Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 2 voor B.
1
Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden in Maple ingevoerd als resp. +, −, ∗, / en ˆ. Bij vermenigvuldigen mag de * niet worden weggelaten. 2. Elke opdracht wordt in Maple afgesloten met ; De opdracht wordt daarna uitgevoerd nadat de Enter toets is ingedrukt. 3. Wanneer aan een bepaalde uitdrukking een naam moet worden gegeven dan kan dat via := Als we bijvoorbeeld aan de uitdrukking x + 5 de naam p willen geven dan kunnen we intypen p := x + 5; (gevolgd door Enter). 4. Een functie f (x) voeren we in als f := x− > f (x); Bijvoorbeeld de functie f (x) = x3 + sin(x) wordt f := x− > x ˆ 3 + sin(x); Als deze functie is ingevoerd kunnen functiewaarden voor verschillende waarden van x worden uitgerekend. Zo geeft bijvoorbeeld f (1); als antwoord 1 + sin(1) en f (a); als antwoord a3 + sin(a). 5. In Maple zijn √ o.a. de volgende functies standaard aanwezig: sin(x), cos(x), tan(x), sqrt(x) (= x), exp(x) (= ex ), ln x, arcsin x, arccos x, arctan x, sinh x, cosh x, tanh x. 6. Het oplossen van vergelijkingen kan met behulp van solve(vergelijking, variabele); Zo levert solve (xˆ2 − 5 ∗ x + 6 = 0, x) ; als resultaat 2, 3. 7. Het uitwerken van een uitdrukking (bijvoorbeeld haakjes wegwerken) kan met behulp van het commando expand worden uitgevoerd. Zo geeft bijvoobeeld expand((x + 1) ∗ (x − 3)); na Enter de uitkomst x2 − 2x − 3. 8. Een numerieke benadering van een getal of een uitkomst wordt verkregen met behulp van evalf . Zo levert evalf (sqrt(2)) ; als resultaat op 1.414213562. Soms wil je van een door Maple uitgerekend resultaat een numerieke benadering hebben. Je hoeft dan niet noodzakelijk dit resultaat in het commando evalf in te typen, maar je kunt in plaats daarvan de opdracht evalf (%) gebruiken. Het programma leest % als de laatst uitgerekende uitkomst.
Maak nu de volgende opdrachten met behulp van Maple.
1
1. Werk met behulp van Maple de volgende producten uit. (a) (x + 3)3 (x − 1)2 (b) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (c) (x + a)2 (x − b)3 2. Los met behulp van Maple de volgende vergelijkingen op. (a) x2 − 13x − 23 = 0 (b) x3 − 30x2 − 357x + 7514 = 0 (c) x5 − 6x4 − 10x3 + 144x2 − 351x + 270 = 0 3. Los de volgende vergelijkingen op met behulp van Maple. In hoeverre worden alle oplossingen gegeven? (a) 3 sin x + 3 = 2 cos2 x (b) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0 (c) cos 3x + cos x + 2 cos2 x = 0 4. Bepaal numerieke benaderingen van
2
√
3 en e = exp(1).
Het tekenen van grafieken. 1. Het tekenen van de grafiek van een functie f (x) op een interval [a, b] gaat via plot(f (x), x = a..b); Als we de grafiek willen hebben over heel R dan kan dat via plot(f (x), x = −inf inity..inf inity); 2. Het symbool ∞ wordt dus in Maple ingevoerd als inf inity. Het getal π wordt ingevoerd als P i. 3. In ´e´en plaatje kunnen desgewenst meerdere grafieken getekend worden. De grafieken van twee functies f (x) en g(x) op een interval [a, b] worden bijvoorbeeld in ´e´en plaatje getekend door plot({f (x), g(x)}, x = a..b);
Maak nu de volgende opdrachten met behulp van Maple. x2 + 3x √ in. Teken de grafiek van deze functie op 1. Voer in Maple de functie f (x) = 1 + x6 het interval [−3, 3]. Teken vervolgens de grafiek op heel R. Wat is het verschil? 2. Teken in ´e´en plaatje de grafieken van sin x en cos x op het interval [−2π, 2π]. 2
3
Limieten en differenti¨ eren. 1. Voor een gegeven functie f (x) kunnen via het Maple commando limit limieten worden uitgerekend, ook eenzijdige. Zo worden na resp. limit(f (x), x = a);, limit(f (x), x = a, right); en limit(f (x), x = a, lef t); zo mogelijk door Maple bepaald lim f (x), x→a
lim f (x) en lim f (x). Het symbool ∞ kan worden ingevoerd als infinity. x↓a
x↑a
2. De eerste orde afgeleide van een functie f (x) kan worden bepaald via diff (f (x), x); En de tweede orde afgeleide als diff (f (x), x, x); 3. Wanneer de afgeleide verder gebruikt moet worden kan het handig zijn deze een aparte naam te geven, bijvoorbeeld als g := x− >diff (f (x), x); Maak nu de volgende opdrachten met behulp van Maple. 1. Bepaal de volgende limieten. x4 − 1 x→1 x3 − 1 √ x−3 (b) lim x→9 x − 9 2x3 − x2 + 4x − 2 (c) lim x→∞ 5x3 + 3x2 − 5x + 1 (a) lim
√ 2. Gegeven is de functie f (x) =
x ln (1 + x2 ) . 2 + cos x
f (x + h) − f (x) . Hier wordt dus de afgeleide h→0 h bepaald uitgaande van de definitie.
