´ ´ ˝ EGSZ ´ ´ ´ ´ VALOSZ INUS AM ITAS
¨ Osszefoglal´ o – seg´edlet
K´esz´ıtette: Fegyverneki S´andor
Miskolci Egyetem, 2001. i
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as
¨ ESEK: ´ JELOL N – a term´eszetes sz´amok halmaza (pozit´ıv eg´eszek) R – a val´os sz´amok halmaza R2 – {(x, y)|x, y ∈ R} A ⊂ B – az A r´eszhalmaza a B-nek A ∩ B – az A ´es B halmaz k¨oz¨ os r´esze A ∪ B – az A ´es B halmaz ¨osszes eleme egy halmazban A – az alaphalmaz A halmazon k´ıv¨ uli elemei A\B – A ∩ B F (a + 0) – a jobboldali hat´ar´ert´ek, azaz F (a − 0) – a baloldali hat´ar´ert´ek, azaz
lim F (x)
x→a+0
lim F (x)
x→a−0
exp(x) – ex f (·) : D → R – az f lek´epez´es, D az ´ertelmez´esi tartom´any, a ”pont” a v´altoz´ot helyettes´ıti f (D) – az f lek´epez´es ´ert´ekk´eszlete
ii
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as
´ ´ ˝ EG ´ FOGALMA A VALOSZ INUS Defin´ıci´ o: Egy v´eletlen k´ıs´erlet lehets´eges eredm´enyeinek ¨osszes´eg´et esem´enyt´ernek (mintat´er) nevezz¨ uk. Jele: Ω. Az Ω elemeit elemi esem´enyeknek nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o: Az Ω r´eszhalmazainak egy F rendszer´et σ-algebr´ anak nevezz¨ uk, ha (1) Ω ∈ F, (2) A ∈ F, akkor A ∈ F, (3) A1 , A2 , . . . ∈ F , akkor A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ F. Az F elemeit pedig esem´enyeknek nevezz¨ uk. Megjegyz´ es: Ha A, B ∈ F, akkor A ∩ B ∈ F . Defin´ıci´ o: Az Ω-t szok´as biztos esem´enynek, az ∅-t pedig lehetetlen esem´enynek nevezni. Tov´abb´ a, az A esem´eny bek¨ ovetkezik, ha a k´ıs´erlet eredm´enye eleme az A halmaznak. Megjegyz´ es: Az A∪B esem´eny bek¨ovetkezik, ha legal´abb az egyik k¨oz¨ ul¨ uk bek¨ovetkezik, m´ıg az A ∩ B esem´eny akkor k¨ovetkezik be, ha mind a kett˝o bek¨ovetkezik. Defin´ıci´ o: A P : F → R nemnegat´ıv lek´epez´est val´osz´ın˝ us´egnek nevezz¨ uk, ha (1) P (Ω) = 1, (2) A ∩ B = ∅, akkor P (A ∪ B) = P (A) + P (B), (3) A1 , A2 , . . . egym´ast k¨olcs¨ on¨osen kiz´ar´ o esem´enyek (azaz Ai ∩ Aj = ∅, ha i < j ´es i, j = 1, 2, . . .), akkor
P
̰ [
! Ai
=
i=1
∞ X i=1
1
P (Ai ).
