KERAPATAN SPEKTRUM DAYA (POWER SPECTRAL DENSITY)

KERAPATAN SPEKTRUM DAYA (POWER SPECTRAL DENSITY) Sigit Kusmaryanto http://sigitkus.lecture.ub.ac.id

Kerapatan Spektrum Daya dalam topik ini dapat dijabarkan melalui penjabaran spektrum Daya sinyal – sinyal

random dan noise. Di dalam bab ini kita

mencoba beberapa metode untuk menangani munculnya efek noise di dalam dasar spektrum.

4.1. Kerapatan Spektrum Daya. Teorema Parseval memberikan hubungan antara waktu ( f(t) ) dan transformasi Fourier sebagai berikut :

∫

∞

−∞

2

∞

[ f ( t )] dt = 1 / 2π ∫ [ F (ω )] 2 dω −∞

4.1

Integtral sebelah kiri merupakan Daya dalam f(t) yang dikalikan dengan

( )2

r3esistansi satu ohm. Sedang F ω

asdalah Daya per unit dari frekuensi

normal untuk resis6ansi satu ohm. Daya yang terbentuk berasal dari hasil integral tegangan dan arus dengan batas - batas tertentu. Hubungan tegangan v(t) dan arus I(t) adalah sebagai berikut: E=

∫

∞ −∞

v ( t )i ( t ) d t

4.2

Namun demikian kita dapat menggunakan persamaan matematik untuk sinyal sinyal baik arus maupun tegangan. Jika muatan resistor satu ohm, tidak banyak perbedaanya. Untuk muatan - muatan resistor yang bukan satu ohm, kita

gunakan hukum ohm : v(t) = Ri(t). Sebagai contoh f(t) = tegangan. Menggunakan teorema Parseval, kita mendapatkan hubungan sebagai berikut : ∞

Ef =

1 R

Ef =

1 2π R

∫

2

−∞

∫

4.3a

f ( t ) dt

∞

2

−∞

F (ω ) d ω

4.3b

Sedangkan untuk f(t) = arus kita dapat menuliskan sebagai berikut:

Ef = R ∫

R 2π

Ef =

∫

∞ −∞

∞

2

4.4a

f (t ) dt

−∞

2

F (ω ) d ω

4.4b

Dimensi Daya dalam sistem MKS adalah joule. Untuk resisstansi satu ohm F (ω )

2

adalah Daya per unit dari frekuensi,

biasa disebut : energy spectral density dari sinyal f(t). Energy spectral density merupakan fungsi relattif dari energy yang dihasilkan oleh sinyal dan frekuensi, kedua- energy spctral density adalah total luasan di bawah energy Kuantitas F (ω )

2

diperoleh dari Daya variasi frekuensi. Untuk

F (ω )

2

F (ω ) . 2

kontunu,

Daya yag diperoleh adalah nol. Jadi untuk memperoleh Daya harus ada range frekuensi untuk pengintegralan. Konsep dari energy spectral density merupakan satu hal penting untuk pengantar perhitunganh spektral energy relatif melalui sistem linier. Melihat hal itu,sinyal input f(t) dari sistem linear invarian waktu yang ditransfer ke fungsi frekuensi adalah H( ω ) . Keluarannya adalah spectral - density amplitodo yang dinyatakan dlam G( ω ) : G (ω ) = F (ω ) H (ω )

Dan energy density(keadaan normal) dari G( ω ) adalah : G (ω ) = F (ω ) H (ω ) 2

2

Daya output dari sinyal adalah : Eg =

1 2π

∞

∫

F (ω )

2

H (ω ) d ω 2

4.6

−∞

Dengan kata lain energy density dari respon sistem diberikan oleh energy density dari sistem input digandakan oleh kwadrat magnitude dari fungsi sistem transfer. Semua phasa informasi sinyal dari fungsi sistem transfer merupakan kalkulasi dari Daya dan energy density. Namun hanya magnitude dari fungsi sistem transfer perlu diperhatikan dalam perhitungan Daya density. Di dalam ilmu fisika interprestasi dari Daya density dapat diterangkan melalui persamaan (4.6). Sinyal f(t) diumpamakan input dari verry narrow bandpassfilter dengan fungsi transfer frekuensi H( ω ) ditunjukkan dalam gambar 4.1. Output dari narrow band filter adalah g(t),dapat kita temukan Dayag(t) sebagai berikut : Eg =

1 2π

∫

∞ −∞

2

G (ω ) d ω

− ω 0 + ( ∆ω / 2 )

1 1 2 2 = − F (ω ) H (ω ) dω + ∫ 2π − ω o − ( ∆ ω / 2 ) 2π =

1 1 2 2 F ( −ωo) ∆ω + F (ωo) ∆ω 2π 2π

dimana ∆ω = sanagat kecil.

ωo + ( ∆ω / 2 )

∫ωF (ω )

2

H (ω ) dω

ωo − ( ∆ / 2 )

4.7

2

Jika sinyal f(t) bernilai real, maka F(- ω ) =F( ω ) dan

F ( −ω ) = F (ω ) .

Kosekuensi semua sinyal bernilai nyata dari energy spectral density adalah fungsi dari w. Prosesnya adalah: Jika f(t) bernilai real setengah dari Daya dikontribusikan dengan komponen kompoinen frekuensi negatif dan setengahnya lagi oleh komponen - komponen frekuensi positif. Penandaan praktis dari pembahasan ini dapayt diralisasikan dengan penyegaran prosedure. Diberi sinyal pulsa f(t) dimana dapat kita temukan energy spectral density ? Salah satu jalan adalah pendalaman penyebaba dan bentuk paralel dari narrow band filter, semua filter - filter diletrakkan pada frekuensi berdekatan antara yang satu dengan yang laian. Jika kita memakai f(t) untuk rangkaian paralael filter - filter seperti gambar 4.2(a) kita dapat mengira ngira penyebaran energy spectral density dari f(t). Ediilustrasikan pada gambar 4.2(b).Penandaan setengah energy dari distribusi yang satu untuk daerah komponen - komponen frekuensi negatif ditunjukkan gambar 4.2 ©. Peralatan yang digunakan untuk pembentukan fungsi biasa disebutr” multi channel spectral analyser”. Ringkasan ari uraian di atas, Daya spektral density dan sinyal merupakan energy per unit dari frekuensi dan tampilan - tampilan dari penyebaran Daya dari komponen frekuensi yang berbeda. Daerah di bawah Daya spectral density memberikan Daya tanpa diberi band frekuensi.

