Kalkulus Teori, Soal-Soal & Penerapannya

Kalkulus Teori, Soal-Soal & Penerapannya Ira Puspasari

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA & TEKNIK KOMPUTER SURABAYA

BAB 1 FUNGSI{

XE "FUNGSI" } UMUM

Materi

:

Fungsi

Sub Materi

:

Pengertian Fungsi Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Fungsi Trigonometri Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan konsep fungsi aljabar, fungsi trigonometri dan fungsi pangkat, menggambar grafik fungsi, menentukan invers{ XE "invers" } dan komposisi{ XE "komposisi" } dari fungsi, membuktikan identitas{ XE "identitas" } trigonometri serta menghitung fungsi pangkat dan eksponensial{ XE "eksponensial" }.

1.1. Pengertian Fungsi Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai hubungan antara dua hal. Misalnya hubungan antara seseorang dengan hobi yang dimiliki. Seperti ditunjukkan pada Gambar 1.1

Ari

Menyanyi

Benny

Berenang

Cello

Membaca

Dean

Menari

Gambar 1.1 Hubungan antara mahasiswa dengan hobi

Kalkulus

1

Pada Gambar 1.1, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan antara mahasiswa dengan hobi. Setiap orang dapat memiliki satu atau lebih hobi. Sebaliknya satu jenis hobi dapat diambil oleh beberapa mahasiswa. Hubungan demikian disebut relasi{ XE "relasi" }, yang menghubungkan antara himpunan nama orang dengan himpunan hobi. Contoh lain misalnya hubungan antara negara dan ibukota negara. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.2

India

New Delhi

Italia

Roma

Inggris

London

Spanyol

Madrid

Gambar 1.2 Hubungan antara negara dan Ibukota

Pada Gambar 1.2, dapat dilihat bahwa peristiwa ini menghubungkan antara negara dan ibukotanya. Setiap negara hanya memiliki sebuah ibukota negara, sebaliknya nama sebuah ibukota negara hanya dimilki oleh sebuah negara saja. Hubungan (relasi{ XE "relasi" }) dalam kondisi khusus seperti ini disebut korespondensi satu-satu seperti pada Gambar 1.2 Beberapa contoh di atas telah memberikan kita gambaran seperti apakah fungsi itu. Menurut definisinya suatu fungsi f adalah pengawanan setiap elemen sebuah himpunan (daerah asal) kepada tepat satu elemen himpunan yang lain (daerah nilai). Daerah asal dan daerah nilai tidak dibatasi oleh angka, tetapi bisa manusia, hewan, tumbuhan, benda mati dan lain-lain, sedangkan dalam kalkulus himpunan itu adalah himpunan bilangan-bilangan real. Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi{ XE "notasi" } berikut.

f:A

Kalkulus

B 2

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Sedangkan untuk memberi nama suatu fungsi selain menggunakan huruf f

bisa

menggunakan g atau F. Jadi, jika f(x) = 2x2 + 3 x, maka f(1) = 2.12 + 3.1 = 5 f(2) = 2.22 + 3.2 = 14 f(3) = 2.32 + 3.3 = 24 f(a) = 2.a2 + 3.a f(a + h) = 2.(a + h)2 + 3.(a + h) = 2a2 + 2ah + h2 + 3a + 3h

Dalam fungsi terdapat daerah asal dan daerah nilai. Daerah asal adalah daerah dimana suatu elemen dipetakan. Daerah asal f : A

B adalah semua unsur anggota bilangan real dalam A

yang menyebabkan daerah hasil dalam B selalu Real. Daerah hasil f : A

B adalah semua unsur anggota bilanganreal dalam B

yang merupakan hasil yang dikenai fungsi unsur anggota A.

Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan diatur, sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan respon dari variabel bebas. Berbagai cara menentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi diberikan dalam contoh berikut. Contoh: 1.

Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari f(x) =

x 1 x

Jawab: Supaya f(x)   , syaratnya adalah x  0, sehingga daerah asal fungsi f adalah D f = {f (x)  : x  0}=  - {0} Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, ubahlah bentuknya menjadi y=

x 1 , x

kemudian nyatakan x dalam y, perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y. Kalkulus

3

yx=x–1 x( y – 1 ) = -1 x=

1 ,y 1 y 1

Jadi daerah nilai fungsi f adalah R f = {f(x)   : y  1}=  - {1} Sketsa grafik dari persamaan f(x) =

x 1 x

dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu x

-3

-2

y = f(x) 1,33 1,5

-1 1 2

2

3

0 0,5 0,67

Gambar 1.3 Grafik fungsi f dengan daerah asal  - {0}dan daerah nilai  {1} Gambar 1.3 menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal  - {0}dan daerah nilai  - {1}.

2. f(x) =

Tentukan daerah asal, daerah nilai fungsi dan gambarkan grafik dari 4 x

Jawab: f(x) =

Kalkulus

4 x

4

4  x , besaran 4 – x tidak dapat negatif. Yaitu, 4 – x

Dalam y =

harus lebih besar daripada atau sama dengan 0. Penulisannya dalam lambang adalah 0 4 x Atau 0 x  4 x x

Atau x4

Bentuk y =

x  4 memberikan harga y yang riel untuk sebarang x yang lebih

kecil daripada atau sama dengan 4.Sehingga daerah asal fungsi f adalah D f = {   : x  4 }= { 4 , -  } Untuk menentukan daerah nilai fungsi f, D f ={ 4 , -  }   x  4

x  4 memberikan harga y yang riel, maka daerah nilai

Karena bentuk Bentuk y = fungsi f adalah

0  f (x)   Jadi daerah nilai fungsi f adalah R f = 0,  Sketsa grafik dari persamaan f(x) =

4 x

dapat diselesaikan dengan membuat bilangan x di sekitar nol terlebih dahulu

Kalkulus

x

-5

y = f(x)

3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3 4

2,83 2,65 2,45 2,24 2 1,73 1,41 1 0

5

Gambar 1.4 Grafik fungsi f dengan daerah asal    x  4 dan daerah nilai 0  f (x)   Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f dengan daerah asal    x  4 dan daerah nilai 0  f (x)   .

Jenis-jenis fungsi : 1. Surjektif (Fungsi pada) f:A

B surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y  B terdapat x  A

sehingga y = f (x) 2. Injektif (Fungsi satu-satu) f:A

B injektif jika terdapat x1, x2  A dengan x1 ≠ x2 sehingga f (x1) ≠ f

(x2) 3. Bijektif (Fungsi satu-satu dan pada) Fungsi y = f (x) bijektif jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada

Jumlah, Selisih, Hasil-Kali Dan Hasil-Bagi Fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan Df dan Dg , maka

f

 g x   f x   g (x)

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) ( f .g )( x)  f ( x).g ( x) ( f / g )( x)  f ( x) / g ( x)

Kalkulus

6

Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi Seandainya keluaran-keluaran dari sebuah fungsi f dapat digunakan sebagai masukan-masukan dari sebuah fungsi g, maka kedua fungsi tersebut dapat dikaitkan untuk membentuk sebuah fungsi baru. Fungsi baru tersebut, masukan-masukannya adalah masukan dari f dan keluaran-keluarannya adalah bilangan-bilangan g(f(x)). Dapat dilihat pada gambar di bawah, dikatakan bahwa fungsi g(f(x)) (diucapkan “g dari f dari x”) adalah sebuah fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g, fungsi tersebut terbentuk dari menggabungkan f dan g dalam urutan f pertama, kemudian g.

X

f(x)

g(f(x))

f

g

Gambar 1.5 Fungsi komposisi{ XE "komposisi" } dari f dan g

Keterangan dari gambar di atas bisa juga dinyatakan jika f bekerja pada x dan menghasilkan

f(x), selanjutnya g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan

g(f(x)),

dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi{ XE "komposisi" } g dengan f, yang dinyatakan dengan g  f . Jadi

( g  f )x   g  f x 

Contoh: Bila diketahui f(x) = x 2 dan g (x) = x  5 maka

g  f x  g  f x  g x 2   x 2  5 ( f  g )x   f g x   f ( x  5) = x  5

2

Fungsi Invers

Fungsi f : Df

Rf dikatakan fungsi satu-satu (injektif) jika f (u) = f(v); u =

v untuk setiap u dan v  D f Invers fungsi satu-satu f : Df

Rf didefinisikan sebagai fungsi

f Kalkulus

1

: Rf

Df 7





yang memenuhi f f 1  y   y untuk setiap y  R f . Jika aturan fungsi f

y  f x  , maka

adalah





f f 1  y   f x  . Karena fungsi f satu-satu, maka

f 1  y   x , sehingga f 1  f x   x untuk setiap x  D f . Hal ini mengakibatkan y  f x   x  f 1  y 

Ini berarti bahwa aturan fungsi f

1

diperoleh dengan cara membuat x dan y

saling bertukar peran.

Contoh: Bila diketahui f x   5  10 x berapakah f

1

?

Tulislah y  5  10 x, x  , y   Nyatakan x dalam y, diperoleh 10 x  y  5 ; x 

y 5 10

Jadi f

1.2.

1

x   x  5 10

Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar biasa

yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan

sebagainya. Berikut, sebagian fungsi aljabar: a. Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola) f x   ax 2  bx  c

dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol Contoh: f  x   3x 2  2 x  1 ]

b. Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik) f x   ax 3  bx 2  cx  d

dengan a, b, c adalah konstanta{ XE "konstanta" } dan a tidak sama dengan nol Contoh: f x   x 3  4x 2 Kalkulus

8

c. Fungsi Polinom (Suku Banyak) f x   an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0

Contoh:

f x    x 5  7

d. Fungsi Linier{ XE "Linier" }

f x   ax  b Contoh:

f x   9 x  5

Operasi Aljabar{ XE "Aljabar" } pada Dua Fungsi

Pada dua fungsi yang daerah asalnya sama kita dapat mendefinisikan operasi aljabar, yaitu penjumlahan, perkalian, dan pembagian atas dua fungsi tersebut. Misalkan fungsi f dan g mempunyai daerah asal D. Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari f dan g ditulis f  g , f  g , f .g dan f / g didfefinisikan sebagai fungsi yang aturannya disetiap x  D ditentukan oleh:

f f

 g x   f x   g x   g x   f x   g x 

 f .g x  f x.g x  f x   f x  ; g x   0 g x   g

Contoh: Jika f x  

1 x 1 dan g x   , maka D  D f  Dg    1,0 , dan operasi 1 x x

aljabarnya adalah  Jumlah dari fungsi f dan g :

f

 g x  

Kalkulus

1  x 1 1  x x  1  x 1 x  x 2  1  x x 2  1   2 ,   1 x x x1  x  x  x2 x x

9

dengan D f  g    {1,0}

 Selisih dari fungsi f dan g : 1  x 1 1  x x  1  x 1 x  x 2  1  x x 2  2 x  1  f  g x      1 x x x1  x  x  x2 x2  x

dengan D f g    {1,0}

 Hasil kali dari fungsi f dan g :

 f .g x  1  x . 1

1 x x



1  x 1  1  x x1  x  x  x 2

dengan D f . g    {1,0}

 Hasil bagi dari fungsi f dan g :

 f x   1  x  g 1 x

1 1  x x x 2  x =  x 1  x 1 1 x

dengan D f / g    {1}

Kalkulus

10

1.3.

Fungsi Trigonometri Apabila sebuah sudut sebesar  derajat ditempatkan dalam kedudukan standar pada pusat sebuah lingkaran

berjari-jari r seperti pada gambar di

bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan oleh rumus-rumus berikut: sin  

y r

cos  

x r

tan  

y x

y

 x

Gambar 1.6 Sudut trigonometri

Dari definisi fungsi sinus dan cosinus, dapat diturunkan fungsi-fungsi trigonometri yang lain, yaitu: tan  

sin  cos 

cot  

cos  sin 

sec  

1 cos 

csc  

1 sin 

Grafik y  sin  dan y  cos  terlihat seperti Gambar 1.7 dan Gambar 1.8:

Kalkulus

11

π

-π - π/2

π /2

0

y  sinx 

2π 3π/2

Gambar 1.7 Grafik fungsi Sinus

π

-π

2π

y  cosx  - π/2

0

π /2

3π/2

Gambar 1.8 Grafik fungsi Cosinus

Dengan keterangan sebagai berikut: 180 0   rad; 10 

 180

rad; 1 rad 

180 0



dengan  = 3,14159

Ada empat hal yang berkaitan tentang grafik sinus dan cosinus: 1. sin x dan cos x keduanya berkisar -1 sampai 1 2. Kedua grafik berulang pada selang yang berdampingan sepanjang 2  Kalkulus

12

3. Grafik y  sinx  simetri terhadap titik asal dan y  cosx  simetri terhadap sumbu y 4. Grafik y  cosx  sama seperti y  sinx  tetapi digeser  /2 satuan ke kanan.

Kesamaan Trigonometri

Fungsi-fungsi Trigonomeri mempunyai rumus-rumus kesamaan sebagai berikut: a. Kesamaan ganjil{ XE "ganjil" }-genap{ XE "genap" }:

sin  x    sin x cos  x   cos x tan x    tan x b. Kesamaan fungsi Trigonometri

sin 2 A  cos 2 A  1 1  sec 2 A cos 2 A 1  cot 2 A  csc 2 A 1  tan 2 A 

tan A 

sin A cos A

c. Kesamaan jumlah

sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B

cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B tan A  tan B 1  tan A tan B tan A  tan B tan A  B   1  tan A tan B tan A  B  

d. Kesamaan Sudut rangkap dua sin 2 A  2 sin A cos A cos 2 A  cos 2 A  sin 2 A  2 cos 2 A  1  1  2 sin 2 A

Kalkulus

13

e. Kesamaan Sudut rangkap tiga

sin 3 A  3 sin A  4 sin 3 A cos 3 A  4 cos 3 A  3 cos A

f. Kesamaan Setengah Sudut

sin

A 1  cos A  2 2

cos

A 1  cos A  2 2

tan

A 1  cos A sin A 1  cos A    2 1  cos A 1  cos A sin A

g. Kesamaan Hasil Kali

1 cosx  y   cosx  y  2 1 cos x cos y  cos x  y   cos x  y  2 1 sin x cos y  sin x  y   sin x  y  2 sin x sin y  

Fungsi-fungsi Siklometri adalah invers{ XE "invers" } dari fungsi-fungsi trigonometri dalam domain{ XE "domain" } yang tertentu. Invers f persamaan y  f x   sin x, invers

fungsi

g

 2

x

dengan

 2

dengan

adalah x  f 1  y   arcsin y. Demikian juga

y  g x   cos x , 0  x   adalah

persamaan

x  g 1  y   arccos y.

Persamaan fungsi-fungsi siklometri{ XE "siklometri" }:

y  arcsin x, invers{ XE "invers" } dari x  sin y,

 2

 y

 2

y  arccos x, invers{ XE "invers" } dari x  cos y,0  y  

y  arctan x, invers{ XE "invers" } dari x  tan y,

 2

 y

 2

y  arc cot x, invers{ XE "invers" } dari x  cot y,0  y   y  arc sec x invers{ XE "invers" } dari x  sec y,0  y   Kalkulus

14

y  arc csc x, invers{ XE "invers" } dari x  sec y,

 2

 y

 2

Grafik y  arcsin x, dan y  arctan x terlihat dalam Gambar 1.9 dan Gambar 1.10:

π/2

-1

0

y  arcsin x

1

-π/2 Gambar 1.9 Grafik y  arcsin x

y π/2

y  arctan x

x

0

-π/2 Gambar 1.10 Grafik y  arctan x

Kalkulus

15

Latihan penerapan fungsi trigonometri : Buktikan kebenaran persamaan trigonometri berikut ini : (1 + sin z) (1 - sin z) =

1 sec 2 z

Penyelesaian : 1 – sin z + sin z – sin2 z = 1 – sin2 z = cos2 z =

1 sec 2 z

1 sec 2 z

1 sec 2 z

persamaan ini dapat dilihat pada persamaan trigonometri bagian (b)

1.4.

Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Bentuk umum fungsi pangkat adalah:

y  xn Dengan y: peubah{ XE "peubah" } tak bebas x: peubah{ XE "peubah" } bebas n: konstanta{ XE "konstanta" }

Contoh:

y  x3

Identitas fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" }:

a.

x a .x b  x a  b

b. x a : x b  x a b c.

x 

a b

 x a.b

d. x  a  1 / x a , x  0 a

xa  x e.    a z z Kalkulus

16

a xb  x

f.

b

a

g. x 0  1

Contoh penggunaan Identitas

Sederhanakanlah fungsi pangkat berikut ini: a.

x 2 .x 3

b. 5x

1

4

: 10 x 3 / 4

1   c.  2 2 2   

d.

e

2x

3

 e 2 x



2

Jawab:

a.

x 2 .x 3 = x 23 = x 5

b. 5x

1

4

: 10 x 3 / 4  1 x 2

1 3 4 4

1 = x 2

3

3  1 12  3 7 1   c.  2 2 2  = 2  2 2    2.2 4  2 4      

d.

Kalkulus

e

2x

 e 2 x



2

 

 e 4 x  2e 2 x .e 2 x  e 2 x

2

 e 4 x  2.e 0  e 4 x  e 4 x  2  e 4 x

17

RINGKASAN

1. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan atau lebih. Hubungan (relasi{ XE "relasi" }) dalam kondisi khusus disebut korespondensi satu-satu.

2. Variabel bebas adalah variabel{ XE "variabel" } yang bisa berubah dan diatur, sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang mencerminkan respon dari variabel bebas. 3. Fungsi aljabar adalah fungsi dengan menggunakan operasi aljabar biasa yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemangkatan dan sebagainya. Sebagian fungsi aljabar diantaranya: Fungsi Kuadrat{ XE "Kuadrat" } (Parabola), Fungsi Pangkat{ XE "Pangkat" } Tiga (Kubik), Fungsi Polinom (Suku Banyak) dan Fungsi Linier{ XE "Linier" } 4. Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi{ XE "notasi" }/aturan, juga daerah asal fungsi (domain{ XE "domain" }), yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain{ XE "kodomain" }), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada. Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real. 5. Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi{ XE "komposisi" } g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g

dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f atau (g ○ f)(x) = g(f(x)), sedangkan komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g dituliskan (f o g)(x) = f(g(x)). 6. Jika fungsi f : A  B, maka fungsi g : B  A merupakan fungsi invers{ XE "invers" } dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x).

Kalkulus

18

Soal-soal Latihan 1. Tentukan fungsi g  f dan f  g beserta daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisinya a.

f x   2  x 2 dan g x   2 x

b.

f x   x 2  5x dan g x   x

c.

f x   cos x dan g x   1  x

2. Fungsi f dengan persamaan f x   5x  10 . Tentukan a.

f 2

b.

f 5a  7

3. Tentukan Invers fungsi-fungsi berikut a.

f x   4 x  x 2

b.

f x   1  x

c.

f x   10  x

4. Buktikan bahwa kesamaan trigonometri berikut ini adalah benar a.

2  tan 2 x cot x  tan x

b. cos xtan x  cot x   csc x c.

Kalkulus

sec 2 t  1  sin 2 t 2 sec t

19

BAB II FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRANSENDEN

Materi

:

Sub Materi

:

Fungsi Transenden -

Fungsi Eksponen

-

Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }

-

Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan dan menghitung tiga macam fungsi transenden{ XE "transenden" }, bentuk umum dan operasi pada masing-masing fungsi transenden tersebut. Materi Kita ingat kembali bahwa fungsi transenden{ XE "transenden" } adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. Sampai saat ini fungsi trasenden yang telah kita kenal adalah fungsi trigonometri, yang terdiri dari fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, sekan dan kosekan. Sekarang kita akan mempelajari fungsi trasenden lainnya, yaitu fungsi eksponen, fungsi logaritma dan fungsi hiperbolik.

2.1.

Fungsi Eksponen Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : y  a x Dimana :

y = peubah{ XE "peubah" } tak bebas a = konstanta{ XE "konstanta" }, a  0 x = peubah{ XE "peubah" } bebas

Contoh : 1. y  2 x 2. y  10 x

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Apabila a  0, b  0, x dan y   , maka a. a x a y  a x  y Kalkulus

20

b.

ax  a x y y a

c.

a 

d.

abx  a x b x

x y

 a xy

x

ax a e.    x b b

Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macammacam persamaan eksponen berikut contoh soal dan penyelesaiannya: 1. Bentuk a f  x   a p

Contoh: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

2 x2 

1 8

Penyelesaian: 2 x2 

1 8

2x2  2 3 x  2  3 x  3  2

x  1

2. Bentuk a f  x   a g ( x ) Contoh: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: 53 x

2

 x 6

 5 2 x

2

 x2



3x2  x  6  2 x2  x  2 x2  4  0 ( x  2)( x  2)  0 x  2  x  2

Kalkulus

21

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

6

 1     216 

x 2  2 x 1

2 x 2  5 x  2

Penyelesaian: 6x

2

 6 3 

2 x 2 5 x  2

 2 x 1

x 2  2 x  1  3(2 x 2  5x  2) x 2  2 x  1  6 x 2  15x  6  5x 2  17 x  7  0 5x 2  17 x  7  0

x1, 2 

 b  b 2  4ac 2a

x1, 2 

 (17)  (17) 2  4.5.(7) 2.5

x1, 2 

17  289  140 10

x1, 2 

17  289  140 10

x1, 2 

17  20,7123 10

x1 

17  20,7123 17  20,7123 atau x2  10 10

x1  3,78 atau x2  0,37 3. Bentuk a f ( x )  a g ( x )  C Contoh: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: 52 x2 

 25 

x

1

Penyelesaian: 5 2 x2  5  1 x

5 2 x  2  5  50 x

2x  2  x  0 Kalkulus

22

2  3x  0

x

2.2.

2 3

Fungsi Logaritma{ XE "Logaritma" }

Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai : y=b log x  x = b y ; x, b > 0 Sifat-sifat logaritma : 1. b log 1 = 0 2. b log b = 1 3. b log ac = b log a + b log c 4. b log a/c = b log a - b log c 5. b log a r = r b log a 6. b log a  7. a

a

log b

c c

log a log b

b

Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

Berbagai sifat logaritma di atas dapat dibentuk menjadi berbagai mcam persamaan logaritma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya terkandung dalam pokok logaritma. Bentuk yang paling sederhana dari persamaan logaritma adalah sebagai berikut: a

log f x   a log b

Contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari r log

1 q 1 1 . log 3 . p log 5 q p r

Penyelesaian: r

log

1 q 1 1 . log 3 . p log 5 q p r

Kalkulus

23

= r log p 5 .q log r 3 . p log q 1 = (5.  3.  1) r log p.q log r. p log q =  15 r log p. p log q.q log r  15





2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 log 2 log 2 x1  3  1  2 log x

Penyelesaian: 2







log 2 log 2 x1  3  1  2 log x  2 log 2  2 log x

1  2 log x  2 log 2  2 log x







2

log 2 log 2 x1  3  2 log 2 x

2

log( 2 x1  3)  2 x

(2 x 1  3)  (2) 2 x (2) 2 x  2 x.2  3  0 ; Misal 2 x  A

A2  2 A  3  0 ( A  3)  ( A  1) A  3  A  1 2 x  3  2 x  1 x  2 log 3  x    3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  5

Penyelesaian: 2

log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  5

2

log2  x   2 log( 5  x)  2 logx  2  2 log 32

2  x.(5  x)

x  2  32

10  3x  x 2  32 x2 74  29 x  x 2  0 x 2  29  74  0

Kalkulus

24

x1, 2 

 b  b 2  4ac 2a

x1, 2 

 (29)  (29) 2  4.1.(74 ) 2.(1)

x1, 2 

 32  841  296 2

x1, 2 

 32  33,72 2

x1  32,86  x2  0,86 Karena logaritma selalu positif, maka x= -32,86 bukan merupakan himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian ={0,86}

2.3.

Fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }

v s

1 P(s,t)

t

s

-1

u

t

0

s

ss

s

s

1

-1

Gambar 2.1. Lingkaran satuan Pada gambar 2.1. jika titik P(s,t) terletak pada hiperbol u 2  v 2  1 , akan didefinisikan cosh x  u dan sinh x  t , di mana cosh dan sinh menyatakan sinus dan kosinus hiperbolik. Ternyata bahwa salah satu pilihan untuk cosh x  u dan sinh x  t adalah kombinasi dari fungsi eksponen natural, yaitu cosh x 

dan sinh x 

Kalkulus





1 x e  ex 2





1 x e  ex . 2

25

Definisi fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:







Fungsi Kosinus hiperbolik

: f x   cosh x 



Fungsi Sinus hiperbolik

: f x   sinh x 

1 x (e  e  x ), x   2



Fungsi Tangen hiperbolik

: f x   tanh x 

sinh x , x  cosh x



Fungsi Kotangen hiperbolik : f x   coth x 

cosh x ,x  0 sinh x



Fungsi Sekan hiperbolik

: f x   sec hx 

1 , x  cosh x



Fungsi Kosekan hiperbolik : f x   cosh x 

1 ,x  0 sinh x

1 x e  e x , x   2

Dalam bentuk eksponen, fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dapat ditulis sebagai berikut: 

tanh x 

e x  ex e2x 1  , x  e x  ex e2x  1



coth x 

e x  ex e2x  1  ,x  0 e x  e x e 2x  1



sec hx 

2 2e x  , x  e x  e x e 2x  1



csc hx 

2 2e x  ,x  0 e x  e x e 2x  1

Sifat- sifat fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }: 

cosh( x)  cosh x



sinh( x)   sinh x



tanh( x)   tanh x



coth( x)   coth x



sec h( x)  sec hx



csc h( x)   csc hx



sec h( x)  sec hx

Kalkulus

26



cosh x  sinh x  e x



cosh x  sinh x  e  x



cosh 2 x  sinh 2 x  1



1  tanh 2 x  sec h 2 x



coth 2 x  1  csc h 2 x



cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y



cosh( x  y)  cosh x cosh y  sinh x sinh y



sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y



sinh( x  y)  sinh x cosh y  cosh x sinh y



tan( x  y ) 

tanh x  tanh y 1  tanh x tanh y



tan( x  y ) 

tanh x  tanh y 1  tanh x tanh y



sinh 2 x  2 sinh x cosh x



cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x  2 cosh 2 x  1  1  2 sinh 2 x



tanh 2 x 

2 tanh x 1  tanh 2 x

Invers fungsi Hiperbolik{ XE "Hiperbolik" }:

 x  ln x 

  1, x  1



y  arcsin hx / sinh 1 x  ln x  x 2  1



y  arccos hx / cosh 1



y  arctan hx / tanh 1 x 

1 1 x ln 2 1 x



y  arctan hx / tanh 1 x 

1 1 x ln ,x1 2 1 x



y  arc coth x / coth 1 x 

1 x 1 ln ,x 1 2 x 1



1 y  arc sec hx / sec h 1 x  cosh 1 , x  1 x

Kalkulus

x2

27

RINGKASAN 1. Persamaan eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis : y  a x ; dimana y = peubah{ XE "peubah" } tak bebas, a = konstanta{ XE "konstanta" }, a  0 , x = peubah bebas. 2. Ada beberapa macam persamaan eksponen, berikut ini adalah macam-macam persamaan eksponen: -

a f x  a p

-

a f x   a g ( x)

-

a f ( x)  a g ( x)  C

3. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers{ XE "invers" } dan dinyatakan sebagai : y=b log x  x = b y ; x, b > 0 4. Beberapa fungsi hiperbolik yang sering digunakan: - Kosinus: f x   cosh x  - Sinus: f x   sinh x 



1 x (e  e  x ), x   2

- Tangen: f x   tanh x 

Kalkulus



1 x e  e x , x   2

sinh x , x  cosh x

28

Soal-Soal Latihan:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut: a. 52 x1  5 x2  1  5 x b. 9 2 x

2

 5 x 3

1

2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari: a.

x

log(10 x 3  9 x)  x log x 5

b. 5 x log 6  x log 96  4 c. log

41 41  log 70  log  2 log 5 35 2

3. Buktikan kebenaran persamaan berikut:

1 1 cosh x  1 a. cosh x  2 2 1 cosh x  1 b. tan x  2 sinh x

Kalkulus

29

BAB III LIMIT

Materi

:

Sub Materi

:

Limit{ XE "Limit" } -

Pengertian Limit{ XE "Limit" }

-

Limit{ XE "Limit" } Fungsi

-

Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga

-

Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami sifat dan berbagai bentuk limit serta menghitung pada masing-masing bentuk limit tersebut.

Materi 3.1.

Pengertian Limit{ XE "Limit" }

Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel{ XE "variabel" } di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Sebagai gambaran: dari Y  f (x) Akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f (x) ini, apabila nilai

x terus menerus berkembang hingga mendekti suatu nilai tertentu. Jika fungsi f (x) mendekati L disebut limit fungsi

f (x) untuk x mendekati a .

Hubungan ini dilambangkan dengan notasi{ XE "notasi" }

lim f ( x) = L xa

Dibaca limit fungsi f (x) untuk mendekati a adalah L . Artinya jika variabel{ XE "variabel" } x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a , maka nilai fungsi x f (x) akan berkembang pula hingga mendekati L . Atau sebaliknya fungsi f (x) dapat dibuat mendekati nilai tertentu yang mendekati L dengan mengembangkan variabel x sedemikian rupa hingga mendekati a .

Kalkulus

30

Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi{ XE "notasi" } atau pernyataan limit di atas. Pertama x  a harus dibaca dan ditafsirkan dengan mendekati a , dan bukan berarti x  a !. Kedua, lim f ( x) = L harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit fungsi f (x) dan bukan berarti L adalah nilai fungsi f (x) .

Ringkasnya:

lim f ( x) = L bukan berarti f (a) = L xa

3.2.

Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Limit{ XE "Limit" } fungsi biasanya digunakan dalam konsep dasar pada kalkulus differensial dan integral{ XE "integral" }. Sebuah fungsi yang peubah{ XE "peubah" } bebasnya menuju suatu titik tertentu (jarak dari peubah bebasnya ke titik tersebut semakin lama semakin kecil). Jika peubah tak bebasnya  /   , maka hal ini berkaitan dengan limit fungsi disuatu titik.

a.

Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a lim f ( x)  f (a) x a

Jika f (a) 

0 maka f (x) harus disederhanakan terlebih dahulu. 0

Contoh: Berapakah nilai x dari lim x 2

x ? x  4x 2

Penyelesaian: lim

x , jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan: x  4x

lim

x 0 0 = lim  ( TIDAK DIPERBOLEHKAN ) x  2 0  4.0 0 x  4x

x 2

x 2

2

2

Cara yang benar adalah lim x 2

Kalkulus

x x 1 1 1  lim  lim   2 x  4 x x2 x( x  4) x2 ( x  4) (2  4) 2

31

Jadi lim x 2

x 1 = 2 x  4x 2

b. Limit{ XE "Limit" } f (x) untuk x mendekati 

lim f ( x)  f () x 

Jika f () 

 ; f () diubah dahulu dengan dibagi x pangkat terbesar. 

