Kapitola 3: Šumy v lineárních obvodech

Kapitola 3: Šumy v lineárních obvodech Teorie šumů má základ v termodynamice. Z termodynamických vět je možné dokázat toto tvrzení:/35/ Šumový výkon v jakémkoliv obvodu je absolutní funkcí frekvence a termodynamické teploty. Představme si samotný* rezistor. Spektrální výkonová hustota na něm je P=4kT, a tudíž i: šumové napětí u2=4kTR

nebo

šumový proud i2=4kTG

/3.1/

kde k je Boltzmannova konstanta (k=1,38044E-23 J/K ) a T termodynamická teplota (290K). Tento vztah pro rezistor platí jen tehdy, neprotéká-li jím žádný stejnosměrný proud. Pokud jím protéká stejnosměrný proud, bude situace složitější. Šumové parametry začnou být kmitočtově závislé. Je výhodné zavést technologický činitel šumu /9/, tedy koeficient, který říká, kolikrát bude šumový výkon větší než u ideálního rezistoru, který šumí jen termickým šumem. u2=γ(f)4kTR i2=γ(f)4kTG /3.2/ Na základě měření bylo zjištěno, že jakákoliv reálná šumící součástka šumí ve středním kmitočtovém pásmu bílým šumem Existují pro ni dva mezní kmitočty (Noise-Corners), nad/pod kterými začíná šumět podstatně více/17/. Hodnota technologického šumového činitele bude: ⎡ F ⎛ f ⎞2 ⎤ /3.3/ γ ( f ) = γ 0 ⎢1 + 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ f ⎝ F2 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎦ V akustickém pásmu nás vysokofrekvenční mezní kmitočet F2 zpravidla nezajímá. Nízkofrekvenční mezní kmitočet je důležitý zejména u FE tranzistorů, protože je technologický těžké vyrobit JFET s nižším mezním kmitočtem, než 1 kHz. Proto hraniční kmitočet nízkofrekvenčního šumu musí být v syntéze vstupního zesilovače uvažován, má-li být nízkošumový. Šumové vlastnosti nízkofrekvenčního zesilovače s elektronkou nebo FETem se udávají ekvivalentním vstupním šumovým odporem. Jeho zavedení má čistě praktický význam. Ekvivalentní šumový odpor se jednoduše měří; pokud je jeho hodnota řádově menší, než vstupní impedance zesilovače. Stačí jen vstup zesilovače zkratovat** a změřit výstupní šumový výkon. Pak ke vstupu zesilovače připojit odpor a nastavit jeho hodnotu tak, aby výstupní šumový výkon byl právě dvojnásobný. Hodnota připojeného odporu je pak ekvivalentní vstupní šumový odpor.

*) Takový „obvod“ je jen fikcí, výkon na něm by byl nekonečný - ultrafialová katastrofa; Spektrální výkonová hustota šumu má rozměr V2/Hz. V dalším textu budeme šumové napětí/proud vždy uvažovat jako střední hodnotu spektrální výkonové hustoty, i když to není typograficky zdůrazněno **) Pro odpory řádu ohmů a menší musí být zkratování provedeno metalurgicky, osvědčilo se prostříhávání cínové propojky.

Pokud nemáme možnost vstupní odpor plynule měnit, lze ekvivalentní šumový odpor spočítat z následujícího vztahu: Ršekv = Ri

Pr − Pk Pk

/3.4/

kde Ri je připojený vstupní odpor, Pr je naměřený výstupní šumový výkon s připojeným rezistorem Ri na vstupu a Pk je naměřený výstupní šumový výkon se zkratovaným vstupem. Měříme-li FFT analyzátorem, dostaneme většinou rozdíl výkonů v dB. Pak lze použít vztah: ⎛ R⎞ /3.5/ Ap = 10 log⎜⎜1 + ⎟⎟ R š ⎠ ⎝ Vztah je graficky zpracován zde:

Ze změny naměřeného výkonu Ap určíme k a tímto vynásobíme hodnotu na vstup připojeného odporu. Dostáváme přímo vstupní šumový odpor.

V případě, že náš zesilovač má vstupní impedanci ve středním kmitočtovém pásmu srovnatelnou s impedancí zdroje, nemůžeme hovořit o ekvivalentním šumovém odporu vůbec, jako v případě bipolárních tranzistorů*. Zavádí se zde šumové číslo N, které nám říká, kolikrát(+1) více šumí zesilovač než termický šum zdroje signálu. Šumové číslo je funkcí vlastností zesilovače a vlastností vstupního obvodu. Pokud existuje vstupní obvod (ve středním kmitočtovém pásmu takový vstupní odpor), pro který je šumové číslo minimální, říkáme, že zesilovač je šumově přizpůsoben. Měření šumového čísla je možné snadno realizovat pomocí odporu, u něhož můžeme nějak měnit technologický šumový koeficient γ. Protože změna koeficientu je podle /3.2/ ekvivalentní změně teploty, mohli bychom měření provést tak, že budeme vstupní odpor zahřívat. Problém je, že zahříváním běžného odporu se mění jeho hodnota. Tato metoda je vhodná jen pro malá šumová čísla.

