INTERFERENSI DAN DIFRAKSI Mata Kuliah: Gelombang & Optik Dosen: Andhy Setiawan
A. Interferensi Interferensi
merupakan
gelombang
sebagai
perpaduan akibat
dua
atau
berlakunya
lebih prinsip
superposisisi. Interferensi terjadi bila gelombang–gelombang tersebut koheren, yaitu mempunyai perbedaan fase yang tetap.
Interferometer Interferometer
merupakan
alat
untuk
menghasilkan
gelombang yang koheren sehingga interferensi bisa terjadi. Jenis Interferometer : 1. Pembelah muka Gelombang 2. Pembelah Amplitudo
A.1 Interferometer Pembelah Muka Gelombang Prinsip Kerja : Dua gelombang yang koheren diperoleh dari sumber yang sama dengan intensitas yang tetap. Contoh : Interferometer Young dua celah Interferometer Biprisma Fresnel Interferometer Young banyak celah
A.2 Interferometer Pembelah Amplitudo Prinsip Kerja : Dua gelombang yang koheren diperoleh dengan membagi intensitas semula , misal dengan lapisan pemantul sebagian
Contoh : Interferometer Michelson Interferometer Fabry Perot
A.1. Interferometer Pembelah Muka Gelombang A.1.1. Percobaan Young
P r1 θ1
S1
y r2
S θ2 S2
L Gambar Percobaan Young
Persamaan gelombang cahaya dari S1 dan S2 di titik P pada layar :
E 1 (r , t ) = E 0 e i ( kr1 − ω t + ϕ 1 )
E 2 (r , t ) = E 0 e
i ( kr2 − ω t + ϕ 2 )
Superposisi di titik P :
E = E1 + E 2
(
E (r , t ) = E 0 e
i ( kr 1 − ω t + ϕ 1 )
+e
i ( kr 2 − ω t + ϕ 2 )
).... (1 )
Intesitas :
I ≈ E
2
[
][
]
I ≈ E0 ei ( kr1 −ωt +ϕ1 ) + ei ( kr2 −ωt +ϕ2 ) e −i ( kr1 −ωt +ϕ1 ) + e −i ( kr2 −ωt +ϕ2 ) 1 2
[ [2 + e
]
I ≈ E0 1 + e − i (k ( r2 − r1 ) + (ϕ 2 −ϕ1 )) + e i (k ( r2 − r1 ) + (ϕ 2 −ϕ1 )) + 1 2
I ≈ E0
2
− i ( k ( r2 − r1 ) + (ϕ 2 −ϕ1 ))
I0 ≈ E0
]
dengan φ = k (r2 − r1 ) + (ϕ 2 − ϕ1 )
I ≈ E 0 [2 + 2 cos φ ] 2
karena
+ e i (( r2 − r1 ) k + (ϕ 2 −ϕ1 ))
2
≈ E 02 maka
I = 2 I 0 [1 + cos( φ ) ]
I = 2 I 0 [1 + cos( φ ) ]
dengan φ = k (r2 − r1 ) + (ϕ 2 − ϕ1 )
φ φ cos 2 = 2 cos 2 − 1 2 2
= k∆r + ∆ϕ
k∆r ∆ϕ I = 4 I 0 cos + 2 2 2
Kedua gelombang dari sumber yang sama
k∆r I = 4 I 0 cos 2 2
∆ϕ = 0
P r1 θ1
S1 d
S
S2
y r2
θ ∆r
θ2
L
= d sin θ , Karena θ << 2π k= λ maka
Dari gambar ∆r mengingat
maka sin θ ≅ tan θ =
πdy I = 4 I 0 cos λL 2
y L
πdy I = 4 I 0 cos λL 2
I akan maksimum jika :
πdy cos =1 λL 2
Jarak terang ke-n dari pusat
I akan minimum jika :
πdy cos =0 λL 2