Jika f     ; f ( x) dikali sekawan{ XE "sekawan" } dahulu, baru dibagi x pangkat yang terbesar.

Contoh:

2x 2  1 ? x  6  x  3 x 2

Berapakah nilai x dari lim Penyelesaian:

2x 2  1 , jika dimasukkan langsung nilai x , maka hasilnya akan: lim x  6  x  3 x 2 2x 2  1 2 2  1  = lim = ( TIDAK DIPERBOLEHKAN ) lim x  6  x  3 x 2 x  6    3 2 

Cara yang benar adalah

2x 2  1 2x 2 2 = lim  2 2 x  6  x  3 x x   3 x 3

lim

2x 2  1 2  2 x  6  x  3 x 3

Jadi lim

c. Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri lim

sin x 1 x 0 x

lim

cos x  x 0 x

lim

x 1 x 0 sin x

lim

x 1 x 0 cos x

lim

lim

Kalkulus

tan x 1 x 0 x

x 1 x 0 tan x

32

 Jika ada bentuk cosinus hasilnya

0 maka bentuk tersebut diubah 0

dengan menggunakan rumus cos 2 x  1  2 sin 2 x  Bentuk sin dan tan di atas dapat diperluas lagi menjadi:

sin ax  bx ax  sin bx

tan ax  bx ax  tan bx sin ax  sin bx

a b

tan ax  tan bx sin ax  tan bx

tan ax  sin bx

Contoh: Tentukan besarnya limit dari masing-masing fungs berikut ini: 1.

lim sin x

2.

lim

3.

lim

x 0

tan x x 0 x

3x  sin 4 x x 0 5 x  tan 2 x

Penyelesaian: limit dari masing-masing fungsi berikut ini: 1.

lim sin x  lim x 0

Kalkulus

x 0

 

sin x sin x   .x   lim  lim x  1.0  0 x  0 x x  x 0 

33

2.

sin x lim tan x sin x x 0 x  1 1 lim  lim  x 0 x 0 x cos x x lim cos x 1 x 0

sin 4 x sin 4 x .4 3  4 lim 3x  sin 4 x x 0 4x 4x  7  2 1  lim  lim x 0 x 0 5 x  tan 2 x tan 2 x tan 2 x 3 3 5 .2 5  2 lim x 0 2x 2x 3

3.

d.

Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dibagi menjadi dua bagian, tergantung pda sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya. Apabila dianalisis limit f (x) dari nilai – nilai x yang lebih kecil dari a ( x  a ), x  a

berarti kita melihatnya dari sisi kiri, sebaliknya jika dianalisis limit f (x) dari nilai –nilai x yang lebih besar dari a ( x  a ),

x  a berarti kita melihatnya dari sisi kanan. Limit{ XE "Limit" } sisi kiri dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang membesar ( x  a ) dari sisi kiri, melalui nilai-nilai

x  a . Jadi jika, lim f ( x)  L' berarti L' merupakan limit sisi kiri dari f (x) x a

untuk x  a Limit{ XE "Limit" } sisi kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh sebuah fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil ( x  a ) dari sisi kanan, melalui nilai-nilai

x  a Jadi jika, lim f ( x)  L' berarti L' merupakan limit sisi kanan dari f (x) x a

untuk x  a Limit{ XE "Limit" } sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi kiri dan limit sisi kanannya ada serta sama.

lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)

x a 

Kalkulus

x a

x a

34

Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.

Contoh : 1.

lim (1  2 x 2 )  7 (terdefinisi)

x 2

Sebab

2.

maka  3 lim f ( x)  lim    =+ n 0 n 0  x  3 lim f ( x)  lim    =n 0 n 0  x

Karena

3.3.

maka

tidak terdefinisi

Limit{ XE "Limit" } Tak Hingga

Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang  dan   , yaitu bila nilai fungsi f (x) membesar atau mengecil tanpa batas

atau bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas. Misalnya: Diberikan fungsi f (x) 

1 . Maka nilai fungsi f(x) menuju tak hingga (  ) x 1

untuk x mendekati 1 dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga ( -  ) untuk x mendekati 1 dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut :

lim f ( x)   dan lim f ( x)  

x 1

Kalkulus

x 1

35

Bila f ( x) 

1 maka didapatkan limit lim f ( x)   dan lim f ( x)   x 1 x 1 ( x  1) 2

atau dituliskan lim f ( x)   . Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak x 1

hingga. Yaitu nilai fungsi f (x) untuk x mendekati 1 sama dengan tak hingga (  ). Sedangkan bentuk limit di titik mendekati tak hingga digambarkan sebagai berikut: Misal diberikan fungsi f ( x) 

1 . Maka nilai fungsi akan x

mendekati nol bila x menuju tak hingga atau minus tak hingga dinotasikan lim f ( x)  0 dan lim f ( x)  0 x 

x 

Secara umum limit fungsi f ( x) 

1 , n  B  untuk x mendekai tak hingga n x

atau minus tak hingga sama dengan nol dapat dituliskan 1 1  0 atau lim n  0 n x  x x   x

lim

Bila

f (x) merupakan

f ( x) 

p( x) dengan q( x)

fungsi p(x) dan

rasional{

XE

q(x) merupakan

"rasional" polinom

}

,

misal

maka

untuk

menyelesaikan limit di tak hingga dilakukan dengan membagi pembilang p(x) dan penyebut q(x) dengan x pangkat tertinggi.

Contoh: Hitung lim x 3

3 x 3 x

Penyelesaian: Nilai pembilang untuk x mendekati 3 dari arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negatif bilangan yang sangat kecil. Bila 6 dibagi bilangan negatif kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil. Jadi lim x 3

3.4.

3 x =-  3 x

Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi

Kalkulus

36

Pada limit fungsi trigonometri, kita telah mempelajari bahwa : sin x 1 x 0 x

lim

Perhatikan bentuk limit ini untuk x  0 , limit pembilang dan limit penyebutnya 0. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0, Kita mengenal

tujuh

macam

bentuk

tak

tentu

limit

fungsi,

yaitu

:

0 ,  ,0.,   ,0 0 ,  0 dan 1  0  Pada pertemuan ini kita hanya membahas empat bentuk yang pertama saja, yaitu: a.

Bentuk tak tentu 0

0

Kita akan menghitung lim xc

f ( x) , dengan lim f ( x)  0  lim g ( x) x c x c g ( x)

( x  c dapat diganti oleh x  c  , x  c  , x  , atau x   )

Cara penyelesaian : Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri dan limit trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya dan sebagainya. Perhitungan limit berbentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut.

Contoh: Hitunglah lim x 2

4  x2 3  x2  5

Penyelesaian:

lim x 2

4  x2 3  x2  5

= lim x 2



4  x 3 

3 

2



x2  5



x2  5 3  x2  5





 lim x 2

4  x 3 

x2  5

2

4 x



2

 lim 3  x 2  5  6 x 2

b.

Bentuk tak tentu 

Kalkulus

 37

Kita akan menghitung lim

x 

f ( x) , dengan lim f ( x)    lim g ( x) x  x  g ( x)

( x   dapat diganti oleh x  c, x  c  , x  c  atau x   )

Cara penyelesaian : Mengubah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1 x n , n bilangan asli, membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x yang ada kemudian menggunakan lim 1  0 x  x Perhitungan limit benbentuk tak tentu 



dan sebagainya.

diberikan dalam contoh berikut:

Contoh: Hitunglah lim

x 

3x  2 9x  7

Penyelesaian:

3 2 x 30 1 3x  2  lim   x  9 x  7 x  9  7 x 90 3

lim

c.

Bentuk tak tentu 0. Kita akan menghitung lim f ( x) g ( x), dengan lim f ( x)  0 dan lim g ( x)   . xc

x c

x c

( x  c dapat diganti oleh x  c  , x  c  , x   atau x   )

Cara penyelesaian : Tulislah f(x)/g(x) sebagai

f ( x) untuk memperoleh bentuk 0/0 atau sebagai 1 g ( x)

g ( x) untuk memperoleh bentuk  , kembeli ke masalah sebelumnya. Perhitungan  1 f ( x)

limit benbentuk tak tentu 0. diberikan dalam contoh berikut: Contoh: Hitunglah lim x sin x 

Kalkulus

1 x

38

Penyelesaian: Bentuk limit fungsi ini adalah 0. , karena lim x   dan lim sin x 

x 

1 1   sin lim sin   sin 0  0 x x  x 

Ubahlah bentuk limitnya menjadi 0/0 denagn menuliskan x dalam bentuk

1 1 x

kemudian gunakan penggantian t  1 x , diperoleh

1 sin 1 x  lim sin t  1 lim x sin  lim x  t 0  x x  1 t x t 1 x x    t  0

d.

Bentuk tak tentu   

Kita akan menghitung lim ( f ( x)  g ( x)), dengan lim f ( x)   dan lim g ( x)   x 

x 

x 

( x   dapat diganti oleh x  c x  c  , x  c  , atau x   )

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk limitnya menjadi 



Perhitungan limit benbentuk tak tentu 

Contoh: Hitunglah lim

x 







x  1  x  lim

x 



= lim

x 

Kalkulus

diberikan dalam contoh berikut:

  xx 11 xx

x 1  x . x 1 x x 1  x

 lim

x 

1 x 1  x

=0

39

RINGKASAN

1. Limit{ XE "Limit" } menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Dilambangkan dengan notasi{ XE "notasi" }:

lim f ( x) = L xa

2. Berbagai bentuk Limit{ XE "Limit" } Fungsi: -

Limit{ XE "Limit" } fungsi untuk x mendekati a : lim f ( x)  f (a)

-

Limit{ XE "Limit" } f (x) untuk x mendekati  : lim f ( x)  f ()

-

Limit{ XE "Limit" } fungsi trigonometri

-

Limit{ XE "Limit" } Sisi-Kiri dan Limit Sisi-Kanan

x a

x 

3. Limit{ XE "Limit" } tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang  dan   , yaitu bila nilai fungsi f (x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah{ XE "peubah" } x membesar atau mengecil tanpa batas. Dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut : lim f ( x)   dan lim f ( x)  

x 1

x 1

4. Beberapa Bentuk Tak Tentu Limit{ XE "Limit" } Fungsi -

Bentuk tak tentu 0

-

Bentuk tak tentu 

-

Bentuk tak tentu 0.

-

Bentuk tak tentu   

Kalkulus

0 

40

Soal-soal Latihan

Hitunglah setiap limit yang diberikan 1. lim x 4

x4 x  x  12 2

2  3x  x 2 x  1 x2

2. lim

x3 1 x 1

3. lim x 1

4.

lim

x  

5. lim x 2

x2 1 x2 1

3 x 4 2

1  cos x x  tan x

6. lim



sin 2  3x  2 x 2 x2

7. lim

Kalkulus



41

BAB IV TURUNAN ALJABAR

Materi

:

Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" }

Sub Materi

:

-

Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

-

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Aljabar{ XE "Aljabar" }

Aljabar{ XE "Aljabar" } -

Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi


Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi

Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi aljabar serta menghitung turunan fungsi aljabar secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi 4.1.

Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Aljabar{ XE "Aljabar" } Suatu fungsi dikatakan dapat diferensiasi di x  x0 bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi dikatakan dapat dideferensiasi pada suatu selang bila fungsi itu dapat dideferensiasi di setiap titik pada selang tersebut. Sebelum membicarakan tentang turunan fungsi, terlebih dahulu kita mngingat konsep limit karena konsep turunan dijelaskan lewat limit suatu fungsi.Misalkan f(x) didefinisikan pada sembarang titik x 0 pada (a,b). Turunan{ XE "Turunan" } f(x) di x  x0 didefinisikan sebagai: f ' ( x0 )  lim h 0

f ( x 0  h)  f ( x ) h

Jika limit ini ada. Turunan{ XE "Turunan" } juga dapat didefinisikan dengan beberapa cara, diantaranya:

f ' ( x0 )  lim

x  x0

Kalkulus

f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x0 )  lim x 0 x  x0 x

42

Sebuah fungsi dikatakan dapat dturunkan di titik x  x0 jika mempunyai di titik tersebut, yaitu jika f’(x) ada. Jika f(x) dapat diturunkan di x  x0 maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Secara grafis, pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut: Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali busur yang melalui titik P dan Q adalah mPQ  f (a  h)  f (a) h Perhatikan gambar berikut:

Q(a+h,f(a+h))

P(a,f(a))

y

y

p(a,f(a))

a

a+h

x

a

x

Gambar 4.1. Kemiringan Tali Busur dan Garis Singgung i. Kemiringan Tali Busur

ii.

Kemiringan

garis

singgung

mPQ 

f ( a  h)  f ( a ) h

m  lim h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik P(a,f(a)) adalah:

m  lim h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

Dengan catatan limitnya ada. Contoh:

Kalkulus

43

Diketahui fungsi f ( x)  x 2 dapatkan kemiringan garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2) Penyelesaian: Dengan menggunakan penjelasan di atas maka f ( a  h )  f ( a ) ( a  h) 2  a 2  h h



a 2  2ah  h 2  a 2 h



2ah  h 2 h

 2a  h

Kemiringan garis singgungnya : m  lim (2a  h)  2a h0

Jadi turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu. Cara mendapatkan turunan suatu fungsi akan dijelaskan pada bagian selanjutnya.

4.2.

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta) Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{ XE "konstanta" } untuk sembarang x, f’(x)= 0. Bukti: f ' ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) k k  lim  lim 0  0 h 0 h 0 h h

Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0

Teorema II (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1 Bukti:

Kalkulus

44

f ( x  h)  f ( x ) xhx h  lim  lim  1 h 0 h 0 h h h

f ' ( x)  lim h 0

Teorema III (Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" }) Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1 Bukti:

f ( x  h)  f ( x ) ( x  h) n  x n  lim h 0 h h

f ' ( x)  lim h 0

 lim

x n  nx n 1 h 

h 0

n(n  1) n 2 2 x h  ...  nxh n 1  h n  x n 2 h

n(n  1) n 2   h nx n 1  x h  ...  nxh n 2  h n 1  2   lim  h 0 h

Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi f ' ( x)  nx n1

Contoh: F(x)=x2 maka f’(x) = 2x

Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’ = (x). Bukti:

Misalkan F(x) = k. f(x). Maka

F ( x)  lim h 0

F ( x  h)  F ( x ) k . f ( x  h)  k . f ( x )  lim h  0 h h

 lim k h 0

f ( x  h)  f ( x ) f ( x  h)  f ( x )  k lim  k . f ' ( x) h 0 h h

Contoh: F(x) =5x2 maka f’(x) =5(2x) =10x

Teorema V (Aturan Jumlah) Kalkulus

45

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x). Bukti:

Andaikan F(x) = f(x)+g(x), maka [ f ( x  h)  g ( x  h)]  [ f ( x)  g ( x)] h 0 h

F ( x)  lim

 f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h )  g ( x )  F ( x)  lim    h 0 h h  F ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)  g ( x)  lim  f ' ( x)  g ' ( x) h 0 h h

Contoh: F(x) =x2+3x maka f’(x) = 2x+3

Teorema VI (Aturan Selisih) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x). Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)

Contoh: F(x) =3x2-x maka f’(x) = 6x – 1

Teorema VII (Aturan Hasil Kali) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). Bukti:

Andaikan F(x) = f(x).g(x) F ( x  h)  F ( x ) f ( x  h) g ( x  h)  f ( x ) g ( x )  lim h 0 h 0 h h

F ' ( x)  lim

 lim h 0

f ( x  h ) g ( x  h)  f ( x  h ) g ( x )  f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x ) h

g ( x  h)  g ( x ) f ( x  h)  f ( x )    lim  f ( x  h)  g ( x)  h 0 h h  Kalkulus

46

 lim f ( x  h). lim h 0

h 0

g ( x  h)  g ( x ) f ( x  h)  f ( x )  g ( x). lim h0 h h

 f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)

Contoh: F(x) = ( x  2)( x  5) 2 maka f’(x) = ( x  2).

d d ( x  5) 2  ( x  5) 2 ( x  2) dx dx

= ( x  2).2.( x  5).

d d ( x  5)  ( x  5) 2 ( x  2) dx dx

= ( x  2).2.( x  5).1  ( x  5) 2 .1 = ( x  2)(2 x  10)  ( x  5) 2 = (2 x 2  6 x  20)  ( x  5) 2 = (2 x 2  6 x  20)  ( x 2  10 x  25) = 3x 2  16 x  5

Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi) Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dengan g(x)  0. Maka '

f g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)   ( x)  g 2 ( x) g Bukti: Misalkan F(x) = f ( x)

g ( x)

. Maka

f ( x  h) f ( x )  F ( x  h)  F ( x ) g ( x  h) g ( x ) F ( x)  lim  lim h 0 h 0 h h

 lim h 0

g ( x ) f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h) 1  h g ( x ) g ( x  h)

 g ( x ) f ( x  h )  g ( x ) f ( x )  f ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x  h)  1  lim   h 0 h g ( x) g ( x  h)     f ( x  h)  f ( x ) g ( x  h)  g ( x 0  1  lim  g ( x)  f ( x)   h 0 h h  g ( x ) g ( x  h)   Kalkulus

47

 g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)

1 g ( x) g ( x)

Contoh: f ( x) 

( x  2) , berapakah f’(x) ? ( x 2  5)

Penyelesaian:

f ' ( x) 

4.3.

