VIK, M˝uszaki Informatika ANAL´IZIS (2)
Komplex f¨uggv´enytan Oktat´asi seg´edanyag
A Villamosm´ern¨oki ´es Informatikai Kar m˝uszaki informatikus hallgat´oinak tartott el˝oad´asai alapj´an ¨ossze´all´ıtotta:
Fritz J´ozsefn´e K´onya Ilona
2005. ´aprilis
Szerkesztette: Gy˝ori S´andor
1.
Bevezet´ es
Komplex sz´am fogalma:
...
Algebrai (kanonikus) alak: x = Re z , Trigonometrikus alak: r = |z| ,
y = Im z ,
|z| =
p
x2 + y 2 ,
|z|2 = zz
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
ϕ = arc z
Exponenci´alis alak:
z =x+jy
( f˝o´ert´ek: − π ≤ ϕ < π )
z = r ejϕ
M˝ uveletek komplex sz´amok k¨or´eben:
...
∞ szimb´ olum, mint komplex sz´ am: z+∞ =∞ ∞ · z = ∞ , ha ∞ z z 0 z ∞ De 0 · ∞ =? ,
z 6= 0
= ∞ , ha
z 6= ∞
= ∞ , ha
z 6= 0
= 0,
z 6= ∞
∞ =? , ∞
ha
0 =? 0
´ azol´as: Abr´ C : C∞ :
Gauss-f´ele sz´ams´ık
...
Riemann-f´ele sz´amg¨omb
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
...
1
v1.2
2.
Komplex tag´ u sz´ amsorozatok, sz´ amsorok
Sz´ amsorozatok D lim zn = z0 : n→∞
∀ ε > 0-hoz ∃ N (ε) : D lim zn = ∞ , n→∞
ha
|zn − z0 | < ε , ha n > N (ε)
|zn | → ∞
T (zn = xn + j yn −→ z0 = x0 + j y0 6= ∞) T (zn → z0 )
⇐⇒
⇐⇒
((xn → x0 ) ∧ (yn → y0 ))
(zn ) Cauchy sorozat
Most is igaz:
0, ha |z0 | < 1, 1, ha z0 = 1, lim z0n = n→∞ divergens egy´ebk´ent.
lim (1 + z0 +
n→∞
z02
+ ··· +
z0n−1 )
= lim
n X
n→∞
z0k−1
=
∞ X
z0k−1 =
k=1
k=1
1 , ha |z0 | < 1 . 1 − z0 Egy´ebk´ent divergens.
Sz´ amsorok ∞ X
zk :
sn =
k=0
D
n X
zk
k=0
s = lim sn n→∞ Ã zk = xk + j yk eset´en
∞ X
xk konvergens ,
k=0
T Cauchy krit´erium igaz
∞ X
! yk konvergens
k=0
...
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
2
v1.2
∞ X
T
zk konvergens
=⇒
lim zn = 0
n→∞
k=0
∞ X
T
|zk | konvergens
=⇒
k=0
3.
∞ X
zk konvergens
k=0
Komplex v´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek w = f (z) = u(x, y) + j v(x, y) = ρ(r, ϕ) e j θ(r,ϕ)
Pl. f (z) = z 2 = (x + j y)2 = x2 − y 2 + j 2xy = r2 e j 2ϕ
(K´etr´et˝ u lek´epez´es)
D Legyen z0 Df bels˝o pontja! lim f (z) = w0 ,
z → z0
ha ∀ ε > 0 - hoz ∃ δ(ε) > 0 :
|f (z) − w0 | < ε ,
T
lim f (z) = w0
T z0 = x0 + j y0 , lim f (z) = w0
z → z0
⇐⇒
z → z0
0 < |z − z0 | < δ(ε)
∀ zn → z0 - ra (zn ∈ Df , zn 6= z0 ) f (zn ) → w0
w 0 = u0 + j v 0
⇐⇒
lim
(x,y) → (x0 ,y0 )
u(x, y) = u0 ´es
lim
(x,y) → (x0 ,y0 )
v(x, y) = v0
D Az f f¨ uggv´eny folytonos az ´ertelmez´esi tartom´any z0 bels˝o pontj´aban, ha lim f (z) = f (z0 )
z → z0
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
3
v1.2
4.
Deriv´ alhat´ os´ ag, regularit´ as
D Legyen z0 Df bels˝o pontja! f differenci´alhat´o z0 -ban, ha l´etezik lim
∆z → 0
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) = f 0 (z0 ) = D ∈ C ∆z D = D1 + j D 2
Pl. f (z) = z 3 lim
∆z → 0
(z0 + ∆z)3 − z03 3 z02 ∆z + 3 z0 (∆z)2 + (∆z)3 = lim = 3 z02 ∆z → 0 ∆z ∆z
Pl. f (z) = z lim
∆z → 0
z0 + ∆z − z0 ∆z = lim = lim e−j 2 arc ∆z = @ ∆z → 0 ∆z ∆z → 0 ∆z
(Ugyanis f¨ ugg a hat´ar´ert´ek ϕ = arc ∆z ´ert´ek´et˝ol.)
T A val´os f¨ uggv´enyekre tanult differenci´al´asi szab´alyok, - bele´ertve az ¨osszetett ´es az inverzf¨ uggv´enyre vonatkoz´o differenci´al´asi szab´alyokat is -, ´erv´enyesek a komplex v´altoz´os f¨ uggv´enyekre is. T Sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges t´etel differenci´alhat´os´agra: f : C → C akkor ´es csak akkor differenci´alhat´o az ´ertelmez´esi tartom´any bels˝o z0 pontj´aban, ha ∆f = f (z0 + ∆z) − f (z0 ) = D · ∆z + ε(∆z) · ∆z , ahol D f¨ uggetlen ∆z - t˝ol , lim ε(∆z) = 0
ε(∆z) = ε1 (∆z) + j ε2 (∆z) ,
∆z = ∆x + j ∆y ´es
∆z → 0
T f differenci´alhat´o z0 -ban
=⇒
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
f folytonos z0 -ban
4
v1.2
T Sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges t´etel differenci´alhat´os´agra: Az f (z) = u(x, y) + j v(x, y) komplex f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor differenci´alhat´o az ´ertelmez´esi tartom´any z0 = x0 + jy0 bels˝o pontj´aban, ha u ´es v tot´alisan deriv´alhat´o (x0 , y0 )-ban ´es ugyanitt ∂u ∂v = ∂x ∂y Cauchy–Riemann f´ele parci´alis differenci´alegyenletek ∂u ∂v =− ∂y ∂x fenn´allnak. Ekkor f 0 (z0 ) = u0x |(x0 ,y0 ) + j vx0 |(x0 ,y0 ) B ∆f = f (z) − f (z0 ) = D · (z − z0 ) + ε · (z − z0 );
lim ε = 0
z→z0
z − z0 = ∆z = (x − x0 ) + j (y − y0 ) = ∆x + j ∆y Mindk´et oldalt fel´ırjuk algebrai alakban: Bal oldal: ∆f = {u(x, y) − u(x0 , y0 )} + j {v(x, y) − v(x0 , y0 )} Jobb oldal: (D1 + j D2 )(∆x + j ∆y) + (ε1 + j ε2 )(∆x + j ∆y) = = {D1 ∆x − D2 ∆y + ε1 ∆x − ε2 ∆y} + j {D2 ∆x + D1 ∆y + ε2 ∆x + ε1 ∆y} Az egyeztet´esb˝ol: ∆u = u(x, y) − u(x0 , y0 ) = D1 ∆x + (−D2 ) ∆y + ε1 ∆x + (−ε2 ) ∆y ↑ ↑ 0 ux u0y ∆v = v(x, y) − v(x0 , y0 ) = D2 ∆x + D1 ∆y + ε2 ∆x + ε1 ∆y ↑ ↑ 0 vx vy0 Teh´at u-nak ´es v-nek tot´alisan deriv´alhat´onak kell lenni (x0 , y0 ) -ban ´es Vagyis
u0x = D1 = vy0 ;
−u0y = D2 = vx0 .