Bylo výhodné získat odpor s proměnným γ elektronickou cestou - přidat proudový šum**. To lze provést šumovou diodou, což je dioda s wolframovou katodou pracující v saturační oblasti.

V obrázku Ia je ss proud anody a e=1,602E-19 je náboj elektronu.

*) V případě unipolárních tranzistorů nastává tato situace u zapojení se společnou řídící elektrodou. Takové zapojení se však v nízkofrekvenčních obvodech na prvním zesilovacím stupni nepoužívá. **) Jde o výstřelový šum katody. Hezké a srozumitelné odvození viz./29/

Podmínku práce v nasycené oblasti lze splnit v širokých mezích tak, že anodové napětí je konstantní a proud diody se nastavuje změnou žhavicího proudu. Pro praktický výpočet se používá: N = 20 I a R[; mA, kΩ] /3.6/ Protože zařízení se šumovou elektronkou se obtížně realizuje, používá se někdy syntetický zdroj šumu s lavinovou diodou*. Lavinová dioda má malý vnitřní odpor, chová se jako zdroj šumového napětí. Musí se k obvodu proto připojit přes vhodný dělič. Úroveň šumového napětí u lavinové diody není nijak jednoduše svázána s proudem procházejícím diodou a není kmitočtově nezávislá; zařízení musí být cejchováno. Podobně můžeme zvýšit γ přivedením harmonického průběhu z generátoru přes dělič.** Podmínkou takových měření je znalost šumové šířky pásma měřiče výkonu, což například u FFT analyzátoru znamená znalost okénka a jeho šumové šířky. Přivedení harmonického průběhu nám dává informaci jen o zisku soustavy. Protože se přímé odečítání vstupního šumového napětí (Ùodporu) ze spektrálního analyzátoru provádí poměrně často, uvedu šumovou šířku pásma některých okének/30/: Okno Pravoúhlé Trojúhelníkové Hammingovo Hannovo Blackmannovo Kaiserovo

Šumová šířka pásma 1 1,33 1,5 1,36 1,73 1,8

Šumovou šířkou pásma se šumový výkon odečtený na spektrálním analyzátoru musí vydělit. Zajímavou metodu stanovení optimálního šumového přizpůsobení bipolárního tranzistoru, která vyžaduje jen proměnný vstupní rezistor a měřič výkonu, uvádí J. Čermák/6;str306/. Na vstup zesilovače se připojují rezistory s hodnotami v okolí předpokládaného optimálního přizpůsobení. Naměřený šumový výkon v závislosti na odporu se zakresluje do logaritmického grafu. V témž logaritmickém grafu se šumový výkon samotných rezistorů zobrazí jako přímka. Bod dotyku rovnoběžky s touto přímkou a naměřených výstupních šumových výkonů zesilovače udává vstupní odpor optimálního šumového přizpůsobení.

*) Lavinová dioda šumí podstatně více, než dioda Zenerova. Hranice mezi Zenerovým a lavinovým jevem je kolem 5 V. Dioda s větším průrazným napětím (12V) je zaručeně lavinová. Lavinová dioda má šum. napětí 30 uV/sqrt(Hz) ovšem velký šum 1/f, zenerova dioda má jen 0,3 uV/sqrt(Hz) , ale lze vybrat kus s malým 1/f šumem. **) Což je ekvivalntní přesné znalosti zisku.

Vstupní šumový odpor, nebo šumové číslo můžeme zjistit měřením na konkrétním zařízení. Pro jeho návrh musíme umět šumící obvody modelovat a analyzovat. Abychom mohli šumové vlastnosti zesilovačů modelovat, musíme modelovat aktivní součástky. Aby se daly šumící obvody analyzovat, je třeba vědět, jak se každý konkrétní šumící prvek projeví ve výsledku (například vstupním šumovém odporu). Důležité jsou modely FETu a elektronky založené na unilaterálním měniči napětí na proud.* Elektronku nebo tranzistor představuje jediný prvek zvaný strmost (transkonduktance). Pokud sdružíme transkonduktanci a ekvivalentní šumový odpor, dospějeme k modelu:

Zajímavé na něm je, že γ závisí (kromě pentody) jen na druhu použitého prvku, což ilustruje tabulka: prvek trioda/15/ pentoda/15/ FET/35/

γ 2,5 (2,5 + 20*Is/S)/(1+Is/Ia) 0,66

*) V takovém modelu chápeme šumy ryze empiricky a nerozlišujeme jejich povahu.

