ˇ´ıtac ˇova ´ cvic ˇen´ı Poc ˇ ´ho modelova ´ n´ı Skola matematicke 2015
´ c, Luk´aˇs Mal´y, Marie Sadowsk´a, Petr Beremlijski, Rajko Cosi´ Robert Skopal
ˇ´ıtac ˇova ´ cvic ˇen´ı Poc ˇ ´ho modelova ´ n´ı Skola matematicke
´ c, Luk´aˇs Mal´y, Marie Sadowsk´a, Petr Beremlijski, Rajko Cosi´ Robert Skopal
Katedra aplikovan´e matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky ˇ - Technick´a univerzita Ostrava VSB 2015
Tato akce byla podpoˇrena z prostˇredk˚ u projektu Matematika s radost´ı (registraˇcn´ı ˇc´ıslo CZ.1.07/1.1.00/26.0042). Jeho webov´ a str´ anka je http://msr.vsb.cz.
ˇen´ı 1: Matlab – na ´ stroj pro matematick´ ´ n´ı Cvic e modelova Abychom se mohli vˇenovat numerick´emu ˇreˇsen´ı matematick´ych u ´ loh, potˇrebujeme vhodn´e prostˇred´ı, kter´e n´am to umoˇzn´ı. A tak jako fyzici ˇci chemikov´e maj´ı sv´e laboratoˇre, maj´ı i numeriˇct´ı matematici svou Maticovou laboratoˇr1 - Matlab. Podrobnˇe se tomuto pracovn´ımu prostˇred´ı a jeho pˇr´ıkaz˚ um vˇenuje pˇriloˇzen´y Matlabovsk´y slabik´aˇr [4] nebo tak´e u ´ vod textu [3]. My si v tomto textu uvedeme pouze struˇcn´y pˇrehled matlabovsk´ych promˇenn´ych a pˇr´ıkaz˚ u, kter´e budeme potˇrebovat. Prostˇ red´ı • help, demos, intro, who, whos, clear, size, length Promˇ enn´ e • Skal´ary • Vektory • Matice Pˇ r´ıkazy • Skal´arn´ı funkce - sin, cos, tan, cot, exp, log, abs, sqrt, round • Vektorov´e funkce a generov´an´ı vektor˚ u - max, min, sort • Maticov´e funkce a generov´an´ı matic - det, rand, ones, zeros, eye • Skal´arn´ı operace - +, −, ∗, /, b
• Maticov´e a vektorov´e operace - +, −, ∗, ´(transponov´an´ı), \ (A\v = x ⇔ Ax = v) Operace po prvc´ıch“ - .∗ , .b, ./ ” • 2D grafika (vykreslen´ı graf˚ u funkc´ı jedn´e promˇenn´e) - plot, hold on, hold off, figure • 3D grafika (vykreslen´ı graf˚ u funkc´ı dvou promˇenn´ych) - meshgrid, mesh, contour, hold on, hold off, figure ˇ ıd´ıc´ı pˇr´ıkazy - if (podm´ınˇen´y pˇr´ıkaz), for, while (pˇr´ıkazy cyklu se zn´am´ym poˇctem • R´ opakov´an´ı a podm´ınkou na zaˇc´atku) • Relace a logick´e operace - <, >, <=, >=, ==, ∼=, &, |, ∼ • Skripty a funkce - function 1
MATrix LABoratory
1
Vˇse si nyn´ı vyzkouˇs´ıme pˇri ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ıch u ´ loh. ´ Ukol 1.1 Legenda ˇr´ık´a, ˇze kdyˇz byly vymyˇsleny ˇsachy, tak se m´ıstn´ımu vl´adci (nˇekde v Asii) tato hra tak zal´ıbila, ˇze se rozhodl odmˇenit jejich vyn´alezce a za odmˇenu mu nab´ıdl cokoliv, co si bude pˇr´at. Vyn´alezce mu na to odpovˇedˇel, ˇze si nepˇreje nic jin´eho neˇz