Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia

JIMT Vol. 12 No. 1 Juni 2015 (Hal. 83 - 91) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN

: 2450 – 766X

PELABELAN SUPER MEAN PADA GRAF 𝑫𝒏 (𝑪𝟑 ) DAN 𝑫𝒏 (𝑪𝟑 ) v 𝑷𝒕 S. Wahyuningsi1, I W. Sudarsana2, dan S. Musdalifah3 1,2,3

Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia.

[email protected], [email protected], [email protected]

ABSTRACT Graph theory is one of important subject in mathematical sciences and has many benefits because its can be applied to solve many problems, especially in communication and transportation systems, geographical navigation and radar. Super mean labeling on graph 𝐺(𝑉, 𝐸) with 𝑝 vertices and 𝑞 edges is an injection 𝑓: 𝑉(𝐺) → 𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣)

{1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞} such that for each edge 𝑒 = 𝑢𝑣 labeled by 𝑓 ∗ (𝑒) = ⌈

⌉ and form the set 𝑓(𝑉(𝐺)) ∪ 2 {𝑓 ∗ (𝑒): 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺)} = {1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞}. In this paper we have showed that graphs 𝐷𝑛 (𝐶3 ) and 𝐷𝑛 (𝐶3 ) v 𝑃𝑡 are super mean. Key Words

: Duplication, Duplication Graph, Super Mean Labeling

ABSTRAK Teori graf adalah salah satu ilmu matematika yang penting dan mempunyai banyak manfaat karena teori-teorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar dan lain sebagainya. Pelabelan super mean pada graf 𝐺(𝑉, 𝐸) dengan 𝑝 titik dan 𝑞 sisi adalah pemetaan injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞} sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑒 = 𝑢𝑣

yang

dilabeli

dengan

𝑓 ∗ (𝑒) =

⌈

𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣) 2

⌉

dan

membentuk

himpunan 𝑓(𝑉(𝐺)) ∪ {𝑓 ∗ (𝑒): 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺)} =

{1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞}. Pada penelitian ini dilakukan investigasi terhadap graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 ) v 𝑃𝑡 . Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) and 𝐷𝑛 (𝐶3 ) v 𝑃𝑡 adalah super mean. Kata Kunci

I.

: Graf Duplikasi, Duplikasi, Pelabelan Super Mean

PENDAHULUAN Teori graf merupakan salah satu ilmu yang berkembang pesat dalam dunia matematika. Teori

graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan kemungkinan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia, tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Publikasi atas permasalahan ini dan solusi yang dia tawarkan saat ini dikenal dengan teori graf (Cunningham, 2004). Suatu graf dapat dipandang sebagai sistem 𝐺(𝑉, 𝐸)

83

dimana 𝑉 adalah himpunan titik yang tak kosong dan 𝐸 adalah himpunan sisi (pasangan elemen) dari 𝑉. Salah satu cabang kajian graf adalah pelabelan suatu graf. Pelabelan graf merupakan salah satu topik dari teori graf yang mendapat perhatian khusus, karena model-model yang ada dalam teori graf berguna untuk aplikasi yang luas terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, riset, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer, dan lain sebagainya. Ada banyak jenis pelabelan yang telah dikembangkan, salah satunya adalah pelabelan mean yang pertama kali diperkenalkan secara umum oleh Somasundaram dan Ponraj (2003). Sementara itu Ramya et al (2012) adalah orang yang memperkenalkan pelabelan super mean pada graf. Pelabelan super mean pada graf 𝐺(𝑉, 𝐸) dengan 𝑝 titik dan 𝑞 sisi adalah pemetaan injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞} sedemikian sehingga untuk setiap sisi 𝑒 = 𝑢𝑣 dilabeli dengan 𝑓 ∗ (𝑒) = 𝑓(𝑢)+𝑓(𝑣)

⌈

2

⌉ dan membentuk himpunan 𝑓(𝑉(𝐺)) ∪ {𝑓 ∗ (𝑒): 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺)} = {1, 2,3, … , 𝑝 + 𝑞}. Beberapa graf

yang merupakan super mean yaitu lintasan, siklus dan lainnya, namun untuk hasil operasi pada graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 ) II.

v

𝑃𝑡 𝑃𝑡 masih merupakan masalah terbuka (Gallian, 2013).

METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan sesuai dengan prosedur dibawah ini :

1.

Memulai penelitian

2.

Studi literatur

3.

Menotasikan titik dan sisi pada graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 )

4.

Memberikan label titik dan sisi pada graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 )

5.

Membuat formula pelabelan super mean graf 𝐷𝑛 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 )

6.

Membuat teorema yang dilengkapi dengan bukti-bukti

7.

Selesai.

III.

HASIL Sebelum ditunjukkan bahwa graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

v

𝑃𝑡 v

𝑃𝑡 v

𝑃𝑡

𝑃𝑡 adalah pelabelan super mean,

pada bagian ini terlebih dahulu akan diberikan definisi dan penotasian graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 .

Definisi 1 : Duplikasi graf 𝐺 sebanyak 𝑛 kali, dinotasikan dengan 𝐷𝑛 (𝐺), adalah graf yang diperoleh dari 𝑛 rangkap graf 𝐺, sebut 𝐺 0 , 𝐺1 , 𝐺 2 , … , 𝐺 𝑛−1 , dengan menghubungkan masing-masing titik 𝑢𝑖−1 di 𝐺 𝑖−1

84

dengan titik-titik tetangga 𝑢𝑖 di 𝐺 𝑖 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. untuk 𝐺 = 𝐶3 , ilustrasi 𝐷𝑛 (𝐶3 ) tersaji dalam Gambar 1.

Penotasian Graf 𝑫𝒏 (𝑪𝟑 ) : Vn ...

...

.....

en-13 en-14 V4 e33

e 34

V3 e23 e24

V2 en2. .

e13 e14

.

e4

e32 e2

V1

2

e1

e38

8

V2'’ e1

V1'’

7

V3'’ e27

en

e4

e1 e11 e21 e31

..

..

.

7 en-18 V4'’ e3 Vn'’ en-17

e3 e2

e 12

e28

...

2

e41

V1'

e15 e 16 V 2 '

e 25 e 26 V 3 '

e 35 e36 V4' ..

..

..

.

..

....

...

5 .. . . en-1 .. . en-16 Vn'

..

..

..

.

en1

Gambar 1 : Penotasian Graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) Berdasarkan Gambar 1 diatas dapat dinotasikan himpunan titik graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) sebagai berikut: (1)

𝑉(𝐷𝑛 (𝐶3 )) = {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖′ , 𝑣𝑖′′ |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} dan himpunan sisi graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dinotasikan dalam : 𝐸(𝐷𝑛 (𝐶3 )) = {𝑒𝑖 , 𝑒𝑖1 , 𝑒𝑖2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑒𝑖3 , 𝑒𝑖4 , 𝑒𝑖5 , 𝑒𝑖6 , 𝑒𝑖7 , 𝑒𝑖8 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1}

(2)

dengan 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖 𝑣𝑖′ ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

(3)

𝑒𝑖1

; 1≤𝑖≤𝑛

(4)

𝑣𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

(5)

𝑒𝑖2 𝑒𝑖3 𝑒𝑖4 𝑒𝑖5 𝑒𝑖6 𝑒𝑖7 𝑒𝑖8

=

𝑣𝑖′

𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖+1 𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖+1 𝑣𝑖′

(6)

; 1≤𝑖 ≤𝑛−1 ; 1≤𝑖 ≤𝑛−1

(7)

𝑣𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

(8)

′ = 𝑣𝑖+1 𝑣𝑖′′ ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

(9)

