Číslicový lineární filtr prvého řádu
se statisticky
optimálně
nastavovanými parametry 519.2
Ing. Jiří Tůma, CSc. Tatra, o. p., Kopřivnice Článek se zabývá odvozením rekurentních vzorců pro časovou posloupnost hodnot parametrů lineárního číslicového filtru prvého řádu, u kterého ie minimalizován rozptyl odchylek výstupu filtru od užitečné složky ieho vstupního signálu. Rozbor účinku odfiltrování náhodných chyb od náhodně se měnícího užitečného signálu ie zaměřen rovněž na start filtrace. Účinek navržené řízené filtrace ie porovná!" s filtrací, u které neisou v čase měněny parametry filtru.
Klíčová slova: filtrace s řízením velikosti parametrů filtru, optimá~í lineární filtr prvého řádu,
volba
1. Úvod
počátečních
hodnot
parametrů
a
paměti
filtru.
2. Model filtrace
Přehled dále používaných značení: Měřená data jsou obvykle ovlivněna náhodnými chybami. Tyto chyby se přičítají k užitečné složce - diskrétní čas udávající počet změřených vzorků signá.lu obsažené v časové posloupnosti měřených dat . od startu filtrace, t = 1, 2, ... Úkolem filtrace je od.dělení chyb měření od užitečné H t - neznámá skutečná hodnota užitečné složky složky signálu. Je zřejmé , že tento úkol může filtrace signálu v okamžiku t . plnit, jestliže frekvenční spektra chyby měření a uži- H - časově stálá složka užitečného signálu (základní tečného signálu jsou odlišné. úroveň) Jednoduchým a velmi často používaným filtrem je ht - odchylka skutečné hodnoty užitečné složky filtr prvého řádu . Nová hodnota výstupu tohoto filtru signálu H t od své základní úrovně (průměrné je dána váženým průměrem předchozího výstupu hodnoty) H filtru a vstupní veličiny filtru. Účinek filtrace náhodY t - naměřená hodnota procesové veličiny, vstupní ných chyb typu bílý šum ovlivňujících součtově náhodnota filtru. v okamžiku t hodný užitečný signál, který představuje proměnná 'Y/t - náhodná chyba měření v okamžiku t s korelovanými přírůstky, analyzoval Markl [1]. Cílem X - odhad neznámé hodnoty užitečné složky sigt rozboru bylo nalezení optimálních parametrů filtru nálu H t ("~Srstup filtru v okamžiku t) pro minímalizaci s~řední hodnoty čtverce odchylky At - (popř. Yt = 1 - Ad - parametr filtru pro výstupu filtru od užitečné složky signálu po odeznění výpočet odhadu X t . pře'chodového děje na začátku filtrace . UŽitečná složka měřeného signálu je tedy dána V mnoha měřicích systémech s častým přerušováním součtem měření a tudíž i filtrace nelze fázi náběhu filtru zanedbat, zvláště je-li výsledkem měření pouze omezený (1) H t = H + ht počet údajů. V tomto případě jsou důležité také prvé hodnoty na výstupu filtru. Příkladem mohou být Měřením se však zjiŠťuje veličina j ed noúče lové měřicí príst.roje nebo zpracování málo (2) četných údajů v řídicích systémech. Pro fázi ná.běhu filtru je významný Zpílsob výpočtu prvého výstupu Všechny veličiny ve vzorcích (1) a (2) jsou náhodné, filtru a případné řízení filtrace postupnou změnou pro jejich střední hodnoty platí parametrů filtru. K řešení tohoto problému je vhodné E{ht} = E{'Y/t} = O (3) užít metodiku výpočtu kritéria filtrace z [1] a teorii řízené identifikace od téhož autora [2]. Předložený H* = E{H} = E{H t } = E{Yt } (4) článek se těmito problémy zabývá, přičemž ve srovnání s prací [1] je pozměněna definice statistických kde E{.} je operátor střední hodnoty. Rozptyl nevlastností užitečné složky signálu. Častěji se vyskytu- známé základlií úrovně užitečné složky signálu je jící je totiž signál s korelovanými náhodnými odchyl- ozna.čeu a = E{(H - H?} = E{!i2} - H*2 (5) kami od časově stálé základní úrovně.
op
31 (1988)
č.
