K141 HY3V (VM) Neustálené proudění v potrubích

Neustálené proudění v tlakových potrubích

K141 HY3V (VM)

Neustálené proudění v potrubích

0

ÚVOD Ustálené proudění – pouze prostorové změny Neustálené proudění – nejen prostorové, ale i časové změny – vznik při jakýchkoliv manipulacích – změny tlaku způsobené např. přivřením uzávěru se šíří potrubím rychlostí zvuku pomalu proměnné proudění délka doby šíření tlakové změny podstatně kratší, než časové měřítko úlohy

rychle proměnné proudění délka doby šíření tlakové změny srovnatelná s časovým měřítkem úlohy

Příklad: výtok vody potrubím z velké nádrže Postupné klesání hladiny – pomalu proměnné K141 HY3V (VM)


1

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: matematický popis Délka doby šíření tlakové změny srovnatelná s časovým měřítkem úlohy. ⇓ Je potřeba počítat s konečnou rychlostí šíření informace. Řídící rovnice: Zákon zachování hmoty (rce kontinuity): (K = modul objemové pružnosti)

Zákon zachování hybnosti:

∂H ∂H K 2 ∂V +V ⋅ + 2 ⋅ =0 ∂t ∂x ρ g ∂x

∂V ∂V ∂H λ ⋅ V ⋅ V +V ⋅ +g⋅ + =0 ∂t ∂x ∂x 2⋅ D (Bilance sil tíhy, tření, tlaku, setrvačnosti)

Systém dvou parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu pro dvě neznámé funkce H(x, t) a V(x, t). K141 HY3V (VM)


2

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: možnosti řešení

∂H ∂H K 2 ∂V + 2 ⋅ =0 +V ⋅ ∂t ∂x ρ g ∂x

možné zjednodušení:

∂V ∂V ∂H λ ⋅ V ⋅ V +V ⋅ +g⋅ + =0 ∂t ∂x ∂x 2⋅ D Konvektivní složky změn často zanedbatelné oproti lokálním.

⇒

Vypuštění nelineárních členů.

Analytické řešení zjednodušení vede na řešení vlnových rovnic pro V a H. Grafické řešení je starší způsob řešení – názorné, ale pracné. Numerické řešení umožňuje řešit plný tvar řídících rovnic i zahrnutí složitějších okrajových podmínek. Řešení obvykle metodou sítí (viz proudění koryty). K141 HY3V (VM)

Neustálené proudění v korytech

3

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: metoda charakteristik Původní rovnice:

∂H K 2 ∂V ∂H =0 + 2 ⋅ +V ⋅ ∂x ρ g ∂x ∂t

∂H λ ⋅ V ⋅ V ∂V ∂V + =0 +g⋅ +V ⋅ 2⋅ D ∂x ∂x ∂t

Lineární kombinací lze získat rovnice, které jsou (na rozdíl od původní soustavy) navzájem nezávislé a popisují transport nových veličin:

K ⎞ ∂W+ λ ⋅ V ⋅ V ∂W+ ⎛ ⎜ ⎟ + =0 + ⎜V + ⎟ ρ ⎠ ∂x 2⋅ D ∂t ⎝

transport kladné charakteristiky

K ⎞ ∂W− λ ⋅ V ⋅ V ∂W− ⎛ ⎜ ⎟ + =0 + ⎜V − ⎟ ρ ⎠ ∂x 2⋅ D ∂t ⎝

transport záporné charakteristiky

W+ = W+ (V , H )

W− = W− (V , H )

Jakou rychlostí se charakteristiky transportují vzhledem k potrubí? A jakou vzhledem k pohybující se vodě? a =

K141 HY3V (VM)

K

ρ

Neustálené proudění v korytech

4

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: hydraulická ráz Jakákoliv změna průtoku je spojena se změnou tlaku. Prudká změna průtoku způsobí prudkou změnu tlaku, = HYDRAULICKÝ RÁZ. Vznik:

-rychlá manipulace s uzávěry -rozběh/vypadnutí čerpadla

Princip:

-kinetická energie vody se vlivem setrvačnosti mění na energii pružnosti

Projevy:

-tlaková změna se šíří od místa vzniku rychlostí zvuku -rychlé pulzace tlaku v potrubí mezi extrémními přetlaky a podtlaky -možné poškození potrubí a armatur

Zánik:

-vlivem tření se postupně energie rázu změní na teplo, dojde k vytvoření ustáleného stavu

K141 HY3V (VM)


5

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: rázová výška Kinetická energie vody se mění na energii pružnosti. 1 1 Kinetické energie elementu vody: E = m ⋅ V 2 = L ⋅ S ⋅ ρ ⋅ V 2 2 2 Energie pružnosti téhož elementu vody deformovaného o ΔL:

p F ΔL = ⋅ L = ⋅L K S ⋅K 1 1 p2 W = F ⋅ ΔL = S ⋅ ⋅ L 2 2 K

W =E p = H ⋅ρ⋅g

obecně

⇒

H=

K V ⋅ ρ g

⇒

ΔH = a ⋅

V ΔV gg

Velikost rázu (přírůstek tlaku) je přímo úměrná změně rychlosti. K141 HY3V (VM)


6

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: rychlost šíření rázu Absolutně tuhé potrubí: deformuje se pouze kapalina voda:

ρ = 1000 kg / m

3

a=

K = 2 GPa

Tenkostěnné potrubí:

K

ρ

2 ⋅109 = = 1400 m/s 1000

část kinetické energie absorbuje deformované potrubí => rychlost šíření rázu se co? sníží

a=

K/ρ K D 1+ E e

E = Youngův modul pružnosti stěny potrubí

a ~ 1000 m/s pro ocel. potrubí a ~ 300 m/s pro polyetylenové potrubí Další vlivy: -množství plynových bublin v kapalině -způsob uchycení potrubí (umožněny podélné deformace?) K141 HY3V (VM)


7

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: přímý a nepřímý ráz -tlaková změna se šíří od místa vzniku rychlostí a Rázová perioda: (doba návratu rázu μ [s]) -na pevné okrajové podmínce dochází k odrazu (analogie: odraz kmitu na provaze, ozvěna, …)

-doba za níž se rázová vlna vrátí zpět na místo Jakývliv vlivbude budemít mítpři při svého vzniku: Jaký 2L

μ= jinakstejných stejných jinak a podmínkáchsnížení snížení podmínkách => N = nádrž, L = délka potrubí, U = uzávěr, Č = čerpadlo. rázovérychlosti rychlostina na rázové velikost rázu?-doba, po kterou je manipulováno v místě U (Č) , tj. Manipulační doba: velikost rázu? doba, po kterou je rychlost měněna o ΔV Tu [s] PŘÍMÝ RÁZ: Tu ≤ μ

-(též totální), dochází ke vzniku rázové výšky dle rovnice

ΔH = a ⋅ K141 HY3V (VM)

ΔV g

NEPŘÍMÝ RÁZ: Tu > μ

-odražené vlny interferují se stále ještě vznikajícími vlnami v místě U (Č) -výsledná rázová výška je proto menší, než u rázu přímého


8

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: přímý ráz příklad: Přívodní potrubí velké vodní elektrárny je vedeno ve štole (a=1400 m/s), voda jím proudí rychlostí v0=4 m/s. V případě poruchy na turbíně je přívod uzavřen rychlouzávěrem. Bez protirázové ochrany by velikost přímého rázu byla:

ΔH max

K141 HY3V (VM)

4 = 1400 ⋅ = _______ 560 m v. sl. !!! 9,81


9

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: průběh typického rázu Pro jednoduchost:

zanedbatelné ztráty třením rychlostní výška malá oproti tlakové

K141 HY3V (VM)


10



Rázová výška v místě uzávěru:

T=0 μ -Uzavření uzávěru -Voda proudí celým potrubím rychlostí V směrem z nádrže -Čára tlaku dána polohou hladiny v nádrži K141 HY3V (VM)


11



T=1/4 μ -Od uzávěru se šíří hydraulická ráz -Za ním je oblast s nulovou rychlostí a polohou čáry tlaku zvýšenou o rázovou výšku -Voda se stlačuje, potrubí se nafukuje K141 HY3V (VM)


