Tiara Ariqoh Bawindaputri 125100301111018 TIP / kelas L INTEGRAL
Integral Tak tentu Integral adalah bentuk invers dari turunan. Secara umum jika sebuah fungsi diintegralkan terhadap variable tertentu dapat disajikan dalam bentuk :
f ( x)dx F ( x) C
Untuk menentukan integral dari suatu fungsi, secara umum dapat ditentukan dengan aturan :
ax
n
dx
a n 1
x n1 C; n 1
Contoh : Tentukan 2 x 5 dx !
Jawab :
2x
5
2 51 x C 5 1
1 6 x C 3
Sifat – sifat integral tak tentu -
kf ( x)dx k f ( x)dx
-
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
-
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
Integral tak tentu trigonometri Untuk memahami integral tak tentu trigonometri , maka siswa harus dapat mengingat kembali turunan dari beberapa fungsi trigonometri Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x Jika f(x) = cos x maka f’(x) = –sin x Dari definisi turunan fungsi trigonometri tersebut dapat kita tentukan integral setiap fungsi trigonometri.
sin xdx cos x C cos xdx sin x C Untuk fungsi trigonometri yang lain mengikuti aturan sebagai berikut :
sec x tan xdx sec x C
cos ecx cot anxdx cos ecx C
sec
cos ec
2
xdx tan x C
2
xdx cot anx C
Integral Tentu Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak
memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : b
Jika f kontinu pada [a,b], maka
a
b f ( x)dx [ F ( x)] F (b) F (a) dengan F antiturunan sebarang dari f, a
yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.
Contoh : 2
Tentukan (4 x 3)dx 1 2
(4 x 3)dx 2 x
Jawab :
2
3x
2 1
1
{2(2) 2 3(2)} {2(1) 2 3(1)}
= 14 – 5 = 9 Sifat – sifat integral tentu a
-
f ( x)dx 0
–
a b
-
a
–
b
b
–
-
a
a
a
b
b
c
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, a b c b
f ( x) g ( x), jikaf ( x) g ( x) a
b
kf ( x)dx k f ( x)dx a
a
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
b
kdx k (b a) a
-
b
a
b
-
b
c
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
–
a
f ( x) 0, jikaf ( x) 0 a
Contoh 1 Tentukan integral berikut ! a.
( x 3)
2
dx
b. Tentukan f(x) apabila diketahui f’(x) = 6x2 – 6x + 7 dan f(1) = 2
Jawaban : a.
( x 3)
2
1 dx = ( x 3) 3 C 3
b. f(x) = (6 x 2 6 x 7)dx = 2x3 – 3x2 + 7x + C f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x + C f(1) = 2(1)3 – 3(1)2 + 7(1) + C = 2 f(1) = 2 – 3 + 7 + C = 2 C=2–6=–4 f(x) = 2x3 – 3x2 + 7x – 4 -
Contoh 2 3
b.
(2 x 6)dx 1
Jawaban :
3
b. sec 2 xdx 0
3
a. (2 x 6)dx = (x2 + 6x) 1
3 = { (3)2 + 6(3) } – { (1)2 + 6(1) } = 27 – 7 = 20 1
3
b. sec 2 xdx = tan x 0
3
0
= tan
– tan 0 = 3 – 0 = 3 3
Sumber :
http://matematika-sma.blogspot.com/2009/08/materi-integral.html Indriani, Gina. 2007. Think Smart Matematika. Bandung : Grafindo Media Pratama http://oke.or.id/wp-content/plugins/downloads-manager/upload/Rangkuman-Integral.pdf
Aplikasi Integral Tak Tentu Dalam Bidang Ekonomi Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi. Fungsi Biaya Total (C) Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. C=∫ MC dq
Fungsi Penerimaan Total (R) Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total.
R=∫ MC dq Fungsi Konsumsi (C) Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi. C=∫ MPC dy Fungsi Tabungan (S) Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. S=∫ MPS dy Fungsi Modal (K) Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital. Kt=∫ I(t) dt
Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan konsumsi (C), biaya total (C) dengan
tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan dengan K. Dalam bidang teknik, integral dapat digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva dan untuk mengetahui volume benda putar.
Sumber :
http://ributsantoso.files.wordpress.com/2011/05/bab-8-aplikasi-integral-dalam-bidangekonom1.doc http://bismartplis.files.wordpress.com/2010/06/aplikasi-integral.pdf