f 0 (z0 ) = D1 + jD2 = u0x (x0 , y0 ) + j vx0 (x0 , y0 ). (A bizony´ıt´as gondolatmenete megford´ıthat´o. ´Igy visszafel´e is igaz.) M A Cauchy-Riemann egyenletek miatt tov´abbi h´arom k´eplet¨ unk is van:
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
5
v1.2
¡ ¢ f 0 (z0 ) = D1 + j D2 = u0x (x0 , y0 ) + j −u0y (x0 , y0 ) = ¡ ¢ = vy0 (x0 , y0 ) + j −u0y (x0 , y0 ) = = vy0 (x0 , y0 ) + j vx0 (x0 , y0 )
T El´egs´eges t´etel f 0 (z0 ) l´etez´es´ere: – Ha u ´es v parci´alis deriv´altjai l´eteznek K(x0 ,y0 ) -ban ´es itt folytonosak – ´es a C–R egyenletek teljes¨ ulnek (x0 , y0 )-ban, akkor ∃ f 0 (z0 ). D f regul´aris z0 -ban, ha ∃ δ > 0, hogy f differenci´alhat´o Kz0 ,δ -ban. D f regul´aris a T tartom´anyon (¨osszef¨ ugg˝o ´es ny´ılt ponthalmaz), ha minden pontj´aban regul´aris. Pl. f (z) = z 2 = (x + jy)2 = x2 − y 2 + j 2xy u(x, y) = x2 − y 2
v(x, y) = 2xy u0x = 2x ;
u0y = −2y ,
parci´alis deriv´altak minden¨ utt l´eteznek ´es folytonosak
vx0 = 2y ,
vy0 = 2y
´Igy az u0 = v 0 , u0 = −v 0 Cauchy-Riemann egyenletek minden¨ utt teljes¨ ulnek x y y x =⇒ f minden¨ utt deriv´alhat´o =⇒ f minden¨ utt regul´aris. ´ Es
f 0 (z) = u0x + j vx0 = 2x + j 2y (= 2z)
Pl. f (z) = z z 2 = (z z) z = |z|2 z = (x2 + y 2 ) (x + jy) = (x3 + xy 2 ) + j (x2 y + y 3 ) ´Igy u(x, y) = x3 + xy 2 ,
v(x, y) = x2 y + y 3
u ´es v parci´alis deriv´altjai minden¨ utt l´eteznek ´es folytonosak u0x = 3x2 + y 2 , u0y = 2xy ,
u0x = vy0 :
vy0 = x2 + 3y 2 ;
vx0 = 2xy ;
u0y = −vx0 :
xy = 0
2x2 = 2y 2 −→
−→
|x| = |y|
x = 0 vagy y = 0
Mindk´et felt´etel teljes¨ ul, ha ( |x| = |y| ) ∩ ( x = 0 ∪ y = 0 )
=⇒
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
f csak z = 0 -ban deriv´alhat´o. ´Igy sehol sem regul´aris.
6
v1.2
••• D Harmonikus f¨ uggv´eny 2 g ∈ CH harmonikus H -n, ha kiel´eg´ıti a ∆g = 0 Laplace-f´ele parci´alis differenci´alegyenletet.
(gx001 x1 + gx002 x2 + · · · + gx00m xm = 0,
k´etv´altoz´osra:
00 00 gxx + gyy = 0)
T Ha f = u + jv regul´aris Kz0 ,δ -ban (vagy egy T tartom´anyban), akkor ott val´os ´es k´epzetes r´esze harmonikus f¨ uggv´eny. B f (z) = u + jv u0x = vy0
(1)
u0y
(2)
=
−vx0
∂ (1) : ∂x
00 u00xx = vyx
∂ (1) : ∂y
00 u00xy = vyy
∂ (2) : ∂y
00 u00yy = −vxy
∂ (2) : ∂x
00 u00yx = −vxx
+
−
∆u = 0
∆v = 0
Felhaszn´altuk, hogy a regularit´as miatt f (´es ´ıgy u ´es v is) ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, amit k´es˝obb bizony´ıtunk. D Ha f (z) = u + jv regul´aris Kz0 ,δ -ban, akkor u -nak v harmonikus t´arsa T Ha u harmonikus Kz0 ,δ -ban (∆u = 0, x + jy ∈ Kz0 ,δ ) , akkor ∃ v harmonikus f¨ uggv´eny (harmonikus t´ars) u ´gy, hogy f (z) = u(x, y) + jv(x, y) regul´aris f¨ uggv´eny.
(¬B)
M1 A t´etel egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyban is igaz. M2 Hasonl´oan v -hez is ∃ u . . . Pl. Hat´arozzuk meg α ∈ R ´ert´ek´et u ´gy, hogy az u(x, y) = x2 + α y 2 egy regul´aris komplex v´altoz´os f f¨ uggv´eny val´os r´esze legyen!
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
7
f 0 (1 + 3j) = ?
v1.2
Megold´ as: Ha f regul´aris, akkor u harmonikus. Teh´at ∆u ≡ 0 -nak kell teljes¨ ulnie! u0x = 2x ,
Teh´at
u00xx = 2 ,
u0y = 2 α y ,
u00xx + u00yy = 2 + 2 α = 0
−→
u00yy = 2 α α = −1 , vagyis
u(x, y) = x2 − y 2
f 0 meghat´aroz´as´ahoz elegend˝o u ismerete, hiszen van olyan k´eplet¨ unk, melyben csak u parci´alisai szerepelnek: f 0 (1 + 3j) = u0x (1, 3) − j u0y (1, 3) = 2 − j(−6) = 2 + j6 Pl. Igazolja, hogy v(x, y) = x3 − x2 − 3x y 2 + y 2 f¨ uggv´eny egy regul´aris f komplex v´altoz´os f¨ uggv´eny k´epzetes r´esze lehet ´es ´ırja fel az f f¨ uggv´enyt! Megold´ as: v harmonikuss´ag´at kell ellen˝orizn¨ unk! 00 00 vx0 = 3x2 − 2x − 3y 2 , vxx = 6x − 2 , vy0 = −6xy + 2y , vyy = −6x + 2 ´ Teh´at ∆v ≡ 0 , v minden¨ utt harmonikus. Igy l´etezik harmonikus t´arsa. A k´et f¨ uggv´enyt a Cauchy-Riemann parci´alis differenci´alegyenletek kapcsolj´ak ¨ossze, vagyis
(1)-b˝ol:
u0x = vy0 = −6xy + 2y u0y = −vx0 = −3x2 + 2x + 3y 2
(1) (2)
R u(x, y) = (−6xy + 2y) dx = −3x2 y + 2xy + C(y)
Ennek y szerinti parci´alis deriv´altj´at behelyettes´ıtve (2)-be: − 3x2 + 2x + C 0 (y) = −3x2 + 2x + 3y 2
−→
c0 (y) = 3y 2
−→
C(y) = y 3 + K
Teh´at u(x, y) = −3x2 y + 2xy + y 3 + K ´ıgy a keresett f f¨ uggv´eny
(K ∈ R) ,
f (z) = −3x2 y + 2xy + y 3 + K + j (x3 − x2 − 3x y 2 + y 2 )
5.
A differenci´ alh´ anyados geometriai jelent´ ese (64. oldal)
Legyen f differenci´alhat´o Kz0 -ban, f 0 (z0 ) 6= 0. Ekkor |f 0 (z0 )| : a z0 pontbeli ny´ ujt´asi egy¨ utthat´o; 0 arc f (z0 ) : a z0 pontbeli elfordul´asi sz¨og.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
8
v1.2
B w = f (z) 6z
°
C
w0 C∗
)z -
α
w
6w
z0
-
β = α + arc f 0 (z0 ) ∆w ≈ f 0 (z0 )∆z (=differenci´al) Ez´ert |∆w| ≈ |f 0 (z0 )| |∆z|
(∆w = w − w0 , ∆z = z − z0 ) |w − w0 | |∆w| = ≈ |f 0 (z0 )|, |z − z0 | |∆z|
teh´at k¨ozel´ıt˝oleg ´alland´o, vagyis f¨ uggetlen a konkr´et C-t˝ol. 6z
6w
z0
w0 -
Teh´at egy elegend˝oen kis sugar´ u k¨or k´epe ,,l´enyeg´eben k¨or”.
-
M´asr´eszt ∆w ≈ f 0 (z0 )∆z miatt: arc ∆w ≈ arc f 0 (z0 ) + arc ∆z Ha z → z0 , akkor w → w0 ´es lim arc ∆z = α
z→z0
lim arc ∆w = β
w→w0
Teh´at lim arc ∆w = β = arc f 0 (z0 ) + α
w→w0
Vagyis az elfordul´as minden, a z0 ponton ´atmen˝o g¨orb´ere ugyanaz.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
9
v1.2
6.
Konform (konformis) lek´ epez´ es
(106. oldal)
(,,A form´at v´altozatlanul megtart´o”) D Az f komplex f¨ uggv´eny ´altal l´etes´ıtett lek´epez´es a z0 pontban lok´alisan konform, ha ott a.) ir´anytart´oan sz¨ogtart´o
6z
b.) kism´ert´ekben ar´anytart´o z0
z2
w 6
O
w2 z
-1
9
w1 w0
Vagyis z2 z0 z1 ] = w2 w0 w1 ] ´es |w2 − w0 | |w1 − w0 | ≈ |z2 − z0 | |z1 − z0 |
,,L´enyeg´eben” hasonl´os´agi transzform´aci´o.