12



T=1/2 μ -Ráz dorazil k nádrži, v celém potrubí je nulová rychlost -U nádrže je fixována poloha čáry tlaku (hladina nádrže) -Dojde k odrazu rázu (analogie – odraz vlny na volném konci provazu) K141 HY3V (VM)


13



T=3/4 μ -Ráz se vrací zpět k uzávěru -Voda z potrubí postupně vytéká zpět do nádrže rychlostí V -Voda se rozpíná, potrubí se vyfukuje na normální stav K141 HY3V (VM)


14



T=1 μ -Ráz se dorazil zpět k uzávěru -V celém potrubí se voda pohybuje směrem k nádrži rychlostí V -Dojde k odrazu rázu s opačnou velikostí rázové výšky (analogie – odraz vlny na pevném konci provazu) K141 HY3V (VM)


15



T=5/4 μ -Od uzávěru se šíří hydraulická ráz -Za ním je oblast s nulovou rychlostí a polohou čáry tlaku sníženou o rázovou výšku -Voda se rozpíná, potrubí smršťuje K141 HY3V (VM)


16



T=4/2 μ -Ráz dorazil k nádrži, v celém potrubí je nulová rychlost -Zde je fixována poloha čáry tlaku (hladina nádrže) -Dojde k odrazu rázu (analogie – odraz vlny na volném konci provazu) K141 HY3V (VM)


17



T=7/4 μ -Ráz se vrací zpět k uzávěru -Voda z nádrže postupně vtéká do potrubí rychlostí V -Voda se smršťuje, potrubí nafukuje na normální stav K141 HY3V (VM)


18



T=2 μ . . . . . . . Počáteční stav -Ráz se dorazil zpět k uzávěru -V celém potrubí se voda pohybuje směrem k uzávěru rychlostí V -Dojde k odrazu rázu a opačnou velikostí rázové výšky (analogie – odraz vlny na pevném konci provazu) K141 HY3V (VM)


19



Zanedbání ztrát => hydraulická ráz se neustále opakuje:

K141 HY3V (VM)


20

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: ochrana proti hydr. rázu Velké přetlaky: roztržení potrubí Velké podtlaky: kavitace, zborcení potrubí Potřeba snížit absolutní velikost rázové výšky ΔH: • pomalá manipulace s uzávěry (nepřímý ráz místo přímého) • prodloužení běhu čerpadla při jeho výpadku pomocí setrvačníku • vyloučení náhlých změn průtoku s použitím vyrovnávacích komor nebo větrníků (místo rázu vznikne pozvolný oscilační pohyb) • omezení maximálních přetlaků pomocí pojistných ventilů (při překročení mezního přetlaku odstříkne vodu z potrubí) • omezení maximálních podtlaků pomocí zavzdušňovacích ventilů (při překročení mezního podtlaku nasaje vodu nebo vzduch do potrubí) K141 HY3V (VM)


21

RYCHLE SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: různé průběhy rázu Výtok z nádrže potrubím, na konci potrubí uzávěr. Rázová perioda μ = 1 s. Uzávěr je zcela uzavřen v čase Tu. větrník: tlaková nádoba vyplněná vzduchem (při uzavření uzávěru voda proudí do nádoby a postupně je bržděna stlačovaným vzduchem) Rázová výška v místě uzávěru

▬▬

přímý ráz bez uvážení ztrát Tu = 0 s

▬▬

přímý ráz s uvážením ztrát Tu = 0 s

▬▬

nepřímý ráz Tu = 3,5 s použití větrníku Tu = 0 s

▬▬

K141 HY3V (VM)


22

POMALU SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ Délka doby šíření tlakové změny je podstatně kratší, než časové měřítko úlohy (μ << Tu).

⇓

Zjednodušení – změny tlaku se projevují všude okamžitě.

= Nestlačitelná kapalina.

Tento přístup neumožňuje postihnout vznik a šíření hydraulických rázů!

