INHOUD. Voorwoord... VII. Visie op basisonderwijs... IX. I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool... 1

INHOUD

III

INHOUD Voorwoord ................................................................................................................. VII Visie op basisonderwijs .............................................................................................. IX I

Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool ................................... 1 Inleiding ................................................................................................................................ 3 Hoofdstuk I:

Visie van OVSG op Wiskunde ................................................................ 5

Hoofdstuk II:

Evaluatie in en van het wiskundeonderwijs ........................................ 15

Hoofdstuk III: Gebruik van het leerplan ...................................................................... 21

II

Domeinoverschrijdende doelen en katernen ....................................................... 25 Hoofdstuk I: 1

Strategieën en probleemoplossende vaardigheden ..................................................... 28

2

Wiskundeattitudes ...................................................................................................... 40

Hoofdstuk II:

III

Domeinoverschrijdende doelen ............................................................ 27

Didactische katernen ............................................................................. 45

1

Werken met contexten ................................................................................................ 45

2

Ontluikende gecijferdheid........................................................................................... 64

Domein 1: GETALLEN ................................................................................ 83 Hoofdstuk 1:

Leerlijnen getallen ................................................................................ 85

A

Getallenkennis ........................................................................................................... 86

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Tellen .......................................................................................................................... 86 Getallen lezen en noteren............................................................................................ 87 Getallen voorstellen en positiestelsel.......................................................................... 89 Vergelijken en ordenen ............................................................................................... 91 Functies van getallen .................................................................................................. 94 Delers en veelvouden .................................................................................................. 95 Patronen ...................................................................................................................... 98 Afronden (hoeveelheden schatten) ............................................................................. 99

IV

OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

B

Bewerkingen ........................................................................................................... 100

1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25

Begripsvorming - Rekentaal..................................................................................... 100 Optellen en aftrekken tot 10 ..................................................................................... 101 Optellen .................................................................................................................... 102 Aftrekken.................................................................................................................. 104 Maal- en deeltafels tot 100 ....................................................................................... 105 Vermenigvuldigen .................................................................................................... 106 Delen ........................................................................................................................ 109 Relatie tussen bewerkingen ...................................................................................... 111 Werken met numerieke verhoudingen ..................................................................... 112 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 113 Schatten .................................................................................................................... 117 Cijferend optellen ..................................................................................................... 118 Cijferend aftrekken................................................................................................... 119 Cijferend vermenigvuldigen ..................................................................................... 120 Cijferend delen ......................................................................................................... 121 Cijferen algemeen .................................................................................................... 122 De zakrekenmachine ................................................................................................. 123

Hoofdstuk II: Didactische katernen .............................................................................. 125 1 2 3 4 5 6 7

IV

Rekenen tot 20.......................................................................................................... 125 Hoofdrekenen ........................................................................................................... 140 Automatiseren van de tafels ..................................................................................... 157 Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten ............................................ 165 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 183 Cijferalgoritmen ....................................................................................................... 191 De zakrekenmachine ................................................................................................ 203

Domein 2: METEN .................................................................................................... 213 Hoofdstuk 1: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Leerlijnen meten .................................................................................. 215

Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen................................................... 216 Meten van lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek en volume ...................... 217 Schaal ....................................................................................................................... 223 Meten van tijd .......................................................................................................... 225 Meten van snelheid .................................................................................................. 229 Meten van temperatuur ............................................................................................ 230 Meten van hoeken .................................................................................................... 232 Geld .......................................................................................................................... 233

Hoofdstuk II: Didactisch katern meten ........................................................................ 235 1 2 3 4

Inleiding ................................................................................................................... 235 Fasen in de ontwikkelingslijn meten ........................................................................ 236 Meten van specifieke grootheden ............................................................................. 248 Meetstands................................................................................................................ 268

INHOUD

V

V

Domein 3: MEETKUNDE ....................................................................................... 277 Hoofdstuk I:

Leerlijnen meetkunde .......................................................................... 279

A

Vormleer .................................................................................................................. 280

3.1 3.2 3.3 3.4

Vormen beschrijven, herkennen, construeren, benoemen en classificeren............... 280 Vormen classificeren op grond van eigenschappen .................................................. 283 Puzzelen, bouwen, omstructureren, construeren ...................................................... 285 Relaties tussen geometrische figuren (meetkundige transformaties)........................ 287

B

Meetkundige wereldoriëntatie ............................................................................... 289

3.5 3.6 3.7

Positiebepaling.......................................................................................................... 289 Beweging en richting ................................................................................................ 291 Viseerlijnen en schaduw ........................................................................................... 293

Hoofdstuk II: Didactisch katern meetkunde ................................................................. 295 1 2 3 4 5 6 7 8

VI

Inleiding .................................................................................................................... 295 Tendensen in de basisschool ..................................................................................... 295 Fasen in het meetkundig denken en didactische principes ....................................... 300 Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters ..................................................... 304 Vormleer ................................................................................................................... 306 Meetkundige wereldoriëntatie .................................................................................. 312 Horizontale samenhang ............................................................................................ 318 Slot ............................................................................................................................ 322

Verklarende woordenlijst, materialen en bibliografie ................................. 325 1 2 3

Verklarende woordenlijst.......................................................................................... 327 Materialen ................................................................................................................. 331 Bibliografie ............................................................................................................... 333

VISIE OP BASISONDERWIJS

VII

VOORWOORD

Met het decreet van 15 juli 1997 werden de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon basisonderwijs door de Vlaamse Regering bekrachtigd. Hiermee bepaalt de overheid een minimumkwaliteitsnorm waaraan de schoolwerking moet voldoen om te worden erkend. Hoe deze minimumdoelen worden bereikt, hoe aan de eindtermen/ontwikkelingsdoelen wordt gewerkt, bepaalt elke inrichtende macht zelf, onder meer via het ontwerpen van of via haar keuze voor een bepaald leerplan. Het niveaudecreet basisonderwijs van 25 februari 1997 bepaalt in artikel 45 dat ieder schoolbestuur over een leerplan moet beschikken dat door de Vlaamse Regering goedgekeurd is. In overleg met inrichtende machten werd ervoor geopteerd om binnen het OVSG een werking op te zetten inzake ontwikkeling van leerplannen voor het gemeentelijk basisonderwijs. Deze leerplannen werden opgevat als een leidraad voor leraren en schoolteams om speelleer- en onderwijsleersituaties te creëren op basis van ontwikkelingsdoelen en eindtermen enerzijds en het lokale pedagogische project anderzijds. De leerplannen zijn samen met het lokale pedagogische project de basis voor de uitwerking van een schoolwerkplan. Ze zijn een bron van informatie, op basis waarvan de leraren en schoolteams worden aangezet tot reflectie op hun eigen klas- en schoolpraktijk.

Bij de aanmaak van de leerplannen werd rekening gehouden met een aantal belangrijke criteria: * De leerplannen OVSG bevatten minimaal de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen als te bereiken doelen. Het verband tussen het leerplan en de na te streven ontwikkelingsdoelen en eindtermen wordt duidelijk aangegeven. * De leerplannen kunnen naast eindtermen en ontwikkelingsdoelen ook andere basis- en uitbreidingsdoelen bevatten. * De leerplannen bieden ten aanzien van het schoolteam voldoende informatie over: de visie op basisonderwijs; de visie op het leergebied. * De leerplannen bieden mogelijkheden om differentiatie en zorgbreedte in de onderwijspraktijk in te bouwen. * De leerplannen moeten bruikbaar zijn bij andere groeperingsvormen dan het klassieke leerstofjaarklassensysteem. Ze zijn een belangrijk instrument voor de realisatie van continuïteit in de schoolloopbaan van de kinderen.

VIII


* De leerplannen leggen ook klemtonen op attitudes en waarden. * De leerplannen zetten aan tot integratie van leergebieden en leerdomeinen. * De leerplannen bevatten naast doelstellingen ook didactische suggesties. * De leerplannen komen tegemoet aan het goedkeuringscriterium ‘studielast’ dat stelt dat een leerplan realiseerbaar moet zijn binnen de daarvoor geraamde en noodzakelijk geachte tijd. Er werd geopteerd voor een leergebiedoverschrijdende bijlage bij de leerplannen. Deze bijlage, in de vorm van de brochure ‘Onderwijstijd: studielast van het leerplan en suggesties voor concreet onderwijstijdgebruik’, moet dan ook samen met de leerplannen als één geheel worden gezien. In mei 1993 werd met de leerplanwerking binnen OVSG gestart. Er werd gewerkt binnen 7 commissies - in overeenstemming met de structuur van de leergebieden en in verschillende deelcommissies of werkgroepen. Een 60-tal medewerkers werd bereid gevonden om naast hun dagelijkse onderwijswerkzaamheden op een intensieve manier mee te werken aan de leerplannen van het gemeentelijk basisonderwijs. Naast directies en leraren, afgevaardigd door verschillende inrichtende machten, participeerden medewerkers uit de pedagogische centra van Gent en Antwerpen, leden van de stedelijke inspectie en medewerkers uit de navorming en begeleiding van OVSG aan de werking. Leden van de dienst Basisonderwijs van OVSG namen de coördinatie en de administratieve ondersteuning op zich. De werkzaamheden van deze commissies werden afgerond in februari 1997. Vanwege het arrest van het Arbitragehof van 18 december 1996 tot vernietiging van het decreet van de Vlaamse Gemeenschap van 22 februari 1995 betreffende de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon kleuter-/lager onderwijs waren wij ertoe genoodzaakt in de eerste druk geen verwijzingen te maken naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen. In deze tweede druk worden de verwijzingen naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen toegevoegd op basis van het besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de ontwikkelingsdoelen en eindtermen van het gewoon basisonderwijs d.d. 27 mei 1997 dat werd bekrachtigd bij decreet van 15 juli 1997.

Het leerplan WISKUNDE VOOR DE BASISSCHOOL werd goedgekeurd op 20 april 1998 .

De Raad van Bestuur van OVSG wenst, in naam van alle inrichtende machten die dit leerplan kiezen als leidraad voor de werking van hun schoolteam(s), alle medewerkers aan de ontwikkeling van voorliggend leerplan uitdrukkelijk te bedanken.

Brussel, mei 1998


IX


Inleiding In deze tekst wordt op beknopte wijze de visie weergegeven van OVSG op het basisonderwijs. Deze visie sluit nauw aan bij de 'uitgangspunten eindtermen basisonderwijs', zoals geformuleerd door de Dienst voor Onderwijsontwikkeling.1 OVSG oordeelt dat de eindtermen basisonderwijs een rijk kader bieden voor het creëren van kwalitatief onderwijs in de basisscholen. De eindtermen, als verplicht minimaal te bereiken einddoelen, vormen als dusdanig de criteria voor belangrijke kwaliteitsparameters, zoals bijvoorbeeld doelmatigheidsbeleving van leerkrachten, werkvoorwaarden, professionalisering van leerkrachten en de mate waarin de beoogde doelen bereikt worden. Kwaliteit voor een school betekent meer dan de mate waarin en de wijze waarop doelen worden gerealiseerd. De kwaliteit van een school uit zich op de eerste plaats in het dagelijks pedagogisch klimaat, het samenlevingsmodel dat de school uitbouwt, de leef- en werkcultuur die er heerst. De kwaliteit heeft met andere woorden alles te maken met het pedagogisch project dat de inrichtende macht vooropstelt en dat samen met de schoolgemeenschap concreet vorm krijgt. Vanuit dit pedagogisch project werkt het lerarenteam op zodanige wijze aan de realisatie van de vooropgestelde doelen, dat er recht wordt gedaan aan de kenmerken van goed basisonderwijs. Deze kenmerken zijn: . samenhang . totale persoonlijkheidsontwikkeling . zorgverbreding . actief leren . continue ontwikkelingslijn.

Samenhang OVSG gaat ervan uit dat kinderen iets moeten kunnen doen met datgene wat ze op school leren. Vanuit deze optiek is een leergebieden- of vakkengesplitste benadering van de realiteit niet aanbevolen. Kinderen beleven en ervaren de realiteit immers niet in vakjes. Wil de school kinderen competenter maken in het omgaan met bepaalde leefsituaties, dan zal zij ervoor moeten zorgen leersituaties te creëren die voor hen herkenbaar zijn. Het pedagogisch project 1

DIENST VOOR ONDERWIJSONTWIKKELING, document ‘Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs’ (16/11/93)

X


is bepalend voor de uitbouw van deze leersituaties en de wijze waarop de kinderen begeleid worden. Zowel in de concrete leersituaties als in de schoolorganisatie zullen de kinderen de centrale plaats innemen. De schoolgemeenschap dient er daartoe op de eerste plaats voor te zorgen dat de kinderen zich veilig en goed voelen op de basisschool. Ten tweede zullen leraren leersituaties creëren die zoveel mogelijk rekening houden met wat kinderen reeds kunnen, reeds ervaren hebben. De aangeboden leerinhouden en leersituaties moeten de kinderen wegwijs maken in het geheel van onze maatschappij vanuit de eigen wijze waarop zij deze maatschappij bekijken, betekenis geven en kunnen hanteren. Zo zal het schoolteam, via de realisatie van horizontale samenhangen binnen het onderwijsaanbod, zo veel mogelijk betekenisvolle leersituaties creëren. Samenhang binnen basisonderwijs betekent echter nog meer. De doelstellingen van het basisonderwijs hebben niet enkel betrekking op kennis opdoen. Ook het verwerven van inzichten, vaardigheden en attitudes met betrekking tot verschillende werkelijkheidsgebieden zijn belangrijke doelstellingen. Daarnaast dienen 'leren leren', 'probleemoplossend denken' en 'sociale vaardigheden' door de basisschool heen in verschillende leergebieden aandacht te krijgen. In die zin wordt 'samenhang' als kenmerk voor 'basisvorming' het geheel van kennis, inzichten, vaardigheden en attitudes die kinderen verwerven binnen voor het kind herkenbare leersituaties op de basisschool.