T Az f regul´aris komplex f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor k´epezi le a z s´ık valamely z0 pontj´anak egy k¨ornyezet´et a w s´ık w0 = f (z0 ) pontj´anak egy k¨ornyezet´ere k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen ´es konformisan, ha f 0 (z0 ) 6= 0.
6.1.
Tartom´ anyok konform lek´ epez´ ese
(109. oldal)
D Az f komplex f¨ uggv´eny ´altal l´etes´ıtett lek´epez´es a T (ny´ılt) tartom´anyon konform, ha annak minden pontj´aban konform. T 2.2.1 A tartom´any megmarad´as´anak elve Ha az f 6≡ konstans komplex f¨ uggv´eny regul´aris, akkor a ny´ılt tartom´any k´epe ny´ılt tartom´any. (Hat´arpontokat hat´arpontokba visz.) T 2.2.2 Ha az f komplex f¨ uggv´eny egy T tartom´anyon egyr´et˝ u, regul´aris ´es f 0 (z) 6= 0 , akkor a T tartom´anyt k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen ´es konform m´odon k´epezi le egy T ∗ tartom´anyra. Az el˝oz˝oek megford´ıt´asa: Ha T ´es T ∗ egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyok, akkor ∃ f (z) , mely k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen ´es konformisan lek´epezi T -t T ∗ -ra. T 2.2.6 (Ker¨ uletek ir´any´ıt´asa) A T ´es T ∗ tartom´anyok k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u ´es konform lek´epez´es´en´el ker¨ uleteik k¨or¨ ulj´ar´asi ir´anya v´altozatlan marad. Ennek k¨ovetkezm´enye: hogy ha a T tartom´any ker¨ ule∗ t´enek k¨or¨ ulj´ar´as´an´al a tartom´any pl. balk´ez fel´e esik, akkor a T k´eptartom´any ker¨ ulet´enek ∗ azonos ir´any´ u k¨or¨ ulj´ar´as´an´al T is balk´ez fel´e esik.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
10
v1.2
7.
Line´ aris lek´ epez´ esek µ w = az + b;
(116. oldal) ¶ az + b w= cz + d
Egyenes komplex egyenlete: αx + βy + γ = 0 Behelyettes´ıtve:
x=
z+z ; 2
y=
z−z 2j
β α (z + z) + (z − z) + γ = 0 2 2j µ ¶ ¶ µ α β β α −j z+ +j z+γ =0 2 2 2 2 | {z } := a
´Igy az egyenes komplex egyenlete: az + a z + c = 0
vagy
az + a z = c
K¨ or komplex egyenlete: |z − z0 |2 = r2
¡
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
¢
(z − z0 )(z − z0 ) = r2 zz − z0 z − z0 z + z0 z0 − r2 = 0
7.1.
z0 k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u k¨or egyenlete
Line´ aris eg´ esz f¨ uggv´ eny w = az + b = %0 r ej(ϕ+ϕ0 ) + b
a, b ∈ C adott, a = %0 ejϕ0
on¨ osen egy´ertelm˝ u a teljes z ´es a teljes w s´ık k¨oz¨ ott. 1.) K¨olcs¨ (w(∞) = ∞) 2.) Hasonl´ os´ agi transzform´ aci´ ot l´etes´ıt a teljes z s´ıkon. ½ – ny´ ujt´as vagy zsugor´ıt´as (%0 ) Ui.: az = %0 rej(ϕ+ϕ0 ) – forgat´as (ϕ0 ª) +b – eltol´as szuperpoz´ıci´oja. Teh´at a z s´ık b´armely T tartom´any´at a w s´ık egy hozz´a hasonl´o T ∗ tartom´any´ara k´epezi le, amely a T -b˝ol nagy´ıt´assal (vagy kicsiny´ıt´essel), elforgat´assal ´es p´arhuzamos eltol´assal j¨on l´etre.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
11
v1.2
3.) A lek´epez´es k¨ortart´ o a teljes z s´ıkon. A fentiek miatt k¨ort k¨orbe, egyenest egyenesbe visz ´at. 4.) A lek´epez´es konform a teljes z s´ıkon. w0 = a 6= 0 =⇒ minden¨ utt konform. 5.) A lek´epez´es fix (helyben marad´o) pontjai: b z = ∞ , illetve (z = az + b-b˝ol:) z = , ha a 6= 1. 1−a
Pl.
w = −z + 1 + j Mibe viszi ´at a lek´epez´es az a.) Im z < 0
b.) Im z = 0
c.) Im z > 0
ponthalmazt? a.) 1. megold´as: Im z = y < 0 6z
−z = ejπ · z
Im w > 1
6
6
-
-
−z
j
-
w
2. megold´as: w = u + jv = −(x + jy) + 1 + j −→ u = −x + 1, v = 1 − y Im z = y < 0 −→ −y > 0 −→ Im w = v = 1 − y > 1 x tetsz. −→ u = −x + 1 tetsz. b.) Im z = 0 k´epe Im w = 1 (Hat´art hat´arba visz.) c.) Az el˝oz˝oek miatt: Im z > 0 k´epe Im w < 1.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
12
v1.2
Pl. w = az + b = ?, hogy a z s´ık bejel¨olt tartom´any´at a w s´ık bejel¨olt tartom´any´aba vigye?
6w
6 -
-
π 4
−2j
z Megold´as: 6 w1
6
6w
-
-
-
z w1 = %0 ej
3π 4
z (%0 > 0)
=⇒ w = %0 ej
7.2.
Reciprok f¨ uggv´ eny:
3π 4
w=
z − 2j
w = w1 − 2j %0 ∈ R+
1 z
olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u a teljes z ´es a teljes w s´ık k¨oz¨ott. 1.) K¨ Kiterjeszt´es ehhez: w(0) = ∞, w(∞) = 0. 1 lek´epez´es a |z| = 1 egys´egk¨ orre ´es a val´os tengelyre vonatkoz´o inverzi´o z (t¨ ukr¨oz´es) egym´asut´anja.
2.) A w =
B
w = w1 , | {z }
ahol
inverzi´o a val´os tengelyre
1 w1 = | {z z} inverzi´o a |z| = 1 k¨orre
Az ut´obbihoz: D A z0 k¨oz´eppont´ u, R sugar´ u K k¨orre inverz pontok azok a z ´es ζ pontok, amelyek a K k¨or k¨oz´eppontj´ab´ol indul´o valamely f´elegyenesen u ´gy helyezkednek el, hogy |z − z0 | |ζ − z0 | = R2
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
13
v1.2
A z0 k¨oz´eppont inverze legyen: ∞. A mi eset¨ unkben: w1 =
1 j arc z 1 1 = = e −j arc z z |z| e |z|
Teh´at ¾ a.) |w1 | |z| = |w1 − 0| |z − 0| = 12 (z0 = 0, R = 1) Inverzi´o a |z| = 1 k¨orre. b.) arc w1 = arc z Az egys´egk¨or (|z| = 1) pontjai helyben maradnak. 3.) A lek´epez´es konform a z s´ık minden pontj´aban. µ ¶0 1 1 0 Ui. w = = − 2 6= 0, ha z 6= ∞ z z (z = 0-ra is z = ∞-re is kiterjeszthet˝o a fogalom.) 1 lek´epez´es k¨ogyenes” tart´o lek´epez´es. ” z Azaz k¨or k´epe egyenes vagy k¨or, egyenes k´epe egyenes vagy k¨or ⇐⇒ k¨ogyenes” k´epe ” k¨ogyenes”. R¨oviden k¨ortart´o” lek´epez´esnek nevezz¨ uk az ilyen lek´epez´est. ” ”
4.) A w =
B a.) K¨ort k¨orbe vagy egyenesbe visz: zz − z0 z − z 0 z + z0 z 0 = r2
w=
1 1 −→ z = ; z w
z=
1 w
1 1 1 − z0 − z 0 + z0 z 0 = r2 / · ww ww w w 1 − z0 w − z 0 w + z0 z 0 ww = r2 ww ¢ ¡ 2 r − z0 z 0 ww + z0 w + z 0 w = 1 Ha r2 − z0 z 0 = 0, vagyis zz − z0 z − z 0 z = 0 volt az egyenlet, teh´at orig´on ´atmen˝o k¨or: z0 w + z 0 w = 1 : egyenes a k´epg¨orbe Ha r2 − z0 z 0 6= 0: ww +
z0 1 z0 w + : w = r2 − z z r2 − z z r 2 − z0 z 0 | {z 0 0} | {z 0 0} := c =c
k¨or
(r2 − z0 z 0 val´os)
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
14
v1.2
b.) Egyenest k¨orbe vagy egyenesbe visz: az + a z = c (c val´os);
z=
1 , w
z=
1 w
1 1 +a =c / · ww w w cww − aw − aw = 0
a
Ha c = 0 (orig´on ´atmen˝o egyenes): aw + aw = 0 : Ha c 6= 0 : egyenletet:
egyenes a k´epg¨orbe (szint´en orig´on ´atmen˝o)
mindk´et oldalhoz
aa |a|2 = -t hozz´aadva ´es c -vel v´egigosztva az c c
a a aa |a|2 ww − w − w + 2 = 2 : c c c c 5.) Fix pontok: z =
7.3.