nˇekolik zrnek r´yˇze. A aby se to dobˇre poˇc´ıtalo, tak ˇze chce za prvn´ı pol´ıˇcko ˇsachovnice dostat jedno zrnko r´yˇze, za druh´e dvˇe zrnka r´yˇze, za tˇret´ı ˇctyˇri zrnka, za ˇctvrt´e osm zrnek a tak d´ale. Tedy at’ za kaˇzd´e dalˇs´ı pole ˇsachovnice dostane dvojn´asobn´y poˇcet zrnek r´yˇze ve srovn´an´ı s polem pˇredchoz´ım. Kolik kilogram˚ u r´yˇze ˇz´adal, jestliˇze 30 000 zrnek r´yˇze v´aˇz´ı 1 kilogram? N ´ Ukol 1.2 Bakterie Yersinia pestis, kter´a zp˚ usobuje onemocnˇen´ı morem, se v pˇr´ızniv´ych podm´ınk´ach dˇel´ı jednou za 100 minut. Jak dlouho by trvalo, pokud by nedoch´azelo k u ´ hynu bakteri´ı a mohly se bez omezen´ı mnoˇzit, neˇz by jejich hmotnost pˇrekroˇcila hmotnost Zemˇe? Pˇredpokl´adejme, ˇze v ˇcase t = 0 ˇzije jedna bakterie Yersinia pestis. Pˇredpokl´adejme, ˇze hmotnost jedn´e bakterie je 6 · 10−15 kg a hmotnost Zemˇe je 6 · 1024 kg. N
Obr´azek 1: Bakterie ´ Ukol 1.3 Sestrojte grafy n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: • f (x) := x2 √ • f (x) := 1 − x2 • f (x) := x2 sin
1 x2
• f (x) := |x|
N
´ Ukol 1.4 Sestrojte grafy n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı: • f (x, y) := x2 + y 2 p • f (x, y) := x2 + y 2
• f (x, y) := (x2 + y 2 ) sin • f (x, y) :=
p
1 x2 +y 2
|xy|
N 2
ˇen´ı 2: Polynomia ´ ln´ı regrese Cvic Pˇri zkoum´an´ı r˚ uzn´ych fyzik´aln´ıch jev˚ u se setk´av´ame s n´asleduj´ıc´ım u ´ kolem. Na intervalu ha, bi ⊂ R m´ame zmˇeˇreny hodnoty zkouman´e veliˇciny a hled´ame polynom n-t´eho ˇr´adu pn (x), kter´y nejl´epe“ pˇribliˇznˇe popisuje (aproximuje) naˇse mˇeˇren´ı. To, ˇze polynom pn (x) ” nejl´epe“ aproximuje zadan´e hodnoty, pro n´as bude znamenat, ˇze pn (x) je ˇreˇsen´ım u ´ lohy ” min
pn (x)
k X i=1
(pn (xi ) − yi )2 ,
(1)
kde [xi , yi ], i ∈ {1, . . . , k} jsou souˇradnice namˇeˇren´ych hodnot a pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 , kde aj ∈ R pro kaˇzd´e j ∈ {0, . . . , n}.2 Vˇsimnˇeme si, ˇze pn (x) ˇreˇs´ıc´ı (1) je polynom, pro kter´y je souˇcet ˇctverc˚ u rozd´ıl˚ u pn (xi ) a yi nejmenˇs´ı. Proto se t´eto metodˇe hled´an´ı koeficient˚ u a0 , a1 , . . . , an pro urˇcen´ı polynomu pn (x) ˇr´ık´a metoda nejmenˇ s´ ıch ˇ ctverc˚ u. Aproximaci zadan´ych bod˚ u polynomem naz´yv´ame polynomi´ aln´ ı regrese. Pro lepˇs´ı pˇredstavu se pod´ıvejte na obr. 2, kde je zn´azornˇena regrese zadan´ych bod˚ u line´arn´ım polynomem. Zadan´e body jsou vyznaˇceny zelen´ymi kˇr´ıˇzky, regresn´ı funkce je zakreslena modˇre a ˇctverce rozd´ıl˚ u pn (xi ) a yi jsou zakresleny ˇcervenˇe.