⇓

Použití tam, kde vznik rázů nehrozí, nebo se o rázy nezajímáme. K141 HY3V (VM)


23

POMALU SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: matematický popis změny tlaku se projevují všude okamžitě Ù nestlačitelná kapalina Rovnice kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu: Zákon zachování hybnosti:

dV ∑ F = S ⋅ ΔA ⋅ ρ ⋅ dt ΔA FP ' x FT FG FP

α G

∂Q =0 ∂x

⇒ Q = Q(t )

∂p ⎛ ⎞ FP ' = − S ⋅ ⎜ p + ⋅ ΔA ⎟ ∂x ⎝ ⎠ ∂z FG = −G ⋅ cos(α ) = − S ⋅ ΔA ⋅ ρ ⋅ g ⋅ ∂x FT = O ⋅ ΔA ⋅τ = − S ⋅ ΔA ⋅ ρ ⋅ g ⋅ iE

FP = S ⋅ p

dV ∂V ∂V ∂V 1 ∂V 2 = +V = + dt ∂t ∂x ∂t 2 ∂x Po dosazení a vydělení výrazem S ⋅ ΔA ⋅ ρ ⋅ g :

z

K141 HY3V (VM)

1 ∂p ∂z 1 ∂V 1 ∂V 2 + + iE + + =0 g ∂t 2 g ∂x ρ ⋅ g ∂x ∂x


24

POMALU SE MĚNÍCÍ PROUDĚNÍ: Bernoulliho rovnice 1 ∂p ∂z 1 ∂V 1 ∂V 2 =0 + + + iE + g ∂t 2 g ∂x ρ ⋅ g ∂x ∂x

Integrace podle x mezi profily 1 a 2: 2 ⎛ 1 ∂p ∂z 1 ∂V 1 ∂V 2 ⎞ ∫x ⎜⎜⎝ ρ ⋅ g ∂x + ∂x + iE + g ∂t + 2 g ∂x ⎟⎟⎠dx = x∫ 0dx 1 1

x2

1 ρ⋅g

x

2 2 ∂p ∂z 1 dx + dx + i dx + ∫ ∂x x∫ ∂x x∫ E g x1 1 1

x2

x

x

∂V 1 dx + ∫ ∂t 2g x1

x2

2 ∂V 2 ∫x ∂x dx = x∫ 0dx 1 1

x2

x

x2

kde

∫i

E

dx = Zt

x1

p1 V1 p2 V2 1 2 ⎛ ∂V ⎞ + z1 + = + z2 + + Zt + ∫ ⎜ ⎟dx g x1 ⎝ ∂t ⎠ ρ⋅g 2g ρ ⋅ g 2g 2

2

x

Jediná změna oproti ustálenému proudění – vliv setrvačnosti kapaliny. K141 HY3V (VM)


25

KVAZIUSTÁLENÉ PROUDĚNÍ: Proudění se mění velmi pomalu – lokální složka zrychlení je tak malá, že ji lze v každém čase zanedbat – výpočet jako při ustáleném proudění:

p1 V1 p2 V2 1 2 ⎛ ∂V ⎞ + z1 + = + z2 + + Zt + ∫ ⎜ ⎟dx g x1 ⎝ ∂t ⎠ ρ⋅g 2g ρ ⋅ g 2g 2

x

2

2

2

p1 V1 p2 V2 + z1 + = + z2 + + Zt 2g ρ ⋅ g 2g ρ⋅g

K141 HY3V (VM)


26

POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ:

Velké časové měřítko:

Na nádrž, navazuje potrubí na konci s uzávěrem.

Počáteční stav: uzávěr uzavřen, voda potrubím neproudí. Úloha: jakým průtokem bude vytékat voda z nádrže po náhlém otevření uzávěru? K141 HY3V (VM)

-nádrž se postupně prázdní, průtok klesá -všechny přístupy stejný výsledek

Průběh těsně po otevření uzávěru:

-voda se postupně dává do pohybu

obyčejná Bernoulliho rovnice Bernoulliho rovnice pro neustálené proudění hydraulický ráz


27

K141 HY3V (VM) Neustálené proudění v potrubích

Recommend Documents