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as LEMMA: (1) P ( A ) = 1 − P (A). (2) P (∅) = 0. (3) P (B\A) = P (B) − P (A ∩ B). (4) Ha A ⊂ B, akkor P (A) ≤ P (B). (5) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). (6) Ha Bn+1 ⊂ Bn ´es
∞ \
Bn = ∅, akkor lim P (Bn ) = 0. n→∞
i=1
Defin´ıci´ o: Az (Ω, F, P ) h´armast val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ onek nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o: Ha az elemi esem´enyek sz´ama v´eges ´es val´ osz´ın˝ us´eg¨ uk megegyezik, akkor a val´osz´ın˝ us´egi mez˝ot klasszikusnak nevezz¨ uk. Megjegyz´ es: Legyen |Ω| = n ´es jel¨olje az elemi esem´enyeket ωi (i = 1, 2, . . . , n). Ekkor à n ! n [ X 1 = P (Ω) = P {ωi } = P ({ωi }) = nP ({ωi }). i=1
i=1
1 (i = 1, 2, . . . , n). n Defin´ıci´ o: Bernoulli k´ıs´erletsorozatnak nevezz¨ uk azt, ha adott A ∈ F ´es egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul, azonos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ ott elv´egezz¨ uk ugyanazt a k´ıs´erletet, s ”csak” azt figyelj¨ uk, hogy az A esem´eny bek¨ovetkezett-e vagy sem. Teh´at P ({ωi }) =
P´ elda: 1. Visszatev´eses mintav´etel: Adott N darab k¨ ul¨ onb¨ oz˝o objektum, amelyek k¨oz¨ ul s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdons´aggal, p´eld´aul selejt. Visszatev´essel kivesz¨ unk n darabot. Legyen a kivett selejtek sz´ama ξ. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ξ = k, ahol 0 ≤ k ≤ n. µ ¶ n k s (N − s)n−k k P (ξ = k) = . Nn 2. Visszatev´es n´elk¨ uli mintav´etel: Adott N darab k¨ ul¨ onb¨oz˝ o objektum, amelyek k¨oz¨ ul s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdons´aggal, 2
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as p´eld´aul selejt. Visszatev´es n´elk¨ ul kivesz¨ unk n darabot. Legyen a kivett selejtek sz´ama ξ. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy ξ = k, ahol 0 ≤ k ≤ min{n, s}. µ ¶µ ¶ s N −s k n−k µ ¶ P (ξ = k) = . N n ´ TETEL: (Poincar´ e) Az A1 , A2 , . . . , An esem´enyekre à n ! n k [ X X \ k−1 P Ai = (−1) P Aij , i=1
i1
k=1
j=1
ahol az ¨osszegz´est az ¨osszes lehets´eges {i1 , i2 , . . . , ik } ⊂ {1, 2, . . . , n} esetre tekintj¨ uk. Defin´ıci´ o: Az A esem´eny B felt´etel melletti felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg´enek nevezz¨ uk a P (A ∩ B) P (A|B) = P (B) mennyis´eget, ha P (B) > 0. Megjegyz´ es: A P (·|B) : F → R lek´epez´es t´enyleg val´ osz´ın˝ us´eg. n−1 \
LEMMA: Ha az A1 , A2 , . . . , An esem´enyrendszerre P (
Ai ) > 0, akkor
i=1
P(
n \
Ai ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) · · · P (An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ).
i=1
Defin´ıci´ o: Az A1 , A2 , . . . esem´enyrendszert teljes esem´enyrendszernek ∞ [ nevezz¨ uk, ha Ai ∩ Aj = ∅, ha i < j ´es i, j = 1, 2, . . . , ´es Ai = Ω. i=1
´ TETEL: (teljes val´ osz´ın˝ us´ eg) Ha A1 , A2 , . . . teljes esem´enyrendszer ´es P (Ai ) > 0, ha i = 1, 2, . . . , akkor tetsz˝oleges B esem´eny eset´en ∞ X P (B) = P (B|Ai )P (Ai ). i=1
3
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´ TETEL: (Bayes) Ha A1 , A2 , . . . teljes esem´enyrendszer ´es P (Ai ) > 0, ha i = 1, 2, . . . , akkor tetsz˝oleges pozit´ıv val´ osz´ın˝ us´eg˝ u B esem´eny eset´en P (B|Ak )P (Ak ) P (Ak |B) = P∞ . i=1 P (B|Ai )P (Ai ) Megjegyz´ es: A Bayes-t´etelhez kapcsol´od´oan bevezethetj¨ uk a k¨ovetkez˝o elnevez´eseket: P (Ai ) az u ´n. a-priori val´osz´ın˝ us´eg ´es P (Ai |A) az u ´n. a-posteriori val´osz´ın˝ us´eg. Defin´ıci´ o: Az A ´es B esem´enyt sztochasztikusan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha P (A ∩ B) = P (A)P (B). Az A1 , A2 , . . . , An esem´enyeket p´ aronk´ent sztochasztikusan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj )
(1 ≤ i < j ≤ n).
