Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) 1. Határozatlan integrál 1.1 Alapintegrálok F.1 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) ∫(𝑥 2 − 𝑥 + 1) 𝑑𝑥. b) ∫(6𝑥 4 − 4𝑥 2 + 5) 𝑑𝑥. 1
c) ∫ (𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥. 1
1
3
o) ∫ 𝑥 √𝑥√𝑥 𝑑𝑥.
f) ∫(5 ∙ 2𝑥 + 4 sin 𝑥 − 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥. 1
3
g) ∫ ( √𝑥 − 2 𝑒 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥. 3
h) ∫(2 ∙ 3𝑥 − √𝑥 2 ) 𝑑𝑥. 5
4
i) ∫ (√𝑥 3 − √𝑥 3 ) 𝑑𝑥. 2𝑥 5 +𝑥 3 −𝑥 2 +3 𝑥3
𝑑𝑥.
4𝑥 3 −5𝑥 2 +6𝑥−7 2𝑥 2 1
3
p) ∫
√𝑥 √ 𝑥
q) ∫
𝑥+1
r) ∫
𝑥 √𝑥
s) ∫
𝑥+ √𝑥
𝑥
e) ∫(√𝑥 − √𝑥 + 𝑒 ) 𝑑𝑥.
k) ∫
3
n) ∫ √𝑥√𝑥 𝑑𝑥.
1
d) ∫ (𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑥.
j) ∫
1
m) ∫(𝑥 2 + 1) (1 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥.
𝑑𝑥.
2
l) ∫ (2𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥. √
t) ∫ u) ∫
4
√𝑥3
𝑑𝑥.
𝑑𝑥.
√𝑥
𝑑𝑥.
3
√𝑥 3
√𝑥
𝑑𝑥. 3
𝑥 4 −4𝑥 3 + √𝑥 5
√𝑥 4
𝑥−𝑒 −𝑥 𝑥𝑒 −𝑥
𝑑𝑥.
𝑑𝑥.
5 cos 2𝑥
v) ∫ sin 𝑥+cos 𝑥 𝑑𝑥. cos2 𝑥−5
w) ∫ 1+cos 2𝑥 𝑑𝑥.
1.2 Az 𝑓′(𝑥)𝑓 𝑛 (𝑥) típusú függvények integrálása (kiegészítő anyag) F.2 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) ∫ 3(3𝑥 + 1)5 𝑑𝑥.
g) ∫ √1 − 4𝑥 𝑑𝑥.
b) ∫(2𝑥 − 1)3 𝑑𝑥.
h) ∫ √(7𝑥 − 16)2 𝑑𝑥.
c) ∫ 5(4𝑥 − 3)4 𝑑𝑥. d) ∫ 4𝑥(6𝑥 2 + 5)4 𝑑𝑥. e) ∫ √2𝑥 − 1 𝑑𝑥.
3
5𝑥
i) ∫ (𝑥 2 +1)2 𝑑𝑥. 2𝑥
j) ∫ √3𝑥 2 𝑑𝑥. −2 k) ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥.
1
f) ∫ 3𝑥√𝑥 2 + 1 𝑑𝑥.
4
1.3 Az
𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)
típusú függvények integrálása (kiegészítő anyag)
F.3 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! 2𝑥
a) ∫ 𝑥 2 +3 𝑑𝑥. 3
b) ∫ 5𝑥+2 𝑑𝑥. 2𝑥+2
c) ∫ 𝑥 2 +2𝑥−1 𝑑𝑥. 𝑥−1
d) ∫ 2𝑥 2 −4𝑥+3 𝑑𝑥.
𝑥−3
e) ∫ 𝑥 2 −6𝑥+2 𝑑𝑥. 3𝑥
f) ∫ 5𝑥 2 +2 𝑑𝑥. 2𝑥 −1
g) ∫ ln 𝑥+1 𝑑𝑥. h) ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥.
1.4 Parciális integrálás (kiegészítő anyag) F.4 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥.
e) ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
b) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥.
f) ∫ 𝑥 sin 3𝑥 𝑑𝑥.
c) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥.
g) ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥.
d) ∫ 𝑥 𝑛 ln 𝑥 𝑑𝑥.
h) ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.
1.5 Racionális függvények integrálása (kiegészítő anyag) F.5 Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! 5𝑥
a) ∫ 3𝑥+2 𝑑𝑥.