orig´on ´atmen˝o k¨or
1 −→ z = 1 ill. z = −1 z
´ Altal´ anos line´ aris t¨ ortf¨ uggv´ eny
a, b, c, d ∈ C, c 6= 0 w= Ui.:
a z + cb az + b K2 = K1 + = c d cz + d z + K3 z+ c
k¨ortart´o” lek´epez´es ”
w1 = z + K3 : eltol´as; 1 w2 = : inverzi´o egys´egk¨orre ´es a val´os tengelyre; w1 w3 = K2 w2 : forgat´as + ny´ ujt´as (zsugor´ıt´as); w = K1 + w3 : eltol´as •••
Pl. Hat´arozzuk meg a w =
1 lek´epez´esn´el az al´abbi g¨orb´ekhez rendelt k´epg¨orb´ek jelleg´et! z
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
15
v1.2
6 z 1
a.)
1 |z| = 1 ´es w = . z
=⇒
|w| =
1 =1: |z|
orig´o k¨oz´eppont´ u egys´egsugar´ u k¨or. 1 1 −j arc z 1 T¨obbet mond: w = e : |w| = ; arc w = − arc z = j arc z |z|e |z| |z| (Az ut´obbi k´epletb˝ol l´atszik — amit persze tudunk —, hogy a val´os tengelyre t¨ ukr¨oz¨ott.) Mibe viszi ´at a |z| < 1 tartom´anyt? 6 z
1 |w| = >1 |z|
-
1 6 z 2
b.)
w=
1 −j arc z e |z|
=⇒
|w| =
6 w -
1
1 k¨or (t¨ ukr¨ozve) 2
w
6
z
6
c.)
-
6
d.) +
z +
-
-
Orig´on ´atmen˝o k¨or. A k´epg¨orbe: k¨or vagy egyenes. 1 Mivel z = 0 rajta van az ˝osk´epen, ehhez w = a z ∞-t rendeli =⇒ k´epg¨orbe egyenes. z = ∞ nincs rajta az ˝osk´epen =⇒ az egyenes nem megy ´at az orig´on. z = 0 nincs rajta =⇒ k´epg¨orbe k¨or z = ∞ nincs rajta =⇒ a k¨or nem megy ´at az orig´on
(v = mu + b; b 6= 0)
+
6 w +
e.)
6 z -
f.)
6
w
z = 0 rajta van =⇒ egyenes (w = ∞ rajta van) z = ∞ rajta van =⇒ w = 0 rajta van (Nem ¨onmag´aba viszi!)
Hogyan kaphat´o meg a w =
-
6
z 6= 0, w 6= ∞
-
Pl.
6 w
z -
1 lek´epez´esn´el a k´epg¨orbe egyenlete? z
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
16
v1.2
µ ¶ 1 1 u −v a.) (w =) u + jv = = -b˝ol x = 2 , y = x + jy z u + v2 u2 + v 2 Ezt behelyettes´ıtve az ˝osk´ep egyenlet´ebe megkapjuk a keresett egyenletet. b.) Most kev´esb´e j´o: a 3 pontos m´odszer (l´asd k´es˝obb). Pl. y = mx −v u = m =⇒ v = −mu (T¨ ukr¨oz˝od¨ott az imagin´arius tengelyre.) u2 + v 2 u2 + v 2 6 z -
Pl. y = 3x
6w -
v = −3u
Pl. y = mx + b −v u =m 2 +b 2 +v u + v2
u2
...
u2 +
m 1 u + v2 + v = 0 : b b
orig´on ´atmen˝o k¨or
Pl. x2 + 2x + y 2 + 6y = 0 (Orig´on ´atmen˝o k¨or.) Egyenest v´arunk, mely nem megy ´at az orig´on. Behelyettes´ıtve: u2 u v2 6v + 2 + − =0 (u2 + v 2 )2 u2 + v 2 (u2 + v 2 )2 u2 + v 2
/ · (u2 + v 2 )2
´es rendezve (u2 + v 2 )(1 + 2u − 6v) = 0 =⇒ 1 + 2u − 6v = 0 Pl.
Hat´arozzunk meg egy olyan lek´epez´est, mely az A halmazt a B halmazra k´epezi le.
½ ¾ 1 a.) A = {z : |z| ≤ r} , B = w : |w| ≥ r 6 z 6 w -
r
-
1 r
w=
1 z
(De w = ejϕ0
1 z
is j´o.)
b.) A = {z : |z| ≤ r1 } , B = {w : |w| ≥ r2 } 6 z -
r1
6 w -
r2
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
17
v1.2
A lek´epez´es k¨ozb¨ uls˝o l´ep´ese:
6 w1
1 w1 = z Teh´at w = r1 r2
1 r1
-
w = r1 r2 w1
1 egy ilyen lek´epez´es. z
c.) A = {z : |z − a| ≤ r1 } , B = {w : |w − b| ≥ r2 } 6 z
6 w +
-
a
+
b
-
w = w3 + b
A lek´epez´es k¨ozb¨ uls˝o l´ep´esei: 6 w1
6 w2 -
-
1 r1 1 w2 = w1
r1
w1 = z − a
6 w -
r2
w3 = r1 r2 w2
Egy megfelel˝o f¨ uggv´eny: w = r1 r2
1 +b z−a
d.) A = {z : |z − a| ≥ r1 } , B = {w : |w − b| ≤ r2 } 6 z
6 w
+
a
-
b
+
Ez ugyanaz, mint az el˝oz˝o: w = r1 r2 Pl.
Mibe viszi ´at a w =
1 +b z−a
z f¨ uggv´eny a |z| < 2 tartom´anyt? z − 2j
Im z 6
Im w 6
z2
z3
À
w2 = ∞ 6
w1
z1Re z
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
-
Re w w3
18
v1.2
w1 =
z2 = 2j
w2 = ∞
z3 = −2 w3 =
8.
2 + j2 4 + 4j 1 1 2 · = 2 = +j 2 2 − j2 2 + j2 2 +2 2 2
z1 = 2
Re w ≤
−2 1 1 = −j −2 − j2 2 2
1 2
Elemi f¨ uggv´ enyek
Defin´ıci´ ok: ez := ex (cos y + j sin y) ez − e−z 2 z e + e−z ch z := 2
ejz − e−jz sin z := 2j cos z :=
sh z :=
ejz + e−jz 2
A defin´ıci´ok felhaszn´al´as´aval bel´athat´ok az al´abbi azonoss´agok: 1.) ez1 · ez2 = ez1 +z2 2.) ez+2πj = ez
(ez 2πj szerint periodikus)
3.) sin2 z + cos2 z = 1 ³π ´ 4.) sin z = cos −z 2 5.) sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 6.) cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2 7.) sh(z1 ± z2 ) = sh z1 ch z2 ± ch z1 sh z2 8.) ch(z1 ± z2 ) = ch z1 ch z2 ± sh z1 sh z2
Mutassuk meg, hogy 1.) sin jz = j sh z
3.) cos jz = ch z
2.) sh jz = j sin z
4.) ch jz = cos z
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
19
v1.2
a.) megold´asa a szinusz f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´aval: sin jz =
ej(jz) − e−j(jz) 1 e−z − ez ez − e−z = =j = j sh z 2j j 2 2 |{z} =−j
A t¨obbi hasonl´oan l´athat´o be. ´Irjuk fel u(x, y) + jv(x, y) alakban a sin z, cos z, sh z, ch z f¨ uggv´enyeket! sin z = sin(x + jy) = sin x · cos jy + cos x · sin jy = sin x ch y + j cos x sh y Teh´at u(x, y) = sin x · ch y, v(x, y) = cos x · sh y Hasonl´oan megmutathat´o, hogy cos z = cos (x + jy) = cos x ch y − j sin x sh y sh z = sh (x + jy) = sh x cos y + j ch x sin y ch z = ch (x + jy) = ch x cos y + j sh x sin y A Cauchy–Riemann f´ele parci´alis differenci´alegyenletek seg´ıts´eg´evel vizsg´aljuk meg az ez , sin z, cos z, sh z, ch z f¨ uggv´enyeket differenci´alhat´os´ag ´es regularit´as szempontj´ab´ol! ez = ex cos y + jex sin¾ y x u(x, y) = e cos y tot´alisan deriv´alhat´ok, mert a v(x, y) = ex sin y parci´alisok l´eteznek ´es folytonosak ¾ 0 x 0 ux = e cos y vy = ex cos y u0x = vy0 =⇒ ∀ (x, y)-ra u0y = −ex sin y vx0 = ex sin y u0y = −vx0 Teh´at minden¨ utt deriv´alhat´o =⇒ minden¨ utt regul´aris. z 0 0 0 x x (e ) = ux + jvx = e cos y + je sin y = ez Hasonl´oan bel´athat´o, hogy (sin z)0 = cos z (cos z)0 = − sin z minden¨ utt regul´arisak (sh z)0 = ch z (ch z)0 = sh z Az ut´obbi deriv´altak a f¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´ab´ol a l´ancszab´aly seg´ıts´eg´evel is levezethet˝ok.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
20
v1.2
8.1.
