Kapitola 1: Lineární prostor

Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor

Chcete-li ukonˇ cit prohl´ıˇ zen´ı stisknˇ ete kl´ avesu Esc. Chcete-li pokraˇ covat stisknˇ ete kl´ avesu Enter.

. – p.1/15

Lineární prostor • Line´ arn´ı prostor a line´ arn´ı podprostor • Line´ arn´ı nez´ avislost • B´ aze a dimenze line´ arn´ıho prostoru Zpˇ et

. – p.2/15

Lineární prostor a lineární podprostor • Pˇ r´ıklad 1.1.1 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru line´ arn´ım podprostorem, − M = {→ x = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ Ê4 , x1 = x4 }. Pokud ano, najdˇ ete nˇ ejakou b´ azi a urˇ cete dimenzi M.

Ê4

je jeho

• Pˇ r´ıklad 1.1.2 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru P vˇ sech polynom˚ u je jeho line´ arn´ım podprostorem, jestliˇ ze a) M = {f ∈ P, f (2) = 0}; b) M = {f ∈ P, f (0) = 2}. • Pˇ 2 je r´ıklad 1.1.3 Necht’ P2 je mnoˇ zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e nejv´ yˇ se 2, P mnoˇ zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e pr´ avˇ e 2, tj. 2 = {p, p je polynom, st p = 2}. P2 = {p, p je polynom, st p ≤ 2}, P 2 tvoˇ Rozhodnˇ ete, zda P2 a P r´ı line´ arn´ı podprostor vektorov´ eho prostoru vˇ sech polynom˚ u P. Pokud ano, najdˇ ete jejich b´ azi a urˇ cete jejich dimenzi. Zpˇ et

. – p.3/15

Příklad 1.1.1 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru T 4 → − M = { x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ê , x1 = x4 }. Pokud ano, najdˇ ete nˇ ejakou b´ azi a urˇ cete dimenzi M. ?

Ê4 je jeho lineárn´ım podprostorem, Zpˇ et

. – p.4/15

Příklad 1.1.1 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru T 4 → − M = { x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ê , x1 = x4 }. Pokud ano, najdˇ ete nˇ ejakou b´ azi a urˇ cete dimenzi M.

Ê4 je jeho lineárn´ım podprostorem,

Výsledek: M je line´ arn´ım podprostorem vektorov´ eho prostoru Ê4 . B´ azi M tvoˇ r´ı napˇ r´ıklad vektory → − T → − v = (1, 0, 0, 1) , − e2 = (0, 1, 0, 0)T , → e3 = (0, 0, 1, 0)T . Dimenze M = 3. Zpˇ et

. – p.4/15



Návod: Mus´ıme ovˇ eˇ rit, ˇ ze mnoˇ zina M obsahuje nulov´ y prvek a je uzavˇ ren´ a vzhledem k operac´ım sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇ c´ıslem. D´ ale najdeme nˇ ejakou b´ azi, tj. maxim´ aln´ı poˇ cet line´ arnˇ e nez´ avisl´ ych prvk˚ u z M. Dimenze je pak rovna poˇ ctu prvk˚ u t´ eto (a kaˇ zd´ e) b´ aze. Zpˇ et

. – p.4/15



Řešení: − a) Nulov´ y prvek → o = (0, 0, 0, 0)T ∈ Ê4 leˇ z´ı v M, nebot’ o1 = o4 = 0. → − → − − − b) Necht’ x , y ∈ M. Mus´ıme ovˇ eˇ rit, ˇ ze tak´ e→ x +→ y ∈ M. Ale → − → − T T x + y = (x1 , x2 , x3 , x4 ) + (y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , x4 + y4 )T , a protoˇ ze podle pˇ redpokladu je x1 = x4 a y1 = y4 , je tak´ e x1 + y1 = x4 + y4 a vektor → − → − x + y ∈ M. Mnoˇ zina M je tedy uzavˇ ren´ a vzhledem k operaci sˇ c´ıt´ an´ı. → − → − c) Necht’ x ∈ M. Zb´ yv´ a ovˇ eˇ rit, ˇ ze tak´ e α x ∈ M pro kaˇ zd´ e α ∈ Ê. Ale T T → − α x = α(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (αx1 , αx2 , αx3 , αx4 ) . Protoˇ ze x1 = x4 , je tak´ e αx1 = αx4 a → − α x ∈ M. Tedy mnoˇ zina M je tak´ e uzavˇ ren´ a vzhledem k operaci n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇ c´ıslem. 4 Z a), b), c) plyne, ˇ ze M je line´ arn´ım podprostorem vektorov´ eho prostoru Ê . Hledejme nyn´ı b´ azi M. Vyjdeme z kanonick´ e b´ aze prostoru Ê4 . Vektory → − − e2 = (0, 1, 0, 0)T , → e3 = (0, 0, 1, 0)T leˇ z´ı v M. Tˇ ret´ı vektor b´ aze je napˇ r. vektor T → − → − → − → − v = (1, 0, 0, 1) . Ovˇ eˇ r´ıme, ˇ ze vektory v , e2 , e3 jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e a generuj´ı M, tedy ˇ ze skuteˇ cnˇ e tvoˇ r´ı b´ azi M. Line´ arn´ı nez´ avislost: − − − Sestav´ıme z vektor˚ u→ v, → e2 , → e3 matici: ⎛ ⎛ → ⎞ − T 1 v ⎜ ⎜ → T ⎟ − ⎝ e2 ⎠ =⎝ 0 T → − 0 e3

0 1 0

0 0 1

⎞

1 ⎟ 0 ⎠. 0

Dalˇ s´ı

. – p.4/15



Řešení: − − − Matice je v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru a m´ a hodnost 3. Vektory → v, → e2 , → e3 jsou tedy line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. → − → − − Vektory v , e2 , → e3 generuj´ı cel´ y line´ arn´ı podprostor M: T → − − Necht’ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ M. Pt´ ame se, zda → x je nˇ ejakou line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u → − → − → − v , e2 , e3 , tj. hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ (koeficienty line´ arn´ı kombinace), tak aby α · (1, 0, 0, 1)T + β · (0, 1, 0, 0)T + γ · (0, 0, 1, 0)T = (x1 , x2 , x3 , x1 )T .

(α, β, γ, α)

T

= (x1 , x2 , x3 , x1 )

T

=⇒

α β γ

= = =

x1 x2 x3

→ − − − − x = x1 · → e3 v + x2 · → e2 + x3 → − − − a tˇ ri vektory → v, → e2 , → e3 generuj´ı M. Tvoˇ r´ı tedy b´ azi M a dimenze M je rovna tˇrem. Zpˇ et

. – p.4/15



Maple: >

with(linalg):

>

x:=vector([x1,x2,x3,x1]);

>

x := [x1 , x2 , x3 , x1 ] y:=vector([y1,y2,y3,y1]); y := [y1 , y2 , y3 , y1 ]

>

evalm(x+y);

[x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , x1 + y1 ] >

evalm(alpha*x);

>

[α x1 , α x2 , α x3 , α x1 ] e2:=vector([0,1,0,0]); e2 := [0, 1, 0, 0]

>

e3:=vector([0,0,1,0]);

e3 := [0, 0, 1, 0] >

v:=vector([1,0,0,1]);

v := [1, 0, 0, 1] Dalˇ s´ı

. – p.4/15



Maple: >

comb:=a*v+b*e2+c*e3;

comb := a v + b e2 + c e3 >

>

>

evalm(comb);

[a, b, c, a] A:=matrix(3,4,[1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0]); ⎤ ⎡ 1 0 0 1 ⎥ ⎢ A := ⎣ 0 1 0 0 ⎦ 0 0 1 0 rank(A); 3

Zpˇ et

. – p.4/15



Mathematica: x = {x1, x2, x3, x1}; y = {y1, y2, y3, y1}; z =x+y {x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x1 + y1} z[[4]] == z[[1]] True v = αx {x1α, x2α, x3α, x1α} v[[4]] == v[[1]] True M je podprostor prostoru

Ê4

e1 = {1, 0, 0, 1}; e2 = {0, 1, 0, 0}; e3 = {0, 0, 1, 0}; u = ae1 + be2 + ce3 {a, b, c, a} u[[4]] == u[[1]] True {e1, e2, e3} je b´ aze podprostoru M . Zpˇ et

. – p.4/15

Příklad 1.1.2 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru P vˇ sech polynom˚ u je jeho line´ arn´ım podprostorem, jestliˇ ze a) M = {f ∈ P, f (2) = 0}; b) M = {f ∈ P, f (0) = 2}. ?

Zpˇ et

. – p.5/15

Příklad 1.1.2 Rozhodnˇ ete, zda podmnoˇ zina M vektorov´ eho prostoru P vˇ sech polynom˚ u je jeho line´ arn´ım podprostorem, jestliˇ ze a) M = {f ∈ P, f (2) = 0}; b) M = {f ∈ P, f (0) = 2}.

