KEREKEK REZGÉSEI: STABILITÁS ÉS IDŐKÉSÉS Stépán Gábor és Takács Dénes Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék ÖSSZEFOGLALÓ A kerekek szitálása alatt a vontatott kerekeknek a síkjukra merőleges, oldalirányú rezgéseit értik. A cikkben a kerékszitálás vizsgálatához két különböző kis szabadságfokú mechanikai modell kerül bemutatásra. Ismertetésre kerül egy merev kerekes modell lineáris stabilitása és nemlineáris viselkedése, amelyet numerikus bifurkációkövető szoftverrel is elemeztünk. A rugalmas gumikereket alkalmazó modell lineáris stabilitási térképét meghatároztuk, szimulációs és kísérleti úton is validáltuk. SUMMARY Shimmy is the lateral vibration of towed wheels. In this paper, two different low degree-of-freedom mechanical models are used to describe shimmy. One of the models considers rigid wheel with elastic suspension. The linear stability analysis and the nonlinear behaviour of this system are presented by means of continuation and bifurcation software. The second model takes into account the elasticity of the tyre. The linear stability of the towed elastic tyre is determined, and it is validated by numerical simulations and also by experiments. 1. BEVEZETÉS Az emberiség egyik legrégibb találmánya a kerék, mégis mind a mai napig sok kutatási téma alapjául szolgál. Ha csupán egy elgurított pénzérme mozgását vizsgáljuk, már ez esetben is komoly dinamikai ismeretekre van szükségünk [1],[2]. De nem csupán „játékpéldák” során találkozunk gördülési problémákkal. A járműdinamikai vizsgálatok egyik sarkalatos pontja a megfelelő kerékmodell kiválasztása. Akármilyen járműdinamikában ismeretes stabilitási problémával is foglalkozunk, a kerék-talaj kapcsolat modellezése eldöntheti, hogy sikeres vagy sikertelen lesz-e a vizsgálatunk [3],[4]. Az egyik régóta ismert kerékdinamikai stabilitási probléma a „szitálás”. A jelenség a hétköznapi ember számára is mindennapos, a bevásárlókocsi kereke is
1
sokszor ezt a furcsa táncot járja. Az eredeti angol elnevezés, “shimmy”, a múlt század elején népszerű tánc nevéből ered. Innen is látszik, hogy már lassan száz éve kezdtek foglalkozni a szakemberek a probléma elemzésével. A magyar szakirodalomban is találunk magyar szerzőtől származó múlt század közepi folyóiratcikket [5], amely a repülőgép orrfutók oldalirányú rezgéseit próbálja magyarázni. Bár ezen kívül számtalan más publikáció található a témával kapcsolatban, mind a mai napig nem létezik tökéletes modell a jelenség leírására. Könnyen belátható, hogy nem is készíthető olyan mechanikai modell, amely bármilyen szerkezetben fellépő kerékszitálást magyarázna. Más modellt kell készítenünk egy bevásárlókocsi kerék, illetve egy repülőgép orrfutó vizsgálatához. A cikkben a kerékszitálást kis szabadságfokú mechanikai rendszerek segítségével vizsgáljuk. Bemutatunk két különböző mechanikai modellt, melyek közül az egyik a kerékfelfüggesztés merevségét [6], míg a másik a gumikerék deformációját [7] veszi figyelembe. A merev kerekes modellt nemlineáris közönséges differenciálegyenletek írják le. A cikkben bemutatjuk e rendszer lineáris stabilitási térképét, nemlineáris viselkedését analitikus és numerikus módszerekkel vizsgáljuk. A második modell esetében a rugalmas kereket egy merev vonórúdhoz kapcsoljuk, ekkor a kerék-talaj érintkezési tartomány oldalirányú deformációját vesszük figyelembe. Ezen oldalirányú deformációban fellépő haladó hullám („kígyózó mozgás”) alakú megoldásokra vezetjük vissza a vontatott kerék laterális rezgését. Utóbbi modell lineáris stabilitásvizsgálatát és annak kísérleti ellenőrzését is elvégeztük. 2. EGYPONTOS ÉRINTKEZÉSŰ MEREV KERÉK [6] Ahogy említettük, a járműdinamikai vizsgálatok egyik legfontosabb pontja a megfelelő kerékmodell alkalmazása. Minél pontosabb és jobb kerékmodellt használunk, annál bonyolultabban megoldható egyenletekhez jutunk. Ebben a fejezetben a gumikerék dinamikájától eltekintve vizsgáljuk a vontatott kerék stabilitását. 2.1. Mechanikai modell Egy tökéletesen merev kereket vontatunk egy tökéletesen merev vonórúddal, azonban a vontatórúd királycsapját laterális irányban rugalmasan támasztjuk meg (lásd 1. ábra).