4.2. Power Spectral density Tidak semua sinyal yang interest mempunyai Daya terbatas . Beberapa sinyal mempunyai Daya terbatas tetapi mungkin mempunyai rata - rata waktu Daya

yang terbatas. Rata - rata waktu dari Daya disebut rata - rata Daya dan beberapa sinyal disebut sinyal Daya. Rata - rata waktu Daya dari sinyal diberikan oleh :

lim 1 P= T → ∞ T

T /2

∫ f (t )

2

dt

4.9

−T /2

Untuk sinyal periodik masing - masing periode berisi jiplakan dari fungsi dan operasi limit dari persamaan 4.9 dapat ditinggalkan sejauh T sesuai dengan periodenya. Persamaan 4.9 merupakan nilai kuadrat dari sinyal f(t), yang merupakan nilai rata - rata Daya, jika resistansinya satu ohm. Skala diluar satu ohm yang melewati dibahas pada Daya dan Daya spectral density. Analog seperti sinyal Daya yang dibahas sebelumnya, Daya harusberhati hati di dalam fungsi baru dalam frekuensi yang berbeda. Ambil contoh fungsi dari power spectral density ada Sf(w). Fungsi ini adalah unbit - unity Daya per frekuensi dan diintegralkan dalam daerah Daya pada fungsi f(t). Ditulis : P=

1 2π

∞

∫

S f ( ω )d ω

4.10

− ∞

Fungsi spektrum kepadatan Daya melukiskan penyebaran Daya terhadap frekuensi dan merupakan hal yang penting dalam sistem praktis. Kita dapat menggunakan perkiraan relatif dari kerapatan spektrun Daya Sf

(ω ) terhadap sinyal f(t). Sinyal tenega diberikan pada gambar 4.3(a). Dari observasi sinyal Daya terdapat pada interval (-T/2, T/2) ditunjukkan pada gambar 4.3(b). Fungsi translasi dapat ditulis f(t) rec (t/T).

Tranformasi Fourier dari fungsi translasi f(t) rec (t/T) adalah:

{

( )

FT (ω ) = F f ( t ) rec t T }

4.10

Teorema Parseval untuk fungsi translasi :

∫

2

f (t ) d t =

T /2 −T /2

1 2π

∫

∞ −∞

2

F T (ω ) d ω

4.11

Rata - rata Daya pada satu ohm adalah : T /2

lim 1 lim 1 1 2 P= f (t ) dt = ∫ T → ∞ T −T /2 T → ∞ T 2π

∞

2

∫ FT (ω )

dω

4.12

−∞

Gabungan dari 4.10 - 4.12 adalah :

1 2π

∞

lim 1 1 ∫− ∞ Sf (ω )d ω = T → ∞ T 2 π

∞

∫

2

FT (ω ) d ω

4.13

−∞

Selanjutnya dalam hubungan peningkatan frekuensi :

1 G f (ω ) = 2π

ω

ω

lim 1 1 ∫− ∞ Sf ( u )du = T → ∞ T 2 π

2

∫ FT (ω )

dω

4.14

−∞

Gf(w) = Daya komulatif dari semua komponen frekuensi yang diberi oleh frekuensi w = Spektrum Daya Komulatif/ equivalensy FT (u ) lim 2 π G f (ω ) = ∫ Sf (u )du = ∫ T → ∞ T −∞ −∞ ω

ω

2

du

4.15

d G f (ω ) = S f (ω ) dω

2π

F T (ω ) lim S f (ω ) = T → ∞ T

2

4.17

Persamaan 4.17 merupakan hasil yang kita inginkan untuk kerapatan spektrum Daya. Fungsi translasi Daya naik dengan naiknya T( lain tidak turun). Kuantitas FT (ω ) 2 meningkat dengan meningkatnya T( lain tetap ). T besar maka nilai fluktuasi dan efek akhir -pad integrasi akan menjadi kecil dan kuantitas FT (ω ) 2 /T mungkin mendekati limit. Dalam praktek penggunaan Power Spectral Density “ sering disingkat dengan power density atua power spectrum. Persamaan 4.17 merupakan metode yang digunakan untuk mencari determinan dari power spectral density pada sinyal. Untuk pengunaan sinyal Daya yang umum kita dapat mengulang lebih cepat jika kita punya sinyal Daya periodik. Asumsi f(t) madalah periodik diberikan oleh persamaan exponensial Fourier : ∞

f (t ) =

∑

Fne

jn ω o t

n = −∞

Dengan Teorema Parseval :

f

2

(t ) =

∞

∑

Fn

2

n= −∞

4.18

Memberikan Daya pada resistansi satu ohm pada frekuensi lain yang harmonik untuk f(t), menghasil nilai total rata - rata Daya. Untuk sinyal periodik kita menggunakan persamaan 4,18 yang diplot untuk spektrum Daya garis, gambar4.4(a). Spektrum Daya komulatif yang diperoleh dari persamaan 4.18. Daya akan naik step - per step, karena Daya tidak mungkin negatif.

Spektrum Daya pada fungsi periodik Penulisan Gf(ω) dalam pembentukan rumus, didapatkan : (4.19) Menurut pengertian kita, bahwa turunan fungsi tep adalah

fungsi implus

(impulse Function). Persamaan (4.16) dan (4.19) menjadi : (4.20) Oleh karena itu densitas power sprektral dari fungsi periodik adalah fungsi impulse secara seri dengan luasan dihubungkan dengan

komponen yang

dikuadratkan dari koefisien fourier seri. Umumnya dapat dikonversikan garis power sprektrum pada power sprektal density yang sederhana dengan mengubah garis menjadi impulse. Luasan dari impulse ini adalah jumlah dari kuadrat komponen-komponen garis tinggidan dikalikan dengan 2π jika dalam frekuensi radian. Integral dari power sprektral density pada semua luuasan frekuensi adalah :

1 P= 2π

∞

∫S

f

(ω ) dω

−∞

yang mana setiap satu ohm resistor diberikan : f 2 (t ) =

1 2π

∞

∫ 2π

−∞

∞

∑ n = −∞

Fn δ (ω − nω 0) dω = 2

∞

∑ Fn

2

n = −∞

Hasil ini adalah bersesuai dengan teorema Parseval.

