ČÍSELNÉ OBORY, MNOŽINY
1) Kolejnice délky 25 m se při zvýšení teploty vzduchu o 20 °C prodlouží o 6 mm. Nejnižší teplota ( −15 ) °C byla naměřena 12. února a nejvyšší teplota 35 °C 18. července téhož roku. Jaký byl největší rozdíl v délkách této kolejnice v průběhu roku? 6 mm 12 mm 15 mm 18 mm 2) Výsledkem příkladu 66 ∙ 6 − 6 ∙ 6 + 6 ∙ 6 − 36: 6 + (26 − 6): 10 je 393 389 390
392
𝑝
3) Číslo opačné k číslu 𝑞 je:
𝑞 𝑝
𝑝
𝑝
1−𝑞
−𝑞
𝑝 −1
(𝑞 )
4) Z číslic 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vybereme jednu, označíme ji 𝑥 a utvoříme pěticiferné číslo 𝑛 = 32𝑥1𝑥. Všechny číslice 𝑥, pro něž je uvedené číslo dělitelné 15, jsou: 0,5 0 5 0,3,5 3,5,8 5) Zboží, jehož původní cena byla 1200 Kč, bylo dvakrát zlevněno. Nejprve o 15%, později o 10% z nové ceny. O kolik procent bylo zboží celkem zlevněno? 30% 5% 25% 12,5% 23,5% 6) Kolik dělitelů má číslo 200? 6
8
10
7) Dvě přirozená čísla jsou v poměru 3 : 13. Které z následujících čísel může být jejich součtem? 39 66 96
12
129
8) Reklamní agentura se ve smlouvě s klientem zavázala doručit jeho letáky do třech čtvrtin bytů na sídlišti. Při kontrole se zjistilo, že letáky byly doručené do 7200 bytů, což byly dvě třetiny z celkového počtu bytů na sídlišti. Nejmíň do kolika bytů musí ještě agentura doručit letáky, aby splnila svůj smluvní závazek? 1080 900 800 600 9) Jisté nerovnici vyhovují všechna čísla z intervalu 〈−4; 7〉, ale současně nejsou z intervalu 〈1; 12〉. Řešením této nerovnice jsou všechna čísla z množiny (7; 12〉 〈1; 7〉 〈−4; 1) (−4; 1) 〈−4; 1) ∪ (7; 12〉 10) Z dřeva se získá 45% buničiny a z ní 60% papíru. Kolik tun papíru se vyrobí z 300t dřeva? [81t] 11) V matematické soutěži řešili účastníci dvě úlohy. Každý vyřešil aspoň jednu úlohu, přitom první úlohu vyřešilo 80% účastníků, druhou 50% účastníků. Obě dvě úlohy vyřešilo 60 účastníků. Kolik účastníků měla soutěž? 200 300 360 250 100 9
1
12) Jsou dány množiny 𝐾 = {−234; 1,5; − 25 ; 1; 0,7; −12} , 𝐿 = {20; −246; − 50 ; −1,5; 0,6; 0; 7}. Určete, zda prvky
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 náleží některé z množin 𝐾, 𝐿, je-li: 8 5
5 2
3 5
𝑎 = −3 ∙ (9 − 13)2 ∙ 5 − 6; 𝑏 = |−0,056|: 0,7 − 0,1; 𝑐 = | − ∙ (1 − )| ; 𝑑 = − |−
23 4 | : |2 21| 7
13) Na číselné ose zobrazte a popište všechna celá čísla, jež náleží množině (−1; 2) ∪ (2; 3〉 ∪ (3; 4〉
14) Jsou dány množiny A, B: 𝐴 = {−5; −3; −2; 0; 1}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍; −2 < 𝑥 ≤ 3}. Určete: (A) 𝐴 ∪ 𝐵 (B) 𝐴 ∩ 𝐵 (C) 𝐴 − 𝐵 (D) 𝐵 − 𝐴 [𝐴 ∪ 𝐵 = {−5; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3}; 𝐴 ∩ 𝐵 = {0; 1}, 𝐴 − 𝐵 = {−5; −3 − 2}, 𝐵 − 𝐴 = {−1; 2; 3}] 15) V kavárně je 42 zákusků, z toho je 13 ozdobeno šlehačkou a 19 polevou. Sedm zákusků je ozdobeno šlehačkou i polevou. Vypočítejte, kolik zákusků je ozdobeno šlehačkou nebo polevou. (A) 25 (B) 18 (C) 24 (D) 21 (E) žádná z uvedených možností 16) Podle jízdního řádu má být vlak za 10 minut ve stanici. K nádraží mu zbývá 32 km jízdy. Vlak za každé 2 minuty ujede 3 km kromě posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut. Jaké předpokládané zpoždění se objeví na nádražní informační tabuli? (A) žádné zpoždění (B) 5 minut (C) 10 minut (D) 15 minut (E) jiné zpoždění 17) Měřítko mapy (viz obrázek) vyjádřete ve tvaru 1:x. (Tedy 1 cm na mapě představuje x cm ve skutečnosti).
[1 ∶ 50 000]
18) Divadlo nabízí pro každé představení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. Během deseti představení bylo 6x zcela vyprodáno a 4x se neprodala polovina dražších lístků. Jaká je průměrná tržba na jedno z deseti představení? (A) 98 000 Kč (B) 97 000 Kč (C) 96 000 Kč (D) 95 000 Kč (E) jiná tržba
19) Ve fitcentru si vedou měsíční statistiky. Dvě pětiny návštěvníků chodí do fitcentra alespoň 2x týdně, osmina z nich dokonce denně. Čtvrtina návštěvníků chodí 1x týdně. Každá dvacátá osoba se po první návštěvě fitcentra víckrát nevrátí. Zbytek návštěvníků chodí několikrát do měsíce, ale nepravidelně. Přiřaďte ke každé otázce odpovídající výsledek: Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra alespoň 2x týdně? D Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra denně? A Kolik procent návštěvníků chodí do fitcentra pravidelně? E Kolik procent návštěvníků chodí několikrát do měsíce, ale nepravidelně? C A. 5% B. 25% C. 30% D. 40% E. 65% F. jiná hodnota 20)
Kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun?
[1 000 000]
21) Na druhý stupeň ZŠ v Postrkově chodí místní pěšky, ale všech 56 z okolních obcí dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení počtu žáků podle místa bydliště. Kolik žáků dojíždí z Nemanína? (A) 14 žáků (B) 18 žáků (C) 20 žáků (D) 24 žáků (E) jiný počet žáků
23) Celkem 960 obyvatel města odpovědělo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovědi jsou zaznamenány v následující tabulce:
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO) nebo nepravdivé (NE) Celkem 50 účastníků referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla. ANO - NE Podpora provozu kina má 2x více příznivců než podpora provozu divadla. ANO - NE Necelých 18% účastníků referenda nechce podporovat provoz kina. ANO - NE Asi 74% účastníků referenda by rádo podpořilo pouze jeden z obou provozů. ANO – NE 24) Podle daňového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek včetně 20% daně 6 000 Kč. Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 10% daní? (Výsledek zaokrouhlete na celé koruny) (A) 5 280 Kč (B) 5 400 Kč (C) 5 500 Kč (D) 5 700 Kč (E) 5 980 Kč
1
5
25) Vyznačte na číselné ose obrazy čísel 2 𝑎 6.