Velice elegantní je použití nulorového modelu na operační zesilovač v případě, je-li zapojen asymetricky* Je důležité, že v případě uzemnění pozitivního vstupu operační zesilovač přejde na unilaterární tranzistor, protože paralelní kombinace nulátoru a norátoru je ideální zkrat. Dominantního pól způsobí, že jeho transadmitance je komplexní.

R1 vyjadřuje vstupní odpor a jeho technologický činitel vstupní šumový proud. R3 vyjadřuje výstupní odpor otevřené smyčky a jeho hodnota se většinou v katalogu neuvádí**. R2 vyjadřuje spolu s R3 napěťový zisk otevřené smyčky. Technologický činitel R2 vyjadřuje vstupní šumové napětí.*** Indukčnost L je vliv dominantního pólu. Hodnoty tohoto modelu (až na R3) lze získat z katalogu buď přímo nebo triviálním výpočtem. Pro známý obvod NE5534AP(TI) je: R hodnota γ 1 5e4 1.8 2 0.12 6.8e3*** 3 3e3** 1 L 1 38e-6 Poloha nízkofrekvenčního šumového mezního kmitočtu pro R1 a R2 je 250 Hz a lze ji snadno určit z kmitočtových šumových profilů udávaných výrobcem.

*) Vlastnosti operačního zesilovače se zjišťují většinou v asymetrickém zapojení, taktéž katalogové hodnoty. Asymetrickým zapojením rozumějme, že se proudový šum jednoho ze vstupů neuplatňuje. Tento jeden vstup (většinou invertující) je spojen malým odporem se zemí, nebo s výstupem. **) Obvyklá hodnota ***) Tak vysoká hodnota je dána nízkým klidovým příkonem operačního zesilovače. Některé operační zesilovače ji umožňují snížit za cenu zvýšení příkonu. Jsou to tzv. programovatelné operační zesilovače a programují se většinou externím rezistorem.

Parametry operačního zesilovače, jako je zisk otevřené smyčky, výstupní odpor otevřené smyčky a poloha dominantního pólu, lze určit pomocí následujícího zapojení*:

Zesílení otevřené smyčky (měří se s nezapojeným R13): U /3.7/ Ao = 100 o/ U1 Výstupní odpor otevřené smyčky (U1R je se zapojeným R13) : ⎞ ⎛U / Ro = R13 ⎜⎜ 1R/ − 1⎟⎟ /3.8/ ⎠ ⎝ U1 Vstupní odpor otevřené smyčky lze měřit stejným zapojením po doplnění velkým odporem, připojeným před neinvertující vstup.** Ověřené schéma pro měření vstupního odporu stejnosměrnou metodou je zde:/10/

*) Metoda je popsána v materiálech ke cvičení předmětu Elektronické obvody od J.Hospodky. **) Tím se vytvoří na vstupu napěťový dělič, který sníží zesílení v otevřené smyčce.

Určení unilaterárního šumového modelu bipolárního tranzistoru není z jeho katalogových údajů triviální. Na rozdíl od operačních zesilovačů, kde je udáno vstupní šumové napětí a vstupní šumový proud asymetrického zapojení, se u bipolárních tranzistorů tradičně udává hodnota přímo a absolutně měřitelná – šumové číslo. Protože šumové číslo tranzistoru je funkcí tří proměnných (velikosti vstupního odporu, kolektorového proudu a kmitočtu), musí se použít více grafů. Většinou je to série vrstevnicových map, kde každému kmitočtu odpovídá jedna mapa. Osami jsou kolektorový proud a vstupní odpor. Mapu pro tranzistor BC560 a kmitočet 1 kHz si můžeme prohlédnout níže:

Křivka konstantního šumového čísla 3 dB bude pro nás zajímavá, protože šumový výkon tranzistoru zde bude roven šumovému výkonu vstupního obvodu. Část křivky vlevo bude oblastí dominance napěťového šumu a část vpravo bude dominancí proudového šumu. Výpočet technologického činitele transadmitance v unilaterárním modelu bude odvozen z levé (napěťové) části křivky F=3dB

Výpočet technologického činitele vstupní impedance v unilaterárním modelu bude odvozen z pravé (proudové) části křivky F=3dB

Pro zmíněný tranzistor BC560 při Ic=1 mA a f=1kHz vycházejí parametry unilaterárního modelu takto: Parametr Rt (≈transadmitance) Rit (≈vstupní admitance) Rot (≈výstupní admitance)

Hodnota 20 6k 25k

γ

10 0,2 ?

