KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I

  KOVÁCS BÉLA,

MATEmATIkA I.

15 

  

 

XV. DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS  

1. DERIVÁLT,

dERIVÁLÁS

Az f függvény deriváltján az

(1)

határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges). Az

A derivált

 függvény deriváltjának jelölései:

 helyen vett

,

,

,

,

,

 helyettesítési értékét szokás a függvény

 stb.

 helyhez tartozó differenciálhányadosának is

nevezni. A derivált előállítását deriválásnak vagy differenciálásnak mondjuk. A

 differenciálhányados geometriai jelentése az

azaz

 görbe

 helyhez tartozó érintőjének az iránytangense,

 (3.1. ábra).

3.1. ábra

A deriválható függvény folytonossága Ha egy függvénynek valamely helyen vagy intervallumon van deriváltja, akkor a függvény itt differenciálható. A differenciálhatóságból következik a függvény folytonossága. Fordítva azonban ez nincs így. Például az mindenütt) folytonos.

 függvény az

 helyen nem differenciálható, ugyanakkor itt (és

Függvények különböző osztályainak kapcsolata

2. DERIVÁLÁSI SZAbÁLYOk Legyenek u, v, f, g differenciálható függvények. Ekkor: 1.

, C állandó;   ;

2.  

;

3.   4.

,

;

     (láncszabály);

5.    és

6.

. Ekkor

;

  7.

,

, akkor

.

Alapfüggvények deriváltjai Az alapfüggvények deriváltja

,  C állandó;

;

;

;

;

;

;

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

, 

Értelmezzük a függvény második harmadik stb. deriváltját. Jelölésük:

 .

A f függvény differenciálja (3.2. ábra):

(2)

3.2. ábra

3. A dIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS kÖZÉPÉRTÉkTÉTELEI Rolle-féle középértéktétel Rolle-féle középértéktétel

 [1 ]:

Ha az f függvény

1. az [a, b] intervallumon folytonos,   2.

 intervallumon differenciálható és  

3.

akkor az

,

 intervallumon van legalább egy olyan

Lagrange-féle középértéktétel  [2 ]

 hely, ahol

.

.

Lagrange-féle középértéktétel 1.

: Ha az f függvény

 intervallumon folytonos,  

2.

 intervallumon differenciálható,

akkor az

 intervallumon van legalább egy olyan

(3)

 hely, hogy

.

Cauchy-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 1.

 [3 ]:

Ha az f és g függvény

 intervallumon folytonos,  

2.

 intervallumon differenciálható,  

3. 3.az

akkor az

 intervallumon

,

 intervallumon van olyan

 hely, hogy

(4)

.

4. MINTAPÉLdÁk

Megoldások:

láthatók

 és a

1. Az (1) formula alapján határozzuk meg az

nem láthatók

 függvény deriváltját.

 

Megoldás

;

.

2. Határozzuk meg az

 függvény deriváltját, majd ezt felhasználva, teljes indukcióval igazoljuk, hogy

 

 természetes szám).

 

Megoldás.

1.

.           Az

 -re

 igazolása:

, igaz;

2. Feltételezzük, hogy

 -ra igaz, vagyis

3. Bizonyítjuk  

;

 -re:

. Az állítás tehát öröklődik k -ról

 -re, így az minden

 természetes számra igaz (közben

felhasználtuk a szorzat deriválási szabályát).

3. Az

 függvény az ,

4. Ismerve

 helyen nem differenciálható, mert itt nem folytonos.

, shx és chx deriváltját, határozzuk meg thx és

 deriváltját.

 

Megoldás. A tört deriválási szabályát alkalmazzuk. ;

.

5. Ismerve tgx deriváltját, határozzuk meg arctgx deriváltját.  

Megoldás. Az arctgx függvény tgx inverze. A 6. deriválási szabályt alkalmazzuk: . Ekkor  

.

6. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját:

; 

; 

; 

; 

; 

; 

.

 

Megoldások

;

;

;   

;

;

;

.

7. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját:

;   

; 

.

 

Megoldások ; ;

.

8. Határozzuk meg az alábbi összetett függvények deriváltját: ; 

; 

; 

; 

.

 

Megoldások. Alkalmazzuk a láncszabályt. ; , ahol

. Tekintettel arra, hogy

, ezért ;

;         (

.

;

,  

9. Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját:

a)  

;

;

b)  

.

c)    

Megoldások a)

,      

,    

.  Így

;

b)

,  

hatványfüggvény. A belső függvény

. Itt a külső függvény

, vagyis a 3 kitevőjű

. Tehát .

c) A külső függvény

, a belső függvény

.