πdy = nπ λL n = 0,±1,±2 λL y=n
d
πdy 2n + 1 = π λL 2 n = 0,±1,±2
2 n + 1 λL y= 2 d
•jarak antara dua terang / dua gelap berurutan Jika :
n=0
y=0
n =1
y=
n=2
y=
λL
d 2λ L y= d
∆y = y1 − y0 = y2 − y1 ∆y = λL d
λL
2d 3λL y= 2d 5λL y= 2d
• jarak gelap ke terang berurutan adalah
∆y = y0 g − y0t = y1t − y0 g = y1g − y0t = L ∆y =
λL 2d
A.1.2. Interferometer Biprisma Fresnel Interferometer Biprisma Fresnel menggunakan prisma sebagai pembelah muka gelombang. Untuk itu sebelumnya kita harus memahami jalannya sinar pada prisma α
c θi1
a
x θr1
δ y
θr2
θi2
Gambar Jalannya sinar pada prisma
α a = 900 - θr1 ; c θi1
a
x θr1
δ y
θr2
θi2
b = 900- θi2 α + a+ b = 1800 x = θi1 - θr1 ; y = θr2 - θ i2 c +x +y = 1800
c = 1800 - ( θi1 - θr1 ) - ( θr2 - θ i2 ) = 1800 - (θi1 + θr2) + (θr1 + θ i2) = 1800 - ( θi1 + θr2) + α ……………..(*) δ = 1800 - c = 1800 - (1800 - ( θi1 + θr2) + α ) = ( θi1 + θr2) – α …………(**) Persamaan (**) menunujukan persamaan umum sudut deviasi.
Sudut Deviasi Minimum • Terjadi bila
θ r1 =
α 2
θr1 = θ i2
α
dan θi1 = θr2
α = 2θ r 1
θi1
θr1
θ i2
θr2
δ = (θi1 + θ r 2 ) − α dengan
θ i1 = θ r 2
δ = 2θi1 − α δ +α θi1 = 2
Gamba 4. Prisma dengan sudut deviasi minimum
Berdasarkan hukum Snellius :
1Sinθ i1 = nSinθ r1 Sin
δ +α 2
= nSin
α 2
Selanjutnya untuk α yang kecil :
δ +α
nα = 2 2 δ = (n −1)α..............(***)
Persamaan (***) adalah sudut deviasi minimum
Interferometer Biprisma Fresnel
p
α
S1
d
q
2δ
S
r S2
R
L
s Layar
S = d = 2δ R
δ <<
S
d
2δ
R = R’
R’
R
Gambar 5. Sudut pada Inteferometer Biprisma Fresnel
∆y =
λL
L → ( R + L)
d
d = 2δ R
Maka :
∆y =
λ ( R + L) 2 Rδ
karena δ
yang minimum :
λ (R + L ) ∆y = 2 R(n − 1)α
δ = (n − 1)α
A.1.3. Interfereometer Young Banyak Celah
r1 r2
S1
r3 S2 S3
d sin (θ )
θ
r4 r5
S4 S5
Gambar 6. Interferensi dari N celah
P
Semakin jauh celah maka Δφ semakin besar. Beda fase antara dua gelombang yang masuk ke celah secara berurutan menghasilkan Δφ = k.Δr
r3 = r2 + ∆r = r1 + 2∆r
r2 = r1 + ∆r
rn = r1 + (n − 1)∆r
Fungsi gelombang :
E1 = E0 e
i ( kr1 −ωt )
E n = E0 e
i ( krn −ωt )
E2 = E0 e i (kr2 −ωt )
→ E n = E0 e
i ( k ( r1 + ( n −1)∆r )−ωt )
Fungsi gelombang di titik P merupakan perpaduan gelombang cahaya yang melewati celah 1 sd N, maka:
N
E = ∑ E0 e i (k (r1 + (n −1)∆r −ωt )) n =1
N
E = ∑ E0 e n =1
i ( k ( r1 + ( n −1)∆r −ωt ))