2
1. ábra Merev kerék rugalmasan megtámasztott vontatócsapággyal
Az így kapott mechanikai modellnek 3 szabadsági foka van a gördülési feltétel nélkül, azaz három általános koordinátát választunk a rendszer állapotának leírásához. Legyenek ezek a vontatócsapágy q laterális helyzete, a vontatórúd ψ szögkitérése és a kerék saját tengelye körüli φ szögelfordulása. A gördülés feltételének megfelelően a talajjal érintkező P pont sebessége zérus. Ezen kinematikai feltétel két elsőrendű skalár differenciálegyenletet ad, amelyek egyenként fél szabadsági fokkal csökkentik a rendszer szabadsági fokainak számát. Így végül egy 2 szabadsági fokú anholonóm reonóm rendszert kapunk, melynek mozgásegyenleteit Appell-Gibbs egyenletek segítségével adhatjuk meg a legegyszerűbb alakban:
ψ = Ω , = − N (ψ , Ω, q ) , Ω D (ψ ) l Ω, cosψ v + l Ω sinψ ϕ = , R cosψ q = v tanψ +
ahol
⎛ mw + mc )lv ( lv kl 2 ⎞ 2 N (ψ , Ω, q ) = ⎜ − ( mw l + mclc ) v + 2 J wy tan ψ + + ⎟Ω R cos 2 ψ cosψ ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ sinψ 2 l2 + ⎜ ( mw + mc ) l 2 + 2 J wy ⎟ Ω + klq + bl v tanψ , 2 R ⎝ ⎠ cos ψ
és
3
(1)
(2)
⎛ ( m + m ) l 2 + l 2 J tan 2 ψ ⎞ cosψ . (3) D (ψ ) = ⎜⎜ mclc ( lc − 2l ) − mw l 2 + J wz + J cz + w 2 c ⎟⎟ wy R2 cos ψ ⎝ ⎠ A képletekben mw és mc a kerék és a vonórúd tömege, l a vonórúd hossza, lc a vonórúd súlypontjának távolsága a vontatócsapágytól, R a kerék sugara és v a vontatási sebesség. Jwy és Jwz a kerék tehetetlenségi nyomatékai forgástengelyére illetve kereszttengelyére számítva a súlypontjában. Jcz a vonórúd tehetetlenségi nyomatéka a súlypontján átmenő függőleges tengelyre. A vontatócsapágy rugalmas laterális irányú megtámasztásának merevsége k, csillapítási tényezője b. 2.2. Stabilitási vizsgálat
Mivel
a
kerék
differenciálegyenletben
φ
szögelfordulása
sem,
azaz
ciklikus
nem
jelenik
koordináta,
meg
ezért
a
egyik
negyedik
differenciálegyenlet leválasztható a rendszerről a stabilitásvizsgálathoz. Az egyenes vonalú gördülés lineáris stabilitás térképe a karakterisztikus egyenlet előállítása után Routh-Hurwitz kritériummal analitikus úton számítható (lásd 2. ábra). Az ábrán a nemlineáris számításokhoz dimenziótlanított rendszer stabilitási térképe látható különböző relatív csillapítás (ζ) értékekre. A térképen ζ=0.1 értékre a lineárisan stabil terület szürkített.
L
L ζ=0
ζ=0.02
4
ikus
1/κ 4
ζ=0.1
3
2
ζ=0.1 6
2
1
ζ= 0.