Az A1 , A2 , . . . , An esem´enyeket teljesen sztochasztikusan f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · · · P (Aik ), ahol 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n,
2 ≤ k ≤ n.
P´ elda: Ha az A ´es B esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor A ´es B, A ´es B ´es A ´es B is f¨ uggetlenek. LEMMA: Ha A1 , A1 , . . . , An f¨ uggetlen esem´enyek ´es P (Ai ) < 1 (i = n [ 1, 2, . . . , n), akkor P ( Ai ) < 1. i=1
Bizony´ıt´ as: Ã P
n [ i=1
! Ai
n [
=P
Ai =1−P
i=1
à =1−P
n [
Ai =
i=1
n \ i=1
4
! Ai
=1−
n Y i=1
P ( Ai ).
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as
´ ´ ˝ EGI ´ ´ ´ A VALOSZ INUS VALTOZ O Defin´ıci´ o: A ξ : Ω → R lek´epez´est val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak nevezz¨ uk, ha {ξ < x} = {ω|ω ∈ Ω,
ξ(ω) < x} ∈ F
∀x ∈ R.
Defin´ıci´ o: Az F (x) = P (ξ < x) formul´aval meghat´arozott val´ os f¨ uggv´enyt a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´ asf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. ´ TETEL: Az F val´os f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor lehet eloszl´asf¨ uggv´eny, ha 1.
lim F (x) = 0,
x→−∞
2. lim F (x) = 1, x→∞
3. F (x1 ) ≤ F (x2 ), ha (x1 < x2 ), azaz monoton n¨ovekv˝o, 4.
lim
x→x0 −0
F (x) = F (x0 ), ∀x0 ∈ R, azaz balr´ol folytonos.
´ TETEL: Legyen F a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´enye ´es a, b ∈ R, ekkor 1. P (a ≤ ξ < b) = F (b) − F (a), 2. P (ξ = a) = F (a + 0) − F (a). Defin´ıci´ o: A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot diszkr´etnek nevezz¨ uk, ha a lehets´eges ´ert´ekek ξ(Ω) halmaz´anak sz´amoss´ aga legfeljebb megsz´aml´alhat´ oan v´egtelen. Megjegyz´ es: Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o eset´en a lehets´eges ´ert´ekek fel´ırhat´ok egy sorozatk´ent. Defin´ıci´ o: Legyen a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ertekeinek sorozata x1 , x2 , . . . . A pi = P (ξ = xi ) (i = 1, 2, . . .) val´ osz´ın˝ us´egek sorozat´at eloszl´ asnak nevezz¨ uk. 5
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´ TETEL: Ha p1 , p2 , . . . eloszl´as, akkor pi ≥ 0
∞ X
(i = 1, 2, . . .) ´es
pi = 1.