Výsledek: a) M je line´ arn´ım podprostorem P. b) M nen´ı line´ arn´ım podprostorem P . Zpˇ et

. – p.5/15


Návod: V obou pˇ r´ıpadech mus´ıme ovˇ eˇ rit, zda 0 ∈ M, kde 0 je nulov´ y polynom, tj. 0(x) = 0 ∀x ∈ P. D´ ale mus´ıme uk´ azat, ˇ ze M je uzavˇ ren´ a na operace sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇ c´ıslem. Zpˇ et

. – p.5/15


Řešení: a) Protoˇ ze 0 ∈ P a 0(2) = 0, je 0 ∈ M. Necht’ f, g ∈ M, α ∈ Ê. Pt´ ame se, zda tak´ e f +g a αf leˇ z´ı v M. Ale f i g jsou polynomy, tedy i jejich souˇ cet je polynom. Protoˇ ze f (2) = 0, g(2) = 0, je (f + g)(2) = f (2) + g(2) = 0 a (f + g) ∈ M. αf je tak´ e polynom a (αf )(2) = αf (2) = 0, tedy i (αf ) ∈ M. Mnoˇ zina M je line´ arn´ı podprostor prostoru P. Vyuˇ zili jsme zde definice souˇ ctu dvou funkc´ı a definice re´ aln´ eho n´ asobku funkce. b) Plat´ı 0(x) = 0 ∀x ∈ Ê, nem˚ uˇ ze tedy b´ yt 0(0) = 2. Nulov´ y prvek P ∈ / M a mnoˇ zina M v tomto pˇ r´ıpadˇ e nen´ı line´ arn´ım podprostorem P. Zpˇ et

. – p.5/15


Maple: a) >

with(linalg):

>

f:=x->y;

f := x → y >

f(2):=0;

f(2) := 0 >

o:=x->0;

o := x → 0 >

o(2);

0 >

g:x->z;

x→z >

g(2):=0;

g(2) := 0 >

fg:=x->f(x)+g(x);

fg := x → f(x) + g(x) Dalˇ s´ı . – p.5/15


Maple: >

fg(2);

0 >

af:=x->a*f(x);

af := x → a f(x) >

af(2);

0 b) >

with(linalg):

>

f:=x->y;

f := x → y >

f(0):=2;

f(0) := 2 >

o:=x->0;

o := x → 0 >

o(0);

0 Dalˇ s´ı . – p.5/15


Maple: >

g:x->z;

x→z >

g(0):=2;

g(0) := 2 >

fg:=x->f(x)+g(x);

fg := x → f(x) + g(x) >

fg(0);

4 >

af:=x->a*f(x);

af := x → a f(x) >

af(0);

2a Zpˇ et

. – p.5/15


Mathematica: f [2]:=0; g[2]:=0; h[x ] = f [x] + g[x]; h[2] == 0 True k[x ] = αf [x]; k[2] == 0 True Prostor M je line´ arn´ı podprostor prostoru P . f [0]:=2; g[0]:=2; h[x ] = f [x] + g[x]; h[0] == 2 False k[x ] = αf [x]; Dalˇ s´ı . – p.5/15


Mathematica: k[0] == 2 2α == 2 Prostor M nen´ı line´ arn´ı podprostor prostoru P . Zpˇ et

. – p.5/15

Příklad 1.1.3 2 je mnoˇ Necht’ P2 je mnoˇ zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e nejv´ yˇ se 2, P zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e pr´ avˇ e 2, tj. 2 = {p, p je polynom, st p = 2}. P2 = {p, p je polynom, st p ≤ 2}, P 2 tvoˇ Rozhodnˇ ete, zda P2 a P r´ı line´ arn´ı podprostor vektorov´ eho prostoru vˇ sech polynom˚ u P. Pokud ano, najdˇ ete jejich b´ azi a urˇ cete jejich dimenzi. ?

Zpˇ et

. – p.6/15

Příklad 1.1.3 2 je mnoˇ Necht’ P2 je mnoˇ zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e nejv´ yˇ se 2, P zina vˇ sech polynom˚ u stupnˇ e pr´ avˇ e 2, tj. 2 = {p, p je polynom, st p = 2}. P2 = {p, p je polynom, st p ≤ 2}, P 2 tvoˇ Rozhodnˇ ete, zda P2 a P r´ı line´ arn´ı podprostor vektorov´ eho prostoru vˇ sech polynom˚ u P. Pokud ano, najdˇ ete jejich b´ azi a urˇ cete jejich dimenzi.

Výsledek: 2 nen´ı line´ arn´ım podprostorem P. P2 je line´ arn´ım podprostorem P, b´ azi P2 tvoˇ r´ı napˇ r. P 2 funkce x , x, 1, dim P2 = 3 . Zpˇ et

. – p.6/15


Návod: 2 , kde 0 je nulov´ Mus´ıme zjistit, zda 0 ∈ P2 a 0 ∈ P y polynom, tj. 0(x) = 0 ∀x ∈ P. Rovnˇ eˇ z mus´ıme uk´ azat, ˇ ze mnoˇ ziny jsou uzavˇ ren´ e vzhledem k operac´ım sˇ c´ıt´ an´ı a n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇ c´ıslem. D´ ale najdeme nˇ ejakou b´ azi, tj. maxim´ aln´ı poˇ cet line´ arnˇ e 2 . Dimenze je pak rovna poˇ ctu prvk˚ u t´ eto (a kaˇ zd´ e) b´ aze. nez´ avisl´ ych prvk˚ u P2 a P Zpˇ et

. – p.6/15


Řešení: Protoˇ ze nulov´ y polynom je polynom nulov´ eho stupnˇ e, je ihned zˇ rejm´ e, ˇ ze nem˚ uˇ ze b´ yt 2 nen´ı line´ 2 , a tedy mnoˇ zina P arn´ım podprostorem prostoru P. Na prvkem mnoˇ ziny P druh´ e stranˇ e je st 0 = 0 ≤ 2, a tedy nulov´ y polynom je prvkem P2 . D´ ale seˇ cteme-li dva polynomy stupnˇ e nejv´ yˇ se 2, dostaneme opˇ et polynom stupnˇ e nejv´ yˇ se 2. Rovnˇ eˇ z vyn´ asob´ıme-li polynom stupnˇ e nejv´ yˇ se 2 libovoln´ ym re´ aln´ ym ˇ c´ıslem, dostaneme opˇ et polynom nejv´ yˇ se 2. stupnˇ e. Tedy mnoˇ zina P2 je line´ arn´ım podprostorem vektorov´ eho prostoru P. Zb´ yv´ a naj´ıt b´ azi a urˇ cit dimenzi P2 . Kaˇ zd´ y polynom stupnˇ e nejv´ yˇ se 2 m´ a obecnˇ e tvar 2 2 p(x) = ax + bx + c, a, b, c ∈ Ê, a je tedy line´ arn´ı kombinac´ı funkc´ı x , x a 1 2 (1(x) = 1 ∀x ∈ Ê). Funkce x , x a 1 generuj´ı P2 . Pomoc´ı Wronski´ anu uk´ aˇ zeme, ˇ ze jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e (determinant poˇ c´ıt´ ame rozvojem podle posledn´ıho ˇ r´ adku): x2 W (x) = 2x 2

x 1 0

1 x 0 = 2 1 0

1 = −2 = 0 0

∀x ∈

Ê.

Uk´ azali jsme, ˇ ze funkce x2 , x a 1 tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em funkc´ı a generuj´ı line´ arn´ı prostor P2 , tvoˇ r´ı tedy b´ azi P2 . Tato b´ aze m´ a tˇ ri prvky, a tedy dimenze P2 = 3. Zpˇ et . – p.6/15


Maple: >

with(linalg):

>

p:=a*xˆ2+b*x+c;

p := a x2 + b x + c >

degree(p,x);

2 >

a:=0: b:=0: c:=0:

>

p(x);

0 >

degree(p,x);

−∞ >

c:=1:

>

p(x);

1 >

degree(p,x);

0 Dalˇ s´ı . – p.6/15


Maple: >

p1:=a1*xˆ2+b1*x+c1;

p1 := a1 x2 + b1 x + c1 >

p2:=a2*xˆ2+b2*x+c2;

p2 := a2 x2 + b2 x + c2 >

p1+p2;

a1 x2 + b1 x + c1 + a2 x2 + b2 x + c2 >

sort(%);

x2 a2 + x2 a1 + x b2 + x b1 + c1 + c2 >

degree(%,x);

2 >

alpha*p1;

α (x2 a1 + x b1 + c1 ) >

degree(%,x);

2 Dalˇ s´ı . – p.6/15


Maple: >

A := vector([xˆ2,x,1]);

A := [x2 , x, 1] >

Wr := wronskian(A,x);

⎡

2

x ⎢ Wr := ⎣ 2 x 2 >

x 1 0

⎤

1 ⎥ 0 ⎦ 0

det(Wr);

−2 Zpˇ et

. – p.6/15


Mathematica: p1[x ] = a1x∧ 2 + b1x + c1; p2[x ] = a2x∧ 2 + b2x + c2; p[x ] = Collect[p1[x] + p2[x], x] c1 + c2 + (b1 + b2)x + (a1 + a2)x2 q[x ] = Collect[αp1[x], x] c1α + b1xα + a1x2 α 2 nen´ı. Je vidˇ et, ˇ ze prostor P2 je podprostor prostoru P, ale prostor P f [x ] = x∧ 2; g[x ] = x; h[x] = 1; W = {{f [x], g[x], h[x]}, {D[f [x], x], D[g[x], x], D[h[x], x]}, {D[f [x], {x, 2}], D[g[x], {x, 2}], D[h[x], {x, 2}]}}; Dalˇ s´ı

. – p.6/15


Mathematica: MatrixForm[W ] ⎞ ⎛ 2 x x 1 ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 2x 1 2 0 0 Det[W ] −2 Funkce f , g a h tvoˇ r´ı b´ azi prostoru P2 .

Zpˇ et

. – p.6/15

Lineární nezávislost • Pˇ r´ıklad 1.2.1 Podle definice zjistˇ ete, zda vektory tvoˇ r´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y nebo 4 line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ uvR : → − − → − b = (1, 3, −4, −2)T , → c = (3, −1, −1, 0)T . a) a = (2, 1, −3, 4)T , → − → − → − − b) a = (1, 2, 3, 4)T , b = (2, 3, 4, 1)T , → c = (3, 4, 1, 2)T , d = (0, 1, 2, 7)T . • Pˇ r´ıklad 1.2.2 Ovˇ eˇ rte, ˇ ze vektory T → − a = (−1, 4, 2, −5, 3) ,

→ − T b = ( 1, 1, 0, 0, 4) ,

T → − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)

− jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, a vyj´ adˇ rete vektor → v = (1, −4, −2, 5, −3)T jako jejich line´ arn´ı kombinaci. − − − • Pˇ r´ıklad 1.2.3 Necht’ vektory → u, → v, → w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u ve vektorov´ em prostoru V. Urˇ cete, zda n´ asleduj´ıc´ı syst´ emy vektor˚ u jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e nebo nez´ avisl´ e: → − → − → − → − − a) u, u + v , u +→ w, → − → − → − → − − − − − b) u − 2 v + w, 3 u − → w, → u + 4→ v − 3→ w. • Pˇ r´ıklad 1.2.4 Rozhodnˇ ete, zda syst´ em funkc´ı f, g, h ve vektorov´ em prostoru funkc´ı spojit´ ych na Ê, je line´ arnˇ e z´ avisl´ y nebo nez´ avisl´ y. a) f (x) = 2x − 1, g(x) = x + 1, h(x) = −x + 2; b) f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin x cos x. Zpˇ et

. – p.7/15

Příklad 1.2.1 Podle definice zjistˇ ete, zda vektory tvoˇ r´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y nebo line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em 4 vektor˚ uvR : → − T T T − → − b = (1, 3, −4, −2) , → c = (3, −1, −1, 0) . a) a = (2, 1, −3, 4) , → − → − T T T T → − − b) a = (1, 2, 3, 4) , b = (2, 3, 4, 1) , → c = (3, 4, 1, 2) , d = (0, 1, 2, 7) .