=

′ 𝑣𝑖+1

=

′′ 𝑣𝑖+1

=

′′ 𝑣𝑖+1

; 1≤𝑖≤𝑛−1

(10)

𝑣𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

(11)

𝑣𝑖′

dengan demikian, untuk graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) diperoleh banyaknya titik adalah 3𝑛 dan banyaknya sisi adalah (12)

9𝑛 − 6 Definisi 2 : Notasi graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 menyatakan suatu graf yang diperoleh dari graf 𝐷𝑛 (𝐺) dengan

menghubungkan graf lintasan dengan 𝑡 titik, 𝑃𝑡 , pada salah satu titik di graf yang ke 𝑛 − 1, 𝐺 𝑛−1 , pada 𝐷𝑛 (𝐺). untuk 𝐺 = 𝐶3 , ilustrasi 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 tersaji dalam Gambar 2.

85

Penotasian 𝑫𝒏 (𝑪𝟑 )

𝑷𝒕 :

v

Vn ...

...

.....

en-13 en-14 V4 e33

e 34

V3 e23 e24

V2 en2. .

e13 e14

.

e4

e32 e2

V1

2

e1

V1'’

8

V2'’ e1

7

e1

e31

..

..

.

7 en-18 V4'’ e3 Vn'’ en-17

en

e4

e1 1

e21

V3'’ e27

e38

e3 e2

e 12

e28

...

2

V1'

e15 e 16 V 2 '

e 25 e 26 V 3 '

e41

e 35 e36 V4' ..

..

....

...

.. .. 5 .. . . . n-1 .. . 6 n n-1

..

e

e

V

'

e19

..

..

.

en1 V1'''

e29 V2'''

e39 V3'''

e 49 V4'''

e 59 V5'''

..

ej-19

..

Vt'''

Gambar 2 : Penotasian Graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡

Berdasarkan Gambar 2 diatas dapat dinotasikan himpunan titik graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) v

𝑉 (𝐷𝑛 (𝐶3 )

𝑃𝑡 ) = {𝑣𝑖 , 𝑣𝑖′ , 𝑣𝑖′′ , 𝑣𝑗′′′ | ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡}

dan himpunan sisi graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) v

𝐸 (𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 ) =

{𝑒𝑖 , 𝑒𝑖1 , 𝑒𝑖2

v

𝑃𝑡 sebagai berikut : (13)

𝑃𝑡 dinotasikan dengan :

; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑒𝑖3 , 𝑒𝑖4 , 𝑒𝑖5 , 𝑒𝑖6 , 𝑒𝑖7 , 𝑒𝑖8 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} (14)

∪ {𝑒𝑗9 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡} dengan 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖 𝑣𝑖′ ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

(15)

𝑒𝑖1

; 1≤𝑖≤𝑛

(16)

𝑣𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

(17)

𝑒𝑖2 𝑒𝑖3

=

𝑣𝑖′

𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖+1 𝑣𝑖′′

=

𝑣𝑖+1 𝑣𝑖′

(18)

; 1≤𝑖 ≤𝑛−1 ; 1≤𝑖 ≤𝑛−1

(19)

′ 𝑒𝑖5 = 𝑣𝑖+1 𝑣𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

(20)

𝑒𝑖6

𝑒𝑖4

𝑒𝑖7 𝑒𝑖8

=

′ 𝑣𝑖+1

𝑣𝑖′′

; 1≤𝑖 ≤𝑛−1

(21)

=

′′ 𝑣𝑖+1

𝑣𝑖′

; 1≤𝑖≤𝑛−1

(22)

=

′′ 𝑣𝑖+1 𝑣𝑖 ; ′ 𝑣𝑛 𝑣𝑗′′′ { 𝑣𝑛′′ 𝑣𝑗′′′ ′′′ 𝑣𝑗−1 𝑣𝑗′′′

𝑒𝑗9 =

1≤𝑖 ≤𝑛−1 , 𝑗 = 1 dan 𝑛 genap , 𝑗 = 1 dan 𝑛 ganjil , 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡.