1
3
Vext
1
2
3
4
2
Stabil periodikus pálya
5
6
7V 8
max
9
V
0
0.1
0.2
Instabil periodikus pálya
Anal itikus
Fold
ζ= 0 .25
Instabil 0
Numer
Stabil
5
0.3
0.4 Aψ [rad]
2. ábra Stabilitási térkép és bifurkációs diagram különböző csillapításokra
2.3. Nemlineáris vizsgálat
A rendszer nemlineáris vizsgálatát mind analitikusan, mind pedig numerikusan megvizsgáltuk. A stabilitási határon Hopf bifurkáció (periodikus rezgés) lép fel, melynek stabilitását és amplitúdóját analitikus úton meghatároztuk. A hosszadalmas
4
algebrai számításból kiderül, hogy a lineárisan stabil paramétertartomány felett egy instabil (szubkritikus) periodikus pálya található. Azaz a szubkritikus bifurkáció amplitúdójánál jobban kitérítve a rendszert, kerékszitálás jelentkezik. Igazolható az is, hogy nagy csillapítás hatására a szubkritikus bifurkáció szuperkritikussá válik (lásd 2. ábra). Az eredmények igazolására numerikus bifurkációs szoftverrel, esetünkben AUTO97-tel [8], követtük a periodikus pályát. Az eredeti, még nem dimenziótlanított rendszer bifurkációs diagramját is előállítottuk (lásd 3. ábra). Ahogy az ábrán látszik, az eredeti rendszerben periodikus pályák nyereg-csomó bifurkációját fedezhetjük fel. Elegendően nagy csillapítási tényező értékekre az instabil és stabil periodikus pálya átmetszve önmagát kettéválik, létrehozva egy elkülönült periodikus pályákból álló szigetet (úgynevezett „isola”-t) a lineárisan instabil tartomány felett.
1.6
Fold 1
Aψ [rad] Stabil periodikus pálya
1.4 1.2 1
Fold 2
0.8 0.6 0.4
b=0.35 [Ns/m] b=0.269 [Ns/m]
Fold 3
b=0.2 [Ns/m] Instabil periodikus pálya
0.2 Hopf pont 0 0.01
v=5 [m/s]
Egyenes vonalú gördülés 1
0.1
3. ábra „Isola” születése csillapítási tényező növelésének hatására
5
Log( l ) [m]
q
Stabil periodikus pálya
Aψ [rad] 1.2 1
ψ
0.8
Instabil periodikus pálya
0.6
Ω
0.4 0.2
Egyenes vonalú gördülés
0
1
2
3
4
5
6
l=0.06 [m]
7
8 v [m/s]
0.08
0.06
S
Fold 1
Bistabil
( s ta b il e insta gyenes v b . + sta il period gördülés bil p i eriod kus pály + a ikus p ál y a )
0.1
(stabil e gye ne s gördülés v. )
l [m]
0.04
Fold 2
Stabil (stabil egyenes vonalú gördülés)
b=0 [Ns/m]
„Isola” születése Fold 3
0.02
b=0.5 [Ns/m]
Instabil
(instabil egyenes vonalú gördülés + stabil periodikus pálya) 0
1
2
3
4
5
6
7
8 v [m/s]
4. ábra Stabilitás térkép a nemlineáris hatásokat figyelembe véve
Ha az „isola” által létrejövő fold bifurkációkat numerikusan követjük a vontatási hossz és vontatási sebesség paraméterek segítségével, akkor helyzetüket bejelölhetjük a rendszer lineáris stabilitási térképén is (lásd 4. ábra). Ezáltal egy olyan stabilitási térképhez jutunk, amelyen a vontatott kerék nemlineáris viselkedéséről is információkat kapunk. Látható, hogy a lineárisan stabil tartományban megjelenik egy bistabil tartomány, ahol az egyenes vonalú gördülésen kívül a kerékszitálás is stabilan jelentkezik. Ennek veszélyessége a stabilitási térkép fölé rajzolt bifurkációs diagram alapján még jobban érthető. A kiválasztott vontatási hossz esetén a kerék egyenes vonalú gördülése stabil bármilyen vontatási sebesség esetén. Viszont egy
6
meghatározott sebességtartományban elegendően nagy kitérítés, zavarás hatására simmizni kezd. Az ilyen viselkedés rendkívüli módon veszélyes, mert csupán lineáris számításokkal nem deríthető fel. Előfordulhat, hogy egy nemlineárisan nem elemzett, de gyártásba kerülő szerkezet hosszas tesztelése során sem akadnak rá az ilyen jellegű bistabil tartományra. A szerkezet éveken át tartó használata során azonban kaphat olyan gerjesztést a bistabil tartományban, melynek hatására kerékszitálás lép fel. 3. GUMIKERÉK t
t-τ
z y C
x
L
P R
0
τ
τ rP(t)=rL(t-τ) Z Y O
rL(t) X
5. ábra Gumikerék deformációjának „memóriahatása” gördülés közben (Szagatott vonallal a kerék azon múltbeli helyzete látható, amikor P pont letapadt a talajra.)