26) Firma si účtuje za vybavení oceláře žaluziemi celkem 2 650 Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kč dražší než jejich instalace. Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? (A) 42% (B) 37,5% (C) 6% (D) 32% (E) 26,5% 28) Součet dvou přirozených čísel je o 50% větší než jejich rozdíl. Menší z obou čísel je 15. Určete větší z obou čísel. [75]
29) Trojúhelník je rozdělen na tři části. Část při vrcholu C zaujímá třetinu obsahu trojúhelníku, část při vrcholu B dvě pětiny obsahu trojúhelníku a zbývající část při vrcholu A má obsah 4 m2. Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC v m2
[15 m2]
̅̅̅ − 0,205 ̅̅̅̅) = 30) Zaokrouhlete na desítky výsledek číselného výrazu: 105 ∙ (0, ̅25 [4750]
31) Ze dvou příkladů v písemce vyřešilo jen jeden příklad 16 žáků, oba dva příklady 7 žáků a ani jeden z příkladů 12 žáků. První příklad přitom vyřešilo dvakrát víc žáků jak druhý příklad. Kolik žáků vyřešilo druhý příklad? [10]
32) Jestliže 1 mol látky obsahuje přibližně 6,023 ∙ 1023, potom 100 molů látky obsahuje přibližně (A) 𝟔, 𝟎𝟐𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟓 čá𝒔𝒕𝒊𝒄 (B) 6,023 ∙ 10023 čá𝑠𝑡𝑖𝑐 (C) 6,023 ∙ 10123 čá𝑠𝑡𝑖𝑐 (D) 6,023 ∙ 100023 čá𝑠𝑡𝑖𝑐 (E) 6,023 ∙ 102300 čá𝑠𝑡𝑖𝑐 33) V Domě sportu zlevnili po vánocích sjezdové lyže o 30%. Po skončení lyžařské sezony zlevnily tytéž lyže znovu o 30%. O kolik procent zlevnily lyže celkem oproti původní ceně před vánocemi? [o 51%]
34) Martin měl našetřené o 40% víc jak Tomáš. Za polovinu úspor si Martin koupil snowboard. O kolik procent má teď Martin menší úspory než Tomáš? [o 30%]
35) Mapa v měřítku 1 : 30 000 má rozměry 20 cm x 30 cm. Kolik kilometrů čtvercových území znázorňuje tato mapa? [54 km2]
36) V jistém podniku je počet administrativních pracovníků a počet výrobních pracovníků v poměru 1 : 3. Každý výrobní pracovník má měsíční mzdu 7 200 Kč. Každý administrativní pracovník má měsíční mzdu 12 000 Kč. Jaká je průměrná měsíční mzda všech pracovníků tohoto podniku? [8 400 Kč]
37) Kolikrát je číslo 1,8 ∙ 10𝑎+1 větší než číslo 7,2 ∙ 10𝑎−2? (A) 250 ∙ 10𝑎 − 𝑘𝑟á𝑡 (B) 250 – krát (C) (D) (E)
10𝑎−1 − 𝑘𝑟á𝑡 4 1 − 𝑘𝑟á𝑡 40 1 − 𝑘𝑟á𝑡 250 1
38) Aleš s Bohunkou rekonstruovali podlahu v kuchyni. Aleš si přál vydláždit část A, která tvoří 4 podlahy kuchyně, 2
Bohunka část B, která tvoří 3 podlahy kuchyně. Ve výsledném řešení (V) byla obě přání splněna, tedy byla vydlážděna část A i B. Zapište zlomkem, jaká část podlahy kuchyně byla vydlážděna.
11
[ ] 20
39) Jsou dány množiny: 𝐴 = (−∞; 0⟩, 𝐵 = (−2; 3), 𝐶 = 〈−3; −2〉. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). (A) 𝐴 ∩ 𝐵 = (−2; 0⟩ ANO - NE (B) 𝐴 ∪ 𝐵 = (−∞; 2⟩ ANO - NE (C) 𝐴 ∩ 𝐶 = (−∞; 0⟩ ANO - NE (D) 𝐵 ∪ 𝐶 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2} ANO – NE
40) Družstvo základní školy se zúčastnilo televizní soutěže. Jméno družstva vybírali žáci ŽŠ te tří návrhů, a to „Machři“, „Puštíci“ a „Vikingové!. Výsledky hlasování znázorňují kruhové diagramy. Kolik procent hlasujících žáků vybralo jméno „Vikingové“? (A) 20% (B) 22% (C) 33% (D) 40% (E) jiný počet procent 41) Na číselné ose je vyznačeno 5 shodných dílů. Zapište číslo, jehož obrazem je bod X.
[23]
42) Určete všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 3. [-2; -1; 0; 1; 2]
43) Vyznačte na číselné ose obraz periodického čísla 0, 6̅.
44) Každý z obou shodných obdélníků je rozdělen na pět shodných dílů. Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jakou část plochy tvořené dvěma obdélníky zaujímá tmavá plocha.
3
[ ] 10
45) Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). (A) Číslo -2 je prvkem množiny všech přirozených čísel. ANO - NE 9
(B) Číslo 3 je prvkem množiny všech přirozených čísel. (C) Periodické číslo 0, 7̅ je prvkem množiny všech racionálních čísel.
ANO - NE
(D) Číslo √2 není prvkem množiny všech racionálních čísel.