Totale persoonlijkheidsontwikkeling De vorming die de basisschool biedt, moet harmonisch zijn. Alle aspecten van de persoonlijkheid dienen via de aangeboden vorming in hun ontwikkeling te worden gestimuleerd en dit op evenwichtige wijze. Vaardigheden die kinderen via de basisschool verwerven, hebben dus niet enkel te maken met het cognitieve, maar liggen ook duidelijk op het vlak van het sociale, het psychomotorische, het dynamisch-affectieve, het muzisch-creatieve. Bij de keuze van doelen, leerprocessen, leerinhouden, werkvormen, groeperingsvormen, leermiddelen, evaluatiewijzen ... houden schoolteamleden er rekening mee dat al deze facetten van de leersituatie hun impact hebben op de persoonlijkheidsvorming die men vanuit de school aanbiedt. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsvorming houdt dan ook in dat het schoolteam zich beraadt over een evenwichtig vormingsaanbod en een evenwichtige activiteitenplanning. Elk kind is anders, reageert anders, heeft reeds een bepaalde persoonlijkheid ontwikkeld en brengt andere ervaringen mee uit het eigen culturele en sociale milieu. Dit beïnvloedt het verloop en de resultaten van de vorming die het kind op school wordt aangeboden. Wil de school haar doel bereiken, namelijk het kind basisvaardigheden laten verwerven op verschillende terreinen van zijn persoonlijkheid, dan houdt ze in haar aanbod niet alleen rekening met de verschillende ontwikkelingsterreinen maar ook met de verschillen in persoonlijkheidsontwikkeling. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling impliceert daarom een gerichtheid op individualiserend onderwijs.


XI

Zorgverbreding Een veelheid van factoren (cognitieve, emotionele, sociale, economische, culturele, etnische) zorgen ervoor dat het onderwijs voor een grote groep kinderen in meer of mindere mate problematisch verloopt. De verklaring van problemen mag echter niet alleen bij de kinderen worden gezocht. Ook schoolfactoren en factoren uit de thuissituatie kunnen het probleemgedrag mee veroorzaken. Een goede interactie tussen kind en leraar, die ook rekening houdt met de thuissituatie, is noodzakelijk om tot succesvolle oplossingen te komen. Zorgbreedte heeft te maken met de aandacht die de school aan kinderen wil geven, met de wijze waarop ze omgaat met verschillen tussen kinderen. Er worden twee aspecten onderscheiden in het begrip 'zorgbreedte'. Een eerste aspect heeft te maken met de vraag of een school zich richt op een gedeelte van de kinderen dan wel bekommerd is om ieder kind. Daarnaast heeft zorgbreedte betrekking op de mate waarin een school, in aanpak en aanbod, alle ontwikkelingsdomeinen de ruimte geeft die hen toekomt.2 Het concreet werken aan zorgbreedte noemen we zorgverbreding. Binnen zorgverbreding kunnen we twee belangrijke facetten onderscheiden: 1/ het voorkomen van leer- en gedragsproblemen; 2/ het signaleren, analyseren, diagnosticeren en remediëren van leer- en/of gedragsproblemen bij kinderen en het evalueren en eventueel bijsturen van de begeleiding. Het eerste leerjaar vormt binnen vele scholen het grote struikelblok. Hoewel ontwikkelingsachterstand reeds vroeger kan aanwezig zijn, treedt die bij de overgang van het kleuter- naar het lager onderwijs sterker naar voren. Enerzijds illustreert deze vaststelling de belangrijke educatieve rol van de kleuterschool. Anderzijds leert ze ons dat bij het uitwerken van meer zorgverbreding zeker ook structureel moet gedacht worden. Soepele overgangen van kleuterniveau naar lager onderwijs en tussen leeftijdsgroepen dienen te worden gecreëerd. Doorbreken van het traditionele leerstofjaarklassensysteem in de lagere school is mogelijk. Voor het realiseren van zorgverbreding is de houding van het schoolteam een cruciale factor. De schoolteamleden moeten overtuigd zijn van de belangrijke opdracht van het basisonderwijs: bij zo veel mogelijk kinderen een brede basisvorming realiseren. Vanuit een gemeenschappelijke gerichtheid op de doelen van het basisonderwijs - zoals weergegeven in het door de inrichtende macht erkende leerplan en het eigen pedagogisch project - trachten de schoolteamleden hun onderwijs af te stemmen op de mogelijkheden van de individuele kinderen die ze op school begeleiden.

2

LAEVERS, F., Zorgverbreding in het kleuteronderwijs. Forum Basisonderwijs; Vlor, april 1994; pag. 129

XII


Dit impliceert dat de school aan een aantal organisatorische voorwaarden voldoet: overlegmogelijkheid, flexibele klasorganisatie, ... Daarnaast moeten de leraren de attitude hebben om met elkaar over hun onderwijspraktijk te overleggen, systematisch te reflecteren op de eigen praktijk, de ouders bij het schoolgebeuren te betrekken en open te staan voor nieuwe inhoudelijke vormen van onderwijsondersteuning en -remediëring. Zorgverbreding betekent ook afstappen van een te eenzijdig cognitief gerichte benadering. Leermoeilijkheden bij kinderen zijn vaak niet op te lossen door orthodidactische en remediërende werkvormen toe te passen rond de drie basisvaardigheden lezen, rekenen en schrijven. Zonder hieraan afbreuk te doen, hebben kinderen met schoolachterstand vaak een ondersteuning nodig die op een ander terrein ligt dan het cognitieve en waarmee ze meer gebaat zijn in relatie met hun sociale omgeving, waartoe ook de school behoort. Zorgen dat kinderen zich goed en geaccepteerd voelen op school, er gaan functioneren en er plezier beleven, behoort tot de essentie van zorgverbreding. Een school die werkt aan zorgverbreding, zal differentiatievormen inbouwen met het oog op het ondersteunen van elk kind in zijn ontwikkelingsmogelijkheden. Differentiëren betekent op organisatorisch vlak: klasoverschrijdend werken, leerlingen tijdelijk hergroeperen, werken met niveaugroepen, individuele begeleiding binnen de taakklas, werken met een extra leraar binnen de klasgroep. Op het vlak van onderwijsinhouden betekent differentiëren: werken aan basis-, uitbreidings- en verdiepingsdoelen en stimuleren van eigen leerprocessen bij kinderen via het invoeren van pluriforme leeractiviteiten. Op het vlak van evaluatie betekent differentiëren: in de school een systeem ontwikkelen om kinderen systematisch op te volgen en wanneer nodig aangepaste remediëring en opvang zo vlug mogelijk aan te bieden.

Actief leren Men spreekt van ‘actief leren’ wanneer het kind zich in die mate betrokken weet bij het onderwijsgebeuren dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en gedragsveranderingen teweegbrengt. Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van het kind zelf uitgaat en door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren. Het kind heeft belang bij wat het doet en gaat daarom volledig op in het anticiperen en oplossen van problemen. Het onderwijsgebeuren op school is bovendien een interactief proces tussen het kind en zijn stimulerende omgeving. De sociale interactie tussen leraar en leerling en tussen leerlingen onderling is een essentieel onderdeel van dit interactief proces. Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties binnen de leersituatie te worden gecreëerd. De gekozen leerinhouden, de voorgestelde leeropdrachten, de gehanteerde werkvormen, de groeperingsvormen, de voorgestelde leermiddelen en de hulpbronnen maken hier deel van uit. Zij zullen bepalen of het kind al dan niet zijn eigen leren in


XIII

handen neemt en op welke wijze. Met het oog op actief leren is het wenselijk frontaal lesgeven te beperken. Bij voorkeur wordt gekozen voor lessituaties, waarbij een grotere interactie tussen leerlingen onderling mogelijk wordt en de interactie tussen leraar en leerling andere kenmerken krijgt. Ook vormen van zelfstandig werken aan leertaken en een leerstofkeuze die gebaseerd is op waarneming in de onmiddellijke omgeving, zullen de motivatie tot spontaan en actief leren ten goede komen. Bij actief leren ligt de klemtoon eerder op het verwerken van, dan op de hoeveelheid aan leerinhouden. Kennis en inzicht zijn in die mate belangrijk dat zij gekoppeld kunnen worden aan denkhandelingen en strategische vaardigheden. Hierdoor worden ze voor het kind hanteerbaar binnen probleemsituaties en worden ze hefbomen voor actief leren en ontwikkeling. Onder denkhandelingen verstaan we onder meer: actief waarnemen, memoriseren, analyseren, beoordelen, redeneren ... Tot de strategische vaardigheden rekent men algemene probleemoplossende vaardigheden zoals plannen, schematisch voorstellen, hoofd- en bijzaken onderscheiden, heuristiek hanteren, vergelijken ... en meer specifieke vaardigheden die samenhangen met bepaalde aspecten van leergebieden, zoals een rapport opstellen, een vraagstuk oplossen, expressief hardop lezen, een tekst samenvatten ... Het basisonderwijs schenkt met het oog op actief leren veel aandacht aan het verwerven van strategische vaardigheden en denkhandelingen door kinderen.

Continue ontwikkelingslijn Het aangeboden onderwijs wordt zowel naar moeilijkheidsgraad als naar inhoud afgestemd op de ontwikkelingsmogelijkheden en -behoeften van de leerlingen. Dit vanuit de bekommernis het kind continu ontwikkelingskansen te bieden. Aandacht voor 'continuïteit' binnen onderwijs betekent ook dat men de drempels tussen de verschillende fasen van de schoolloopbaan, tussen leergebieden (zie samenhang), tussen thuis- en schoolervaringen van de leerlingen, zo laag mogelijk maakt. De begeleiders van het kind door de basisschool moeten deze continuïteit nastreven. Voor de schoolteamleden betekent dit gelijkgerichtheid, stimuleren van een doorlopende leer- en ontwikkelingslijn, afspraken maken en nakomen: wie brengt welke leersituaties aan? Schoolwerkplanning komt hier aan de orde. Bovendien zal veel aandacht gaan naar het bepalen van de beginsituatie van de leerlingen. Informatie over hoe leerlingen leren en welke leerervaringen ze reeds achter de rug hebben, moet de leraren helpen het kind adequaat verder te begeleiden in zijn ontwikkeling. Deze informatie heeft niet alleen betrekking op leerinhouden, maar ook op werken groeperingsvormen en op de emotionele draagkracht van het kind in verschillende leersituaties, thuis en op school. Afsluitend willen we opmerken dat de continuïteit binnen de basisschool moet doorgetrokken worden naar het secundair onderwijs.