i=1
Defin´ıci´ o: Ha l´etezik f nemnegat´ıv val´os f¨ uggv´eny, melyre Zx F (x) =
f (t)dt,
∀x ∈ R
−∞
akkor f az F eloszl´asf¨ uggv´enyhez tartoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny. Megjegyz´ es: A s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny nem egy´ertelm˝ u. ´ TETEL: Az f val´os f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor lehet s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, ha nemnegat´ıv ´es +∞ Z f (t)dt = 1. −∞
Defin´ıci´ o: A val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot folytonosnak nevezz¨ uk, ha l´etezik a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. ´ TETEL: Legyen a ξ folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o f s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel b R ´es a, b ∈ R, ekkor P (ξ = a) = 0, ´es P (a ≤ ξ < b) = f (x)dx. a
Defin´ıci´ o: 1. Ha a ξ diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekeinek a sz´ama v´eges, azaz a lehets´eges ´ert´ekek x1 , x2 , . . . , xn akkor a
´es pi = P (ξ = xi ) n X
xi pi
i=1
mennyis´eget v´ arhat´ o ´ert´eknek nevezz¨ uk. 6
(i = 1, 2, . . . , n),
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as 2. Ha a ξ diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o lehets´eges ´ert´ekeinek sz´amoss´aga megsz´aml´alhat´oan v´egtelen, azaz a lehets´eges ´ert´ekek x1 , x2 , . . . ,
´es pi = P (ξ = xi ) (i = 1, 2, . . .),
akkor a
∞ X
xi pi
i=1
mennyis´eget v´ arhat´ o ´ert´eknek nevezz¨ uk, ha
∞ X
|xi | pi < +∞.
i=1
3. Ha ξ folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o f s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel, akkor
a
+∞ R
xf (x)dx mennyis´eget v´ arhat´ o ´ert´eknek nevezz¨ uk, ha
−∞ +∞ Z |x| f (x)dx < +∞. −∞
A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o v´arhat´o ´ert´ek´enek a jele: E(ξ) ´ TETEL: 1. E(aξ + b) = aE(ξ) + b, ∀a, b ∈ R. 2. Ha m ≤ ξ ≤ M, akkor m ≤ E(ξ) ≤ M. Defin´ıci´ o: Legyen ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o ´es g val´os f¨ uggv´eny. Ha az η = g(ξ) f¨ uggv´eny val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, akkor a ξ transzform´ altj´anak nevezz¨ uk. Megjegyz´ es: A transzform´alt eloszl´asf¨ uggv´enye Fη (y) = P ({ω|g(ξ(ω)) < y}). ´ TETEL: Ha g differenci´alhat´o ´es g 0 (x) 6= 0, akkor ξ folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eset´en η = g(ξ) folytonos val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( d −1 −1 f (g (y))| g (y)|, ha a < y < b, ξ fη (y) = dy 0, egy´ebk´ent, 7
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ahol a = min( lim g(x), lim g(x)), x→−∞
b = max( lim g(x), lim g(x)).
x→+∞
x→−∞
x→+∞
´ TETEL: Ha η = g(ξ) a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o transzform´altja, akkor ∞ X g(xi )P (ξ = xi ), ha ξ diszkr´et, E(η) =
i=1
+∞ R g(x)fξ (x)dx,
ha ξ ´es η folytonos.
−∞
Defin´ıci´ o: Az E((ξ − E(ξ))2 ) mennyis´eget a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´ or´ asn´egyzet´enek nevezz¨ uk. Jele: D2 (ξ). p Defin´ıci´ o: A E((ξ − E(ξ))2 ) mennyis´eget a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´ or´ as´anak nevezz¨ uk. Jele: D(ξ). Defin´ıci´ o: Az E(ξ k ) mennyis´eget a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o k-adik momentum´anak nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o: Az E((ξ − E(ξ))k ) mennyis´eget a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o k-adik centr´ alis momentum´anak nevezz¨ uk. ´ TETEL: 1. D(aξ + b) = |a| D(ξ), ∀a, b ∈ R. 2. min E((ξ − a)2 ) = D2 (ξ), ´es ekkor a = E(ξ). a∈R
3. D2 (ξ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ). ´ ANY ´ ´ ELOSZLAS ´ ES ´ JELLEMZOI: ˝ NEH DISZKRET ´ ´ 1. BINOMIALIS ELOSZLAS Legyen n ∈ N, A ∈ F, ´es v´egezz¨ unk el egy n hossz´ us´ ag´ u Bernoulli k´ıs´erletsorozatot. Tov´abb´a, legyen ξ az A esem´eny bek¨ovetkez´eseinek a sz´ama. Ekkor ξ eloszl´asa µ ¶ n k n−k P (ξ = k) = p q , (k = 0, 1, . . . , n), k 8
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ahol P (A) = p ´es q = 1 − p. E(ξ) = np, D2 (ξ) = npq. Megjegyz´ es: A visszatev´eses mintav´etel binomi´alis eloszl´ashoz vezet. ´ 2. POISSON-ELOSZLAS Legyen λ > 0 ´es λ = npn , ekkor µ ¶ k n k n−k −λ λ lim pn (1 − pn ) =e , n→∞,λ=npn k k!
ahol k = 0, 1, . . . .
A ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ot Poisson-eloszl´ as´ unak nevezz¨ uk λ > 0 param´eterrel, ha eloszl´asa −λ λ
P (ξ = k) = e
k
k!
,
ahol k = 0, 1, . . . .
E(ξ) = λ, D2 (ξ) = λ. ´ 3. GEOMETRIAI ELOSZLAS A binomi´alis eloszl´as bevezet´esekor haszn´alt jel¨ol´esek mellett a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o jelentse az A esem´eny els˝o bek¨ovetkez´es´ehez sz¨ uks´eges k´ıs´erletek sz´am´at. A ξ eloszl´asa P (ξ = k) = pq k−1 ,
ahol k = 1, 2, . . . .
1 q , D2 (ξ) = 2 . p p Megjegyz´ es: A η = ξ − 1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ot is szok´as geometriai eloszl´as´ unak nevezni. Az η eloszl´ asa E(ξ) =
P (η = k) = pq k , E(η) =
ahol k = 0, 1, 2, . . . .
q q , D2 (η) = 2 . p p 9
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´ ANY ´ ´ ES ´ JELLEMZOI: ˝ NEH FOLYTONOS ELOSZLAS ´ 1. EGYENLETES ELOSZLAS Legyen a, b ∈ R ´es a < b. A ξ egyenletes eloszl´as´ u az (a, b) intervallumon, ha a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 1 , ha a < x < b, f (x) = b − a 0, egy´ebk´ent. a+b (b − a)2 2 E(ξ) = , D (ξ) = . Az eloszl´asf¨ uggv´eny 2 12 0, ha x ≤ a, x−a , ha a < x ≤ b, F (x) = b−a 1, ha x > b. ´ ´ 2. EXPONENCIALIS ELOSZLAS A ξ exponenci´alis eloszl´as´ u λ > 0 param´eterrel, ha a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ½ −λx λe , ha x ≥ 0, f (x) = 0, egy´ebk´ent. E(ξ) =
1 1 , D2 (ξ) = 2 . Az eloszl´asf¨ uggv´eny λ λ ½ 0, ha x ≤ 0, F (x) = −λx 1−e , ha x > 0.
¨ okifj´ Or¨ u tulajdons´ag: P (ξ ≥ a + b|ξ ≥ a) = P (ξ ≥ b), ahol a > 0, b > 0. ´ ´ 3. NORMALIS ELOSZLAS Legyen m ∈ R, σ > 0. Az η norm´alis eloszl´as´ u, ha a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye µ ¶ 1 (x − m)2 f (x) = √ exp − , x ∈ R. 2σ 2 σ 2π 10
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as E(ξ) = m, D2 (ξ) = σ 2 . Ha m = 0 ´es σ = 1, akkor a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot standard norm´alis eloszl´as´ unak nevezz¨ uk. Jel¨olje a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ϕ ´es az eloszl´asf¨ uggv´eny´et Φ. Ha ξ standard norm´alis eloszl´as´ u, akkor az η = σξ+m val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o F eloszl´ asf¨ uggv´eny´ere jellemz˝o, hogy µ ¶ x−m F (x) = Φ . σ Megjegyz´ es: 1. A ϕ f¨ uggv´eny ´ırja le a Gauss-g¨orb´et(harang g¨orb´et). 2. Φ(0) = 0.5 ´es Φ(−x) = 1 − Φ(x). ´ 4. CAUCHY ELOSZLAS Legyen c ∈ R, s > 0. Az η Cauchy eloszl´as´ u, ha a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 1 f (x) = " x ∈ R. µ ¶2 # , x−c πs 1 + s Nem l´etezik a v´arhat´o ´ert´ek. Az eloszl´asf¨ uggv´eny µ ¶ 1 1 x−c . F (x) = + arctan 2 π s Megjegyz´ es: Szok´as csak a c = 0, s = 1 esetet (standard) Cauchyeloszl´asnak nevezni.
