UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de…nisi turunan, tentukan f 0 (x) bila f (x) = x2 + 4. 2. Tentukan: d p ( x + sin x) dx d 4x2 + 5 (b) ( ) dx cos x (a)
3. Diketahui f (2) = 3, f 0 2 = 4, f 00 2 = 1, g(2) = 2, g 0 (2) = 5, g 00 (2) = 1. Misalkan h(x) = f (g(x)). Tentukan: (a) h0 (2) (b) h00 (2). 4. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x2 2x pada selang [0,2]. Jika ya, tentukan nilai c yang membuat f (b) f (a) : f 0 (c) = b a 5. Periksa apakah fungsi f dengan 1 f (x) = x3 3
1 2 x 2
2x + 1
pada [-2,2] mempunyai nilai ekstrim global? Jika ada, tentukan nilai ekstrim globalnya. 6. (SOAL PR) Tinggi sebuah segitiga bertambah pada laju 1 cm/menit sedangkan luas segitiga bertambah dengan laju 2 cm2 /menit. Pada laju berapakah alas segitiga berubah pada waktu tinggi segitiga 10 cm dan luas segitiga 100 cm? 7. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva cos(y) + xy 2 = x2
1
di titik (0, ). 8. Misalkan diberikan fungsi f dengan f (x) =
x x2
1
; f 0 (x) =
Tentukan (jika ada)
(x2 + 1) 2x (x2 + 3) 00 ; f (x) = : (x + 1)2 (x 1)2 (x + 1)3 (x 1)3
(a) daerah asal fungsi f (b) selang di mana fungsi f naik, selang di mana fungsi f turun, dan nilai ekstrim lokal, (c) selang di mana fungsi f cekung ke atas, selang di mana f cekung ke bawah, dan titik belok, (d) asimtot fungsi, (e) sketsa gra…k fungsi 9. Sebuah pembangkit tenaga listrik terletak di tepi sebuah "sungai lurus" yang lebarnya 3 km. Sebuah pabrik terletak di seberang sungai 10 km ke arah hilir dari titik A yang tepat berseberangan langsung dengan pembangkit. Jalur mana yang paling hemat untuk pemasangan sebuah kabel yang menghubungkan pembangkit tenaga listrik dengan pabrik jika biaya pemasangan kabel di bawah air 2a rupiah per km dan biaya pemasangan kabel di darat adalah a rupiah per km. 10. Misalkan fungsi f naik pada selang tutup [a; b]. Diketahui fungsi h dengan 1 h (x) = 1 + f (x) dengan f (x) 6= 0 pada [a; b] : Buktikan bahwa fungsi h turun pada [a; b] :
JAWABAN UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS 1 SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI 2004 (2 JAM) 1. Cara 1 f (x + h) f (x) h (x + h)2 + 4 (x2 + 4) lim h!0 h x2 + 2xh + h2 + 4 x2 4 lim h!0 h 2 2xh + h h (2x + h) = lim lim h!0 h!0 h h lim (2x + h) = 2x + 0 = 2x:
f 0 (x) = lim
h!0
= = = =
h!0
Cara 2 f (p) f (x) p!x p x 2 (p + 4) (x2 + 4) lim p!x p x 2 p + 4 x2 4 lim p!x p x (p x) (p + x) lim p!x p x lim (p + x)
f 0 (x) = lim = = = =
p!x
= x + x = 2x: 2. (a) d p 1 x + sin x = x dx 2
1=2
1 + cos x = p + cos x: 2 x
(b) d dx
4x2 + 5 cos x
(4x2 + 5) ( sin x) = cos2 x 8x cos x + (4x2 + 5) (sin x) = cos2 x 8x (cos x)
3. h (x) = f (g (x)) =) h0 (x) = f 0 (g (x)) [g 0 (x)] ; dan 2 h00 (x) = f 00 (g (x)) [g 0 (x)] + f 0 (g (x)) [g 00 (x)] sehingga
(a) h0 (2) = f 0 (g (2)) g 0 (2) = f 0 (2) g 0 (2) = 4 (5) = 20: (b) 2
h00 (2) = f 00 (g (2)) [g 0 (2)] + f 0 (g (2)) [g 00 (2)] = f 00 (2) 52 + f 0 (2) 1 = ( 1) (25) + 4 = 21: 4. Karena f fungsi polinom maka f kontinu pada selang [0; 2] dan f 0 (x) = 2x 2 selalu terde…nisi pada selang (0; 2) sehingga f terturunkan pada selang (0; 2) : Jadi Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x2 2x pada selang [0; 2] : f (2) f (0) 2 0 (4 4) 0 2c 2 = =0 2 2c = 2 =) c = 1 2 (0; 2) : f 0 (c) =
1 3 1 2 x x 2x + 1 merupakan fungsi polinom, sehingga f 3 2 kontinu pada selang [ 2; 2] : Jadi f mempunyai nilai ekstrim global.