Exponenci´ alis f¨ uggv´ eny (147.o.–153.o.; 152. oldalon b.) nem kell) ez := ex (cos y + j sin y)
D Teh´at
|ez | = ex ;
arc ez = y
Tulajdons´agok: e−z = e−x (cos (−y) + j sin (−y)) = e−x (cos y − j sin y) =
1 ez
Tov´abb´a igaz: ez1 · ez2 = ez1 +z2 (ez1 )z2 = ez1 z2 Teh´at jogos a defin´ıci´o. Periodikus f¨ uggv´eny, periodusa 2πj. Ui.: ez+2kπj = ex+j(y+2kπ) = ez Teh´at v´egtelen sokr´et˝ u lek´epez´es. 0-´at ill. ∞-t soha nem veszi fel, minden m´as ´ert´eket igen. ez = 6 0, mert |ez | = ex > 0 z e = 6 ∞, mert csak a ∞-ben vehetn´e fel, de @ lim ez z→∞
6z e -→ ∞ -
ez →¾0
6 -
(K´et u ´ton m´ast kapunk.)
De ∀w0 -hoz ∃ z0 : ez0 = w0 , ha w0 6= 0 ´es w0 6= ∞. Ui.: ez0 = ex0 ejy0 = w0 = %0 ejΘ0 (w0 adott) =⇒ ex0 = %0 , vagyis x0 = ln %0 ´es y0 = Θ0 + 2kπ. Teh´at z0 = ln %0 + j(Θ0 + 2kπ). Ha lesz˝ uk´ıtj¨ uk az ´ertelmez´esi tartom´anyt a f˝os´avra, akkor a lek´epez´es m´ar k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u lesz. F˝os´av: −π ≤ arc ez = y < π 6jπ
z
6
-
6
ez
R
w -
R
−jπ
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
21
v1.2
|w| = ex , teh´at x < 0 : |w| < 1 x = 0 : |w| = 1 x > 0 : |w| > 1 ez minden¨ utt regul´ aris ´es minden¨ utt konform. M´ar l´attuk: (ez )0 = ez 6= 0
8.2.
Logaritmus f¨ uggv´ eny ill. rel´ aci´ o
(152. o.)
Az exponenci´alis f¨ uggv´eny inverze. Ehhez ez ´ertelmez´esi tartom´any´at le kell sz˝ uk´ıteni, hogy a lek´epez´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u legyen. Pl. a f˝os´ av ban fenn´all az invert´alhat´os´ag: 6
z -
6jπ
w
6
-
j
w = ln z
−jπ
´ Ertelmez´ esi tartom´any: C − {0} w = ln z : z = ew |z| ej arc z = eu+jv = eu ejv Ahonnan kapjuk, hogy u = ln |z| (ez a val´osb´ol ismert f¨ uggv´eny) v = arc z − π ≤ arc z < π w = ln z = Ln0 z = ln |z| + j arc z A t¨obbi s´avban is elv´egezhet˝o az invert´al´as, ´ıgy jutunk el az Ln z v´egtelen sok´ert´ek˝ u rel´aci´ohoz. Ln z = ln |z| + j(arc z + 2kπ)
k = 0, ±1, . . .
Lnk z : ennek a k-adik ´aga. (Arc z = arc z + 2kπ jel¨ol´est is haszn´aljuk.) Pl.
√ √ ¡ ¢ ¡ ¢ 1 − j = 2e−jπ/4 ln (1 − j) = ln 2 + j − π4 ; √ ¡ ¢ Ln (1 − j) = ln 2 + j − π4 + 2kπ ¡ ¢ Ln j = j π2 + 2kπ ln j = ln 1 + j π2 = j π2 ;
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
22
v1.2
8.3.
A hatv´ anyf¨ uggv´ eny ´ altal´ anos´ıt´ asa a komplex s´ıkra z λ := eλ ln z
z 6= 0 ; z , λ ∈ C
Pl. π
π
π
π
j 1+j = e(1+j) ln j = e(1+j) j 2 = ej 2 e− 2 = je− 2
9.
Komplex vonalintegr´ al
Meg´ allapod´ asok : T -vel tartom´anyt jel¨ol¨ unk (¨osszef¨ ugg˝o, ny´ılt ponthalmaz) L, G: a komplex s´ık egy ir´any´ıtott, rektifik´alhat´o g¨orbeszakasza Jordan-g¨ orbe: (t¨obbsz¨or¨os pont n´elk¨ uli g¨orbe) (96. o.) γ(t) = x(t) + jy(t); α ≤ t ≤ β s´ıkbeli ponthalmaz Jordan-g¨orbe, ha 1.) γ(t) folytonos t ∈ [α, β]-n 2.) γ(t) k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen k´epezi le az [α, β] b´armely ny´ılt r´eszintervallum´at a komplex s´ık egy ponthalmaz´ara (teh´at γ(t1 ) = γ(t2 ) akkor ´es csak akkor, ha t1 = t2 ) A Jordan-g¨orbe z´art, ha γ(α) = γ(β), egy´ebk´ent ny´ılt. 1 Sima Jordan-g¨ orbe: (´erint˝oje folytonosan v´altozik) x, y ∈ C[α,β]
Szakaszonk´ent sima g¨ orbe: v´eges sok sima g¨orbe folytonos csatlakoz´assal A szakaszonk´ent sima g¨orbe m´erhet˝o ´ıvhossz´ us´ag´ u: Zβ s=
|γ(t)| ˙ dt = α
Zβ p
x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) dt
α
Egyszer˝ u g¨orbe: szakaszonk´ent sima, ir´any´ıtott Jordan-g¨orbe. Lehet z´art ´es ny´ılt. Jel¨ol´ese: L ⊂ C egyszer˝ u. A komplex vonalintegr´ al defin´ıci´ oja L ⊂ C egyszer˝ u; f ´ertelmezett L-en ´es itt |f (z)| korl´atos. z0 , z1 , . . . , zn a befut´as sorrendj´eben. ∆Pn (= ∆Fn ): a Pn (Fn ) feloszt´as finoms´aga: a szomsz´edos oszt´opontokat ¨osszek¨ot˝o g¨orbeszakaszok ´ıvhosszainak a maximuma.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
23
zk zk−1 z1 ζk A = z0
j
B = zn
(reprezent´aci´ os pont)
v1.2
Z D
f (z) dz = lim
∆Pn →0
L
n X
f (ζk )(zk − zk−1 ) ∈ C
k=1
{z
|
}
integr´alk¨ozel´ıt˝o-¨osszeg
Jel¨ol´es:
R
H
f (z) dz;
L
f (z) dz (z´art g¨orb´en´el)
L
El´egs´eges felt´etel az integr´al l´etez´es´ere pl. f folytonoss´aga. ´ Erdekess´ Heg: c dz = 0 , c ∈ C. Ugyanis minden integr´alk¨ozel´ıt˝o-¨osszegre: n X
c (zk − zk−1 ) = c ((z1 − z0 ) + (z2 − z1 ) + · · · + (zn − zn−1 )) = c (zn − z0 ) = 0 | {z } k=1 = 0 a z´arts´ag miatt
A komplex vonalintegr´ al n´ eh´ any tulajdons´ aga L, L1 , L2 egyszer˝ u g¨orb´ek, f ´es g integr´alhat´ok L, L1 , L2 -n. Z Z f (z) dz = − f (z) dz (−L: L ellent´etes ir´any´ıt´assal) L
−L
Z
Z
c f (z) dz = c L
f (z) dz L
Z
Z
(f (z) + g(z)) dz = L
Z
L1 ∪L2
f (z) dz + L
Z f (z) dz =
Z
Z
f (z) dz + L1
¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ ≤ M · s , ¯ ¯ ¯ ¯
g(z) dz L
f (z) dz L2
L-en |f (z)| ≤ M, s: az L g¨orbe ´ıvhossza
L
9.1.
