Kijelent´eslogika I. 2004. szeptember 24.
Funktorok A term´eszetesnyelvi mondatok gyakran ¨ osszetettek: tov´abbi mondatokb´ol, v´egs˝o soron pedig atomi mondatokb´ ol ´ep¨ ulnek fel. Az ¨osszetev˝o mondatokat mondatkonnekt´ıvumok kapcsolj´ak ¨osszetett mondatt´a. E konnekt´ıvumokat olyan nyelvi kifejez´eseknek tekinthetj¨ uk, amelyeknek egy vagy t¨obb kit¨olt´esre v´ar´o, mondattal kit¨oltend˝o u ¨res hely¨ uk van. Pl. az (1) Ugat a kutya mert valaki j´ar a h´az k¨or¨ ul mondat k´et ¨osszetev˝ob˝ol ´all: ugat a kutya ´es valaki j´ ar a h´ az k¨ or¨ ul, amelyeket a mert elem kapcsol ¨ossze. Az ilyen, egyszer˝ ubb mondatokb´ol komplexebbeket k´epez˝o nyelvi elemeket mondatfunktornak nevezz¨ uk. Azonban nemcsak olyan mondatfunktorok l´eteznek, amelyek k´et argumentumot k´ıv´annak meg. A k¨ovetkez˝o mondatban pl. a nem igaz, hogy mondatfunktor csak egy mondatot v´ar, ´es abb´ol k´epez komplexebb mondatot: (2) Nem igaz, hogy J´anos beteg Logikai szempontb´ol azok a mondatfunktorok ´erdekesek, amelyek szisztematikusan m˝ uk¨odnek argumentumaikon. Ez a szisztematikuss´ag azt jelenti, hogy az ¨osszetev˝ok jelent´es´eb˝ol valamint az ¨osszetev´es mik´entj´eb˝ol kisz´ am´ıthat´ o az osszetett kifejez´es jelent´ese. Ezt szem el˝ott tartva ahhoz a hipot´ezishez ju¨ tunk, amelynek ´altal´anos megfogalmaz´asa a Gottlob Frege nev´ehez f˝ uz˝od˝o kompoz´ıcionalit´ asi elv: Egy ¨osszetett kifejez´es jelent´ese valamilyen f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel el˝o´all´ıthat´o az ¨osszetev˝ok jelent´es´enek ´es az ¨osszet´etel m´odj´anak az ismeret´eben. Ennek az ´altal´anos elvnek bizonyos szempontb´ol elfajul´o aleset´et fogjuk most alkalmazni, ahol a kifejez´est” a mondattal, az atomi mondatok jelent´es´et” ” ” az igazs´ag´ert´ek¨ ukkel, az ¨osszet´etel m´odj´at” pedig egy saj´atos mondatfunktor” oszt´aly, az igazs´ agfunktorok tagjainak alkalmaz´as´aval azonos´ıtjuk. K´es˝obb fokozatosan haszn´alatba vessz¨ uk az elv ´altal´anos alakj´at is. Az igazs´agfunktorok igazs´ag´ert´ekeken oper´al´o igazs´ agf¨ uggv´ enyeket denot´ alnak (jel¨ olnek). Ugyanazt az igazs´agf¨ uggv´enyt k¨ ul¨onb¨oz˝o funktorok is denot´alhatj´ak.
1
Kijelent´ eslogikai szerkezet Egy term´eszetesnyelvi sz¨oveg propozicion´alis-logikai szerkezet´enek el˝o´all´ıt´asa k´et ¨osszef¨ ugg˝o l´ep´est tartalmaz. Egyfel˝ol a sz¨ovegben el˝ofordul´o elemi propoz´ıci´ok azonos´ıt´as´at, m´asfel˝ol pedig az azokat ¨osszekapcsol´o igazs´agfunktorok ´altal kialak´ıtott hierarchikus strukt´ ura meghat´aroz´as´at. Ezek a l´ep´esek a k¨ovetkez˝o komplik´aci´okkal j´arhatnak: 1. Az elemi propoz´ıci´ok meghat´aroz´asa: a sz¨oveg mondatait gyakran ´at kell alak´ıtani ahhoz, hogy eljussunk a legbels˝o” propoz´ıci´okat kifejez˝o mon” datokhoz. Ez azt is jelenti, hogy explicitt´e kell tenni k¨ ul¨onb¨oz˝o oda´ertett inform´aci´okat (n´evm´asok, stb.) 2. A hierarchikus szerkezet meghat´aroz´asa: a propoz´ıci´okat kifejez˝o mondatok csoportos´ıt´asa gyakran nem teljesen egy´ertelm˝ u az eredeti sz¨ovegben.