12
315 automatizace
Autokovarianční a vzájemně kovarianční funkce náhodných posloupností {ht; t = 1, 2, .. .} a {1'}t; t = 1, 2, ...}jsou (6) E{htht+k} = rk = roPlkl -1 < (J < 1, ro> O
E{1'}t1'}t+k}
=
Sk
= So
S0
{0
k= O pro k i= O
>O
= O pro všechna k
E{ht1'}t+k}
(7)
(8)
Obě vyse definované náhodné posloupnosti nezávisí na náhodné veličině H , proto vzhledem k (3) platí
Odhady autokovariancí pro k
wt=
= 0, 1, 2, ... jsou
1 N-k N-·k-l t~1 (Yt-H+) (Yt+k-H+) (13)
Vztah mezi autokovariancemi a parametry modelu procesu určuje věta 1. Věta 1 : Nechť platí předpoklady dané vztahy (1) až (9). Pak pro libovolné n ;;:;; 1 jsou parametry modelu procesu s,), ro a (J vázány s autokovariancemi w o, W n a W. n vztahy
(14)
(9)
Posloupnost nezná.mých hodnot užitečné složky signálu má t edy neznámou. střední hodnotu. Měření je s chybou typu bílý šum, tj. jednotlivé realizace vzáj emně nekorelují. N aproti tomu vzájemně korelují odchylky užitečného signálu od jeho střední hodnoty. Míra, vzájemné závislosti odchylek užitečného signálu klesá exponenciálně s jejich časovo·u odlehlostí. R ychlost klesání je dána :parametrem (J. Hodnotě (J = O odpo·vídají zcela náhodné nekorelova-né změny užiteč ného signálu a hodnotě (J blížící se buď~k 1 nebo - 1 odpovídají deterministické posloupnosti buď neměn ných nebo periodicky se měnících hodnot. Parametry modelu procesu j Oll. t edy H* , a , 8 0 , ro, (J . výstupní veličina filt,ru prvého řádu je dána váženým průměrem vstupní veličiny a pamatované minulé vý ·tupní veličiny filtru
Xt = At
At X t - 1
+ rt =
+ rtYt
1, rt i= O
Důkaz:
=
Z definice (1) a (2) vyplývá (Yt -H) (Yt+k-H) 1'}th t+k + h t1'}t+k
htht+k
+
po použití operátoru až (8) lze dostat
střední
=
+ 1'} t1'}t+k
hodnoty a
vztahů
(6) (15)
a odtud po dosazení do (15) za k = O, n, 2n vznikne soustava rovnic upravitelná do tvaru (14). Volba n k výpočtu parametrů procesu je ohraničena počtem vypočtených autokovariancí wi. Lze volit n = 1, ovšem při hodnotě (J blízké horní mezi (viz (6)) je vhodnější volit n > 1. Protože odhady autokovariancí I>e obvykle liší od teoretických hodnot daných V7;orcem (15) , je vhodnější určit 1'0 a (J n a základě aproximace závislosti hodnot wi na k v intervalu k = 1, ... , K teoretickou funkcí ro(Jk.
(10)
]'jlt,r ace začíná v čase t = 1. Proces filtrace je určen prvou hodnotou X o a posloupností hodnot parametru filtru (ll) .7f' = {At; t = 1, 2, ...}
4. Kritérium účinku rutrace Kritériem souhlasu výstupu filtru a užitečné složky posloupnosti změřených hodnot je zvolena střední hodnota čtverce rozdílu těchto veličin pro t = 1, 2, . ..
Algoritmus filtrace a model procesu tvoří model filtrač ní situace.