?

Zpˇ et

. – p.8/15


Výsledek: a) b)

vektory vektory

→ − a, → − a,

→ − b, → − b,

→ − c tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u → − → − c , d tvoˇ r´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u.

Zpˇ et

. – p.8/15


Návod: Hled´ ame koeficienty line´ arn´ı kombinace dan´ ych vektor˚ u, kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor. Jsou-li vˇ sechny tyto koeficienty nulov´ e (tzv. trivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinace), syst´ em vektor˚ u je line´ arnˇ e nez´ avisl´ y. Je-li alespoˇ n jeden koeficient nenulov´ y, pak syst´ em vektor˚ u je line´ arnˇ e z´ avisl´ y. Zpˇ et

. – p.8/15


Řešení: a) Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ (koeficienty line´ arn´ı kombinace) tak, aby α · (2, 1, −3, 4)T + β · (1, 3, −4, −2)T + γ · (3, −1, −1, 0)T = (0, 0, 0, 0)T . Po souˇ radnic´ıch:

2α + β + 3γ = 0 α + 3β − γ = 0 −3α − 4β − γ = 0 4α − 2β = 0 Tuto homogenn´ı soustavu vyˇ reˇ s´ıme Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 ⎜ ⎜ 0 −5 ⎜ 0 −5 ⎟ 1 3 −1 ⎟ 5 ⎟ 5 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ∼⎝ 0 ⎟ ∼⎜ ⎜ ⎟ ∼⎜ ⎝ −3 −4 −1 ⎠ ⎝ 0 −5 ⎝ 0 7 ⎠ 0 2 ⎠ 0 4 −2 0 0 −4 −6 0 0 −50

1 −1 0

⎞ 3 ⎟ 1 ⎠. 2

K (−2)n´ asobku druh´ eho ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli prvn´ı ˇ r´ adek, k dvojn´ asobku tˇ ret´ıho ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme trojn´ asobek prvn´ıho a ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−2)n´ asobek prvn´ıho. T´ım vynulujeme poddiagon´ aln´ı prvky prvn´ıho sloupce. Dalˇ s´ı . – p.8/15


Řešení: Nyn´ı od tˇ ret´ıho ˇ r´ adku odeˇ cteme druh´ y a k pˇ etin´ asobku ˇ ctvrt´ eho ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−4)n´ asobek druh´ eho. T´ım jsme vynulovali poddiagon´ aln´ı prvky druh´ eho sloupce. Kdybychom nyn´ı ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli 25−ti n´ asobek tˇret´ıho, dostali bychom ˇ nulov´ y vektor. Ctvrt´ yˇ r´ adek tedy vynech´ ame. M˚ uˇ zeme (ale nemus´ıme) jeˇ stˇ e vydˇ elit druh´ yˇ r´ adek pˇ eti. Dostaneme matici soustavy v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru. Hodnost matice je rovna poˇ ctu nezn´ am´ ych = 3, podle Frobeniovy vˇ ety m´ a tato soustava pr´ avˇ e jedno ˇ reˇ sen´ı. Toto ˇ reˇ sen´ı, tedy koeficienty α, β, γ line´ arn´ı kombinace, vypoˇ cteme zpˇ etn´ ym chodem Gaussovy eliminace: γ = 0, β = 0, α = 0. → − − − Tedy jedin´ a line´ arn´ı kombinace vektor˚ u→ a, b, → c , kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor, je trivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinace, vektory tedy tvoˇr´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em. b) Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ, δ (koeficienty line´ arn´ı kombinace) tak, aby α · (1, 2, 3, 4) Po souˇ radnic´ıch:

T

+ β · (2, 3, 4, 1)

T

+ γ · (3, 4, 1, 2)

α + 2β + 3γ 2α + 3β + 4γ + δ 3α + 4β + γ + 2δ 4α + β + 2γ + 7δ

T

+ δ · (0, 1, 2, 7)

= = = =

T

T

= (0, 0, 0, 0) .

0 0 0 0

Dalˇ s´ı . – p.8/15


Řešení: Tuto homogenn´ı soustavu vyˇ reˇ s´ıme Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou: ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 ⎜ 2 3 4 1 ⎟ ⎜ 0 −1 ⎜ 0 −1 −2 −2 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ∼⎜ ⎟ ∼⎜ ⎝ 3 4 1 2 ⎠ ⎝ 0 −2 ⎝ 0 −8 2 ⎠ 0 −4 4 1 2 7 0 −7 −10 7 0 0 4

0 1 0 0

⎞

⎛

1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ∼⎝ 0 ⎠ 0

2 −1 0

3 −2 1

K druh´ emu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli (−2)n´ asobek prvn´ıho, k tˇ ret´ımu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli (−3)n´ asobek prvn´ıho a ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli (−4)n´ asobek prvn´ıho. T´ım jsme vynulovali poddiagon´ aln´ı prvky prvn´ıho sloupce. Nyn´ı k tˇ ret´ımu ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−2)n´ asobek druh´ eho a ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−7)n´ asobek druh´ eho. Nyn´ı jsou nulov´ e i poddiagon´ aln´ı prvky druh´ eho sloupce. Vid´ıme, ˇ ze kdybychom pˇ riˇ cetli ke ˇ ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku tˇ ret´ı, dostali bychom nulov´ y vektor. Ctvrt´ yˇ r´ adek tedy vynech´ ame. Tˇret´ı ˇ r´ adek m˚ uˇ zeme jeˇ stˇ e vydˇ elit (−4)mi. Hodnost matice soustavy = 3, poˇ cet nezn´ am´ ych = 4, ˇ sen´ı najdeme podle Frobeniovy vˇ ety m´ a tedy soustava nekoneˇ cnˇ e mnoho ˇ reˇ sen´ı. Reˇ zpˇ etn´ ym chodem Gaussovy eliminace. Protoˇ ze 4 − 3 = 1, vol´ıme jednu nezn´ amou jako parametr: δ := t, t ∈ Ê, a dopoˇ c´ıt´ ame: Dalˇ s´ı

. – p.8/15

⎞ 0 ⎟ 1 ⎠. 0


Řešení: α β r. pro t = 1 je ⇒ β= t , napˇ γ ⇒ α = −2t δ Naˇ sli jsme netrivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinaci dan´ ych vektor˚ u, kter´ a je rovna → − → − − − vektoru: (−2) · → a +1· b +0·→ c + 1 · d = (0, 0, 0, 0)T , a tedy vektory tvoˇ r´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y syst´ em. γ=0 −β − 2γ + δ = 0 α + 2β + 3γ = 0

= −2 = 1 = 0 = 1 nulov´ emu

Zpˇ et

. – p.8/15


Maple: with(linalg): a := vector( [2,1,-3,4] ): b := vector( [1,3,-4,-2] ): c := vector( [3,-1,-1,0] ): basis( {a, b, c} );

> >

{a, b, c} > eqns:= {2*alpha+beta+3*gamma=0,alpha+3*beta-gamma=0, -3*alpha-4*beta-gamma=0,4*alpha-2*beta=0}: > A:=genmatrix(eqns,[alpha,beta,gamma]); ⎡ ⎤ 1 3 −1 ⎢ 2 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ A := ⎢ ⎥ ⎣ −3 −4 −1 ⎦ 4 −2 0 >

> >

koef:=vector([alpha,beta,gamma]);

koef := [α, β, γ] assign(koef=linsolve(A,[0,0,0,0])); eval(koef); [0, 0, 0]

Dalˇ s´ı . – p.8/15


Maple: b) a := vector( [1,2,3,4] ): b := vector( [2,3,4,1] ): c := vector( [3,4,1,2] ): d:=vector([0,1,2,7]): basis( {a, b, c,d} );

>

{a, b, c} > eqns:= {alpha+2*beta+3*gamma=0,2*alpha+3*beta+4*gamma+delta=0, 3*alpha+4*beta+gamma+2*delta=0,4*alpha+beta+2*gamma+7*delta=0}: > A:=genmatrix(eqns,[alpha,beta,gamma,delta]); ⎡ ⎤ 1 2 3 0 ⎢ 2 3 4 1 ⎥ ⎢ ⎥ A := ⎢ ⎥ ⎣ 3 4 1 2 ⎦ 4 1 2 7 >

ffgausselim(A);

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Dalˇ s´ı

1 0 0 0

2 −1 0 0

3 −2 4 0

0 1 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

. – p.8/15


Maple: >

rank(A);

>

3 koef:=vector([alpha,beta,gamma,delta]);

>

koef := [α, β, γ, δ] assign(koef=linsolve(A,[0,0,0,0])); eval(koef);

>

[−2 t 1 , t 1 , 0, t 1] koefval:=t->(-2*t,t,0,t);

>

koefval := t → (−2 t, t, 0, t) >

koefval(1);

−2, 1, 0, 1 Zpˇ et

. – p.8/15


Mathematica: a) a = {2, 1, −3, 4}; b = {1, 3, −4, −2}; −2};cc = {3, −1, −1, 0}; MatrixForm[αa + βb + γc] == MatrixForm[{0, 0, 0, 0}] ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2α + β + 3γ 0 ⎜ α + 3β − γ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎝ −3α − 4β − γ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 4α − 2β 0 A = Transpose[{a, b, c}]; MatrixForm[A] ⎛ 2 1 3 ⎜ 1 3 −1 ⎜ ⎜ ⎝ −3 −4 −1 4 −2 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Dalˇ s´ı . – p.8/15