Pentransmisian power sprektral melalui sistem linier mengikuti alur yang sama dari densitas Daya. Misalkan mengaplikasikan fungsi alih pada pemfilterasn variasi waktu linier, frekuensi fungsi alih dituliskan H(ω). Pemotongan fungsi tanggapan, GT(ω) adalah

GT (ω ) = FT (ω ) H (ω ) Sinyal keluaran dari densitas power sprektral :

S x (ω ) = Lim

FT (ω ) H (ω )

T →∞

T FT (ω )

= lim

2

T →∞

2

H (ω )

T

S x (ω ) = S f (ω ) H (ω )

2

2

(4.21)

Jadi sinyal keluaran densitas power sprektral adalah sinyal masukan densitas power sprektral yang dimodifikasi oleh besarnya akar dari sistem fungsi alih. Akar rata-rata sinyal keluaran didefinisikan sebagai berikut :

g 2 (t ) =

1 2π

∫

∞

−∞

S f (ω ) H (ω ) dω 2

(4.22)

Persamaan (4.21) dan (4.22) memberikan suatu gambaran bahwa besarnya fungsi alih yang dihasilkan adalah cara yang populer untuk membangkitkan penguat amplifier. Hi-fidelity audio amplifiers. Misalnya digunakan untuk membangkitkan tanggapan kurva pada penguat basis (basis power) adalah merupakan grafik dari log H(ω ) dengan 2

log(ω).Satuan densitas power sprektral dalam sistem MKS adalah watt per Hz.

4.3 Waktu Rata-rata timbulnya Noise/kebisingan Konsep power sprektral juga dapat menganalisa efek rata-rata dari fluktuasi acak yang timbul dalam proses kerja suatu alat. Fluktuasi inii disebabkan dari tegangan atau arus yang tidak stabil dan melekat dalam sinyal yang disebut noise atau kebisingan. Dalam beberapa hal umum, noise terdiri dari sinyal yang tidak diinginkan, acak yang terinterferensi dengan sinyal yang dihasilkan kembali dari sistem tersebut. Sinyal yang tidak di inginkan ini muncul dari beberapa macam sumber dan bisa diklasifikasikan sebagai kejadian alam. Noise yang timbul tidak bisa dihilangkan tetapi dapat diperkecil dengan pendisainan sistem yang cermat . Konsep densitas power sprektral sangat

berguna dalam menghilangkan efek-efek noise pada basis penguat perata (averege power basis). Dalam pembentukan nilai rata-rata dari sinyal (acak atau tidak acak) didapatkan suatu parameter yang dapat menganalisa tentang sinyal yang biasanya hilang dalam suatu proses dari suatu sistem. Misalkan n(t) adalah noise tegangan atau arus. Maka : 1. Nilai rata-rata, n ( t ) :

n(t ) = lim

T →∞

1 T

T 2

∫ n(t )dt

(4.23)

T − 2

Parameter n ( t ) direferensikan sebagai dc atau rata-rata nilai n(t) dalam waktu interval T. yang digambarkan pada gambar 4.6(a). 2. Nilai akar rata-rata n 2 (t )

1 T →∞ T

n 2 (t ) = lim

T 2

∫ n( t )

2

dt

(4.24)

T − 2

Akar n 2 ( t ) disebut nilai rms dari n(t). Persamaan (4.24) melukiskan waktu rata-rata Daya pada n(t).

Dari persamaan ini dapat dicari integral dari densitas power

sprektral Sn(ω) 3. Komponen AC, σ (t ) :

σ (t ) ∆n(t ) − n(t )

(4.25)

AC/Fluktuasi, komponen dari n(t) adalah komponen yang tetap dari nilai rata-rata

n ( t ) yang terlewat, yang digambarkan gambar 4.6(b) sebagai berikut :

Gambar 4.6(a) Gelombang noise acak dan (b) komponen ac

Dengan mesubstitusikan persamaan (4.25) ke dalam persamaan (4.24) didapatkan :

1 T →∞ T

T 2

∫

n 2 (t ) = lim

n 2 (t ) = lim

T →∞

1 T

−

2

n(t ) + σ (t ) dt

T 2

T 2

∫ n( t )

2

dt + lim

T →∞

T − 2

1 T

T 2

∫ σ (t )

2

dt

(4.26)

T − 2

Dari persamaan (4.26) terlihat bahwa n ( t ) adalah konstan dan rata-rata dari σ (t ) didefinisikan sama dengan nol. Pada sisi kiri persamaan (4.26) adalah waktu rata-rata Daya dalam n(t). Pada sisi kanan persamaan (4.26) pertama adalah komponen dc dan persamaan kedua adalah Daya ac (ac power) dalam n(t) dan nilai rms n(t) di hitung dari nilai rms σ (t ) jika nilai rata-rata n ( t ) sama dengan nol. Contoh 4.3.1 Hitunglah a) Nilai rata-rata, b) ac power dan c) Nilai rms dari suatu gelombang periodik V(t)=1 + Cos ω0 t Jawab Karena V(t) adalah gelombang periodik (berulang-ulang), maka dapat diintegralkan dari pada mencari limit-nya. a). v (t ) =

1 T

T 2

∫ (1 + Cosω

1 b). σ 2 (t ) = T

2 c). v (t ) =

0

t )dt = 1 ,

T − 2

1 T

T 2

∫ (Cosω −

0

t ) 2 dt =

T 2

T 2

∫ (1 + Cosω −

T 2

0

t ) 2 dt

1 , 2

=

1 T

T 2

∫ (1 + 2Cosω −

0

t + Cos 2ω 0 t )dt =

T 2

3 2

v rms = v 2 ( t ) = 3 2 Rasio sinyal per noise (S/N) dapat dibentuk dengan mencari rasio sinyal akar ratarata dibagi akar rata-rata noise karena adanya faktor resistansi jatuh. yaitu :

S s 2 (t ) = N n 2 (t )

(4.27)

dalam desibel

[

2 2 [S/N]db=10 Log10 s (t ) n (t )

]

(4.28)

Dimana s 2 (t ) dan n 2 (t ) diasumsikan untuk diukur pada suatu titik yang sama.

