Mechanické kmitání a vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Mechanické vlnění Zvukové vlnění Kmitání mechanického oscilátoru Kmitavý pohyb Mechanický oscilátor = zařízení, které kmitá bez vnějšího působení
• • • • • •
rovnovážná poloha – na těleso působí dvě stejně velké síly opačného směru: tíhová síla F G a síla pružnosti F p kyvadlo = těleso zavěšené na pevném vlákně pružinový oscilátor = těleso zavěšené na pružině kmitavý pohyb – jedním ze základních druhů pohybů periodický kmitavý pohyb – těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou časový diagram kmitání pružinového oscilátoru - závislost okamžité polohy kmitajícího tělesa na čase
• • • • Platí:
kmit = periodicky se opakující část kmitavého pohybu kyv = polovina kmitu perioda T = doba, za kterou oscilátor vykoná jeden kmit frekvence f (kmitočet) = počet kmitů za jednu sekundu.
f =
1 T
[ f ] = 1 = Hz (hertz ) s
Příklady frekvencí periodických dějů: lidské srdce: 1,25 Hz střídavý proud v elektrické síti: 50 Hz zvuk: 16 Hz – 16 kHz signály rozhlasových vysílačů: 150 kHz(dlouhé vlny) – 100 MHz(VKV) frekvenční pásmo mobilních telefonů: 9.108 Hz signál družicové televize: 1011 Hz Příklad: Lidské srdce vykoná 75 tepů za minutu. Urči jeho periodu a frekvenci.
Kinematika kmitavého pohybu popisuje kmitavý pohyb při pohybu mechanického oscilátoru dochází s časem k periodické změně výchylky y amplituda výchylky y m = hodnota největší výchylky
harmonický kmitavý pohyb(harmonické kmitání) = pohyb, jehož časovým diagramem je sinusoida (kosinusoida) Časový diagram kmitavého pohybu:
96
Okamžitá výchylka kmitavého pohybu Platí:
y = ym sin ωt
ωt = fáze kmitání ϕ = ωt ω = úhlová frekvence
ω= Příklad:
2π = 2πf T
Čím se navzájem liší kmitáni, jejichž časové diagramy jsou na obrázku? Napiš rovnice pro okamžitou výchylku zobrazených harmonických kmitání.
Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu Rychlost kmitavého pohybu:
v = ω ⋅ y m ⋅ cos ωt Zrychlení kmitavého pohybu:
a = − ω2 ⋅ y m ⋅ sin ωt Příklad:
{}
Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice y = 5,0 ⋅10 Urči amplitudu rychlosti a zrychlení hmotného bodu.
−3
sin 4π {t}
.
97
Fáze kmitavého pohybu:
y1 = ym sin ω (t + t0 ) = ym sin (ωt + ωt0 ) Označíme:
y = y m ⋅ sin (ωt + ϕ 0 )
ωt 0 = ϕ 0
Počáteční fáze ϕ 0 kmitavého pohybu
výchylka v počátečním okamžiku t 0 .
a )t = 0 ⇒ y1 =
1 ym ⇒ 2
1 ym = ym sin ϕ 0 ⇒ 2
ϕ 0 = 0,5 ⇒ ϕ 0 = 30° =
b)ϕ 0 = −30° = −
π 6
π 6
Příklad: Urči počáteční fáze pro harmonické pohyby, jejichž časové diagramy jsou na obrázku. Napiš rovnice pro okamžitou výchylku.