( x 2  5)(1)  ( x  2)(2 x)  x 2  4 x  5  ( x 2  5) 2 ( x 2  5) 2

Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Jika y = (u) dan u = g (x) maka

y' 

dy du . du dx

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka y' 

dy du dx . . du dx dw

Contoh: 1. y  (3x  1)10 Penyelesaian: Misal: y = f(u) dengan u = 3x+1 atau y = u10 Sehingga y’= 10u9.3 =30u9 = 30(3x+1)9

2. Carilah

u2 1 dy , bila diketahui y  2 dan u  3 x 2  2 dx u 1

Penyelesaian:

du 2x 2x dy 2u   2 dan  2 2 2 dx 3( x 2  2) 3 3u du (u  1) dy dy du 2x 4u 8x . 2   .  2 2 dx du dx (u  1) 3u 3u (u 2  1) 2

4.4.

Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Aljabar{ XE "Aljabar" }

Kalkulus

48

Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Jika f ' adalah turunan suatu fungsi f , maka f ' juga merupakan suatu fungsi, f ' adalah turunan pertama dari f . Jika turunan dari f ' ada,turunan ini dinamakan turunan kedua dan ditulis f ' ' . Dengan cara yang

sama turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f ' ' , jika turunan ini ada. Turunan ketiga ditulis f ' ' ' . Turunan ke-n dari fungsi f , di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n dinyatakan dengan f n  . Berikut ini adalah tabel cara penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

Derivatif Penulisan f '

Penulisan y '

Penulisan D Penulisan Leibniz

Pertama

f ' ( x)

y ' ( x)

Dx y

dy dx

Kedua

f ' ' ( x)

y ' ' ( x)

D2 x y

d2y dx 2

Ketiga

f ' ' ' ( x)

y ' ' ' ( x)

D3 x y

d3y dx 3

Keempat

f ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ( x)

D4 x y

d4y dx 4

Kelima

f ' ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ' ( x)

D5 x y

d5y dx 5

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n

f ( n ) ( x)

y ( n ) ( x)

Dn x y

dny dx n

Contoh:

Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini: f ( x)  x 3  3 x 2  8 x  2

Penyelesaian: Kalkulus

49

f ' ( x)  3 x 2  6 x  8 f ' ' ( x)  6 x  6 f ' ' ' ( x)  6

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" } suatu fungsi adalah kemiringan garis singgung fungsi tersebut pada titik tertentu. Turunan f(x) di x  x0 didefinisikan sebagai:

f ' ( x0 )  lim h 0

f ( x 0  h)  f ( x ) h

2. Konsep aturan pada turunan fungsi aljabar: -

Aturan Fungsi Konstanta. Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta{ XE "konstanta" } untuk sembarang x, f’(x)= 0.

-

Aturan Fungsi Identitas. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

-

Aturan Pangkat{ XE "Pangkat" }. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1

-

Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstanta{ XE "konstanta" } dan f suatu fungsi yang terdeferensialkan, maka (kf)’= (x).

-

Aturan Jumlah. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f+g)’(x) = f’ (x) + g’ (x).

-

Aturan Selisih. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).

-

Aturan

Hasil

Kali.

Jika

f

dan

g

adalah

fungsi-fungsi

yang

terdeferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)+f’(x).g(x). -

Aturan

Hasil

Bagi.

Jika

f

dan

g

adalah

fungsi-fungsi

yang

terdeferensialkan, dengan g(x)  0. 3. Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Jika y = (u) dan u = g (x) maka y ' 

dy du . du dx

y' 

Jika y = f(u), u = g(x), x = h(w), maka

Kalkulus


50

4. Turunan{ XE "Turunan" } tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan sampai turunan ke n. Turunan ke-n dari fungsi f , di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1, adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f . Turunan ke n dinyatakan dengan f n  .

Kalkulus

51

Soal-soal Latihan Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini:

3x  7

1.

3x 2  5

2. ( x  7)( x  8) 3

x 3 x  4

5

3.

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y  u 5  3 , u  x 4  2 x 2. y  u , u  v(4  2v), v  x 2 3. Jika y  2 x 2  x dan x  3t 2  9 , berapakah

dy ketika t  2 dt

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini: 1.

f ( x)  3 x 4  4 x 2  x  2

2. g ( z )  5z  2 3.

f (t )  (t  2) 3 / 2

4.

f ( x) 

1 4  2 2x x

5. Diketahui f ( x) 

Kalkulus

2 , cari f ( n ) ( x) 1 x

52

BAB V TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi

:

Sub Materi

:

Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri -

Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

-

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi

Trigonometri

Trigonometri -


Trigonometri -


Fungsi Trigonometri Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi trigonometri serta menghitung turunan fungsi trigonometri secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi 5.1.

Pengertian Turunan{ XE "Turunan" } Trigonometri Dalam menghtung turunan fungsi trigonometri, digunakan cara yang sama seperti mencari turunan aljabar. Selain itu digunakan kesamaan trigonometri. Misalnya untuk menghitung turunan

f ( x)  sin x , adalah

sebagai berikut: sin( x  h)  sin( x) sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim h 0 h0 h h

f ' ( x)  lim

1  cosh sinh    lim  sin x  cos x  h 0 h h   sinh   1  cosh    ( sin x) lim  (cos x) lim  h   h0  h0 h 

Dari pengertian tentang limit, dapat dihitung nilai akhir turunan fungsi f(x) = sin (x), yaitu sinh   1  cosh    ( sin x) lim  (cos x) lim  h 0 h  0 h  h    Kalkulus

53

 ( sin x).0  (cos x).1  cos x

Jadi turunan f(x) = sin (x) adalah cos (x)  f ' ( x)  cos( x) Contoh lain adalah turunan fungsi sinus dan cosinus, tetapi dengan cara mendapatkan hasil turunan fungsi cosinus tanpa harus menggunakan proses limit, dimana

d sin x   cos x, x   dan d cos x    sin x, x   dx dx Pembuktian dari turunan fungsi cosinus adalah sebagai berikut: 1 1 2 cos (t  x) sin (t  x) d sin t  sin x 2 2 (sin x)  lim  lim t  x t  x 1 dx tx 2. (t  x) 2 1   sin (t  x)   1   2   cos x   lim cos (t  x)  lim tx t  x 1 2   (t  x)   2   1 1  2 sin (t  x) sin (t  x) 2 2 1 2. (t  x) 2 1   sin (t  x)   1   2    sin x   lim sin (t  x)  lim tx tx 1 2    (t  x)   2  

d cos t  cos x (cos x)  lim  lim tx tx dx tx

5.2.

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Trigonometri Untuk mendapatkan turunan-turunan fungsi trigonometri yang lain, dapat digunakan cara yang sama dengan di atas dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Kalkulus

1.

d (sin x)  cos x dx

2.

d (cos x)   sin x dx

3.

d (tan x)  sec 2 x dx

4.

d (cot x)   csc 2 x dx 54

5.

d (sec x)  sec x tan x dx

6.

d (csc x)   csc x cot x dx

Secara umum rumus turunan trigonometri adalah sama seperti rumus yang digunakan pada fungsi aljabar. Berikut ini beberapa teorema dan contoh turunan pada fungsi trigonometri.

Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)

f

 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)

Contoh: y  sin 3x  cos 2 x

Penyelesaian: y  sin 3x  cos 2 x

y'  sin 3x

d d (3x)  cos 2 x (2 x) dx dx

y  3 cos 3x  2 sin 2 x

Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)

f

 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)

Contoh:

y  sin x  cos 5x Penyelesaian: y  sin x  cos 5x

y'  sin x

d d ( x)  cos 5 x (5 x) dx dx

y  cos x  5 sin 5x

Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)

 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x) Contoh: y  x 2 sin x Kalkulus

55

Penyelesaian: y  x 2 sin x y'  x 2

 

d sin x   sin x d x 2 dx dx

y'  x 2 cos x  2 x sin x

Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)

f g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x) ( x)  g g x 2 Contoh: y

cos x x

Penyelesaian: y

y'  y' 

5.3.

cos x x

x

d d (cos x)  cos x ( x) dx dx 2 x

 x sin x  cos x x2

Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Trigonometri Pada fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunan berantai adalah sama dengan cara menghitung turunan berantai pada fungsi aljabar. Jika y = (u) dan u = g (x) maka y' 

dy du . du dx


y' 


Contoh: Dapatkan turunan dari fungsi berikut ini y  sin 3 3x Penyelesaian: Kalkulus

56

Misal: y  f (u), u  g (v), v  3x Dengan y  u 3 dan u  sin v, v  3x Maka: y' 


 3u 2 . cos v.3

 3(sin v) 2 . cos(3x).3  3 sin 2 (3x). cos(3x).3  9 sin 2 (3x). cos 3x

5.4.

Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Trigonometri Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah ini: Derivatif Penulisan f '

Kalkulus

Penulisan y '


Pertama

f ' ( x)

y ' ( x)

Dx y

dy dx

Kedua

f ' ' ( x)

y ' ' ( x)

D2 x y

d2y dx 2

Ketiga

f ' ' ' ( x)

y ' ' ' ( x)

D3 x y

d3y dx 3

Keempat

f ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ( x)

D4 x y

d4y dx 4

Kelima

f ' ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ' ( x)

D5 x y

d5y dx 5

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n

f ( n ) ( x)

y ( n ) ( x)

Dn x y

dny dx n

57

Contoh: 1. Hitunglah turunan kedua dari fungsi berikut ini: sin y  cos x  1

Penyelesaian:

sin y  cos x  1 cos y. y' sin x  0

y '

sin x cos y

y' ' 

cos y cos x  sin x( sin y ). y ' cos 2 y

y' ' 

cos x cos y  sin x. sin y. y ' cos 2 y cos x cos y  sin x. sin y.

y' ' 

sin x cos y

cos 2 y

cos x cos 2 y  sin 2 x. sin y. y' '  cos 2 y

2. Hitunglah turunan ketiga dari fungsi berikut ini: y  x sin x

Penyelesaian: y  x sin x

 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x) y'  x

d sin x   sin x d x  dx dx

y'  x cos x  sin x y' '  x

d cos x   cos x d x   d (sin x) dx dx dx

y' '  x( sin x)  cos x.1  cos x y' '   x. sin x  2 cos x

y' ' '   x

Kalkulus

d sin x   sin x d  x   d (2 cos x) dx dx dx

58

y' ' '   x(cos x)  sin x.  1  (2 sin x)

y' ' '   x cos x  sin x.  1  (2 sin x) y' ' '   x cos x  3 sin x

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" }-turunan fungsi trigonometri: 7.

d (sin x)  cos x dx

8.

d (cos x)   sin x dx

9.

d (tan x)  sec 2 x dx

10.

d (cot x)   csc 2 x dx

11.

d (sec x)  sec x tan x dx

12.

d (csc x)   csc x cot x dx

2. Beberapa teorema turunan pada fungsi trigonometri: -

Teorema I (Turunan{ XE "Turunan" } Jumlah Fungsi Trigonometri)

f -

Teorema II (Turunan{ XE "Turunan" } Selisih Fungsi Trigonometri)

f -

 g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)  g ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x)

Teorema III (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Kali Fungsi Trigonometri)

 f .g ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  g ' ( x) f ( x) -

Teorema IV (Turunan{ XE "Turunan" } Hasil Bagi Fungsi Trigonometri)

f g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x) ( x)  g g x 2 3. Turunan{ XE "Turunan" } berantai fungsi trigonometri : Jika y = (u) dan u = g (x), maka y' 

dy du . du dx


Kalkulus

59

y' 

Kalkulus


60

Soal-soal Latihan Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y  sin( x  y) 2. y 

cos x  1 cos x  1

3. y  x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x

Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y  sin 3 (2 x  3) 2. y  tan 2 (1  2 x 2 ) 3. y  cot 2 (5x  2)

Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y 

1 cot 8 x 4

2. y  sec2 x  tan 2 x 3. y 

1  cos 2 x 2

4. y  sin x cos 2 x

Kalkulus

61

BAB VI TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK

Materi

:

Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial

dan Logaritmik Sub Materi

:

-

Pendahuluan

-

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

-


Eksponensial dan Logaritmik -


Fungsi Eksponensial dan Logaritmik Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } dan logaritmik serta menghitung turunan fungsi eksponensial dan logaritmik secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi 6.1.

Pengertian Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi{ XE "notasi" } exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183, nilai ini diperoleh dari perhitungan limit sebagai berikut: h

 1 e  lim 1    lim (1  k )1 / k h  k 0  h  11

1 1 1   ...   ...  2,71828183 2! 3! n!

Sedangkan fungsi logaritma yang biasa digunakan adalah logaritma berbasis 10 dari bilangan b sebagai pangkat kita menaikkan 10 untuk mendapatkan b: Kalkulus

62

10 logb  b

Selain logaritma dengan basis 10 kita mengenal fungsi logaritma natural (ln). Dalam turunan kita mengenal bahwa

d 1 ln x  , sifat-sifat dasar dari ln dx x

antara lain:

ln ax  ln a  ln x a ln  ln x  ln a x ln x n  n ln x Jika a  0 dan a  1 , dan jika a y  x maka y  log a x

y  log e x  ln x

6.2.

y  log 10 x  log x

Rumus Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Eksponensial dan Logaritmik Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka, a. Bentuk persamaan :

d 1 du (log a u )  log a e , (a  0, a  1) dx u dx

Contoh: Turunkan persamaan berikut ini : y  log a (3x 2  5)

Penyelesaian: y  log a (3x 2  5)

dy 1 d  2 log a e. (3x 2  5) dx 3x  5 dx dy 6x  2 log a e dx 3x  5

b. Bentuk persamaan :

d 1 du (ln u )  dx u dx

Contoh: Turunkan persamaan berikut ini: y  ln( x  2) 2

Penyelesaian: Kalkulus

63

y  ln( x  2) 2 y  2 ln( x  3)

dy 1 d 2 . ( x  3) dx x  3 dx dy 2  dx x  3

c. Bentuk persamaan :

d u du (e )  e u dx dx

Contoh: Turunkan persamaan berikut ini:

y  e 1 / 2 x

Penyelesaian:

y  e 1 / 2 x y '  e 1 / 2 x

d 1 ( x) dx 2

1 y '   e 1 / 2 x 2

6.3.