4.4. Fungsi Kolerasi Pada pembahasan yang lalu telah dijelaskan tentang bagaimana sinyal-sinyal bisa dianalisa dengan menggunakan fungsi densitas power sprektral Sf(ω). Dalam sub bab ini membahas bentuk operasi dalam kawasan waktu (time domain) yang ekivalen untuk menyelesaikan

densitas

power

sprektral

dalam

fungsi

frekuensi.

Dengan

mengasumsikan definisi dari densitas power sprektral memenuhi yaitu :

1 2 FT (ω ) T →∞ T

S f (ω ) = lim

(4.29)

Hubungan operasi dalam kawasan waktu adalah invers transformasi Fourier dari persamaan (4.29) :

1 ζ {S s (ω )} = 2π −1

∞

∫ lim F (ω )

−∞

T

T →∞

2

e jωt dω

(4.30)

Dari persamaan (4.30) dipilih variable waktu baru τ sebab variable waktu t sudah didefinisikan dari fungsi FT(ω). Hubungan baru dapat diperoleh dari penyelesaian bidang operasi : ∞

1 FT*∴ FT (ω )e jωt dω T →∞ 2πT ∫ −∞

ζ −1 {S s (ω )} = lim

= lim

T →∞

1 2πT

1 = lim T →∞ T

T ∞ 2

T 2

∫∫f

*

−∞ T − 2

(t )e jωt dt ∫ f (t1 )e − jωt1 dt1e jωt dω −

T 2

T 2

T 2

 1 ∫T f (t ) ∫T f (t1 )  2π − −

∞

*

2

∫e

jω ( t − t1 +τ )

−∞

 dω dt1dt 

(4.31)

2

Integral dalam ω dari persamaan (4.31) dikenal sebagai δ(t-t1+τ), karena itu :

ζ −1 {S f (ω )} = lim

1 T →∞ T

T 2

∫f

T 2

*

(t ) ∫ f (t1 )δ (t − t1 + τ )dt1dt

T − 2

1 = lim T →∞ T

−

T 2

∫f

*

T 2

(t ) f (t + τ )dt

(4.32)

T − 2

Persamaan (4.32) melukiskan tentang operasi dalam kawasan waktu yang berkolerasi dengan pendefinisian dari Sf(ω) dalam kawasan frekuensi. Invers transformasi fourier dari Sf(ω) disebut fungsi kolerasi langsung dari f(t), dikenal dengan Rf(τ). sehingga dapat dituliskan :

R f (τ ) = lim

T →∞

1 T

T 2

∫f

*

(t ) f (t + τ )dt

(4.33)

T − 2

Juga, mencari transformasi fourier dari kedua sisi dari persamaan (4.32) dan persamaan (4.33), didapatkan :

{

}

S f (ω ) = ζ R f (τ )

(4.34)

Sehingga dari persamaan diatas dihasilkan metode lain dalam mencari fungsi densitas power sprektral. Contoh 4.4.1 Cari dan sketsa fungsi kolerasi langsung dari fungsi periodik gelombang segi empat dengan amplitudo puncak ke puncak A, periode T, dan nilai rata-rata Jawab.

A 2

Karena f(t) periodik (berulang-ulang), operasi limit dalam menyelesaikan Rf(t) dapat diganti dengan mengintegralkan dalam satu periode dengan menggunakan persamaan (4.33) : Untuk -T/2 < τ < 0 :

R f (τ ) =

1 ( T 4 ) +τ 2 1 τ A dt = A 2  +  ∫ T − 2 T T 4

Untuk 0 < τ < T/2 : usghjkjdfjkhdf gambar f(t) dan R(τ) ditunjukkan oleh gambar 4.7. Sejak f(τ+T)=f(t), maka semua perhitungan diulangi sampai setiap periode. Ini membuktikan bahwa fungsi kolerasi langsung secara periodik dari bentuk gelombang adalah periodik.

Contoh 4.4.2. Cari fungsi korelasi langsung dari

2 Cos(ω 0 t + θ )

Jawab

Fungsi

kolerasi

langsung

(autocorelation)

secara

luas

digunakan

dalam

menganalisa suatu sinyal, dan berguna untuk mendeteksi sinyal-sinyal yang melekat pada noise yang bertambah. Misalnya gelombang berulang segi empat seperti yang ditunjukkan 4.8(a) adalah fungsi kolerasi langsung (autocoleration) seperti contoh 4.4.1 yang ditunjukkan gambar 4.8(b). Bidang limit dari gel noise acak ditunjukkan oleh gambar 4.8(c) dan fungsi kolerasi langsunya ditunjukkan gambar 4.8(f). Untuk cross kolerasi dari dua bentuk gelombang f(t) dan g(t) didefinisikan Rrf(τ) adalah : (4.35) Sebagai contoh aplikasi dari cross kolerasi, misalnya bentuk gelombang acak f(t) pada gambar 4.9(a), fungsi kolerasi langsungnya Rfr (τ) akan sama dengan yang ditunjukkan gambar 4.8(a). Untuk fungsi kedua g(t) dipilih g(t)=f(1-t0)+n(t), bentuk gabungan fungsi

g(t) adalah pada gambar 4.9(b). Sedangkan fungsi cross kolerasinya yang didefinisikan pada persamaan (4.35) hasilnya ditunjukkan oleh gambar 4.9(c).

puncak dari fungsi korellasi mengindikasikan tentang bagusnya kesesuaian antara sinyal-sinyal tersebut. Keduanya, autokorellasi dan krosskorellasi adalah alat yang sangat kuat dalam analisa sinyal dalam pekerjaan analisa dan praktek. Kita akan sering membahas keduanya dalam bahasan selanjutnya. 4.5 BEBERAPA HAL TENTANG FUNGSI KORELASI Kita telah mendapatkan pada bagian sebelumnya, bahwa tranformasi Fourier dari fungsi autocorellasi mamberikan kerapatan spektrum daya dari fungsi korellasi. Kita akan membahas secara singkat beberapa hal yang berhubungan dengan fungsi autokorellasi. 4.5.1 Symmetry Pengujian fungsi autokorrelasi untuk argumen negativ, kita memiliki (4.36)

Oleh karena itu bagian nyata dari Rf(t) adalah suatu fungsi kejadian; dan jika f(t) adalah nilai nyata kemudian Sf(-ω) = Sj*(w) (sesuai persamaan 3.38 dan 4.34)

4.5.2 Nilai kuadrat rata-rata Fungsi autokorellasi Rf(τ) dievaluasi pada t=0 adalah persamaan nilai kuadrat rata-rata dari sinyal ƒ(t) [ sesuai persamaan (4.24)],

(4.37) Bagian kiri dari persamaan (4.37) sesuai dengan persamaan (4.10) dan (4.34) dengan referensi 1 0hm.