(16) Účelem filtrace je vyloučit chybu měření , proto je
3. Odhad
paramotrů
vhodnější
modelu procesu
Pro výpočet optimálního nastavení parametrů filtru ve smyslu dále definovaného kritéria je třeba předem znát parametry modelu procesu. U neznámé základní úrovně H užitečné složky signáln je třeba znát střední hodnotu H* a rozptyl a. Tyto základní statistické charakteristiky lze určit z opakovaných sérií měření. Z dlouhodobých zkušeností jsou však tyto základní údaje obvykle známy. Již v projektu měřicího systému jsou zadány technologické meze a rozsah měření. Z předpokládané hustoty pravděpodobnosti lze potřebné parametry rozdělení veličiny H odhadnout. Parametry modelu procesu so' ro a (J lze z autokovariancí ,wk=E{(Yt-H)(Yt+k-H)}
vypočítat
(12)
které se odhadnou z dostatečně dlouhé posloupnosti vstupních veličin filtru {Yt ; t = 1, 2, . .. , N}. Odhad náhodné veličiny H je H+ = NI
~ t=1
Yt
porovnávat rozptyl (16) s rozptylem Zt
zt=-
So
(17)
So
Normované kritérium (17) závisí, jak bude odvozeno dále, na poměru ro/so, který lze nazvat odstupem časo vě proměnné užitečné složky signálu od chyby měření; zkráceně odstup signálu od šumu. Střední hodnota v obou kritériích nahrazuje ná.hodné veličiny jejich statistickými charakteristikami. Deterministická posloupnost (18) .'7' = {Zt; t = 1,2, ...} představuje trajektorň filtračního procesu. Posloupnost (ll) je pak řízením filtračního procesu. Účinek řízení na trajektorii filtračního procesu popisuje následující věta . Věta 2: Nechť jsou splněny všechny předpoklady obsažené ve vztazích (1) až (9). Pak pro algoritmus filtrace (1O) je trajektorie filtračního procesu (18) dána vztahy (19) go= O
automatizace 316
Zl a pro t !lt-l
2( ro + -a +
=
>
31 (1988)
)'1 -
80
80
(H*-Xo)2'J 2
+ Yl2
(20)
Č.
pro kterou při srovnání s jinými možnými trajektoriemi (18) pro všechna t platí
1
(33) r
= 2 _ o (1 - (J) (1 - At_l) + ({JAt-l!lt-.)
(21 )
BO
Zt
=
ve kterých je {!lt ; t
Ať (Zt_l
+ !lt-l) + yř
(22)
= O, 1, ...}pusloupnost pomocných
stavů.
Důk az: V odvozovaných značen
přičemž
ostrá nerovnost je splněna a spoň pro jedno t. Infimální trajektorii (32) tohoto víceetapového rozhodovacího procesu lze určit postupem, který navrhl Markl [2]. Optimální parametry filtru (10) v určitém časovém okamžiku (tj. lokálně) vyplývají ze vztahů
11(Xó, M) = minII (Xo, Al)
vzorcích je rozdíl v kri-
tériu (16)
It(Zt-l>
(23) Vzorec (20) nebude zvlášť odvozován, protože postup jeho odvození j ť'. shodný s postupem odvození vzorce (22). Kombinací (2). (l0) a (23) lze pro t > 1 dostat dt
= Atdt_l + At(ht - ht_l) - yt1Jt
(24)
Atl =
minIt(zt_l' At) , t
(34)
>
1
Aby lokálně optimální řízení bylo taM globálně optimální (33) , musí být stavová rovnice (30) izotónní vzhledem k stavu, tj . pro libovolné hodnoty Zt-l < < Zt:"'l musí platit (36)
= Atdr- l + At(ht - ht_I)2
+ 2A~dt _1 (ht -
+ y~1J~ +
ht-l) - 2AtYtdt_l1Jt 2AtYt (ht - ht-l) 1Jt
(25)
Užitím operace str'ední hodnoty na vztah (25) a vzorců (6) až (8) a (16) lze odvodit
(J) + yt Bo + + 2A~E {dt _1 (ht - ht-l)} - 2AtYtE {dt - l1Jt}- 2AtYtE {(ht - ht-l) 1Jt} (26) Zt
=
A~Zt_1
+ 2Atro (1 -
pro všechny přípustné hodnoty At. Výsledek výpo čtu optimá.lního řízení filtračního procesu tímto postupem je uveden v následující větě .