´ A VELETLEN VEKTOROK Defin´ıci´ o: A (ξ, η) : Ω → R2 lek´epez´est (k´etdimenzi´ os) v´eletlen vektornak nevezz¨ uk, ha {ξ < x, η < y} = {ω|ω ∈ Ω,
ξ(ω) < x, η(ω) < y} ∈ F
∀x, y ∈ R.
Defin´ıci´ o: Az F (x, y) = P (ξ < x, η < y) formul´aval meghat´arozott val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyt a (ξ, η) v´eletlen vektor egy¨ uttes eloszl´ asf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. Az Fξ (x) = lim F (x, y), y→+∞
11
Fη (y) = lim F (x, y) x→+∞
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as f¨ uggv´enyeket peremeloszl´ asf¨ uggv´enynek nevezz¨ uk ´ TETEL: Az F f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor lehet egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´eny, ha 1.
lim F (x, y) = 0, lim F (x, y) = 0,
x→−∞
y→−∞
2. x→∞ lim F (x, y) = 1, y→∞
3. F mindk´et v´altoz´oj´ aban balr´ol folytonos, 4. F (b, d) − F (b, c) − F (a, d) + F (a, c) ≥ 0, ∀a < b, c < d eset´en, azaz teljes¨ ul az u ´n. ”t´eglalap” tulajdons´ag. Megjegyz´ es: A t´eglalap tulajdons´agb´ ol k¨ovetkezik, hogy mindk´et v´altoz´oj´ aban monoton n¨ovekv˝ o. Defin´ıci´ o: A (ξ, η) v´eletlen vektort diszkr´etnek nevezz¨ uk, ha a lehets´eges ´ert´ekek sz´amoss´aga legfeljebb megsz´aml´ alhat´oan v´egtelen. Defin´ıci´ o: Legyen a ξ, illetve η val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o lehets´eges ´ertekeinek sorozata x1 , x2 , . . . , illetve y1 , y2 , . . . . A P (ξ = xi , η = yj ) = pij (i, j = 1, 2, . . .) val´osz´ın˝ us´egek sorozat´at egy¨ uttes eloszl´ asnak nevezz¨ uk. A ∞ X qi = pij , (i = 1, 2, . . .), j=1
rj =
∞ X
pij ,
(j = 1, 2, . . .)
i=1
val´osz´ın˝ us´eg sorozatokat peremeloszl´ asnak nevezz¨ uk. Minden rj > 0 eset´en a ξ felt´eteles eloszl´ asa adott η = yj mellett P (ξ = xi |η = yj ) = Az E(ξ|η = yj ) =
∞ X i=1
12
pij . rj
xi
pij rj
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as mennyis´eget felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eknek nevezz¨ uk. Az E(ξ|η = yj ) = m2 (yj ) f¨ uggv´enyt a ξ-nek az η-ra vonatkoz´ o regresszi´ os f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. ´ TETEL: Ha pij (i, j = 1, 2, . . .) egy¨ uttes eloszl´as, akkor pij ≥ 0 (i, j = 1, 2, . . .) ´es
∞ ∞ X X
pij = 1.