Dapat ditulis ulang sebagai :
N
E = E 0 e i (kr1 −ωt ) ∑ e i (k (n −1)∆r ) n =1 N
∆ϕ = k .∆r
E (r , t ) = E 0 e i (kr1 −ωt ) ∑ e i ((n −1)∆ϕ ) ........9) n =1
S Selanjutnya bagian S diekspansikan dalam deret : N
i (( n −1)∆ϕ ) i∆ϕ i 2 ∆ϕ i 3 ∆ϕ e = 1 + e + e + e ... ∑ n =1
Merupakan deret ukur dengan rasio
R=e
i ∆ϕ
Deret ukur dengan rasio R memiliki jumlah N
Sehingga :
ei (n −1)∆ϕ
∑ n =1
=
e
i
eiN∆ϕ − 1 = i∆ϕ e −1
( 1 2 N ∆ϕ + 1 2 N ∆ϕ ) e
(
i 1 ∆ϕ + 1 ∆ϕ 2 2
)
−e −e
i
(
1
R N −1 SN = R −1
2 N ∆ϕ −
(
i 1 ∆ϕ − 1 ∆ ϕ 2 2
N i N ∆ϕ −i ∆ϕ e 2 − e 2 e = ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ i i −i 2 2 2 e e − e sin N∆ϕ ∆ϕ N i ( N −1) i ( n −1)∆ϕ 2 2 = e e ∑ sin ∆ϕ n =1 2 i
N ∆ϕ 2
1 N ∆ϕ 2
)
)
N
i ( n −1)∆ϕ e =e ∑ n =1
∆ϕ i ( N −1) 2
sin N∆ϕ 2 sin ∆ϕ 2
∆ϕ i ( N −1) sin ( N ∆ϕ ) i ( kr1 −ωt ) 2 E (r , t ) = E0 e e 2 sin ∆ϕ 1 φ = kr1 + (N − 1)∆ϕ − ωt 2 2
maka persamaan 9 menjadi :
Jika
sin ( N ∆ϕ ) 2 E (r , t ) = E0 e iφ sin ∆ϕ 2
Maka :
2
I≈ E
2
N sin ∆ ϕ iφ − iφ 2 2 I ≈ E0 e .e ∆ϕ sin 2
N sin ∆ ϕ 2 I = I0 ∆ϕ sin 2
2
Untuk kasus celah ganda (dua celah) maka N = 2 :
∆ϕ ∆ϕ 2 sin . cos sin ∆ϕ 2 2 I = I = I0 0 ∆ϕ ∆ϕ sin sin 2 2 2
∆ϕ I = 4 I 0 cos 2
∆ϕ I = 4 I 0 cos 2 2
I = 4 I 0 cos 2
kdy 2L
2
2
∆ϕ = kk∆ ∆r ∆r = d sin θ ≈ d tan θ → ∆r = d ∆ϕ = kd
y L
y L
πdy I = 4 I 0 cos λL 2
kasus celah ganda
A.2. inferometer Pembelah Ampliudo (Pemecah Berkas) A.2.1. Interferometer Michelson M1
M2
S
C
Gambar Interferometer Michelson
M1 ’ d
M1
M2 S C
“Kaca planpararel pada interferometer berfungsi untuk menyamakan lintasan optik” Pada awalnya:
CM1 = CM 2
r1 = r2
dan
Selanjutanya ketika M1 digeser sebesar d, maka :
CM 1 ' = CM 1 + d
r1 ' = r1 + 2d
karena
r1 = r2
r1 ' = r2 + 2d Persamaan gelombangnya :
E1 = E0ei ( k ( r1 + 2 d ) −ωt )
dan
E2 = E0ei ( kr2 −ωt )
∆r = r1′ − r1 = r1′ − r2
∆r = (r1 + 2d ) − r1 ∆r = 2d → r1′ = r1 + 2d
E1 = E0 e
i ( kr1′−ωt )
= E0 e i ( k (r1 + 2 d )−ωt )
E 2 = E0 (e i ( kr2 −ωt ) Superposisi :
E = E1 + E2
E = E0 (e
i ( k ( r1 + 2 d ) −ωt )
+e
i ( kr2 −ωt )
)
Intensitas :
I ≈ E
2
[
][
I ≈ E0 ei (k (r1 + 2 d )−ωt ) + ei ( kr2 −ωt ) e −i (k (r1 + 2 d )−ωt ) + e −i ( kr2 −ωt ) 2
[
]
I ≈ E0 1 + e − i (k ( r2 −(r1 + 2 d )) ) + e i (k ( r2 −(r1 + 2 d )) ) + 1 2
[
I ≈ E0 2 + e − i ( k 2 d ) + e i ( k 2 d )