Tl ě t a 3 : Nechť je dána trajektorie filtračního procesu (20) a (22) s omezením jeho parametrů podle vztahů (1) až (9). Pak platí : 1. filtrace je lokálně filtru
(27) ve kterém náhodná proměnná Bt s konstantním rozptylem má shodné vlastnosti jako proměnná 1Jt, přičemž platí (8) . Užitím variantní definice posloupnosti {ht ; t = 1, 2, ...} podle (27) je možné odvodit E{d t _l (h t - ht_l)} = (JAt_IE{dt _2 (ht_1 - ht_o)} -At_IrO(I-{J)2 (28) Po dosazení vzorců (16) a (28) do vzorce (26) a definováním
= 2 !Q.. (1 Bo
(J)
+ E{d t _
l
(h t - ht-l)}
lze potvrdit správnost rekurentních (22). ó. Optimálni
řizeni
vzorců
(29)
M = __
(30) přičemž
(31) Cílem optimalizace procesu filtrace je nalezení takové trajektorie f/* = {zt; t = 1,2, .. .} (32)
o
(37) (38)
1
1+!Q.. +~ 80
At = 2
-
A
1
t-1 + !lt-l
Bo
' t
>
1
(39)
kde !lt-l se vypočítá rekurentně podle (21) s prvou hodnotou (19) 2. minimální hodnota kritéria (17) v okamžiku t je
zt = l-At 3. lokálně optimální optimální.
řízení
ad 1 je
(40) současně globálně
Důkaz: Normované kritérium filtrace (20) je dáno součtem nezáporných sčítanců. Volba param ettu X o podle (37) jeden sčítanec nuluje. Optimální řízení
(38) se určí jako minimum funkce jedné proměnné Optimální řízení (39) se určí r,tejným způsobem jako minimum funkce Zt(Atl dané vzorcem (22)
~(AI)'
~* _
At -
Trajektorii filtračního procesu (18) popisuje podle věty 2 rekurentní vzorec, který má obecný tvar
pro hodnoty
Xó = H*
(21) a
filtrace
optimálně řízena
parametrů
Protože d t _l nezávisí na 1Jt, je E{d t _l 1Jt} = O. Rovněž (h t - ht-l) nezávisí na 1Jt, proto E{(ht - ht-l) 17t} = O. K výpočtuE{d t _1 (h t - ht_l)} bude odvozen rekurentní vzorec. Za proměnnou d t _l bude dosazen výraz (24) se záměnou t za t - 1. Model náhodných změn proměnné ht ve tvaru (6) určuje vztah
!lt-l
(35)
),t
Čtverec rovnice (24) je dř
12
1
Zt _l
+ !lt-l + 1
(41)
Porovnáním (41) a (22) lze odvodit vztah (40) . Z tohoto vztahu a vztahu (41) plyne vzorec (39). Ze vztahů (38) a (39) vyplývá, že pro všechna t je řízení At O, a tedy i At 2 > O, což je podmínkou pro platnost implikace (36) pro rekurentní vzorce (20) a (22) popisující filtrační trajektorii. Lokálně optimální ří zení je tedy současně globálně optimální. Poslední větou jsou určeny rekurentní vzorce pro výpočet optimální posloupnosti parametrů filtru (ll). Algoritmus filt.race a korekce parametru filtru .A. je znázorněn vývojovým diagramem na obr. 1. V zá.pisu
*'
31 (1 988)
Č.