XIV


Geraadpleegde bronnen DVO, Ontwerp visietekst eindtermen basisonderwijs, december 1992 DVO, Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs, 16 november 1993 Het VLO in ontwikkeling, Informatieblad jrg. XXII, speciaal nummer, september 1987 OVSG, Pedagogisch project, brochure, 1992 OVSG, Maatregelen rond zorgverbreding, nota, 8 januari 1993 OVSG, Visie op zorgbreedte, Project zorgbreedte, brochure 1, september 1994 VLOR, Zorgverbreding: onze zorg, Forum Basisonderwijs, 30 april 1994 VLOR, Zittenblijven in het basis- en secundair onderwijs, advies, 1994 VLOR-Commissie Migranten, Doorstroming, document, 1992 VLOR-Raad Basisonderwijs, Aanbeveling: Eindtermen kleuter- en lager onderwijs, RBO/PDL-JVW/AVW/001, Vlor, 8 februari 1994

INLEIDING

3

INLEIDING Met dit leerplan wil OVSG krachtlijnen uittekenen voor de optimalisering van het wiskundeonderwijs in de basisscholen, autonome kleuterscholen en lagere scholen. Dit leerplan wil in de eerste plaats een leidraad zijn voor de leraren, waarmee ze in de praktijk aan de slag kunnen. Door één leerplan te ontwerpen dat geldt voor zowel kleuter- als lager onderwijs, wordt aandacht besteed aan de noodzakelijke 'doorlopende lijnen', waardoor - naar we hopen - de drempels tussen de niveaus worden afgebouwd. Dit leerplan biedt de mogelijkheid tot uitwerking ervan in een schoolwerkplan, een eigen beleidsinstrument van en voor de school, dat over de verscheidene jaren wordt ontwikkeld en waarbij rekening wordt gehouden met de lokale omstandigheden, de eigen prioriteiten en waarden. Het laat aan iedere inrichtende macht de mogelijkheid om eigen accenten te leggen, naargelang het pedagogisch project dat wordt nagestreefd. De vertaling van dit leerplan naar een eigen schoolwerkplan, eventueel klaswerkplan, levert een belangrijke bijdrage bij het zoeken naar mogelijkheden om alle kinderen van de school op weg te zetten naar een actieve benadering van de wiskundige aspecten in de eigen leefwereld, ongeacht leeftijd, begaafdheid, herkomst of sociale omstandigheden. Het OVSG-leerplan wiskunde bestaat uit zes delen. In het eerste deel, het ‘Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool’, wordt de OVSGvisie op wiskunde - de basis voor dit leerplan - uiteengezet. Er wordt ingegaan op de evaluatieproblematiek en op het gebruik van het leerplan. Het tweede deel bevat de domeinoverschrijdende doelen en katernen. De doelen - de strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en attitudes anderzijds - worden doorheen alle wiskundige activiteiten nagestreefd. Deze doelen zijn bovendien niet leeftijdsgebonden; bepaalde aspecten van deze doelen kunnen bij verschillende leeftijdsgroepen worden nagestreefd. Bij de katernen treffen we 'Werken met contexten' en 'Ontluikende gecijferdheid' aan. Het katern 'Werken met contexten' vormt de grondslag voor de vernieuwde aanpak van het wiskundeonderwijs. In het katern 'Ontluikende gecijferdheid' wordt dieper ingegaan op aspecten, die vooral in het kleuteronderwijs - doorheen de drie domeinen van wiskunde - aan bod komen. In het derde, vierde en vijfde deel worden de drie domeinen van wiskunde - getallen, meten en meetkunde - verder uitgewerkt. Deze indeling in drie domeinen werd gekozen omdat ze overeenkomt met de domeinen zoals ze in de eindtermen zijn vastgelegd. Elk van deze delen is onderverdeeld in twee hoofdstukken. Hoofdstuk I bestaat uit de leerlijnen of concrete doelen voor dit domein. Het tweede hoofdstuk bevat de didactische katernen bij het overeenkomstige domein. Deel zes tenslotte bestaat uit de verklarende woordenlijst, de materiaallijst en de bibliografie.

HOOFDSTUK 1

Hoofdstuk 1:

VISIE OP WISKUNDE

5

VISIE VAN OVSG OP WISKUNDE

In de eindtermen voor het basisonderwijs worden voor wiskunde de minimumdoelstellingen vermeld die op het einde van de basisschool door de meerderheid van de kinderen moeten worden bereikt. OVSG werkt een leerplan wiskunde uit dat aangeeft hoe de gestelde eindtermen gerealiseerd kunnen worden. Dat leerplan bevat een aantal leerlijnen waarin verschillende tussendoelen omschreven worden. De doelen voor de kleuters komen in die leerlijnen dus voor als tussendoel. Iedere reeks tussendoelen leidt uiteindelijk tot de verwezenlijking van een einddoel. Zo ontstaat een beeld van het leerproces voor wiskunde dat een kind doorloopt doorheen de basisschool. Dit beeld, gevormd door de leerlijnen, wordt gekleurd door de visie van de samenstellers die actief zijn op het leergebied in de basisschool. Die visie zal antwoord moeten geven op de vragen wat, hoe en wanneer. In dat visiestuk worden in een eerste paragraaf enkele inhoudelijke keuzes aangegeven: aan welke criteria moeten onderwijsdoelen binnen het leergebied van de wiskunde voldoen om in het leerplan van de basisschool opgenomen te worden? Ook de volgorde waarin de geselecteerde doelen aangeboden worden - op welke leeftijd verwachten we dat kinderen die doelen bereiken? - is zo'n inhoudelijke keuze. Die hangt ook samen met didactische overwegingen: hoe leren kinderen wiskunde en hoe kan je daar als leraar best bij aansluiten? Hierop wordt in een tweede paragraaf ingegaan. De basisschool is per definitie zeer heterogeen. Er is immers geen preselectie, alle leerlingen doorlopen de basisschool. Zowel inhoudelijk als didactisch zullen we hiermee rekening moeten houden door verschillende vormen van differentiatie in het leerplan in te bouwen. De bekommernis om de zorgbreedte binnen het wiskundeonderwijs zal doorheen de hele visietekst tot uiting komen. Uiteindelijk leiden al deze overwegingen tot enkele uitgangspunten voor het wiskundeonderwijs in de basisschool (paragraaf 3).

1

Doelen en inhouden

Een groot deel van de inhoudelijke keuze werd reeds bepaald bij de formulering van de ontwikkelingsdoelen en eindtermen. Daarbij werden criteria gehanteerd van haalbaarheid en noodzaak. -

Wat kunnen de meeste kinderen aan op wiskundig gebied op het einde van de kleuterschool of van de lagere school? Wat is qua wiskunde voor henzelf en/of voor de maatschappij, waar de school hen op voorbereidt, vereist om te leren?

Overwegingen van haalbaarheid zullen niet alleen de keuze van doelstellingen bepalen, maar ook de volgorde. We moeten echter niet te strikt afbakenen wat kinderen van een bepaalde leeftijd aankunnen. Dat is immers van zo veel factoren afhankelijk dat we daar moeilijk algemeen geldende (voor alle leerlingen, voor alle scholen) uitspraken kunnen over doen. Bij de meeste doelstellingen zullen we dan ook in een zekere leeftijdsspreiding voorzien. Een leerdoel hoeft dus niet per se in een welbepaald leerjaar bereikt te worden. Op grond van de haalbaarheid zal de school hier ook zelf beslissingen moeten nemen. Overigens kunnen we in het kader van een leerplan ook uitbreidingsdoelstellingen opnemen waarvan we overtuigd zijn dat niet

6 de

OVSG - LEERPLAN WISKUNDE

RICHTSNOER

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 7 meerderheid doch zelfs slechts een kleine minderheid van de leerlingen ze kan halen. Welke doelstellingen daarvan in de klas(sen) nagestreefd zullen worden, en met welke leerlingen, wordt dan ook weer een keuze van de leraren op schoolniveau. Bij de keuze van wiskundige ontwikkelingsdoelen en eindtermen werd de noodzaak dat het leerdoel moet bijdragen tot het maatschappelijk functioneren, als norm genomen. Daarnaast zullen we ook nog doelstellingen opnemen die om een andere reden voor de leerling interessant of de moeite waard zijn, ook al zijn ze niet strikt noodzakelijk. Of deze doeleinden door de meerderheid van de leerlingen moeten gehaald worden (basisdoel) of niet (uitbreidingsdoel) zal dan afhangen van twee criteria: Is het doel haalbaar? Is het inhoudelijk interessant en/of nuttig voor alle leerlingen? Om tot haalbare en interessante doelen te komen, zal men rekening moeten houden met: -

de leerlingen uit de basisschool, hun mogelijkheden, hun ontwikkeling en de noden die daarbij aansluiten; de wereld waarin zij leven, in de eerste plaats 'hier en nu', maar ook elke voorstelbare wereld 'daar en dan'. De school bereidt ook voor op een toekomstige maatschappij; de wiskunde als 'vak' of discipline (theoretisch) en haar toepassingsgebieden (praktisch).

Elk van deze drie punten werken we even uit, om de consequenties voor het leerplan te kunnen aangeven. 1.1 Mogelijkheden en noden van de kinderen van de basisschool Bij elke wiskundige activiteit op school zullen we rekening moeten houden met de beginsituatie van de leerlingen. Daarbij houden we ook voor ogen dat die beginsituatie binnen de groep kinderen met wie we werken, sterk verschillend kan zijn. Ze kan niet zonder meer afgeleid worden uit de wiskundige activiteiten die voordien met de leerlingen gebeurd zijn (volgens het leerplan, het schoolwerkplan of het handboek). Niet alle leerlingen zullen immers die voorafgaande activiteiten op dezelfde manier verwerkt hebben. Bovendien zijn we er ons sterk van bewust dat ook heel wat wiskunde geleerd wordt buiten de wiskundeactiviteiten of lessen. Vooreerst wordt er veel intuïtieve of ervaringskennis opgedaan buiten de school en in het thuismilieu. Het is belangrijk voor de school om op die spontaan verworven kennis voort te bouwen, ze niet te negeren. Hetzelfde geldt voor leraren lager onderwijs t.a.v. de kleuterschool. De basis van het wiskundig denken wordt (thuis en op school) op kleuterleeftijd gelegd. Denken we maar aan het getalbegrip, het tellen, de ruimtelijke oriëntatie, ... . Continuïteit in het leren van kinderen zal dan berusten op een weloverwogen volgorde in de doelen die binnen een leerlijn van het leerplan voorgesteld worden, maar ook op een voortdurende bijsturing t.a.v. de beginsituatie van de leerlingen waarmee je als leraar werkt. Wiskunde is een leergebied dat we bij uitstek als cognitief kunnen omschrijven. Cognitie verwijst in de eerste plaats naar denkprocessen en de resultaten daarvan. We zijn er ons wel van bewust dat we dat denken onmogelijk kunnen stimuleren door (zeer resultaatgericht) kinderen een reeks voor hen zeer ondoorzichtige procedures aan te leren. Wiskunde mag niet gereduceerd worden tot kennis van de passende trucjes om tot een gewenste uitkomst te komen. Daarom stellen we als basisprincipe voorop in dit leerplan enkel doelen op te nemen die vallen binnen

8


RICHTSNOER

de cognitieve mogelijkheden van een basisschoolkind. Iedereen zal om die reden beseffen dat bv. het formeel uitvoeren van algebraïsche bewerkingen met negatieve getallen ('min maal min is plus') buiten de basisschool gehouden wordt. Voor allerlei andere begrippen en procedures is dat minder evident, omdat ze in vele gangbare leerplannen en wiskundemethodes wel opgenomen waren. Als we, vanuit het principe dat we enkel opnemen wat voor kinderen begrijpelijk is, beslissen om een aantal zaken niet als basisdoel op te nemen, gaan we daarmee zeer bewust in tegen een zekere traditie binnen het wiskundeonderwijs. We denken hier bv. aan het gros van de begrippen en bewerkingen uit de verzamelingen- en relatieleer ('moderne' wiskunde); een aantal formules voor oppervlakte- en inhoudsberekening; een aantal meetkundige constructies met de passer, e.d.. Deze beperking lijkt ons onvermijdelijk omdat we expliciet op elk moment rekening willen houden met de cognitieve mogelijkheden van de meerderheid van de leerlingen. Datzelfde principe geldt niet alleen bij de selectie van leerdoelen, maar ook bij het vaststellen van de volgorde ervan binnen een leerlijn. Wanneer zijn bv. kinderen cognitief voldoende ver gevorderd om de procedure te begrijpen van de negenproef, die we wel als basisdoel behouden? Selectie en volgordebepaling van leerdoelen, aansluitend bij de mogelijkheden van leerlingen, gebeurt in een leerplan in een abstracte vorm, voor de niet bestaande gemiddelde school en leerling. Dit betekent dat je het moet aanpassen aan de concrete situatie van jouw school en leerlingengroep. Ook t.a.v. de keuze van uitbreidingsdoelen verwachten we dat je als leraar slechts aan die uitbreidingsdoelen werkt, die minstens bevattelijk zijn voor dat deel van je groep aan wie je ze aanbiedt. Hoewel wiskunde dus in de eerste plaats een cognitief leergebied is, zou het toch een veronachtzaming zijn van de noden van de kinderen als enkel doelstellingen van cognitieve aard worden geformuleerd. Die kinderen zitten immers met hun totale persoonlijkheid en niet enkel met hun hoofd in onze klas. Heel wat wiskundeactiviteiten bevatten trouwens ook affectieve, sociale, muzische en fysisch-motorische aspecten. Sommige daarvan zullen in andere leergebieden als expliciete doelstelling worden geformuleerd. Waar mogelijk zullen we naar deze vakoverschrijdende doelen verwijzen. Andere nemen we toch expliciet op als doel binnen het wiskundeonderwijs, al is de beslissing hierover wel wat arbitrair te noemen. In het leerplan van OVSG wordt ook aandacht besteed aan de ontwikkeling van zelfvertrouwen en een positieve houding t.a.v. wiskunde. Zelfs het plezier vinden in wiskundeactiviteiten wordt beschouwd als een belangrijk affectief doel. Leren samenwerken, overleggen en argumenteren over wiskundeproblemen beantwoordt niet alleen aan een nood van de kinderen maar ook aan een maatschappelijke behoefte. Bij het muzische denken we niet alleen aan bv. het herkennen of realiseren van wiskundige patronen in plastische en muzikale werken, maar evengoed aan het speels-creatieve oplossen van wiskundeproblemen ('puzzels'), spel met wiskundige inslag (strategiespelen, zoals bv. dammen en schaken), of het maken van schetsen en tekeningen binnen bv. het meetkundedomein. Bij dit laatste voorbeeld stellen we ook de motorische vaardigheid om instrumenten als een passer of een tekendriehoek te hanteren , als een wiskundig doel voorop.