dengan demikian untuk graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) sisi adalah 9𝑛 − 6 + 𝑡.

v

(23) (24)

𝑃𝑡 diperoleh banyaknya titik adalah 3𝑛 + 𝑡 dan banyaknya (25)

86

Teorema 1 : Graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) adalah super mean untuk 𝑛 ≥ 1. Bukti : Pandang graf

𝐷𝑛 (𝐶3 ) mempunyai banyaknya titik 𝑝 = 3𝑛 dan banyaknya sisi 𝑞 = 9𝑛 − 6.

Berdasarkan penotasian titik dan sisi pada Gambar 1, definisikan fungsi injektif 𝑓: 𝑉(𝐷𝑛 (𝐶3 )) → {1,2,3 … , 12𝑛 − 6} sebagai berikut : 12𝑖 − 11 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖 ) = { 12𝑖 − 9 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 9 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖′ ) = { 12𝑖 − 6 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 6 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖′′ ) = { 12𝑖 − 11 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap

(26)

(27)

(28)

Berdasarkan fungsi titik-titik di atas diperoleh fungsi pelabelan pada sisi sebagai berikut : 12𝑖 − 10 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 )+𝑓(𝑣𝑖′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) = ⌈ 𝑖 ⌉={ (29) 2 12𝑖 − 7 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 7 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′ )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) = ⌈ 𝑖 ⌉={ (30) 2 12𝑖 − 8 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 8 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖 )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) = ⌈ (31) 2 12𝑖 − 10 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖+1 )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) = ⌈ (32) 2 12𝑖 − 5 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 3 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖+1 )+𝑓(𝑣𝑖′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) = ⌈ (33) 2 12𝑖 − 2 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 2 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil ⌉={ 2 12𝑖 − 3 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil ′ ′′ 𝑓(𝑣 )+𝑓(𝑣𝑖 ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ 2 12𝑖 − 4 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 4 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil ′′ ′ 𝑓(𝑣 )+𝑓(𝑣𝑖 ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ 2 12𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 5 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil ′′ 𝑓(𝑣 )+𝑓(𝑣 ) 𝑖 𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ 2 12𝑖 − 1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap ′ 𝑓(𝑣𝑖+1 )+𝑓(𝑣𝑖 )

𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) = ⌈

(34) (35) (36) (37)

87

Bentuk himpunan 𝐴1 = {𝑓(𝑣𝑖 ) = 12𝑖 − 11, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴2 = {𝑓(𝑣𝑖 ) = 12𝑖 − 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴3 = {𝑓(𝑣𝑖′ ) = 12𝑖 − 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴4 = {𝑓(𝑣𝑖′ ) = 12𝑖 − 6, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴5 = {𝑓(𝑣𝑖′′ ) = 12𝑖 − 6, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴6 = {𝑓(𝑣𝑖′′ ) = 12𝑖 − 11, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴7 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) = 12𝑖 − 10, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴8 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) = 12𝑖 − 7, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴9 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) = 12𝑖 − 7, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴10 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) = 12𝑖 − 8, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴11 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) = 12𝑖 − 8, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴12 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) = 12𝑖 − 10, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴13 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) = 12𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴14 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) = 12𝑖 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴15 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) = 12𝑖 − 3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil}𝐴16 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) = 12𝑖 − 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴17 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) = 12𝑖 − 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil}𝐴18 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) = 12𝑖 − 3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴19 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) = 12𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴20 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) = 12𝑖 − 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴21 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) = 12𝑖 − 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴22 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) = 12𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴23 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) = 12𝑖 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴24 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) = 12𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 24