. Ennek így is kell lennie, hiszen

10. Határozzuk meg az

, és ennek deriváltja cosx.

 harmadik deriváltját.

 

Megoldás.

,

,

.

11. Írjuk fel az alábbi függvények hatodik deriváltját:

a)   

;

b)   

;

c)   

;

d)   

.  

Megoldások a)

,   

,   

,   

,   

,   

; b)

,  

   

,

; c)

,  

d)

    ,   

.

,   

, 

,   

,   

.

12. Határozzuk meg az alábbi függvények n-edik deriváltját

a)   

, egész):

;

b)   

;

c)   

.  

Megoldások a) 

,

,

,

. Innen már lehet következtetni, hogy és 

, ha n páros

,  ha  n  páratlan.  Ez felírható így is: .

b)

,

,

,

,

Innen látható, hogy

c)

,   

,     

, .

.

13. Deriváljuk az alábbi függvényeket: a)

;

b)

.  

Megoldások. Képezzük előbb mindkét oldal logaritmusát, majd deriváljunk mindkét oldalon. .  Innen

a)

;

b)

.

Innen

.

14. Állítsuk elő az a)

 deriváltat az alábbi implicit függvények esetén:

;

b)

;

c)

.  

Megoldások. Mindhárom esetben y úgy tekintendő, mint x -nek a függvénye, azaz egyenletek mindkét oldalát, majd fejezzük ki innen

. Deriváljuk az

 -t. ;

a)

;

b)

c)

.

15. Határozzuk meg az alábbi paraméteresen adott függvények esetében az a) 

 és

 deriváltat:

               

b)

    

Megoldások. A 7. deriválási szabály szerint a)

,   

,   

,   

, és ebből következően . Tehát

.

,  b)

;

, 

,   

,   

. Tehát

,   

.

16. Állítsuk elő az

 deriváltat az alábbi, poláris koordinátákkal adott görbék esetén:

;

a) b)

.  

Megoldások. Írjuk fel a görbék paraméteres egyenletrendszerét, ha ,  a)

  

  

;

b)

.

17. Deriváljuk az alábbi függvényeket: a)

,  g és k állandó;

, A,

b)

c)

,

 állandók;

, c állandó.  

Megoldások a) b)

 a paraméter, miközben

.

; ;

c) .

18. Számítsuk ki az alábbi függvények

  görbe érintőjének a

 helyhez tartozó deriváltját. Mekkora itt az

hajlásszöge: a)

, 

b)

, 

;

;

, 

c)

;

 

Megoldások a)

. Az iránytangens:

ahonnan az érintő hajlásszöge:

.

b)

, 

,

, 

;

c)

,

.

19. Mekkora szögben metszi az

 görbe az x tengelyt?

 

Megoldás. A görbe ott metszi az x tengelyt, ahol

, azaz

. Innen

. A görbe

metszési szögén a metszésponthoz tartozó érintő hajlásszögét értjük. A derivált:  helyen (a metszéspontban) az iránytangens:

. Az

. Tehát az

 helyen a görbe 45 fokos szögben metszi az x tengelyt. Hasonlóan az

 helyen  

, tehát

3.3. ábra

.    (3.3. ábra)

 görbe érintője párhuzamos az

20. Melyik pontban lesz az

 egyenessel?

 

Megoldás. Az egyenes iránytangense

.

  görbe érintőjének iránytangense

Az

azaz

. Innen

. A két iránytangensnek egyenlőnek kell lennie,

. Ezen a helyen a görbe pontjának ordinátája

. Tehát az

 pontban lesz párhuzamos a görbe érintője az egyenessel.

 egy pont mozgásegyenlete, ahol t jelenti az időt másodpercben, s pedig a megtett utat

21. Legyen

centiméterben. Melyik időpillanatban lesz a pont sebessége 4800 cm/sec?  

A

Megoldás.

sebesség

az

első

deriválttal

, ahonnan

egyenlő,

azaz

.

A

feltétel

 másodperc.

22. Határozzuk meg az alábbi függvények differenciálját. Számítsuk is ki a differenciál értékét, ha

,

;

szerint

,

;

,

 és

:

.

 

Megoldások. Használjuk a (2) formulát: , 

;

, 

;

,

23. Írjuk fel az   szereplő

.

 függvényre a Rolle-tételt az

 intervallum esetén. Számítsuk ki a tételben

 értéket.

 

Megoldás. A tétel feltételei teljesülnek, ugyanis a függvény mindenütt differenciálható (így folytonos is), és . Mivel

, ezért a tétel alakja:

. Innen

. Tehát két

 érték létezik, és mindkét

 érték az (1; 3) intervallumban van (3.4. ábra).