98
Skládání kmitání
stejný směr a stejná frekvence
stejný směr a různá frekvence
stejný směr a blízká frekvence
99
Dynamika kmitavého pohybu
zkoumá příčiny pohybu Pohybová rovnice mechanického oscilátoru: Pružinový oscilátor: těleso zavěšené na pružině m = hmotnost tělesa k = tuhost pružiny
F = −mω 2 y
výsledná síla působící na oscilátor F = F + F pohybová rovnice p
F = −ky
G
F p = síla pružnosti, F G = tíhová síla Perioda vlastního kmitání:
T0 = 2π
m k
Frekvence vlastního kmitání:
f0 =
1 2π
k m
Kyvadlo:
Pohybová rovnice:
F = −m
Perioda vlastního kmitání: T0 Frekvence vlastního kmitání:
g x l
= 2π
f0 =
l g
1 2π
g l
Přeměny energie v mechanickém oscilátoru • • Platí:
periodická změna potenciální energie v energii kinetickou a naopak nepůsobí-li vnější síly je mechanická energie kmitání konstantní
E = E p + Ek =
1 2 1 2 ky + mv 2 2
E=
1 1 2 2 ky m = mv m = konst. 2 2
100
Netlumené kmitání: na oscilátor nepůsobí v průběhu kmitání žádné vnější síly kmitání se nemění neomezené kmitání
volné kmitání
amplituda
Tlumené kmitání: • • •
dochází ke ztrátám energie amplituda kmitů se zmenšuje kmitání reálného oscilátoru
Nucené kmitání • •
mezi oscilátorem a jeho okolím existuje vazba kmitání je ovlivňováno vnější silou, která pomocí vazby přivádí do oscilátoru energii netlumené harmonické kmitání = nucené kmitání Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení. • zvětšováním frekvence otáčením kotouče amplituda nucených kmitů se zvětšuje • při frekvenci shodné s frekvencí vlastního kmitání oscilátoru maximální amplituda = rezonance oscilátoru Rezonanční křivka
rezonanční frekvence = poloha maxima tvar křivky - ovlivněn tlumením ostré maximum malé tlumení (1) méně ostré maximum větší tlumení (2) Oscilátor - zdroj nuceného kmitání Rezonátor - působením zdroje se nuceně rozkmitá Při kmitání oscilátoru se vazbou (spojením) přenáší energie z oscilátoru na rezonátor a obráceně vázané kmity. Využití rezonance: +rezonanční zesilování – hudební nástroje – sluchové ústrojí + rezonance elektrických kmitů – bezdrátová komunikace - rezonanční kmitání u strojů potlačení a)změnou vlastní frekvence mechanismu b) tlumičem kmitání c) zvětšením tření
101
Mechanické vlnění Vznik a druhy vlnění Vlnění: • • • • •
zdrojem je mechanický oscilátor přenos kmitání látkovým prostředím přenos energie příčina – existence vazeb mezi částicemi pružné prostředí
Postupné vlnění:
• • Platí: λ
jednotlivé částice = mechanické oscilátory navzájem spojené vazbou (pružinou) první kyvadlo vychýlíme ve směru osy y – volně kmitá postupně začnou kmitat i ostatní kyvadla kmitání postupuje konstantní rychlostí v ve směru osy x v = rychlost postupného vlnění doba jednoho kmitu prvního kyvadla = perioda kmitání T vzdálenost, do které se vlnění rozšíří za T = vlnová délka λ
= v ⋅T =
v f
f =
1 T
f = frekvence kmitání
Vznik postupné vlny: Všechny body kmitají se stejnou amplitudou a frekvencí, ale různou fází (stejnou fázi mají body vzdálené o násobky λ) λ = vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází
Typy postupného vlnění: a) Postupné vlnění příčné
102
• HB kmitají kolmo na směr šíření vlnění Např. pružná pevná tělesa ve tvaru tyčí a vláken provaz nebo hadice, jejíž jeden konec je rozkmitán vodní hladina b) Postupné vlnění podélné • HB kmitají ve směru šíření vlnění • vzniká v tělesech všech skupenství Např. zvuk Příklad: Urči rychlost vlnění, které má vlnovou délku 80 cm a je buzeno kmitáním o frekvenci 2 Hz.
Rovnice postupného vlnění Okamžitá výchylka závisí na: a) čase t b) vzdálenosti x od zdroje vlnění
τ
Do bodu M dospěje vlnění za dobu : τ Pro kmitání bodu M platí: Platí:
ω=
2π T
=
x v
x y = y m sin ω (t − τ ) = y m sin ω t − v
v ⋅T = λ Rovnice postupné vlny: Výraz
t x y = y m sin 2π − T λ
t x 2π − = fáze vlnění T λ
Interference vlnění = skládání vlnění
103