Gabungan himpunan-himpunan tersebut, ⋃𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝑓(𝑉(𝐷𝑛 (𝐶3 ))) ∪ {𝑓 ∗ (𝑒): 𝑒 ∈ 𝐸(𝐷𝑛 (𝐶3 ))} = {1, 2, 3, … ,12𝑛 − 6}. Oleh karena itu, graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dapat dilabeli secara super mean. Dengan demikian, graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) adalah super mean, untuk 𝑛 ≥ 1. Contoh : 25 19

22

15 11

9 1

28 14

26 4

2

6

23 30

13

3 5

7 8

24

17

16 29

10 12

18

21 20

27

Gambar 3 : Pelabelan Super Mean pada Graf 𝐷3 (𝐶3 ) Teorema 2 : Graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 adalah super mean untuk 𝑛 ≥ 3.

Bukti : Pandang graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 mempunyai banyaknya titik 𝑝 = 3𝑛 + 𝑡 dan banyaknya sisi 𝑞 = 9𝑛 − 6 +

𝑡. Berdasarkan penotasian titik dan sisi pada Gambar 2, definisikan fungsi injektif 𝑓: 𝑉 (𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 ) → {1,2,3 … , 12𝑛 − 6 + 2𝑡} sebagai berikut :

88

12𝑖 − 11 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil (38)

𝑓(𝑣𝑖 ) = { 12𝑖 − 9 ; 12𝑖 − 9 ; 𝑓(𝑣𝑖′ ) = { 12𝑖 − 6 ; 12𝑖 − 6 ; 𝑓(𝑣𝑖′′ ) = { 12𝑖 − 11 ;

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil (39) 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil (40) 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap (41)

𝑓(𝑣𝑗′′′ ) = 12𝑛 − 6 + 2𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡

Berdasarkan fungsi titik-titik di atas diperoleh fungsi pelabelan pada sisi sebagai berikut : 12𝑖 − 10 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 )+𝑓(𝑣𝑖′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) = ⌈ 𝑖 ⌉={ (42) 2 12𝑖 − 7 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 7 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′ )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) = ⌈ 𝑖 ⌉={ (43) 2 12𝑖 − 8 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 8 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖 )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) = ⌈ (44) 2 12𝑖 − 10 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖+1 )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) = ⌈ (45) 2 12𝑖 − 5 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 3 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖+1 )+𝑓(𝑣𝑖′ ) ⌉={ 𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) = ⌈ (46) 2 12𝑖 − 2 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 2 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′ )+𝑓(𝑣𝑖 ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ (47) 2 12𝑖 − 3 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′ )+𝑓(𝑣𝑖′′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ (48) 2 12𝑖 − 4 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 4 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′′ )+𝑓(𝑣𝑖′ ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ (49) 2 12𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 12𝑖 − 5 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣 ′′ )+𝑓(𝑣𝑖 ) 𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) = ⌈ 𝑖+1 ⌉={ (50) 2 12𝑖 − 1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap 𝑓(𝑣𝑛′ )+𝑓(𝑣𝑗′′′ )

⌈

⌉

2

𝑓(𝑣𝑛′′ )+𝑓(𝑣𝑗′′′ )

𝑓 ∗ (𝑒𝑗9 ) = ⌈ {

⌈

2

⌉ =

′′′ 𝑓(𝑣𝑗−1 )+𝑓(𝑣𝑗′′′ )

2

⌉

12𝑛 − 6 + 𝑗

; 𝑗 = 1 dan 𝑛 genap

12𝑛 − 6 + 𝑗

; 𝑗 = 1 dan 𝑛 ganjil

(51)

{12𝑛 − 7 + 2𝑗 ; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡

Bentuk himpunan 𝐴1 = {𝑓(𝑣𝑖 ) ∶ 12𝑖 − 11, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴2 = {𝑓(𝑣𝑖 ) ∶ 12𝑖 − 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴3 = {𝑓(𝑣𝑖′ ) ∶ 12𝑖 − 9, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴4 = {𝑓(𝑣𝑖′ ) ∶ 12𝑖 − 6, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴5 = {𝑓(𝑣𝑖′′ ) ∶ 12𝑖 − 6, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴6 = {𝑓(𝑣𝑖′′ ) ∶ 12𝑖 − 11, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴7 = {𝑓(𝑣𝑗′′′ ) ∶ 12𝑛 − 6 + 2𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡} 𝐴8 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) ∶ 12𝑖 − 10, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil}