1
0.8
y
0.6
0.4
0.2
0 −0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
Obr´azek 2: Regrese line´arn´ım polynomem pouˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u ˇ sen´ı u Reˇ ´ lohy (1) je pomˇernˇe obt´ıˇzn´e, proto k jej´ımu ˇreˇsen´ı pouˇzijeme programov´e prostˇred´ı Matlab a v nˇem pˇr´ıkaz polyfit. 2
Hled´an´ım polynomu pn (x), kter´ y ˇreˇs´ı u ´lohu (1), mysl´ıme hled´an´ı hodnot koeficient˚ u a0 , a1 , · · · , an tohoto polynomu.
3
Syntaxe tohoto pˇr´ıkazu je n´asleduj´ıc´ı: P = polyfit(X,Y,N), kde X a Y jsou vektory obsahuj´ıc´ı prvn´ı a druh´e souˇradnice aproximovan´ych hodnot a N je ˇr´ad polynomu, kter´ym aproximujeme. Ve vektoru P z´ısk´ame koeficenty polynomu pn (x), pro kter´e plat´ı P (1) = an , P (2) = an−1 , . . . , P (N − 1) = a2 , P (N) = a1 a P (N + 1) = a0 . Pro vyˇc´ıslen´ı hodnoty polynomu v zadan´em bodˇe ˇci vektoru bod˚ u x, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz Matlabu polyval. Jeho syntaxe je Y = polyval(P,x), kde P je vektor obsahuj´ıc´ı koeficienty dan´eho polynomu (opˇet plat´ı P (1) = an , P (2) = an−1 , . . ., P (N − 1) = a2 , P (N) = a1 a P (N + 1) = a0 ) a x obsahuje x -ov´e souˇradnice bodu ˇci bod˚ u, ve kter´ych chceme polynom vyˇc´ıslit. Funkˇcn´ı hodnoty dan´eho polynomu jsou uloˇzeny do vektoru Y. Na n´asleduj´ıc´ıch obr´azc´ıch si m˚ uˇzete prohl´ednout regresi zadan´ych bod˚ u [xi , yi ], kde i ∈ {1, . . . , 5}, pomoc´ı polynom˚ u vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Body jsou opˇet vyznaˇceny zelen´ymi kˇr´ıˇzky, v´ysledn´e regresn´ı funkce jsou zakresleny modˇre a ˇctverce rozd´ıl˚ u pn (xi ) a yi jsou zakresleny ˇcervenˇe. Na regresi kvadratick´ym a kubick´ym polynomem se pod´ıvejte na obr. 3, regrese polynomem ˇctvrt´eho a dvac´at´eho ˇra´du je na obr. 4.
0.8
0.8
0.6
0.6
y
1
y
1
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0 −0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−0.2
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
Obr´azek 3: Regrese kvadratick´ym (vlevo) a kubick´ym (vpravo) polynomem pouˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u Z uveden´ych pˇr´ıklad˚ u se d´a usuzovat, ˇze polynomy vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u aproximuj´ı zadan´e body l´epe. Takov´y z´avˇer ale uˇz neplat´ı v cel´em intervalu, kde regresi pouˇz´ıv´ame.