4.53 Periodesitas jika f(t + T) = f(t) untuk semua t, maka Rf(τ + T) = Rf(τ)

untuk semua τ.

(4.38)

Bukti kemudahan dari penulisan integral dan penggunaan dari definisi periodesitas.

4.54 Nilai rata-rata Fungsi f(t) kembali diwakili oleh fungsi x(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh m1. Secara umum kita mewakilkan g(t) sebagai fungsi y(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh m2. Dalam persamaan umum kita dapat menuliskan sebagai.. f(t) = x(t) + m1, g(t) = y(t) + m2 Krosskorellasi dari f(t) dan g(t) adalah

Tercatat bahwa x(t) dan y(t) didefinisikan bernilai rata-rata nol, sehimgga kita mempunyai

Nilai rata-rata dari fungsi kroskorelasi adalah

Pengubahan untuk pengintegralan, kita mempunyai

Sebab adalah nol, kita mendapatkan hasil

Olehkarena itu nilai rata-rata dari dua fungsi autokarrelasi f(t) dan g(t) adalah persamaan dari hasil nilai rata-rata keduanya. Jika nilai rata-rata salah satu dari

kedua fungsi tersebut adalah nol, maka nilai rata-rata dari krosskorelasinya adalah nol. Hasil dari autokorrelasi bisa diambil dari hasilnya

4.5.5 Nilai Maximum Kita dapat melihat bahwa Rx(0) untuk beberapa t (lihat persamaan 4.7) dengan mengambil kuadrat besarnya dari fungsi autokorrelasi dan

menggunakan

persamaan Schwarz. Sehingga kita mempunyai

Rf(0) Rf(0) Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita mendapatkan |Rf(τ)| Rf(0). Olehkarena itu fungsi autokorrelasi Rf(τ) terikat oleh nilai kuadrat rata-rata dari sinyal f(t). Untuk sebuah sinyal periodik , persamaan pada 4.40 adalah sesuai pada multi periode dari aslinya(lihat persamaan 4.7). Untuk non periodik f(t),Rf(t) adalah secara tepat kurang dari Rf(0) untuk semua τ tidak samadengan 0.

4.5.6 Penambahan Jika dua sinyal ditambahkan, Fungsi Autokorrelasi dari penjumlahan keduanya bukan berarti penjumlahan dari kedua fungsi autokorrelasi tersebut. Untuk menyelidikinya, kita tulis z(t) = x(t) + y(t). Jumlah fungsi autokorrelasi dari dua sinyal x(t) dan y(t) adalah

(4.41)

Kita menyimpulkan bahwa jika fungsi krosskorelasi adalah nol [ i.e., jika Rxy(τ) = Ryx(τ) = 0]dapat ditulis Rz(τ) = Rx(τ) + Ry(τ).

(4.42)

Untuk kondisisi Rxy (τ) = 0 untuk semua τ , kita mengatakan bahwa x(t) dan y(t) adalah unkorrelasi. Lebih jauh, kita dapat melihat bahwa Ryx(τ) = R*xy (τ), maka dengan demikian Rxy(τ) = 0, sehingga Ryx(τ) = 0. Catatan jika x(t) dan y(t) adalah orthogonal, sehingga keduanya bersifat unkorellasi. Dalam penambahan, sesuai yang kita bahas dalam BAB 8, jika x(t) da y(t) bersifat statistik yang bebas, maka keduanya juga bersifat unkorellasi. Sebab Daya kerapatan spektrum adalah transformasi Fourier tentang fungsi autokorellasi, dalam hal ini mencakup dua sinyal x(t) dan y(t) diman bersifat unkorellasi saaat Daya kerapatan spektrumnya ditambahkan. Dengan kata lain Daya rata-rata dari penjumlahan dua sinyal adalah jumlahan dari Daya rata-rata dua sinyal yang bersifat unkorellasi. Dalam hal ini fungsi krooskorellasi tidak nol, yang pertama sinyal harus ditambahkan kemudian Daya rata-rata mungkin dideterminasi atau diekivalenkan, dengan mencakup krosskorellasi.

4.6 Fungsi Korelasi dari Sinyal-sinyal Daya Terbatas.

Konsep dari korelasi dapat diperluas untuk memperjelaskan sinyal-sinyal dari Daya terbatas. Secara khusus, kita mendefinisikan fungsi autokorelasi rf(τ ) untuk suatu sinyal f(t) dari Daya terbatas sebagai, (4.43)

Sama dengan diatas untuk sinyal-sinyal f(t) dan g(t) yang keduanya adalah Daya, mendefinisikan fungsi korelasi silang (cross-correlation function) rfg ( τ ) sebagai, (4.44)

Perhatikan untuk fungsi-fungsi dengan nilai nyata. Operasi ini akan sama dengan yang digunakan untuk belit (convolution) kecuali fungsi kedua tidak terbalik. Transformasi fourier dari persaman (4.43) memberikan : (4.45) Penukaran tingkatan integrasi dari persamaan (4.45), diperoleh (4.46) Menggunakan selang waktu dari transformasi fourier pasa sisi kanan pada persamaan (4.46) didapatkan (4.47) Dengan mengkombinasikan persamaan (4.46) dan (4.47) didapatkan : F { rf (τ) } = | F(ω)|2

(4.48)

Mengindentifikasi sisi kanan pers. (4.48) sebagai kerapatan spektral Daya f(t). Dapat disimpulkan bahwa kerapatan spektral Daya adalah transformasi fourier dari fungsi autokorelasi untuk sinyal-sinyal Daya terbatas.

