Keunggulan Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika melalui Lagrangian dan atau Hamiltonian dibanding Melalui Pengkajian Newton Nugroho Adi P January 19, 2010
1
Pendekatan Penyelesaian Masalah Fisika
1.1
Pengkajian Newton
Pengkajian Newton berdasarkan pada Hukum-hukum Newton dan yang terkait dengannya. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah sebuah sistem fisis melalui pendekatan ini secara umum adalah sebagai berikut: 1. Gambarkan sistem yang ditinjau 2. Buat diagram benda bebas untuk masing-masing benda yang ditinjau di sistem tersebut 3. Identifikasi gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing benda 4. Tentukan resultan gaya yang bekerja pada masing-masing benda biasanya berbentuk X Fi = mi ai (1) dengan subscipt i mengacu pada benda ke-i 5. Berdasarkan resultan gaya tersebut dapat dicari penyelesaian sesuai dengan yang diminta misal mencari kecepatan pada saat t menggunakan persamaan m
dv dt
= F,
(2)
kecepatan pada saat r menggunakan persamaan mv
dv dr
= F,
(3)
posisi pada saat t menggunakan persamaan m
d2 r dt2
usaha, energi dan sebagainya. 1
= F,
(4)
Dari langkah-langkah tersebut terlihat bahwa dalam pengkajian Newton, sangat penting untuk mengetahui gaya-gaya yang bekerja pada sebuah benda dalam suatu sistem fisis. Secara umum, pada pengkajian Newton, begitu resultan gaya dari sebuah benda pada sebuah sistem diketahui, maka masalah yang dikaji pada benda tersebut akan dapat diselesaikan.
1.2
Lagrangian dan Hamiltonian
Pendekatan penyelesaian suatu masalah fisika melalui pengkajian Lagrangian atau Hamiltonian memiliki langkah-langkah sebagai berikut 1. Gambar sistem yang ditinjau 2. Tentukan koordinat umum 3. Cari energi kinetik total sistem, nyatakan dalam koordinat umum 4. Cari energi potensial total sistem, nyatakan dalam koordinat umum 5. Tentukan L dengan L = T −V
(5)
6. Gunakan Persamaan Lagrange ∂L d ∂L − dt ∂ q˙i ∂qi
=
0
(6)
7. Selesaikan persamaan differensial yang diperoleh. Perlu diperhatikan bahwa, tergantung dari jumlah koordinat umum dan bentuk L, hasil dari langkah (6) mungkin merupakan sistem persamaan dan lebih dari satu persamaan. Jika menggunakan Hamiltonian maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut 1. Cari Lagrangian 2. Hitung momentum umum dengan menurunkan L terhadap kecepatan 3. Nyatakan kecepatan umum dalam suku momentum umum dengan membalik pernyataan dalam langkah (2) 4. Hitung Hamiltonan menggunakan H
X
=
pi q˙i − L
(7)
i
5. Terapkan persamaan Hamilton ∂H ∂q ∂H ∂p
p˙
= −
(8)
q˙
=
(9)
Dari langkah-langkah tersebut, secara umum, pengkajian Lagrangian atau Hamiltonian dari suatu sistem memerlukan pengetahuan tentang energi kinetik dan energi potensial dari sistem tersebut. Selain itu, dalam prosesnya penghitungan dan hasil penghitungan dalam Lagrangian atau Hamiltonian dinyatakan dalam bentuk koordinat umum. Koordinat umum ini belum tentu memiliki dimensi jarak (misal: sudut) 2
2
Perbandingan Pengkajian Lagrangian dan atau Hamiltonian dengan Pengkajian Newton
Tinjau sebuah ayunan dengan massa m1 dan panjang tali l, jika kita ingin mengetahui posisi m1 pada saat t maka pengkajian Newton, setelah mengidentifikasi gaya-gaya yang ada, memberikan X m1 ax = Fx (10) m1 aa ax
= −m1 g sin θ
(11)
= −g sin θ
(12)
sedangkan pengkajian Lagrangian dengan koordinat umum θ dengan x =
l cos θ
y
l sin θ
=
memberikan 1 m1 l2 θ˙2 + m1 gl cos θ 2
L =
d ∂L ∂L − = 0 dt ∂ θ˙ ∂θ m1 l2 θ¨ + m1 gl sin θ = 0 lθ¨ = −g sin θ
(13) (14) (15) (16)
