Jurusan Matematika FMIPA IPB
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 24 Maret 2003 Waktu : 2 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: d sin x ; dx x + 1 d (cos2 (2x 1)) : (b) dx (a)
2
2. Diberikan fungsi f dengan f (x) = x 3 : (a) Dengan menggunakan de…nisi turunan, periksa apakah f mempunyai turunan di x = 0: (b) Tentukan persamaan garis singgung gra…k fungsi f di titik (8; 4) : 3. Jika sin (y) = x
dy dx +2 dx dy
x3 ; tentukan
:
4. Diketahui garis y = x + 3 merupakan garis singgung pada kurva fungsi f: Jika f 0 (x) = 3 2x; tentukan f (0) : 5. Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan di setiap bilangan real dan f (1) = 1: Jika F (x) = f (xn ) dan G (x) = [f (x)]n dengan n suatu bilangan bulat, maka tunjukkan bahwa (a) F (1) = G (1) : (b) F 0 (1) = G0 (1) : 6. Diketahui fungsi f dengan karakteristik sebagai berikut: Fungsi f kontinu pada Df = fx; x 2 R; x 6= 0g ; lim [f (x) (x + 1)] = 0; x!+1
lim [f (x)
x! 1
(x + 1)] = 0; lim+ f (x) = +1; lim f (x) = x!0
x!0
1: Fungsi
f naik pada selang ( 1; 1) dan (1; 1) ; turun pada selang ( 1; 0) dan (0; 1) ; f cekung ke atas pada (0; 1) dan cekung ke bawah pada selang ( 1; 0) : Jika f 0 ( 1) = f 0 (1) = 0; f ( 1) = 1; f (1) = 3; maka gambarlah gra…k fungsi f: 1
7. Suatu kotak tertutup berbentuk balok dengan volume 400 cm3 mempunyai alas berbentuk persegi (bujur sangkar). Harga bahan untuk membuat bagian tutup dan bagian alas kotak adalah 1000,- rupiah per cm2 ; sedangkan harga bahan untuk bagian dinding (samping) adalah 540,- rupiah per cm2 : Tentukan ukuran kotak tersebut agar biaya bahan yang diperlukan minimum. 8. Diketahui fungsi f dengan f (x) =
(x p
2)2 ; 0 x x 2; 2 < x
2 : 4
Tentukan: (a) nilai maksimum mutlak dan nilai minimum mutlak fungsi f: (b) selang fungsi f cekung ke atas dan selang fungsi f cekung ke bawah dan titik belok (titik balik). 9. Sebuah pesawat P bergerak lurus dari suatu titik di angkasa dengan ketinggian tetap sebesar 7 km mendekati titik Q dengan kecepatan 10 km/menit. Titik Q tersebut berada 7 km tepat di atas wartawan W. Tentukan laju perubahan sudut pengamatan (sudut PWQ), dalam radian per menit, ketika jarak pesawat P ke titik Q adalah 10 km. 10. Andaikan bahwa fungsi f dan g kontinu pada [a; b] dan terturunkan pada (a; b) : Andaikan juga f (a) = g (a) dan f 0 (x) < g 0 (x) untuk a < x < b: Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa f (b) < g (b) :
2
Jurusan Matematika FMIPA IPB JAWABAN UTS KALKULUS/KALKULUS 1 2002/2003 SENIN, 24 MARET 2003 1. (a) d dx
sin x x+1
=
(cos x) (x + 1) (sin x)(1) (x + 1)2
(b) d cos2 (2x dx
1)
= 2(cos (2x =
4 sin (2x
1)) ( sin (2x 1) cos (2x
1)) (2) 1) :
2. f (x) = x2=3 : (a) Dengan de…nisi turunan: f (0) x2=3 0 1 = lim = lim 1=3 x!0 x!0 0 x x
f (x) f (0) = lim x!0 x 0
tidak ada.