Az integr´ al kisz´ am´ıt´ asa
T1 L : z(t) = x(t) + j y(t)
vagy
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
z(t) = r(t) ejϕ(t) ,
24
1 z ∈ C[α,β] ,
v1.2
f folytonos L-en Z
Zβ
Zβ
f (z) dz = α
L
f (z(t))z 0 (t) dt
f (z(t)) z(t) ˙ dt = α
T2 Newton–Leibniz-formula ´altal´anos´ıt´asa: L⊂T ;
∃ T -n F : F 0 (z) = f (z) (∃ primit´ıv f¨ uggv´eny)
Z f (z) dz = F (B) − F (A) Ly
AB
Pl.
e ¯ = −j (e2j − e−2 ) j ¯2j
ejz dz =
1.)
2j
¯ jz ¯2
Z L
6
L
R
2
-
Z ej z¯ dz = ?
2.) L
x + y = 2 =⇒ z(t) = t + j(2 − t) t ∈ [0, 2], f (z(t)) = ej(t−j(2−t)) = e2−t+jt = e2 e(−1+j)t f (z(t)) · z(t) ˙ = (1 − j)e2 e(−1+j)t Z2
Z f (z) dz =
Z2 0
Z2 2
(−1+j)t
e
= (1 − j)e
0
Pl.
(1 − j)e2 e(−1+j)t dt =
f (z(t)) · z(t) ˙ dt = 0
L
z(t) ˙ =1−j
¯2 ¡ −2+j2 ¢ e(−1+j)t ¯¯ 2 = −e e − 1 dt == (1 − j)e −1 + j ¯0 2
Mutassuk meg, hogy ½
I (z − a)n dz =
6
0, ha n 6= −1 2πj, ha n = −1
L
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
25
a L 6
-
v1.2
z(t) = a + rejt (= (a1 + r cos t) + j(a2 + r sin t)) ; z(t) ˙ = jr ejt n = −1 : I Z2π Z2π dz 1 jt = jre dt = j dt = 2πj z−a a + rejt − a 0
L
0
n 6= −1 (n ∈ Z) : I
Z2π n
(z − a) dz =
r e
jt
jr e dt = jr
n+1
0
L
9.2.
¯2π ej(n+1)t ¯¯ =0 j(n + 1) ¯0
Z2π n jnt
j(n+1)t
e
dt = jr
n+1
0
Cauchy-f´ ele alapt´ etel
T Ha f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon, akkor minden T -beli egyszer˝ u z´art g¨orb´ere: I f (z) dz = 0 (¬B) L
A Cauchy-f´ ele alapt´ etel k¨ ovetkezm´ enyei: T f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon; L ⊂ T egyszer˝ u. Z Ekkor f (z) dz ´ert´eke f¨ uggetlen L-t˝ol, ´ert´eke csak a
L1 A
B T
Ly
AB
v´egpontokt´ol f¨ ugg. B
Z
Z f (z) dz =
L y ∪L∗y AB
AB
AB
Z f (z) dz =
L∗y
Z f (z) dz −
f (z) dz = 0
L∗y
Ly
AB
BA
Z f (z) dz =
Ly
f (z) dz + Ly
BA
Z =⇒
Z
AB
B
L1
f (z) dz A
L∗y
AB
¾
L∗
T
T Ha f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon, akkor l´etezik primit´ıv f¨ uggv´enye.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
26
v1.2
Zz Pl. F (z) =
f (z) dz az, ahol az integr´al´as tetsz˝oleges Lzy0 z egyszer˝ u g¨orb´ere v´egezhet˝o. z0
B (¬B) T Cauchy-t´etel t¨obbsz¨ or¨ osen ¨osszef¨ ugg˝ o tartom´anyon: Gi , i = 0, 1, . . . , n egyszer˝ u, z´art g¨orb´ek; G0 k¨or¨ ulveszi” G1 , . . . , Gn -et. ” f regul´aris egy, a vonalk´azott z´art tartom´anyt tartalmaz´o t¨obbsz¨or¨osen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyon. Ekkor
H
f (z) dz +
G+ 0
n I X k=1
vagyis I f (z) dz =
n I X
f (z) dz = 0,
G− k
f (z) dz
k=1 G k
G0
n = 3 eset´en
(G0 , G1 , . . . , Gn azonos ir´any´ıt´as´ u egyszer˝ u z´art g¨orb´ek) B (V´azlat)
L: Z f (z) dz = 0
=⇒
...
L
M A Cauchy alapt´etel akkor is igaz, ha L olyan z´art g¨orbe, amely v´eges sok egyszer˝ u g¨orbe egyes´ıt´ese. T f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon az a1 , a2 , . . . , an pontok kiv´etel´evel (izol´alt szingularit´asok). G1 , G2 ⊂ T azonos ir´any´ıt´as´ u egyszer˝ u, z´art g¨orb´ek ´es k¨or¨ ulveszik” az a1 , . . . , an pontokat. ”
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
27
v1.2
Az adott felt´etelek mellett: I I n I X f (z) dz f (z) dz = f (z) dz = G1
G2
|
k=1 L k
{z } a bizony´ıt´ashoz
B Az el˝oz˝o t´etel seg´ıts´eg´evel. T f a z0 kiv´etel´evel regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon, ´es l´etezik K˙ z0 ,δ0 ⊂ T , melyben f korl´atos. G ⊂ T egyszer˝ u, z´art g¨orbe, mely k¨or¨ ulveszi” z0 -t. ” Ekkor I f (z) dz = 0 G
B ¯ ¯ ¯ ¯ ¯I ¯ ¯I ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ = ¯ f (z) dz ¯ ≤ M · 2δπ < ε, ¯ ¯ ¯ ¯ |{z} ¯ ¯ ¯ ¯ s G
ha δ <
ε 2M π
(K : |z − z0 | = δ < δ0 )
K
I =⇒
f (z) dz = 0 G
9.3.
Regul´ aris f¨ uggv´ eny el˝ o´ all´ıt´ asa integr´ alalakban egyszeresen ¨ osszef¨ ugg˝ o tartom´ anyon
T Cauchy-f´ele integr´ alformula
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
28
v1.2
1 f (z) = 2πj
I
f (ζ) dζ ζ −z
G+
Felt´etelek: f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon, G ⊂ T egyszer˝ u, z´art g¨orbe, egyszer ” futja k¨orbe” a z pontot. B
I
f (ζ) dζ = ζ −z
G+
I
f (ζ) − f (z) + f (z) dζ = ζ −z
G+
I = f (z)
I f (z) f (ζ) − f (z) dζ + dζ = ζ −z ζ −z + G+ {z } G | I
~
1 dζ = f (z) · 2πj ζ −z
G+
~ z k¨ornyezet´eben korl´atos, hiszen ∃f 0 (z), z kiv´etel´evel pedig regul´aris. I f (ζ) − f (z) =⇒ dζ = 0 (az el˝oz˝o t´etel miatt) ζ −z G+
9.4.
Magasabbrend˝ u deriv´ altak l´ etez´ ese ´ es integr´ al-el˝ o´ all´ıt´ asa
´ anos´ıtott Cauchy-f´ele integr´ T Altal´ alformula f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon; z ∈ T, G ⊂ T egyszer˝ u, z´art g¨orbe, egyszer futja k¨orbe” a z pontot. Ekkor f z-ben ak´arh´anyszor deriv´alhat´o f¨ uggv´eny, ´es ”
f
(n)
n! (z) = 2πj
I
f (ζ) dζ (ζ − z)n+1
n = 1, 2, . . .
G+
Vagyis: ha f regul´aris az egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o T tartom´anyon, akkor ott ak´arh´anyszor differenci´alhat´o. (¬B)
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
29
v1.2
10.
Komplex hatv´ anysor (´ altal´ anos´ıtott hatv´ anysor)
1.) Komplex elem˝ u hatv´anysor (Pozit´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyok v´egtelen ¨osszege.) ∞ X ak (z − z0 )k , ahol ak , z , z0 ∈ C k=0
A val´os esethez hasonl´oan a sor konvergens, ha 1 p , illetve |z − z0 | < R , ahol R = lim sup n |an | |z − z0 | > R tartom´anyon a hatv´anysor divergens,
R = lim
n→∞
|z − z0 | = R :
|an | |an+1 | k´erd´eses eset.
