KOVARIAT DARI FUNGSIONAL PRINSIPAL KOMPONEN ANALISIS UNTUK DATA LONGITUDINAL
TESIS
Oleh
AGUSMAN 097021053/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
KOVARIAT DARI FUNGSIONAL PRINSIPAL KOMPONEN ANALISIS UNTUK DATA LONGITUDINAL
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh
AGUSMAN 097021053/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: KOVARIAT DARI FUNGSIONAL PRINSIPAL KOMPONEN ANALISIS UNTUK DATA LONGITUDINAL Nama Mahasiswa : Agusman Nomor Pokok : 097021053 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota
:
1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Drs. Open Darnius, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Analisa komponen utama multivariat klasik diperluas untuk data fungsional dan disebut dengan istilah fungsional prinsipal komponen analisis (FPCA). Sebagian besar pendekatan FPCA yang ada tidak mengakomodir informasi kovariat, dan tujuan dari tulisan ini adalah untuk mengembangkan dua metode yang mengakomodir informasi tersebut. Dengan pendekatan ini, baik fungsi mean maupun fungsi kovariansi tergantung pada kovariat Z dan skala waktu t sementara dengan pendekatan kedua hanya fungsi mean yang tergantung pada kovariat Z. Kedua pendekatan baru mengakomodir kesalahan pengukuran tambahan dan data fungsional sampelnya diambil pada kisi waktu yang teratur dan juga data longitudinal yang jarang diambil sampelnya pada kisi waktu yang tidak teratur. Pendekatan pertama untuk menyesuaikan sepenuhnya baik fungsi mean maupun fungsi kovariansi beradaptasi lebih besar terhadap data tetapi lebih intensif perhitungan daripada pendekatan untuk menyesuaikan efek kovariat hanya pada fungsi mean. Di kembangkan teori asymptot umum untuk kedua pendekatan dan dibandingkan kinerja keduanya secara numerik melalui studi simulasi dan suatu kumpulan data. Kata kunci : Estimasi, Seleksi Bandwidth dan jumlah eigen fungsi, Hasil-hasil asimtot
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Classical multivariate principal component analysis has been extended to functional data and termed functional principal componentanalysis (FPCA). Most existing FPCA approaches do not accommodate covariate information, and it is the goal of this paper to develop two methods that do. In the ?rst approach, both the mean and covariance functions depend on the covariate Z and time scale t while in the second approach only the mean function depends on the covariate Z .Both new approaches accommodate additional measurement errors and functional data sampled at regular time grids as well as sparse longitudinal data sampled at irregular time grids. The first approach to fully adjust both the mean and covariance functions adapts more to the data but is computationally more intensive than the approach to adjust the covariate effects on the mean function only. We develop general asymptotic theory for both approaches and compare their performance numerically through simulation studies and a data set. Keywords : Estimation, Bandwidth selection and number of eigenfunctions, Asymtotic results
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan kepada Sang Maha Pencipta,Allah SWT yang telah memberikan begitu banyak nikmat sehingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik. Dalam menyelesaikan pendidikan di Sekolah Pasca Sarjana USU ini penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapakan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Dr. Sutarman, MSc, selaku Dekan F.MIPA dan selaku Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk sehingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik. Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Dosen Pembimbing II yang banyak memberikan banyak bimbingan dan motivasi kepada penulis sehingga pendidikan ini dapat terselesaikan dengan baik. Seluruh Dosen pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai. Drs. Lukman Hakim, MPd, selaku Kepala Sekolah SMA Swasta Al-Ulum Medan yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU ini. Dr. Hasratudin, MPd, selaku Bapak angkat saya dan selaku Dosen MIPA Unimed Medan yang telah memberikan dukungan dan motivasi kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA USU ini. Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih yang tak terhingga kepada Ayahanda tercinta yaitu Jakiman dan Ibunda tercinta Sanis yang doa-doanya selalu menyertai penulis. Kepada Papa Dr. Irwan Fahri Rangkuti,SpKK yang selalu menjadi motivator penulis dan selalu membantu moril dan materil yang tak terhingga selama perkuliahan dan sampai tesis ini dapat terselesaikan. iii Universitas Sumatera Utara
Kepada semua pihak yang telah turut membantu baik langsung maupun tidak langsung yang penulis dapatkan selama ini. Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang membutuhkannya.
Medan, 15 Juni 2011 Penulis,
Agusman
iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Agusman dilahirkan di Tanjung Morawa Kabupaten Deli Serdang pada tanggal 17 Oktober 1982 dan merupakan anak ke sembilan dari sembilan bersaudara dari ayah Jakiman dan Ibu Sanis. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri No. 106179 Desa Limau Manis Kecamatan Tanjung Morawa Kabupaten Deli Serdang pada tahun 1994, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama pada SLTP Negeri 2 Tanjung Morawa Deli Serdang pada tahun 1997, Sekolah menengah Umum pada SMU Swasta Dwitunggal Tanjung Morawa Deli Serdang pada tahun 2000. Pada tahun 2000 memasuki Perguruan Tinggi pada Universitas Muslim Nusantara ( UMN ) Al Washliyah Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 2006. Pada tahun 2009 mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
KATA PENGANTAR
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Rumusan Masalah
2
1.3 Tujuan Penelitian
2
1.4 Manfaat Penelitian
2
1.5 Metodologi
3
BAB 2 BEBERAPA KAJIAN TENTANG FUNGSIONAL PRINSIPAL KOMPONEN ANALISIS
4
BAB 3 PENGERTIAN TEORITIS FPCA
7
3.1 Estimasi
9
3.1.1 fFPCA
10
3.1.2 mFPCA
13
3.1.3 Seleksi Bandwidth dan Jumlah Eigenfungsi
14
vi Universitas Sumatera Utara
3.2 Hasil-hasil Asymtot untuk Fungsi Mean dan Fungsi Kovarian
15
BAB 4 PENERAPAN KOVARIAT PADA FUNGSIONAL PRINSIPAL KOMPONEN ANALISIS 19 4.1 Aplikasi Data
23
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
27
5.1 Kesimpulan
27
5.2 Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
28
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
4.1
Hasil Simulasi fFPCA
21
4.2
Rata-rata MISE dan MSFE dalam 100simulasi berjalan untuk tiga
22
4.3
MSFEs dari mFPCA, fFPCA, uFPCA dan rFPCA berdasarkan data
24
viii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
4.1
Dua eigenfunctions kovariansi dan estimasi dengan. mFPCA
21
4.2
Dari dua eigenfunctions pertama diperkirakan melalui fFPCA pada lima nilai yang berbeda dari covarite tersebut
22
4.3
Estimasi rata-rata permukaan untuk data jarang dan lengkap
25
4.4
Estimasi kovarians permukaan mFPCA untuk jarang dan
26
ix Universitas Sumatera Utara