2 : Kemiringan garis singgung gra…k 3x1=3 fungsi f di (8; 4) adalah
(b) f 0 (x) = 2=3x
1=3
f 0 (8) =
=
2 2 2 1 = = : = 3 (81=3 ) 3 (2) 3 3 (23 )1=3
Jadi persamaan garis singgungnya: y 3. sin y = x
4=
1 (x 3
8)
1 4 () y = x + : 3 3
x3 :
Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x diperoleh: d d (sin y) = x x3 dx dx dy (cos y) = 1 3x2 dx dy 1 3x2 = dx cos y 3
Jika kedua ruas persamaan sin y = x terhadap y diperoleh:
x3 diturunkan secara implisit
d d (sin y) = x x3 dy dy dx dx dx cos y = 3x2 = 1 dy dy dy dx cos y = : dy 1 3x2 Jadi
3x2
dy dx 1 3x2 cos y +2 = +2 : dx dy cos y 1 3x2
4. Misalkan (x0 ; y0 ) merupakan titik singgung gra…k fungsi f dengan garis singgung y = x + 3: Gradien garis singgung di titik (x0 ; y0 ) adalah f 0 (x0 ) yang nilainya sama dengan gradien garis singgungnya, yaitu 1. Jika diketahui f 0 (x) = 3 2x; makai: f 0 (x0 ) = 3 2x0 = 1: ) x0 = 1 ) y0 = x0 + 3 = 1 + 3 = 4: Jadi titik singgungnya (1; 4) : Karena f 0 (x) = 3 2x; maka f (x) = 3x x2 + C (anti turunan dari f 0 ): Karena titik (1; 4) berada pada kurva f; maka f (1) = 3 (1) Jadi f (x) = 3x
12 + C = 4 ) C = 2:
x2 + 2, akibatnya f (0) = 0
0 + 2 = 2:
5. F (x) = f (xn ) dan G (x) = (f (x))n ; dan f (1) = 1: (a) F (1) = f (1n ) = f (1) = 1; sedangkan G (1) = (f (1))n = 1n = 1: Jadi F (1) = G (1) : (b) F 0 (x) = (f 0 (xn )) nxn 1 ; sehingga F 0 (1) = (f 0 (1n )) n 1n G0 (x) = n (f (x))n
1
1
= f 0 (1) n 1n
1
f 0 (x) ; sehingga
G0 (1) = n f (1)n Jadi F 0 (1) = G0 (1) : 4
1
f 0 (1) = f 0 (1) n 1n 1 :
6. f 0 ( 1) = 0 = f 0 (1) berarti x = 1 dan x = 1 merupakan titik kritis. Dari naik-turunnya fungsi diperoleh bahwa f ( 1) = 1 adalah nilai maksimum lokal, dan f (1) = 3 adalah nilai minimum lokal. lim [f (x)
x!+1
(x + 1)] = 0 = lim [f (x) x! 1
(x + 1)] ; berarti y = x + 1
merupakan garis asimtot miring dari f: lim f (x) = +1; berarti garis x = 0 (sumbu y) merupakan asimtot
x!0+
tegak. Dari semua data yang diberikan diperoleh bahwa gra…k fungsi f adalah sebagai berikut:
7. Misalkan x sisi alas, h adalah tinggi balok, dan V adalah volume balok. Maka: V
= x2 h ) 400 = x2 h 400 ) h= 2 : x
Misalkan biaya yang harus dikeluarkan untuk membuat kotak adalah B (x) , maka B (x) = 1000 2x2 + 540 4x = 2000x2 +
400 x2
864000 x
864000 4000x3 864000 = x2 x3 0 3 dan B (x) = 0 , 4000x = 864000 864000 , x3 = = 216 4000 , x = 6: B 0 (x) = 4000x
5
172800 : Maka B 00 (6) > 0; sehingga menurut Uji x3 Turunan Kedua B (6) adalah nilai minimum lokal fungsi B: Karena ini satu-satunya nilai minimum lokal, maka B (6) juga merupakan nilai minimum global dari fungsi B: 100 Jika x = 6 cm; maka h = cm. Jadi ukuran kotak adalah sisi alas 9 100 6 cm, dan tinggi cm, 9 B 00 (x) = 4000 +
8. f (x) =
(x p
2)2 ; jika 0 x x 2; jika 2 < x
2 4