Neg´ aci´ o (3) Nem igaz, hogy J´anos katona. Itt a nem igaz, hogy a J´ anos katona mondatot m´odos´ıtja, ´es azt mondjuk, hogy a tagad´as hat´ ok¨ ore az eg´esz mondat. Gyakran azonban a m´odos´ıt´ o nem mondatm´odos´ıt´ok´ent jelenik meg, hanem csak az ´all´ıtm´any m´odos´ıt´ojak´ent: (4) J´anos nem katona. Ebben az esetben a tagad´as hat´ok¨ore nem az eg´esz mondat, csak az ´all´ıtm´any. Mivel a neg´aci´o egy mondat igazs´ag´ert´ek´en oper´al, formaliz´al´askor gyakran meg kell tudnunk ´allap´ıtani, hogy mi is a neg´aci´o hat´ok¨or´eben ´all´o mondat. [feladatsor] A neg´aci´o egyargumentum´ u (un´aris) igazs´agf¨ uggv´eny, amely csak akkor ad kimenet¨ ul igaz-at, ha az argumentum igazs´ag´ert´eke a hamis.
Konjunkci´ o Ha k´et mondatot olyan konnekt´ıvummal kapcsolunk ¨ossze ¨osszetett mondatt´a, hogy a keletkez˝o ¨osszetett mondat pontosan akkor igaz, amikor mindk´et ¨osszetev˝oje is az, akkor azt mondjuk, hogy a k´et mondatot konjug´altuk (vagy, hogy konjunkci´o kapcsolja ˝oket ¨ossze). A konjunkci´ ot a magyarban gyakran (de nem mindig) az ´es k¨ot˝osz´oval fejezz¨ uk ki. (Az is igaz viszont, hogy az ´es-nek m´as, nem konjunkci´ot kifejez˝o funkci´oi is vannak.) [feladatsor] A konjunkci´o olyan k´etargumentum´ u (bin´aris) igazs´agfunktor, amelynek igazs´agf¨ uggv´enye csak akkor adja az igaz-at kimenet¨ ul, ha mind a k´et argumentum´anak igazs´ag´ert´eke az igaz. 2
Diszjunkci´ o (altern´ aci´ o) A diszjunkci´o k´et tagmondatot oly m´odon kapcsol ¨ossze, hogy a kapott ¨osszetett mondat akkor igaz, ha legal´abb az egyik tagmondata igaz. K´et fajt´aj´aval tal´alkozunk gyakran. Megenged˝ o ‘vagy’ Ez a fajta lehet˝ov´e teszi azt is, hogy mindk´et tagmondat igaz legyen. (5) Mari ´enekel vagy Hug´o a macsk´at ny´ uzza. (6) A 8 oszthat´o 2-vel vagy 4-gyel. (7) Elfogyott a benzin vagy t¨onkrement a gyertya. Kiz´ ar´ o ‘vagy’ A kiz´ar´o ‘vagy’ — mint a neve is mutatja — olyan diszjunkci´o, amely megtiltja a k´et tagmondatnak, hogy egyszerre igaz legyen. Ez a jelent´es abban az esetben egy egyszer˝ u ‘vagy’ seg´ıts´eg´evel is kifejezhet˝o, ha egy´ebk´ent kiz´art, hogy a k´et tagmondat egyszerre igaz legyen. (8) Ez a k¨onyv vagy J´osk´a´e, vagy Laci´e. (9) J´anos ´eppen angolul vagy franci´aul besz´el. (10) Vagy vihar van, vagy h´et´agra s¨ ut a Nap. A k´et t´ıpus k¨oz¨ ul a ‘megenged˝o’ haszn´alat j´ar kevesebb elk¨otelezetts´eggel, ez´ert a diszjunkci´o denot´alta igazs´agf¨ uggv´enyt u ´gy szokt´ak megfogalmazni, hogy ezt a haszn´alatot kodifik´alja: a diszjunkci´o olyan bin´aris igazs´agfunktor, amelynek igazs´agf¨ uggv´enye csak akkor adja a hamis-at kimenet¨ ul, ha mind a k´et argumentum´anak ´ert´eke a hamis.
Kondicion´ alis (materi´ alis implik´ aci´ o) Az olyan igazs´agfunktorok, amelyek k´et mondatot u ´gy k¨otnek ¨ossze (leggyakrabban a ha... akkor... kifejez´esek seg´ıts´eg´evel), hogy az egyik mondat (az antecedens vagy el˝ otag) igazs´aga kik´enyszer´ıtse a m´asik mondat (a konzekvens vagy ut´ otag) igazs´ag´at, a kondicion´alis t´ıpus´aba tartoznak. Ez a kik´enyszer´ıt´es” ” sokf´elek´eppen t¨ort´enhet. A kontrafaktu´ alis kondicion´alisok eset´eben p´eld´aul gyakran valamilyen fizikai t¨orv´enyszer˝ us´eg biztos´ıtja, hogy az antecedens igazs´aga az ut´otag igazs´ag´at vonja maga ut´an: (11) Ha ezt a f´emrudat meleg´ıten´enk, akkor kit´agulna. Sokszor azonban nem lehet ilyen t¨orv´enyszer˝ us´eget meg´allap´ıtani: (12) Ha te bej¨ossz , akkor ´en kimegyek .