karena r2 = r1 maka
2
I ≈ E 0 [2 + 2 cos 2 kd ] 2
karena
I0 ≈ E0
2
≈ E 02 maka
I = 2 I 0 [1 + cos( 2 kd ) ]
[
]
I = 2 I 0 1 + 2 cos 2 (kd ) − 1 I = 4 I 0 cos 2 (kd )
]
]
cos2 (kd ) = 1 2π kd = nπ → d = nπ λ 2 d = nλ n = 0,±1,±2
I = 4 I 0 cos (kd ) 2
I akan maksimum jika :
terang ke-n diperoleh dengan mengeser M1 sebesar
λ
2d d =n →λ = 2 n I akan minimum jika :
cos (kd ) = 0 2
4d 2n + 1 d = λ →λ = 2n + 1 4
2n + 1 kd = π 2 n = 0,±1,±2
A.2.2. Interferometer Fabry Perot
r 4 t 2 E 0 e i 2 k∆ r n
r 2t 2 E0 e ik∆r
r 4tE0 r 3tE0 C C’
r 2tE0
t 2 E0
rtE 0 tE0 θ
A E0
∆r
D
d
B’ B
θ ∆r = perbedaan jarak antara dua lintasan berurutan
∆r = ( AB + BC + CD ) − ( AB + BB′) ∆r = 2 AB − BB′
Gambar 11. Pemantulan ganda pada Interferometer Fabry Perot
segitiga ABC '
d cosθ = AB
AC ' AC ' cos θ sin θ = = AB d
segitiga BB' D BB' sin θ = BD
d AB = cosθ
AC ' = d tan θ = CC '
BB ' sin θ = 2CC '
BB' = 2 sin θ .d tan θ
2d ∆r = − 2d tan θ sin θ ∆r = 2 AB − BB ' cos θ 2 2 1 − sin θ d d sin θ ∆r = 2d ∆r = 2 − cos θ cosθ cosθ
cos 2 θ ∆r = 2d cos θ
∆r = 2d cosθ
ϕ = k .∆r
ϕ = 2kd cos θ
Fungsi Gelombang:
E = E0 t + r t E0 e 2
2 2
ikϕ
[
+ r t E0 e 4 2
E = E0t 2 1 + r 2 e ikϕ + r 4 e i 2 kϕ 1 E = E0 t . 1 − r 2 e ikϕ
I≈
]
S∞ = 2 4
E0 t
1 1− ρ
2 ikϕ 2
1− r e
1− r e
R = r2
maka 2 ikϕ 2
1− r e
1 S∞ = 1 − r 2 e ikϕ
)(
= 1 − r 2 e iϕ 1 − r 2 e − iϕ
(
)
= 1 − 2r 2 cos ϕ + r 4 = 1 − 2r 2 + r 4 + 2r 2 − 2r 2 cos ϕ
(
= 1− r
= (1 − R ) + 2 R(1 − cos ϕ ) 2
(
r 2 e ikϕ
)
= 1 − r 2 e − iϕ + e iϕ + r 4
2 ikϕ 2
…
Karena reflektansi
+L
Deret ukur tak hingga dengan rasio ρ=
2
Intensitas:
i 2 kϕ
)
2 2
+ 2r 2 (1 − cos ϕ )
2 ikϕ 2
1− r e
= (1 − R ) + 2 R(1 − cos ϕ )
2 ikϕ 2
1− r e
2 ikϕ 2
1− r e
2
2 ϕ = (1 − R ) + 4 R sin 2 4R 2 2 ϕ = (1 − R ) 1 + sin 2 2 (1 − R ) 2
Sehingga intensitas: 2
I≈
E0 t 4 2 iϕ 2
1− r e
ϕ cos ϕ = 1 − 2 sin 2 2
menjadi:
2 ∆ϕ I = I maks 1 + F sin 2
I 0t 4 I= 4R 2 2 ϕ (1 − R ) 1 + sin 2 2 (1 − R) −1
F dinamakan sebagai koefisisen finess (kehalusan) Fungsi Airy : menentukan pola interferensi
Pola intensitas pada interferometer Fabry Perot
B. Difraksi • Difraksi merupakan gejala pembelokan (penyebaran) gelombang ketika menjalar melalui celah sempit atau tepi tajam suatu Benda. • Difraksi terjadi bila ukuran celah lebih kecil dari panjang gelombang yang melaluinya.