4
0.8
0.8
0.6
0.6
y
1
y
1
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0 −0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
−0.2
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
Obr´azek 4: Regrese polynomem ˇctvrt´eho (vlevo) a dvac´at´eho (vpravo) ˇr´adu pouˇzit´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u ´ Ukol 2.1 Vygenerujte si pomoc´ı pˇr´ıkazu rand n´ahodn´ych 11 hodnot v intervalu h0, 1i. Vektor takto z´ıskan´ych hodnot povaˇzujte za y-ov´e souˇradnice bod˚ u, jejichˇz x -ov´e souˇradnice jsou 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 1. Tyto body postupnˇe aproximujte polynomy 1., 2., . . . , 15. ˇr´adu. N ´ Ukol 2.2 Z´ıskejte hodnoty souˇcinitele aerodynamick´eho odporu vzduchu Cd pro hodnoty 0,7, 0,8, 0,9, 1, 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, kter´ych nab´yv´a prvn´ı parametr popisuj´ıc´ı karoserii Tatry 87. K z´ısk´an´ı tˇechto hodnot pouˇzijte pˇriloˇzen´y program tatra.exe. Pot´e aproximujte tyto hodnoty postupnˇe polynomy 1., 2., . . . , n. ˇr´adu.3 T´ım z´ısk´ame polynomy aproximuj´ıc´ı z´avislost na prvn´ım parametru karoserie Tatry 87. N
3ˇ
C´ıslo n zvolte tak, aby polynom n-t´eho ˇr´adu dobˇre“ aproximoval zadan´e body. ”
5
ˇen´ı 3 a 4: Optimalizace karoserie Tatry 87 Cvic V tomto cviˇcen´ı se sezn´am´ıme s tzv. optimalizaˇcn´ımi u ´ lohami, uk´aˇzeme si jejich praktickou aplikaci a tak´e, jak je lze numericky ˇreˇsit. Mnohem v´ıce mohou ˇcten´aˇri nal´ezt v textu [2]. Optimalizaˇcn´ı u ´ lohy vznikaj´ı ˇcasto pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ych u ´ loh. Matematicky jsou tyto u ´ lohy obvykle formulov´any jako probl´emy hled´an´ı extr´em˚ u cenov´ e funkce, coˇz je funkce f : Rn → R. Extr´emy cenov´e funkce ˇcasto hled´ame na pˇ r´ ıpustn´ e mnoˇ zinˇ e Ω ⊂ Df . Jelikoˇz bod, v nˇemˇz funkce f nab´yv´a sv´eho minima, je stejn´y jako bod, v nˇemˇz funkce −f nab´yv´a sv´eho maxima, m˚ uˇzeme za obecnou u ´ lohu optimalizace povaˇzovat probl´em naj´ıt x ∈ Ω tak, aby platilo f (x) ≤ f (x),
x ∈ Ω.4
(2)
Pokud je Ω = Df , mluv´ıme o optimalizaci bez omezen´ ı. Pokud pro Ω plat´ı Ω ⊂ Df a Ω 6= Df , mluv´ıme o optimalizaci s omezen´ ım. Pˇr´ıkladem optimalizaˇcn´ı u ´ lohy bez omezen´ı je napˇr´ıklad probl´em nalezen´ı rovnov´aˇzn´e polohy kuliˇcky o hmotnosti m volnˇe zavˇeˇsen´e na pruˇzinˇe. Pˇr´ıkladem optimalizaˇcn´ı u ´ lohy s omezen´ım je napˇr´ıklad probl´em nalezen´ı rovnov´aˇzn´e polohy kuliˇcky o hmotnosti m zavˇeˇsen´e na pruˇzinˇe, kter´a vis´ı nad pˇrek´aˇzkou. Uvaˇzujme, ˇze pruˇzina je uchycena v obou pˇr´ıpadech v bodˇe [0, 0]. Tyto probl´emy m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako minimalizaci funkce potenci´aln´ı energie tohoto syst´emu. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je Ω = R2 , v druh´em pˇr´ıpadˇe pˇr´ıpustn´a mnoˇzina Ω popisuje oblast, ve kter´e se kuliˇcka m˚ uˇze pohybovat a kter´a leˇz´ı mimo pˇrek´aˇzku. Tyto u ´ lohy pak zap´ıˇseme jako u ´ lohu naj´ıt x ∈ Ω tak, aby platila nerovnost (2), kde f (x) = x21 + x22 + mx2 a Ω = R2 nebo Ω = {x ∈ R2 : x1 + x2 + 1 ≥ 0, −x1 + x2 + 3 ≥ 0} (pro druhou u ´ lohu viz obr. 5). x2 −1 −x1 − 1
0
1
m −1
3
2
x1
x1 − 3
−2
Obr´azek 5: Pˇr´ıklad rovnov´aˇzn´eho stavu kuliˇcky na pruˇzinˇe (´ uloha s omezen´ım) Odkazy na obecnˇe formulovan´e optimalizaˇcn´ı u ´ lohy najdeme jiˇz ve starovˇeku. Patˇr´ı 5 mezi nˇe i D´ıdonina u ´ loha. D´ıd´o u ´ dajnˇe dostala po pˇrist´an´ı na africk´em pobˇreˇz´ı od m´ıstn´ıho 4 5
ˇ ste u Tuto u ´lohu m˚ uˇzeme zadat tak´e takto: Reˇ ´lohu min f (x).“ ” x∈Ω Dle legendy byla D´ıd´o f´enick´a princezna, sestra kr´ale Pygmali´ona a zakladatelka starovˇek´eho Kart´ aga.
6
vl´adce k˚ uˇzi z jednoho b´yka. Se sv´ym doprovodem mˇela pr´avo usadit se na pozemku, kter´y lze ohraniˇcit touto k˚ uˇz´ı. K˚ uˇzi rozˇrezala na u ´ zk´e prouˇzky a pomoc´ı nich ohraniˇcili u ´ zem´ı, na kter´em zaloˇzila mˇesto Kart´ago. Snaha z´ıskat co nejvˇetˇs´ı pozemek vede na probl´em naj´ıt spojitou kˇrivku dan´e d´elky, kter´a ohraniˇcuje co nejvˇetˇs´ı plochu. D´ale se budeme zab´yvat numerick´ym ˇreˇsen´ım optimalizaˇcn´ıch u ´ loh. Metody ˇ reˇ sen´ı u ´ loh bez omezen´ı Pro u ´ lohu (2) existuje ˇrada pˇr´ıstup˚ u, jak ji numericky ˇreˇsit. Pro pˇekn´e“ funkce je ” velmi efektivn´ı Newtonova metoda. Neˇz se zaˇcneme vˇenovat odvozen´ı Newtonovy metody pro ˇreˇsen´ı optimalizaˇcn´ı u ´ lohy (2), odvod´ıme si iteraˇcn´ı metodu pro hled´an´ı ˇreˇsen´ı rovnice. Tato metoda se tak´e naz´yv´a Newtonova. Pˇredpokl´adejme, ˇze v k-t´em kroce iteraˇcn´ı metody m´ame bod aproximuj´ıc´ı ˇreˇsen´ı x∗ rovnice f (x) = 0. Tento bod oznaˇc´ıme xk . D´ale pˇredpokl´adejme, ˇze zn´ame funkˇcn´ı hodnotu funkce f v bodˇe xk a derivaci funkce f v bodˇe xk . Nyn´ı chceme uˇcinit (k +1)-n´ı krok metody a nal´ezt bod xk+1 , kter´y l´epe“ ” aproximuje ˇreˇsen´ı rovnice f (x) = 0. Vyuˇzit´ım vlastnosti derivace dostaneme z pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıku v obr. 6 n´asleduj´ıc´ı vztah x2 f (x)
tg α = f ′ (xk ) α x
∗
xk+1
xk x1
Obr´azek 6: Newtonova metoda
f ′ (xk ) =
f (xk ) . xk − xk+1
(3)
f (xk ) . f ′ (xk )
(4)
Rovnici (3) snadno uprav´ıme do tvaru xk+1 = xk −
T´ım dost´av´ame pˇredpis, jehoˇz opakovan´ym pouˇzit´ım dost´av´ame zpˇresˇ nuj´ıc´ı se aproximaci ˇreˇsen´ı x∗ rovnice f (x) = 0. Pomoc´ı tohoto pˇredpisu z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ı algoritmus pro iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı rovnice f (x) = 0.