5. f (x) =
f 0 (x) = x2
x
f 0 (x) = 0 untuk x = 2; x = bilangan kritis dari f ) Titik ujung selang: x = x 2 2 1
1 3 1 3 1 3
2 = (x
1 (jadi x = 2; x =
1 merupakan
2; x = 2
f (x) ( 2) ( 2)2 2 ( 2) + 1 = (23 ) 21 (23 ) 2 (2) + 1 = 13 3 ( 1)3 12 ( 1)2 2 ( 1) + 1 = 3
2) (x + 1) :
1 2
keterangan 1 3 13 6
13 6
13 3
nilai minimum global dari f nilai maksimum global dari f
6. Misalkan h (t) : tinggi segitiga pada saat t; L (t) : luas segitiga pada saat t; a (t) : panjang alas segitiga pada saat t: Diketahui
dh dL = 1 cm/menit, = 2 cm2 =menit. dt dt Ditanyakan: laju perubahan alas segitiga pada saat h = 10 dan L = 100: Persamaan yang menghubungkan laju-laju perubahan 1 L = ah:
Penurunan kedua ruas persamaan ini terhadap t menghasilkan 1 dL = dt 2
da dh h+a dt dt
:
Pada saat h = 10 dan L = 100 berlaku 1 100 = a (10) =) a = 20: 2 Jadi pada saat h = 10 dan L = 100 1 da (10) + (20) (1) 2 dt da 8 da 2 = 5 + 10 =) = dt dt 5 2 =
7. d cos y + xy 2 dx dy dy sin y + y 2 + x 2y dx dx dy (2xy sin y) dx dy dx
=
d x2 dx
1
= 2x y2
= 2x =
2x y 2 2xy sin y
Di titik (0; ) ; berarti x = 0 dan y = ; 2 dy 0 = (takterde…nisi) dx 0 sin 0
Jadi garis singgung kurva sejajar dengan sumbu-y: Karena titik singgungnya adalah (0; ) ; maka persamaan garis singgung kurva di titik (0; ) adalah x = 0: 8. Diberikan fungsi f dengan f (x) =
x x2
1
; f 0 (x) =
(x2 + 1) 2x (x2 + 3) 00 ; f (x) = : (x + 1)2 (x 1)2 (x + 1)3 (x 1)3
(a) Daerah asal fungsi f adalah fxjx2 2
(b) Karena (x + 1) > 0; (x di daerah asalnya, atau
1 6= 0g = fxjx 6= 1 dan x 6=
2
2
1g :
0
1) > 0; dan x +1 > 0; maka f (x) < 0
Tanda f 0 (x) 1
1
Jadi f selalu turun di daerah asalnya, yaitu ( 1; 1) ; ( 1; 1) ; (1; 1) :
(c) 00
Tanda f (x)
+ + ++
+++ 0
1
1
Jadi f cekung ke atas pada selang ( 1; 0) dan (1; 1) ; sedangkan fungsi f cekung ke bawah pada ( 1; 1) ; (0; 1) :
(d) Asimtot fungsi
i. Asimtot tegak Karena lim
x! 1
x x2
1
maka garis x = Karena lim
x!1
=
1; atau
lim +
x! 1
x x2
1
= +1
1 merupakan asimtot tegak dari fungsi f: x
x2
1
=
1; atau lim+ x!1
x x2
1
= +1
maka garis x = 1 merupakan asimtot tegak fungsi f: ii. Asimtot Datar Karena 1=x 0 = = 0; atau 2 1 1 1=x 1 0 x 1=x 0 lim = lim = = 0; 2 x!1 x2 x!1 1 1 1=x 1 0
lim
x! 1
x
x2
=
lim
x! 1
maka garis y = 0 adalah asimtot datar dari fungsi f iii. Karena hasil bagi antara pembilang dan penyebut tidak menghasilkan fungsi linear, maka f tidak mempunyai asimtot miring. (e) sketsa gra…k fungsi: Ringkasan keadaan gra…k Selang f0 f 00 gra…k f Sketsa gra…k fungsi f
0
1 +++
1 +++
Figure 1: f (x) =
x x2
1
9. Denah lokasi
Alternatif pertama, melalui air dan darat sehingga biayanya adalah 3 (2a) + 10a = 16a rupiah Alternatif kedua, kabel dipasang di bawah air dengan biaya p p 32 + 102 (2a) = 2 109a rupiah p Karena 2 109a > 16a maka jalur pemasangan kabel yang paling hemat adalah jalur alternatif pertama.
10.
1 h (x) = 1 + f (x) = 1 + [f (x)] 1 =) h0 (x) = 0 + ( 1) [f (x)] 2 f 0 (x) f 0 (x) 0 h (x) = f 2 (x)
Karena f fungsi naik pada [a; b] maka f 0 (x) > 0 pada [a; b] : Karena f (x) 6= 0; maka f 2 (x) > 0: Jadi h0 (x) < 0; sehingga h merupakan fungsi turun pada selang [a; b] :