Turunan{ XE "Turunan" } Berantai Fungsi Eksponensial dan Logaritmik Pada

prinsipnya

dalam

menghitung

turunan

berantai

fungsi

eksponensial{ XE "eksponensial" } dan logaritmik, adalah sama dengan menghitung turunan berantai pada fungsi aljabar. Kaidah berantai berlaku: dy dy du  dx du dx

akan memberikan sebuah rumus untuk turunan dari y  a u bila u adalah sebarang fungsi yang diturunkan dari x: d u d u du a  a . dx du dx

Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:

 

d u du a  a u ln a , (a  0) dx dx

Kalkulus

64

Contoh: Turunkan persamaan berikut ini: 1. y  a 2 x

2

Penyelesaian:

y  a 2x

2

y'  a 2 x ln a 2

d (2 x 2 ) dx

y'  4 xa 2 x ln a 2

2. y  3sin x

Penyelesaian:

y  3sin x y'  3sin x ln 3

d sin x dx

y'  3sin x ln 3 cos x

6.4.

Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Fungsi Eksponesial dan

Logaritmik Pada turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri, secara umum dalam menghitung turunannya adalah sama dengan cara menghitung turunan tingkat tinggi pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas tentang turunan tingkat tinggi fungsi trigonometri dapat dilihat cara penulisan dan contoh-contoh di bawah ini:

Derivatif Penulisan f '

Kalkulus

Penulisan y '


Pertama

f ' ( x)

y ' ( x)

Dx y

dy dx

Kedua

f ' ' ( x)

y ' ' ( x)

D2 x y

d2y dx 2

65

Ketiga

f ' ' ' ( x)

y ' ' ' ( x)

D3 x y

d3y dx 3

Keempat

f ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ( x)

D4 x y

d4y dx 4

Kelima

f ' ' ' ' ' ( x)

y ' ' ' ' ' ( x)

D5 x y

d5y dx 5

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Ke-n

f ( n ) ( x)

y ( n ) ( x)

Dn x y

dny dx n

Pada persamaan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" }, turunan kedua ( y' ' ( x) ) merupakan turunan dari hasil turunan pertama ( y' ( x) ), begitu pula turunan ketiga ( y' ' ' ( x) ) merupakan hasil penurunan dari turunan kedua ( y' ( x) ), dan begitu seterusnya.

Contoh: Tentukan turunan kedua dari persamaan-persamaan berikut ini: 1) y  e x ln x 2) y  e2 x sin 2 x 3) y  ln

x3 3x  22

Penyelesaian: 1) y  e x ln x y'  e x

Kalkulus

d d (ln x)  ln x (e x ) dX dx

=

ex  e x ln x x



ex y x

66

2) y  e2 x sin 2 x y'  e 2 x

d d (sin 2 x)  sin(2 x) (e 2 x ) dx dx

 2e 2 x cos 3x  2e 2 x sin 2 x

 2e 2 x cos 3x  2 y

y' ' 

x

d x d (e )  e  x ( x) dx dx  y' x2

 xe  x  e  x e  x    e  x ln x 2 x x 2 1   e  x   2  ln x  x x 

3) y  ln

x3 3x  22

 ln x 3  ln(3x  2) 2  3 ln x  2 ln(3x  2)

y'  3

1 d 1 d ( x)  2 (3x  2) x dx (3x  2) dx

y' 

3 6  x 3x  2

y' 

3x  6 3x 2  2 x

y' ' 

u ' v  v' u v2

y' ' 

3(3x 2  2 x)  (6 x  2)(3x  6) (3x 2  2 x) 2

y' ' 

9 x 2  6 x  (18 x 2  36 x  6 x  12) (3x 2  2 x) 2

u  3x  6  u '  3

v  3x 2  2 x  v'  6 x  2

9 x 2  6 x  18 x 2  36 x  6 x  12 y' '  (3x 2  2 x) 2 y' ' 

Kalkulus

 9 x 2  36 x  12 (3x 2  2 x) 2

67

RINGKASAN

1. Fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } ditulis dengan notasi{ XE "notasi" } exp(x) atau ex, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. 2. Jika u adalah fungsi x yang dapat diturunkan maka, a. Bentuk persamaan : d 1 du (log a u )  log a e , (a  0, a  1) dx u dx

b. Bentuk persamaan : d 1 du (ln u )  dx u dx

c. Bentuk persamaan : d u du (e )  e u dx dx

3. Pada turunan fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } berlaku: dy dy du  dx du dx

Bentuk ini akan menghasilkan turunan persamaan sebagai berikut:

 

d u du a  a u ln a , (a  0) dx dx

Kalkulus

68

Kalkulus

69

Soal-soal Latihan

Carilah turunan pertama dan kedua fungsi di bawah ini: 1. y  ln 2 (2 x  5) 2. y  ln( x  2)( x  4) 3. y  ln(2 x 2  5x  2) 4. y  ln ln sin x  5. y  ln cos 2 x 

Carilah turunan pertama dan kedua fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y  e 4 x 2. y  e x

5

x 3. y  e x e 

4. y  e sec x 5. y  e sin 2 x

Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah ini: 1. y 

ln x ex

2. y  ln 2 xe 3 x 3. y  x 2 e 3 x sin 4 x

Kalkulus

70

BAB VII TURUNAN FUNGSI{ XE "FUNGSI" } IMPLISIT{ XE "IMPLISIT" } DAN PARSIAL{ XE "PARSIAL" }

Materi

:

Sub Materi

:

Turunan{ XE "Turunan" } Fungsi Implisit Dan

Parsial -

Turunan{ XE "Turunan" } Implisit

-

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial

-


Parsial -

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi



Trigonometri -


Eksponensial Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep turunan dan rumus-rumus turunan fungsi implisit dan parsial serta menghitung turunan fungsi implisit dan parsial secara konsep dan pada aplikasinya.

Materi 7.1. Turunan{ XE "Turunan" } Implisit Dalam materi turunan kita akan mengenal bentuk turunan implisit, dimana turunan pertama (y’) dari f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara berikut: a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian dideferensialkan terhadap x. b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.

Contoh: Cari Kalkulus

dy jika 2 x 2 y  y  3x 3  2 dx

71

Penyelesaian: Berdasarkan uraian di atas, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara: Cara 1: Fungsi implisit di atas dinyatakan ke dalam bentuk eksplisit 2 x 2 y  y  3x 3  2 y(2 x 2  1)  3x 3  2

y

3x 3  2 2x 2  1

y' 

u ' v  v' u v2

u  3x 3  2

u'  9 x 2

v  2x 2  1

v' 4 x

y' 

9 x 2 (2 x 2  1)  4 x(3x 3  2) (2 x 2  1) 2

y' 

18 x 4  9 x 2  12 x 4  8 x (2 x 2  1) 2

6 x 4  9 x 2  8x (2 x 2  1) 2 Cara 2 : Menurunkan masing-masing suku: y' 

y(2 x 2  1)  3x 3  2 2x 2



dy dy  y.4 x  1. = 9x 2 dx dx



dy 2 x 2  1  9 x 2  4 xy dx

3x 3  2 dy 9 x 2  4 xy y   (Keterangan : y diganti dengan masin ) dx (2 x 2  1) 2x 2  1  3x 3  2   9 x 2  4 x 2 2 x  1  dy   dx (2 x 2  1)

dy  dx

Kalkulus

 3x 3  2  9 x 2 (2 x 2  1)   4 x 2 2x 2  1  2x  1  (2 x 2  1)

72

dy 18 x 4  9 x 2  12 x 4  8 x  dx 2x 2  1 dy 6 x 4  9 x 2  8 x  dx 2x 2  1

Kalkulus

73

Contoh beserta penyelesaiannya: Cari a.

dy jika : dx

x 2 y  xy 2  2 x  2 y  0

b. ln y  yx  e 3 x  0 c.

y  y 2 cos x  0

Penyelesaian: a.

d 2 d d d ( x y)  ( xy 2 )  (2 x)  (2 y)  0 dx dx dx dx x2

d d d d d d ( y)  y ( x 2 )  x ( y 2 )  y 2 ( x)  2 ( x)  2 ( y )  0 dx dx dx dx dx dx

x 2 y'2 yx  2 xyy ' y 2  2.1  2 y '  0 y' ( x 2  2 xy  2) +2xy+y 2 2  0

y' 

 2 xy  y 2  2 x 2  2 xy  2

b. ln y  yx  e 3 x  0 d d d d (ln y)  y ( x)  x ( y)  e 3 x  0 dx dx dx dx

1 d d d ( y)  y.1  x ( y )  e 3 x (3x)  0 y dx dx dx 1 d d ( y )  y  x ( y)  3e 3 x  0 y dx dx 1 dy dy  y  x  3e 3 x  0 y dx dx

 dy  1   x   y  3e 3 x  0 dx  y 

dy  y  3e 3 x  1 dx x y

Kalkulus

74

c.

d d d ( y)  cos x ( y 2 )  y 2 cos x  0 dx dx dx

d d ( y)  cos x.2 y ( y)  y 2 ( sin x)  0 dx dx dy 1  2 y cos x   y 2 sin x  0 dx

dy y 2 sin x  dx 1  2 y cos x

7.2.

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x dan y, maka dalam turunan parsial akan ada kemungkinan yang akan terjadi antara lain: a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y dianggap tetap. f x x, y  

z f x  x, y   f x, y   lim x x0 x

Jika x berubah sedangkan y dianggap tetap, maka z adalah fungsi x dan turunannya ke x. b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x dianggap tetap.

f x x, y  

z f x, y  y   f x, y   lim y x0 y

Jika y berubah sedangkan x dianggap tetap, maka z adalah fungsi y dan turunannya ke y.

7.3.

Turunan{ XE "Turunan" } Tingkat Tinggi Parsial Turunan{ XE "Turunan" } Parsial

z dari z  f ( x, y) dapat diturunkan x

parsial lagi ke x dan y, menghasilkan turunan kedua ( z ' ' ). Turunan kedua dapat diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( z ' ' ' ) dan seterusnya. Jika dituliskan sebagai berikut:

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:

Kalkulus

z  f ( x, y ) x 75

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

2z   z   f xx ( x, y )    2 x  x  x

2z   z   f yx ( x, y )    sedangkan, yx y  x 

Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:

z  f ( x, y ) y

2z   z  Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:  f xy ( x, y )    xy x  y  2z   z   f yy ( x, y )    2 y  y  y

Contoh: Hitunglah turunan kedua dari: z  2 x 2  4 xy  3 y 2

Penyelesaian:

7.4.

z  4x  4 y , x

 2z   z      4, 2 x  x  x

2z   z    4 yx y  x 

z  6 y  4x , y

2z   z      4 , xy x  y 

 2z   z      6 2 y  y  y

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } dapat diturunkan secara parsial, dimana jika diturunkan terhadap x maka y konstan, dan sebaliknya ketika diturunkan terhadap y maka x dianggap konstan. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut: Hitung turunan dari: z  x 3  5xy  y 2 jika diturunkan terhadap x dan y Penyelesaian: Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka

z  3x 2  5 y x

Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka

z  5 x  2 y y

Kalkulus

76

7.5.

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Trigonometri Cara penurunan secara parsial fungsi trigonometri sama seperti pada fungsi aljabar. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut: Hitung turunan dari z  2 x cos y  y sin x jika diturunkan terhadap x dan y Penyelesaian: Jika

diturunkan

terhadap

x

dan

y

dianggap

konstan,

maka

z  2 cos y  y cos x x

Jika diturunkan terhadap y dan x dianggap konstan, maka

7.6.

z  2 sin y  sin x y

Turunan{ XE "Turunan" } Parsial Fungsi Eksponensial Pada prinsipnya cara penurunan parsial pada fungsi eksponensial{ XE "eksponensial" } sama seperti fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Supaya lebih jelas mngenai turunan parsial fungsi aljabar, kita pelajari contoh berikut: Hitung turunan dari z = e x

3

 xy

jika diturunkan terhadap x dan y

Penyelesaian: Jika diturunkan terhadap x dan y dianggap konstan, maka 3 z  e x  xy (3x 2  y ) x  z (3x 2  y )

3 z  e x  xy ( x) y  zx

Kalkulus

77

RINGKASAN

1. Turunan{ XE "Turunan" } implisit adalah turunan dimana proses menurunkan persamaan tidak dapat diturunkan secara langsung, turunan pertama (y’) dari f(x,y) = 0 dapat diperoleh dengan dua cara berikut: a. Jika y dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, kemudian dideferensialkan terhadap x. b. Jika setiap suku dalam f(x,y) = 0 dideferensialkan terhadap x.

2. Pada turunan parsial, jika z = f(x,y) memiliki variabel{ XE "variabel" } bebas x dan y: a) Variabel x berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } y dianggap tetap. f x x, y  

z f x  x, y   f x, y   lim x x0 x

b) Variabel y berubah-ubah, sedangkan variabel{ XE "variabel" } x dianggap tetap.

f x x, y  

z f x, y  y   f x, y   lim y x0 y

3. Pada turunan parsial

z dari z  f ( x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan x

y, menghasilkan turunan kedua ( z ' ' ). Turunan{ XE "Turunan" } kedua dapat diturunkan lagi ke x dan y, menghasilkan turunan ketiga ( z ' ' ' ) dan seterusnya. Jika dituliskan sebagai berikut: Turunan{ XE "Turunan" } Pertama: Turunan{ XE "Turunan" } Kedua:

z  f ( x, y ) x

2z   z   f xx ( x, y )    2 x  x  x

2z   z   f yx ( x, y )    sedangkan, yx y  x  Turunan{ XE "Turunan" } Pertama:

Turunan{ XE "Turunan" } Kedua: Kalkulus

z  f ( x, y ) y

2z   z   f xy ( x, y )    xy x  y  78

2z   z   f yy ( x, y )    2 y  y  y

Kalkulus

79

Soal-soal Latihan

Carilah turunan implisit fungsi berikut ini: 1. 4 x 3  3xy  2 y 2  5

Carilah y’

2. cos xy  3x 2 y 2  9 3. x  2 xy  y  10

Carilah y’’bila diketahui x =1

4. 2 x 4 y  xy 4  4

Carilah turunan parsial fungsi berikut ini: 1. z  cos(7 x  3 y) , berapakah 2. z = e 2 x  y berapakah , 3. w 

z z dan x y


x z y2 w w w , berapakah , dan   2 x z x y z y

4. z  sin( x  5) cos(4 y  6) , berapakah


5. sin( x  y)  sin( y  z)  sin( x  z)  1 , berapakah

6.

f ( x, y, z)  x  3 y  3z  ln z  0 , berapakah

Kalkulus


2z 2z dan y 2 x 2

80

BAB VIII INTEGRAL TAK TENTU ALJABAR

Materi

:

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar{ XE

"Aljabar" }

Sub Materi

:

-

Pendahuluan

-

Rumus – rumus Dasar Integral

-

Integral dengan Substitusi ”u”

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar serta menghitung integral tak tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.