Mechanikai tanulmányaink elején a legegyszerűbb gördülési feladatatokat ismerjük meg. Eleinte csak tökéletesen merev, a talajjal egy ponton érintkező kerekek gördülését vizsgáljuk, később találkozhatunk a gördülési ellenállás fogalmával. Azonban a járműdinamikai vizsgálatokhoz jóval komolyabb és pontosabb gördülési modellek használatára van szükségünk. A kerék vagy jármű mozgását ugyanis nagyban befolyásolja a gumikerék laterális deformációja is. A rugalmas deformálható kerék a rá ható terhelés hatására egy felületen érintkezik a talajjal, melyet esetünkben csupán egy érintkezési vonalként modellezünk, ami a kerék mozgása során deformálódik. Ha egy rugalmas kerék
7
megcsúszás nélküli gördülését vizsgáljuk, akkor a talajjal érintkező pontok sebessége zérus. Márpedig ez azt jelenti, hogy a talajjal érintkező pontok helyzete nem változik a letapadás pillanatától egészen az elválás pillanatáig. Mindemellett minden egyes – a talajjal érintkezésben lévő – ponthoz rendelhető egy τ idővel korábbi időpillanat, amikoris az letapadt a talajra (lásd 5. ábra). A kerék pillanatnyi mozgása tehát függ a korábbi mozgásállapotaitól, melyek deformációként tárolódnak el az érintkezési felületben vagy esetünkben vonalon. Az, hogy a kerék mennyivel korábbi mozgásállapotára „emlékszik”, attól függ, hogy a talajon lévő éppen elválni készülő R pont mennyi idővel korábban került érintkezésbe a talajjal. Innen is látszik, hogy a „memóriahatás” a kerék gördülési sebességének növelésével csökken. 3.1. Mechanikai modell
6. ábra Vontatott gumikerék mechanikai modellje
Vegyünk tehát egy deformálódó köpennyel ellátott kerekeket (lásd 6. ábra), amely egy 2a hosszúságú vonalon érintkezik a talajjal. A kereket egy tökéletesen merev vonórúddal kapcsoljuk a vontatócsapágyhoz. A kereket v állandó nagyságú és irányú sebességgel vontatjuk. A vontatott szerkezet vontatási iránytól való szögkitérését a ψ szögelfordulás írja le. A vontatott gumikerék mozgásegyenlete egy integro-differenciálegyenlet alakjában adódik: a
a
−a
−a
J Aψ(t ) = − k ∫ (l − x)q ( x, t ) d x − b ∫ (l − x)q ( x, t ) d x ,
8
(4)
ahol JA a vontatmány A pontra vett z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka. A vontatási hossz l, a laterális deformációt leíró függvény q(x,t). A kerék hossz mentén megoszló merevsége és csillapítási tényezője k és b. Az egyenlet jobb oldalán tehát a deformációból származó A pontra számított visszatérítő nyomaték található. A gördülést leíró kinematikai feltételt egy parciális differenciálegyenlet adja: q ( x, t ) = v sinψ + (l − x)ψ + q′( x, t ) ⋅ (v cosψ − q( x, t )ψ )
(5)
ahol x ∈ [ −a, a ] és t ∈ [t0 , ∞ ) . A legegyszerűbb gumimodellt („kefemodell”, lásd [9]) alkalmazva a peremfeltétel q(a, t ) ≡ 0 alakban adódik, ami kimondja, hogy a letapadáskor az éppen letapadó pont deformációja zérus. Kis amplitúdójú rezgéseket vizsgálva, a parciális differenciálegyenlet haladó hullám megoldása előállítható a következő zárt alakban: q ( x, t ) = (l − x)ψ (t ) − (l − a )ψ ( t − τ ( x) ) ,
(6)
és ezzel bevezethető a gumikerék „memóriahatását” leíró időkésés:
τ ( x) = Az
időkésés
bevezetésével
a
a−x . v
(7)
lineáris
rendszert
leíró
integro-
differenciálegyenlet és a hozzá kapcsolt parciális differenciálegyenlet az alábbi időkésleltetett differenciálegyenletté transzformálható: V 2ψ ′′(t ) + 2ζ Vψ ′(t ) + ψ (t ) =
0
L −1 (L − 1 − 2ϑ ) ψ (t +ϑ ) dϑ 2 L + 1 3 −∫1 0
L −1 + 2 2ζ V ∫ (L − 1 − 2ϑ ) ψ ′(t +ϑ ) dϑ , L +1 3 −1
ahol V és L a dimenziótlan vontatási sebesség és vontatási hossz, ζ pedig a rendszer relatív csillapítása. 3.2. Stabilitási vizsgálat
Időkésleltetett
differenciálegyenlet
esetén
a
karakterisztikus
egyenlet
transzcendens és végtelen sok gyökkel rendelkezik. A stabilitási határok Dszétválasztás módszerével határozhatók meg. A stabilitási térkép 7. ábrán látható, ahol a stabil tartomány ζ=0.02 relatív csillapításra szürkített. A rezgési frekvenciák is erre a csillapítás értékre kerültek megrajzolásra. Látható, hogy két stabilitási határgörbe metszéspontjában két különböző frekvenciával rezeg a kerék, ami egyébként a
9
(8)
valóságos rendszerekben fellépő kerékszitálások egyik ismert, lebegést mutató tulajdonsága. Csillapítás hatására az instabil „szigetek” szűkülnek, végül az alsó domináns instabil tartomány kivételével el is tűnnek. A csillapítás hatása a gyakorlatban jól ismert, hiszen sok motorkerékpáron és repülőn található torziós csillapítás („shimmy damper”) a kormányzott kerék királycsapjánál. Természetesen nem alkalmazhatunk tetszőlegesen nagy csillapításokat sem, mert akkor éppen a kerék irányíthatóságát, gördülési irányválasztását akadályoznánk.