ANO – NE
ANO - NE
46) V prvním grafu je uvedeno průměrné časové rozložení všech denních činností paní Nové. Ve druhém grafu je podrobněji popsána náplň jejího volného času.
Kolik minut denně věnuje v průměru paní Nová četbě? (A) 32 minut (B) 36 minut (C) 38 minut (D) 40 minut (E) 45 minut
47) Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První obdélník je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří tmavá plocha.
5
[ ] 24
48) Vypočtěte, kolik procent je 6 miliontin metru z 15 desetitisícin metru.
[0,4%]
49) Na číselné ose jsou znázorněny intervaly A, B. Zapište intervalem 𝐴 ∩ 𝐵.
[𝐴 ∩ 𝐵 = ⟨1; 5)]
50) Pozemek má dvě části. V první části je sad, ve druhé části je dům a zahrada. Čtvrtinu druhé části zabírá dům a zbývajících 660 m2 této části tvoří zahrada. Druhá část má dvakrát větší rozlohu než první část. (A) Vypočtěte v m2 rozlohu plochy, kterou zabírá dům. (B) Vypočtěte v m2 rozlohu celého pozemku.
[220 m2] [1 320 m2]
51) Obchodník koupil výrobky za jednotnou nákupní cenu. Doporučená prodejní cena jednoho výrobku je o 60% 4
vyšší než jeho nákupní cena. Za doporučenou prodejní cenu prodal obchodník 5 nakoupených výrobků, zbytek výrobků se mu prodat nepodařilo. O kolik procent je částka získaná z prodeje výrobků vyšší než částka vynaložená na nákup všech výrobků? (A) 48% (B) 28% (C) 20% (D) obě částky jsou stejné (E) jiný rozdíl 52) Plocha kruhu je o 20% menší, než je plocha čtverce. Vyjádřete, o kolik procent je plocha čtverce větší, než je plocha kruhu. [o 25%]
53) Jsou dány množiny 𝐴 = (−∞; −1), 𝐵 = 〈−2; −1〉. Zapište intervalem 𝐴 ∪ 𝐵. [𝐴 ∪ 𝐵 = (−∞; −1⟩]
54) Čtyři pracovníci si rozdělili výdělek následujícím způsobem: první dostal pětinu celkové částky, zbývající tři pracovníci si rozdělili zbytek na tři stejné části. V jakém poměru jsou částky prvního a druhého pracovníka v tomto pořadí? (A) 3 : 4 (B) 4 : 5 (C) 5 : 4 (D) 5 : 3 (E) 3 : 2 55) Na číselné ose vyznačte interval 〈2 − 𝑛; 𝑛 − 3〉 𝑝𝑟𝑜 𝑛 = 5.
56) Najděte nejmenší přirozené číslo n, pro které existuje interval 〈2 − 𝑛; 𝑛 − 3〉 a tento interval vyznačte na číselné ose.
[ n = 3]
57) Hmotnostní procento zlata ve slitině je přímo úměrné počtu karátů. Slitina obsahující 7% zlata se označuje 18 karáty. Kolik procent zlata obsahuje 24karátový prsten? [100%]
58) Cesta do školy je dlouhá 10 km a na kole se ujede za půl hodiny. Stejnou cestou zpět se jede o 10 minut déle. O kolik km/h se liší průměrná rychlost na cestě tam a zpět? [o 5 km/h]