89

𝐴9 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖 ) ∶ 12𝑖 − 7, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴10 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) ∶ 12𝑖 − 7, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴11 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖1 ) ∶ 12𝑖 − 8, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴12 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) ∶ 12𝑖 − 8, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 ganjil} 𝐴13 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖2 ) ∶ 12𝑖 − 10, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ; 𝑖 genap} 𝐴14 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) ∶ 12𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴15 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖3 ) ∶ 12𝑖 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴16 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) ∶ 12𝑖 − 3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴17 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖4 ) ∶ 12𝑖 − 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴18 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) ∶ 12𝑖 − 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴19 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖5 ) ∶ 12𝑖 − 3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴20 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) ∶ 12𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴21 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖6 ) ∶ 12𝑖 − 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴22 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) ∶ 12𝑖 − 4, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴23 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖7 ) ∶ 12𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴24 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) ∶ 12𝑖 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 ganjil} 𝐴25 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑖8 ) ∶ 12𝑖 − 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ; 𝑖 genap} 𝐴26 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑗9 ) ∶ 12𝑛 − 6 + 𝑗, 𝑗 = 1 ; 𝑛 genap} 𝐴27 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑗9 ) ∶ 12𝑛 − 6 + 𝑗, 𝑗 = 1 ; 𝑛 ganjil} 𝐴28 = {𝑓 ∗ (𝑒𝑗9 ) ∶ 12𝑛 − 7 + 2𝑗, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡} Gabungan 𝐸 (𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

himpunan-himpunan

28

tersebut,

⋃𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝑓(𝑉( 𝐷𝑛 (𝐶3 )

𝑃𝑡 )} = {1, 2, 3, … ,12𝑛 − 6 + 2𝑡}. Oleh karena itu, graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

super mean. Dengan demikian graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

v

v

𝑃𝑡 )) ∪ {𝑓 ∗ (𝑒): 𝑒 ∈

𝑃𝑡 dapat dilabeli secara

𝑃𝑡 adalah super mean, untuk 𝑛 ≥ 3.

Contoh : 25 22

19 15 11

14

7 23

13

6

8

17

2

4

30 24

31

9 1

28

5 16

26

3 10 12 18

29

21 20 27

32 33 34 35 37

36

38 39 40

Gambar 4 : Pelabelan Super Mean pada Graf 𝐷3 (𝐶3 ) IV.

v

𝑃5

KESIMPULAN Berdasarkan bukti-bukti pada Teorema 1 dan 2 diperoleh bahwa graf 𝐷𝑛 (𝐶3 ) dan graf 𝐷𝑛 (𝐶3 )

v

𝑃𝑡 adalah super mean. Sebagai penutup, diberikan beberapa masalah terbuka, yaitu apakah graf

𝐷𝑛 (𝐶𝑚 ) super mean untuk 𝑚 ≥ 4 dan 𝐷𝑛 (𝐶𝑚 )

v

𝑃𝑡 untuk 𝑡 ≥ 1.

90

DAFTAR PUSTAKA [1].

Cunningham, D. 2004. Vertex-Magic. Electronic Journal Of Undergraduated Mathematics. Vol. 9 : 2-20.

[2].

Gallian, J. A.. 2013. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics. Vol. 19. DS6.

[3].

Ramya., dan P. Jeyanti. 2012. Super Mean Labeling of Some Classes of Graph . International Journal Combinatorics. Vol.1 : 83-91.

[4].

Somasundaram, S., and Ponraj, R. 2003. Mean Labelings of Graphs. National Academy Science Letters. Vol 26 : 210–213.

91