1
f / fn
Rezgési frekvenciák
0 3
ζ=0.00 ζ=0.02 ζ=0.03
I
Stabil
L
2
1 Dupla-Hopf bifurkáció I Instabil 0
0
0.05
0.1
V
0.15
0.2
0.25
7. ábra Stabilitási határok a hozzájuk tartozó rezgési frekvenciákkal
3.3. Kísérlet
A gumikerék modell elméleti számításából kapott eredményeket kísérleti úton szerettük volna validálni [7]. Ehhez egy hagyományos biciklikereket vontattunk futópadon (lásd 8. ábra). A vontatáshoz olyan felfüggesztést építettünk, amin a mechanikai modell összes paraméterét változtatni lehet.
10
8. ábra Kísérleti berendezés
A mérések során sikerült detektálni az elméleti stabilitási határ alsó szegmensét, de nagy vontatási hosszakra jelentős eltérést fedeztünk fel az elméleti modell és a valós kerék viselkedése között (lásd 9. ábra). Az elméleti dupla-Hopf bifurkációs pont közelében kvázi-periodikus rezgést figyeltünk meg. A rögzített gyorsulásjel Fourier spektrumában azonban nem csupán a két elméleti lineáris rezgési frekvenciát találtuk meg, hanem további releváns csúcsokat azonosítottunk. Ezek kivizsgálására szimulációs programot készítettünk, amelyben már a kerék megcsúszását is figyelembe vettük. A 10. ábrán látható a mért és a szimulált kerékszitálás frekvencia spektruma. Mint látható, az összes releváns csúcs megtalálható a numerikus úton előállított rezgés spektrumában. A 11. ábrán lévő vízesés diagramon pedig megfigyelhető, hogy a kis zavarással indított szimulált mozgás először az elméleti frekvenciákkal rezeg, és csak a nemlineáris, megcsúszásokkal teli mozgása során mutatja a kimért spektrumú rezgést.
11
L
ζ=0.054 Futópad minimális sebessége
2.5
Kísérleti stabilitási határ 2 Stabil
Instabil
1.5 Elméleti stabilitási határ
a 1
t
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
V
9. ábra Kísérleti eredmény
Mérés
Numerikus szimuláció
Elméleti lineáris frekvenciák A
A
0
0.5
1
1.5 2 f [Hz]
2.5
3
0
0.5
1
1.5 2 f [Hz]
10. ábra A mért és a szimulált nagy amplitúdójú rezgés spektruma
12
2.5
3
Nemlineáris rezgés, sok megcsúszással
105 A
50
103
40
101 Kis amplitúdójú rezgés
10-1 0
30 20 t [s]
0.5
1
10 1.5 f [Hz]
2
2.5
3
0
11. ábra Vízesés diagram az elméleti dupla-Hopf pont közelében szimulált rezgésből
3.4. Modell továbbfejlesztése
A nagy vontatási hosszak esetében tapasztalt stabilitásbeli eltérés megszűnését a mechanikai modell pontosításától vártuk [10]. Többféle fejlesztési irányt figyelembe véve, végül a gumikerék modelljét változtattuk meg. Az úgynevezett „kefemodell” helyett a „feszített-húr” kerékmodellt alkalmaztuk a számításokban. Az új mechanikai modell figyelembe veszi a kontakttartományon kívüli kerékköpeny deformációt is. Ehhez a kerék relaxációs hosszát, mint új paramétert kell bevezetni, amit a dimenziótalanított rendszerben Σ paraméter jellemez. Egy megfelelő kísérleti összeállításban a relaxációt lemérve esetünkben Σ=1.8 értékre adódott. A továbbfejlesztett modellhez viszonyítva mért stabilitási határ a 12. ábrán látható. Nagy vontatási hosszakra a stabilitási tulajdonságok sokkal jobban megegyeznek, mint a „kefemodell” esetében.