Mathematica: {α, β, γ} = LinearSolve[A, {0, 0, 0, 0}] {0, 0, 0} Vektory jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. b) α=.; β=.; γ=.; δ=.; a = {1, 2, 3, 4}; b = {2, 3, 4, 1}; c = {3, 4, 1, 2}; d = {0, 1, 2, 7}; 2};d MatrixForm[αa + βb + γc + δd] == MatrixForm[{0, 0, 0, 0}] ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ α + 2β + 3γ 0 ⎜ 2α + 3β + 4γ + δ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎝ 3α + 4β + γ + 2δ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 4α + β + 2γ + 7δ 0 A = Transpose[{a, b, c, d}]; Dalˇ s´ı . – p.8/15


Mathematica: MatrixForm[A] ⎛ 1 2 3 0 ⎜ 2 3 4 1 ⎜ ⎜ ⎝ 3 4 1 2 4 1 2 7

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

NullSpace[A] {{−2, 1, 0, 1}} {α, β, γ, δ} = NullSpace[A][[1]] {−2, 1, 0, 1} Vektory jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e. Zpˇ et

. – p.8/15

Příklad 1.2.2 Ovˇ eˇ rte, ˇ ze vektory → − a = (−1, 4, 2, −5, 3)T ,

→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T

− jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, a vyj´ adˇ rete vektor → v = (1, −4, −2, 5, −3)T jako jejich line´ arn´ı kombinaci. ?

Zpˇ et

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T

− jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, a vyj´ adˇ rete vektor → v = (1, −4, −2, 5, −3)T jako jejich line´ arn´ı kombinaci.

Výsledek: → − → − − − v = (−1) · → a +0· b +0·→ c . Zpˇ et

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Návod:

→ − − − Z vektor˚ u→ a, b, → c sestav´ıme matici A, kterou pˇ revedeme na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar. → − → → − − Tˇ ri vektory a , b , c jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e pr´ avˇ e kdyˇ z hodnost matice A je rovna 3. Koeficienty line´ arn´ı kombinace urˇ c´ıme jako ˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic. Zpˇ et

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Řešení:

⎞ ⎛ ⎛ → ⎞ − aT −1 4 2 −5 3 − ⎟ ⎜ ⎜ → ⎟ A = ⎝ bT ⎠ = ⎝ 1 1 0 0 4 ⎠ ∼ → − 3 −5 −2 8 7 cT ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1 4 2 −5 3 −1 4 2 −5 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∼⎝ 0 5 2 −5 7 ⎠ 0 5 2 −5 7 ⎠ ∼ ⎝ 0 0 6 0 31 0 7 4 −7 16 Nejprve jsme k druh´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli prvn´ı a k tˇ ret´ımu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli trojn´ asobek prvn´ıho. T´ım jsme vynulovali poddiagon´ aln´ı prvky prvn´ıho sloupce. N´ aslednˇ e jsme k pˇ etin´ asobku posledn´ıho ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli (−7)−mi n´ asobek druh´ eho ˇ r´ adku. Z´ıskali jsme matici A v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru. Hodnost matice A, h(A) = 3, a tedy tˇ ri → − − − vektory → a, b, → c jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. − − Na prvn´ı pohled je v tomto pˇr´ıpadˇ e vidˇ et, ˇ ze vektor → v je opaˇ cn´ y k vektoru → a. Z cviˇ cn´ ych d˚ uvod˚ u ale sestav´ıme a vyˇreˇ s´ıme pˇ r´ısluˇ snou nehomogenn´ı soustavu line´ arn´ıch rovnic pro urˇ cen´ı koeficient˚ u line´ arn´ı kombinace. Hled´ ame ˇ c´ısla α, β a γ tak, aby α · (−1, 4, 2, −5, 3)T + β · ( 1, 1, 0, 0, 4)T + γ · ( 3, −5, −2, 8, 7)T = (1, −4, −2, 5, −3)T . Dalˇ s´ı . – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Řešení: Po souˇ radnic´ıch:

Tuto soustavu ⎛ −1 1 ⎜ 4 1 ⎜ ⎜ 2 0 ⎜ ⎜ ⎝ −5 0 3 4

− α+ β + γ = 1 4α + β − 5γ = −4 2α − 2γ = −2 −5α + 8γ = 5 3α + 4β + 7γ = −3 vyˇreˇ s´ıme Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou: ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 3 −1 1 3 1 −1 ⎜ −5 −4 ⎟ 0 5 7 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −2 −2 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 4 0 ⎟ ∼⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎝ 8 0 −5 −7 0 ⎠ 5 ⎠ 0 7 −3 0 7 16 0

1 5 0 0

3 7 6 31

1 0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∼ ⎠

Vynulov´ an´ı poddiagon´ aln´ıch prvk˚ u prvn´ıho sloupce: k druh´ emu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli 4−n´ asobek prvn´ıho, ke tˇ ret´ımu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli dvojn´ asobek prvn´ıho, ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku jsme pˇriˇ cetli (−5)−tin´ asobek prvn´ıho a k p´ at´ emu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli trojn´ asobek prvn´ıho. Kdybychom nyn´ı ke ˇ ctvrt´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli druh´ y, dostaneme nulov´ y vektor, ˇ ctvrt´ yˇ r´ adek tedy vynech´ ame a vynulujeme poddiagon´ aln´ı prvky druh´ eho sloupce. Dalˇ s´ı . – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Řešení: K pˇ etin´ asobku tˇ ret´ıho ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−2)n´ asobek druh´ eho, k pˇ etin´ asobku ˇ ctvrt´ eho ˇ r´ adku pˇ riˇ cteme (−7)−mi n´ asobek druh´ eho. Kdybychom nyn´ı k (−6)−ti n´ asobku ˇ ctvrt´ eho ˇ ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli 31n´ asobek tˇret´ıho, dostali bychom opˇ et nulov´ y vektor. Ctvrt´ yˇ r´ adek tedy vynech´ ame. Dostaneme rozˇ s´ıˇ renou matici soustavy v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru. Zpˇ etn´ ym chodem Gaussovy eliminace dopoˇ cteme hledan´ e koeficienty α, β, γ line´ arn´ı kombinace. ⎛

−1 ⎜ ∼⎝ 0 0 Tedy

1 5 0

3 7 6

⎞ 1 ⎟ 0 ⎠ 0

=⇒

6γ 5β −α

= = =

0 0 1

γ β α

= = =

0 0 −1

→ − → − − − v = (−1) · → a +0· b +0·→ c

Zpˇ et

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Maple: with(linalg): > a := vector( [-1,4,2,-5,3] ): b := vector( [1,1,0,0,4] ): c := vector( [3,-5,-2,8,7] ): basis( {a, b, c} ); >

>

>

{a, b, c} A:=matrix(3,5,[-1,4,2,-5,3,1,1,0,0,4,3,-5,-2,8,7]); ⎤ ⎡ −1 4 2 −5 3 ⎥ ⎢ A := ⎣ 1 1 0 0 4 ⎦ 3 −5 −2 8 7 ffgausselim(A);

⎡

−1 ⎢ 0 ⎣ 0 >

4 −5 0

2 −2 −6

−5 5 0

⎤ 3 ⎥ −7 ⎦ −31

rank(A);

3 Dalˇ s´ı . – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Maple:

eqns:= {-alpha+beta+3*gamma=1,4*alpha+beta-5*gamma=-4,2*alpha-2*gamma=-2, -5*alpha+8*gamma=5,3*alpha+4*beta+7*gamma=-3}: >

>

>

B:=genmatrix(eqns,[alpha,beta,gamma]); ⎡ −1 1 3 ⎢ 4 1 −5 ⎢ ⎢ B := ⎢ 2 0 −2 ⎢ ⎣ −5 0 8 3 4 7

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

v:=vector([1,-4,-2,5,-3]);

v := [1, −4, −2, 5, −3] >

C:=concat(B,v);

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ C := ⎢ ⎢ ⎣

−1 4 2 −5 3

1 1 0 0 4

3 −5 −2 8 7

1 −4 −2 5 −3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Dalˇ s´ı . – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Maple: >

ffgausselim(C);

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−1 0 0 0 0

1 −5 0 0 0

3 −7 −6 0 0

>

backsub(%);

>

[−1, 0, 0] koef:=vector([alpha,beta,gamma]);

> >

1 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

koef := [α, β, γ] assign(koef=linsolve(B,v)); alpha:=koef[1]; α := −1

>

beta:=koef[2];

β := 0 Dalˇ s´ı

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Maple: >

gama:=koef[3];

gama := 0 >

alpha*a+beta*b+gama*c;

>

−a evalm(v-alpha*a+beta*b+gama*c); [0, 0, 0, 0, 0]

Zpˇ et

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Mathematica: a = {−1, 4, 2, −5, 3}; b = {0, −5, −2, 5, −7}; −7};cc = {0, 0, −6, 0, −31}; A = {a, b, c}; MatrixForm[A] ⎛ −1 4 2 ⎜ −5 −2 ⎝ 0 0 0 −6

−5 5 0

⎞ 3 ⎟ −7 ⎠ −31

MatrixForm[RowReduce[A]] ⎞ ⎛ 14 1 0 0 1 3 ⎟ ⎜ ⎝ 0 1 0 −1 − 23 ⎠ 31 0 0 1 0 6 MatrixRank[A] 3 Vektory jsou tedy line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. Dalˇ s´ı

. – p.9/15


→ − b = ( 1, 1, 0, 0, 4)T ,

→ − c = ( 3, −5, −2, 8, 7)T


Mathematica: v = {1, −4, −2, 5, −3}; {α, β, γ} = LinearSolve[Transpose[A], v] {−1, 0, 0} Tedy

→ − − − → − a +0· b +0·→ c v = (−1) · →

Zpˇ et

. – p.9/15

Příklad 1.2.3

− − − Necht’ vektory → u, → v, → w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u ve vektorov´ em prostoru V. Urˇ cete, zda n´ asleduj´ıc´ı syst´ emy vektor˚ u jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e nebo nez´ avisl´ e: → − → − → − → − → − a) u , u + v , u + w, → − − − − − − − − b) u − 2→ v +→ w , 3→ u −→ w, → u + 4→ v − 3→ w. ?