i=1 j=1
Defin´ıci´ o: Ha l´etezik f nemnegat´ıv val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, melyre Zx Zy F (x, y) =
f (u, v)dvdu,
∀x, y ∈ R,
−∞ −∞
akkor f az F eloszl´asf¨ uggv´enyhez tartoz´o egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny. Az +∞ Z fξ (x) = f (x, y)dy,
+∞ Z fη (y) = f (x, y)dx
−∞
−∞
f¨ uggv´enyeket perems˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. ´ TETEL: Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor lehet egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, ha nemnegat´ıv ´es +∞ Z +∞ Z f (x, y)dydx = 1. −∞ −∞
Defin´ıci´ o: A (ξ, η) v´eletlen vektort folytonosnak nevezz¨ uk, ha l´etezik az egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Defin´ıci´ o: A ξ ´es η) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha F (x, y) = Fξ (x)Fη (y), 13
∀x, y ∈ R.
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as Megjegyz´ es: A f¨ uggetlens´eg megfelel˝oi diszkr´et illetve folytonos esetben: pij = qi rj , (i, j = 1, 2, . . .), f (x, y) = fξ (x)fη (y) ∀x, y ∈ R. Defin´ıci´ o: Legyen (ξ, η) v´eletlen vektor. Az F (x|y) az felt´eteles eloszl´ asf¨ uggv´enye a ξ-nek η = y eset´en, ha F (x|y) = P (ξ < x|η = y) = lim P (ξ < x|y ≤ η < y + h). h→0+0
Megjegyz´ es: Ha l´eteznek a felt´eteles val´osz´ın˝ us´egek. Defin´ıci´ o: Ha l´etezik fξ|η nemnegat´ıv val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, melyre Zx F (x|y) =
fξ|η (u|y)du,
∀x, y ∈ R
−∞
akkor fξ|η a ξ-nek az η-ra vonatkoz´o felt´eteles s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Megjegyz´ es: fξ|η (x|y) =
f (x, y) . fη (y)
Defin´ıci´ o: A felt´eteles s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel meghat´arozott felt´eteles v´arhat´ o ´ert´eket regresszi´ os f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, azaz az +∞ Z fξ|η (x|y)dx = m2 (y) −∞
f¨ uggv´enyt a ξ-nek az η-ra vonatkoz´o regresszi´os f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. Megjegyz´ es: Ha (ξ, η) v´eletlen vektor g : R2 → R olyan f¨ uggv´eny, hogy g(ξ, η) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, akkor X g(xi , yj )pij , ha (ξ, η) diszkr´et, i,j +∞ Z +∞ Z E(g(ξ, η)) = g(x, y)f (x, y)dydx, ha (ξ, η) folytonos. −∞ −∞
14
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as Defin´ıci´ o: A cov(ξ, η) = E((ξ − E(ξ))(η − E(η))) mennyis´eget kovarianci´ anak nevezz¨ uk. Az cov(ξ, η) D(ξ)D(η)
r(ξ, η) =
mennyis´eget pedig korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ onak nevezz¨ uk. ´ TETEL: 1. E(ξ + η)) = E(ξ) + E(η). 2. D2 (ξ + η)) = D2 (ξ) + D2 (η) + 2cov(ξ, η). 3. E(E(ξ|η = y)) = E(ξ). 4. |cov(ξ, η)| ≤ D(ξ)D(η), azaz |r(ξ, η)| ≤ 1. ´ ANY ´ ´ NEH FOLYTONOS ELOSZLAS: A (ξ, η) v´eletlen vektor (i) norm´alis eloszl´as´ u, ha f (x, y) =
2πσ1 σ2
1 p
1 − ρ2
exp[−Q],
· ¸ x − m1 2 x − m1 y − m2 y − m2 2 1 ( ) − 2ρ( )( )+( ) , Q= 2(1 − ρ2 ) σ1 σ1 σ2 σ2 ahol σ1 > 0, σ2 > 0, −1 < ρ < 1. (ii) egyenletes eloszl´as´ u az A ⊂ R2 tartom´anyon, ha ( 1 , f (x, y) = |A| 0,
ha (x, y) ∈ A, egy´ebk´ent.