(a) Akan ditentukan nilai maksimum dan nilai minimum mutlaknya. Karena f fungsi polinom, maka f kontinu pada selang (0; 2) ; dan karena f merupakan fungsi akar kuadrat, maka f kontinu pada selang (2; 4) : – Karena lim+ (x x!0
kanan di x = 0; p – Karena lim x x!4
2)2 = (0
2)2 = f (0) maka f kontinu
p
2 = f (4) ; maka f kontinu
2=
4
kiri di x = 4; – Perhatikan pula bahwa 9 lim f (x) = lim (x 2)2 = (2 2)2 = 0 > = x!2 x!2 p p 2 2=0 lim f (x) = lim+ x 2 = > x!2+ x!2 ; f (2) = (2 2)2 = 0 ) f kontinu di x = 2 Jadi f kontinu pada selang [0; 4] : Karena f kontinu pada selang tutup, maka f mempunyai nilai maksimum dan minimum mutlak. Akan ditentukan titik-titik kritisnya: Turunan pertama fungsi f : 8 < 2 (x 2) ; jika 0 < x < 2 0 1 f (x) = ; jika 2 < x < 4 : p 2 x 2
f 0 (x) = 0 hanya jika x = 2; tetapi 2 2 = (0; 2) : Jadi f 0 (2) 6= 0: 6
Turunan kiri dan kanan fungsi f di x = 2 : f (x) lim x!2 x lim+
x!2
f (x) x
f (2) = 2 =
lim
(x
x!2
2)2 (2 x 2 2) = 0
9 2)2 > > > > > > > > =
lim (x p x 2 (2 2)2 f (2) = lim+ x!2 x 2 2 1 = +1 = lim+ p x!2 x 2 x!2
> > > > > > > > ;
; maka
f 0 (2) tidak ada. Jadi x = 2 merupakan titik kritis dari fungsi f: : Titik ujung selang x = 0; dan x = 4: x 0 4 2
(0 p 4 (2
f (x) Keterangan 2 2) =p 4 4 adalah nilai maksimum mutlak fungsi f 2= 2 2)2 = 0 0 adalah nilai minimum mutlak fungsi f
(b) Akan diperiksa kecekungannya: 8 2; jika 0 < x < 2 < 1 f 00 (x) = ; jika 2 < x < 4 : 4 (x 2)3=2 Tanda f 00 (x)
+++
0
2
4
Jadi f cekung ke atas pada selang (0; 2) ; dan f cekung ke bawah pada selang (2; 4) : Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 2; maka titik belok/baliknya adalah titik (2; f (2)) = (2; 0) : 9. Misalkan: x adalah jarak pesawat P dengan titik Q pada waktu t; adalah sudut pengamatan dari titik W (sudut P W Q) pada saat t: Gambar:
7
dx = 10 km/menit (tanda negatif karena makin lama dt jaraknya berkurang) d Ditanyakan: pada saat x = 10 km. dt Persamaan yang menghubungkan laju yang diketahui dengan laju yang ditanyakan: x tan = 7 Turunkan kedua ruas persamaan secara implisit terhadap t; : Diketahui:
d x d (tan ) = dt dt 7 1 dx d = sec2 dt 7 dt d 1 dx 1 = dt 7 dt sec2
1 dx = cos2 7 dt
1 dx = 7 dt
7 p 2 7 + x2
2
Pada saat x = 10; d 1 = ( 10) dt 7
2
7 p 49 + 102
=
10 49 70 = rad/menit. 7 149 149
10. Misalkan fungsi h (x) = f (x) g (x) : Karena f dan g kontinu pada [a; b] dan terturunkan pada (a; b) ; maka h juga kontinu pada [a; b] dan terturunkan pada selang (a; b) : Menurut Teorema Nilai Rata-rata (TNR) terdapat c 2 (a; b) sehingga h (b) h (a) : b a h0 (x) = f 0 (x) g 0 (x) : Karena f 0 (x) < g 0 (x) untuk setiap a < x < b; maka h0 (x) < 0 untuk setiap a < x < b: Ini berarti h0 (c) < 0: Akibatnya: h (b) h (a) < 0: b a Ini berarti h (b) h (a) < 0 (karena b > a sehingga b a > 0): Jadi: h0 (c) =
h (b)
h (a) = [f (b)
g (b)]
[f (a)
Karena diketahui f (a) = g (a) ; maka f (b) g (b) 0 < 0 f (b) g (b) < 0 f (b) < g (b) :
8
g (a)] < 0:
