Textilní zkušebnictví II Jiří Militky Škály měření Nepřímá měření Teorie měření Kalibrace
Základní pojmy I PRAVDĚPODOBNOST Jev A, byl sledován v m pokusech. Nastal celkem ma krát. Relativní četnost výskytu je
mA fA = m Klasická definice pravděpodobnosti: „pro m→∞ je fA = P(A) pravděpodobnost výskytu jevu A“.Platí pro statisticky stabilní jevy, kdy pro m→∞ konverguje fA ke konstantě P(A).
Základní pojmy II
Diskrétní náhodná proměnná: nabývá pouze jistých hodnot xi = 0, 1, 2, ... K. Pravděpodobnostní funkce P( X = i ) udává pravděpodobnost s jakou X nabývá hodnoty právě xi. Nechť ni je počet realizací při hodnotě "xi" a N je celkový počet realizací. Pak P( X = i) ≈
F(x)
ni N
Pi
(o) ′
∫ (o)
Platí, že ΣP(X=i)= 1 1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
Základní pojmy III
Spojitá náhodná proměnná: nabývá libovolné hodnoty x z definičního intervalu. P(x ≤ X ≤ x + dx) ≈ f(x) dx F(x)
f(x)
Tedy pro spojité náhodné veličiny P(X=x) = 0
(o) ′
P
∫ (o) x
dx
Hustota pravděpodobnosti f(x) není pravděpodobnost, ale platí pro ní f ( x) = P( x ≤ X ≤ x + dx) dx
Normalizační podmínka ∫ f(x) dx = 1
x
Základní pojmy IV Hustota pravděpodobnosti f(x) (probability density function) Vlastnosti f(x): 1. kladná f(x) ≥0 2. normalizovaná ∫ f(x) dx = 1 Distribuční funkce F(x) (cumulative density function). Vlastnosti F(x): 1. Ohraničená zdola F(-∞) = 0, a shora F(∞ ) = 1 2. Neklesající F(x+dx) ≥ F(x) 3. P(X ≤ x) = F(x) Platí, že P(x1 ≤X < x2) = F(x2) - F(x1)
Základní pojmy IV Q( u)
Kvantilová funkce Q(u) pro 0≤u<1.
F( x) = ∫ f ( x)dx −∞
xα ) = α Q(α) = ~ xα označení α-kvantil . Platí, že P(X < ~ ~ xα = Q(u) = F-1(x). Kvantilová funkce je inverzní k distribuční f(x)
F(x) 1
Q(u)
~ xα α
α ~ xα
x
~ xα
x
x
1
u
∞
M K = ∫ x K f ( x)dx −∞
N ∞ = 1 ∑ x K C = ∫ ( x − M ) K f ( x)dx M K i K 1 N i =1 −∞
N )K = 1 ∑ (x − M C K i 1 N i =1
Základní pojmy V Speciální momenty: Střední hodnota (matematické očekávání) M1 = E(X) = μ První centrální moment C1 = 0 Rozptyl C2 = D(X) = σ2 Vlastnosti střední hodnoty: E(X) ≡ M1(μ) E(A∗X ± B) = A∗.E(X) ± B Konstanty A, B Vlastnosti rozptylu: D(X) = C2 = σ2
D(X) = E((X - E(X))2 = E(X2 - 2 ∗ X ∗ E(X) + E(X)2) = E(X2) - E(X)2
Konstanty A, B
D(A∗X ± B) = A 2 ∗D(X)
Autokorelace ε i = ρ * ε i−1 + ui
D (u ) = σ
2
σ2 D( x) = 1− ρ2
Modely měření I
Heteroskedasticita x = μ +ε Aditivní model 2 dh x ( ) ⎡ ⎤ kde μ skutečná hodnota a ε je náhodná D(h( x)) = *σ 2 ⎢ ⎥ chyba s rozdělením f (ε ) ⎣ dx ⎦ h(x)=ln(x) Předpoklady o chybách: 2 ⎛σ ⎞ · střední hodnota je nulová, E (ε ) = 0 D ( h( x)) = ⎜ ⎟ = δ 2 2 · rozptyl je konstantní D(ε ) = σ ⎝x⎠ · chyby jsou vzájemně nezávislé E (ε i * ε j ) = 0 δ….. variační · chyby mají normální rozdělení ε ≈ N (0, σ 2 ) koeficient Pokud tyto předpoklady o chybách platí, že výsledky měření mají normální rozdělení.
x ≈ N (μ , σ 2 )
Modely měření II Multiplikativní model x = μ * exp(ε ) ln(x) = ln(μ ) + ε kde předpoklady o náhodných chybách ε jsou stejné jako pro adivní model ln( x) ≈ N (ν , τ 2 ) má výsledek měření x Pokud platí, že lognormální rozdělení s parametry μ = exp( ν + τ 2 / 2 ) σ = μ 2 (exp(τ 2 ) − 1)
Geometrický průměr
μ G = exp( E (ln( x))) = exp(ν )
P ( x ≤ μ G ) = P ( x ≤ exp(ν )) = P (ln( x) ≤ ν ) = 0.5
med ( x ) = exp(ν ) = μ G
Šikmost 0.35 a vyšší ukazuje na nutnost použít tří parametrový model s prahovou hodnotou A A =
x (1) * x ( n ) − ~ x 02.5 x (1) + x ( n ) − 2 * ~ x 0.5
Multiplikativní model -analýza 1 νˆ = N 2
Odhady parametrů 1 N τˆ = ∑ (ln xi − νˆ) N − 1 i =1 Rozptyly
N
∑ ln x μˆ = exp(νˆ + τˆ 2 / 2) i =1
i
μ2 D( μˆ ) = N [exp(τ 2 ) − 1]
D ( μˆ G ) = E ( μˆ G ) 2 [exp(τ 2 / N ) − 1] E ( μˆ G ) = exp(ν + τ 2 / 2 N )
Logaritmická transformace aditivních dat
ln( x) = ln( μ + ε ) = ln μ + ln(1 + ε / μ )
δ =σ /μ
ln( x) ≈ ln( μ + ε ) = ln μ + ε / μ − 0.5 * (ε / μ ) 2 + (ε / μ ) 3 / 3 − (ε / μ ) 4 / 4...