Teori yang mendasari gejala difraksi
Prinsip Huygens-Fresnel: Dalam proses perambatan gelombang bebas, setiap titik pada suatu muka gelombang berfungsi sebagai sumber sekunder sferis untuk anak gelombang (wavelet), dengan frekuensi yang sama dengan gelombang primernya.
B.1. Difraksi Fresnel dan Difraksi Fraunhofer •Menurut prinsip Huygens-Fresnel titik A dan B pada tepi celah, merupakan sumber sekunder dengan fase yang sama.
Gambar gejala difraksi dari suatu gelombang datar yang menjalar melalui suatu celah.
•Efek difraksi diamati pada sutu titik P pada arah θ terhadap sumbu celah. Difraksi Fresnel: jika titik P dan sumber gelombang datang tidak begitu jauh dari celah, sehingga gelombang datang tidak dapat dianggap sebagai gelombang datar. •Difraksi Fraunhofer: jika titik P dan sumber gelombang datang cukup jauh dari celah, sehingga gelombang datang dapat dianggap sebagai gelombang datar.
Difraksi Celah Tunggal: Difraksi Fraunhofer
• gelombang datang berupa gelombang datar • jartak titik P ke celah, jauh lebih besar dari lebar celah, r >> d .
Difraksi gelombang datang berupa gelombang datar
•Titik-titik pada celah antara A dan B, dapat dipandang sebagai sumbersumber gelombang sekunder. •Jadi Pola difraksi celah ini, dapat didekati sebagai pola interferensi sistim banyak celah sempit, masing-masing berjarak a.
Apabila fungsi gelombang yang berasal dari celah sempit pertama (celah sempit paling atas dititk A) adalah: Misalkan:
E 1 = E 0 e − iω t
E n = E 0 e − i (ω t − k (n −1 )a sin θ ) Sehingga di titik P akan terjadi superposisi dari n
E = E1 + E2 + E3 +...+ En = ∑En n=1
E 1 , E 2 , E 3 ,..., E n N
E = E0 e −iωt ∑ e ika (n −1)sin θ n =1
E = E0 e −iωt+ E0e−i(ωt−kasinθ) + E0 e −i (ωt −2ka sinθ ) + ... + E0e−i (ωt −k ( N −1)asinθ )
(
E = E0e −iωt 1 + eika sinθ + e 2ia sinθ + ... + eika ( N −1)sinθ deret ukur dengan rasio
) r=e
ika sin θ
r n − 1 e ikaN sin θ − 1 SN = = ika sin θ r −1 e −1
e
ika
N sin θ 2
SN = e
N − ika sin θ ika N2 sin θ 2 e e −
ka i ka sin θ − i sin θ ka i sin θ e 2 −e 2 2
SN = e
i
ka ( N −1 )sin θ 2
N 2i sin ka 2 sin θ ka 2i sin 2 sin θ
N sin ka sin θ ka i ( N −1 )sin θ 2 2 =e ka sin sin θ 2
Maka persamaan ..1 berubah menjadi:
i ka ( N −1) sin θ E = E0 e −iωt e 2
N sin ka 2 sin θ ka sin sin θ 2
1 sin kaN sin θ 1 −iωt + ika ( N −1)sin θ 2 2 E = E0e 1 sin 2 ka sin θ
misalnya
(N
− 1)a = b
Kemudian bila jumlah sempit N diperbanyak sehingga menuju tak hingga, maka
(N
− 1)a ≅ Na = b
1 sin kb sin θ 1 − iω t + ikb sin θ 2 2 E = E0 e N 1 N sin 2 ka sin θ karena
1 1 sin ka sin θ ≈ ka sin θ 2 2
E = E0e
1 − i ω t + ikb sin θ 2
1 sin kb sin θ 2 N 1 kb sin θ 2
E = E0e
r=
misal
E = E0e
1 − iω t + ikb sin θ 2
1 b sin θ 2
−iωt +ikr
Jika
Maka :
1 sin kb sin θ 2 N 1 kb sin θ 2
[sin(kr )] kr N
β = kr = 12 kb sin θ
E = E0e
−i (ω t − β )
sin β β N
E = E0 e
−i (ωt − kr )
sin β β N
Superposisi gelombang di titik P
Maka pola difraksinya dapat diperoleh melalui Intensitas gelombang dititik P 2
sinβ 2 I = I0 N β Untuk θ = 0 diperoleh pucak intensitas maksimum sebesar jadi intensitas maksimum terletak pada arah sumbu celah
I0 ,
Pola difraksi celah tunggal
I0
Untuk bukaan (aperture) yang tidak berbentuk celah, misalnya bebentuk lingkaran dengan jari-jari R, maka :
x
r r r r = r0 . R
P
r0 R
ϕ
θ R0
y
z
r r0 = (sin θ , 0 . cos θ ) r R = (R cosϕ , R sin ϕ ,.0) r r r0 ⋅ R = R cosϕ sinθ
E 0 − i (kR cos ϕ sin θ − ω t ) dE = e RdRd θ 2 πR dS = RdRdθ d 2π 2 E0 −iωt 1 ikR sin θ cosϕ E= 2 e dϕ RdR ∫e ∫ R 2π 0 0 ρ Misal : ρ = kRsinθ R= d ρ = k sin θ dR
dρ dR = k sinθ
k sinθ
ρdρ RdR = 2 (k sin θ )
Subtitusikan ke persamaan …1 akan diperoleh persamaan d 2π 2E0 −iωt 1 iρ cosϕ E= 2 e dϕ RdR ∫e ∫ R 2π 0 0
2E0 −iωt 1 E= 2 e R 2π
kdsinθ 2π
∫ 0
iρcosϕ ρdρ kdsinθ 2π iρcosϕ 2 1 1 E ϕ e d 0 −iωt ∫ 2 E= e e dϕρdρ 2 ∫ ∫ 2 ( ) k sin θ R 2π (k sinθ) 0 0 0
2E0 −iωt 1 E= 2 e R (k sinθ )2
kdsinθ
∫ ρJ (ρ)dρ 0
0
Dengan menggunakan fungsi Bessel
1 J 0 (ρ ) = 2π
2π
iρ cos ϕ e dϕ ∫ 0
ρ (d ) = kd sinθ 2π
1 i (ϕ + ρ cosϕ ) J1 ( ρ ) = e dϕ ∫ 2π 0
2E0 −iωt 1 E= 2 e 2 R (k sinθ ) u = Rk sinθ J (u ) =
u (d )
∫ J 0 (u)dρ 0
E = 2E0 e
J (u) u
−iωt
Intensitas pada arah θ adalah
2J(u) I = I0 u
2
dk sinθ
∫ ρJ (ρ)dρ 0
0
1 −iωt E = 2E0 e (Rksinθ)2 1 E = 2E0 2 e−iωt (u)
kdsinθ
kdsinθ
∫ J (ρ)ρdρ 0
0
∫ J (ρ)udρ 0
0
1 −iωt E = 2E0 e J(u) u
Kisi Difraksi Kisi Difraksi merupakan sistem N buah celah, dengan lebar celah yang teratur. Diraksi oleh kisi seferti ini akan menghasilkan pola difraksi tunggal tak sempit dengan pola interferensi N buah sumber yang sinkron. r0
b
P
r
θ
a
(n − 1)a sin (θ ) Gambar 6.13 Diraksi oleh N buah celah
Gambar 6.13 memperlihatkan difraksi oleh sebuah kisi, lebar celah dan jarak antara celah masing-masing b dan a. Bila kisi ini disinari cahaya monokromatik, osilasi listrik di titik P yang ditimbulkan oleh celah ke nomor ke n adalah:
En = E0e Dimana
− i ( kr − u −ω t )
sin β β
∆ r = r − ro r = ∆ r + ro ∆ r = ( n − 1 ) a sin θ r = r o + ( n − 1 ) a sin θ ro =
Jarak tepi celah pertama sampai ke titik P
E = E1 + E2 + E3 + ... + En E =
N
∑
n =1
E
n
Yang memberikan hasil:
(θ )
sinβ −i(k(r +(n−1)asinθ−u−ωt) sinβ −i(kro+0−u−ωt) sinβ −i(k(r +asinθ−u−ωt) +E01 e +L+E01 e E=E01 e β β β o
sinβ −i(−u−ωt ) ikro ikasinθ i ( n−1) kasinθ E = E01 e e 1 + e + ... + e β
[
Dengan
e ika sin ϑ
r n − 1 e ikaN sin θ − 1 S = = ika sin θ r −1 e −1
………2
o
]
…..1
e
N ika sin θ 2
S = e S = e
1 ika 2
(N
e
N ika sin θ 2
ka i ka i sin θ e 2 2
− 1 )sin θ
sin θ
−e −e
−i
N − ika sin θ 2
ka sin θ 2
1 sin 2 kaN sin θ 1 sin ka sin θ 2
Untuk lebar celah sempit a mendekati nol. Maka
(N
− 1)a = Na = Nb −i( kro −u−ωt )
E = E01e
−i( kro −u−ωt )
E = E01e
sinβ β e
sinβ β
e
1 ika 2
1 ikb 2
sin
sin
θ
θ
1 Nkb sin θ sin 2 1 sin kb sin θ 2
1 Nkb sin θ sin 2 1 sin kb sin θ 2
misal
δ = kb sin θ
N δ sin sin β 2 E = E 01 e − i ( kδ −ω t ) …..2 β δ sin 2 sehingga 2 sin β I = NEo1 β
2
sin N sin
sin β I = I0 β
2
N δ 2 δ 2
sin N sin
2
N δ 2 δ 2
2
Intensitas maksimum utama (primer) dicapai bilaδ = m π 2 dengan m bilangan bulat
δ
= m π
2 1 kb 2
sin
sin
θ
=
sin
θ
=
sin
θ
=
θ
= m π
2 m π kb 2 m π 2π b
λ m λ b
Maksimum tambahan (sekunder) dicapai apabila
Nδ (2m−1) = π 2 2
dengan
m = ±1,±2
1 ( 2 m + 1)π kNb sin θ = 2 2 ( 2 m + 1)π sin θ = Nb Minimum (titik nol) terjadi bila
Nδ = mπ 2
dengan
1 kNb sin θ = m π 2 mλ sin θ = Nb
m = ±1,±2
Apabila cahaya yang datang terdiri dari dua panjang gelombang yang berbeda, maka kedudukan maksimum utama dari kedua panjang gelombang tersebut pada orde m yang sama akan terpisah bila
∆ θ
= m
∆ θ
=
∆ λ a cos θ
λ
aN
cos
θ
atau ∆ λ m a cos θ
λ
∆ λ
=
=
λ aN
cos
θ
Nm
Besaran ini sering dinyatakan dengan daya pisah (DP) jadi
λ DP = = Nm ∆λ