7
Algoritmus (Newtonova metoda (pro ˇ reˇ sen´ ı rovnice s jednou nezn´ amou)) 1. ε > 0 (ukonˇcuj´ıc´ı podm´ınka) x0 (poˇc´ateˇcn´ı bod iteraˇcn´ıho procesu) k=0 x1 = x0 − f (x0 )/f ′(x0 ) 2. while |xk+1 − xk | ≥ ε (|f (xk+1 )| ≥ ε) k =k+1 xk+1 = xk − f (xk )/f ′ (xk ) end 3. xk+1 aproximuje ˇreˇsen´ı rovnice f (x) = 0 Nyn´ı vyuˇzijeme pˇredpisu (4) pro hled´an´ı extr´emu funkce f . Protoˇze pro funkce f , kter´e maj´ı v cel´em sv´em definiˇcn´ım oboru derivaci, plat´ı, ˇze extr´emy t´eto funkce jsou uvnitˇr definiˇcn´ıho oboru v bodech splˇ nuj´ıc´ıch f ′ (x) = 0,6 budeme numericky hledat ˇreˇsen´ı rovnice ′ f (x) = 0. Pouˇzit´ım pˇredpisu (4) obdrˇz´ıme xk+1 = xk −
f ′ (xk ) . f ′′ (xk )
(5)
Pokud bude funkce f nav´ıc konvexn´ı v cel´em sv´em definiˇcn´ım oboru, pak uveden´y postup nalezne minimum funkce. Vˇse shrneme do n´asleduj´ıc´ıho algoritmu. Algoritmus (Newtonova metoda (pro minimalizaci funkce jedn´ e promˇ enn´ e)) 1. ε > 0 (ukonˇcuj´ıc´ı podm´ınka) x0 (poˇc´ateˇcn´ı bod iteraˇcn´ıho procesu) k=0 x1 = x0 − f ′ (x0 )/f ′′ (x0 ) 2. while |xk+1 − xk | ≥ ε (|f ′ (xk+1 )| ≥ ε) k =k+1 xk+1 = xk − f ′ (xk )/f ′′ (xk ) end 3. xk+1 aproximuje minimum funkce f (x) Zobecnˇen´ım pˇredpisu (5) pro funkce v´ıce promˇenn´ych z´ısk´ame metodu pro minimalizaci funkce v´ıce promˇenn´ych. V´ıce se o optimalizaˇcn´ıch metod´ach tohoto typu dozv´ıte v textu [1]. 6
T´eto podm´ınce ˇr´ık´ame nutn´a podm´ınka existence lok´aln´ıho extr´emu.