Speci´alis esetek: R = ∞ : a sor minden z -ben konvergens, R = 0 : a sor csak z = z0 -ban konvergens. ∞ ∞ ³ ³ X z + 2j ´n X 1 ´n Pl. = (z + 2j)n : geometriai sor, ´ıgy konvergenci´aj´at 2 − j 2 − j n=0 n=0 ismerj¨ uk.
¯ ¯ ¯ z + 2j ¯ + 2j| ¯ = |z √ Konvergencia tartom´any: |q| = ¯¯ < 1 =⇒ 2−j ¯ 5 √ teh´at a z0 = −2j pont 5 sugar´ u k¨ornyezet´eben konvergens. 2.) Negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyok v´egtelen ¨osszege: ∞ ∞ X X 1 bk = c−k (z − z0 )−k , k (z − z ) 0 k=1 k=1
ahol
|z + 2j| <
√
5 ,
bk (= c−k ) , z , z0 ∈ C
1 helyettes´ıt´essel visszavezetj¨ uk az el¨oz˝o esetre: z − z0 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯
A konvergencia vizsg´alatot u = ∞ X k=1
b k uk
1 < |z − z0 | R Teh´at most a konvergencia tartom´any egy k¨or ( r sugar´ u) k¨ ulseje, a bels˝o pontokban divergencia van, a k¨orvonal pontjai k´erd´esesek. ( R -et itt is a val´osb´ol ismert k´eplettel sz´amolhatjuk.) =⇒
r :=
Speci´alis esetek: r = ∞ : a sor egyetlen pontban sem konvergens,
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
30
v1.2
r = 0 : a sor z = z0 kiv´etel´evel minden z -ben konvergens. ´ 3.) Altal´ anos´ıtott komplex hatv´anysor: ∞ ∞ ∞ X X X 1 k ak (z − z0 ) + bk = ck (z − z0 )k = k (z − z 0) k=0 k=1 k=−∞ = ... +
c−2 c−1 + + c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . . . 2 (z − z0 ) z − z0 c k , z , z0 ∈ C
Az ´altal´anos´ıtott hatv´anysor konvergencia tartom´anya az el˝oz˝o t´ıpus´ u konvergencia tartom´anyok k¨oz¨os r´esze lehet, teh´at egy z0 k¨oz´eppont´ u ny´ılt k¨orgy˝ ur˝ u: Gyz0 , r, R = {z : r < |z − z0 | < R} , ahol r = a bels˝o k¨or sugara, R = a k¨ uls˝o k¨or sugara
A gy˝ ur˝ u hat´arpontjaiban a konvergencia k´erd´eses. Speci´alis esetek:
Kz0 ,R , K˙ z0 ,R , C , ∅
Az ´ altal´ anos´ıtott hatv´ anysor tulajdons´ agai T1 Ha a korl´atos ´es z´art T ⊂ Gyz0 , r, R (gy˝ ur˝ u, ny´ılt halmaz) az ´altal´anos´ıtott hatv´anysor konvergencia gy˝ ur˝ uj´enek, akkor ∞ X ck (z − z0 )k egyenletesen konvergens a T tartom´anyon. k=−∞
T2 Ha z ∈ Gyz0 , r, R ny´ılt gy˝ ur˝ unek, akkor
∞ X
ck (z − z0 )k folytonos z -ben.
k=−∞
T3 Ha z ∈ Gyz0 , r, R ny´ılt gy˝ ur˝ unek, akkor
∞ X
ck (z − z0 )k ak´arh´anyszor differenci´alhat´o
k=−∞
z -ben ( =⇒ regul´aris z -ben) ´es az ¨osszegf¨ uggv´eny deriv´altj´at tagonk´enti deriv´al´assal kaphatjuk meg.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
31
v1.2
T4 L egyszer˝ u g¨orbe, L ⊂ Gyz0 , r, R , akkor Z L
∞ X
k
ck (z − z0 ) dz =
k=−∞
Z
∞ X
(z − z0 )k dz
ck
k=−∞
L
azaz tagonk´ent szabad integr´alni.
Mi a kapcsolat egy hatv´ anysor ¨ osszegf¨ uggv´ enye ´ es az egy¨ utthat´ ok k¨ oz¨ ott? T Ha
∞ X
f (z) := ekkor
cn (z − z0 )n ,
n=−∞
I
1 cn = 2πj
G+
ahol G+ ⊂ Gy B (V´azlat)
f (ζ) dζ, (ζ − z0 )n+1
(Gy: a sor konvergencia gy˝ ur˝ uje)
I
Felhaszn´aljuk, hogy
I ... =
G
Kz0 ,%
tagonk´ent integr´alhatunk. 1.)
. . ., ha r < % < R, ´es mivel a konvergencia egyenletes,
I
∞ X
f (z) dz =
n=−∞
K
I (z − z0 )n dz = c−1 · 2πj
cn K |(
{z
}
2πj, ha n = −1 = 0, egy´ebk´ent
Teh´at n = −1- re igaz az ´all´ıt´as.
D
res f (z) := c−1
z=z0
1 = 2πj
I f (z) dz : residuum (maradv´any) G+
ha speci´alisan a KT.:
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
0 < |z − z0 | < R
32
v1.2
2.) Osszuk el a sort (z − z0 ) -lal: I f (z) dz = c0 · 2πj + 0 + · · · z − z0 K
Teh´at n = 0- ra is igaz. 3.) Osszuk el pl. (z − z0 )−1 -gyel: f (z) 1 = f (z) · (z − z0 ) = · · · + c−2 + c−1 + c0 (z − z0 ) + · · · −1 (z − z0 ) z − z0 I f (z) =⇒ dz = c−2 · 2πj (z − z0 )−1 K
Teh´at n = −2- re is igaz. Stb.
11. D
Laurent sor f regul´aris Gy : r < |z − z0 | < R - en, f (z) =
∞ X
cn (z − z0 )n ,
n=−∞
ahol
1 cn = 2πj
I G+
f (ζ) dζ , (ζ − z0 )n+1
ahol G+ ⊂ Gy
Ha f regul´aris |z − z0 | < R -en: n < 0- ra: cn = 0 , hiszen n ≥ 0- ra: 1 cn = 2πj
I G+
f (ζ) is regul´aris (ζ − z0 )n+1
f (ζ) 1 f (n) (z0 ) f (n) (z0 ) dζ = · 2πj = (ζ − z0 )n+1 2πj n! n!
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
33
(Taylor-egy¨ utthat´ok)
v1.2
Teh´at ekkor speci´alis esetk´ent Taylor-sort kapunk. D A H nem¨ ures ny´ılt halmaz b´armely pontja k¨or¨ ul hatv´anysorba fejthet˝o komplex f¨ uggv´enyek a H halmazon analitikus f¨ uggv´enyek. T Az f komplex f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor analitikus egy H halmazon, ha ott regul´aris.
P´eld´ak: l. el˝oad´as ´es gyakorlat
11.1.
Izol´ alt szingularit´ asok
D f -nek izol´alt szingularit´asa van z0 -ban, ha f z0 -ban nem differenci´alhat´o, de f regul´aris K˙ z0 ,δ = Kz0 ,δ \ {z0 }-ban. Izol´ alt szingularit´ asok oszt´ alyoz´ asa (z0 az izol´alt szingul´aris pont) 1.) Megsz¨ untethet˝ o szingularit´as:
∃ lim f (z) (= c0 ) z→z0
(A z0 k¨ozvetlen k¨ornyezet´eben konvergens, (z − z0 ) hatv´anyait tartalmaz´o sorban nincs negat´ıv kitev˝oj˝ u tag.) olus: 2.) P´
lim f (z) = ∞
z→z0
D A p´olus n-edrend˝ u, ha ∃ lim (z − z0 )n f (z) 6= 0 (= c−n ) z→z0
(A sorban v´eges sok negat´ıv kitev˝oj˝ u tag van.) 3.) L´enyeges szingularit´as:
lim f (z) @ (9 ∞ sem!)
z→z0
(A megfelel˝o sorban v´egtelen sok negat´ıv kitev˝oj˝ u tag van.)
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
34
v1.2
11.2.
Residuum-t´ etel
T T egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any; a1 , a2 , . . . , an izol´alt szingularit´asok; f regul´aris ezen pontok kiv´etel´evel
I f (z) dz = 2πj
n X k=1
G+
res f (z)
z=ak
B
I f (z) dz =
k=1 G
G+
11.3.
n I X
f (z) dz = · · ·
k
Residuumok meghat´ aroz´ asa
1.) Sorfejt´essel 2.) Els˝orend˝ u p´olus eset´en: res f (z) = lim ((z − z0 ) f (z))
z=z0
z→z0
g(z) ; g ´es h regul´aris a z = z0 pont egy k¨ornyezet´eben; h(z) h(z0 ) = 0, de h0 (z0 ) 6= 0
3.) f (z) =
res
z=z0
g(z) g(z0 ) = 0 h(z) h (z0 )
4.) Ha z = z0 n-edrend˝ u p´olus: res f (z) =
z=z0
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
1 dn−1 lim ((z − z0 )n f (z)) n−1 z→z (n − 1)! 0 dz
35
v1.2
12.