4.7 Band Limited White Noise.

Funsi kerapatan spektral daya memiliki peran penting didalam penjelasan ratarata waktu (time-averange) dari noise acak. Type tertentu dari kerapatan spektral daya yang diteliti ini adalah cenderung konstan untuk segala frekuensi. Spektrum daya yang datar seperti yang ini mengandung seluruh komponenkomponen frekuensi dengan pengaruh daya yang sembarang disebut white, yang dianalogikan cahaya putih (white light). Jika kita memiliki suatu kerapan spektral spektral daya yang konstan dengan η Watt/Hz (diukur pada frekuensi positif), dan jika n(t) memiliki nilai ratarata nol, maka kerapan spektral daya dari white noise adalah :

Sn (ω) = η/2

(4.49)

Setengah dari faktor pers. (4.49) seharusnya memiliki kerapatan spektral daya dua sisi. Perhatikan bahwa kita mendefinisikan Sn(ω ) dalam basis daya. Dengan kata lain untuk suatu resistor dengan R Ohm, kita harus mengalikan pers.(4.49) dengan R untuk diubah ke tegangan kuadrat rata-rata(mean-square current) dan dibagi dengan R untuk diubah kearus kuadrat rata-rata. Secara tepatnya pers.(4.49) tidak dapat digunakan untuk menggambarkan sustu proses fisik tertentu karena mengandung sutu jumlah tak terbatas dari daya, yaitu

Bagaimanapun juga persamaan ini pada akhirnya menjadi suatu model yang baik bagi banyak kasus dimana bandwidth dari perangkat yang diukur lebih smpit dari batasan proses fisik yang sedang diteliti. Karena pengukuran kita dibatasi oleh banwidth terbatas. Dengan kata lain jika suatu bentuk gelombang noise memiliki kerapatan spektral daya yang melebihi bandwith dari suatu sistem, noise akan tampak ke dalam sistem bagaikan white yang sebenarnya. Untuk band-limited white noise, daya noise tidak tergantung kepada pilihan frekuensi yang dioperasikan. Sebagai contoh misalnya n(t) adalah white noise rata-rata nol dengan kerapatan spektral daya n/2 Watt/Hz. Untuk suatu bandwith (B) dengan daya noise (Pn) adalah

watt

(4.50)

Dengan mengasumsikan bahwa persamaan diatas di kembangkan bagi suatu resistor ( R ) diperoleh tegangan noise kuadrat rata-rata (mean-square noise voltage) adalah : (4.51) Jika n(t) adalah arus maka :

GB amperes2

(4.52)

Pentransmisian white noise melalui sistem invarian waktu linier mengikuti suatu pola seperti yang dijelaskan pada kerapan spektral daya. Misalnya kita hendak mencari tegangan rms pada keluaran suatu filter yang fungsi transfer H(ω ) telah diketahui. Input diberi ni(t) dan output no(t). Kita dapat tuliskan : Sno(ω) = Sn(ω) |H(ω)|2

(4.53)

ω

(4.54)

Jika kerapatan spektral dari noise adalah white (diasumsikan resistor 1 Ohm). Pers. (4.54) menjadi (4.55)

4.7.1 Noise Termal

Noise termal tejadi akibat dari gerakan elektron-elektron bebas yang acak dari suatu medium penghantar karena adanya rangsangan Daya panas. Jalur dari tiap elektron pada pergerakannya beriontasi secara acak sebagai akibat dari adanya tubrukan. Pengaruh gerakan ini timbul arus listrik dalam resistor yang acak dengan suatu nilai dengan rata-rata nol. Dari pertimbangan termodinamik dan mekanikal kuantum kerapatan spektral daya dari noise termal dapat dijelaskan dengan persamaan sebagai berikut,

(4.56) Sn(ω) ≅ 2 kT watt / Hz

Untuk

| ω | << 2π kT/h

(4.57)

dimana : T = Suhu penghantar, °K K = konstanta Boltzman = 1,38 x 10 -23 Joule/ °K h = konstanta Planck’s = 6,625 x 10 -34 Joule-detik

Untuk frekuensi diatas kT/h, noise termal tidak lagi white. Sebaliknya jika frekuensi terlalu tinggi bagi sinyal-sinyal listrik dapat diasumsikan bahwa noise termal adalah white untuk maksud ini (sebagai contoh kt/h = 6000 GHz untuk T = 290 °K). Dalam prakteknya resistor bisa saja menghasilkan sedikit lebih banyak noise termal dibandingkan dengan yang diindikasikan kerapatan spektral diatas. Kelebihan ini merupakan suatu fungsi dari material-material dan geometri dengan mengabaikan faktor-faktor tersebut dalam hal ini. Perhatikan bahwa suatu suatu kapasitor ideal tidak memiliki sumber noise termal karena tidak adanya elektron-elektron bebas didalam suatu dielektrik ideal. Dilain pihak suatu Induktor ideal tidak memiliki su mber noise termal disebabkan konduktor ideal tidak mempunyai suatu struktur celah-celah untuk menghalang aliran atau elektron. Pers. (4.57) dan (4.51) kita dapatkan tegangan kuadrat rata-rata (rangkaian terbuka) yang dihasilkan oleh suatu resistor R didalam suatu bandwith (B) adalah : (4.58)

Arus kuadrat rata-rata (rangkaian terhubung) dihasilkan dengan menggunakan pers. (4.57) dan (4.52) adalah sebagai berikut : (4.59)

Model rangkaian ekivalen tegangan dan arus untuk band-limited termal noise diperlihatkan pada gambar 4.11. Resistansi ( R ) dan Konduktansi (G)

diasumsikan bebas noise dan bandwidth tidak terdapat pada peralatan yang diukur. Masalah -masalah rangkaian noise yang melibatkan komponen-komponen resistif yang dapat dipecahkan dengan menggunakan model-model rangkaian ini,