13
L 3
Futópad minimális sebessége
ζ=0.02 Σ=1.8
Elméleti stabilitási határ
Stabil
2
Kísérleti stabilitási határ
Instabil 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
V
12. ábra Kísérleti és elméleti stabilitási határok
4. ÖSSZEFOGLALÁS
A bemutatott kis szabadsági fokú mechanikai modellek, a kerékszitálás néhány gyakorlatból ismert dinamikai tulajdonságát jól leírja. A merev kerekes modell nemlineáris vizsgálatából olyan elkülönült periodikus pályákat azonosítottunk, amik remekül megmutatják, hogy a kerékszitálás milyen rejtett mozgása lehet egy szerkezetnek. A valós rendszerekben megfigyelt simminek másik ismert tulajdonsága a kvázi-periodikus rezgés, amit a gumikerekes modell leírásához használt időkésleltetett rendszer segítségével mutattunk ki. A jövőbeli kutatások egyik lehetséges iránya a gumikeréknél ismertetett „memóriahatás” alkalmazása a kerekek longitudinális rezgéseinél. Az ez irányú vizsgálatok segítségével új fékezési stratégiák kerülhetnek kidolgozásra, amik az ABS rendszerek továbbfejlődését nagyban elősegíthetik. 5. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS
A kutatáshoz az OTKA K68910 pályázat valamint az MTA-BME Gépek és Járművek Dinamikája Kutatócsoport nyújtott anyagi segítséget.
14
6. IDODALOMJEGYZÉK
[1]
Gantmacher, F.: Lectures in Analytical Mechanics, MIR Publishers, Moscow, 1975.
[2]
Griffith, J. B.: The Theory of Classical Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
[3]
Sitkei, Gy.: Mezőgazdasági gépek talajmechanikai problémái, Budapest, Akadémia kiadó, 1967.
[4]
Sitkeit, Gy.: A talaj-kerék kapcsolat néhány elméleti kérdése, MTA Székfoglalók a Magyar Tudományos Akadémián, 2000.
[5]
Rácz Elemér: Repülőgépek orrfutójának lengése, Járművek, Mezőgazdasági Gépek, 2. évf., 8. sz., 243-248. old., 1955.
[6]
Takács, D., Stépán, G., and Hogan, S. J.: Isolated large amplitude periodic motions of towed rigid wheels. Nonlinear Dynamics, online megjelent, 2007.
[7]
Takács, D. and Stépán, G.: Experiments on quasi-periodic wheel shimmy. In Proceedings of IDETC/CIE 2007. ASME, 2007.
[8]
Doedel, E.J., Champneys, A.R., Fairgrieve, T.F., Kuznetsov, Yu.A., Sandst-ede X. Wang, B.: ”AUTO97: Continuation and bifurcation software for ordinary differential
equations
(with
HomCont)”
Technical
Report,
Concordia
University, 1997. [9]
Pacejka, H.: Tyre and Vehicle Dynamics, Elsevier Butterworth-Heinemann, 2002.
[10] Takács, D., Orosz, G. and Stépán, G.: Delay effects in shimmy dynamics of wheels with stretched-string like tyres, European Journal of Mechanics Solid/A, benyújtva, 2007. Adatok:
Stépán munkahely:
Gábor: Műszaki
akadémikus,
gépészmérnök,
Mechanikai
Tanszék,
beosztás: Budapesti
tanszékvezető, Műszaki
és
Gazdaságtudományi Egyetem, elérhetőség: 1521 Budapest Pf. 91., tel: +36 463 1369,
[email protected] Takács Dénes: gépészmérnök, beosztás: PhD hallgató, munkahely: Műszaki Mechanikai
Tanszék,
Budapesti
Műszaki
és
Gazdaságtudományi
elérhetőség: 1521 Budapest Pf. 91., tel: +36 463 1227,
[email protected]
15
Egyetem,