(skládání okamžitých výchylek) • dvě vlnění se stejnou frekvencí, stejným směrem šíření a na sobě nezávislým dráhovým posunem amplituda výsledného vlnění je největší v místech, v nichž se vlnění setkávají se stejnou fází (interferenční maximum) a nejmenší (i nulová), v nichž se vlnění setkávají s opačnou fází (interferenční minimum) Interference dvou vlnění o stejné vlnové délce λ, amplitudě y m a rychlosti v. zdroje Z 1 , Z 2 – mají různou polohu, ale kmitají se stejnou počáteční fází
t x1 − T λ
pro bod M platí: y1 = y m sin 2π
t x y 2 = y m sin 2π − 2 T λ Výsledek interference závisí na fázovém rozdílu vlnění Δ ϕ . Platí:
t x 2π t x (x1 − x2 ) = 2π d ∆ϕ = 2π − 2 − 2π − 1 = λ T λ λ T λ
Dráhový rozdíl (posun) d vlnění = vzdálenost dvou bodů, v nichž mají obě vlnění stejnou fázi Platí: d = (x 1 -x 2 ) Fázový rozdíl vlnění je přímo úměrný dráhovému rozdílu vlnění. Nejjednodušší postup Interference – grafické sečtení výchylek v jednotlivých bodech. Dráhový rozdíl = celistvý počet půlvln interferujících vlnění: a) je-li d = 2k
λ 2
= kλ , kde k = 0, 1, 2, …
b) je-li d = (2k + 1) λ
, kde k = 0, 1, 2, …
interferenční maximum
interferenční minimum
2
při stejné amplitudě výchylek se vlnění navzájem ruší Odraz vlnění v řadě bodů nastává na konci řady bodů, kterou se šíří postupné vlnění Odráží se:
104
a) na pevném konci s opačnou fází b) na volném konci se stejnou fází Stojaté vlnění Vzniká interferencí dvou vlnění: a) o stejné frekvenci a amplitudě b) postupující v opačných směrech • body ve stojaté vlně kmitají se stejnou (opačnou) fází a s různou amplitudou • v místě největší amplitudy je kmitna • bod v klidu je uzel • stojatým vlněním se nepřenáší energie Superpozice dvou stejných vlnění postupujících opačným směrem proti sobě:
kmitna M uzel · Dvě kmitny (uzly) jsou vzdáleny λ/2. Uzel a kmitna jsou vzdáleny λ/4.
Rozdíly mezi stojatým a postupným vlnění: 1. Postupné vlnění všechny body kmitají se stejnou amplitudou, ale různou fází, která je funkcí času každý následující bod dosahuje stejné výchylky později než bod předcházející fáze vlnění se šíří rychlostí v = fázová rychlost vlnění postupným vlněním se přenáší energie příčné x podélné 2. Stojaté vlnění všechny body mezi dvěma uzly kmitají se stejnou fází, ale s různou amplitudou závislou na poloze bodu energie se nepřenáší dochází k periodické změně potenciální energie pružnosti částic v kinetickou a naopak příčné x podélné (zhuštění částic v kmitnách, nekmitají v uzlech) Příklady stojatého vlnění: Strunné nástroje (housle, kytara) – zdrojem zvuku příčné stojaté vlnění struny.
105
Dechové nástroje (trubka, klarinet) – zdrojem zvuku podélné stojaté vlnění vzduchového sloupce v duté části nástroje = chvění. Chvění mechanických soustav = zvláštní případ stojatého vlnění Vzniká: • v tělesech v důsledku interference vlnění, které se odráží uvnitř tělesa • jen při určitých frekvencích, které jsou celistvými násobky základní frekvence určené geometrickými rozměry tělesa a) struna – pevné konce b) struna – pevné konce + dvojnásobná frekvence c) tyč s volnými konci d) tyč s volnými konci + liché násobky frekvence e) pružné těleso – jeden konec volný, druhý pevný f) pružné těleso – jeden konec volný, druhý pevný + liché násobky frekvence
Chladniho obrazce = chvění desek různého tvaru • v uzlech - částice Užití: konstrukce elektroakustických zařízení (membrány reproduktorů, sluchátek, mikrofonů atd.) Vlnění v izotropním prostředí izotropní prostředí – šíření vlnění má ve všech bodech a směrech stejné vlastnosti vlnoplocha = plocha, jejíž body kmitají se stejnou fází paprsek (kolmice k vlnoploše) – určuje směr šíření vlnění bodový zdroj vlnění rovinná vlnoplocha Huygensův princip
vlnění vycházející ze zdroje Z vytvoří vlnoplochu V 1 = zdroj elementárních vlnění EV navzájem se interferují interferencí se ruší ve všech bodem mimo vnější obálku všech elementárních vlnoploch = nová vlnoplocha V 2
Huygensův princip: Každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách. Vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch. Christian Huygens (1629 – 1695) vlastnosti světla - zvláštní druh vlnění