Gambar 4.11 Model rangkaian ekivalen noise termal a)

model tegangan

b) model arus

4.7.2 Transmisi Noise Termal Menggunakan Sistem Linier.

Kita telah mengasumsikan bahwa tidak terdapat hubungan antara gerakan acak dari elektron-elektron bebas pada resistor yang berbeda. Hal ini berrarti

konstribusi noise yang ditimbulkan dari gerakan acak ini menambah basis daya untuk lebar frekuensi tertentu. Misalnya sebagai contoh kita hubungkan suatu resistor ke terminal-terminal input dari suatu sistem linier yang hanya berisikan komponen-komponen yang bebas noise, seperti terlihat pada gambar 4.12 (a) , prosedurnya adalah sbb :

Kita mengganti resistansi input dengan sumber dengan suatu tegangan noise dan satu resistor ( R ) yang bebas noise seperti pada gambar 4.12 (b). Resistor yang bebas noise merupakan bagian dari fungsi transfer dari sistem. Berdasarkan suatu basis tegangan : Svi(ω) =

2kTR

(4.60)

Svi(ω) = Svi(ω) |H(ω)|2 (4.61) Tegangan output kuadrat rata-rata adalah ω ) |H(ω)|2 dω

(4.62)

Tapi bagaimana jika sistem itu sendiri mengandung komponen-komponen resistif yang bersifat noise ? . Jika sistem adalah linier , pasif dan bilateral maka resistansi noise efektif yang berlaku bagi input adalah , Req(ω) = ℜe{Z(ω)}

(4.63)

Dimana Z(ω) adalah nilai komplek impedansi input sistem. Kerapatan spektral tegangan noise berdasarkan pers. (4.60) Sv(ω) = .2kTReq

(ω)

(4.64)

Perhatikan bahwa pada umumnya Req (ω) adalah suatu fungsi dari frekuensi.

Gambar 4.12 Transmisi noise termal menggunakan sistem linier a)model sistem

b) model sistem linier

4.7.3 Lebar Bidang Noise Ekivalen

pernyataan seperti pada persamaan (4.58) dan (4.59) mengasumsikan adanya suatu filter ideal dari lebar bidang (B) untuk tujuan pengukuran noise. Dalam praktek, adalah mudah untuk mengkombinasikan berbagai karakteristik terbatas lebar bidang dari suatu sistem, dengan cara menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen ( Bn ), sebenarnya adalah filter ideal bandwith yang memberikan daya noise yang setara dengan yang dimiliki oleh sistem yang sebenarnya. Lebar bidang noise ekivalen untuk white noise dapat ditentukan sebagai berikut. Didalam asumsi white noise, kerapatan spektral daya input adalah adalah suatu konstata η/2. Output tegangan kuadrat rata-rata dari suatu sistem linier ditentukan oleh persamaan (4.62). Maka tegangan kuadrat rata-rata vo (t), untuk suatu resistor 1 Ohm adalah (berdasarkan pers. (4.55).

(4.65) Integral tertentu pada persamaan (4.65) adalah suatu konstanta untuk fungsi transfer frekuensi sistem tertentu H(ω).

Kita dapat menggunakan sustu pendekatan dalam kerapatan spektral daya adalah white untuk beberapa lebar bidang dari sistem. Dengan menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen Bn sehingga : 1. Kerapatn spektral daya pada output filter adalah white diantara bandwith (Bn) dan nol atau membentuk

suatu kerapatan spektral persegi panjang

ekivalen. 2. Areal dimana kerapatan spektral persegi panjang ini terdapat sama dengan areal dari kerapatan spektral pada output filter. Hal ini diilustrasikan pada gambar 4.14

Gambar 4.14 Sebuah grafik yang didefinisikan pada bandwith noise ekivalen.

Dengan menentukan frekuensi bidang tengah (midband) dari suatu sistem ωo (ωo = 0untuk suatu low pass filter ), tegangan sistem midband yang didapatkan adalah | H(ω)|2, dapat ditulis (4.66)

jika dihitung sisi kiri dari persamaan (4.65) dan (4.66) diperoleh

(4.67)

4.7.4 Daya Yang Tersedia dan Suhu Noise.

Dari pers.(4.49) dan (4.57), daya noise termal yang dihasilkan pada suatu pada resistor R adalah

Pn = kTB

(4.68)

Seberapa besar daya noise dapat diringkaskan menggunakan suatu muatan resistif yang telah disesuaikan R (bebas noise) untuk transfer daya maksimum, diperoleh tegangan transfer adalah setengah dari tegangan rangkaian terbuka. Daya maksimum yang tersedia Pa, selanjutnya adalah ¼ seperti ditunjukan pada pers. (4.68), atau

Pn = kTB

(4.69)

Dengan menguji persamaan diatas dapat dilihat bahwa k adalah suatu konstanta dan B adalah lebar bidang noise ekivalen yang konstan untuk suatu sistem yang ditentukan. Suhu T secara langsung berhubungan dengan daya noise yang tersedia untuk menggambarkan daya noise input adalah dengan menggolongkan daya noise input ini sebagai suatu suhu noise, Jadi temperatur noise menggolongkan kedalam suatu resistansi yang sesuai. Dalam prakteknya, kita harapkan untuk menghubungkan suatu amplifier (receiver) yang memiliki suatu resistansi input R untuk transfer daya maksimum. Suatu model yang disederhanakan dari amplifier ini adalah suatu resistansi input R pada temperatur noise ekivalen Te diikuti oleh suatu daya yang diperoleh yakni Gp. Dengan kata lain temperatur noise (Te) adalah suatu temperatur efektif dari suatu sumber noise termal while pada input sistem yang diperlukan untuk menghasilkan daya noise yang sama dengan yang ada pada output dari suatu sistem yang bebas noise ekivalen (eqivalen noiseless system). Beberapa amplifier yang noisenya sangat rendah misalnya antara 10 K s/d 30 K sementara receiver pemancar standar memiliki temperature noise 1000 K.

Rangkaian penerima yang disebabkan oleh thermal NOISE

Pada sebuah penguat white Noise umumnya masuk melalui temperatur ( Te ) yang disebabkan oleh pergerakan elektron acak yang bebas dalam rangkaian berada pada pada seluruh spektrum frekuensi yang tersedia.

Tidak dapat

dihindari dan biasanya tidak terlalu mengganggu transmisi. Efek temperatur

noise pada resitansi output ( Ro ) , Gain yang besar semuanya tidak dapat diabaikan begitu saja.