Zpˇ et

. – p.10/15

Příklad 1.2.3

− − − Necht’ vektory → u, → v, → w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u ve vektorov´ em prostoru V. Urˇ cete, zda n´ asleduj´ıc´ı syst´ emy vektor˚ u jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e nebo nez´ avisl´ e: → − → − → − → − → − a) u , u + v , u + w, → − − − − − − − − b) u − 2→ v +→ w , 3→ u −→ w, → u + 4→ v − 3→ w.

Výsledek: a) b)

vektory tvoˇr´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u vektory tvoˇr´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u.

Zpˇ et

. – p.10/15

Příklad 1.2.3


Návod: Hled´ ame koeficienty line´ arn´ı kombinace dan´ ych vektor˚ u, kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor. Jsou-li vˇ sechny tyto koeficienty nulov´ e (tzv. trivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinace), syst´ em vektor˚ u je line´ arnˇ e nez´ avisl´ y. Je-li alespoˇ n jeden koeficient nenulov´ y, pak syst´ em vektor˚ u je line´ arnˇ e z´ avisl´ y. Zpˇ et

. – p.10/15

Příklad 1.2.3


Řešení: Nejprve si uvˇ edomme, ˇ ze je-li nˇ ejak´ a line´ arn´ı kombinace line´ arnˇ e nez´ avisl´ eho syst´ emu vektor˚ u rovna nulov´ emu vektoru, pak vˇ zdy vˇ sechny koeficienty t´ eto line´ arn´ı kombinace jsou nulov´ e. a) Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ tak, aby → − − − − − − α·→ u + β · (→ u +→ v ) + γ · (→ u +→ w) = 0 , → − kde 0 je nulov´ y prvek vektorov´ eho prostoru V. Uprav´ıme rovnici na tvar → − − − − (α + β + γ) · → u +β ·→ v +γ ·→ w = 0. − − − Toto je line´ arn´ı kombinace vektor˚ u→ u, → v, → w , kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor. Protoˇ ze vektory → − → − → − u , v , w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em, mus´ı b´ yt vˇ sechny koeficienty t´ eto line´ arn´ı kombinace nulov´ e: (α + β + γ) = 0, β = 0, γ = 0. − − − − − Dost´ av´ ame α = β = γ = 0, a tedy i vektory → u, → u +→ v, → u +→ w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em vektor˚ u. Dalˇ s´ı . – p.10/15

Příklad 1.2.3


Řešení: b) Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ tak, aby → − − − − − − − − − α · (→ u − 2→ v +→ w ) + β · (3→ u −→ w ) + γ · (→ u + 4→ v − 3→ w) = 0 . Neboli

→ − − − − (α + 3β + γ) · → u + (−2α + 4γ) · → v + (α − β − 3γ) · → w = 0.

− − − Protoˇ ze vektory → u, → v, → w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em, je jedin´ a line´ arn´ı kombinace, kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor, trivi´ aln´ı, tj. vˇ sechny koeficienty t´ eto line´ arn´ı kombinace jsou nulov´ e. Pro α, β, γ tak dost´ av´ ame homogenn´ı soustavu line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic: −2α + 4γ = 0,

α + 3β + γ = 0,

α − β − 3γ.

Soustavu vyˇreˇ s´ıme: ⎛

1 ⎜ ⎝ −2 1

3 0 −1

⎞

⎛

1 1 ⎜ ⎟ 4 ⎠ ∼⎝ 0 0 −3

3 6 −4

⎞

1 1 ⎟ 6 ⎠ ∼ 0 −4

3 1

1 1

.

Dalˇ s´ı . – p.10/15

Příklad 1.2.3


Řešení: K druh´ emu ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli dvojn´ asobek prvn´ıho, od tˇ ret´ıho ˇ r´ adku jsme odeˇ cetli prvn´ı, pak jsme vynechali tˇret´ı ˇ r´ adek a druh´ y jsme vydˇ elili ˇ sesti. Matice soustavy m´ a hodnost 2, poˇ cet nezn´ am´ ych je 3, podle Frobeniovy vˇ ety m´ a soustava nekoneˇ cnˇ e mnoho ˇ sen´ı, kter´ ˇ reˇ sen´ı. Reˇ e z´ avis´ı na jednom parametru (3 − 2 = 1), z´ısk´ ame zpˇ etn´ ym chodem Gaussovy eliminace. Poloˇ z´ıme γ := t a dopoˇ cteme β+γ =0 α + 3β + γ = 0

⇒ ⇒

β = −t α = 2t

Napˇ r. pro t = 1 dostaneme α = 2, β = −1, γ = 1. Naˇ sli jsme tedy netrivi´ aln´ı line´ arn´ı → − → − → − → − → − → − → − → − kombinaci vektor˚ u u − 2 v + w , 3 u − w , u + 4 v − 3 w , kter´ a d´ av´ a nulov´ y vektor, a → − → − → − → − → − → − → − → − tedy vektory u − 2 v + w , 3 u − w , u + 4 v − 3 w tvoˇ r´ı line´ arnˇ e z´ avisl´ y syst´ em. Zpˇ et

. – p.10/15

Příklad 1.2.3


Maple: >

with(linalg):

>

collect(a*u+b*(u+v)+c*(u+w),u);

>

(a + b + c) u + b v + c w eqns:={a+b+c=0,b=0,c=0};

>

>

eqns := {a + b + c = 0, A := genmatrix(eqns, [a,b,c]); ⎡ 1 1 ⎢ A := ⎣ 0 1 0 0

b = 0, c = 0} ⎤ 1 ⎥ 0 ⎦ 1

linsolve(A,[0,0,0]);

[0, 0, 0] b) >

collect(a*(u-2*v+w)+b*(3*u-w)+c*(u+4*v-3*w),u);

>

(a + 3 b + c) u + a (−2 v + w) − b w + c (4 v − 3 w) collect(a*(-2*v+w)-b*w+c*(4*v-3*w),v); (−2 a + 4 c) v + a w − b w − 3 c w

Dalˇ s´ı . – p.10/15

Příklad 1.2.3


Maple: >

collect(a*w-b*w-3*c*w,w);

>

(a − b − 3 c) w res:=(a+3*b+c)*u+(-2*a+4*c)*v+(a-b-3*c)*w;

>

res := (a + 3 b + c) u + (−2 a + 4 c) v + (a − b − 3 c) w eqns:={a+3*b+c=0,-2*a+4*c=0,a-b-3*c=0};

>

>

eqns := {a + 3 b + c = 0, −2 a + 4 c = 0, a − b − 3 c = 0} A := genmatrix(eqns, [a,b,c]); ⎤ ⎡ 1 3 1 ⎥ ⎢ A := ⎣ −2 0 4 ⎦ 1 −1 −3 ffgausselim(A);

⎡

1 ⎢ ⎣ 0 0

3 6 0

⎤

1 ⎥ 6 ⎦ 0

Dalˇ s´ı

. – p.10/15

Příklad 1.2.3


Maple: >

linsolve(A,[0,0,0]);

[2 t 1 , − t 1 , t 1] >

koef:=t->(2*t,-t,t);

koef := t → (2 t, −t, t) >

koef(1);

2, −1, 1 Zpˇ et

. – p.10/15

Příklad 1.2.3


Mathematica: a) Collect[au + b(u + v) + c(u + w), u] (a + b + c)u + bv + cw Solve[{a + b + c == 0, b==0, c == 0}, {a, b, c}] {{a → 0, b → 0, c → 0}} Vektory jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. b) {u, v, w}] w),{u, Collect[a(u − 2 ∗ v + w) + b(3 ∗ u − w) + c(u + 4 ∗ v − 3 ∗ w), (a + 3b + c)u + (−2a + 4c)v + (a − b − 3c)w {a, b, c}] 0},{a, Solve[{a + 3b + c == 0, −2a + 4c==0, a − b − 3c == 0}, Solve::svars : Equations may not give solutions for all solve variables. More. . . {{a → 2c, b → −c}} Vektory jsou line´ arnˇ e z´ avisl´ e (m˚ uˇ zeme volit c = 1 potom b = −1 a a = 2). Zpˇ et . – p.10/15

Příklad 1.2.4 Rozhodnˇ ete, zda syst´ em funkc´ı f, g, h ve vektorov´ em prostoru funkc´ı spojit´ ych na line´ arnˇ e z´ avisl´ y nebo nez´ avisl´ y. a) f (x) = 2x − 1, g(x) = x + 1, h(x) = −x + 2; b) f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin x cos x. ?

Ê, je

Zpˇ et

. – p.11/15

Příklad 1.2.4 Rozhodnˇ ete, zda syst´ em funkc´ı f, g, h ve vektorov´ em prostoru funkc´ı spojit´ ych na line´ arnˇ e z´ avisl´ y nebo nez´ avisl´ y. a) f (x) = 2x − 1, g(x) = x + 1, h(x) = −x + 2; b) f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = sin x cos x.