106
princip šíření světla geometrie, pravděpodobnost Odraz vlnění P = rozměrná neprostupná překážka Z = zdroj vlnění Z´ = zdánlivý obraz bodu Z
Odraz rovinné vlnoplochy
Odraz paprsku Zákon odrazu: Úhel odrazu vlnění se rovná úhlu dopadu. Platí: α
´= α
k = kolmice dopadu p, p´ = paprsek dopadajícího a odraženého vlnění, rovinu dopadu určuje k + p Odražený paprsek zůstává v rovině dopadu. Lom vlnění Po průchodu rozhraním dvou prostředí nastává změna směru vlnění. v 1 , v 2 = rychlost vlnění v 1. a 2. prostředí (v 1 > α = úhel dopadu β= úhel lomu v sin α = 1 = n 12 Zákon lomu: sin β v2
v2)
n = index lomu vlnění Ohyb vlnění Závisí na:
107
a)rozměrech překážky b)vlnové délce vlnění Platí: Ohyb je při určitém rozměru překážky a poloze pozorovatele tím výraznější, čím větší je vlnová délka vlnění. Příklad: zvuk λ z = 10 −1 m výraznější ohyb světlo λ s = 10 −7 m
zvukového vlnění
Zvukové vlnění
Akustika - vznik a šíření zvuku, vnímání sluchem Zvuk: mechanické vlnění, které vnímáme sluchem f = 16 Hz – 16 kHz Infrazvuk: f < 16 Hz Ultrazvuk: f >16 kHz Tři části přenosu zvuku: a) zdroj zvuku b) prostředí, kterým se zvuk šíří c) přijímač zvuku (lidské ucho) Zdroje zvuku - chvění pružných těles (tyče, struny, blány, desky) zvukové vlnění
přenos do okolního pružného prostředí
1) periodické zvuky = hudební zvuky (tóny) • zvuky hudebních nástrojů • samohlásky řeči (nejsou harmonické)
2) neperiodické zvuky = hluk • praskot, bušení, skřípání • souhlásky • šum
Šíření zvuku Ve vzduchu se zvuk šíří jako podélné postupné vlnění. Přenos zvuku – pouze v pružném látkovém prostředí.
108
Rychlost zvuku a) závislost na teplotě
vt = (331,82 + 0,61{t})m ⋅ s −1
- pro běžné teploty vzduchu b) závislost na látce
v = 340m ⋅ s −1
Vlastnosti zvuku a) výška tónu – určena frekvencí u jednoduchých tónů s harmonickým průběhem určuje frekvence absolutní výšku tónu základní tón = tón s nejnižší frekvencí relativní výška tónu = podíl frekvence daného tónu a srovnávacího tónu (referenční tón) v hudební akustice je referenční tón o f = 440 Hz (ozn. a1 – komorní a) b) hlasitost zvuková vlna = periodické stlačování a rozpínání pružného prostředí větší změny více rozkmitají bubínek a zvuk je hlasitější ucho je nejcitlivější na zvuky v intervalu 700 Hz – 6 kHz
akustický výkon: P =
∆E ∆t
[P] = W
ΔE = energie zvukového vlnění c) intenzita zvuku
I=
∆P ∆S
[I ] = W ⋅ m −2
Práh slyšení: P = 1 pW (pikowatt) Práh bolesti: P > 1 W Poměr největšího a nejmenšího akustického výkonu zvuku v oblasti největší citlivosti ucha je 1012 vyjádření v logaritmické stupnici v jednotkách bel(B) práh bolesti = 12 B. V praxi 10x menší jednotka = decibel (dB). Hladina akustického výkonu = poměr akustického výkonu P daného zvuku k akustickému výkonu P0, který určuje práh slyšení.
Lw = 10 log
P P0
109
prahu slyšení odpovídá 0 dB prahu bolesti 120 dB
Lw = 10 log
1 dB = 120dB 10 −12
Dopplerův jev vzniká při vzájemném pohybu zdroje zvuku a přijímače zvuku při vzájemném přibližování - přijímaná frekvence zvuku vyšší při vzájemném vzdalování - přijímaná frekvence zvuku nižší
při pohybu zdroje zvuku nadzvukovou rychlostí vzniká rázová vlna = akustický třesk
110
Cvičení Mechanické kmitání 1.
Za 24 s vykonalo první kyvadlo 12 kmitů a druhé 16 kmitů. Urči periody a frekvence obou kyvadel.
2.
Harmonické kmitání oscilátoru je popsáno rovnicí {y} = 8 sin 4π {t}. Urči amplitudu výchylky a frekvenci oscilátoru.
3.
Napiš rovnici harmonického kmitání, je-li amplituda kmitání 5 cm a jeho perioda 0,5 s.
4. a) b) c) d)
Amplituda výchylky harmonického kmitavého pohybu závaží na pružině je 0,02 m a doba kmitu 1 s. Napiš rovnici pro okamžitou výchylku. Jak dlouho trvá pohyb závaží z rovnovážné polohy do polohy krajní? Za jakou dobu vykoná závaží první polovinu této dráhy? Za jakou dobu vykoná druhou polovinu uvažované doby?