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 9 Evenmin beperken we ons bij de formulering van wiskundedoelen tot kennis, inzichten en vaardigheden die sterk inhoudelijk of leerstofgebonden zijn. Zo behoren eveneens tot het doel van het wiskundeonderwijs: de ontwikkeling van breder toepasbare vaardigheden zoals bv. een heuristiek t.a.v. probleemoplossing in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder; de uitbouw van bepaalde attitudes, zoals zin voor systematiek, nauwkeurigheid, planmatigheid, reflectie, controle, e.d.. Dit was trouwens ook binnen de ontwikkelingsdoelen en eindtermen reeds aangegeven. 1.2

Wiskundige wereldoriëntatie

De wereld waarin we leven komt op ons af als een globale realiteit. Om daarin goed te kunnen functioneren is het van belang die realiteit te begrijpen, o.m. door te analyseren. Dit kan slechts door op het moment van reflectie afstand te nemen van de globaliteit; abstractie te maken van heel wat deelaspecten van de werkelijkheid; te proberen één deelaspect, bv. het wiskundige, wat dieper te doorgronden. Binnen de wiskunde kan je ook nog zeer ver opsplitsen, maar dat lijkt ons voor het wiskundeonderwijs niet opportuun. Het onderlinge verband tussen de deelaspecten en de band met de realiteit waaruit ze gekomen zijn, dreigt daarbij verloren te gaan. Daarom houden we ons in dit leerplan aan de drie grote domeinen die ook bij de eindtermen onderscheiden werden: getallen, meten en meetkunde. Het onderlinge verband is ook belangrijk: bv. bij oppervlakteberekening (een meting) worden bewerkingen op getallen uitgevoerd in functie van de vorm van een meetkundige figuur. In de leerlijnen die we weergeven in het leerplan zijn we vaak enkel met de wiskundige objecten uit de drie domeinen bezig. Maar het blijft de primaire bedoeling van deze uitwerking dat het bereiken van wiskundige doelen de kinderen helpt om de wiskundige aspecten van de hen omringende wereld te begrijpen en er zo vat op te krijgen. Naar analogie met geletterdheid als doel van taalonderwijs, zouden we dat gecijferdheid kunnen noemen. Dat is een bekwaamheid die maatschappelijk functioneel is. Leerlingen moeten eerst de wiskundige aspecten uit hun eigen leefwereld leren beheersen. We dienen ze echter ook voor te bereiden op de maatschappelijke context waarin ze als volwassenen moeten functioneren. Ook wiskundige aspecten uit de wereld van de volwassenen (voor zover ze voor de basisschoolkinderen te begrijpen zijn) komen dus in het leerplan voor. Vandaar bv. de leerlijn i.v.m. de zakrekenmachine. We kunnen slechts van gecijferdheid spreken als wat wiskundig uitgewerkt is ook kan toegepast worden in reële situaties. Het heeft bv. geen enkele zin kinderen procedures te leren om snel en correct bewerkingen met getallen uit te voeren, als ze in een reële situatie niet weten welke bewerking op welke getallen past. Het kunnen 'verwiskundigen' van realiteiten, inzicht verwerven in de wiskundige aspecten van een context of situatie, is dus een algemeen doel van het wiskundeonderwijs dat we ten zeerste op de voorgrond willen plaatsen. Toch zit er in dit leerplan geen onderdeel 'vraagstukken'. Het is immers niet de bedoeling situaties te selecteren waarbinnen de wiskundige inzichten, vaardigheden en attitudes afzonderlijk moeten functioneren. We stellen dus niet dat leerlingen op een bepaalde leeftijd problemen moeten kunnen oplossen van een bepaald type (bv. inkoop-verkoop-winst-verlies of bruto-tarra-netto e.d.). Wel eisen we dat al de opgebouwde wiskundige kennis, die in het leerplan opgenomen werd, kan toegepast worden in realistische contexten.

10


RICHTSNOER

Het criterium voor deze contexten is dat ze relevant zijn voor de leerlingen, nu (eigen leefwereld) of in de toekomst (maatschappelijk relevante contexten). Het woord realistisch moet daarbij niet te strikt begrepen worden. Een fictieve wereld van bv. heksen en kabouters kan in de leefwereld van basisschoolleerlingen even relevant zijn. 1.3

Oriëntatie in de wiskunde

In de vorige delen gaven we aan op grond van welke criteria we de wiskundedoelen in het leerplan willen beperken: ze moeten binnen de mogelijkheden van de leerlingen vallen; die doelen moeten voor hen of voor de maatschappij relevant zijn; ze dienen een band te vertonen met de werkelijkheid. Binnen deze beperking is het aannemelijk dat we naast de eindtermen en ontwikkelingsdoelen weinig basisdoelstellingen toevoegen aan het leerplan. Wel zullen we via de leerlijnen basisdoelen aangeven die de weg naar de eindtermen (gespreid over negen jaar basisonderwijs) kunnen verduidelijken. Maar we willen het leerplan geenszins overladen. Vandaar dat we ook niet in de eerste plaats ons leerplan afgestemd hebben op wat nu in het secundair onderwijs gangbaar is als vertrekpunt voor de wiskundeleergangen. Toch zal het duidelijk zijn dat leerlingen, die de basisdoelen uit dit leerplan bereiken, alle kansen hebben om in om het even welke richting van het secundair onderwijs hun schoolloopbaan met succes voort te zetten. De continuïteit is hier trouwens ook mede de verantwoordelijkheid van het vervolgonderwijs. De logica van het wiskundig systeem heeft ook haar rechten bij leerplanontwikkeling, maar de andere criteria geven daarvan de grenzen aan. Vanuit een puur wiskundig standpunt is het zeer aannemelijk om te vertrekken vanuit de abstracte wiskundige structuur (bv. de verzameling) en alle wiskundige kennis op te bouwen door ze in die verzamelingentheorie in te passen, ze er logisch deductief uit af te leiden. Het sombegrip bv. wordt dan gedefinieerd als het kardinaalgetal van de vereniging van twee gescheiden verzamelingen. Deze wiskundige lijn strikt volgen is in het verleden niet haalbaar gebleken voor basisschoolleerlingen, wat aanleiding gaf tot allerlei compromissen waarbij van de wiskundige structuur wel nog allerlei begrippen aan bod kwamen, maar de logische samenhang verdween. Verzamelingen- en relatieleer werden zo een apart vakonderdeel met te verregaande abstracties, hoewel men het in zijn schematische vorm (bv. venndiagram) wel kan hanteren als een handig ordeningsmiddel, bv. in de vormleer. Aangezien kinderen in hun cognitieve ontwikkeling eerder inductief en (zeker beneden de 12 jaar) niet logisch-deductief kennis opbouwen, kunnen we dat laatste toch niet als enige basis voor de aanmaak van leerlijnen blijven hanteren. De leerlijnen zullen wel moeten aansluiten bij de wijze waarop kinderen wiskunde leren.

2

Wiskunde leren

In deze paragraaf zullen we ons algemeen uitgangspunt toelichten, nl. dat kennisverwerving en vaardigheidsontwikkeling - ook op het wiskundig terrein - maar plaatsvinden wanneer het actief in de geest van de lerende opgebouwd wordt. Deze idee van constructief leren zal in de klas moeten ondersteund worden door de leerlingen te confronteren met reële problemen, die ze oplossen alleen of in groep, waarbij die oplossingen overdacht en besproken worden met leraar en medeleerlingen. In het oplossen van wiskundige problemen zit er een evolutie van concreet handelen naar abstract

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 11 denken, waarbij we kinderen bij die ontwikkeling kunnen helpen. Die hulp brengt ons bij de rol van de leraar als begeleider van deze wiskundeactiviteiten.

2.1

Leren als constructief proces

Het meest gehanteerde onderwijsmodel op school is dat van de kennisoverdracht. De leraar geeft informatie aan de leerlingen, toont de stappen van een procedure, verklaart en legt uit. Dat deze overdracht van kennis niet altijd tot het gewenste resultaat leidt, weet elke leraar: er zal altijd een verschil zijn tussen de leerstof die de leraar in de klas 'gezien' heeft en wat de leerlingen er nadien nog van weten of kunnen. Leerlingen zijn geen lege vaten die je kan volgieten met leerstof. Als er in hun hoofd niets gebeurt, geen mentale verwerking is van wat de leraar overdraagt, blijven de vaten leeg. Het leren van nieuwe kennis en vaardigheden is dus een actief proces, dat mentale inspanning en concentratie vergt. De leerlingen moeten daartoe gemotiveerd zijn. Dit leerproces is ook cumulatief; de mentale verwerking van nieuwe informatie gebeurt juist door het inpassen ervan in hetgeen de leerling vooraf reeds weet en kan. Goed wiskundeonderwijs zal er dus moeten voor zorgen dat leerlingen meer doen dan kijken en luisteren. Hun voorkennis zal eerst moeten geactiveerd worden - niet alleen de schoolse voorkennis, maar ook hun zogenaamd 'gezond verstand'. Als ze daarmee gewapend zijn, kunnen ze iets nieuws verwerken en die nieuwe kennis tot hun persoonlijke eigendom maken. Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor die mentale activiteit van de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en uitproberen. Constructief leren vergt dus probleemgericht onderwijs.

2.2

Wiskunde leren vertrekt vanuit reële problemen

Een probleem ontstaat in een situatie waarin iemand iets wil bereiken en niet onmiddellijk weet wat hij moet doen om dat te verkrijgen. Niet elk probleem dat in wiskundelessen aan bod komt, is in die zin een echt probleem voor de leerlingen. Vaak worden die problemen opgelost omdat de leraar dat wil of omdat ze 'toevallig' als opdracht in het handboek staan. In dat geval zijn de wiskundeproblemen geen probleem voor de leerling, het zijn de problemen van iemand anders. Dan hebben we net als in kennisoverdrachtsituaties geen enkele garantie dat leerlingen gemotiveerd en actief aan de oplossing van dat probleem zullen werken, geen garantie op leren dus. Daarom zouden de problemen waarmee we leerlingen in de wiskundelessen confronteren, door henzelf als een probleem moeten ervaren worden, d.w.z. aan minstens enkele (en liefst zo veel mogelijk) van de onderstaande criteria beantwoorden: het probleem wordt door leerlingen zelf gesteld; leerlingen willen het probleem oplossen omwille van de intrinsieke waarde ervan. Ze ervaren het als de moeite waard, doen het niet alleen voor de 'schone ogen' van de leraar; het probleem is betekenisvol en begrijpelijk voor de leerlingen, niet alleen voor de leraar; het probleem heeft relevantie voor het dagelijks leven van de leerlingen binnen of buiten de school. In dit verband spreken we van 'realistische' problemen, die met de wereld buiten de wiskunde te maken hebben;

12 -


RICHTSNOER

de oplossingen en oplossingsmethoden zijn niet voor de hand liggend en er zijn er zelfs verschillende mogelijk.

Aan het eerste criterium kan uiteraard slechts occasioneel tegemoetgekomen worden. Problemen die door de leerlingen aangedragen worden, zullen niet beantwoorden aan de systematisch geplande volgorde waarin we wiskundeleerlijnen willen laten verwerken. Anderzijds zou het zeer jammer zijn dergelijke kansen op actief en betrokken leren te laten liggen, door de leerlingproblemen af te doen als tijdverlies of als niet haalbaar omdat niet alle kinderen het gestelde probleem al zouden aankunnen (“Ze kunnen dat niet, want we hebben dat nog niet gezien.”). Het is juist bij de zelfaangebrachte problemen dat de kinderen actief hun voorkennis - ook de informele, buitenschoolse - zullen inzetten om oplossingen te bedenken. Het werken rond reële problemen is in deze visie zeker niet beperkt tot toepassen van wat voordien in de lessen aan bod is gekomen. Het zelf oplossen van problemen leidt de kinderen juist tot nieuwe kennis en inzichten die nadien in verdere wiskundige activiteiten kunnen uitgediept en ingeoefend worden. Misschien lijkt het wel alsof we er voorstander van zijn dat elk kind voor zichzelf de wiskunde opnieuw uitvindt. Dit is slechts ten dele waar, omdat we het leren binnen een probleemgerichte onderwijscontext niet als een individueel proces, maar ook als een sociaal proces zien. Het is niet omdat elke leerling zijn eigen kennis construeert dat hij niet kan leren van anderen.