N´ eh´ any p´ elda
Pl. f (z) =
z2
1 +1
´ ıtsa el˝o a f¨ uggv´eny z0 = j b´azispont´ u ¨osszes Laurent-sorfejt´es´et! 1.) All´ I 1 2.) dz = ? 2 z +1 |z−2j|=2
Megold´as: 1.) f (z) =
1 1 1 = g(z) z−j z+j z−j
g(z) sorfejt´es´et kell megcsin´alni a megfelel˝o k¨orgy˝ ur˝ un, ´es minden tagot megszorozni 1 -vel. z−j 1 1 g(z) = = z+j z − j + 2j α.) ¶k X µ ¶k+1 ∞ µ ∞ 1 1 1 X −(z − j) 1 k = = (−1) (z − j)k = g(z) = −(z−j) 2j 1 − 2j k=0 2j 2j k=0 2j 1 1 1 − (z − j) + (z − j)2 + · · · 2 3 2j (2j) (2j) ¯ ¯ ¯ z − j ¯ |z − j| ¯= KT.: |q| = ¯¯− < 1 =⇒ |z − j| < 2 2j ¯ 2 =
q=−
z−j 2j
∞
X 1 f (z) = g(z) = (−1)k z−j k=0 =
µ
1 2j
¶k+1 (z − j)k−1 =
1 1 1 1 − + (z − j) + · · · 2 2j z − j (2j) (2j)3
KT.: 0 < |z − j| < 2 β.)
¶k X ∞ ∞ µ 1 1 X −2j 1 1 g(z) = = (−2j)k = −2j = z − j 1 − z−j z − j k=0 z − j (z − j)k+1 k=0 =
1 1 1 2 − 2j + (2j) − ··· z−j (z − j)2 (z − j)3
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
36
v1.2
¯ ¯ ¯ −2j ¯ 2 ¯= KT.: |q| = ¯¯ <1 z − j ¯ |z − j|
−2j q= z−j
=⇒
|z − j| > 2
∞
f (z) =
X 1 1 1 1 = − 2j + ··· g(z) = (−2j)k k+2 2 3 z−j (z − j) (z − j) (z − j) k=0
KT.: |z − j| > 2 M M´asik lehet˝os´eg: f (z) =
z2
1 A B 1 = = + = f1 (z) + f2 (z) +1 (z − j)(z + j) z−j z+j
A ´es B meghat´aroz´asa ut´an f1 (z) sorfejt´ese k´esz, ´es csak f2 (z) sorfejt´ese van h´atra. 2.)
I z2
1 1 dz = 2πj res f (z) = 2πj · =π z=j +1 2j
|z−2j|=2
Vigy´azat! res f (z) a j pont k¨ozvetlen k¨ornyezet´eben konvergens konvergens, (z − j) z=j
hatv´anyait tartalmaz´o Laurent-sor c−1 egy¨ utthat´oja, teh´at az α sorb´ol kell leolvasni! M Term´eszetesen a Cauchy-f´ele integr´alformula alkalmaz´as´aval is megkaphat´o az integr´al ´ert´eke. Pl. f (z) =
z−1 (z − 2)2 (z + 1)
Adja meg a z0 = 2 b´azispont´ u Laurent-sorfejt´eseket! Megold´as: (z − 2) hatv´anyait tartalmaz´o konvergens Laurent-sorba fejthet˝o az α.) 0 < |z − 2| < 3 β.) |z − 2| > 3 k¨orgy˝ ur˝ uk¨on. ´ Utmutat´ o:
z−1 A B C = + + 2 2 (z − 2) (z + 1) (z − 2) z−2 z+1
A, B, C meghat´arozhat´o. Az els˝o k´et tag sorfejt´ese ¨onmaga, KT.: |z − 2| > 0. Csak a harmadik tag sorfejt´es´et kell elv´egezni.
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
37
v1.2
Vagy:
1 z−1 1 = g(z) 2 (z − 2) z + 1 (z − 2)2 1 g(z) sorfejt´es´et kell elv´egezni, ´es minden tagot -nel beszorozni. (z − 2)2 f (z) =
g(z) =
z−1 z+1−2 2 = =1− z+1 z+1 z+1
Az els˝o tag k´esz, a m´asodik tagot kell sorbafejteni: 1 1 = ··· 3 1 − −(z−2) 1 1 3 = = z+1 (z − 2) + 3 1 1 −3 = · · · z − 2 1 − z−2
Pl.
q=−
z−2 3
q=−
3 z−2
´ Allap´ ıtsa meg a szingularit´as jelleg´et ´es a residuumot a szingul´aris pontban! 1
1.) f (z) = e z2 2.) g(z) =
1 z e z2
Megold´as: Felhaszn´aljuk, hogy eu = 1 + u +
u2 u3 un + + ··· + + ··· 2! 3! n!
1.) 1
e z2 = 1 + 1
res e z2 = c−1 = 0;
z=0
2.)
∀u ∈ C - re.
1 1 1 + + · · · + + ··· z 2 2! z 4 n! z 2n
z = 0 l´enyeges szingularit´as (v´egtelen sok negat´ıv kitev˝oj˝ u tag van)
1 z 1 1 1 z z n−2 e = + + + + · · · + + ··· z2 z 2 z 2! 3! n! 1 z e = c−1 = 1; z=0 z 2 res
|z| > 0
|z| > 0
z = 0 m´asodrend˝ u p´olus
Pl. I
e2z − 1 dz = I = ? 8z 3
|z|=3
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
38
v1.2
1. megold´as: A Cauchy-f´ele ´altal´anos´ıtott integr´alformula szerint: (f regul´aris T egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyon) I f (z) 2πj (n) dz = f (z0 ) n+1 (z − z0 ) n! G+
1 2z (e − 1) minden¨ utt regul´aris; n + 1 = 3 =⇒ n = 2; z0 = 0 8 Ez´ert: ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ π 2πj 2πj d2 1 2z 1 2 2z ¯ ¯ =j = I= (e − 1) · 2 e ¯ ¯ 2 2! dz 8 2! 8 2 z=0 z=0 f (z) =
2. megold´as: Dolgozhatunk a residuum t´etellel is, mert most k¨onnyen meghat´arozhat´o sorfejt´essel a residuum. (2z)2 (2z)3 e2z = 1 + 2z + + + ··· ∀z ∈ C-re 2! 3! e2z − 1 2 1 22 1 23 24 g(z) = = + + + + ··· 8z 3 8 z 2 8 · 2! z 8 · 3! 8 · 4! KT.: |z| > 0 res g(z) = c−1 =
z=0
22 1 = 8 · 2! 4
=⇒
I = 2πj res g(z) = 2πj · z=0
1 π =j 4 2
M Egy´ebk´ent a sorfejt´esb˝ol az is leolvashat´o, hogy a z0 = 0 szingularit´as m´asodrend˝ u p´olus. Pl. f (z) =
sin (z + 2j) (z + 2j)2 z
1.) Hol ´es milyen szingularit´asa van f -nek? I 2.) f (z) dz = ? |z−1|=3
Megold´as: 1.) Szingul´aris pontok: −2j, 0. Mindkett˝o els˝orend˝ u p´olus, mert: 1 1 sin (z + 2j) 1 = = j 6= 0 z→−2j z + 2j z −2j 2 | {z } ↓ 1
lim (z + 2j)1 f (z) = lim
z→−2j
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
39
v1.2
ill. lim zf (z) = lim
z→0
z→0
sin (z + 2j) sin 2j j sh 2 j sh 2 sh 2 = = = = −j 2 2 2 (z + 2j) (2j) (2j) −4 4
2.) Mivel els˝orend˝ u p´olus eset´en lim (z − z0 )f (z) = res f (z),
z→z0
z=z0
az el˝obb megkaptuk a residuumokat, ´es ´ıgy c´elszer˝ u a residuum t´etelt alkalmazni. ¶ µ ¶ µ I π sh 2 1 sh 2 = −π + f (z) dz = 2πj res f (z) + res f (z) = 2πj j − j z=0 z=−2j 2 4 2 |z−1|=3
c K´onya I. – Fritz Jn´e – Gy˝ori S. °
40
v1.2