5.
Napiš rovnice rychlosti a zrychlení harmonického kmitání, je-li v počátečním okamžiku y=0.
6.
Hmotný bod koná harmonický kmitavý pohyb s amplitudou výchylky 10 cm a s periodou 2 s. Urči výchylku, rychlost a zrychlení bodu v čase 0,2 s od začátku pohybu. Počáteční fáze kmitavého pohybu je rovna nule. 1 1 Hmotný bod vykonává harmonický kmitavý pohyb. Pro jeho výchylku platí: {y} = 0,2 ⋅ sin π {t} + π 4 3 Urči amplitudu výchylky, periodu a počáteční fázi kmitavého pohybu.
7. 8.
Urči fázi hmotného bodu vykonávající harmonický kmitavý pohyb s periodou 0,5 s, jestliže od začátku kmitání uplynula doba 0,05 s. Počáteční fáze kmitavého pohybu je rovna nule.
9.
Těleso zavěšené na pružině o tuhosti 50 N.m-1 vykoná 50 kmitů za 64 s. Urči hmotnost tělesa.
10. Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, jestliže zkrátíme jeho délku o 25 % původní délky? 11. Kyvadlo je tvořeno nití, na jejímž konci je zavěšena kulička. Jak musíme změnit délku niti, aby perioda kmitů vzrostla na dvojnásobek? 12. Za tutéž dobu vykoná jedno kyvadlo 50 kmitů a druhé 30 kmitů. Urči délku kyvadel, jestliže rozdíl jejich délek je 32 cm. Výsledky: 1)2 s, 0,5 Hz, 1,5 s, 0,67 Hz 2)8 cm, 2 Hz −2 3) {y} = 5 ⋅10 sin 4π {t}
111
4) a) {y} = 0,02 sin 2π {t}, b) ¼ s, c) 1/12 s, d) 1/6 s
−2 −2 2 5) {v} = 6 ⋅ 10 π cos π {t}, {a} = −6 ⋅10 π sin π {t} 6) 0,059 m, 0,25 m.s-1, 0,58 m.s-2 7) 0,2 m, 6 s, 1/4 π rad 8) 0,63 rad 9) 2,1 kg 10) T 2 = 0,87 T 1 11) 4x prodloužit 12) 18 cm, 50 cm
Mechanické vlnění 1. 2.
Urči rychlost vlnění v mosazné tyči, jestliže při frekvenci 2,5 kHz vzniká vlnění o vlnové délce 1,36 m. Jaká je amplituda výchylky, perioda, frekvence, vlnová délka a rychlost vlny vyjádřené rovnicí
3.
Jakou rovnici má vlna, jejíž frekvence je 30 Hz a amplituda 2 cm, jestliže postupuje v kladném směru osy x rychlostí 3 m.s-1?
4.
Zdroj vlnění kmitá s frekvencí 0,4 Hz a s amplitudou 5 cm. V počátečním okamžiku má nulovou výchylku i počáteční fázi. Urči výchylku bodu vzdáleného 45 cm od zdroje v čase 12 s od počátečního okamžiku, jestliže vlnová délka vlnění je 6O cm. Napiš rovnici postupné vlny.
{y} = 4.10 −2 sin 2π (8{t} − 5{x})
Výsledky: 1) 3 400 m.s-1 2) 4.10-2m, 1/8 s, 8 Hz, 0,2 m, 1,6 m.s-1 3) {y} = 0,02 sin 2π (30{t} − 10{x}) 4) 1,55cm,
{y} = 5 ⋅ 10 −2 sin 2π 0,4{t} −
1 {x} 0,6
Zvukové vlnění 1.
Ze zdroje zvuku se ve vodě šíří vlnění s periodou 2 ms a s vlnovou délkou 2,9 m. Jak velká je rychlost zvuku ve vodě?
2.
Zvuk o frekvenci 200 Hz se šíří ve vodě rychlostí o velikosti 1 450 m.s-1. Urči vlnovou délku zvukových vln.
3.
Uslyšíme zvuk, jehož vlnění je popsáno rovnicí {y} = 0,05 sin (1980{t} − 6{x}) ? Vypočti jeho vlnovou délku a rychlost.
Výsledky: 1) 1 450 m.s-1 2) 7,25 m 3) 315 Hz leží v pásmu 16 Hz – 16 kHz je slyšitelné, 1,05 m, 330 m.s-1
112