2.3

Wiskundeonderwijs is interactief

Het is duidelijk dat wiskunde maar kan geleerd worden in interactie met anderen die meer bekwaam zijn op dat vlak dan de lerende zelf. Anders kan je op de beperkte schooltijd onmogelijk komen tot een geheel aan kennis en vaardigheden die de mensheid vele eeuwen gevergd heeft. Het zal in de eerste plaats de taak van de leraar zijn om op het gepaste moment de leerlingen wiskundige begrippen, symbolen en procedures aan te reiken, die hen van nut kunnen zijn bij de oplossing van problemen. In dit kader kan er geen sprake zijn van eenrichtingsverkeer van de leraar naar de leerling. De leerlingen geven zelf hun oplossingswijzen, moeten hun denkprocessen verwoorden om de leraar de kans te geven daarop in te spelen. Het kan ook de start zijn van een groepsdiscussie waarbij leerlingen elkaars pogingen tot probleemoplossing vergelijken, over de verschillende oplossingswijzen reflecteren en daaruit conclusies trekken. Zo leren ze ook in kleine groepjes of in een klassengesprek van elkaar. In een dergelijk interactief wiskundeonderwijs is er ook nog wel plaats voor individueel schriftelijk werk, vooral in een inoefenfase waarbij bepaalde procedures die reeds verworven zijn, naar een automatisme kunnen groeien of in een toetssituatie, waarin de leraar wil nagaan hoe ver elke leerling gevorderd is in de verwerking van de wiskundeleerstof. Een te grote nadruk op dit individueel schriftelijk werk, dat toch doorgaans veel tijd van de wiskundelessen inneemt, houdt echter een aantal gevaren in, die slechts in interactie met leraar en medeleerlingen kunnen vermeden worden. De kans is immers reëel dat bij een te lang individueel werken onhandige of zelfs foute rekenprocedures ingeslepen worden. Bovendien krijgt de leraar bij het nakijken van schriftelijk werk van de leerlingen enkel zicht op de resultaten (product van het denken), maar niet op de wijze waarop die resultaten ontstaan zijn (het denkproces zelf). Zijn eventuele hulp aan leerlingen die fouten maken moet nochtans op het proces gericht zijn.

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 2.4 Didactische hulpmiddelen

13

Het wiskundig denken stoelt op concrete handelingen in de realiteit. Kinderen zullen geen sommen kunnen maken als ze niet eerst dingen geteld en bij elkaar gevoegd hebben. Ze zullen niet kunnen werken met breuken en verhoudingen als ze niet eerst concrete verdeelsituaties hebben meegemaakt. Ze zullen eerst figuren bekeken, gevouwen, geknipt en getekend hebben voor ze deze kunnen beschrijven en klasseren op grond van meetkundige eigenschappen, enzovoort. Hoewel al deze concrete handelingen ook buiten de klas voorkomen, zullen we die in het wiskundeonderwijs zelf moeten voorzien, om zeker te zijn dat we er voor alle leerlingen kunnen op voortbouwen. Het is pas als deze ervaringskennis in voldoende mate aanwezig is, dat de stap naar de mentale voorstelling en het zgn. 'verinnerlijkt' handelen met die mentale voorstellingen of met de wiskundige symbolen die daarvoor staan, kan gezet worden. Voor veel leerlingen is die stap niet gemakkelijk. Goed wiskundeonderwijs zal hen daarbij helpen door tussen het concrete (de realiteit) en het abstracte (de wiskunde) een brug te slaan aan de hand van schema's, voorgestructureerd didactisch materiaal en modellen. Voorbeelden van dergelijke tussenstappen op weg naar de uitvoering van wiskundige operaties of denkprocessen zijn o.m. het busmodel, getalbeelden, het honderdveld, de abacus, de verhoudingstabel, stroken en roosters... Bij het aanbieden van deze schema's, modellen en materialen staat de leraar voor didactische keuzes: welk materiaal zal hij aanbieden, aan wie, wanneer, enz. In het kader van dit leerplan zullen we daar vooral op ingaan in de katernen met didactische suggesties.

2.5

De rol van de leraar

Ook in een vernieuwd wiskundeonderwijs waar de activiteit en de eigen productie van de kinderen aan belang winnen, blijft de leraar de spilfiguur, die de verantwoordelijkheid draagt voor de wiskundige vorming van de kinderen. Hoewel hij niet meer in de eerste plaats zijn eigen wiskundige kennis overdraagt aan de kinderen door uit te leggen en te demonstreren, is die kennis wel een eerste vereiste. De leraar moet de verbanden zien binnen de wiskunde, hij stelt vragen die vanuit de realiteit de wiskundige problemen oproepen, ... . Het is uiteraard ook de leraar die, geholpen door een leerplan en eventuele handboeken, de systematiek en de volgorde van de wiskundeactiviteiten in de klas zal bepalen. Op de didactische rol van de leraar zijn we in de vorige paragraaf al even ingegaan in verband met de keuze van didactische hulpmiddelen. Hoewel we er geen voorstanders van zijn om snel formele regels en vaste procedures aan alle kinderen aan te leren, blijft het de beslissing van de leraar welke kinderen hij welke hulp zal bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. De tussenstappen en procedures die daarbij aangereikt worden, mogen uiteraard de algemene doelstelling van het wiskundeonderwijs (kinderen kunnen zelfstandig wiskundeproblemen oplossen die zich in de werkelijkheid voordoen) niet tegengaan. Dat wil zeggen dat de hulp van de leraar erop moet gericht zijn dat de kinderen met die hulp verder actief kunnen zoeken, niet dat het denken in hun plaats gebeurt.Leerlingen met rekenmoeilijkheden zullen vaak terugvallen op een „veilige‟ strategie: ze werd hen door de leraar aangereikt, is vaak minder flexibel maar geeft hun toch de zekerheid om ook tot een oplossing van het probleem te komen. Centraal bij deze benadering die erop gericht is rekenproblemen te voorkomen, blijft dat ook zwakkere rekenaars recht hebben op (in)zicht op wat ze aan het doen zijn. We mogen ons bij deze kinderen niet beperken tot inslijpen van algoritmes en trucs die dan blind worden toegepast. Ze moeten zich bij de oefeningen die ze maken altijd iets kunnen voorstellen. Wiskundeonderwijs is, zoals reeds duidelijk werd gesteld, in sterke mate interactief. Dat betekent dus

14


RICHTSNOER

ook dat de leraar in de eerste plaats een gespreksleider is. Hij zorgt daarbij voor een ordelijk verloop van het gesprek door een aantal regels af te spreken (niet door elkaar praten, hand opsteken als iemand iets niet begrijpt, e.d.). Maar hij is vooral inhoudelijk de gespreksleider, door de vragen die hij stelt aan de kinderen, door in te gaan op wat de kinderen aanbrengen, door de ideeën van kinderen met elkaar te confronteren, door de discussie (dus goede verwoording van een wiskundige gedachtegang) te stimuleren enz. Terwijl de leerlingen alleen of in groep aan het werk zijn, heeft de leraar een observerende rol. Hij kijkt daarbij niet alleen of een antwoord op een wiskundige opdracht juist of fout is, maar richt zich in de eerste plaats op het achterhalen van hoe bij de kinderen de antwoorden totstandkomen. Evaluatie en diagnose gaan hier samen. Dan pas kan hij specifieke hulp geven aan de kinderen die dat nodig hebben. Die specifieke, gedifferentieerde hulp aan kinderen lijkt ons het belangrijkste aspect van zorgbreedte in het wiskundeonderwijs. Die eerste remediëring van rekenmoeilijkheden behoort tot de basisverantwoordelijkheid van de klasleraar. Hij stelt een handelingsplan voor waarin activiteiten vermeld worden die het moeten mogelijk maken dat de leerling zo snel mogelijk opnieuw aansluit bij het in de leerlijn geschetste leerproces. Bij de uitvoering van dat plan kan een taakleraar ondersteuning bieden. Samengevat kunnen we de rol van de leraar, als begeleider van het wiskundeleerproces van kinderen, omschrijven als een samengaan van vijf functies: wiskundige didacticus gespreksleider observator helper. Bij het vervullen van die meervoudige rol wil dit leerplan een hulp zijn voor de leraren.

3

Uitgangspunten van het onderwijs in wiskunde

De basisschool heeft de taak om haar leerlingen de basisvaardigheden i.v.m. rekenen en wiskunde bij te brengen. De wijze waarop dit moet gebeuren is de laatste jaren onderwerp van heel wat discussie. Een fundamenteel element in deze discussie is de tegenstelling rond het uitgangspunt van het 'wiskunde-onderwijzen' op de basisschool. Enerzijds kan je als uitgangspunt het logisch geordende wiskundesysteem nemen. Een getal is dan bv. een voorstelling van de kardinale eigenschap van een verzameling. Een vierhoek is dan een vlakke figuur gevormd door snijdende rechten. Logischerwijs wordt het getalinzicht dan ook opgebouwd door te werken met hoeveelheden (elementen) geordend in verzamelingen. Het meetkundeonderwijs start dan met de initiatie in begrippen als 'punt', 'rechte' en 'evenwijdig'. Het schijnbare voordeel van deze onderwijsstrategie is dat leerlingen 'van meet af aan' de juiste, vaak theoretische begrippen leren hanteren. Het wiskundesysteem wordt op een logisch geordende manier verkend. Fouten van leerlingen worden door de strikte structurering van de leerinhouden vermeden, terwijl ze juist van fouten leren als ze actief, al experimenterend, een leerdomein verkennen. De realisatie van het inzicht in het systeem wordt zonder 'overbodige' zijsprongen aangepakt. De dagelijkse realiteit, waarin kinderen met wiskunde worden geconfronteerd, wordt zo veeleer als een stoorzender gezien. Het leerproces van de leerlingen wordt dan in grote mate bepaald door de cursorische opbouw van het vak. Het kind wordt aan het begin van het leerproces als een onbeschreven blad beschouwd.

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 15 Anderzijds kan je als uitgangspunt de leefwereld van de kinderen nemen. Je reken-wiskundeonderwijs start dan met de vraag wat kinderen al kunnen en kennen. Voor welke begrippen en vaardigheden vertonen kinderen, rekening houdend met hun ontwikkeling, spontane belangstelling? Volgens deze opvatting start de ontwikkeling naar getalbegrip bij het vaak spontane, intuïtieve tellen van het kind. Het meetkundeonderwijs start met het bekijken van een aantal vormen die voor kleine kinderen 'herkenbaar' zijn: het vierkant, de rechthoek, de cirkel. Theoretische begrippen worden niet van meet af aan aangeboden maar moeten 'groeien' tijdens het leerproces. Er wordt gestart vanuit situaties die in de leefwereld van de leerlingen 'voorstelbaar' zijn. Inzicht in het wiskundesysteem kan pas ontstaan nadat het kind inzicht heeft in de context van de reken- of wiskundesituatie. Dit leerproces wordt bepaald door de ontwikkeling van het kind en door zijn eigen leefwereld. De leerinhouden van het wiskundesysteem vormen niet het uitgangspunt van het onderwijs in de basisschool. De leraar organiseert het onderwijsleerproces zò dat het maximaal aansluit bij de belangstelling van de leerlingen. De leerlijnen, die door OVSG werden uitgewerkt, leunen dichter aan bij de tweede visie dan bij de eerste. De keuze om te vertrekken bij de leefwereld van het kind kan verantwoord worden door te verwijzen naar de uitgangspunten wiskunde zoals ze werden geformuleerd in het document 'Eindtermen' van de DVO. Ten overvloede wordt onderstreept dat in het basisonderwijs niet gestreefd moet worden naar een grote 'wiskundekennis' bij de leerlingen. De kwantiteit zal in dit verband eerder een belemmering zijn voor de kwaliteit van het wiskundeonderwijs. Naast de basisvaardigheden die in ruime mate aan bod dienen te komen, moet vooral aandacht besteed worden aan de wiskundige activiteit van de leerlingen, aan de band van het rekenen en de wiskunde met de realiteit, aan het samen ontdekken van structuren, problemen en oplossingswijzen. Dat wil niet zeggen dat de volgorde van doelen die we nastreven, niet mee door het wiskundig systeem bepaald is, bv. bij de geleidelijke opbouw van het tiendelig talstelsel (van klein naar groot), of in de volgorde van de bewerkingen (eerst begripsvorming in optellen en aftrekken, nadien vermenigvuldigen en delen), ... . Het wiskundig systeem is daarbij echter niet prioritair. We hechten meer belang aan hoe kinderen cognitief ontwikkelen, hoe ze dus wiskunde kunnen leren en hoe we daarbij aansluitend wiskunde kunnen onderwijzen.

HOOFDSTUK 2

EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS

Hoofdstuk 2:

15


In een leerplan wordt uitgestippeld welke algemene en concrete leerdoelen op welk moment bereikt moeten worden. Het spreekt dan haast vanzelf dat daarbij ook aangegeven wordt op welke manier een leraar kan nagaan of zijn leerlingen die doelen effectief bereikt hebben. We stelden trouwens reeds eerder (Hfst. 1, 2.5.) dat observatie, evaluatie en diagnose expliciet tot de rol behoren van de leraar die wiskunde onderwijst. Deze problematiek is uiteraard niet nieuw. Leraren hebben altijd het toetsen van wiskundeprestaties van hun kinderen tot hun opdracht gerekend en hadden daar weinig problemen mee. Heel wat wiskundeleerstof is relatief makkelijk toetsbaar. In alle wiskundemethodes voor de basisschool vinden we opgaven bedoeld om individueel en schriftelijk door de leerlingen te laten uitvoeren. Deze kunnen ook als een toets beschouwd worden. Het probleem is wel dat ze zich meestal beperken tot rekenfeitjes, cijferprocedures en standaardoplossingen bij toepassingsproblemen. In de eindtermen - en derhalve ook uiteraard ook in dit leerplan - zijn echter ook heel wat andere doelen geformuleerd. Deze andere doelen vergen een ander soort toetsing.