7𝑥+10
d) ∫ 𝑥 2 −5𝑥+6 𝑑𝑥. 1−3𝑥
1
e) ∫ 2𝑥 2 −4𝑥+2 𝑑𝑥.
2
f) ∫ 3𝑥 2 +5𝑥−2 𝑑𝑥.
b) ∫ 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑑𝑥. c) ∫ 𝑥 2 +𝑥−12 𝑑𝑥.
𝑥−1
2. Határozott integrál 2.1 Newton-Leibniz formula használata F.6 Számítsa ki az alábbi határozott integrálokat! 2
a) ∫−1(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 𝑑𝑥. 3
b) ∫−1(5𝑥 3 − 2𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥.
1
3
3
1
e) ∫1 ( √𝑥 − 𝑥 − 𝑥) 𝑑𝑥. √
2
2
c) ∫0 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 )2 𝑑𝑥.
2
d) ∫1 (√𝑥 − 𝑥 2 + 3) 𝑑𝑥.
5𝜋
4 1
f) ∫1 ( + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥. 𝑥 4 𝑥+1
g) ∫1
√𝑥
j) ∫𝜋4 cos 𝑥 𝑑𝑥. 4
𝑑𝑥.
𝜋
k) ∫0 (sin 𝑥 + cos 𝑥) 𝑑𝑥.
2
h) ∫−1(1 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥.
𝑏
l) ∫𝑎 𝑥 2 𝑑𝑥.
𝜋
i) ∫0 sin 𝑥 𝑑𝑥.
2.2 Területszámítási feladatok F.7 Határozza meg az alábbi függvények grafikonja és az x tengely közötti síkrész területét az adott intervallumon! a) 𝑓(𝑥) = √𝑥,
𝑥 ∈ [0; 6].
(M: 9,8)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1,
𝑥 ∈ [−4; 4].
(M:
c) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4,
𝑥 ∈ [−2; 3].
(M: 13)
d) 𝑓(𝑥) = − 2 𝑥 2 + 2,
𝑥 ∈ [0; 3].
(M: 1,5)
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3,
𝑥 ∈ [0; 3].
(M: 3)
f) 𝑓(𝑥) = 5 sin 𝑥,
𝑥 ∈ [0; 𝜋].
(M: 10)
g) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥,
𝑥 ∈ [− 2 ;
h) 𝑓(𝑥) = tg 𝑥,
1
1
i) 𝑓(𝑥) = 4 √𝑥 + 4,
𝜋
152 3
)
8
3𝜋
(M: 3 −
√2 ) 2
𝑥 ∈ [− 4 ; 4 ].
(M: 2 ln
√2 2
𝑥 ∈ [−4; 5].
(M: 4,5)
𝜋
4
].
𝜋
≈ 0,69)
1
1
F.8 Az 𝑦 = 𝑥 2 egyenletű görbe és az x tengely közötti terület a [2; 𝑏] határok között 4. Határozza meg a b értékét! (M: 4) F.9 Határozza meg azt a 4-nél kisebb p számot, amelyre az 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 2𝑥 2 + 26 és a 𝑔(𝑥) = −𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7𝑥 − 2 függvény grafikonja, valamint az 𝑥 = 𝑝 egyenes 3,5 egység területű síkidomot határol! (M: 3) F.10 Írja fel az 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 + 13 függvénynek azt a primitív függvényét, amelynek grafikonja illeszkedik a (−3; −20) pontra! (M: 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 13𝑥 + 28) 𝑝
𝑝
F.11 Számítsa ki a p valós számot, ha ∫0 (2𝑥 2 − 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫1 (2𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 . (M: 1 ±
√3 ) 3
F.12 Határozza meg az alábbi függvények által meghatározott síkidom területét. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1 és 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥. (M: 4,5) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 és 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. (M: 4,5) c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 és 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1. (M:
32 3
)
3
d) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7 és 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. (M:
64 3
)
e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 9 és 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 3. (M:
343 12
)
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 5 és 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 − 4𝑥 + 7. (M: 1
125 3
)
4
g) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 és 𝑔(𝑥) = √𝑥. (M: 3) 1
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 és 𝑔(𝑥) = √𝑥. (M: 3) 1
i) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 2 és 𝑔(𝑥) = 𝑥 az 𝑥 ∈ [1; 3] intervallumon. (M: 6,23) j) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 és 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 az 𝑥 ∈ [−1; 1] intervallumon. (M: 3,09) F.13 Határozza meg az 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 és 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 függvények, valamint az x tengely 𝜋 által határolt síkidom területét az 𝑥 ∈ [ 4 ; 𝜋] intervallumon. (M: √2) F.14 Mekkora területet vág le az 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 parabolából a (−2; −1) ponton át88 menő 2 iránytangensű egyenes? (M: 3 ) F.15 Mekkora a területe annak a síkidomnak, amelyet az 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 és 𝑔(𝑥) = 13 𝑥 3 függvények grafikonjai, valamint az y tengely határolnak? (M: 12) F.16 Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet az 𝑦 = 𝑥 2 egyenletű parabola 17 külső pontjai, az 𝑦 = −𝑥 és az 𝑦 = 4 egyenletű egyenesek határolnak! (M: 6 ) F.17 Számolja ki annak a véges síkrésznek a területét, amelyet az 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1, a 25 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 2 + 1 és a 𝑘(𝑥) = 𝑥 − 1 függvények határolnak! (M: 6 ) F.18 Számolja ki annak a véges síkrésznek a területét, amelyet az 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 2 , a 7 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 4 és a 𝑘(𝑥) = 6𝑥 − 4 függvények határolnak! (M: 3)
2.3 Térfogatszámítási feladatok F.19 Határozza meg az 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 függvénynek a [0; 2] intervallumon az x tengely 62 körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 3 𝜋) F.20Határozza meg az 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2 függvénynek a [-2; 2] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 33,51) F.21 Határozza meg az 𝑓(𝑥) = √3𝑥 2 + 2𝑥 függvénynek a [0; 3] intervallumon az x tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 36𝜋) F.22 Határozza meg az 𝑓(𝑥) =
2 √𝑥
függvénynek a [1; 4] intervallumon az x tengely körüli
4
megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 17,42)
F.23 Az 𝑦 = 𝑥 2 és az 𝑦 = 9 − 𝑥 2 egyenletű görbék által határolt első síknegyedbeli tartományt forgassa meg az x tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? (M: 359,87) F.24 Az 𝑦 = √𝑥 és az 𝑦 = 𝑥 − 2 egyenletű görbék, valamint az x tengely által határolt síkidomot forgassa meg az x tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest tér16 fogata? (M: 3 𝜋) F.25 Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely az 𝑓(𝑥) = √2𝑥 függvény grafikonja, az x tengely és a görbe (8; 4) pontbeli érintője által határolt zárt síkidom64 nak az x tengely körüli forgatásakor keletkezik! (M: 3 𝜋) 1
F.26 Számítsa ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet az 𝑦 = 2 𝑥 2 egyenletű parabola, a parabola 8 ordinátájú pontjaira illeszkedő érintői és az x tengely által 256 határolt síkrész x tengely körüli forgatásakor kapunk! (M: 15 𝜋) F.27 Határozza meg az 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 függvénynek a 𝑦 ∈ [0; 4] intervallumon az y tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M: 8𝜋) F.28 Határozza meg az 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 függvénynek az 𝑦 ∈ [0; 4] intervallumon az y tengely körüli megforgatásával keletkező forgástest térfogatát! (M:
π 2
(𝑒 8 − 1))
2.4 Improprius integrál (kiegészítő anyag) F.29 Vizsgálja meg az alábbi improprius integrálok konvergenciáját! ∞ 1
a) ∫1
𝑥2
∞ 1
b) ∫1
𝑥4
𝑑𝑥.
(M: 1)
𝑑𝑥.
(M: 3)
−1 1
c) ∫−∞ 𝑥 3 𝑑𝑥. ∞1
d) ∫4
∞ 1
e) ∫1
𝑑𝑥.
(M: 2)
𝑑𝑥.
(M: divergens)
√𝑥 3
∞ 1
f) ∫1
3
√𝑥
∞ 1
g) ∫1
4
√𝑥7
∞
h) ∫2
𝑑𝑥.
1 𝑥 ln3 𝑥
2
i) ∫1
1
(M: − 2) (M: divergens)
𝑑𝑥.
𝑥
1
1 𝑥 ln 𝑥 2𝑥
∞
1
𝑑𝑥 .
j) ∫−∞ 𝑥 2 +1 𝑑𝑥. k) ∫−∞ 𝑥 2 +1 𝑑𝑥.
(M:
1
)
2 ln2 2
(M: divergens) (M: divergens) (M: 𝜋)
5
∞
𝑑𝑥 .
4
(M: 3)