Hodnotu technologického činitele výstupního odporu není možné z katalogových údajů určit*. Ve většině zapojení nezpůsobí velkou chybu, bude-li roven jedné, protože se uplatňuje až ve výstupním obvodu. Jeho skutečnou hodnotu můžeme zjistit srovnáním šumových vlastností zapojení se společným emitorem a se společným kolektorem.** Existence technologického činitele šumu výstupního odporu je teoreticky opodstatněná, protože trojpól musí obsahovat tři nekorelované šumové zdroje/9/ a tedy i tři šumové parametry. Tyto parametry nemusí být vždy hodnotami tří nekorelovaných šumových zdrojů. Mnohdy to jsou vstupní šumové napětí, vstupní šumový proud a činitel korelace.

*) Určit závislost šumového čísla na výstupním obvodu nemá většinou praktický smysl. **) Rozdíl šumových vlastností zapojení SE a SC je vysvětlen např v /37/

Rezistory v přítomnosti stejnosměrného napětí na svých svorkách vykazují také šum 1/f. Protože rezistor ve středním kmitočtovém pásmu šumí jen svým tepelným šumem, bude hodnota jeho technologického šumu rovna jedné*. Hraniční kmitočet 1/f šumu bude potom funkcí napětí na svorkách a kvality rezistoru. V následující části určíme tuto funkci z katalogových údajů rezistorů. Katalogovou hodnotou, která určuje hodnotu 1/f šumu je takzvaný činitel šumu (NI –Noise Index/17, str 171/). NI je definován jako poměr /3.9/ u NI = nx [V / V / dec] U ss kde unx je napětí nadbytečného šumu v jedné frekvenční dekádě a Uss je svorkové napětí rezistoru. Definice NI jako konverzního činitele se používá v teoretické literatuře a americké technologické literatuře padesátých let 20.stol.. V praxi se používá hodnota o šest řádů vyšší, tedy:

NI p =

unx 6 10 [µV / V / dec] Uss

/3.10/

případně: ⎛u ⎞ NI I = 20 log⎜⎜ nx 106 ⎟⎟[dB ] ⎝ U ss ⎠

/3.11/

*

Spektrální hustota šumu 1/f je:

K f Potom výkon šumu mezi dvěma kmitočty bude dán integrálem mezi nimi: u2( f ) =

/3.12/

⎛f ⎞ /3.13/ u 2 ( f1.. f 2 ) = K ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ f1 ⎠ Protože katalogové hodnoty NI jsou vztaženy k dekádě, bude poměr kmitočtů deset.

u 2 (∆f ) = 2,303K Toto číslo určuje korekci NI na spektrální výkonovou hustotu. Spektrální výkonová hustota 1/f šumu rezistoru bude potom:

/3.14/

2

NI 2U ss u = 2,303 f 2

/3.15/

Při hraničním kmitočtu 1/f šumu bude jeho spektrální hustota rovna hustotě šumu termického: 2

NI 2U ss = 4kTR 2,303 f Z toho lze určit hodnotu hraničního kmitočtu: F1 = ϕUU ss

2

/3.16/

/3.17/

*)Definovali jsme technologický činitel právě jako koeficient, kterým se násobí spektrální výkonová hustota tepelného šumu.

kde:

[

]

NI 2 /3.18/ Hz 2 ϕU = V 9,212kTR Je zajímavé, že pro rezistory zhotovené shodnou technologií (např. v hybridních IO) je ϕ prakticky nezávislé na hodnotě odporu, kdežto NI na ní závisí silně. Velikost ϕ u rezistoru s činitelem 1/f šumu –20 dB a hodnotou 1 kOhm je 270 HzV-2. Praktickou hodnotu je vždy nutné vypočítat podle výrobcem udávaných dat pro každou konkrétní hodnotu, neboť rezistory stejné typové řady se mohou lišit v NI až o 40 dB. Důvod je dán jednak výrobou (některé hodnoty jsou spiralizovány, jiné ne), jednak tím, že NI je odvozen z přítomnosti jen výstřelového šumu* a jeho přepočet na termický šum obsahuje (ve výkonových vztazích) odpor ve jmenovateli. K tomu vede také fakt, že 10*log poměru odporů některých technologií dává přibližně v dB rozdíl jejich NI. V definici ϕ je dělení odporem v první mocnině obsaženo, proto může být ϕ někdy výhodné. Praktický vztah pro výpočet ϕ z katalogových hodnot v dB (nad uV/V/dec) je: NI I

10 10 ϕ= 3,69.10 −8 R

/3.19/

Následující graf/17/ uvádí NII některých rezistorů v dB. Rozptyl má být chápán tak, že malé hodnoty R mají NII malé, kdežto velké hodnoty R mají NII velké.

*) Nejnovější studie ukazují, že separace tepelného a výstřelového šumu tak, jak to udělali Johnson a Nyquist na počátku 20. století, není někdy opodstatněná /29/