Materi 8.1. Pendahuluan Jika

diketahui

F ( x)  x 2

maka

turunannya

adalah:

F 1 ( x)  2 x  f ( x) . Bila operasi dibalik yakni diketahui f ( x)  2 x dapatkah

di temukan F (x) sebagai anti turunan dari

f (x) sedemikian hingga

F 1 ( x)  2 x  f ( x) ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai

berikut: F ( x)  x 2

, sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau

F ( x)  x 2  1 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau F ( x)  x 2  7 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau F ( x)  x 2  10 , sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) atau

………dan seterusnya sehingga dapat ditulis F ( x)  x 2  C untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .

Ini benar sebab F 1 ( x)  2 x  f ( x) . Ternyata anti turunan F dari

f

jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari

Kalkulus

81

f ( x)  2 x

adalah

F ( x)  x 2  C

berlaku untuk sembarang konstanta{ XE

"konstanta" } C . Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f yang di rumuskan oleh f ( x)  x n adalah F ( x) 

1 n 1 x  C , n  1 n 1

sebab turunannya

F 1 ( x)  x n  f ( x ) .

Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral" } (Leibniz) : F ( x)   f ( x)dx

ini berarti F 1 ( x) 

(1-1)

d F ( x)  d  f ( x)dx  f ( x) atau : dx dx

d f ( x)dx  f ( x) dx 

(1-2)

Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :

 f ( x)dx   F ( x)dx   dx F ( x)dx   dx F ( x)  C dx   d F ( x)  C   F ( x)  C d

1

d

, sehingga

 d F ( x)  C   F ( x)  C

(1-3)

atau ditulis

 d F ( x)  F ( x)  C

(1-3 * )

kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi. Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x) adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka

 f ( x)dx  F ( x)  C disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu. Sekarang himpunan anti turunan F dari f yang dirumuskan oleh f ( x)  x n adalah F ( x)   f ( x)dx   x n dx 

1 n 1 x C n 1

untuk n  1 . Dengan

demikian kita peroleh : (1-4) 1

 x dx  n  1 x n

Kalkulus

n 1

 C , n  1

82

sebagai rumus dasar integral{ XE "integral" } tak tentu.

Kalkulus

83

Rumus – rumus Dasar Integral

8.2. A. 1

 dx  x  C

2

 adx  a dx ax  C

3

 x dx  n  1 x

4



5

ax  a dx  ln a  C,

6

 e dx  e

7

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx , k adalah konstanta{ XE "konstanta" }

8

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx

9

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx

10

 udv  uv   vdu,

1

n

n 1

 C , n  1

dx  ln x  C , x  0 x x

x

x

a  0, a  1

C

B.

u  u( x ), v  v( x ) , disebut integral{ XE "integral" }

parsial Integral dengan Substitusi ”u”

8.3.

Integral substitusi{ XE "substitusi" } dapat digunakan untuk menentukan hasil dari bentuk

 f ( x)dx . Dengan menggunakan substitusi u =

g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:

 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C Contoh Integral Substitusi dan penyelesaiannya: 1.

 2 x  8 dx

Kalkulus

5

84

2.

x

2

3x 3  5dx

Penyelesaian: 1.

 2 x  8 dx 5

Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi" } di atas adalah sebagai berikut: -

mengasumsikan bahwa u  2 x  8

-

menghitung

du du ; karena u  2 x  8 maka 2 dx dx

sehingga dx 

du 2 du 2

-

bentuk integral{ XE "integral" } menjadi :  u 5

-

diubah menjadi bentuk:

-

hasil pengintegralan:

-

konstantanya disederhanakan menjadi:

-

variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:

1 5 u du 2

1  1 15  u c  2 1 5  1 6 u c 12

1 2 x  86  c 12 2.

x

2

3x 3  5dx

Langkah awal menyelesaikan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi" } di atas adalah sebagai berikut: -

mengasumsikan bahwa u  3x 3  5

-

menghitung

du du ; karena u  3x 3  5 maka  9x 2 dx dx

sehingga dx 

du 9x 2

-

bentuk integral{ XE "integral" } menjadi :

-

disederhanakan menjadi bentuk:

Kalkulus

1

9u

1

2

x u 2

1

2

du 9x 2

du

85

1 1 1 1 u 2 c 9 1 1 2

-

hasil pengintegralan:

-

konstantanya disederhanakan menjadi:

-

variabel{ XE "variabel" } u dikembalikan seperti di awal:



2 32 u c 27



2 3x 3  5 3x 3  5  c 27

Contoh Soal dan Penyelesaiannya: 1.

x

2.

x

3.

3

4.

 ( 2t

4

dx

2

 2 x  2dx

3

x dx 1 2

 2t )dt

5. Jika Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan Marginal Cost = 5q2-3q+2 dengan q adalah banyaknya unit yang diproduksi, dan biaya tetap k=3, dimana k adalah konstanta{ XE "konstanta" } integral{ XE "integral" }. Tentukan persamaan biaya total (Cost).

Penyelesaian: 1.

4  x dx 

2.

x

3.

3

1  2 x  2dx = x 3  x 2  2 x  C 3

2

3

x5 C 5

1

x dx =  3x 3 dx 1

= 3 x 3 dx = 3( x

1 1 3

)c

4

= 3( x 3 )  c

4.

1

 ( 2t

Kalkulus

2

1  1  2t )dt =   t 2  2t  2 dt 2 

86

1

1

=

 2t

=

1 1 2 t dt  2 t  2 dt 2

=

=

2

dt   2t 2 dt

1 1 1 12 1 t  21 dt  2 t dt  1 2  2 1 1 2 2 3  1  t 1  2 t 2  2 3 



=



3 1 1  4 2  t   t  2 3 

 

5. Persamaan Marginal Cost = 5q2-3q+2

MC 

dC ; sehingga dC  MCdq dq

Cost (C) = =

 MCdq  (5q

=5 =

Kalkulus

2

 3q  2)dq

1 21 1 11 q 3 q  2q  c 2 1 11

5 3 3 2 q  q  2q  c 3 2

87

RINGKASAN

1. Integral tak tentu F pada fungsi aljabar dari f yang dirumuskan:

f ( x)  x n adalah F ( x)   f ( x)dx   x n dx 

1 n 1 x  C untuk n  1 . n 1

2. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi aljabar, dapat digunakan untuk menentukan hasil dari bentuk

 f ( x)dx .

Dengan menggunakan substitusi{ XE "substitusi" } u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:

 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C 3. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada integral{ XE "integral" }:

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx 4. Integral tak tentu parsial dirumuskan:

 udv  uv   vdu,

Kalkulus

u  u( x ), v  v( x )

88

Soal-soal Latihan

1

1.

 (2

2.



3.

 2t

4.



5.

 2 x  4

6.

 x  3

7.

 2 x  24 x  1dx

8.

  2 x 

x

3 5

x

da

a3 1

dt

t

4s

ds

2s 2  5 2

dx

3



 3x dx

2

 x 

s

3

2

9.



10.



11.

 6 x

12.



 5)dx

2  dx 5 x 

3

 2s  7 ds s

24t

dt

4t 2  6 3



5

 4 x 2 dx 5a

1 10  a 2 2

12a 2

da

13.



14.

 2 x

15.

  3x 3 9 x 2    dx 3   6 x  15  6 x  15 2 

16.

 2 x  42 x  6dx

Kalkulus

2a 3  8 5

 5x

da

 10x 10

4



 5 dx

20  8 x

3

89

17.



4t  6 6t 2  18t  2

dt

18. Sebuah roket yang bergerak memiliki percepatan dengan persamaan a(t )  (5t  2) 3 meter per detik kuadrat. Kecepatan roket pada saat t = 0

adalah 10 meter per sekon. Berapakah kecepatan roket pada saat empat detik? 19. Truk pengangkut barang memindahkan box dengan cara meluncurkan balok tersebut pada bidang miring dengan percepatan tetap sebesar 4 meter per detik. Jika bidang miring memiliki panjang 40 meter dan box mencapai alas dalam waktu 3, 25 detik. Berapakah kecepatan awal box tersebut? (Rumus bantuan: Vt  V0  at ) 20. Pada perusahaan ABC terdapat biaya marginal untuk memproduksi makanan ringan dengan persamaan berikut: MC = 6q2 – 10q + 4. Jika untuk memproduksi satu makanan ringan tersebut diperlukan

biaya Rp. 120.

tentukanlah : a. Persamaan Biaya total pembuatan makanan ringan. b. Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output tiga makanan ringan. (Rumus bantuan: Fungsi biaya total C = ∫ (MC) dq, Dicari Nilai Konstanta Integrasi dengan memasukkan nilai q= 1 dan C (Biaya).

Kalkulus

90

BAB IX INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi

:

Sub Materi

:

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

-

Pendahuluan

-

Rumus

–

rumus

Dasar

Integral

Fungsi

Trigonometri -

Integral dengan Substitusi ”u” dengan Fungsi

Trigonometri

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep integral{ XE "integral" } tak tentu dan teknik pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" }

pada fungsi trigonometri serta menghitung

integral tak tentu dengan substitusi secara konsep dan aplikasi.

Materi 9.1. Pendahuluan Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai integral{ XE "integral" } pada fungsi aljabar. Rumus dasar yang digunakan dalam integral, baik pada fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri pada umumnya sama. Integral pada fungsi aljabar telah dituliskan dalam rumus – rumus dasar di bawah ini. Integral tak tentu tidak memiliki nilai batas awal dan nilai batas akhir. Sehingga pada penggunaannya dapat langsung memperhatikan rumus – rumus dasar yang telah ditetapkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut ini: Jika

diketahui

F ( x)  sin x

maka

F 1 ( x)  cos x  f ( x) . Bila operasi dibalik yakni

turunannya diketahui

adalah

:

f ( x)  c o sx

dapatkah di temukan F (x) sebagai anti turunan dari f (x) sedemikian hingga F 1 ( x)  cos x  f ( x) ? Jawabannya adalah Dapat. Caranya adalah sebagai

berikut: F ( x)  sin x Kalkulus

, sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau 91

F ( x)  sin x  5 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau F ( x)  sin x  15 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau F ( x)  sin x  10 , sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) atau

………dan seterusnya sehingga dapat ditulis F ( x)  sin x  C untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C .

Ini benar sebab F 1 ( x)  cos x  f ( x) Ternyata anti turunan F fungsi trigonometri sama seperti halnya pada fungsi aljabar yaitu dari f jawabnya tidak hanya satu. Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari f ( x)  cos x adalah F ( x)  sin x  C berlaku untuk sembarang konstanta{ XE "konstanta" } C . Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk integral{ XE "integral" } (Leibniz) : F ( x)   f ( x)dx

ini berarti F 1 ( x) 

(1-1)

d F ( x)  d  f ( x)dx  f ( x) atau : dx dx d f ( x)dx  f ( x) dx 

(1-2)

Dari (1-1) dan (1-2) juga di peroleh rumusan :

 f ( x)dx   F ( x)dx   dx F ( x)dx   dx F ( x)  C dx   d F ( x)  C   F ( x)  C 1

d

d

, sehingga

 d F ( x)  C   F ( x)  C

(1-3)

atau ditulis

 d F ( x)  F ( x)  C

(1-3 * )

kemunculan C ini disebut konstanta{ XE "konstanta" } integrasi. Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x) adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka

 f ( x)dx  F ( x)  C

disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu. Pada penggunaan integral{ XE "integral" } fungsi trigonometri dapat digunakan rumus-rumus dasar yang ada di bawah. Tidak hanya fungsi Kalkulus

92

trigonometri dasar, tetapi juga tersedia untuk trigonometri fungsi hiperbolik. Rumus – rumus di bawah dapat digunakan pada integral sederhana, sedangkan untuk teknik pengintegralan yang rumit dapat menggunakan teori substitusi{ XE "substitusi" } yang akan dijelaskan pada bab ini. Rumus – rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

9.2. A. 11

 sin x dx   cos x  C

12

 cos x dx  sin x  C

13

 sec

14

 cos sec

15

 sec x

16

 cos sec x

17

 tan x dx   ln cos x  C  ln sec x  C

18

 cot x dx  ln sin x  C   ln cos sec x  C

19

 sec x dx  ln sec x  tan x  C

20

 cos sec x dx   ln cos sec x  cot x  C

21

 sinh x dx  cosh x  C

22

 cosh x dx  sinh x  C

23

 sec h x dx  tanh x  C

24

 cos ech x dx   coth x  C

25

 sec h x

26

 cos ech x

2

x dx  tan x  C x dx   cot x  C

2

tan x dx  sec x  C cot x dx   cos sec x  C

B.

2

2

tanh x dx   sec h x  C coth x dx   cos ech x  C

C.

Kalkulus

93

27 a.



b.



28 a.

dx

 arc sin x  C ,

1  x2

dx a x 2

dx

1 x

b.

a

29 a.

x

b.

x

30 a.

x

b.

x

2

2

 arc sin

2

 arc tan x  C ,

dx 1 x  arc tan  C 2 x a a

dx x2  1

 arc sec x  C ,

dx x a 2

2

1 x arc sec  C a a



dx 1 x 1  ln  C, x2  1 , 1 2 x 1

2

2

dx 1 xa  ln  C, x2  a 2 2 a 2a x  a

 arc  dx 31 a.   arc 2 1 x   

b.

a

32 a.



b.



33 a. 

2

tanh x  C , x  1 coth x  C , x  1 , 1 1 x ln C 2 1 x

dx 1 xa  ln  C, x2  a 2 2 x 2a x  a



dx x 1 dx x a 2

dx x 1 2

2





 ln x  x 2  a 2  C





 arc cosh x  C  ln x  x 2  1  C ,

dx





34 a.



1  x 2 dx 

b.



a 2  x 2 dx 

x a 2



 arc sinh x  C  ln x  x 2  1  C ,

2

b.

Kalkulus

x C a

2



 ln x  x 2  a 2  C x 1 1  x 2  arc sin x  C , 2 2

x 2 a2 x a  x 2  arc sin  C 2 2 a 94

35 a.  x 2  1 dx 





x 2 1 x  1  ln x  x 2  1  C 2 2





x 2 a2 x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2

b.



x 2  a 2 dx 

36 a.



x 2  1 dx 



x 2 a2 2 x  a dx  x  a  ln x  x 2  a 2  C 2 2

b.

9.3.

2





x 2 1 x  1  ln x  x 2  1  C 2 2



2



Integral dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri

Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat digunakan untuk

menentukan hasil

dari bentuk

 f ( x)dx .

Dengan

menggunakan substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:

 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C Rumus dasar ini sama dengan rumus pada fungsi aljabar. Pada fungsi trigonometri dapat digunakan logika yang sama. Metode substitusi{ XE "substitusi" } ini memiliki peran yang sama untuk integral{ XE "integral" }integral yang dimainkan oleh Aturan Rantai terhadap turunan. Hal yang perlu dicermati disini adalah bahwa Aturan Substitusi adalah Aturan Rantai dalam kebalikannya. Sebelum mengerjakan integral{ XE "integral" } substitusi{ XE "substitusi" }, yang perlu diperhatikan adalah bentuk dasar integral yang sudah sederhada ataukah belum. Jika bentuk integral belum sederhana, maka yang perlu dilakukan adalah mengubahnya ke bentuk dasar trigonometri. Berikut ini adalah rumus-rumus trigonometri yang dapat dijadikan rumus penunjang dalam mengerjakan integral{ XE "integral" } trigonometri untuk mengubah persamaan ke dalam bentuk dasar sebelum diintegralkan:

1.

sin 2 x  cos 2 x  1

2.

1  tan 2 x  sec 2 x

Kalkulus

95

3.