(a) Bepaal met behulp van Maple lim
(b) Bepaal rechtstreeks met behulp van Maple de afgeleide van f (x). (c) Zijn de uitkomsten van (a) en (b) aan elkaar gelijk? (d) Teken in ´e´en figuur de grafieken van f (x) en f 0 (x) voor 0 ≤ x ≤ 8. Klopt het stijgen/dalen van f (x) met het verloop van f 0 (x)? 3. Bepaal de afgeleiden van de volgende functies. arcsin x (a) f (x) = √ 1 − x2 3 x − x2 + x + 2 √ (b) f (x) = 1 + x4 x e (c) f (x) = n x 3
4
Integreren. 1. Zowel onbepaalde als bepaalde Z integralen kunnen door Maple worden uitgerekend. Voor onbepaalde integralen f (x)dx moet worden ingetypt int(f (x), x); en voor Z b bepaalde integralen f (x)dx is dit int(f (x), x = a..b); a
2. Ook oneigenlijke integralen kunnen op deze manier worden bepaald. Zo geeft bijvoorbeeld int(1/(1 + xˆ2), x = 0..inf inity); als antwoord 21 π. 3. Als f (x) een rationale functie is dan kan een breuksplitsing van f (x) bepaal worden via convert(f (x), parf rac, x); Als bijvoorbeeld f := x− > 1/(x ˆ 2 − 1); dan geeft convert(f (x), parf rac, x); als 1 1 − 21 . resultaat 21 x−1 x+1 Maak nu de volgende opdrachten met behulp van Maple. 1. Bepaal met behulp van Maple de volgende onbepaalde integralen. Z (a) x3 e2x sin xdx Z √ (b) tan xdx Z 1 (c) dx 1 + x6 2. Bepaal met behulp van Maple zo mogelijk de volgende integralen. Z 5 x4 (a) dx 2 −3 x + x + 1 Z 1000 1 (b) dx 1 + x3 0 Z ∞ (c) x3 + x2 + 3 e−x dx 0
3. Bepaal breuksplitsingen van de volgende functies. 1 x3 − 8 x+1 (b) f (x) = 2 x − 5x + 6 (a) f (x) =
4
(c) f (x) =
x2 + 2 4x5 + 4x3 + x
4x4 + 13x3 + 49x2 + 89x + 105 . x5 + 3x4 + 14x3 + 42x2 + 45x + 135 Z (a) Bepaal met behulp van Maple f (x)dx.
4. Beschouw de functie f (x) =
(b) Bepaal met behulp van Maple een breuksplitsing voor f (x). (c) Integreer de uitkomst uit (b). (d) Zijn de uitkomsten van (a) en (c) aan elkaar gelijk?