8
´ Ukol 3.1 Pomoc´ı Newtonovy metody najdˇete minimum funkce f (x) := x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16. N ´ Ukol 3.2 Pomoc´ı Newtonovy metody najdˇete minimum polynomu aproximuj´ıc´ıho funkci popisuj´ıc´ı z´avislost souˇcinitele aerodynamick´eho odporu vzduchu Cd na prvn´ım parametru karoserie Tatry 87 a t´ım najdˇete hodnotu tohoto parametru, pro kter´y je Cd minim´aln´ı. N
9
Reference ˇ [1] P. Beremlijski, M. Sadowsk´a, M. Theuer: Poˇc´ıtaˇcov´ a cviˇcen´ı - Skola matemaˇ tick´eho modelov´an´ı 2013. Text vytvoˇren´y pro semin´aˇr Skola matematick´eho mo” delov´an´ı 2013“, Vysok´a ˇskola b´an ˇ sk´a - Technick´a univerzita Ostrava (2013). (http://skomam.vsb.cz/archiv/2013/files/cviceni/cviceni 2013.pdf) [2] Z. Dost´al, P. Beremlijski: Metody optimalizace. Text vytvoˇren´y pˇri realizaci projektu Matematika pro inˇzen´yry 21. stolet´ı“, Vysok´a ˇskola b´an ˇ sk´a - Technick´a univerzita ” Ostrava (2012). (http://mi21.vsb.cz/modul/metody-optimalizace) [3] T. Kozubek, T. Brzobohat´y, V. Hapla, M. Jaroˇsov´a, A. Markopoulos : Line´arn´ı algebra s Matlabem. Text vytvoˇren´y pˇri realizaci projektu Matematika pro ” inˇzen´yry 21. stolet´ı“, Vysok´a ˇskola b´an ˇ sk´a - Technick´a univerzita Ostrava (2012). (http://mi21.vsb.cz/modul/linearni-algebra-s-matlabem) [4] K. Sigmon: Matlab Primer. University of Florida (1993).
10
´ r slov o derivaci Apendix A: Pa Definice A.1 Bud’ f : R → R a x ∈ R. Existuje-li f (x + h) − f (x) , h→0 h lim
znaˇc´ıme ji f ′ (x) a naz´yv´ame derivac´ ı funkce f v bodˇ e x. Pozn´ amka A.1 Vˇetˇsinou – a nejinak je to v tomto textu – se pod pojmem derivace rozum´ı koneˇcn´a (tzv. vlastn´ ı) derivace. Definice A.2 Derivac´ ı funkce f budeme d´ale rozumˇet funkci f ′ definovanou pˇredpisem f ′ (x) := f ′ (x). Vˇ eta A.1 Bud’ f, g : R → R a x ∈ R. Pak plat´ı • (f ± g)′ (x) = f ′ (x) ± g ′ (x), m´a-li prav´a strana rovnosti smysl, • (f g)′(x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′(x), existuj´ı-li (vlastn´ı) derivace f ′ (x) a g ′ (x), ′ f f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x) , existuj´ı-li (vlastn´ı) derivace f ′ (x) a g ′ (x) a je-li • (x) = g g 2 (x) g(x) 6= 0. Pozorov´ an´ı A.1 • (c)′ = 0, c ∈ R (konst.), x ∈ R, • (xr )′ = rxr−1 , r ∈ R, x ∈ (0, +∞),7 • (sin x)′ = cos x, x ∈ R, • (cos x)′ = − sin x, x ∈ R, • (tg x)′ =
nπ o 1 , x ∈ R \ + kπ : k ∈ Z , cos2 x 2
• (cotg x)′ = −
1 , x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}, sin2 x
• (ex )′ = ex , x ∈ R, • (ln x)′ = 7
1 , x ∈ (0, +∞). x
Pˇripomeˇ nme si, ˇze x0 := 1.
11
Definice A.3 Zadefinujme si jeˇstˇe derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u. Pˇredpokl´adejme nejprve, ˇze funkce f m´a derivaci v bodˇe x0 ∈ R. Jestliˇze funkce derivace f ′ m´a derivaci v bodˇe x0 , definujeme druhou derivaci funkce f v bodˇ e x0 jako f ′′ (x0 ) := (f ′ )′ (x0 ). Podobnˇe postupujeme pˇri definic´ıch tˇ ret´ ı, ˇ ctvrt´ e, . . . derivace funkce f v bodˇ e x0 . Indukc´ı tedy definujeme pro n ∈ N derivaci n-t´ eho ˇ r´ adu funkce f v bodˇ e x0 jako f (n) (x0 ) := (f (n−1) )′ (x0 ), pˇriˇcemˇz f (0) := f .
12