1 Nieuwe doelen, nieuwe toetsen In de doelen van het wiskundeonderwijs kunnen we verschillende niveaus onderscheiden en bij elk van die niveaus passen andere toetsen of toetsprocedures (Van Reeuwijk, 1994). - Lagere doelen: de traditionele schoolwiskunde behoort tot deze categorie. Definities, feiten, technische basisvaardigheden, standaardalgoritmes situeren zich op dit niveau. In het leerplan zijn die terug te vinden in de domeingebonden leerlijnen, getallen, meten en meetkunde. Deze doelen zijn eenvoudig te toetsen bv. via een rij kale sommen (schriftelijk) of via een tempotoets (optellen en aftrekken tot 10, splitsingen, tafels,...) - Middendoelen: integreren van verschillende leerstofgebieden, leggen van verbanden, oplossen van problemen in toepassingssituaties. Dergelijke doelen komen in het leerplan vooral domeinoverschrijdend voor (Strategieën en probleemoplossende vaardigheden, Deel II, hfst. 1, 1), maar zijn soms ook binnen één domein geformuleerd. Bv. grafieken (leerlijn 1.18 van domein getallen - bewerkingen) en schaal (leerlijn 2.3 van domein meten) zijn weliswaar in één domein ondergebracht, maar de meeste daar geformuleerde doelen vergen een integratie van doelen in de drie domeinen, doen beroep op getallenkennis, meetvaardigheid en meetkundige inzichten. Toetsen naar doelen op dit niveau zullen hoofdzakelijk vraagstukken bevatten die via verschillende oplossingswegen en -strategieën kunnen opgelost worden. - Hogere doelen: op dit niveau plaatsen we complexe doelen zoals wiskundig redeneren, communiceren, ontwikkelen van een kritische houding, creativiteit, interpreteren, reflecteren, mathematiseren... Deze hogere doelen zijn in het leerplan vooral bij de attitudes (Deel II, hfst. 1, 2.) terug te vinden. Toetsing van deze doelen zal naast schriftelijke individuele antwoorden op open vragen, ook observatie vergen van de interactie in de klas bij het oplossen van problemen. Niet elke toets die een leraar van de kinderen afneemt moet doelen bevatten op deze drie niveaus. Maar het evaluatieprogramma van de school op jaarbasis zal toch moeten vermijden dat men zich te eenzijdig concentreert op de lagere doelen. Het ontwikkelen van een evaluatieprogramma kan best vertrekken van volgende principes (De Lange, 1992): - toetsen moeten een geïntegreerd deel uitmaken van het leerproces, zodat het leren zelf erdoor kan verbeteren;

16


RICHTSNOER

- toetsen zouden eerder moeten laten zien wat leerlingen weten of kunnen, dan wat zij (nog) niet weten (positieve toetsing); - het geheel aan toetsen zou alle doelen van het wiskundeonderwijs moeten omvatten; - de toetsvorm of inhoud zou niet in de eerste plaats bepaald mogen worden door de mogelijkheden om gemakkelijk te corrigeren of objectief te scoren; - toetsen moeten praktisch genoeg zijn in afnameprocedure om in de courante schoolpraktijk te kunnen opgenomen worden. Laten we eerst nog voorbeelden bekijken van vragen en opdrachten die de mogelijkheid in zich houden om hogere doelen te toetsen. Wellicht zijn daar nog concrete aanwijzingen uit te halen voor een meer evenwichtig toetsprogramma. Voorbeeld 1: Uit: Jansen, 1996 p.6

Een beer weegt 500 kg Hoeveel kinderen wegen samen net zoveel als een beer?

Het antwoord dat de kinderen hier geven in het hokje is op zichzelf van weinig belang, er zijn trouwens meerdere antwoorden mogelijk, afhankelijk van de veronderstelling die de leerling maakt over het gemiddeld gewicht van een kind. Als de kinderen het algoritme van de staartdeling geleerd hebben zal deze vraag wellicht vooral die rekenvaardigheid toetsen (doel op lager niveau). Maar de vraag is zeer goed bruikbaar bij kinderen die dat nog niet kennen en het probleem op een andere manier oplossen. Bij een dergelijke vorm van ‘vooruit-toetsen’ krijgt de leraar zicht op hun strategieën en probleemoplossende vaardigheden, en op het niveau van hun wiskundig redeneren. Door niet de uitkomst, maar de kladblaadjes te bekijken (de oplossingsweg) krijg je informatie over middendoelen en weet je als leraar ook hoe je verder je onderwijs kan afstemmen op het wiskundig functioneren van kinderen op dat moment. (zie voorbeelden van kladblaadjes: afb. 2, Janssen, 1996, p.7)

HOOFDSTUK 2


17

Voorbeeld 2: (Schwartz, 1992) Je kan van een toetsvraag die peilt naar een lager doel (cijferalgoritme bv. voor de aftrekking) ook een vraag maken die eerder een beroep doet op inzicht in de betekenis van de aftrekking, dan op de mechanische beheersing van de rekenprocedure. In plaats van: een vraag met één correct antwoord, krijg je dan een vraag met zeer veel mogelijke correcte (en wellicht nog veel meer foute) antwoorden.

Bereken

7 102 - 4 595

Hieronder zie je twee aftrekkingen. Schrijf nu een aftrekking op waarvan het resultaat ligt tussen de uitkomsten van de twee gegeven aftrekkingen 7 102 - 4 595

6 421 - 3 976

18


RICHTSNOER

Zoals bij het voorbeeld van de beer zullen de kladblaadjes de leraar weer veel leren (bv. rekenen de kinderen de twee aftrekkingen eerst uit?), al is er hier uit het antwoord zelf ook al een en ander af te leiden over het inzicht en de inventiviteit van de leerlingen. Dit voorbeeld toont aan dat deze hogere orde capaciteiten ook kunnen getoetst worden in domeinen waar men vaak minst variatie mogelijk acht zoals het cijferen. Het toetsen van echte hogere doelen (attitudes en wiskundige redeneringen) vergt dan weer wat meer: een opdracht die veel eigen productie van de leerlingen noodzakelijk maakt, zowel in groep als individueel. Kladblaadjes en schriftelijke notities zullen dan aangevuld moeten worden met observatie van de interactie tussen de leerlingen. Voorbeeld 3: (naar Treffers, De Moor en Feijs, 1989) Na enkele lessen waarbij de leerlingen van het hoogste leerjaar gezocht hebben hoe groot de oppervlakte van België is, volgt een toetsles vertrekkende van volgende probleemstelling: Zou de hele Belgische bevolking in theorie op 1 km² kunnen staan? Zou de wereldbevolking in de provincie Oost-Vlaanderen kunnen staan? De eerste vraag als groepswerk, de tweede individueel op te lossen. Samenvattend kunnen we t.a.v. het wiskundetoetsprogramma voor een schooljaar stellen: - Conventionele, individuele, schriftelijke toetsen blijven een belangrijk onderdeel van het toetsprogramma. - Deze toetsen kunnen door de leraar zelf opgesteld worden, uit de methodes gehaald worden of verkregen bij instanties die grotere populaties toetsen (OVSG-eindtoets, CITO-toetsen,...). - De toetsvragen voor de lagere doelen zijn vaak vragen met één correct antwoord, dat kort te geven is. Meerkeuzevragen zijn in wiskundetoetsen vaak overbodig om ze objectief te kunnen scoren. Enkel bij bepaalde onderdelen (schatten bv.) is deze vraagvorm interessant. - Om midden en hogere orde doelen te kunnen toetsen moeten in het toetsprogramma ook opgaven zitten waarbij meerdere antwoorden mogelijk zijn en waarbij naast het resultaat ook de oplossingsweg in rekening gebracht wordt (‘kladblaadjes’ zijn een wezenlijk onderdeel van het antwoord op de toetsopgave). - Eigen productie van leerlingen als reactie op open probleemstellingen bieden de kans om hogere doelen te toetsen. Die productie is zowel mondeling als schriftelijk, zowel individueel als in groep. Observatie van interactie vormt dus een noodzakelijke aanvulling in een uitgebalanceerd evaluatieprogramma.

2 Waarom toetsen? Ook in het doel zelf van toetsen en evalueren is een verschuiving merkbaar. De reden waarom we een wiskundetoets afnemen in de klas zal niet meer in de eerste plaats zijn dat je zo op een relatief gemakkelijke en objectieve manier een rapportcijfer kan verkrijgen. Toetsen gaan we vooral afnemen omdat je daarmee feedback kan geven aan de leerlingen zelf en hun ouders. Rapportering blijft dus een evident vervolg van een toetsing. Maar je kan beter meer rapporteren dan enkel een cijfer of een score. Die score krijgt meer betekenis wanneer je daarbij kan aangeven hoe die score ontstaan is, voor welk toetsonderdeel (welk wiskundedoel) de prestatie boven of onder de verwachting lag (vergeleken bij andere kinderen van de klas of van die leeftijdsgroep in geval je werkt met genormeerde toetsen), wat de mogelijke oorzaken zijn van fouten in de toets en wat je daar als leraar kan aan verhelpen... Wanneer je als leraar deze gegevens aan een toetsscore toevoegt bij de rapportering heb je meteen de basis gelegd voor je verdere didactisch handelen met de getoetste groep leerlingen. Want de feedback voor de leraar zelf is natuurlijk de hoofdreden om toetsen in de klas af te nemen. Hoewel de leraar door dagelijks met de kinderen te werken wel een globaal idee heeft over de sterke en

HOOFDSTUK 2


19

zwakke punten van hun wiskundig functioneren kan een toets heel wat bijkomende en meer objectieve specifieke informatie opleveren, waarmee de leraar nadien aan de slag kan gaan. Voor leerlingen die zwak presteren zal een periodieke beheersingstoets over de verschillende onderdelen van de wiskundeleergang meestal niet volstaan. Voor een beperkte groep (bv. de 25% zwakste presteerders op de beheersingstoets) moet de diagnose fijner zijn, om hen effectief te kunnen helpen. Die verfijning kan de vorm aannemen van een diagnostische toets (een beperkt onderdeel met vooral aandacht voor hoe fouten tot stand komen) eventueel aangevuld met een individueel diagnostisch gesprek met de leerling om duidelijker te zien hoe hij te werk gaat en waar zijn problemen liggen bij het oplossen van wiskundeopgaven. Op deze diagnostische gegevens kan dan een handelingsplan gebaseerd worden: voor een groepje leerlingen (differentiatie) of voor een individuele leerling (remediëring eventueel in samenwerking met een taakleraar). Omdat het wiskunde leren in continuïteit verloopt kan de begeleiding door de leraren ook best een continu proces vormen. Daarom is het aangewezen de toetsgegevens van de leerlingen samen te brengen in een of ander leerlingvolgsysteem, dat doorheen de hele basisschool bijgehouden wordt. Minimaal is daarin de screening opgenomen voor alle leerlingen voor hun wiskundig functioneren. Dat betekent dat minstens tweemaal per jaar een beheersingstoets wordt afgenomen, waarbij ook aandacht is voor de hogere doelen van het wiskundeonderwijs. Voor de zwakste groep komen in het leerlingvolgsysteem bijkomende diagnostische gegevens, acties ter remediëring en de resultaten van die acties. Op die manier zal een toetsingsprogramma doorheen de hele school het wiskunde leren van alle kinderen ondersteunen, en kunnen we de zorgbreedte bereiken die we beogen.

HOOFDSTUK 3

GEBRUIK VAN HET LEERPLAN

Hoofdstuk 3:

21


Om het leerplan efficiënt te kunnen gebruiken, geven we hierna enige verduidelijking bij: de domeinoverschrijdende doelen; de leerlijnen (voor de domeinen: getallen, meten en meetkunde); de didactische katernen.

1

Domeinoverschrijdende doelen

De domeinoverschrijdende doelen zijn niet leeftijdsgebonden. Aspecten van de doelen kunnen zowel bij jongere als bij oudere leerlingen aan bod komen. Van deze doelen zijn daarom geen leerlijnen gemaakt.

1.1

Strategieën en probleemoplossende vaardigheden

Voor de strategieën en probleemoplossende vaardigheden werd de volgende structuur gehanteerd.

doelstelling 

1 Fase 1 

III

I

doelstelling IV

ET 

II

Aspecten: V -

Voorbeelden



VI

I

Nummer van de doelstelling en de doelstelling

II

ET = eindterm In deze kolom staat het nummer van de eindterm(en) waarmee de doelstelling overeenstemt. Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.