E (ln x) = ln μ − 0.5 * δ 2 − 0.75 * δ 4 D (ln x) = δ 2 + 2.5 * δ 4 + 4.66 * δ 6 + 6 * δ 8
Přesnost a správnost měření
přesná a nesprávná
nepřesná a nesprávná
nepřesná a správná
přesná a správná
Vybočující hodnoty
Momentová metoda: pro vybočující hodnoty xj platí x * − x j ≥ Kc . s *
[
]
Kc = 155 . + 0.8. g2 * −1.log( N / 10 )
x * , s* ..…odhady vypočtené z „čistých“ dat.
g2*...… …… odhad šikmosti z „čistých“ dat Normalní rozdělení Rovnoměrné rozdělení Laplaceovo rozdělení
g2 = 3 Kc = 1.89 g2 = 1.8 Kc = 1.77 Kc = 2.09 g2 = 6
g2 * =
N . ∑ ( xi − x ) 4
[∑ ( x
i
− x )2
]
2
Binomické rozdělení Binomické rozdělení B(N,p)) Binomické rozdělení má náhodná veličina X vyjadřující počet výskytu jevu A (příznivý výsledek) v N nezávislých pokusech. Pravděpodobnost výskytu jevu A (příznivý výsledek) v jednom pokusu je p a jevu A (nepříznivý výsledek) je q = 1 - p. Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce
⎛ N⎞ P( x = i) = ⎜ ⎟ * p X * (1 − p) N − x ⎝ x⎠
x ⎛ N⎞ F( x) = ∑ ⎜ ⎟ * p i * (1 − p) N − i i = 0⎝ i ⎠
Střední hodnota: E(X) = N ∗p Rozptyl: D(X) = N∗p∗(1 - p)
xp je počet příznivých jevů v nezávislých pokusech
xp p= N
Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení Po(λ) má náhodná veličina X, která je rovna počtu jevů v daném časovém nebo prostorovém intervalu x −λ / x! Pravděpodobnostní funkce P( xx = i) = λ * e F ( x ) = ∑ λi * e − λ / i! Distribuční funkce i= 0 Střední hodnota E(X) =λ Rozptyl D(X) =λ
λ=x
kde x je aritmetický průměr počtu jevů v daném časovém nebo prostorovém intervalu
Normované normální rozdělení U→N(0,1) P( -1.65 ≤ U ≤ 1.65 ) = 0.90 f(2) = 0.05 P( -1.98 ≤ U ≤ 1.98 ) = 0.95 f(3) = 0.04 P( -3 ≤ U ≤ 3 ) = 0.9973 f(4) = 0.00013
Normální rozdělení
Normální rozdělení N((μ, σ2): f ( x) =
Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce F( x) = Φ( x − μ ) σ Střední hodnota: Rozptyl: Šikmost: Špičatost:
μ = x
E(X) =μ D(X) = σ2 g1 = 0 g2 = 3
x = Σxi /N
σ 2 =
Φ( x) =
2 2 1 e ( x − μ ) / 2σ 2*π x 2
−y 1 ∫ exp( 2 )dy 2 * π −∞
0,68 0.025 N
-2
0,025 -1
1 2 ∑ ( x i − x) N − 1 i =1
0
1
2
Matematická statistika Populace X vzorkování Výběr {xi} i=1,...N f ( x), μ , σ 2 , g 1 , g 2 f(x, μ, σ2, g1, g2) Symbol "∧" označuje odhady parametrů nebo hustoty pravděpodobnosti z dat. Bodové odhady Parametr a, odhad a je náhodná proměnná. Vychýlení odhadu b = a − E(a ) Pokud je b = 0 jde o nevychýlený odhad. Rozptyl odhadu D(a ) je charakterizací "přesnosti odhadu"
Normální rozdělení Parametr μ odhad x rozptyl Parametr
σ2
odhad
σ2 D( x ) = N 2 * σ4 D( s ) = N
2
2
s rozptyl
μ
Intervalové odhady
X
X −d
X +d
P( L1 ≤ a ≤ L 2 ) = 1 − α
"IS": interval obsahující se zadanou pravděpodobností (1-α) parametr a.
(1 - α) koeficient konfidence, statistická jistota (0.99, 0.95) α hladina významnosti (α = 0.01, 0.05) f () a
f () a Jednostr.
α L1→ - ∞
a
L2
Oboustr. α/2
α/2 L1
aL2
větší N → užší IS větší σ2 → širší IS větší α → užší IS
Platí pouze pro normální rozdělení !
Konstrukce IS data xi ... N(μ, σ2) t = ( x − μ ) / s. N
Studentovo rozdělení, d.f. = N - 1
χ 2 = ( N − 1). s2 / σ 2
Chí-kvadrát rozdělení, d.f. = N - 1
P( − t 1−α/2 ≤ ( x − μ) / s. N ≤ t 1−α/2 ) = 1 − α
x − t 1−α/2 . s / N ≤ μ ≤ x + t 1−α/2 . s / N f(t)
v=100 v=5 v=2
f (a)
α/2
α/2 -t1-α/2
−3
−2
−1
0
1
2
3
t
Interpretace IS 95% interval spolehlivosti.
správná interpretace “95% confidence” se týká četnosti jevu A Jev A:
X − 1.96 ⋅ σ / n < μ < X + 1.96 ⋅ σ / n
P(A) = 0.95 Î 95% všech intervalů spolehlivosti obsahuje µ.
0
t1-α/2
Testování hypotéz I Hypotéza: předpoklad o rozdělení a jeho parametrech (H) Testování: rozhodnutí o H na základě informací z výběru H0: základní (bázová) hypotéza HA: alternativní (přijatá, když nelze přijmout H0) Testovací statistika: T(x1,...xn) → f(T) Ha: μ > μ0 A
H 0: μ = μ0
H0 (α = 0.05)
Ha: μ ≠ μ0 A
C
HA
C
α = 0.05
C
Testování hypotéz II
Chyba prvního druhu [α]: H0 platí, ale nebyla testem přijata Chyba druhého druhu [β]: H0 neplatí, ale byla testem přijata
f(T)
A
R
T
1-α
α
F
β
1-β
H0 HA β
α
HA
Test o střední hodnotě σ2 : neznámé Nulová hypotéza: H 0 : μ = μ 0 Testová statistika:
t=
x − μ0 s/ n
• Alternativní Hypotéza Oblast zamítnutí t ≥ tα , n −1 H a : μ > μ0 t ≤ −tα , n −1 H a : μ < μ0 H a : μ ≠ μ0 either t ≥ tα / 2, n −1 or t ≤ −tα / 2, n −1
Testy
Normální data
4%
11%
6%
Škály měření:
6% 9%
6%
A. Nominální ( jmenná) B. Ordinální ( pořadová) C. Kardinální ( číselná)
7%
11%
6%
10% 7%
8%
Uspořádání dle množství informací o měřených znacích. Škála vyššího typu zahrnuje škály předcházející.
9%
14
12
10
8
6
4
2
0 1
Nominální škála Nejslabší typ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
a1 ..... a2 . . . a k počty prvků 0 ..... 1 . . . K kategorie n1 n2 n k absolutní četnosti
∑ ni = N
Operace: určení různosti resp. rovnosti (≠ =) a1 = a2 a1 ≠ a2 Relativní četnosti n n nk f1 = 1 f2 = 2 f = k N N N Rozložení souboru na disjunktní části, mezi kterými nejsou žádné relace. Třídy (části) mohou být libovolně pojmenovány. (Čísla = jména). Vhodné pouze pro klasifikaci objektů. Požadavky:· jednoznačnost zařazení, existence, rozlišitelnost
Relativní četnost f - odhad pravděpodobnosti p Interval spolehlivosti
f i ± u1−α / 2 *
f i (1 − f i ) / N
66 výrobků: pravděpodobnost nevyhovujícího 0.15 p ± u1−α / 2 * p (1 − p ) / N
Zpracování dat
u1-α/2 = 1,98~ 2
Simulated Data: p=0.15
Testy pravděpodobnosti (podílů) 160 Nulová hypotéza: H 0 : p = p0 140
pˆ −výběrových p0 95% of podílů leží pv0 (tomto 1 − p0 ) / nintervalu. p = 015 .
120 Testová statistika : z = 100
80 • Alternativní Hypotézy
0.9697
0.9091
0.8485
0.7879
np0 ≥ 10 Proportion of Successes
0.7273
0.6667
0.6061
a musí platit
0.5455
0.4848
0.4242
either z ≥ zα / 2 or z ≤ − zα / 2
0.3636
Jde o binomické rozdělení
0.3030
0.2424
H a : p ≠ p0
0
0
H a : p < p0 0.1818
20
z ≥ zα 015 . (1 − 015 . ) = 0.044 66 z ≤ − zα
H a : p > p0 0.1212
40
0.0606
60
n = 66
Oblast nepřijetí
and n(1 − p0 ) ≥ 10.
Relativní četnost f - odhad pravděpodobnosti p
Zpracování dat Testy pravděpodobnosti (podílů) Nulová hypotéza: H 0 : p = p0 Testová statistika : z = • Alternativní Hypotézy
pˆ − p0 p0 (1 − p0 ) / n
Oblast nepřijetí
H a : p > p0
z ≥ zα
H a : p < p0
z ≤ − zα
H a : p ≠ p0 Jde o binomické rozdělení
either z ≥ zα / 2 or z ≤ − zα / 2
a musí platit
np0 ≥ 10 and n(1 − p0 ) ≥ 10.
Ordinální škála
a1 ..... a2 . . . a k počty prvků 0 ..... 1 . . . k kategorie n1 n2 n k absolutní četnosti
a) Určení různosti a nerovnosti ≠ = ∑ ni = N b) Určení vztahu větší/menší > < j kumulativní četnosti Fj = ∑ f j F1 = f 1 F2 = f 1 + f 2 Fk = 1 i =1 Příklad: stupnice jakosti Dohoda: od nejslabšího k nejlepšímu. Nevyhovující 0 Obecně bodování nebo Podprůměrná 1 známkování Stálosti ( 1 - 5 ) Průměrná 2 Světlo ( 1 - 8 ) Dobrá 3 Vzhled ( 1 - 5 ) Vynikající 4
A B C D E
Charakterizace rozdělení Poloha: 1. Mediánová kategorie ( kategorie, kde je 50 % dat) ME .... [FME - 1 < 0.5 ; FME ≥ 0.5] 2. Medián ordinálního znaku
F − 0.5 ~ x0.5 = Me + 0.5 − Me fMe
c
Kde c je část dat mediánové kategorie zařazených k horní polovině
Vlastnosti ordinálního mediánu 1≤ ~ x0.5 ≤ K ~ x0.5 = 1 ⇒ f 1 = 1
~ x0.5 = K ⇒ f k = 1 ~ x0.5 = Me ⇒
Me −1
K
i =1
i = Me +1
∑ fi = ∑ fi
~
Hodnota x 0 .5 ukazuje posun 50 %-ního dělícího bodu, čím je vyšší, tím se data koncentrují ve vyšších kategoriích.
Charakterizace rozdělení
Variabilita: Diskrétní ordinální variace dorvar
K ⎡K ⎤ dor var = 2.∑ Fi .(1 − Fi ) = 2. ⎢∑ Fi − ∑ Fi 2 ⎥ i =1 i =1 ⎣ i =1 ⎦ Vlastnosti K
0 ≤ dor var ≤ ( K − 1 ) / 2
dor var = 0 dor var = ( K − 1 ) / 2
fi =1 f 1 = f K = 0.5 pro případ, že
pro případ, že
Čím více jsou rozptýlená data, tím je dorvar větší
Interval spolehlivosti pro populační medián Med (
Kumulativní četnosti
FD* , FH* =2
) (
)
FD* , FH* = 0.5 ±
N ≥ 30
0.5. Z1−α n
Pro α = 0.05 Z1−α Určení kategorie D, kde leží FD* Určení kategorie H, kde leží FH*
Výpočet korekcí FD* − FD−1 d= fD
FH* − FH −1 h= f DH
S M = D − 0.5 + d Interval spolehlivosti
FD* = 0.5 −
0.5.2 = 0.4 100
H M = H − 0.5 + h
S M ≤ Med ≤ H M
FH* = 0.5 +
Příklad
d=
0 .5 . 2 = 0.6 100
D= H=4
0.4 − 0.32 = 017 . 0.48
h=
0.6 − 0.32 = 0.583 0.48
Subjektivní hodnocení omaku textilie (100 dívek) S M = 4 − 0.5 + 0.17 = 3.67
H M = 4 − 0.5 + 0.583 = 4.083
třída
ni
fi
Fi
Nevyhovující
1
2
0.02
0.02
Podprůměrný
2
5
0.05
0.07
Průměrný
3
25
0.25
0.32
Dobrý
4
48
0.48
0.80
Vynikající
5
Medián:
Me = 4
20 0.2 1 0.5 − 0.32 ~ x0.5 = 4 − 0.5 + = 38 . 3.67 ≤ Med ≤ 4.083 0.48
Znaménková a preferenční data Tři stavy
Zhoršení n-, f-
Asymetrie přirozená
Neutrální 0 n0, f0
A* = 1 případ f + = 1 A* = -1 případ f - = 1 A* = 0 případ f + = f -
Zlepšení + n+, f+
Asymetrie vzhledem ke krajům A = 1 případ f - = 0 A = -1 případ f + = 0 A = 0 případ f - = f + A > 0 převaha + A < 0 převaha -
A* > 0 převaha + A* < 0 převaha -
A=
A* = f + − f −
f+ − f− f+ + f−
( N > 30; n -, n + > 5)
Interval spolehlivosti pro A
Neparametrický postup AD = tgh( a D ) a D = a − Z1−α / 2 . sa
1 ⎛f ⎞ a = ln⎜ + ⎟ 2 ⎝ f− ⎠
P( AD < A < AH ) = 1 − α
AH = tgh( a H )
a H = a + Z1−α / 2 . sa
sA =
1 1 1 + 2 n+ n−
AD < A < AH
Příklad
Vliv změny střihu na pocity při nošení u 48 respondentů. n f A=
+ 17 0,354
0 21 0,438
10 0,208
0.354 − 0.208 = 0.2598 0.354 + 0.208
a D = 0.265 − 2. 0.199 = −0133 . AD = tgh( −0.133 ) = −0.132
−0132 . < A < 0.58
1 ⎛ 0.354 ⎞ a = .ln⎜ ⎟ = 0.265 ⎝ 2 0.208 ⎠ 1 1 1 sA − . + = 0.199 2 17 10
a H = 0.265 + 2. 0199 . = 0.663 AH = tgh( 0.663 ) = 0.58
Nedošlo k výraznému zlepšení!
1.4 1.35 1.3 1.25
Kardinální škála
1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Nejsilnější typ (číselná proměnná) - metrika. Jsou přípustné aritmetrické operace.
Intervalová škála Určená s přesností do lineární transformace Y=c.x+b. Příklad: měření teploty. Poměrová škála má přirozený pořádek (b = 0) a je určena s přesností do proporcionální transformace Y = a.x Příklad: fyzikální měření (délka, hmotnost, pevnost,...) Většina užitných vlastností je v kardinálních škálách.
Zpracování dat
Nekategorizovaná data {xi} i = 1, . . . N je náhodný výběr složený z nezávislých prvků homogenní normálně rozdělený Ověření těchto předpokladů (viz ZED) Normalita: Q - Q grafy, vynáší se x(i) proti uPi, Pi = i/(N+1) Vybočující hodnoty: metoda barier (viz ZED)
1 normální 2 zešikmení vlevo 3 zešikmení vpravo 4 dlouhé konce 5 krátké konce
Rankitové grafy
i
Pi = x(i ) = T + S Q TS ( Pi ) x(1) < x(2) < ... < x(N) N +1 Rankitové grafy QTS(Pi) = uPi kvantily normovaného normálního rozdělení. Aproximace
u Pi
− 9,4 * ln(1 / Pi − 1) = ln(1 / Pi − 1) + 14 3
x(i)
1
Pi = x(i)
1 2π
u Pi
∫ exp( − x
−∞
2
/ 2) dx
5 4
2
uPi
uPi
Odhady parametrů
Poloha:
Rozptýlení:
průměr ~ x medián x 0 .5
Variační koeficient
rozptyl s2 směrodatná odchylka s
v = s / x .100 2
Pro případ normálního rozdělení dat xi ~ N ( μ , σ ) π .σ 2 σ2 ~ D( x0.5 ) = D( x ) = 2. N 2 N
2 .σ 4 D( s ) = N −1
D( s ) =
2
⎡ N + δ 2 .( 2. N + 1 ) ⎤ D( v ) = δ . ⎢ ⎥ ⎣ 2. N .( N + 1 ) ⎦ 2
σ 2.( N − 1 )
populační medián
δ=
μ σ
Klasická analýza x s2 a 100. (1 - α) % má interval spolehlivosti střední
hodnoty
x − t1−α / 2 ( N − 1 ).
s s ≤ μ ≤ x + t1−α / 2 ( N − 1 ). N N
Variační koeficient v [%] a interval spolehlivosti pro δ asymptoticky v v − Z1−α / 2 . D( v ) ≤ δ ≤ + Z1−α / 2 . D( v ) 100 100
Účelem je odhad střední hodnoty měřeného parametru a jeho nepřesnost
Robustní analýza x 0 .5 , robustní odhad rozptylu sR2 a interval Medián ~ spolehlivosti pro populační medián Med x − x( k ) N +1 k= − Z1−α / 2 . N / 4 sR = ( N − k +1 ) 2 2. Z1−α / 2 Obyčejně se volí α = 0.05 ( u interval spolehlivosti je
1 - α/.2
= 1.96). Pro
~ x0.5 − t1−α / 2 ( N − 1 ). sR ≤ Med ≤ ~ x0 .5 + t1−α / 2 ( N − 1 ). sR
Extrémně malé výběry
(N ≤ 20)
Vždy vysoká nejistota → velký vliv vybočujících měření. N = 2 1. Určí se x z {x1, x2} x +x
x −x
x +x
x −x
2 2 1 2 2 − 12.7 1 ≤μ≤ 1 + 12.7 1 2. 95 %-ní IS 2 2 2 2 Obecně se místo koeficientu 12.7 dává koeficient závislý na typu rozdělení
N = 3 1. Určí se odhad x * (průměr ze dvou nejbližších hodnot) 2. 95 %-ní IS pro μ je
x * −4.3
s s ≤ μ ≤ x * +4.3 3 3
Extrémně malé výběry
(N >4)
Hornův postup: (pro malé výběry ) {xi}i-1,2,...N Pořádkové statistiky {x(i)} {1,3,2,6,1.5} {1,1.5,2,3,6} int[(( N + 1 ) / 2 ) + 1] Hloubka pivotů: int[( N + 1 ) / 2] H= H=
2
Dolní pivot: x D = x (H) Horní pivot: x U = x ( N + 1 -H ) x D + xU 2 R L = xU − x D
Poloha
PL =
2
Kvantily K0.975(N) pro různá N N 4 5 10 15
K0.975(N) 0.738 2.094 0.668 0.466
Rozptýlení 95%-ní IS střední hodnoty PL − R L . K0.975 ( N ) ≤ μ ≤ PL + R L . K0.975 ( N )
Příklad
Měření pevnosti ba vláken.
{xi } i = 1, . . . 5
{0.531, 0.677, 0.171, 0.065, 0.848}
{x(i) } . . . . . .
{0.065, 0.171, 0.531, 0.677, 0.848}
N +1 =3 2
⇒
N +1 +1= 4 2
⇒
H =
4 = 2 2
xU = x( 6− 2 ) = 0.667
x D = x( 2 ) = 0.171
PL =
0171 . + 0.667 = 0.424 2
RL = 0.667 − 0.171 = 0.506
L = 0.424 − 2.094 .0.506 = −1332 .
U = 0.424 + 2.094.0.506 = 2.18
K0.975 ( 5 ) = 2.094
− 1.332 ≤ μ ≤ 2.18
Kategorizovaná data
Vznikají tříděním číselných údajů do intervalů, které jsou třídami nového znaku. Jednotlivým třídám přiřazujeme číselné hodnoty x j (střed intervalu,....). Diskrétní, kardinální, četností kategorizace, pseudo kategorizace. Třída
Délka vláken N = 250
xj
nj
fj
Fj
21 - 23
22
50
0.2
0.2
23 - 25
24
80
0.32
0.52
25 - 27
26
72
0.288
0.808
27 - 29
28
48
0.192
1
Třídy • •
přirozené číselné vyjádření (počet vad) sloučení údajů K < K′
A = {a1 ,a2 ,...a K ′ } ⇒ x = { x1 , x2 ,... x K } n1
Sloučení údajů:
n2 H1
xi* průměr
Di , Hi
D1
x1 *
třídní interval
D2
n3 H2
x2 *
D3
x3 *
D3
xi * = Di + ( Hi − Di ) / 2 = ( Di + Hi ) / 2 délka třídy
Δxi = Hi − Di
f(x)
Volba kategorizace
Parametry:
stejné plochy
delší
D1 , K ,Δxi
kratší
kratší
delší
x
D1 + K . Δx > x( N ) 0 < x( 1 ) − D1 ≤ Δx
[
]
0 ≤ k . Δx − x N − x( 1 ) ≤ Δx
Nekonstatní délka tříd
N > 100
K = int[10.log( N )]
40 ≤ N ≤ 100
K = int 2. N
[
Ekvi pravděpodobnostní princip.
]
N < 100
K = int[1 + 144 . .ln( N )]
Universálně
K = int 2.64 .( N − 1 )0.4
[
]
Geometrický průměr: (kladná data → velký rozsah)
Charakteristiky G = ∏ ( x *) polohy K
j
j =1
fj
⎤ ⎡C = exp ⎢∑ f i .ln( xi *)⎥ ⎦ ⎣ i =1
Me . . . mediánová kategorie a) Konstantní Δx F − 0 .5 ~ Medián x0 .5 = x Me + Δx / 2 − Δx . Me l b) obecně: F − 0.5 ~ x0.5 = x Me − Δx Me .
Medián Aritmetický průměr: x = x1 * → f 1 = 1 x = xK * → f K = 1
Me
f 0.5
1 K x = ∑ f i . xi * = ∑ ni . xi * N i =1 i =1 K
∑ ( xi − A )2
→ min
pro
A= x
Směrodatná odchylka
s= s = 2
K
∑ ( f i . xi * 2 − x 2 ) i =1
Charakteristiky rozptýlení K
Dorvar Rozptyl
Dor var = 2 . Δ x . ∑ Fi .( 1 − Fi ) i =1 2
K
K
s = ∑ f i .( xi * − x ) = ∑ ( f i . xi * 2 − x 2 ) 2
i =1
i =1
Vlastnosti: 1. s2 = 0 ........všechna data v jedné třídě f i = 1 2. Maximálně smax2 = ( xK* - x1*) / 4 ⇒ f1 = fK = 0.5 3. Čím větší s2 tím více se data vzdalují od x .
Charakteristiky asymetrie Špičatost
As
f i .( xi * − x )3 ∑ = s. s 2
As > 0
f(x)
As = 0 symetrie As > 0 zešikmené vpravo As < 0 zešikmené vlevo
x
f(x)
As < 0
x
1 d f ( x) 1 d2 f ( x ) 1 dn f ( x ) 2 n f ( x) ≈ f ( x ) + . (x − x)+ . ( − ) + .. + . ( − ) x x x x 1! d x 2! d x2 n! d xn
Nepřímá měření Měření {xi }i = 1, . . . N, x sx2 Výsledek y = f (x) průměr-plocha „f ( . ) “ne-lineární známá funkce Odhad y , sy2 . .. . . . . . . Taylorův rozvoj : v okolí x d f (x) 1 d2 f (x) E ( x − x ) + . E( x − x
)2 2
dx 2 dx 0 s2x
2 1 d f (x) 2 D ( f ( x ) − f ( x ) ) ≡ s2y ≈ D y ≈ f (x) + . . s x 2 d x2 E( f (x)) ≡ y ≈ f (x) +
⎡ d f ( x) ⎤ ⎢ d x . ( x − x) ⎥ ⎣ ⎦
2 ⎛ d f ( x) ⎞ 2 ⎜ ⎟ . sx ⎝ dx ⎠
2 ⎛ d f ( x) ⎞ 2 s2y ≈ ⎜ ⎟ . sx ⎝ dx ⎠
Příklad Měříme poloměr ri (i = 1, ..., N) a máme určit plochu příčného řezu ze znalosti , r sr A = π .r
2
Ap = π .r 2 + π .sr2 = π .(r 2 + sr2 ) s ≈ 4. π . r . s 2 y
2
2
2 x
variační koeficient
v=
sx x
Ap = π .r 2 .(1 + v 2 )
Obecně D( x ) = E ( x 2 ) − E ( x )2 E ( x 2 ) = D( x ) + E ( x )2
přesné měření v ≈ 01 . → S = 101 . . π.r 2 nepřesné měření v ≈ 0.5 → S = 125 . . π.r 2
Případ více proměnných Měření
x1 , sx21 , ... xm , sm2
Vektor průměrů
známe
x = ( x1 , x2 , ..., xm )
f ( x1 , ..., xm )
∂f ( x ) 1 m ∂2 f ( x ) f (x)≈ f (x)+ ∑ ( xi − xi ) + ∑ ( xi − xi ) + ∂x i 2 i =1 ∂x i2 i =1 m
m −1 m
+ ∑∑ i =1 j > i
∂2 f ( x ) ( x i − x i )( x j − x j )+ ......... ∂x i ∂x j
1 ∂ 2 f ( x ) 2 m−1 m ∂ 2 f ( x ) y ≈ f (x)+ ∑ . sxi + ∑ ∑ cov( xi , x j ) 2 i =1 ∂xi2 i =1 j >i ∂xi ∂x j m
s2y
2
m − 1 m ∂f ( x) ∂f ( x) m − 1 m ∂ 2 f ( x) ⎡ ∂f ( x) ⎤ 2 . .cov( x i , x j ) + ∑ ∑ . s2x i . s2x j ≈ ∑⎢ s x i + 2. ∑ ∑ ⎥ ∂x j i = 1⎣ ∂x i ⎦ i = 1 j > i ∂x i i = 1 j > i ∂x ∂x j i
m
běžně se zanedbává
Příklad Měření hmotností gi a délek Li vláken. Účelem je výpočet jemnosti T při znalosti: g , sg2 , L , s L2 Měření jsou nekorelovaná cov (g,L) = 0
g g 2 g T ≈ + 3 .sL = .(1+ vL2 ) L L L Střední hodnota jemnosti souvisí pouze s přesností měření délky
Transformace ⎡ dg ( x) ⎤ σ ( y) ≈ ⎢ dat ⎣ dx ⎥⎦
2 Rozptyl měření σ ( x) = f1 ( x) Transformace y = g(x) 2
2
1.0
Potřeba: Stabilizace rozptylu Symetrie rozdělení Přiblížení k normalitě
0.5
0.0 x’ -0.5
-1.0
•• • •• • •••• ••• ••• •••• •• • ••• • •• • • •• ••• ••••• • • •
g ( x) ≈ c * ∫
f 1 ( x) = konst.
dx f1 ( x)
UCL' F-1(x) mean(x')
F[mean(x')]
F(UCL')
mean(x)
• • • Předpoklad: ne-konstantní -1.5 • • • •• • ••• •••• •••• • •••• •••••• •••• • •••• • ••• • • rozptyl, zešikmené 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x rozdělení a ne normalita Konstantní relativní chyba měřění jsou důsledkem nelineární δ = σ / x σ 2 = δ 2 x 2 f 1 (x) = x 2 transformace x = F(y) dx původně normálních dat. g ( x) = c * = ln( x )
∫
x
Optimální je log transformace
Mocninná transformace Pokud x mělo symetrické rozdělení s konstantním rozptylem σx2,je rozdělení y = f ( x ) = x P nesymetrické s nekonstantním rozptylem. 2 ⎛ ∂x P ⎞ 2 2 2 2 .( P −1 ) 2
σy ≈ ⎜ ⎟ .σ x = P . x ⎝ ∂x ⎠ P.( P − 1 ) P −2 2 P.( P − 1 ) 2 ⎤ ⎡ . x . sx = x P . ⎢1 + .v ⎥ y ≈ xP + 2 2 ⎣ ⎦ Použití symetrizační transformace:
Z = f ( x )1/ P = y 1/ P Z=
1 . ∑ Zi N
⎡1 ⎤ y = ⎢ .∑ yi1/ P ⎥ ⎣N ⎦
P
.σ x
P = 1 ....aritmetický průměr P = -1 ....harmonický průměr P = 2 ......kvadratický průměr
Výpočty související s jemností I N-tice úseků příze délky L o hmotnostech gi . Úsek N.L má hmotnost g = ∑ gi N .L Cm = g v
Běžný (nesprávný postup) L 1 Cm = ⇒ C mA = gi N v
v
N
v
∑ C mi i =1
[
L 1 L 1 C ma = .∑ = .∑ = C m 1 + vg2 N i g i N .g i 1 + ( gi − g ) / g v
v
]
Výpočty související s jemností II Symetrizační transformace v
C mi ~ g
−1 i
L C mi = gi v
⇒ P = −1
⎤ ⎡1 C mH = ⎢ .∑ 1 / C mi ⎥ ⎦ ⎣N v
v
1
Cm =
−1
gi =
L. N C mH = = = Cm g i ∑ gi 1 .∑ N L v
v
v
L v
C mi
N .L ∑ gi
Výpočty související s jemností III Přepočet jemností:
1000 Cm = T Opět je P = -1
gi ~ gi−1 L
Ti =
v
gi = Ti . L −1
T ⎤ 1000 ⎡1 C mH = ⎢ .∑ i ⎥ = TA 1000 ⎦ ⎣N v
T=∑
Není vhodný aritmetický průměr v
C mA =
T=
1000 −1 Ti ∑ N
aritmetický průměr
Tkalcovská příručka Příze T = 15 tex, úkolem je odhadnout Čm C mA =
1000 1 . ∑ = 75 N Ti
v
C mH = Taylor
v
nesprávně vysoké
1000 = 66.6 15
Cm ≈
[
gi N .L
1 ∑ Ti N
Příklad
v
P=1
rozdíl
]
1000 . 1 + v T2 = 66.9 TA
Teorie měření
Relace vstup výstup
yi = μ + ε i { yi , i = 1,... N } ⇒ y
x
y, s
2
s2 y−μ
y
y
známe y = f(x)
P
měřítko přesnosti měření P měřítko správnosti S
y
y
μ
μ
μ
P-S
NP-S
μ
S0 P-NS
S0 PN-NS
Typy odchylek
Absolutní odchylka Δ i = yi − μ Relativní odchylka δ i = Δ i / yi ( x 100 )
Δ i = Δ S + Δ N i = y − μ + yi − y Obecně: Δ x , Δ y , ρ ... korelační koeficient
δ ≅
(1 − ρ / 3 2
Δ 0 . . systematická odchylka Δ S . . náhodná odchylka
Δ Ni . .„přesnost“ přístroje, limitní
P
Vyjadřuje třídu přesnosti přístroje
Aditivní chyby I
Chyby nulové hodnoty y
interval neurčitosti
Δ
δ δ=
Δ0
Δ0 x
Δ0
x
xL . . . dolní limita pracovního intervalu xU . . . horní limita pracovního intervalu R . . . pracovní rozmezí xu - xL δR Redukovaná relativní odchylka
x
= Δ0 / R
P
Aditivní chyby II
Δ0 x
Práh citlivosti: vstupní hodnota xc, pro kterou je δ = 1 (100%) δ R Δ Δ ( = R δ0 ) xc = R , δ = 0 ⇒ 1 = 0 ⇒ xc = R δ0 x
100
xc
Chceme malé hodnoty δ pro malé x (p ∼ 0.1 (0.05)). Spodní mez pracovního intervalu
δ
x S = Δ 0 / p = xc / p
1 p xc
xs
x
Omezené použití přístrojů ( jen pro velká x)!
P
Multiplikativní chyby
(nekonstatní přesnost) Chyby citlivosti: y
Δ
interval neurčitosti
δ δs
δs . x1
x
x1
x
Třída přesnosti δ S = konst . =
x
P
Δ 0 = δ S . xU
Mezní přesnost
Absolutní odchylka Δ = P . x
Kombinované chyby y
interval neurčitosti
Δ
δ
δs
Δ = Δ0 +δS x
x
x1
x
δ R = δ0 + δS x / R δ 0 =Δ 0 / R Třída přesnosti P1/P2:
x
δ = Δ0 / x +δS
P1 = δ0 , δ = p1 + p2 ( xU / x − 1),
P2 = δS Δ = p1 x + p2 ( xU − x )
Odhady chyb měření I Momentové
Δi ,
i = 1,... N
→ σ Δ
Pro Δ = 0 (střední hodnota chyb E( Δ ) = 0 ) je 1 σΔ = σ , σ = ( xi − x ) 2 Pravděpodobnostní interval N −1 Chyby mají symetrickou hustotu pravděpodobnosti s E( Δ ) = 0 Hustota pravděpodobnosti f ( Δ ) a distribuční funkce F( Δ).
= μ+Δi , f (x) = f (Δ+μ) P = (−kσ ≤ Δ ≤ kσ) = F(kσ)−F(−kσ) = 1−2F(−kσ)
x f(x) i
P -k.σ
0
Pro řadu rozdělení platí, že pro P = 0.9 je k = 1.64!!! k.σ
Odhady chyb měření II K1− q Kvantilové: Interkvantilová odchylka
P . . . statistická jistota σ ΔP = K1− q Mezní chyba měření ~ Střední chyba σΔ05. = (x~075 . − x0.25)/ 2 Pro normální rozdělení (vhodné pro přesná měření). σ Δ 0.5 = 0.68 .σ ~ −~ Pravděpodobná chyba: σ x01585 )/ 2 Δ0.683 = (x08415 . . Pro normální rozdělení
V tomto intervalu leží P = (1-q) . 100% chyb. f(x)
1-q
q/2
~ xq/ 2
= ( x~1− q / 2 − ~ xq / 2 ) / 2
q/2
~ x1−q/ 2
σ Δ 0.683 = σ
Chyba pro neznámé rozdělení: P = 0.9 Pro řadu rozdělení
σ Δ 0.9 = ( x~0.95 − ~ x0.05 ) / 2
σ Δ 0.9 = 165 . σ
Odhady chyb měření III Sčítání dílčích chyb σ Δ 0.9 =
∑
(i )
σ Δ 0.9 i 2
[
H ≈ 1.62 38 . ( g 2 − 16 . )2 / 3
⎡
]
Z
⎛ 1 ⎞⎤
Obecně platí σ Δ P = H σ H = fce ( P , g 2 ) Z = log ⎢log ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ 1 − P ⎣ Šíření chyb měření
σV
2
2
m
= ∑ σ i + 2 ∑ ∑ cov(i , j ) 2
i =1 j >i
(i )
σV =
a) nezávislé chyby
∑ σi
σ i. . . chyba způsobená i-tým zdrojem
2
geometrický průměr
(i )
b) lineárně závislé (cov = σ i σ j )
σ V = ∑ σ i aritmetický průměr (i )
Měřicí přístroje τ2 . . . rozptyl měřicího přístroje σ2 . . . rozptyl měřeného materiálu
f ( y ) = ∫ f * ( x , y ) f ( x ) dx
f ( y ) ≈ N ( μ ,σ + τ ) 2
2
f(x) x
f ( x ) ≈ N ( μ ,σ 2 ) f * ( x , y ) ≈ N ( x ,τ 2 ) f*(x,y)
M
f(y) y
Citlivost měřicích přístrojů y Δy
α
x Δx
b
y
x [jednotky] x* [délka]
my dy Δy tg α S = lim = ≈ Δ x→0 Δ x dx mx
Kombinace prvků x
Sériová
f1
f2
[
]
y = f n f n−1 ,... f 2 [ f 1 ( x )] S =
Paralelní
dy d y1 d y2 d yn = ,... = ∏ Si (i ) dx d x d y1 d yn−1 y1
f1 x
Kompenzační x vazba Σ
.....
f2 ............ fn
x1 x2
f1
y2
y
fn
n
y = ∑ yi i =1
y
Σ
n
S = ∑ Si
yn
i =1
y
y = f 1 [ x − f 2 ( y )], x1 = x − x2 ⎡ dx d y ⎤ S = S1 ⎢1− 2 . ⎥ = S1 [1− S / S2 ] ⎣ d y d x⎦
Kompenzační vazba je případ vážení!
f2
Moduly Přepočet délkových jednotek na fyzikální
mx = xmax
x max − x min x max * − x min *
x = ( x min − mx x min * ) + mx x *
x [J]
Obyčejně x min = x min * = 0
xmin x*min
x*
xmax [d]
⇒
x = m x x * , mx =
x max x max *
Modul mx [J / d] . . . násobení
Porovnání dvou měřicích přístrojů Mějme dva měřicí přístroje a a b pro měření téže veličiny x. O měřené veličině předpokládáme, že má normální rozdělení N(μ, σ2) Přístroj a měří se systematickou chybou (vychýlením ) Ba a chyby měření εa mají normální rozdělení N(μ, σa2) Přístroj b měří se systematickou chybou (vychýlením ) Bb a chyby měření εb mají normální rozdělení N(μ, σb2)
y
a x b
z
Modely měření: Přístroj a y = B + x + ε i a i ai Přístroj b
z i = B b + x i + ε bi
Nekorelované chyby měření cov( ε ai , ε bi ) = cov( ε ai , x i ) = cov( ε bi , x i ) = 0
Pak platí
E ( y) = Ba + μ
E ( z) = B b + μ
D(y) = σ 2 + σ 2a
D(z) = σ 2 + σ 2b
cov( z, y) = E( z * y) − E( z) * E( y) = Ba * Bb + μ * ( Ba + B b ) + E( x 2 ) − − ( Ba − μ ) * ( B b − μ ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) = σ 2
Kovariance mezi výsledky dvou přístrojů je tedy rovna rozptylu měřené veličiny
Zpracování dat Měření na stejných vzorcích (yi ,zi ) i = 1..N. Standardním způsobem lze určit y , z , s 2z , s 2y 1 N c( z, y ) = ∑ (y i − y ) * (z i − z) N − 1 i =1 Odhad variability měřeného materiálu σ2 je σ 2 = c ( z, y) a kovarianci
Rozdíl systematických odchylek Odhad chyby měření pro přístroj a Odhad chyby měření pro přístroj b
−B =y−z B a b
σ 2a = s2y − c ( z, y) σ 2b = s2z − c ( z, y)
Pro odhad střední hodnoty musíme znát alespoň jedno vychýlení nebo předpokládat, že jedno vychýlení je zanedbatelné. Např. Ba = 0. μ = y =z−y B b
Testy I Porovnání přesnosti přístrojů: H 0 :σ 2a = σ 2b tj. oba přístroje jsou stejně přesné Pomocné veličiny u i = y i + z i = Ba + B b + 2 * x i + ε ai + ε bi
u i = y i − z i = Ba − B b + ε ai − ε bi
Snadno se určí, že
D (u ) = 4 * σ 2 + σ a2 + σ b2
D(v) = σ a2 + σ b2
cov( u, v) = σ 2a − σ 2b
Pro korelační koeficient platí, že
ρ( u, v) =
σ 2a − σ 2b 4 * (σ 2 + σ 2a + σ 2b ) * (σ 2a + σ 2b )
Testy II Test hypotézy H 0 :ρ( u, v) = 0 je shodný s testem hypotézy H 0 :σ 2a = σ 2b Za předpokladu normality lze pak použít testovací statistiku ρ ( u, v) * N − 2 T= 1 − ρ 2 ( u, v) Veličina T má za předpokladu platnosti hypotézy Ho Studentovo rozdělení s N - 2 stupni volnosti. Pomocí proměnné v lze testovat hypotézu H 0 : v = 0 , což odpovídá hypotéze o stejném vychýlení obou přístrojů H 0 : Ba = B b S využitím standardního t testu lze dospět ke statistice −B )* N (B v * N a b Tv = = σ v σ a2 + σ 2b − 2 * σ 2
Veličina Tv má za předpokladu platnosti hypotézy H0 Studentovo rozdělení s N - 1 stupni volnosti.