Dari penghitungan di atas, kedua pendekatan memberikan hasil yang setara. Pendekatan Newton lebih mudah digunakan dalam sistem fisis ini tanpa melibatkan penghitungan yang cukup rumit. Pendekatan Lagrangian terhadap sistem ini relatif lebih rumit daripada pendekatan Newton karena melibatkan penurunan persamaan Lagrange. Kerumitan lain pendekatan Lagrange di sistem ini adalah penggunaan koordinat umum yang menyebabkan kita tidak bisa secara langsung mengetahui nilai x dan y. Untuk sistem sederhana, terlihat bahwa pendekatan Newton memiliki banyak keunggulan kerena kesederhanaan dan kemudahan penghitungannya. Misal pada sistem ayunan diatas dilakukan sedikit modifikasi, yaitu pangkal ayunan bebas bergerak secara horizontal sepanjang sumbu-x. Pada pangkal ayunan tersebut diberi massa m0 yang juga bebas bergerak mengikuti pangkal ayunan yang juga bebas bergerak tersebut. Untuk mengetahui posisi m0 dan m1 pada sistem tersebut menggunakan pendekatan Newton akan memerlukan penjabaran yang sangat panjang yang melibatkan konsep torsi dan atau koordinat non-inersial. Hal ini disebabkan karena gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda merupakan fungsi waktu dan fungsi dari posisi benda yang lain. Jika menggunakan pendekatan Lagrangian, kita hanya perlu menambahkan satu koordinat umum yaitu x0 dan memodifikasi hubungan x =
x0 + l cos θ (17)
3
dan menambahkan persamaan d ∂L ∂L − dt ∂ x˙ 0 ∂x0
=
0
(18)
Di sini mulai nampak kelebihan dari pendekatan Lagrangian dibanding Newton. Hal ini disebabkan karena ketika menggunakan pendekatan Newton kita kesulitan untuk mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja, pada pendekatan Lagrangian, kita hanya perlu mengidentifikasi energi-energi yang ada yang, pada prakteknya, relatif lebih mudah dilakukan. Misal pada sistem awal kita lakukan modifikasi yang lain, yaitu dengan mengganti tali dengan pegas. Dengan pendekatan Newton, penyelesaian untuk mencari posisi m1 sangat sulit dilakukan. Hal ini disebabkan oleh kesulitan kita mengidentifikasi nilai gaya-gaya yang bekerja pada m1 . Dengan pendekatan Lagrangian kita hanya perlu menambahkan satu koordinat umum yaitu l dan menambahkan persamaan d ∂L ∂L − dt ∂ l˙ ∂l
=
0
(19)
dan jika pangkal dari ayunan pegas ini bisa bergerak bebas dan memiliki massa m0 maka, jika menggunakan pendekatan Lagrangian, kita hanya perlu menambahkan satu koordinat umum lagi yaitu x0 dan memodifikasi hubungan x =
x0 + l cos θ (20)
dan menambahkan persamaan d ∂L ∂L − dt ∂ x˙ 0 ∂x0
=
0
(21)
dan menyelesaiakan persamaan differensial yang diperoleh untuk mendapatkan x0 , θ dan l sehingga posisi m0 dan m1 setiap saat diketahui. Perlu diperhatikan bahwa dengan menggunakan pendekatan Lagrangian, kita sama sekali tidak perlu mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda. Yang perlu kita ketahui adalah energi sistem. Hal tersebut sangat menguntungkan karena ada sistem-sistem yang sulit untuk diidentidikasi gaya-gaya yang bekerja padanya.
3
Kesimpulan
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa pendekatan penyelesaian suatu masalah fisika saat ditinjau melalui pengkajian mekanika klasik Lagrangian atau Hamiltonian memiliki beberapa kelebihan dibanding melalui pengkajian Newton. Pengkajian suatu sistem fisis dengan pendekatan Newton akan mengalami masalah jika gaya pada sistem tersebut tidak diketahui atau gaya pada sistem tersebut merupakan bagian dari masalah yang harus diselesaikan, karena metode Newton mengharuskan untuk mengetahui resultan gaya yang bekerja pada benda sistem tersebut. Di sisi lain, pendekatan dengan Lagrangian atau Hamiltonian untuk sistemsistem yang sederhana mungkin terlihat terlalu berlebihan karena memiliki 4
langkah yang jauh lebih banyak daripada jika didekati dengan pengkajian Newton. Meski demikian, pengkajian dengan Lagrangian atau Hamiltonian terbukti ampuh untuk sistem-sistem fisis yang rumit.
5