Ê, je

Výsledek: a) Syst´ em je line´ arnˇ e z´ avisl´ y. b) Syst´ em je line´ arnˇ e nez´ avisl´ y. Zpˇ et

. – p.11/15


Ê, je

Návod: Line´ arn´ı z´ avislost syst´ emu funkc´ı lze zjistit podle definice (hled´ ame koeficienty line´ arn´ı kombinace, kter´ a d´ av´ a nulov´ y prvek dan´ eho vektorov´ eho prostoru, tj. v tomto pˇr´ıpadˇ e konstantn´ı nulov´ a funkce na cel´ em Ê) nebo pomoc´ı Wronski´ anu. Zpˇ et

. – p.11/15


Ê, je

Řešení: a) Podle definice: Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ tak, aby α · f (x) + β · g(x) + γ · h(x) = o(x) kde o(x) je konstantn´ı nulov´ a funkce na

∀x ∈

Ê,

Ê - nulový prvek prostoru spojitých funkc´ı na Ê:

α · (2x − 1) + β · (x + 1) + γ · (−x + 2) = 0. Po u ´ pravˇ e:

(2α + β − γ) · x + (−α + β + 2γ) = 0. Funkce vlevo je polynom prvn´ıho stupnˇ e. Ten je roven nulov´ e funkci pr´ avˇ e kdyˇ z vˇ sechny jeho koeficienty jsou nulov´ e. Dost´ av´ ame homogenn´ı soustavu line´ arn´ıch rovnic, kterou vyˇ reˇ s´ıme: 2α + β − γ = 0 −α + β + 2γ = 0 2 1 −1 2 1 −1 2 1 −1 ∼ ∼ −1 1 2 0 3 3 0 1 1 Soustava m´ a nekoneˇ cnˇ e mnoho ˇ reˇ sen´ı (hodnost matice soustavy je 2, poˇ cet nezn´ am´ ych 3, jednu nezn´ amou vol´ıme jako parametr): α= t β = −t , γ= t

napˇ r. pro t = 1 je

α= 1 β = −1 . γ= 1

Dalˇ s´ı . – p.11/15


Ê, je

Řešení: Naˇ sli jsme netrivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinaci, kter´ a d´ av´ a nulovou funkci, a tedy syst´ em funkc´ı 2x − 1, x + 1, −x + 2 je line´ arnˇ e z´ avisl´ y. Pomoc´ı Wronski´ anu: ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 2x − 1 x + 1 −x + 2 f (x) g(x) h(x) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ Wf,g,h (x) = ⎝ f (x) 2 1 −1 g (x) h (x) ⎠ = ⎝ ⎠. 0 0 0 f (x) g (x) h (x) Determinant t´ eto matice je roven nule pro vˇ sechna x ∈ Ê, nelze tedy pomoc´ı Wronski´ anu o line´ arn´ı z´ avislosti nebo nez´ avislosti dan´ eho syst´ emu rozhodnout. b) Podle definice: Hled´ ame ˇ c´ısla α, β, γ tak, aby α · f (x) + β · g(x) + γ · h(x) = o(x) kde o(x) je konstantn´ı nulov´ a funkce na

∀x ∈

Ê,

Ê - nulový prvek prostoru spojitých funkc´ı na Ê:

α · sin x + β · cos x + γ · sin x cos x = 0. Nyn´ı mus´ıme vyˇ reˇ sit tuto sloˇ zitou goniometrickou rovnici. Zkus´ıme, zda pomoc´ı Wronski´ anu nez´ısk´ ame v tomto pˇr´ıpadˇ e odpovˇ ed’ rychleji. Dalˇ s´ı

. – p.11/15


Ê, je

Řešení: Pomoc´ı Wronski´ anu: ⎛ f (x) ⎜ Wf,g,h (x) = ⎝ f (x) f (x)

g(x) g (x) g (x)

⎞

h(x) ⎟ h (x) ⎠ h (x)

⎛ ⎜ = ⎝

sin x cos x − sin x

cos x − sin x − cos x

sin x cos x ⎟ cos(2x) ⎠ . −2 sin(2x)

Vypoˇ cteme determinant rozvojem podle posledn´ıho sloupce: cos x − sin x sin x cos x det Wf,g,h (x) = sin x cos x − cos(2x) − sin x − cos x − sin x − cos x sin x cos x 2 2 −2 sin(2x) = sin x cos x(− cos x − sin x)− cos x − sin x 2

⎞

−

2

cos(2x)(− sin x cos x + sin x cos x) − 2 sin(2x)(− sin x − cos x) = 3 sin x cos x. √ √ π π 3 2 2 Napˇ r. pro x = je Wf,g,h =3 = = 0. Naˇ sli jsme tedy bod, ve kter´ em je 4 4 2 2 2 Wronski´ an nenulov´ y, a tedy funkce sin x, cos x, sin x cos x tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em v prostoru funkc´ı spojit´ ych na Ê. Zpˇ et

. – p.11/15


Ê, je

Maple: >

with(linalg):

>

f:=x-> 2*x-1;

f := x → 2 x − 1 >

g:=x->x+1;

g := x → x + 1 >

h:=x->-x+2;

>

h := x → −x + 2 comb:=x-> a*f(x)+b*g(x)+c*h(x);

>

comb := x → a f(x) + b g(x) + c h(x) collect(comb(x),x);

>

>

Dalˇ s´ı

(2 a + b − c) x − a + b + 2 c A:=matrix(2,3,[2,1,-1,-1,1,2]); 2 1 −1 A := −1 1 2 ffgausselim(A);

2 0

1 3

−1 3

. – p.11/15


Ê, je

Maple: >

v:=vector([0,0]);

v := [0, 0] >

linsolve(A,v);

[ t 1 , − t 1 , t 1] >

koef:=t->(t,-t,t);

koef := t → (t, −t, t) >

koef(1);

>

1, −1, 1 B:=vector([f(x),g(x),h(x)]);

>

>

B := [2 x − 1, x + 1, −x + 2] Wr := wronskian(B,x); ⎤ ⎡ 2 x − 1 x + 1 −x + 2 ⎥ ⎢ Wr := ⎣ 2 1 −1 ⎦ 0 0 0 det(Wr); 0

Dalˇ s´ı . – p.11/15


Ê, je

Maple: b) >

f:=x-> sin(x);

f := x → sin(x) >

g:=x-> cos(x);

g := x → cos(x) >

h:=x->sin(x)*cos(x);

>

h := x → sin(x) cos(x) comb:=x-> a*f(x)+b*g(x)+c*h(x); comb := x → a f(x) + b g(x) + c h(x)

>

comb(x);

>

a sin(x) + b cos(x) + c sin(x) cos(x) B:=vector([f(x),g(x),h(x)]);

>

Dalˇ s´ı

B := [sin(x), cos(x), sin(x) cos(x)] Wr := wronskian(B,x); ⎡ ⎤ sin(x) cos(x) sin(x) cos(x) ⎢ ⎥ Wr := ⎣ cos(x) −sin(x) cos(x)2 − sin(x)2 ⎦ −sin(x) −cos(x) −4 sin(x) cos(x) . – p.11/15


Ê, je

Maple: >

det(Wr);

3 sin(x)3 cos(x) + 3 cos(x)3 sin(x) >

simplify(%);

>

3 sin(x) cos(x) detWr:=x->3*sin(x)*cos(x); detWr := x → 3 sin(x) cos(x)

>

detWr(Pi/4);

3 2 Zpˇ et

. – p.11/15


Ê, je

Mathematica: a) f [x ] = 2x − 1; g[x ] = x + 1; h[x ] = −x + 2; W = {{f [x], g[x], h[x]}, {D[f [x], x], D[g[x], x], D[h[x], x]}, {D[f [x], {x, 2}], D[g[x], {x, 2}], D[h[x], {x, 2}]}}; MatrixForm[W ] ⎛ −1 + 2x 1 + x ⎜ 1 ⎝ 2 0 0

⎞ 2−x ⎟ −1 ⎠ 0

Det[W ] 0 Determinant je rovn´ y nule, syst´ em je line´ arnˇ e z´ avisl´ y. b) f [x ] = Sin[x]; g[x ] = Cos[x]; h[x ] = Sin[x]Cos[x]; W = {{f [x], g[x], h[x]}, {D[f [x], x], D[g[x], x], D[h[x], x]}, {D[f [x], {x, 2}], D[g[x], {x, 2}], D[h[x], {x, 2}]}}; Dalˇ s´ı

. – p.11/15


Ê, je

Mathematica: MatrixForm[W ] ⎛ Sin[x] Cos[x] ⎜ −Sin[x] ⎝ Cos[x] −Sin[x] −Cos[x]

⎞ Cos[x]Sin[x] ⎟ Cos[x]2 − Sin[x]2 ⎠ −4Cos[x]Sin[x]

Simplify[Det[W ]] 3Cos[x]Sin[x] Determinant je r˚ uzn´ y od nuly, syst´ em je line´ arnˇ e nez´ avisl´ y. Zpˇ et

. – p.11/15

Báze a dimenze lineárního prostoru • Pˇ a obsahuje vektor r´ıklad 1.3.1 Napiˇ ste libovolnou b´ azi prostoru Ê4 , kter´ T T → − → − v = (1, 1, 1, 1) a vyj´ adˇ rete vektor a = (2, −2, 1, 3) pomoc´ı t´ eto b´ aze. • Pˇ r´ıklad 1.3.2 Ovˇ eˇ rte, ˇ ze vektory − T → → − − a = (1, 2, 1, 1) , b = (2, −1, 1, 0)T , → c = (1, 1, 2, 2)T jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e, a 4 napiˇ ste jeden dalˇ s´ı vektor prostoru Ê , kter´ y leˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z b´ az´ı jsou → − − − vektory → a, b, → c , a jeden vektor prostoru Ê4 , kter´ y neleˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z → − − − b´ az´ı jsou vektory → a, b, → c. • Pˇ r´ıklad 1.3.3 Urˇ cete dimenzi nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê5 , ve kter´ em leˇ z´ı vektory → − → − − a = (4, 2, 0, −1, 1)T , b = (−3, 1, −1, 2, −2)T , → c = (−2, 4, −2, 3, −3)T . → − − − Kter´ e z vektor˚ u→ a, b, → c tvoˇ r´ı b´ azi tohoto podprostoru? Zpˇ et

. – p.12/15

Příklad 1.3.1 − Napiˇ ste libovolnou b´ azi prostoru Ê4 , kter´ a obsahuje vektor → v = (1, 1, 1, 1)T a vyj´ adˇ rete T → − vektor a = (2, −2, 1, 3) pomoc´ı t´ eto b´ aze. ?

Zpˇ et

. – p.13/15

Příklad 1.3.1 − Napiˇ ste libovolnou b´ azi prostoru Ê4 , kter´ a obsahuje vektor → v = (1, 1, 1, 1)T a vyj´ adˇ rete T → − vektor a = (2, −2, 1, 3) pomoc´ı t´ eto b´ aze.