Testy III Test hypotézy, že je jeden z přístrojů přesný . Pro případ hypotézy Pro případ hypotézy tvar
(σ 2a resp. σ 2b = 0)
H 0 :σ 2a = 0 má testovací statistika
σ 2a σ 2b − ( σ 2 ) 2 ] C 0 = − N * ln[ 2 σ a * ( σ 2a + σ 2b − 2 * σ 2
Veličina C0 má za předpokladu platnosti hypotézy H0 rozdělení χ2 s jedním stupněm volnosti (platí, že χ 20.95 = 3.84 )
KALIBRACE Typický problém při nemožnosti přímého měření y . . . nesnadno měřitelná (hledaná) veličina (T - target) Koncentrace, teplota, omak, vlhkost. x . . . snadno měřitelný signál (M measurement ) Elektrické napětí, proud, vzdálenost, ..... .
Postup při kalibraci a) Sestavení kalibračního modelu Kalibrační vzorky ... Nesnadná měření y1 y2 . . .
yn x = f(y)
. . . xn Snadná měření x1 x2 b) Použití kalibračního modelu (výpočet predikce ) y neznámý vzorek y = f-1 (x) známé měření x
Typy kalibrace C - kalibrace ( y . . . deterministické ) xi = f ( yi , a ) + ε x ...σ x 2 (nutná inverze při predikci yce ) I- kalibrace (x . . . deterministické)
yi = f ( xi , b ) + ε y ...σ y 2 (přímá predikce yin ) 0 - kalibrace ( obě proměnné jsou náhodné) yi = f ( xi + ε xi , b ) + ε y ... P = σ y 2 / σ x 2 (je třeba znát poměr rozptylů P) P = 1 ... minimalizace kolmých vzdáleností
Modely působení poruch yi = G ( f ( xi , b), ε y ) aditivní
....
yi = f ( xi , b ) + ε i
multiplikativní . . . . ln yi = ln f ( xi , b) + ε i obecné (mocninné) . . . . yi
(λ )
= f
(λ )
( xi , b ) + ε i
Kalibrační přímka I
Výchozí data ( yi, xi ) i = 1, ..., n Standardní výpočty parametrů x , y , s y 2 , sx 2 , C( x , y ) =
1 n ∑ ( yi − y ) ( xi − x ) n − 1 i =1
C - kalibrace x = a 0 + a1 y + ε x , ε x = N (0,σ x 2 ) MNČ odhad x = x + Predikce y =
C( x, y) (y − y) 2 sy
1 x − a 0 / a1 , a1
a1y =C(x, y)/ sy2 , y ce = y +
sy
a0 = x − a1 y
2
C( x, y)
(x − x)
Kalibrační přímka II I - kalibrace ε y ≈ N (0,σ y 2 )
y = b0 + b1 x + ε y ,
MNČ odhad (přímo predikce ) yin C( x, y) C( x, y) yin = y + x − x = b1 ( ), sx 2 sx 2
σc 2 =
RSC n−2
O - kalibrace
2 2 Pro známé P = C y / σ x
[
]
y 0 = y − Θ + s y (C ( x , y )) Θ 2 + P ( x − x ),
Θ=
s y 2 − P sx 2 2 C( x, y)
Porovnání C a I kalibrace 2s 2 b 1 y Platí, že ( yin − y ) = ( y ce − y ) n − 2 ) + b12 s y 2 σe2 ( n −1 abs ( yin − y ) < abs ( y ce − y ) K<1
je blíže k centru než y ce , b) pro σ c 2 → 0 je K → 1 a , y in = y ce c) I - kalibrace lépe vystihuje chování dat v oblasti centra ( x , y ) a C - kalibrace na krajích , d) pro MSE = E ( y − y ) je I - kalibrace lepší v oblasti a) yin
( y − 2 s y 2 + σ e 2 / b1 ; y + 2 s y 2 + σ e 2 / b1 )
Příklad C - kalibrace
x=2.524+0.9427 y , yce =− 2.68+1.06x I - kalibrace yin = − 1.432 + 0.916 x
číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
výsledek y 2 4 4,5 5 5 6 6,5 6,5 7,75 8 9 9,5 10,5
měření x 5 6,5 6,25 6,5 8 6,5 8 9 10,5 11 12,5 10,5 12
Kalibrační přímky 12
dm =
Ym=6.4808 Xm=8.6346 S2y=5.8590 S2x=6.0272 C(x,y)=5.5236
2.3177
dh = 14.9515
10
8
6
I kalibrace
4
2
C kalibrace 0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Výběr typu kalibrace Proměnná x (M) : · obyčejně dosti přesně stanovená (elektrická veličina), · εx zahrnuje především neuvažované proměnné (teplota, . . .) σx2 . . . může být nekonstantní Proměnná y (T): · určená z externích informací (jiné přístroje, etalony, . . . ), · εy zahrnuje chyby měření, · σy2 . . . . je obyčejně rostoucí funkcí y. Poměr rozptylů P = σy2 / σx2 se může měnit v mezích (0, ∞). I- nebo C- na základě rozptylů nebo použití kalibrace.
13