12
- - - - - - - - - -______ 317 automatizace Ilt-l
ladonl vstupnlch ůdaju ro
0
+ A(I-{3)
H* (3
Q
50 ' 50'
Limita výrazu (44) lim
t-i>oo
H:O:_X
II
velikosti Y
-A
l Obr. 1. vývojový diagram i"izené filtrace
algoritmu je vypuštěn index t, protože v rekurentních vzorcích jsou zapotřebí pouze minulé hodnoty vypočítávaných členů posloupností parametrů filtru a pomocných stavů .
proměnlivé
Přenos .neřízeného filtru ·je stabilní pro -1 Ověem při .1.= 1 výstup filtru nezávisí na
1.0
( 42)
°
0,2
0,4-
0,8
0,5
<
A. ~ 1. vstupním
signálu, proto - 1 < A < 1. Průběh řízené a neřízené filtrace lze porovnat podle průběhu kritéria (17) v čase. Důležitým je také postup optimálního nastavení parametrů filtru . Nejprve bude určen účinek filtrace v ustáleném stavu, tj. po odeznění počátečního přechodového děje. V ě t a 4: Nechť jl') dána trajektorie filtračního procesu (20) a (22) s omezením jeho parametrů plynoucím ze vztahů (1) až (9) a nechť platí (42) s -1 < J. < 1. Potom pro limitu lim Zt = z platí
t-;.+oo
0,5
0,5
-<
0,71;::
t0,4
0,8
0,2
0,9
°
-1
Obr.
~
-Q5 2. Optimální nastaveni 1i1tru p o
odeznění
počátečního
přechodové ho děje
( 2 -ro (I-{J) - },2 - + I-A) (43) 80
minima funkce (43) lze nahradit řešením rovnice (43) s levou stranou 1 - I,. Vznikne však algebraická rovnice třetího stupně . Významnou předností řízené filtrace je velmi snadný výpočet optimální velikosti parametru A. Výsledky výpočtu tímto postupem jsou uvedeny vobr. 2. Vedle kritéria účinno sti filtrace (17) je v grafu vyznačena i odmocnina z, která před stavuje směrodatnou odchylku normované chyby filtrace. Závislost velikosti parametru A. a kritéria účinnosti filtrace na parametrech modelu procesu ukazuje, že účinek filtrace je větší v širším pásmu hodnot {3 při nižším odstupu signálu od šumu ve srovnání s vyšším odstupem signálu od šumu, kdy lze účinně filtrovat náhodné chyby pouze při {3 blízkém jednotce.
filtrace
Známý neřízený filtr (10) nemá časově parametry At = A, pro t = 1, 2, ...
I
(46)
t-? +oo
p (1- A) + (3 Ag - - 9
neřízené
+ g) + (1-.1.)2
Účinnost říz.ené a neřízené filtrace pro t -+ + 00 musí být shodná, proto také optimální velikost parametru A u neřízené filtrace musí být shodná s limitou lim ),t . Podle (40) platí z = 1 - A. Hledání
~
+A
(45)
řešení.
adaptace parametru filtru 1
A
1-{3A
Optimální nastavení neřízeného filtru spoClvá ve extrému funkce z(A) dané vztahem (43). Složitost funkce (43) vylučuje použití analytické metody výpočtu a odkazuje na numerický postup
+
1
(1 _ (3) 1 -
výpočtu
vypocet vystupu filtru l\X+(1-A)Y- X
·- · -
~
z = A2(z
I t
Z =
2
Limita (43) se vypo čte z limity vztahu (22)
0- 9
6. Porovnání říz ené a
=
80
-JI.