Výsledek: Hledan´ a b´ aze je napˇ r´ıklad tvoˇ rena vektory − − − → − e2 = (0, 1, 0, 0)T , → e3 = (0, 0, 1, 0)T , → e4 = (0, 0, 0, 1)T , v = (1, 1, 1, 1)T , → → − − − − − a = 2·→ v + (−4) · → e2 + (−1) · → e3 + 1 · → e4 . Zpˇ et

. – p.13/15


Návod: Protoˇ ze hled´ ame b´ azi prostoru Ê4 , mus´ıme naj´ıt syst´ em ˇ ctyˇ r line´ arnˇ e nez´ avisl´ ych vektor˚ u 4 4 → − z Ê , kter´ e prostor Ê generuj´ı, pˇ riˇ cemˇ z jedn´ım z hledan´ ych vektor˚ u je vektor v . Ten 4 dopln´ıme na b´ azi Ê napˇ r. tˇ remi vektory kanonick´ e (pˇ rirozen´ e) b´ aze. → − Vektor a najdeme jako line´ arn´ı kombinaci prvk˚ u nalezen´ e b´ aze, neboli hled´ ame − koeficienty pˇ r´ısluˇ sn´ e line´ arn´ı kombinace vektor˚ u b´ aze (tzv. souˇradnice vektoru → a vzhledem k t´ eto b´ azi). Zpˇ et

. – p.13/15


Řešení: Kdybychom vektory libovoln´ e b´ aze Ê4 zapsali do matice a tuto matici pˇrevedli pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´ prav na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar, mˇ ela by tato matice hodnost 4, 4 protoˇ ze dim Ê = 4 a b´ aze je tedy tvoˇ rena libovoln´ ymi ˇ ctyˇ rmi line´ arnˇ e nez´ avisl´ ymi vektory. Zap´ıˇ seme-li tedy libovolnou matici ˇr´ adu 4 (tj. typu 4 × 4) v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru, tvoˇr´ı jej´ı 4 ˇ r´ adky 4 vektory b´ aze Ê4 . Vzhledem k tomu, ˇ ze nejjednoduˇ sˇ s´ı jsou v´ ypoˇ cty s vektory kanonick´ e b´ aze, pouˇ zijeme tyto vektory. Zadan´ y → − T vektor v = (1, 1, 1, 1) m´ a vˇ sechny sloˇ zky nenulov´ e, bude tedy tvoˇ rit prvn´ı ˇ r´ adek matice v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru: ⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 0 ⎠ 0 0 0 1 Hledan´ a b´ aze je tedy napˇ r´ıklad tvoˇ rena vektory → − − − − v = (1, 1, 1, 1)T , → e2 = (0, 1, 0, 0)T , → e3 = (0, 0, 1, 0)T , → e4 = (0, 0, 0, 1)T . Jeˇ stˇ e jednou poznamenejme, ˇ ze toto je jen jedna z nekoneˇ cnˇ e mnoha moˇ zn´ ych voleb. → − Nyn´ı najdeme souˇ radnice vektoru a vzhledem k t´ eto b´ azi, tj. najdeme ˇ c´ısla α, β, γ, δ (koeficienty line´ arn´ı kombinace) tak, aby α · (1, 1, 1, 1)

T

+ β · (0, 1, 0, 0)

T

+ γ · (0, 0, 1, 0)

T

+ δ · (0, 0, 0, 1)

T

T

= (2, −2, 1, 3) .

Dalˇ s´ı . – p.13/15


Řešení: Dostaneme nehomogenn´ı soustavu line´ arn´ıch rovnic: α α+β α+γ α+δ Tedy

= = = =

2 −2 1 3

⇒ ⇒ ⇒

β γ δ

= = =

−4 −1 1

→ − − − − − a = 2·→ v + (−4) · → e2 + (−1) · → e3 + 1 · → e4 .

Zpˇ et

. – p.13/15


Maple: >

with(linalg):

>

v:=vector([1,1,1,1]);

v := [1, 1, 1, 1] >

e2:=vector([0,1,0,0]);

e2 := [0, 1, 0, 0] >

e3:=vector([0,0,1,0]);

e3 := [0, 0, 1, 0] >

e4:=vector([0,0,0,1]);

e4 := [0, 0, 0, 1] >

A:=matrix([v,e2,e3,e4]);

⎡

⎢ ⎢ A := ⎢ ⎣ >

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

rank(A);

4 >

comb:=a*v+b*e2+c*e3+d*e4;

comb := a v + b e2 + c e3 + d e4 Dalˇ s´ı . – p.13/15


Maple: >

evalm(comb);

>

[a, a + b, a + c, a + d] eqns:={a=2,a+b=-2,a+c=1,a+d=3};

>

>

eqns := {a = 2, a + b = B:=genmatrix(eqns,[a,b,c,d]); ⎡ 1 ⎢ 1 ⎢ B := ⎢ ⎣ 1 1

−2, a + c = 1, a + d = 3} 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

linsolve(B,[2,-2,1,3]);

[2, −4, −1, 1] Zpˇ et

. – p.13/15


Mathematica: e1 = {1, 1, 1, 1}; e2 = {0, 1, 0, 0}; e3 = {0, 0, 1, 0}; e4 = {0, 0, 0, 1}; A = {e1, e2, e3, e4}; MatrixRank[A] 4 Vektory tvoˇr´ı b´ azi

Ê4 .

a = {2, −2, 1, 3}; {α, β, γ, δ} = LinearSolve[Transpose[A], a] {2, −4, −1, 1} − Vektor → a = 2e1 − 4e2 − e3 + e4 . Zpˇ et

. – p.13/15

Příklad 1.3.2

→ − − − Ovˇ eˇ rte, ˇ ze vektory → a = (1, 2, 1, 1)T , b = (2, −1, 1, 0)T , → c = (1, 1, 2, 2)T jsou line´ arnˇ e 4 nez´ avisl´ e, a napiˇ ste jeden dalˇ s´ı vektor prostoru Ê , kter´ y leˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z b´ az´ı → − − − jsou vektory → a, b, → c , a jeden vektor prostoru Ê4 , kter´ y neleˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z → − → → − − b´ az´ı jsou vektory a , b , c . ?

Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.2

→ − − − Ovˇ eˇ rte, ˇ ze vektory → a = (1, 2, 1, 1)T , b = (2, −1, 1, 0)T , → c = (1, 1, 2, 2)T jsou line´ arnˇ e 4 nez´ avisl´ e, a napiˇ ste jeden dalˇ s´ı vektor prostoru Ê , kter´ y leˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z b´ az´ı → − − − jsou vektory → a, b, → c , a jeden vektor prostoru Ê4 , kter´ y neleˇ z´ı v podprostoru, jehoˇ z → − → → − − b´ az´ı jsou vektory a , b , c .

Výsledek: → − − − V podprostoru prostoru Ê4 , jehoˇ z b´ az´ı jsou vektory → a, b, → c , leˇ z´ı napˇ r. vektor T T (4, 2, 4, 3) , neleˇ z´ı v nˇ em napˇ r. vektor (0, 0, 0, 1) . Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.2


Návod:

→ − − − Z vektor˚ u→ a, b, → c setav´ıme matici, kterou pˇ revedeme na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar. → − − − Vektory → a, b, → c tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em pr´ avˇ e kdyˇ z hodnost t´ eto matice je 3. → − → 4 → − − Libovoln´ y vektor z Ê , kter´ y je line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u a , b , c , leˇ z´ı v prostoru, → − → → − jehoˇ z b´ az´ı jsou tyto vektory. Vektor, kter´ y dopln´ıme k vektor˚ um a , b , − c tak, aby matice v horn´ım troj´ uheln´ıkov´ em tvaru byla ˇ ctvercov´ a, neleˇ z´ı v prostoru, jehoˇ z b´ az´ı jsou → − − − vektory → a, b, → c. Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.2


Řešení:

→ − − − Z vektor˚ u→ a, b, → c sestav´ıme matici, kterou pˇ revedeme Gaussovou eliminac´ı na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar: ⎞ ⎛ ⎛ → ⎞ − aT 1 2 1 1 − ⎟ ⎜ ⎜ → ⎟ A = ⎝ b T ⎠ = ⎝ 2 −1 1 0 ⎠ ∼ → − 1 1 2 2 cT ⎞ ⎛ ⎞ 1 2 1 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎠. −2 ⎠ ∼ ⎝ 0 5 0 0 −6 −7 1 → − − − Hodnost matice A = 3, tedy tˇ ri vektory → a, b, → c jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. Samozˇrejmˇ e 4 generuj´ı podprostor Ê , jehoˇ z jsou b´ az´ı, tj. jejich libovoln´ a line´ arn´ı kombinace leˇ z´ı v tomto podprostoru. Napˇr. vektor → − − − 1·→ a +1· b +1·→ c = 1 · (1, 2, 1, 1)T + 1 · (2, −1, 1, 0)T + 1 · (1, 1, 2, 2)T = (4, 2, 4, 3)T . → − − − leˇ z´ı v podprostoru Ê4 , jehoˇ z b´ azi tvoˇ r´ı vektory → a, b, → c. 4 Chceme-li naj´ıt vektor, kter´ y neleˇ z´ı v podprostoru Ê , jehoˇ z b´ azi tvoˇ r´ı vektory → − → − − a, b, → c , vyjdeme z horn´ıho troj´ uheln´ıkov´ eho tvaru matice A. ⎛

1 ⎜ ∼⎝ 0 0

2 −5 −1

1 −1 1

Dalˇ s´ı . – p.14/15

Příklad 1.3.2


Řešení:

→ − − − − Kdybychom doplnili jako ˇ ctvrt´ yˇ r´ adek vektor → e 4 = (0, 0, 0, 1)T , tvoˇ r´ı vektory → a, b, → c 4 4 → − a e 4 b´ azi cel´ eho prostoru Ê (dim Ê = 4, naˇ sli jsme 4 line´ arnˇ e nez´ avisl´ e vektory). → − − − − Uk´ aˇ zeme, ˇ ze vektor → e 4 nen´ı line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u→ a, b, → c a neleˇ z´ı tedy v prostoru generovan´ em tˇ emito vektory. Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze existuj´ı ˇ c´ısla α, β, γ tak, ˇ ze → − − − − α·→ a +β· b +γ·→ c =→ e4 , tj. α · (1, 2, 1, 1)

T

+ β · (2, −1, 1, 0)

T

+ γ · (1, 1, 2, 2)

T

T

= (0, 0, 0, 1) .