24. Írjuk fel a Lagrange-féle középértéktételt az alábbi függvényekre, majd számítsuk ki

, 

a)

 értékét:

;

, 

b)

.

 

Megoldások

, így a (3) alakja     

a)

;

, így a tétel alakja:

b)

.

. Azt kaptuk

Átalakítás után  parabola esetén

tehát, hogy az

25. Határozzuk meg az

 az intervallum közepén van.

  görbén azt a pontot, amelyben a görbe érintője párhuzamos a  

(1; 0),

(10; ln 10)

pontokon átmenő szelővel. (3.5. ábra).

 

Megoldás. A Lagrange-féle középértéktételben szereplő , 

, a = 1, b = 10. A tétel alakja:

 értékeket kell meghatározni. Jelen esetben

. Tehát a kérdéses pont az

 pont, ahol

.

26. Írjuk fel a Cauchy-féle középértéktételt az

,

 függvények esetére a

 intervallumon.

 

Megoldás. A (4) formulát kell felírni, ha

,

. Mivel

,

, ezért a tétel

alakja: ,  Innen az is látszik, hogy ha

, akkor

. , és ezért

.

5. FELAdATOk Határozza meg az alábbi függvények deriváltját, és próbálja azt a lehető legegyszerűbb alakra hozni:

1.

;

2.

;

3.

;

4.

;

5.

;

6.

;

7.

;

8.

;

9.

10.

;

;

11. 12.

; ;

13.

;

14.

;

15.

;

16. 17.

;

18.

;

19.

;

20.

;

21.

;

22.

;

23.

;

;

24.

;

25.

26.

27.

;

; ;

28.

;

29. 30.

;

31.

;

32.

33.

34.

35.

;

;

;

;

36.  

;

37.

.

Határozza meg az alábbi függvények n-edik deriváltját:

38.

;

39.

;

;

40. 41.

;

42.

;

43.

.

Határozza meg az

 és

 deriváltakat az alábbi, paraméteresen adott függvények esetén:

44.

45.  

46.

47.

Számítsa ki az alábbi függvények differenciálhányadosát:

48. 49.

; ;

50.

.

Határozza meg az

51.

 deriváltat az alábbi, implicit módon adott függvények esetén:

;

52.

;

53.

;

54.

.

Számítsa ki az alábbi függvények adott

55.

, 

 helyhez tartozó differenciálhányadosát:

;

56.

;

57.

; .

58.

Állítsa elő az alább megadott függvények differenciálját, majd számítsa ki a differenciál értékét az adott x és dx esetén:

59.

,  x = 3,  dx = 0,01;

60.

;

61.

,  x = 1,  dx = 0,05;

62.

,  x = 0,  dx = 0,2.

Számítsa ki a Lagrange-féle középértéktételben szereplő

63.

,

64.

65.

;

, 

Igazolja,

 értékét az alábbi függvények és adott intervallum esetén:

.

hogy

,

ha

középértéktételben szereplő

 értéke

akkor

tetszőleges

 intervallum

esetén a Lagrange-féle

.

66. Számítsa ki a Lagrange-féle középértéktételben szereplő

 értékét mind az

, mind a  

 intervallumot tekintve. Ezután számítsa ki a Cauchy-féle középértéktételben szereplő

 függvény esetében, a

 értékét

is.  alakban is felírható, ahol

67. A Lagrange-féle középértéktétel tételnek ezt az alakját az

 függvény esetére, majd számítsa ki

 határértékét, ha

. Írja fel a

.

68. Az x = a és x = b hely legyen a kétszer differenciálható f függvénynek kétszeres zérushelye, azaz legyen  és

. Igazolja, hogy ekkor az

legalább két zérushelye. 69. A Lagrange-féle középértéktételt felhasználva igazolja, hogy , ha

.

 függvénynek az

 intervallumban van

70. A Rolle-féle középértéktételt felhasználva igazolja, hogy az

 egyenlet gyökei valósak, ha

. Állapítsa meg azokat az intervallumokat, ahová a gyökök esnek.

71. Számítsa ki

 értékét, ha .

72. Igazolja, hogy az  és

deriváltja megegyezik (ha

).

    

[1] Ejtsd: [roll]. Michel Rolle (1652–1719) francia matematikus nyomán.

    

[2] Ejtsd: [lágranzs]. Joseph -Louis Lagrange (1736–1813) olasz születésű francia matematikus nyomán.

    

[3] Ejtsd: [kosi]. Augustin -Louis Cauchy (1789–1857) francia matematikus nyomán.

       Digitális Egyetem,   Copyright  ©  Kovács Béla,   2011