50
2-A+ g
II závisí na mocnině
= O a tedy
50
1+~+~
=
{3A. Protože platí - 1 < {3 < 1, je rovněž podle před pokladu věty 4 -1 < {3A < 1, a proto lim (P A)t-2 =
2 ~ (1-())--p
1
g t-l
(44)
1-{3A
t-i>oo
počotečni vypocty a pi'iřoIenl proměnnych
50
1 - ({3),)t-2 )
,
t
m ěřeni
= 2~ (1-{3) (l-A({3A)t-2 + 8
I - pA
Dúka z: Pro konstantní At je řešením diferenční rovnice (21) s počáteční podmínkou (19) následující vzorec
Užitečná složka měřených dat může být dána pouze v čase neměnnou náhodnou veličinou (ro = O), jejíž rozptyl je značně větší než rozptyl náhodných chyb měření (a > > 8 0), Optimální posloupnost (ll) parametrů filtru je v tomto případě posloupnost : O,
automatizace 318 ___________________________.=...31=--..!.(1.:..:9:..::8.=...8)!......=.č.~12 ~éria
r
1,5
(17) po startu filtrace jsou uvedeny v ob?'. 3. Rízená filtrace je účinnější než neřízená především při měření údajů s neznámou hodnotou H a s časově proměnlivou užitečnou složkou, která má rozptyl menší, než je rozptyl chyb měření.
.!!...=o 50
1P~
l!
~=10 50
-+-~-+-+
7.
I O,5~+H+
Řízený filtr má ve srovnání s neřízeným filtrem dvě podstatné výhody:
-
+-+--+-+-+--+-+01 o
I, , , , , , "
1 2 :3 4- 5 -t
Závěr
I
10
řízená
filtrace má po celou dobu nejvyšší možnou účinnost - výpočet optimálního nastavení algoritmicky velmi snadný.
měření
teoreticky
řízeného
filtru je
Řízená filtrace využívá dokonale možností číslico
véhozpracování dat současnou výpočetní technikou , protože řízený filtr není prostým ekvivalentem analogového filtru , jako je tomu u neřízeného filtru. Algoritmus řízené filtrace lze použít v inteligentních číslicových měřicích přístrojích s mikroprocesory a pro základní zpracování vstupních dat složitých měřicích a řídicích systémů . Před začátkem filtrace je třeba k výpočtu parametru filtru zadat:
0,5
t
+ neHzena filtrace o
řizena
filtrace
Obr. 3. Účinnost Hzcué u?itočný
lL n oNy-oné tlltl'llco po ~tartu m M'eru pro s igná l s parametrem tJ = 0,9
1/2,2/3, . .. , což odpovídá průměru změřených dat. Výhody filtrace řízené
průběžnému
aritmetickému
oproti neřízené budou demonstrovány na příkladu , u kterého je pro měřená data zvoleno fl = 0,9 a několik hodnot poměrů To/So a a/so. Počáteční volba veličiny X o u obou způ sobů filtrace je podle vzorce (37) a parametr A neřízené filtrace minimalizuje funkci (43). Vliv odstupu signálu od šumu na ú činek filtrace se sleduje pro měřená data s neznámou hodnotou H, která má rozptyl a/so = 10. a pro měřená data se známou hodnotou H, tj . a/so = O. Výsledky výpočtu postupné změny odmocniny kri-
- odstup . časově proměnné užitečné složky signálu od chyby měření (poměr rozptylů obou složek např . v dB) - střední hodnotu základní úrovně měřeného signálu (obvykle střed měřicího rozsahu) - poměr rozptylu základní úrovně k rozptylu chyby měření nebo rozptylu proměnlivé užitečné složkyviz případná úprava vzorce (38) (rozptyl základních základních úrovní měřeného signálu lze odhadnout např. z předpokladu rovnoměrného rozdělení této náhodné veličiny v měřicím rozsahu) - šíři frekvenčního spektra užitečného signálu (umožňuje určit potřebný parametr autokovarianční funkce). Literatura [ll MARKL, J.: Návrh optimálního exponenoiálruho filtru pro počítačové zpracováru dat. Automatizace, 23, 1980, č. I, s . 2-5. [2] MARKL, J.: Recursive estimation as an optimaly controlled proccss. Kybernetika, 21,1985, č. 4, s. 272-286. Do~lo:
12. 2. 1988
Lektoroval: doc. Ing. P. ZUek, DrSc.