3
Azt azonban most is fel lehet t´etelezni, hogy a besz´el˝o azt ´all´ıtja, hogy az nem ” lehets´eges, hogy te bej¨ossz, ´en meg nem megyek ki”, azaz a te bej¨ ossz mondat igazs´aga nem f´er ¨ossze az ´en kimegyek mondat tagad´as´aval. Ezt a minden kondicion´alisban minim´alisan k¨oz¨os jelent´eselemet ragadja meg a materi´alis implik´aci´o igazs´agf¨ uggv´enye, amely u ´gy fogalmazhat´o meg, hogy a kondicion´alis el˝otagj´anak igazs´aga ´es az ut´otag hamiss´aga hamiss´a teszi az eg´esz kondicion´alist. Mi a helyzet akkor, amikor a kondicion´alis el˝otagja hamis? N´ezz¨ unk egy p´eld´at. (13) Ha beteg vagyok, akkor elmegyek az orvoshoz. Tegy¨ uk fel, hogy nem vagyok beteg, ´es nem megyek el az orvoshoz. Hamis-e ek´ ha nem vagyok beteg, de m´egis elmegyek valami´ert kor a fenti kondicion´alis? Es az orvoshoz? A kondicion´alis teh´at csak akkor adja kimenetk´ent a hamis-at, ha antecedens´enek ´ert´eke az igaz, konzekvens´e´e pedig a hamis. Sz¨ uks´ eges felt´ etel, el´ egs´ eges felt´ etel A kondicion´alis el˝otagja az ut´otag el´ egs´ eges felt´ etele, m´ıg az ut´otag az el˝otag sz¨ uks´ eges felt´ etele. (14) Ha esik az es˝o, akkor vizes a j´arda. Az esik az es˝ o mondat a vizes a j´ arda mondat el´egs´eges felt´etele, m´ıg a vizes a j´ arda mondat az esik az es˝ o mondat sz¨ uks´eges felt´etele. A sz¨ uks´eges felt´etelt latinul sine qua non felt´etelnek is szok´as nevezni. Ez az elnevez´es j´ol t¨ ukr¨ozi a sz¨ uks´eges felt´etel l´enyeg´et: az, ami n´elk¨ ul valami nem lehet igaz. Ha az (14) kondicion´alis igazs´ag´at elfogadjuk, akkor az esik az es˝ o mondat val´oban nem tud igaz lenni a vizes a j´ arda mondat igazs´aga n´elk¨ ul, hiszen a kondicion´alis ´eppen azt ´all´ıtja, hogy az esik az es˝ o mondat igazs´aga kik´enyszer´ıti a vizes a j´ arda mondat igazs´ag´at. A fenti kondicion´alis teh´at kifejezi, hogy a vizes a j´ arda mondat az esik az es˝ o mondat sz¨ uks´eges felt´etele. Ha azt szeretn´enk mondani, hogy az esik az es˝ o kijelent´es sz¨ uks´eges felt´etele a vizes a j´ arda kijelent´esnek (ez a val´os´agban nem all, hiszen a j´arda nemcsak es˝ot˝ol lehet vizes), akkor a magyarban a ´ (15) Csak akkor esik az es˝o , ha vizes a j´arda . form´at haszn´aljuk.
Bikondicion´ alis Ha k´et kijelent´es olyan viszonyban ´all, hogy egym´as sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelei, akkor ezt az akkor ´es csakis akkor... ha... funktorral szoktuk kifejezni. Pl. (16) x akkor ´es csakis akkor p´aros, ha x oszthat´o 2-vel. 4
Ez a jelent´es u ´gy is kifejezhet˝o, ha a csak -ot elhagyjuk, de az akkor -ra nyomat´ekot tesz¨ unk: (17) ’Akkor megyek, ha te is j¨ossz. Ezt a funktort bikondicion´alisnak szokt´ak nevezni, ´es igazs´agf¨ uggv´enye pontosan azokban az esetekben ad igaz-at, amikor argumentumainak igazs´ag´ert´eke megegyezik (mindkett˝o az igaz, vagy mindkett˝o a hamis).
Feladatok Frod´o elviszi a Gy˝ ur˝ ut Mordorba, ha Gandalf ´es Aragorn seg´ıtenek neki, ´es senki nem h´atr´altatja. A Gy˝ ur˝ u nem pusztul el, kiv´eve ha beledobj´ak Mordor t˝ uzh´any´oj´aba. Legolas ´es Gimli nem kedveli egym´ast, ´am ¨osszefognak a k¨ uldet´es ´erdek´eben. Ha Szauron vagy Szarum´an birtok´aba ker¨ ul a Gy˝ ur˝ u, K¨oz´epf¨olde elveszett. Nem mindenki seg´ıti Frod´ot. Borom´ır vagy Gollam el fogja ´arulni Frod´ot.
5