Dalam kenyataannya (operasi ) pengaruh temperatur ini ada juga dari luar yaitu langit dan linkungan sekitarnya dan pada saluran antena juga terjadinya noise. Perhitungan daya noise ialah: Pa = KTeB

4.7.5 NOISE FIGURE

Dalam suatu perangkat telekomunikasi daya kebisingan selalu ada (noise) karena dalam alat tersebut ada input maupun output. Maka daya noise dibandingkan dengan daya sinyal input dan daya sinyal output. Perbandingan daya sinyal terhadap kebisingan (sinyal to noise power ratio = S/N). Input sinyal to noise adalah (4.70) Output sinyal to noise adalah (4.71)

S/N yang ada pada output akan selalu kurang dari .S/N yang ada pada input, karena setiap penguat atau jaringan akan menambah kebisingan (noise).

(4.72)

Rumus ini baik sekali digunakan untuk menyederhanakan noise termal pada suatu sistem. Dimana Si(t) = sinyal input Ni(t) = noise termal, To= temperatur, Gp = Gain dan B = Bandwidth. Daya noise input adalah :

Ni = kTB

(4.73)

dan daya noise output adalah So = Si Gp

(4.74)

Sebuah penguat selalu ditambahkan noise termal karena terwakili dalam input amplifier.

No = k To B G + k Te B G

(4.75)

Kemudian disubstistusikan (4.73) - (4.75) kedalam (4.72) maka noise figure sebuah amplifier adalah :

(4.76)

Kadang-kadang faktor kebisingan dinyatakan dalam Decibel (dB).Angka kebisingan FdB = 10 log 10 (F)

4.7.6 Sky -Noise Temperatur.

Ketika suatu antena dihubungkan ke suatu input penerima akan selalu lebih mudah diwakili oleh suatu resistor yang (matching) dengan input penerima dan temperatur serta yang mewakili noise efektif langit dan lingkungan sekitarnya yang dilihat dari sisi antena. Suhu antena biasanya berkisar antara 290 °K. Bila resistansi input (Ri) suatu antena dengan temperatur (Ta), persamaan (4.75) dapat diubah menjadi :

No = k B (Ta + Te) G

(4.77)

Noise temperatur lebih mudah dipahami dan dapat dibandingkan secara langsung dengan noise temperatur penerima.

Gambar 4.16 Nilai rata -rata dari sky noise temperature

4.7.7

Sumber-sumber Lain Dari White Noise Dengan Range Terbatas.

Ada jenis lain dari noise yang dapat digambarkan dalam istilah sumber white noise, walaupun perkiraan tidak memuat range frekuensi seluas noise termal. Tabel 4.1.

Shot noise, sebagaimana dengan halnya dengan noise termal adalah timbul dalam peralatan fisik ketika suatu partikel muatan bergerak melalui suaru gradien potensial tanpa tumbukan dengan startime yang acak dengan menyamaratakan terhadap partikel-partikel seperti diatas, yang dapat diperoleh dari suatu aliran rata-rata, tetapi akan selalu ada fluktuasi pada harga rata-rata ini. Dalam tabung hampa udara shot noise timbul dari emisi acak elektron yang berasal dari katoda. Dalam perlatan semikonduktor, shot noise timbul dari sebagai hasil difusi acak, dari pembawa minoritas dengan generasi acak serta rekombinasi dari pasangan hole dan elektron. Dari pembawa yang dimuati dalam istilah arus rms.

(4.78)

Komponen noise lainnya muncul dalam divisi arus dengan peralatan multielektroda yang disebut noise partisi. Partisi ini merupakan noise yang acak. Transistor dan tabung hampa udara menghasilkan 3 noise : shot noise, partition noise dan termal noise, semua ini dapat dianggap seolah-olah kerapatan daya spektrum adalah data sepanjang bandwidth.

4.8

RINGKASAN

Kuantitas |F(ω)|2menggambarkan jumlah relatif dari Daya sinyal yang diberikan, f(t) terhadap frekuensi disebut sebagai kerapatan spektral Daya dari f(t), fungsi tersebut menggambarkan sambungan daya relatif dari sinyal f(t). Spektral daya dari suatu sinyal tidak periodik adalah merupakan fungsi frekeunsi.

Nilai rms dari bentuk gelombang dapat ditemukan dari daerah dibawah fungsi kerapatan spektral dayanya. Perbandingan dari sinyal rms terhadap noise rms disebut S/N. Transformasi fourier kebalikan dari kerapatan spektral daya adalah merupakan fungsi autokorelasi. Untuk sinyal dengan harga nyata dengan durasi (jangkauan waktu tertentu). Fungsi autokorelasi adalah disamping dari suatu konstnta normalisasi, yang diberikan oleh Coulomb. Noise yang merupakan kerapatan spektral daya datar disebut white noise. Noise termal berasal dari gerakan acak elektron-elektron bebas pada suatu media konduksi.

Daya noise adalah suatu figure of merit yang mudah bagi sistem apabila suatu temperatur referensi dipasang pada To = 290 °K . Shot noise dan noise partition adalah dua jenis yang putih terhadap range frekuensi yang agak lebar dan noise temperatur ekivalen dengan sky noise temperatur. Ketiganya ada untuk membedakan derajat dalam peralatan termionik dan semikonduktor.

DAFTAR PUSTAKA Feher, Kamilo .1987. Advanced Digital Communication . USA : prentice-Hall Haykin, Simon . 1989. An Introduction to Analog and Digital Communications . Singapore : John Willey Lathi , B . P . 1983 .Modern Digital and Analog Communication System . USA : Holt – Saunders. Schwartz , Mischa . 1986 . Transmisi , Informasi , Modulasi dan Bising . Terjemahan Srijatno W., Ph.D. Jakarta : Erlangga. Smith , David R . 1985 . Digital Transmission Systems . New york :Van Nostrand Reinhold Company . Stallings , William .1991 . Data and Computer Communications. Singapore : Maxwell Macmilan International Edition. Roddy , Denis and John Coolen . 1985 . Electronic Communication . New Delhi : Prentice-Hall. Sigit Kusmaryanto, 1996, Diktat Sistem Transmisi Telekomunikasi, Teknik Elektro UB