III

Sommige doelen worden opgesplitst in fasen. In dergelijke gevallen krijgen de fasen een nummering.

IV

De doelstelling bij de overeenstemmende fase

V

Elk doel omvat een aantal aspecten. De opsomming van de aspecten is niet limitatief.

VI

Bij elk doel worden een aantal voorbeelden gegeven. Soms geven we voorbeelden van bij jonge kinderen, soms van bij oudere kinderen. Bepaalde aspecten van bijna elk doel kunnen zowel bij jongere als bij oudere leerlingen worden nagestreefd.

22


1.2

RICHTSNOER

Wiskundeattitudes In het kader wordt het doel met de verwijzing naar de overeenkomstige eindterm gegeven. In de tekst onder het kader wordt het doel verduidelijkt en worden verschillende voorbeelden gegeven.

2

Leerlijnen Het eerste hoofdstuk binnen de domeinen getallen, meten en meetkunde geeft telkens de leerlijnen voor het overeenkomstige gebied. Hierna geven we de structuur die gehanteerd wordt bij de leerlijnen.

OD ET 

Domein 

I

kleuters

lagereschoolkinderen





III

IV

II 1ste fase

1.1

LEERLIJN V

1

doelstelling 

2

doelstelling

3

doelstelling

4

doelstelling

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

VI

VII VIII 

IX

X

XI

I

Naam van het domein De naam van het domein, eventueel aangevuld met een onderverdeling van het domein (bv. domein getallen wordt onderverdeeld in getallenkennis en bewerkingen).

II

OD = ontwikkelingsdoel; ET = eindterm Het nummer verwijst naar het ontwikkelingsdoel of de eindterm. Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.

III

De kleuterperiode wordt ingedeeld in twee ontwikkelingsfasen.

IV

De lagereschoolperiode wordt ingedeeld volgens de leeftijd van de leerlingen.

HOOFDSTUK 3


23

V

Nummer en naam van de leerlijn Elk leerdomein telt verschillende leerlijnen.

VI

Doelstelling en haar nummering binnen de leerlijn.

VII

Grijsgetint vak links van een vak met een zwarte streep De doelstelling kan in deze groep enkel bij die kinderen die eraan toe zijn worden nagestreefd.

VIII

Grijsgetint vak met onderaan een zwarte streep De doelstelling wordt uitdrukkelijk bij deze groep(en) nagestreefd.

IX

Grijsgetint vak rechts van een vak met een zwarte streep De doelstelling zal waarschijnlijk door een groot deel van de leerlingen bereikt zijn, maar ze wordt nog nagestreefd door leerlingen die ze nog niet (ten volle) hebben bereikt.

X

Witte vakken rechts van grijsgetinte vakken Er mag verwacht worden dat de overgrote meerderheid van de leerlingen de doelstelling heeft bereikt.

XI

Cursief gedrukte doelstelling Dit is geen basisdoel maar een uitbreidingsdoel. Er worden dan ook geen vakken voorzien met een zwarte streep. De school beslist zelf of en voor wie ze dit doel in hun werkplan opneemt. De grijsgetinte vakken geven aan bij welke groepen leerlingen deze doelstellingen eventueel kunnen worden nagestreefd.

3

Didactische katernen De link tussen de leerlijnen en de verschillende didactische katernen verschilt van katern tot katern. Het katern 'Werken met contexten' is niet te koppelen aan een of meer leerlijnen. Contexten vormen de rode draad doorheen het hele wiskundeonderwijs. Het katern 'Ontluikende gecijferdheid' geeft specifieke suggesties voor het kleuteronderwijs. De suggesties zijn te koppelen aan verschillende leerlijnen uit de drie domeinen van wiskunde. De andere katernen zijn volledig opgenomen binnen één van de drie domeinen van wiskunde. Voor de domeinen meten en meetkunde is telkens één katern voorzien. Bij het domein getallen treffen we zeven katernen aan. Sommige van deze katernen sluiten aan bij één leerlijn (bv. tabellen en grafieken), andere geven suggesties bij verschillende leerlijnen uit dit domein (bv. katern cijferen bij de leerlijnen 1.20 tot en met 1.24).

HOOFDSTUK 1

DOELEN

Hoofdstuk 1:

VAARDIGHEDEN EN STRATEGIEEN

27

DOMEINOVERSCHRIJDENDE DOELEN

In de eindtermen, wiskunde werden naast specifieke kennis en vaardigheden per domein (getallen, meten, meetkunde), ook een aantal meer algemene doelen opgenomen. Het betreft hier strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en wiskundige attitudes anderzijds. Deze doelen worden ontwikkeld via wiskundige activiteiten in de drie domeinen. Hoewel de aard van die activiteiten verschillend zal zijn naargelang van de leeftijd van de kinderen, hebben we voor deze algemene doelen geen echte leerlijnen ontwikkeld. We geven hier dan ook geen leeftijdsgebonden tussendoelen aan die de weg naar de eindtermen uitstippelen. Zoals deze doelen geformuleerd zijn, kan je ze trouwens ook moeilijk als een eindpunt beschouwen. Ook na de basisschool zal er aan de verdere ontwikkeling van deze strategische vaardigheden en wiskundige attitudes moeten gewerkt worden, zij het aan de hand van andere activiteiten. De basisschool heeft in dit verband vooral een inspanningsverplichting. Dat wil zeggen dat er via een weloverwogen keuze van wiskundige activiteiten gekoppeld aan interactie en reflectie bij elke leerling een groeiproces op gang gebracht wordt. De begeleidende leraar houdt hierbij voortdurend de ontwikkeling van de strategische vaardigheden en attitudes voor ogen. Hoe dat kan op verschillende leeftijdsniveaus, zullen we aan de hand van voorbeelden proberen concreter maken. De doelstellingen zijn terug te vinden op de hiernavolgende bladzijden. Per doel geven we een of meer voorbeelden ter illustratie. Ze zijn afwisselend te situeren bij oudere of jongere kinderen. Maar dat betekent niet dat de doelen enkel door die leeftijdsgroep moeten nagestreefd worden. Zoals gezegd vormen deze doelen zowat de rode draad, het na te streven ideaal, voor alle wiskundeactiviteiten doorheen de hele basisschool.

28


DOMEINOVERSCHRIJDEND GEDEELTE

1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden 1.1

ET 1.29*

De leerlingen ontwikkelen heuristische werkwijzen om wiskundige problemen m.b.t. getallen, meten en meetkunde op te lossen. Ze werken daarbij planmatig en doorlopen een aantal fasen.

4 (leren leren)

Fase 1

De leerlingen zijn in staat wiskundige problemen te begrijpen. Aspecten: - ze kunnen zich inleven in de situatie door deze aandachtig te bevragen, te lezen, te bekijken, te beluisteren, ...; - ze onderkennen dat er een probleem is dat deels via wiskundige vaardigheden op te lossen is; - ze kunnen de gegevens en het gevraagde of datgene wat ze willen bereiken onderscheiden; - ze kunnen het probleem met eigen woorden weergeven; - ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten en aangeven welke gegevens eventueel ontbreken; - ze kunnen de samenhang in de gegevens ontdekken, de kerngegevens die relevant zijn om tot een oplossing te komen, vinden in de probleemsituatie, en deze ordenen; - ...

Voorbeelden Kleuters In de klas ligt tekenpapier van verschillende grootte (even groot als de kinderen - kleiner - groter - tweemaal, driemaal, viermaal zo klein, ...) De leraar vertelt: voor het grootouderfeest gaan we onze oma‟s en opa‟s verrassen met een tekening van onszelf. Het zou leuk zijn als die tekening even groot zou zijn als jijzelf bent. De lei(d)(st)er kan hier samen met de kleuters het probleem in kaart brengen: - wat betekent dat: „even groot als ...‟; dat is niet voor iedereen hetzelfde; - vertel eens wat je moet doen; - weet iedereen wat we gaan doen? - ... Lagere school: 6 j. en > De volgende situatie wordt geschetst: voorgelezen en/of verteld door de leraar, al dan niet ondersteund met concreet materiaal of een schematische voorstelling, zelf gelezen door de leerlingen, ... Nils heeft 25 knikkers: 17 blauwe en 8 groene. Hij begon vandaag met 22 knikkers en won er 3 bij. Hij heeft er 7 meer dan zijn vriend Bert, die alleen blauwe knikkers heeft. Eva heeft 15 knikkers: 7 groene, 8 blauwe. Hoeveel knikkers heeft Bert?

Lagere school: 10 j. en > Je tante die in Amerika woont, wil eens een foto of tekening van je school zien. Ze wil ook heel graag weten hoe groot je school wel is. Om alvast te beginnen zorg je voor het vooraanzicht van de school. Schrijf er ook de afmetingen bij. Werk nauwkeurig.

De drie gegeven voorbeelden worden verder uitgewerkt over de verschillende fasen van deze doelstelling.

HOOFDSTUK 1 Fase 2

DOELEN


De leerlingen kunnen een oplossingsplan maken en een oplossingsweg kiezen. Aspecten: - ze kunnen verwoorden hoe ze te werk zullen gaan om het probleem op te lossen, ze kunnen een globaal oplossingsplan opstellen; - ze kunnen het probleem opsplitsen en de deelproblemen stap voor stap oplossen; - ze kunnen de oplossingsweg in kaart brengen (gegevens - probleem - deelstappen in één kader samenbrengen); - ze kunnen het probleem schematiseren (bij het probleem een tekening, schets of schema van de gekende en onbekende elementen en de relaties daartussen maken); - ze kunnen het probleem mathematiseren (bv. 8-3=.); - ze kunnen het probleem materialiseren; - ze kunnen het resultaat op één of andere manier schatten; - ...

29

ET 1.29*

4 (leren leren)

Voorbeelden Kleuters De verschillende oplossingswegen van het probleem laten verwoorden: - per twee werken; - verschillende materialen opsommen (papier, karton, lapjes stof, ...); - afspraken maken en daaruit een keuze maken. Lagere school: 6 j. en > Bij het knikkerprobleem beslissen de leerlingen hoe ze het probleem zullen oplossen: direct op mentaal niveau of eerst op schematisch of materieel niveau. Ze kunnen ook een rekenkundige bewerking kiezen om tot de oplossing van het probleem te komen. Lagere school: 10 j. en > Het meetprobleem kan best in groep worden opgelost onder begeleiding: - de leraar bespreekt samen met de leerlingen het oplossingsproces en de stappen erin; - samen met de leraar brengen de leerlingen het probleem in kaart (wat is het gegeven - wat is gevraagd - wat doen we met de tussenresultaten) en splitsen het probleem in een aantal deelproblemen; - er wordt een globaal oplossingsplan opgesteld.

30


Fase 3


De leerlingen kunnen het oplossingsplan en de gekozen oplossingsweg uitvoeren. Aspecten: - ze kunnen ordelijk en systematisch werken; - ze kunnen zich aan een plan en aan de gemaakte afspraken houden; - ze kunnen bewerkingen kiezen en de volgorde bepalen om de bewerkingen uit te voeren; - ze kunnen de bewerkingen uitvoeren; - ze kunnen erop letten of tussenresultaten de oplossing dichterbij brengen; - ze kunnen, indien op basis van de tussenresultaten de oplossing niet naderbij komt, het oplossingsplan bijstellen; - ...

ET 1.28 5 (leren leren)

Voorbeelden Kleuters De kleuters maken een levensgrote tekening aan de hand van de door hen gekozen oplossingsweg. Ze zorgen zelfstandig voor de geschikte materialen en houden zich aan de gemaakte afspraken. Lagere school: 6 j. en > Bij het knikkerprobleem kunnen de leerlingen het probleem - materialiseren (de situatie naspelen met echte knikkers of vervangvoorwerpen); - schematiseren; - mathematiseren (omzetten in een wiskundige bewerking); - de juiste bewerking kiezen en uitvoeren; - ... Lagere school: 10 j. en > De leerlingen voeren nu een globaal oplossingsplan uit. Om dat te realiseren dienen ze ordelijk en systematisch (stap voor stap) te werken: - meten van de lengte; - schatten van de hoogte door bv. de hoogte van het schoolgebouw te vergelijken met een referentiepunt zoals bv. de hoogte van een volwassen persoon, van een boom die voor de school staat, ...; - de afmetingen een aantal keer verkleinen; - tekeningen maken, maten bijschrijven; - ...

HOOFDSTUK 1 Fase 4

DOELEN


De leerlingen kunnen beslissingen nemen over het resultaat. Aspecten: - ze kunnen het resultaat op één of andere manier controleren, bv.: - vergelijken met schatting; - verifiëren t.o.v. realiteit; - omgekeerde bewerking of negenproef uitvoeren; - ...; - ze kunnen het gevonden resultaat terug in de situatie plaatsen; - ze kunnen het resultaat correct en volledig noteren (bv. niet 25 maar 25 m²); - ze beseffen wanneer een probleem opgelost is; - ze kunnen op het oplossingsproces reflecteren en, indien de oplossing niet geslaagd is, de oplossingsweg bijsturen (ook over elk van de drie vorige fasen); - ze kunnen, indien voor een probleem verschillende oplossingen werden gevonden, de best passende oplossing identificeren.