59) Osm šéfů gangu představuje pouhá 2,5 procenta počtu všech členů gangu, ale připadá na ně celá polovina zisku. Kolikrát větší je průměrný zisk šéfa gangu oproti průměrnému zisku řadového člena gangu? (A) 19krát (B) 20krát (C) 25krát (D) 39krát (E) 80krát 60) Určete nejmenší společný násobek čísel 28; 125 a 160. [28 000]
MOCNINY, ODMOCNINY
3
6
1) Výraz √𝑦 ∙ √𝑦 −2 ∙ √𝑦 3 je pro 𝑦 > 0 roven (A) 3√𝑦 (B) 6√𝑦 (C) 𝑦√𝑦 (D) √𝑦 −1 5
25
3
2) Výraz √ 3 : √ 5 √5
(A) (B) (C) (D) (E)
5
√125
je roven
√5 5
√5 √5 3 5√5 jinak 3
3) Ve zkumavce bylo večer 615 bakterií. Přidáním antibiotik se do rána jejich počet o třetinu zmenšil. Kolik bakterií zůstalo ve zkumavce? (A) 415 (B) 4 ∙ 614 (C) 615 − 215 (D) 610 (E) 615 − 65 4) Přiřaďte ke každému výrazu jeho ekvivalentní vyjádření (A - E). 4.1 (a-1 ∙a2 )3 _________ A a-4
-2
4.2 (a-1 )
4.3 √a4 ∙a12 A. 𝑎3 B. 𝑎4 C. 𝑎6 D. 𝑎8 E. 𝑎−6
_________ _________
C D
5) Vypočítejte: (A) 3 ∙ 1019 − 4 ∙ 1018 + 1020
[126 ∙ 1018 ]
(B) 5 ∙ 10𝑛+1 − 8 ∙ 10𝑛
[42 ∙ 10𝑛 ]
6) Pro 𝑎 > 0 upravte na co nejjednodušší tvar: 𝑎3 2 −3 −( ) = 22 𝑎
𝑎3 [ ] 8
7) Rozhodněte, jsou-li následující tvrzení pravdivá (ANO), nebo nepravdivá (NE). 1
3
4
3
√𝑚∙√𝑛 (A) √ 3 2 = 𝑚−24 ∙ 𝑛8 , 𝑚 > 0, 𝑛 ≥ 0
ANO - NE
√𝑚
(B) (
3 4 𝑎5 𝑏3 2 𝑎3
1 2
2
2
) = 𝑎−17 𝑏 3 , 𝑎 > 0, 𝑏 ≥ 0 1
3
ANO - NE
1
3 (C) √√𝑎5 𝑏 7 : √ √𝑎2 ∙ √𝑏 4 = 𝑎2 𝑏 6 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
ANO - NE
8) Ke každému výrazu 1. - 3. přiřaďte z možností A - E správný výsledek. 3
(1) √
4
√𝑥 4 ∙ √𝑦 3 √𝑦 5
, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 > 0
3
𝑥 5 𝑦 −3
(2) ( 𝑥 −3 𝑦 ) , 𝑦 ≠ 0 4
3 (3) √√𝑥 7 ∙ √𝑥 5 , 𝑥 ≥ 0
A. B.
𝑥 24 𝑦 12 24
√𝑥 27
6
C.
√𝑥 4
12
√𝑦 7 31
D. 𝑥 24 E. žádná z uvedených možností
(1C, 2A, 3D)
9) Pro 𝑑 ≥ 0 upravte na co nejjednodušší tvar: √2𝑑3 ∙ √18𝑑 = [6𝑑2 ] 17
10) Kolikrát větší je číslo 10
15
než součet čísel 3,2 ∙ 10
14
𝑎 8 ∙ 10 ? [25-krát]
11) Odečtěte: 3𝑥 102 ∙ 𝑥 100 − 2(𝑥 99 ∙ 𝑥 103 ) [𝑥 202 ]
12) √21000 +21000+ 21001 = (A) (B) (C) (D)
2501 21000 21001 21002
(E) 2
3001 2
10
13) Pro 𝑛 ∈ 𝑵, 𝑦 ∈ 𝑹 zjednodušte na tvar bez odmocniny: (A) √4𝑛5 ∙ 9𝑛5 = (B)
[6𝑛5 ]
√4 ∙ 4𝑦16 + 9𝑦16 =
[5𝑦 8 ]
14) Vypočtěte jednu třetinu z 33𝑘+3 , 𝑘𝑑𝑒 𝑘 ∈ 𝒁.
[33𝑘+2 ]
15) Zjednodušte a vyjádřete jako mocninu celého čísla: (3 ∙ 5)60 120 ∙3 = 560 [3180 ]
16) Vyjádřete jako jedinou mocninu se základem 2 výraz: 2200 ∙ 2100 + 8100 [2301 ] 17) Vypočtěte: [104 − (8 ∙ 104 − 73 ∙ 103 )]2 = [9 000 000]
18) Z následujících možností (A – E) vyberte správné řešení výrazu: 1
1
1
(81−2 + 252 ) ∙ 36−2 (A) (B) (C) (D)
𝟐𝟑 𝟐𝟕 4 3 38 7 14 15
(E) žádná z uvedených možností
11