Dost´ av´ ame nehomogenn´ı soustavu line´ arn´ıch rovnic: α + 2β 2α − β α+ β α+

+ γ + γ + 2γ + 2γ

= = = =

0 0 0 1

Tuto soustavu vyˇreˇ s´ıme Gaussovou eliminaˇ cn´ı metodou: ⎛ ⎞ ⎛ 1 2 1 0 1 2 1 ⎜ 2 −1 1 0 ⎟ ⎜ 0 −5 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ∼⎜ ⎝ 1 ⎝ 0 −1 1 2 0 ⎠ 1 1 0 2 1 0 −2 1

0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∼ ⎠

Dalˇ s´ı . – p.14/15

Příklad 1.3.2


Řešení: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 0 0 0

2 −5 0 0

1 −1 −6 −7

0 0 0 −5

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∼⎜ ⎠ ⎝

1 0 0 0

2 −5 0 0

1 −1 −6 0

0 0 0 30

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠

Nejprve jsme k druh´ emu ˇ r´ adku pˇ riˇ cetli (−2)n´ asobek prvn´ıho, od tˇ ret´ıho a ˇ ctvrt´ eho ˇ r´ adku jsme odeˇ cetli prvn´ı. T´ım jsme vynulovali poddiagon´ aln´ı prvky prvn´ıho sloupce. K (−5)tin´ asobku tˇ ret´ıho ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli druh´ y a k (−5)tin´ asobku ˇ ctvrt´ eho ˇ r´ adku jsme pˇ riˇ cetli dvojn´ asobek druh´ eho. T´ım m´ ame vynulov´ any poddiagon´ aln´ı prvky druh´ eho sloupce. Nakonec pˇriˇ cteme k (−6)tin´ asobku ˇ ctvrt´ eho ˇ r´ adku sedmin´ asobek tˇret´ıho. Vid´ıme, ˇ ze matice soustavy m´ a hodnost 3, zat´ımco rozˇ s´ıˇ ren´ a matice soustavy m´ a hodnost 4. Podle Frobeniovy vˇ ety soustava nem´ aˇ reˇ sen´ı, a tedy ˇ c´ısla α, β, γ (koeficienty line´ arn´ı T 4 → − kombinace) nelze naj´ıt. Vektor e4 = (0, 0, 0, 1) neleˇ z´ı v podprostoru prostoru Ê , jehoˇ z → − − − b´ azi tvoˇ r´ı vektory → a, b, → c. Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.2


Maple: >

with(linalg):

>

a:=vector([1,2,1,1]);

a := [1, 2, 1, 1] >

b:=vector([2,-1,1,0]);

b := [2, −1, 1, 0] >

c:=vector([1,1,2,2]);

c := [1, 1, 2, 2] >

A:=matrix([a,b,c]);

⎡

1 ⎢ A := ⎣ 2 1 >

2 −1 1

1 1 2

⎤ 1 ⎥ 0 ⎦ 2

rank(A);

3 >

Dalˇ s´ı

ffgausselim(A);

⎡

1 ⎢ ⎣ 0 0

2 −5 0

1 −1 −6

⎤ 1 ⎥ −2 ⎦ −7 . – p.14/15

Příklad 1.3.2


Maple: >

evalm(a+b+c);

>

[4, 2, 4, 3] evalm(alpha*a+beta*b+gamma*c);

[α + 2 β + γ, 2 α − β + γ, α + β + 2 γ, α + 2 γ] > eqns:={alpha+2*beta+gamma=4, 2*alpha-beta+gamma=2, alpha+beta+2*gamma=4, alpha+2*gamma=3}; >

>

eqns := {α + 2 β + γ = 4, 2 α − β + γ = 2, α + β + 2 γ = 4, α + 2 γ = 3} B:=genmatrix(eqns,[alpha,beta,gamma]); ⎡ ⎤ 1 2 1 ⎢ 2 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ B := ⎢ ⎥ ⎣ 1 1 2 ⎦ 1 0 2 linsolve(B,[4,2,4,3]);

[1, 1, 1] Dalˇ s´ı

. – p.14/15

Příklad 1.3.2


Maple: >

alpha:=1; beta:=1; gama:=1;

α := 1 β := 1 gama := 1 >

linsolve(B,[0,0,0,1]);

>

C:=stackmatrix(A,[0,0,0,1]); ⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ C := ⎢ ⎣ 1 0

>

2 −1 1 0

1 1 2 0

1 0 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

rank(C);

4 Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.2


Mathematica: a = {1, 2, 1, 1}; b = {2, −1, 1, 0}; c = {1, 1, 2, 2}; A = {a, b, c}; MatrixRank[A] 3 Vektory jsou line´ arnˇ e nez´ avisl´ e. v =a+b+c {4, 2, 4, 3} MatrixRank[Join[A, {v}]] 3 → − − − − Vektor → v = [4, 2, 4, 3] leˇ z´ı v prostoru generovan´ em vektory → a, b a → c. u = {0, 0, 0, 1} {0, 0, 0, 1} Dalˇ s´ı . – p.14/15

Příklad 1.3.2


Mathematica: MatrixRank[Join[A, {u}]] 4 → − − − − Vektor → u = [0, 0, 0, 1] neleˇ z´ı v prostoru generovan´ em vektory → a, b a → c , ale leˇ z´ı v 4 prostoru Ê . Zpˇ et

. – p.14/15

Příklad 1.3.3 Urˇ cete dimenzi nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê5 , ve kter´ em leˇ z´ı vektory → − → − − a = (4, 2, 0, −1, 1)T , b = (−3, 1, −1, 2, −2)T , → c = (−2, 4, −2, 3, −3)T . → − − − Kter´ e z vektor˚ u→ a, b, → c tvoˇ r´ı b´ azi tohoto podprostoru? ?

Zpˇ et

. – p.15/15

Příklad 1.3.3 Urˇ cete dimenzi nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê5 , ve kter´ em leˇ z´ı vektory → − → − − a = (4, 2, 0, −1, 1)T , b = (−3, 1, −1, 2, −2)T , → c = (−2, 4, −2, 3, −3)T . → − − − Kter´ e z vektor˚ u→ a, b, → c tvoˇ r´ı b´ azi tohoto podprostoru?

Výsledek: → − − − Dimenze nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê5 , ve kter´ em leˇ z´ı vektory → a, b, → c je 2. → − → − → − → − B´ azi tvoˇ r´ı napˇ r. vektory a , b nebo vektory a , c . Zpˇ et

. – p.15/15


Návod:

→ − − − Z vektor˚ u→ a, b, → c sestav´ıme matici, kterou pˇ revedeme na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar, a tak zjist´ıme, kolik a kter´ e z vektor˚ u tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em. Ty jsou pak b´ az´ı 5 hledan´ eho nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê . Jejich poˇ cet je roven dimenzi tohoto podprostoru. Zpˇ et

. – p.15/15


Řešení:

→ − − − Z vektor˚ u→ a, b, → c sestav´ıme matici, kterou pomoc´ı ekvivalentn´ıch u ´ prav pˇ revedeme na horn´ı troj´ uheln´ıkov´ y tvar: ⎛ → ⎞ − aT − ⎜ → ⎟ A = ⎝ bT ⎠ → − cT ⎛

4 ⎜ ∼⎝ 0 0

2 10 10

0 −4 −4

−1 5 5

⎛

4 ⎜ = ⎝ −3 −2 ⎞ 1 ⎟ −5 ⎠ −5

2 1 4

∼

0 −1 −2

4 0

−1 2 3

2 10

⎞ 1 ⎟ −2 ⎠ −3

0 −4

−1 5

∼

1 −5

.

Hodnost matice A = 2, tedy dva ze tˇ r´ı vektor˚ u tvoˇ r´ı line´ arnˇ e nez´ avisl´ y syst´ em, a to → − − − − vektory → a , b nebo vektory → a, → c , nebot’ pˇ ri ekvivalentn´ıch u ´ prav´ ach n´ am ”vypadl” → − → − − bud’ vektor b nebo vektor → c , coˇ z n´ am ˇ r´ık´ a, ˇ ze bud’ vektor b je line´ arn´ı kombinac´ı → − → − → − → − → − vektor˚ u a , c nebo vektor c je line´ arn´ı kombinac´ı vektor˚ u a , b . Tedy b´ aze → − → 5 → − − nejmenˇ s´ıho podprostoru prostoru Ê , ve kter´ em leˇ z´ı vektory a , b , c , sest´ av´ a bud’ z → − → − → − → − dvojice vektor˚ u a , b nebo z dvojice vektor˚ u a , c . Protoˇ ze b´ aze m´ a dva prvky, je dimenze tohoto podprostoru rovna 2. Zpˇ et . – p.15/15


Maple: >

with(linalg):

>

eqns:={x+y+2*z-u=0,2*x+2*y+z-2*u=0};

>

>

eqns := {x + y + 2 z − u = 0, 2 x + 2 y + z − 2 u = 0} A:=genmatrix(eqns,[x,y,z,u]); 1 1 2 −1 A := 2 2 1 −2 nullspace(A, ’nulldim’);

{[−1, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 1]} >

nulldim;

2 Zpˇ et

. – p.15/15


Mathematica: a = {4, 2, 0, −1, 1}; b = {−3, 1, −1, 2, −2}; c = {−2, 4, −2, 3, −3}; A = {a, b, c}; MatrixRank[A] 2 Dimenze prostoru je 2 . B = {a, b}; MatrixRank[A] 2 → − − Za b´ azi m˚ uˇ zeme volit napˇr´ıklad {→ a, b }. Zpˇ et

. – p.15/15

Kapitola 1: Lineární prostor

Recommend Documents