5
Differentiaalvergelijkingen. 1. Om na te gaan of een gegeven functie y(x) oplossing van een bepaalde differentiaalvergelijking is kunnen we deze functie invullen, en zien wat Maple als uitkomst geeft. Via diff (y(x), x) en diff (y(x), x, x) kunnen we over eerste en tweede orde afgeleiden van y(x) beschikken (en eventueel nog hogere orde). Als we bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking x2 y 00 − xy 0 − 3y = 0 bekijken, en we willen nagaan of de functie y(x) = 2x3 + 1 een oplossing is dan kunnen we in Maple eerst invoeren y := x− > 2 ∗ xˆ3 + 1; en vervolgens xˆ2∗diff (y(x), x, x) − x∗diff (y(x), x) − 3 ∗ y(x); Maple geeft dan als antwoord: −3, dus deze functie is geen oplossing van de differentiaalvergelijking. 2. De Maple opdracht dsolve kan gebruikt worden om differentiaalvergelijkingen op te lossen. Bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking y 0 = xy wordt ingevoerd als dsolve(diff (y(x), x) = x ∗ y(x), y(x)); 1 2 Maple geeft dan als oplossing: y(x) = C1e( 2 x ) Met de notatie C1 geeft Maple de in de oplossing voorkomende constante aan. 3. Het commando dsolve uit 2. kan nog uitgebreid worden z´o dat ook de oplossing van een beginwaardeprobleem kan worden bepaald. Als we bijvoorbeeld naar de oplossing van de differentiaalvergelijking y 0 = xy zoeken met beginwaarde y(0) = 2 dan kan dat in Maple via dsolve({diff (y(x), x) = x ∗ y(x), y(0) = 2}, y(x)); 1 2 Maple levert nu als antwoord y(x) = 2e( 2 x ) . Let dus op dat in dit geval de twee vergelijkingen y 0 = xy en y(0) = 2 beide binnen de accolades worden opgenomen, en y(x) is dan die functie die aan beide vergelijkingen voldoet. 4. Met behulp van Maple kunnen ook richtingsvelden voor een gegeven differentiaalvergelijking getekend worden, en wel met het commando dfieldplot. Bij het opstarten van Maple is dit commando niet standaard aanwezig. Om toch de beschikking over dit commando te krijgen moeten we eerst een extra file laden. Deze file heet DEtools, 5
en het laden gaat als volgt: with(DEtools); Op het scherm verschijnt een overzicht van alle extra commando’s die nu beschikbaar zijn. E´en daarvan is dfieldplot. Dit werkt als volgt. Stel dat gegeven is de differentiaalvergelijking y 0 = 21 y (example 6.1 uit 6.6), en we willen een richtingsveld tekenen op het gebied −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5. Voer dan in Maple in: dfieldplot(diff (y(x), x) = y(x)/2, y(x), x = −5..5, y = −5..5, color=blue); en er verschijnt een plaatje zoals in Figure 6.26a uit 6.6. 5. In Maple bestaan opdrachten om numeriek oplossingen van differentiaalvergelijkingen te bepalen. De methode van Euler is echter in Maple niet aanwezig. Nu kunnen we deze zelf programmeren. Stel dat de differentiaalvergelijking gegeven is in de vorm y 0 = f (x, y) met als beginvoorwaarde y (x0 ) = y0 . We kiezen een stapgrootte h. De methode van Euler bestaat dan uit het bepalen van een rij getallen y1 = y0 + hf (x0 , y0 ), y2 = y1 + hf (x1 , y1 ), waarbij x1 = x0 + h, y3 = y2 + hf (x2 , y2 ), waarbij x2 = x1 + h, enz. Nu moeten getallen zoals xi en yi in Maple worden ingevoerd als x[i] en y[i]. Voor x[i] geldt: x[i] = x[0] + ih. En dan geldt dus dat y[i] = y[i − 1] + hf (x[0] + (i − 1)h, y[i − 1]) Stel dat we nu bij een gegeven differentiaalvergelijking y 0 = f (x, y) met beginvoorwaarde x0 = a, y0 = b de methode van Euler willen toepassen met n stappen met stapgrootte h. Dan kan dat in Maple als volgt worden uitgevoerd: y[0] := b :for i from 1 to n do y[i] := y[i − 1] + h ∗ f (a + (i − 1) ∗ h, y[i − 1]) end do; Op het scherm verschijnt dan de rij getallen y1 , y2 , . . . , yn .
Maak nu de volgende opdrachten met behulp van Maple. 1. Bepaal alle oplossingen van de volgende eerste orde differentiaalvergelijkingen. (a) xy 0 + 2y = ex (b) x5 y 2 y 0 = ey 3y − 1 (c) y 0 = x 2. Bepaal oplossingen van de volgende beginwaarde problemen. (a) y 0 = y(100 − y), y(0) = 15 (b) y 0 + 3x2 y = x2 , y(0) = 1 (c) y 0 + y cos x = 2xe− sin x , y(π) = 0 3. Teken in elk van de volgende gevallen een richtingsveld op het gebied −3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 3 voor de gegeven differentiaalvergelijking. (a) y 0 = x + 4y (opgave 5 uit 6.6) 6
(b) y 0 = 2y − y 2 (opgave 7 uit 6.6) 4. In elk van de volgende gevallen is een differentiaalvergelijking gegeven, en een beginwaarde. Tevens is een stapgrootte h en het gewenste aantal stappen voor de methode van Euler gegeven. Bepaal in elk van die gevallen de benaderingen volgens de methode van Euler. (a) y 0 = y, y(0) = 1, h = 0.1, n = 10. (Dit levert de eerste tabel uit Example 6.4 op) (b) y 0 = 2xy, y(0) = 1, h = 0.1, n = 10, en ook het geval h = 0.05, n = 20 (Dit is opgave 17 uit 6.6) (c) y 0 = x/y, y(0) = 2, h = 0.1, n = 10, en ook het geval h = 0.05, n = 20 (Dit is opgave 18 uit 6.6)
7