1  cot an 2 x  cos ec 2 x

4.

sin 2 x 

1 1  cos 2 x  2

5.

cos 2 x 

1 1  cos 2 x  2

6.

sin x. cos x 

1 sin 2 x 2

7.

sin x. cos y 

1 sinx  y   sinx  y  2

8.

sin x. sin y 

1 cosx  y   cosx  y  2

9.

cos x. cos y 

1 cosx  y   cosx  y  2

10.

1  cos x  2 sin 2

1 x 2

11.

1  cos x  2 cos 2

1 x 2

Untuk lebih jelasnya mengenai integral{ XE "integral" } tak tentu pada Fungsi Trigonometri, perhatikan pada beberapa contoh dan penyelesaiannya berikut ini: 1.

 (cos x  2 sin x)dx

2.

 2 sin

3.

 4x  4sin2 x

4.

 5 cos

5.

 sin 2 x. cos 2 xdx

2

5

xdx 2

 4 x dx

xdx

Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapan-tahapan seperti berikut: 1.

 (cos x  2 sin x)dx

Untuk menyelesaikan soal di atas, dapat digunakan teknik pengintegralan secara langsung. Hal ini dikarenakan bentuk integral{ XE "integral" } di atas merupakan bentuk integral dasar. Kalkulus

Langkah pertama adalah memecah persamaan tersebut menjadi: 96

 cos xdx   2 sin xdx -

Langkah kedua adalah langsung mengintegralkan masing-masing suku dalam persamaan: sin x  2 cos x  C

2.

 2 sin

2

xdx

Jika penyelesaian nomor satu dapat diselesaikan secara langsung, maka nomor dua ini tidak bisa diselesaikan secara langsung dikarenakan berpangkat lebih dari satu (pangkat kuadrat). -

Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan tersebut ke dalam persamaan dasar trigonometri: 2

1 1  cos 2 x dx 2





2 1  1 cos 2 x dx 2 2 -

Langkah kedua adalah memecah persamaan:

 2. 12 dx   2. 12 cos 2 xdx -

Langkah ketiga adalah mengubah persamaan tersebut menjadi:

 dx   cos 2 x 12 d (2 x) Hal yang perlu diingat: d (2 x) -

dx

 2 , sehingga dx  1 d (2 x) 2

Langkah keempat adalah mengintegralkan persamaan:

x  1 sin 2 x  C 2

3.

 4x  4sin2 x

2

 4 x dx

Untuk menyelesaikan soal ini dibutuhkan permisalan dengan langkah-langkah sebagai berikut: -

Langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan:

 sin udu dengan u  2 x 2  4 x; du  4 x  4dx

Kalkulus

97

karena du bernilai sama dengan konstanta{ XE "konstanta" } pada persamaan awal maka persamaan akhir dikali 1, sehingga tidak ada perubahan pada persamaan akhir. -

Langkah kedua adalah mengintegralkan persamaan menjadi:  cos udu +c

-

Langkah terakhir yaitu mengganti nilai u dan du:  cos(2 x 2  4 x)(4 x  4)dx  c

4.

 5 cos

5

xdx

Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } dengan pangkat tinggi, selain menggunakan teknik permisalan juga digunakan teknik substitusi{ XE "substitusi" }. -

Langkah

pertama

adalah

mengubah

bentuk

persamaan

yang

memungkinkan ke bentuk permisalan dan substitusi{ XE "substitusi" }: 5 cos xcos 4 x dx

-

Langkah kedua yaitu memecah pangkat empat:





5 cos x cos 2 x dx 2

karena sin 2 x  cos 2 x  1, maka





5 cos x 1  sin 2 x dx 2

misalkan: u  sin x; du  cos xdx

-

Langkah ketiga yaitu substitusi{ XE "substitusi" } u:





5 1  u 2 du -

2

Langkah keempat sebelum diintegralkan, persamaan didalam integral{ XE "integral" } dikuadratkan lebih dulu: 5 1  2u 2  u 4 du

-

Langkah kelima adalah diintegralkan satu per satu: 2 1   5 u  u 3  u 5   C 3 5  

Kalkulus

Langkah terakhir adalah diubah nilai u ke nilai awalnya: 98

5 sin x 

5.

10 3 sin x  sin 5 x  C 3

 sin 3x. cos 2 xdx

Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan integral{ XE "integral" } yang didalamnya terdapat perkalian trigonometri. -

Langkah pertama adalah mengubah bentuk perkalian di dalam persamaan

yang memungkinkan

ke

bentuk

penjumlahan atau

pengurangan: sin x. cos y 

-

1 1 sin x  y   sin x  y  2 2

Langkah kedua yaitu memasukkan ke dalam persamaan integral{ XE "integral" }:

-

 sin 3x. cos 2 xdx  

1 1 sin 3x  2 x dx   sin 3x  2 x dx 2 2

 sin 3x. cos 2 xdx  

1 1 sin 5 x dx   sin x dx 2 2

Langkah ketiga dengan mengintegralkan masing-masing bagian:

 -

Langkah akhir yaitu menyederhanakan hasil pengintegralan: 

Kalkulus

1 1 11 1 sin 5 x dx   sin x dx   cos5 x   .1 cos x   C 2 2 25 2

1 1 cos5 x   cosx   C 10 2

99

RINGKASAN 1. Dari definisi F ( x)   f ( x)dx , maka f (x) disebut integran sedang F (x) adalah hasil integrasi. Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta{ XE "konstanta" } sembarang C maka

 f ( x)dx  F ( x)  C

disebut

integral{ XE "integral" } tak tentu pada fungsi trigonometri. 2. Beberapa rumus dasar pada integral{ XE "integral" } tak tentu trigonometri: a.

 sin x dx   cos x  C

b.

 cos x dx  sin x  C

c.

 tan x dx   ln cos x  C  ln sec x  C

d.

 sec x dx  ln sec x  tan x  C

e.

 cos sec x dx   ln cos sec x  cot x  C

3. Integral substitusi{ XE "substitusi" } pada fungsi trigonometri dapat digunakan untuk menentukan hasil dari bentuk

 f ( x)dx .

Dengan menggunakan

substitusi u = g(x), di mana g adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Jika substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h (u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka:

 f ( x)dx   h(u)du  H (u)  C  H ( g ( x))  C

Kalkulus

100

Soal-soal Latihan

1.

 cosv  2dv

2.

 cos

3.

 sin(4x)  cos(6x)dx

4.

 x tan x

5.

 (sec tan )d

6.

 sec

7.

 2 sin

8.

 cos x  sin xcos x  sin xdx

9.

 sec   2 xdx

10.

x

11.

cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x dx

2

(2 )d

2

dx

d

2

2

x  2 cos 2 xdx

2

cosx 3  3dx

2

(Note: sederhanakan persamaan terlebih dahulu!)





12.

 2v

13.

 3 sin 7 x.sin 5xdx

4

cos 2v 5  2 dv

(Note: Lihat rumus dasar trigonometri!) 14.

 2 cos x tan xdx (Note: Ingat bahwa tan x 

15.

5

 1  sin

2

x

sin x !) cos x

dx

(Note: Ingat bahwa sin 2 x  cos 2 x  1 !) 16.



sin 2 x 1  2 sin x

dx

(Note: Ubahlah bentuk sin 2 x  2 sin x cos x ; Lakukan permisalan u  1 2 sin x ; Lakukan substitusi{ XE "substitusi" }!)

Kalkulus

101

17.

 2 sin

2

xdx

(Note: Ingat bahwa sin 2 x  cos 2 x  1 !) 18.

 cos x sin

4

xdx

(Note: Ingat bentuk substitusi{ XE "substitusi" } u = sin x!) 19.

 (sec x tan x  sin x)dx (Note: Lihat rumus dasar trigonometri!)

20.

 2 cos

2

x sin xdx

(Note: Lihat rumus dasar trigonometri; Gunakan permisalan & Substitusi; u = cos x!)

Kalkulus

102

BAB X INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } ALJABAR

Materi

:

Sub Materi

:

Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" }

-

Pendahuluan

-

Definisi

-

Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE

"Aljabar" } -

Penghitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{

XE "Aljabar" }

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar dan teknik pengintegralan serta menghitung integral tentu secara konsep dan aplikasi.

Materi 10.1. Pendahuluan Pada bab sebelumnya telah di pelajari tentang integral{ XE "integral" } tak tentu pada fungsi aljabar. Prinsipnya secara teknik pengintegralannya adalah sama, yang membedakan adalah nilai batasnya. Integral tentu terdapat nilai batas minimum atau nilai batas bawah dan nilai maksimum atau batas atas. Sebelum mengenal lebih jauh tentang integral tentu, pengertian, sifatsifat integral tentu, teknik pengintegralannya, penyelesaiannya soal-soal, serta penerapannya, perhatikan beberapa penjelasan di bawah ini. Pada gambar di bawah ini terdapat kurva yang memiliki luasan dalam batasan tertentu, untuk menghitung batasannya, maka diperlukan teknik pengintegralan dengan memasukkan nilai batasannya.

Kalkulus

103

Gambar 10.1. Luas daerah bidang A Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh:

b A(R) =

 f ( x)dx

a Jika gambar terletak dibawah sumbu

"integral"

X

maka integral{

XE

} diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin

bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar berikut ini:

Gambar 10.2. Luas daerah bidang B

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : d

A(R) =

 f ( y )dy

c

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral{ XE "integral" } diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

10.2.

Definisi

Misalkan f sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika,

Kalkulus

104

n

lim  f ( xi )xi

P  0 i 1

b

bernilai, f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Selanjutnya  f ( x)dx disebut a

Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan: b

n

 f ( x)dx = lim  f ( xi )xi P  0 i 1

a

b

Kembali ke lambang  f ( x)dx , boleh disebut bahwa a titik ujung bawah dan b a

titik ujung atas integral{ XE "integral" }. Tetapi kebanyakan referensi menyebutnya istilah batas bawah dan batas atas integrasi. b

Pada definisi  f ( x)dx , secara implisit kita menganggap bahwa ab

.

a

Perhatikan rumus-rumus berikut: a

 f ( x)dx  0 a

b

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx,

a b

Berdasarkan rumus dasar di atas, dapat dituliskan contoh berikut ini: 3

 x dx  0 2

3

4

2

 x dx   x dx 2

2

2

4

Variabel x merupakan peubah{ XE "peubah" } dummy (dummy variable), dimana x dapat diganti dengan huruf sebarang lainnya. b

b

b

b

a

a

a

a

 f ( x)dx  f (t )dt  f (u)du  f (s)ds Tidak semua fungsi dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b]. Misalnya fungsi tak terbatas.

Kalkulus

105

1  jika x  0 f ( x)   x 2  1 jika x  0

Pada teorema keintegrasian dijelaskan bahwa jika f terbatas pada [a, b] dan f kontinyu di sana, kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a, b]. Khususnya jika f kontinyu pada seluruh selang tertutup [a, b], maka f terintegrasikan pada [a, b]. Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b]: 1. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" } 2. Fungsi sinus dan kosinus 3. Fungsi rasional{ XE "rasional" }, dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang mengakibatkan penyebut bernilai 0.

10.3.

Sifat-sifat Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus. a. Sifat Tambahan pada Selang Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka: c

b

c

a

a

b

 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx

dengan catatan tidak mempedulikan orde a, b dan c. Contoh dari sifat pertama: 2

1

2

0 2

0 3

1 2

0 2

0 1

3

0

0

a)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx b)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx 2

c)  x 2 dx   x 2 dx   x 2 dx 1

b. Sifat Perbandingan

Kalkulus

106

Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan jika f ( x)  g ( x) untuk semua x dalam [a, b], maka: b



b

f ( x)dx   g ( x)dx

a

a

c. Sifat Keterbatasan Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan m  f ( x)  M untuk semua x dalam [a, b], maka: b

m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a

d. Sifat Kelinearan Jika f dan g terintegrasikan pada selang [a, b] dan k adalah kostanta. Maka kf dan f+g terintegrasikan, sehingga: b

b

a

a

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx

a)

b

b

b

a

a

a

b

b

b

a

a

a

 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

b)

c)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

10.4.

Perhitungan Integral Tentu Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Untuk lebih memahami penerapan teori dalam perhitungan integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar, perhatikan beberapa contoh berikut ini: 1

1.

x

2

dx

1 2

2.

 (2 x  3x

2

)dx

0

4

3.

1

Kalkulus

1

w

2

1  w 2 dw 2

107

1

4.

 (x

2

 2 x) 2 dx

0 1

5.

 3x

3x 2  1dx

0

Dari beberapa contoh soal di atas, di berikan penyelesaian berupa tahapantahapan seperti berikut: 1

1.

x

2

dx

1

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas: -

2 Integralkan x

x3 -

1 1

Masukkan nilai batas awal dan akhir [(1 3 )-  1 ] = 2 3

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 2.

2

2.

 (2 x  3x

2

)dx

0

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas: -

2 Integralkan 2 x  3x

x2  x3 -

2 0

Masukkan nilai batas awal dan akhir

2

2

 



 23  0 2  03  4

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar -4.

4

3.

1 1 2 1 w2  2 w dw

Ada dua langkah penyelesaian soal di atas:

Kalkulus

108

-

Integralkan

1 1 2  w w2 2

Untuk lebih mudahnya persamaan di atas diubah dulu menjadi:

1 w 2  w 2 2 1 Hasil integralnya:  w 

11 3 w 23

4 1  w 1  w3 6 1 -


 1 1 3   1 1 3    4    (  1 )      4 6   1 6    1 64   1    4  6   1  6     

 3 128   6 1    12  12    6  6       125   5   12    6       125   10  115  12    12   12     Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar

115 12

1

4.

 (x

2

 2 x) 2 dx

0

Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas: -

Uraikan pangkat dua pada persamaan di dalam integral{ XE "integral" }

x 4  4x3  4x 2 -

4 3 2 Integralkan x  4 x  4 x

x 4  4x3  4x 2 Kalkulus

1 0 109

-


1

4





 4.13  4.12  0  9

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar 9.

1

5.

 3x

3x 2  1dx

0

Ada tiga langkah penyelesaian soal di atas: -

Ubah ke bentuk substitusi{ XE "substitusi" }

u  3x 2  1 du  6 xdx dx  1

du 6x

 3x.u 0

-

1

2

du 6x

Integralkan persamaan 1  2 32  1 .u  2  3 0

-

Masukkan nilai awal dan akhir 3 1 1 2 (3x  1) 2   0 3  3 3 1 1 (3(1) 2  1) 2  (3(0) 2  1) 2   0 3 

3 1  2 32 (2 )  (1) 2   3  7 3

Jadi hasil dari pengitegralan persamaan di atas sebesar

Kalkulus

7 3

110

RINGKASAN

1. Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan: b

n

 f ( x)dx = lim  f ( xi )xi P  0 i 1

a

b

2. Pada definisi  f ( x)dx , secara implisit dengan menganggap bahwa ab , maka: a a

 f ( x)dx  0 a

b



a

f ( x)dx    f ( x)dx, ab

a

b

3. Berikut ini adalah fungsi – fungsi yang dapat diintegrasikan pada selang tertutup [a, b]: a. Fungsi polinomial{ XE "polinomial" } b. Fungsi sinus dan kosinus c. Fungsi rasional{ XE "rasional" }, dengan syarat selang [a, b] tidak mengandung titik – titik yang mengakibatkan penyebut bernilai 0. 4. Terdapat beberapa sifat integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi aljabar yang dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam kasus. a. Sifat Tambahan pada Selang b. Sifat Perbandingan c. Sifat Keterbatasan d. Sifat Kelinearan

Kalkulus

111

Soal-soal Latihan

2

1.

