kalkulus1

Kalkulus I Fungsi Dan Grafik Fungsi Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. [email protected] 081 2278 3991 eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Materi Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan daerah hasil )  Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif dan Invers  Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi  Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius 


Hubungan atau Relasi 





Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasi antara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi. Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi 4 V   r3 3 Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap x  A berelasi R dengan tepat satu y  B maka R disebut fungsi dari A ke B.


Fungsi Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.  Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f:AB  Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. 


Daerah Asal dan Nilai 

Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,

D f  x  R : f ( x) ada ( terdefinisikan) 

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah nilai fungsi f, ditulis R f atau Im(f) → Perhatikan gambar berikut


Fungsi : Daerah Asal dan Nilai


Fungsi

• Jika pada fungsi f : A  B , sebarang elemen x  A mempunyai kawan y  B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x). • Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. • Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f. Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Daerah Asal dan Nilai 

Daerah asal (Df)

D f  x  R : f ( x)  R D f  x  R sehingga f (x) ada ( terdefinisikan) 

Daerah nilai (Rf)

R f  f ( x)  R : x  D f  R f  berapa f ( x)  R untuk semua x  D f  Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai Contoh 1

f ( x)  1  x D

f

 Di bawah 1 x  0

D

f

 [  1,  )

dan akar  0

g ( x)   x 2  1 D g  (  ,  )  x   0  x2      x2  0   1  x2 1  0 1     x 2  1  1

R f  0 ,  

   g (x)  1 R g  (  ,  1 ] Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan Df dan Rf dengan Grafik Fungsi Ilustrasi grafik fungsi f


Hubungan Dg dan Rg dengan Grafik Fungsi Ilustrasi grafik fungsi g


Fungsi Surjektif Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif


Fungsi Injektif Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif


Fungsi Bijektif 



Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.


Fungsi Invers 



Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi f 1 .

x  f 1 ( y ) 

y  f ( x)

dengan

D f 1  R f dan R f 1  D f Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Operasi Pada Fungsi Diberikan skalar real  dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :

,


Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk f g





D f g  x  D f  D g : g ( x)  0 ,


Operasi Pada Fungsi Contoh 2

,


Fungsi Komposisi

gof

fog


Syarat Fungsi Komposisi gof

R f  Dg  


Syarat Fungsi Komposisi fog

Rg  D f   fo g f(g(x)) g

f


Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi g of

Dg  f  x  D f : f ( x)  Dg 

Rg  f  y  Rg : y  g (t ), t  R f  fog

D f  g  x  Dg : g ( x)  D f 

R f  g  y  R f : y  f (t ), t  Rg  Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi Contoh 3 Diberikan fungsi berikut 2

f ( x)  1  x dan g ( x)   x  1 Tentukan

a. D f  g dan R f  g b. Dg  f dan Rg  f Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi Contoh 3

a. D f  g dan R f  g

Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg



a. D f  g dan R f  g



b. Dg  f dan Rg  f



b. Dg  f dan Rg  f


Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius 

Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:  



Fungsi Aljabar Fungsi Transenden

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.



Contoh fungsi aljabar : 2

f ( x)  



3x  x ( x  1)

23

x2 1

Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb. Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret


Fungsi Aljabar meliputi :  Fungsi rasional :  Fungsi bulat (fungsi suku banyak)  Fungsi pecah.  Fungsi irasional.



Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an  0.


Grafik Fungsi Suku Banyak a. Fungsi konstan

f ( x)  c

b. Fungsi linear: f(x)= mx + n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik . c. Fungsi kuadrat f ( x)  ax 2  bx  c, a  0 3 2 d. Fungsi kubik f ( x)  a3 x  a 2 x  a1 x  a 0 , a3  0


Grafik Fungsi Pecah 

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak a0  a1 x  ...  a n x n f ( x)  b0  b1 x  ...  bm x m

disebut fungsi pecah.


Grafik Fungsi Pecah 

1 Contoh grafik f(x) = x

dan

x f ( x)  x 1


Grafik Fungsi Irasional 

Contoh


Grafik Transenden ( Fungsi Trigonometri ) 

Contoh


Grafik Transenden ( Fungsi Trigonometri )

Pelajari hubungan fungsi trigonometri Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Kata inspirasi pertemuan ini Berfikir Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua fikiran, harus diikuti oleh tindakan.


kalkulus1

Recommend Documents