yang logis, tertentu,
akurat,
dapat
dibuktikan,
dan
dapat
dipertanggungjawabkan
penjelasannya. Tetapi kreativitas matematika tidak memenuhi satupun penjelasan – penjelasan itu. Kreativitas matematika menawarkan perbedaan antara praktek kerja penelitian
para matematikawan dengan kerja seni para matematikawan
yang dipilih untuk generasi selanjutnya. Terdapat beberapa syarat yang menghalangi pelaksanaan secara keseluruhan kreativitas matematika, dimana tersebut sangat bagus untuk dilaksanakan, khususnya yang berkaitan dengan pemahaman konteks matematika yang sulit yang diberikan untuk pengembangan kreatif dalam memperluas materi yang telah diketahui. Oleh karena itu kita jangan mengharapkan siswa untuk menemukan kembali apa yang telah diperoleh
berabad-abad yang lalu dan
menggabungkannnya dengan aktivitas matematika sebagai hal yang harus dicapai oleh siswa sebagai tujuan akhir. Akan tetapi jika kita tidak mendorong mereka untuk berpartisipasi dalam menurunkan ide matematika sebagai sesuatu yang tidak rutin untuk dihasilkan. Kita tidak memulai untuk menunjukkan cara-cara yang benar pada mereka tentang berfikir matematika tingkat tinggi.
Daftar Pustaka Ervynck, G. (1991). Mathematical Creativity. in
Tall, D. ( 199), Advanced
Mathematical Thinking. Pp. 42 – 53. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.