 (x

 x )dx

2

0 3

2.

 (3t  2)

3

dt

1 2

3.

1

 (2 x

4

 3x 3 )dx

3

1 2

4.

 (2  6 x)  (2  2 x)dx

1

(Note: Sederhanakan persamaan!) 3

5.

 (1  x)

x dx

1

2

6.

 1

1 dx t ( t  1) 3

4

7.



x 2  x (2 x  1)dx

0

(Note: Integral Substitusi!) 5

8.

1 1 (t  2) 2 dt 2

9.

 3x

2

x 3  1dx

1

(Note: Integral Parsial!) 3

10.

dx

 (2 x  3)

2

2


11.

2dx

 (2 x  3)

2

2

(Note: Integral Parsial!)

Kalkulus

112

2

12.

 2 x(6 x  10)

4

dx

0


13.



2 x 2  2 x (4 x  2)dx

0

(Note: Integral Parsial!) Tentukan nilai p integral{ XE "integral" } di bawah ini! p

14.



8 

  8  3 x dx  96

3 0

15.

 (2 x

2

 8 x)dx  8

p 2p

16.

3dx 3 1 x 2  2

17. Hitung Luas Daerah yang dibatasi oleh kurva dengan persamaan

2 x 2  12 x  16  0 dan sumbu x! (Note: Batas integral{ XE "integral" } diperoleh dari titik potong kurva terhadap sumbu x  y  0 ) 18. Dua elektron memiliki muatan negatif sebesar 1,6. 10-19 C. Berapa besar gaya yang diperlukan untuk memisahkan dua elektron yang memiliki jarak awal 1µm, sehingga jarak akhir dua elektron tersebut menjadi 4µm. (Note: Hukum Coulomb = F 

kq1q 2 ; jika dimasukkan ke dalam persamaan r2 b

kq1q 2 dx ; k = konstanta{ XE 2 x a

integral{ XE "integral" } menjadi F  

"konstanta" } gaya listrik yang besarnya 9.109 N m2 C−2) 19. Sebuah bola pantul dilemparkan ke atas dengan persamaan kecepatan gerak bola, yaitu v = (t – 1) m/s. Berapakah percepatan bola selama 2 detik dan jarak yang dapat ditempuh bola selama 10 detik? Kapankah bola akan membentur tanah? (dengan mengabaikan gesekan udara) (Note: a(t ) 

Kalkulus

dv ds ; v(t )  ) dt dt 113

20. Laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dinamakan arus listrik. Apabila 1/3t2+2t Coulomb muatan mengalir melalui suatu kawat penghantar dalam t detik. Ingat bahwa Arus Listrik (I) =

dQ . dt

a) Berapakah arus listrik dalam Ampere (Coulomb per detik) setelah 3 detik? b) Kapankah suatu sekering 20 Ampere yang dipasang pada saluran itu akan putus?

Kalkulus

114

BAB XI INTEGRAL TENTU FUNGSI{ XE "FUNGSI" } TRIGONOMETRI

Materi

:

Sub Materi

:

Integral Tentu Fungsi Trigonometri

-

Pendahuluan

-

Sifat – sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri

-

Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri

Tujuan Setelah mengikuti pertemuan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan konsep integral{ XE "integral" } tentu pada fungsi trigonometri dan teknik pengintegralan dengan substitusi{ XE "substitusi" } serta menghitung integral tentu secara konsep dan aplikasinya.

Materi 11.1.

Pendahuluan Perhitungan integral{ XE "integral" } tentu secara umum telah dijelaskan pada bab sebelumnya yaitu integral tentu fungsi aljabar, akan tetapi ada

beberapa

teori

yang membedakan pada

penggunaan sifat-sifat

trigonometri. Jika dalam integral tentu fungsi aljabar telah dikenalkan teori substitusi{ XE "substitusi" }, maka pada integral tentu fungsi trigonometri juga terdapat teori substitusi yang akan dijelaskan pada sub bab berikut ini. Pada perhitungan integral tentu trigonometri tidak terlepas dari rumus – rumus dasar trigonometri yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, karena rumus – rumus dasar tersebut akan digunakan untuk mengubah persamaan trigonometri dalam integral yang tidak bisa langsung diintegralkan. Berikut ini adalah sifat – sifat integral tentu yang terdapat dalam fungsi trigonometri.

11.2.

Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri 1. Sifat Penambahan Selang

Kalkulus

115

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka: c

c

b  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx

a

2. Sifat Periodik{

b

a

XE "Periodik" }

Jika f periodik dengan periode p, maka: b p



a p

b

f ( x)dx   f ( x)dx a

Suatu fungsi f merupakan fungsi periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian rupa sehingga f(x+p) = f(x) untuk semua nilai x dalam daerah asal f. Bilangan positip p yang terkecil disebut periode dari fungsi f. Fungsi – fungsi trigonometri merupakan contoh dari fungsi – fungsi yang periodik. Contoh: 2

Hitunglah:

 sin x dx 0

Jika dilihat dari keperiodikannya, maka fungsi tersebut periodik dengan periode  . Perhatikan gambar berikut.

Gambar 11.1. Gambar fungsi yang periodik Karena periodik seperti yang telah di jelaskan dengan gambar, maka dapat diselesaikan seperti di bawah ini: 2



2

0

0



 sin x dx   sin x dx  



0



 sin x dx

  sin x dx   sin x dx

Kalkulus

116



 2  sin xdx 0



  2 cos x 

0

 2  (2) 4

3. Sifat Simetri Jika f fungsi genap{

XE "genap" } a

a

a

0

[f(-x) = f(x)] , maka:

 f ( x)dx = 2  f ( x)dx

Jika f fungsi ganjil{

XE "ganjil" }

[f(-x) = - f(x)], maka:

a

 f ( x)dx = 0

a

Contoh : 

   x  x  x 1 cos dx  2  4  cos 4 dx  8  cos . dx 4 2   4 4    0 0

11.3.

Integral Tentu dengan Substitusi ”u” pada Fungsi Trigonometri

Terdapat beberapa langkah sebelum sebuah persamaan trigonometri dapat langsung diintegralkan, diantaranya adalah teknik substitusi{ XE "substitusi" }. Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka: b

g (b )

a

g (a)

 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u )du

Untuk membuat sebuah substitusi{

XE "substitusi" } dalam integral{

XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:  Membuat substitusi{

XE "substitusi" } dalam integran

 Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk diferensial  Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b) Kalkulus

117

Perhatikan contoh berikut untuk memperjelas teori: 1. Hitunglah: 

 2 cos xdx



2

Penyelesaian: 



 2 cos xdx  sin x   2

2

   sin   sin  2   0 1  1

2. Hitunglah: 

 x sin( x

2

)dx

0

Penyelesaian: Misal : u  x 2 du  2 xdx xdx 

1 du 2

Masukkan ke dalam persamaan awal: 

1

 sin u ( 2 du ) 0

 1    cos u   2 0  1    cos x 2   2 0  1   1    cos  2    cos 0 2   2   2  1   1   (1)  .1 2   2 0

3. Hitunglah:  /3

 0

Kalkulus

4 cos 2

1 x sin xdx 2

118

Untuk menyelesaikan integral{

XE "integral" } di atas diperlukan

beberapa rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab sebelumnya. (i) cos x  2 cos 2 cos 2

1 x 1 2

1 1 x  (1  cos x) 2 2

(ii) sin 2x  2 sin x cos x sin x cos x 

Ubahlah cos 2  /3



 0

1 sin 2 x 2

1 1 x  (1  cos x) , sehingga persamaan menjadi: 2 2

1 4. (cos x  1) sin xdx 2

 /3

 2  (cos x sin x  sin x)dx 0

1 Ubahlah sin x cos x  sin 2 x , sehingga persamaan menjadi: 2  /3

2

 0

1 ( sin 2 x  sin x)dx 2

 1   2  cos 2 x  cos x  3  4  0  1   1   2   cos 120  cos 60     cos 0  cos 0    4   4  1 1   1   2        1  8 2   4   3  5   2       8  4  7  2  8 7  4

4. Hitunglah:  /2



1  cos x dx

0

Kalkulus

119

Untuk menyelesaikan integral{

XE "integral"

} di atas diperlukan

rumus trigonometri dasar yang telah dibahas pada bab sebelumnya.

cos 2  1  2 sin 2  2 sin 2   1  cos 2 x Substitusikan   x ; sehingga 2 sin 2 ` 1  cos x 2 2  /2



 /2



1  cos x dx 

0

0

 /2

 2

 0

x 2 sin 2 dx 2

x sin dx 2

x  karena f ( x)  sin tidak bernilai negative pada [ 0, ]; maka dapat 2 2

x  x dituliskan sin   sin 2  2  /2

2

 0

 x x   2 sin dx  2   2 cos   2 2 0  

 x   2  2 2  cos   2 0       2 2  cos  cos 0  4    2   2 2   1  2   2  2 2 5. Hitung volume benda putar yang dibatasi oleh y = sin x untuk 0  x   dan diputar mengelilingi sumbu x sejauh 2 . Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 11.2 Batas Volume Benda Putar Kalkulus

120

Kalkulus

121

Penyelesaiannya: 

XE "integral" } untuk volume:

Persamaan integral{

V    sin 2 xdx 0



1 1       cos 2 x dx 2 2  0

 1 1   ( x  sin 2 x ) 0 2 4 1 1 1 1       sin 2   .0  sin 2.0   4 4 2  2 1  2 2 6. Buktikan bahwa persamaan keliling lingkaran untuk lingkaran yang memiliki jari – jari sebesar r adalah 2r . (Gunakan bantuan gambar di bawah!)

Gambar 11.3. Representasi sudut dalam Lingkaran

Penyelesaiannya: dari gambar di atas, dapat dibuat persamaan sebagai berikut:

x  r cos t y  r sin t Pada persamaan x  r cos t , maka

dx  r sin t dt

Pada persamaan y  r sin t , maka

dy  r cos t dt

t2

Keliling   t1

Kalkulus

2

2

 dy   dx       dt  dt   dt  122

2

Keliling 



 sin t 2  r cos t 2 dt

0 2

Keliling 



r 2 sin t 2  cos t 2 dt

0 2

Keliling  r  dt 0

Keliling  rt

2 0

Keliling  r (2  0)

Keliling  2r

Kalkulus

123

RINGKASAN 1. Sifat – Sifat Integral Tentu Fungsi Trigonometri 4.

Sifat Penambahan Selang Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka: c

c

b  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx

a

5.

Sifat Periodik{

b

a

XE "Periodik" }

Jika f periodik dengan periode p, maka: b p

b

a p

a

 f ( x)dx   f ( x)dx

6.

Sifat Simetri Jika f fungsi genap{

XE "genap" } a

a

a

0

[f(-x) = f(x)] , maka:

 f ( x)dx = 2  f ( x)dx

Jika f fungsi ganjil{

XE "ganjil" }

[f(-x) = - f(x)], maka:

a

 f ( x)dx = 0

a

2. Fungsi g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka: b

g (b )

a

g (a)

 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u )du

Untuk membuat sebuah substitusi{

XE "substitusi"

} dalam integral{

XE "integral" } tentu, terdapat beberapa langkah yang harus dipenuhi:  Membuat substitusi{

XE "substitusi" } dalam integran

 Membuat perubahan yang tepat dalam memisalkan ke bentuk diferensial  Mengubah limit - limit dari a dan b menjadi g(a) dan g(b)

Kalkulus

124

Kalkulus

125

Soal-soal Latihan 

1.

 (sin x  cos x)dx



(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)  /2

2.

sin x dx 1  cos x /2

 



(Note: Gunakan bantuan sifat simetri!)  /2

3.

 0

sin x dx cos 3 x

(Note: Gunakan bantuan metode substitusi{ XE "substitusi" }!) 

4.

 (2 sin 2 x  3 cos x)dx 0

 /2

5.

 (3 sin 2 x  cos x)dx 0

 /4

6.

 sin(2 x   )dx 0

 /2

7.

(sin x  cos x)  

2

dx

/4

(Note: Sederhanakan persamaan terlebih dahulu!) 

8.

 sin

2

x cos 2 xdx



(Note: Gunakan bantuan sifat trigonometri!)  /8

9.

 sin(5x) cos(3x)dx 0



10.

 2 sin 

2

x cos xdx

/2



11.

 2 cos 2 xdx

 /2

 /2

12.

 (4 cos x  1)dx

 /3

Kalkulus

126

 /3

13.



1  cos 2 x dx

0

 /2

14.



sin x cos 3xdx

0

 /2

15.

 0

sin 3 x cos x

dx

 /2

16.

 tan x sec 

2

xdx

/3

 /4

17.

 (2 sin x  6 cos x)dx

 / 2

 /3

18.

 (4 cos

2

x  2)dx

0

19. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:

3 y  sin x; 0  x   2 20. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:

y  sin x; y  cos x;   x  2

Kalkulus

127

Daftar Pustaka

1.

Purcell, E J. Varberg, Dale. Rigdon, S E. 2004. Calculus 8th Edition (Terjemahan, Jilid 8). Erlangga. Jakarta.

2. Koko M. 1999. Kalkulus. Penerbit Erlangga. Jakarta. 3. Frank, Ayres. 1998. Theory and Problems of Differential and Integral Calculus. 2nd Edition (Terjemahan, Edisi Kedua). Penerbit Erlangga. Jakarta. 4. Lucy, I. 1998. Kalkulus I. STIKOM. Surabaya. 5. Baisuni, HM. Hasyim. 2005. Calculus. UI-Press. Jakarta. 6. Sudaryono. 2012. Langkah Mudah Belajar Kalkulus. Penerbit Andi. Yogyakarta. 7. Harshbarger, R J. 1990. Calculus with applications. DC Heath & Co. Lexington. 8. Dubinsky E D. 1992. Calculus, Concept and Computer Preliminary Version. West Pub. Co. New York.

Kalkulus

128

Indeks

A Aljabar, 1, 8, 9, 42, 44, 48, 50, 71, 76, 81, 103, 106, 107

D domain, 14, 18

E eksponensial, 1, 20, 28, 62, 64, 66, 68, 77

F FUNGSI, 1, 20, 53, 62, 71, 91, 103, 115

G ganjil, 13, 117, 124 genap, 13, 117, 124

H Hiperbolik, 20, 25, 26, 27

I identitas, 1 IMPLISIT, 71 integral, 31, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 91, 92, 95, 96, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 120, 122, 124 invers, 1, 14, 15, 18, 23, 28

K kodomain, 18 komposisi, 1, 7, 18 konstanta, 8, 16, 20, 28, 44, 45, 50, 81, 82, 84, 86, 92, 98, 100, 113 Kuadrat, 8, 18

L Limit, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 40 Linier, 9, 18 Logaritma, 20, 23

N notasi, 2, 18, 30, 31, 40, 62, 68

P Pangkat, 1, 8, 16, 18, 45, 50 PARSIAL, 71 Periodik, 116, 124 peubah, 16, 20, 28, 31, 35, 40, 105

Kalkulus

129

polinomial, 106, 111

R rasional, 36, 106, 111 relasi, 2, 18

S sekawan, 32 siklometri, 14 substitusi, 81, 84, 85, 88, 91, 93, 95, 98, 100, 101, 102, 110, 115, 117, 124, 126

T transenden, 20 Turunan, 42, 44, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 65, 71, 75, 76, 77, 78

V variabel, 3, 18, 30, 75, 78, 85, 86

Kalkulus

130

Kalkulus Teori, Soal-Soal & Penerapannya

Recommend Documents