Megjegyz´ es: A v´eletlen vektor ´es a hozz´akapcsol´od´o fogalmak defin´ıci´oj´at csak k´etdimenzi´os esetben adtuk meg, de nagyon egyszer˝ uen 15
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as kiterjeszthet˝oek v´eges sok val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o eset´ere. P´eld´aul, a ξ1 , ξ2 , . . . , ξn val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ okat f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, ha F (x1 , x2 , . . . , xn ) = Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) · · · Fξn (xn ) ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ R. ´ TETEL: Az F (x1 , x2 , . . . , xn ) f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´eny, ha minden v´altoz´oj´aban balr´ol folytonos, ´es lim F (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,
xi →−∞
lim
xi →+∞(i=1,2,...,n)
X
(i = 1, 2, . . . , n),
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = 1,
(−1)K F (e1 a1 + (1 − e1 )b1 , . . . , en an + (1 − en )bn ) ≥ 0
K=e1 +e2 +...+en
∀ai ≤ bi (i = 1, 2, . . . , n) ´es az ¨osszegz´est ∀K eset´eben vessz¨ uk, ahol az e1 , e2 , . . . , en ´ert´eke 0 ´es 1 lehet. ´ TETEL: Legyenek ξ1 , ξ2 , . . . , ξn f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek rendre Fξ1 , Fξ2 , . . . , Fξn az eloszl´asf¨ uggv´enye. Ekkor (a) az η(ω) = max{ξ1 (ω), . . . , ξn (ω)} (∀ω ∈ Ω) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´enye Fη (y) = Fξ1 (y)Fξ2 (y) · · · Fξn (y). (b) az η(ω) = min{ξ1 (ω), . . . , ξn (ω)} (∀ω ∈ Ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´enye Fη (z) = 1 − (1 − Fξ1 (z))(1 − Fξ2 (z)) · · · (1 − Fξn (z)). ´ TETEL: (Markov-egyenl˝ otlens´eg) Legyen a ξ nemnegat´ıv val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek l´etezik a v´arhat´o ´ert´eke, ekkor ∀c > 0 eset´en P (ξ ≥ c) ≤ 16
E(ξ) . c
Fegyverneki S´andor: Val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´ TETEL: (Csebisev-egyenl˝ otlens´eg) Ha a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´onak l´etezik a sz´or´asn´egyzete, akkor ∀ε > 0 eset´en D2 (ξ) P (|ξ − E(ξ)| ≥ ε) ≤ . ε2 ´ TETEL: (nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´enye) Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok sorozata. L´etezik a sz´or´asn´egyzet. Ekkor tetsz˝oleges ε > 0 eset´en µ ¶ ξ1 + . . . + ξn lim P | − E(ξ1 )| ≥ ε = 0. n→+∞ n Megjegyz´ es: Legyen A esem´eny ´es Sn az A esem´eny gyakoris´aga az els˝o n k´ıs´erletb˝ol egy Bernoulli k´ıs´erletsorozatn´ al. Ekkor tetsz˝oleges ε > 0 eset´en µ ¶ Sn lim P | − P (A)| ≥ ε = 0. n→+∞ n ´ TETEL: (centr´ alis hat´ areloszl´ as-t´etel) Legyen ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata ´es l´etezik az E(ξi ) = µ ´es n X 2 2 D (ξi ) = σ > 0. Ha Sn = ξk , akkor µ lim P
n→+∞
k=1
Sn − nµ √ <x σ n
¶ = Φ(x),
x ∈ R,
ahol Φ a standard norm´alis eloszl´asf¨ uggv´eny. ´ TETEL: (Moivre-Laplace) Legyen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o binomi´alis eloszl´as´ u n ´es p param´eterrel ´es 0 ≤ a < b ≤ n eg´esz, akkor b µ ¶ X n k n−k P (a ≤ ξ ≤ b) = p q ≈ k k=a 1 1 b − np + a − np − 2 2 ≈ Φ √ − Φ √ . npq npq
17