31

ET 5.4* 5 (leren leren)

Voorbeelden Kleuters De kleuters zullen het resultaat controleren: - sta ik er helemaal op? - ben ik dat? (haarkleur, kleding vergelijken) - bijsturen waar het nodig is; - bespreken van de gevolgde weg en verantwoorden van hun keuze.

Lagere school: 6 j. en > De oplossing van het knikkerprobleem kunnen - de leerlingen in de situatie plaatsen (Klopt het dat Bert 18 knikkers heeft? Bezit Nils er inderdaad 7 meer dan Bert? Dan heeft Bert er 7 minder dan Nils, ...); - controleren door de omgekeerde bewerking uit te voeren (18 + 7 = 25); -...

Lagere school: 8 j. en > Het controleren van een meetprobleem zou men als volgt kunnen aanpakken: - twee groepjes wisselen hun aanpak en resultaten uit: wat komt overeen? , Wat verschilt er? , Waar is het fout gelopen? , ...; - het resultaat (de tekening met de afmetingen) doorspelen aan een parallelklas die het beoordeelt op zijn realiteitswaarde; - met de hele klas en onder de leiding van de leraar de metingen opnieuw uitvoeren, de aanpak van de verschillende groepjes vergelijken en bespreken, de manier van schatten bespreken, de schaal vaststellen, ...; - de meest bruikbare tekening uitkiezen.

32


1.2


De leerlingen weten, zien in en kunnen verwoorden en met voorbeelden illustreren dat ET voor één en hetzelfde wiskundig probleem i.v.m. getallen, meten en meetkunde soms 4.1 verschillende oplossingswegen en soms zelfs verschillende oplossingen mogelijk zijn, afhankelijk van de instelling (= bekwaamheden, houdingen, verwachtingen waarmee een leerling een probleem tegemoet treedt) t.a.v. het probleem en de aanpak ervan (= wat de leerling doet tijdens het verloop van het oplossingsproces). Aspecten: ze kunnen verwoorden welke oplossingswijze en welke deelstappen zij ondernamen om tot een oplossing te komen; ze kunnen verwoorden waarom zij een bepaalde oplossingsweg hebben gekozen; ze kunnen verschillende oplossingswegen met elkaar vergelijken; ze kunnen, door verschillende oplossingswegen te vergelijken, die oplossing kiezen die voor hen het meest bruikbaar is. Voorbeelden Kleuters Wanorde van rijwielen op de speelplaats. De kleuters kunnen zelf een oplossing zoeken om voor elk rijwiel een geschikte parking te tekenen. Er zullen verschillende oplossingen gevonden worden (een lijn om de fiets trekken, de oppervlakte van de fiets schatten en controleren, een parking tekenen met een meetlat, ...). Ze verwoorden hun oplossing, vergelijken de verschillende oplossingen en kiezen de beste oplossing. Lagere school: 8 j. en > Probleem: Jij verjaart. Je trakteert de 15 leerlingen uit je klas met een verrassingspakje waarin gezonde snoep en een stukje speelgoed zitten. Eén verrassingspakje kost 28 fr. hoeveel fr. moet je betalen? Tijdens de klassikale bespreking of bij individuele begeleiding kunnen de leerlingen hun aanpak verwoorden. Enkele voorbeelden: -aanpak 1 15 x 28 = (10 x 28) + (5 x 28) = 280 + 140 = 420 (splitsen van 15 in 10 en 5 (toepassen van de distributiviteit van x t.o.v. +) en vermenigvuldigen met 5 is de helft nemen van vermenigvuldigen met 10). -aanpak 2 15 x 28 = (15 x 20) + (15 x 8) Splitsen van 28 in 20 en 8 en dan de vermenigvuldiger = ((10 x 20) + (5 x 20)) + ((10 x 8) + (5 x 8)) nog eens splitsen in 10 en 5 (toepassen van = (200 + 100) + (80 + 40) distributiviteit van x t.o.v. +). = 300 + 120 = 420 -aanpak 3 15 x 28 = 28 x 15 (toepassen commutativiteit) Splitsen van 28 in 20 en 8 / 20 nogmaals splitsen in 10 = (20 x 15) + (8 x 15) en 10 (toepassen van de distributiviteit van x t.o.v. +), = ((10 x 15)+(10 x 15)) + (8 x 15) vermenigvuldigen met 8 via 10 maal het getal - 2 maal = 150 + 150 + ((10 x 15)- (2 x 15)) het getal (toepassen van de distributiviteit van x tov. -) = 300 + (150 - 30) = 300 + 120 = 420 -aanpak 4 15 x 28 = (30 x 14) Bij een vermenigvuldiging mag men de ene factor met = (10 x 14) + (10 x 14) = (10 x 14) een getal vermenigvuldigen als men de andere factor = (10 x 14) + (10 x 14) = (10 x 14) door datzelfde getal deelt / maal 30 gesplitst in 3 keer = 140 + 140 + 140 10 ( distributiviteit van x t.o.v. + ) = 420 -aanpak 5 15 x 28 = toepassen van het kruispuntenmodel

- aanpak 6 15 x 28 = toepassen van het rechthoekmodel

HOOFDSTUK 1

DOELEN


1.3 De leerlingen kunnen bij een gegeven situatie, een context of een realiteit één of meer (wiskundige) vragen formuleren.

33

ET 3 (leren leren)

Aspecten: ze kunnen adequate van inadequate vragen onderscheiden; ze kunnen niet-relevante gegevens buiten beschouwing laten om een adequate vraag te formuleren; ze kunnen bij een zelfgeformuleerde vraag een antwoord geven; ... Voorbeelden Kleuters Raadspel Eén kind is buiten de klas; de anderen schikken voorwerpen verschillend naar kleur, vorm, grootte, hoogte, gewicht,... Er wordt een voorwerp afgesproken dat de „buitenstaander‟ moet raden. Door vragen te stellen en te elimineren ontdekt de kleuter het geselecteerd voorwerp. Lagere school: 8 j. en > Gegeven: enkele prenten met situaties en getalsmatige gegevens erop. De leerlingen dienen vragen te formuleren en deze uit te wisselen met andere leerlingen.

Bij de aangeboden prenten kiest elke leerling minstens één prent en formuleert daarover een vraag en het antwoord erop. Hij/zij schrijft de vraag op de voorkant van een steekkaart en op de achterkant komt het antwoord.

34



1.4

De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen oplossingsproces en oplossingsgedrag.

1.4.1

De leerlingen kunnen reflecteren op een oplossingsproces en oplossingen die fout zijn gelopen en zo het oplossingsproces bijsturen en de oplossing aanpassen.


6 (leren leren)

Aspecten: - ze weten dat ordelijk en gestructureerd aan een probleem werken, voordelen biedt; - ze hebben de attitude om elke oplossing en elk oplossingsproces op een of andere manier te controleren; - ze hebben de attitude de gevonden oplossing te toetsen aan de realiteit; - ze kunnen verwoorden dat ze ergens in het oplossingsproces fout waren; - ze kunnen verwoorden waar ze in het oplossingsproces fout waren; - ze kunnen verwoorden hoe de fout is ontstaan; - ze kunnen de fout in het oplossingsproces herstellen; - ze kunnen verwoorden hoe ze een gemaakte en gecorrigeerde fout in de toekomst kunnen vermijden; - .... Voorbeelden Kleuters Bij het rijgen van parels, het volgen van patronen, het knopen van de eigen jas, ... kijken waar het fout is gelopen en het bespreken. Lagere school: 10 j. en > De leraar biedt het volgende probleem aan. Dit is de kamer bij jullie thuis. Ze is 7,90 m lang en 6,85 m breed. Vlak voor de winkels sluiten, besluiten ze bij jullie thuis dat ze een nieuwe vloerbedekking in die kamer willen. Ze vragen jou heel vlug ongeveer uit te rekenen hoeveel m² vloerbedekking ze nodig hebben. Doe dat eens.

De leerlingen gaan aan het werk. Na 30 seconden moeten de leerlingen stoppen met rekenen, want dan moet de oplossing zeker gekend zijn. Waarschijnlijk komt er van enkele leerlingen protest omdat ze te weinig tijd kregen om het probleem op te lossen. De leraar kan hier wijzen op de fouten die ontstaan zijn bij die leerlingen die probeerden exact de oppervlakte van de kamer uit te rekenen. Waarom ga je het exact uitrekenen? Wat staat er in de tekst? (heel vlug - ongeveer) Bedenk nog eens situaties waarbij er ongeveer of heel snel moet gerekend worden (tellen van vogels die opvliegen, tellen van deelnemers aan een betoging, ...).

HOOFDSTUK 1 1.4.2

DOELEN


De leerlingen kunnen reflecteren op de eigen oplossingsweg.

Aspecten: - ze kunnen verwoorden wat ze zelfstandig aankunnen/aankonden en waar ze hulp nodig hebben/hadden tijdens het oplossingsproces; - ze kunnen verwoorden hoe ze te werk zijn gegaan om tot een oplossing te komen; - ze kunnen hun oplossingsweg en hun oplossing vergelijken met andere oplossingswegen en oplossingen en zo adequate strategieën onderscheiden van minder adequate strategieën; - ...

35


Voorbeelden Kleuters Bij het bouwen van torens met dozen ervaren ze problemen als ze de kleine dozen onderaan plaatsen. Bij het puzzelen (bv. strookpuzzel) ervaren ze dat de tekening niet klopt als ze een strook verkeerd plaatsen. Lagere school: 8 j. en > Probleem: er is een tekening gegeven waarop een jongetje naast een deur staat. Hoe groot is deze jongen van het derde leerjaar in werkelijkheid?

Een leerling antwoordt: 1 meter. Bij elk probleem zouden de leerlingen hun oplossing dienen te controleren. Welke controlemiddelen kunnen nu bij dit probleem ingebouwd worden? Bv. deur in werkelijkheid meten en vergelijken: de lengte van de jongen is ¾ van de hoogte van deur: deur = 2 m hoogte, dan kan de jongen onmogelijk 1 meter zijn. Hij moet groter zijn dan 1 meter en kleiner dan 2 meter, kan dit wel in de werkelijkheid? Ikzelf meet 1,45; het moet dan wel een erg kleine jongen zijn als hij maar 1 meter zou meten, ... Leerlingen die zo hun oplossing controleren, reflecteren niet alleen op de oplossing maar ook op hun oplossingsproces.

36 1.4.3



De leerlingen kunnen reflecteren op hun eigen ontwikkeling op wiskundig gebied en hun heuristisch denken.

Aspecten: - ze weten dat het geheugen feilbaar is; - ze kennen hun eigen sterke en zwakke kanten als probleemoplosser en houden hiermee rekening als ze problemen oplossen: bv. bij het kiezen van een voor hen passende oplossingsweg; - ze weten dat een min of meer complex probleem eerst op een lager beheersingsniveau (schematiseren, materialiseren) kan worden opgelost; - ...


Voorbeelden Lagere school: 6 j. en > De leerlingen dienen de volgende vraag te beantwoorden i.v.m. hun wiskundige ontwikkeling van de afgelopen jaren door de drie zinnen die het meest waar zijn aan te kruisen. In een klasgesprek gaan de leraar en de leerlingen dieper in op de antwoorden. Wat voor de een waar is, is dat niet altijd voor de ander. Je hebt op school leren rekenen. Hoe komt dat? O Mijn ouders helpen mij bij mijn sommen. O Niemand weet precies hoe je leert, het gebeurt gewoon in je hoofd. O In de klas moeten wij veel sommen maken. O Ik probeer over een som na te denken. O Ik ga altijd vroeg slapen. O Ik heb met de getallenlijn leren rekenen. O Ik heb met rekenblokjes leren rekenen. O Ik heb met het rekenrek leren rekenen. O Ik vind rekenen heel leuk. O Ik heb leren schatten. O Ik heb ook leren meten. O De meester/juf legt de rekenles altijd goed uit. O Ik reken dikwijls samen met anderen. O Dat is moeilijk te zeggen: de ene heeft een rekenknobbel, de andere een taalknobbel.

HOOFDSTUK 1 1.4.4

DOELEN


De leerlingen kunnen zich verplaatsen in een ander.

Aspecten: - ze kunnen begrijpen hoe anderen te werk gingen bij het oplossen van problemen; - ze kunnen fouten in oplossingen en oplossingswegen (van anderen) ontdekken, verwoorden en verbeteren; - ze kunnen als begeleider functioneren van andere, zwakkere, probleemoplossers; - ... Voorbeelden Kleuters Kleuters becommentariëren elkaar als ze samen iets doen: - je moet dat zo doen bij het kleuren, bouwen,... , - “de voetjes moeten naar beneden” bij het puzzelen, - “de grote blokken moeten in de groene bak” bij het opruimen, - ... Lagere school: 10 j en > Aan de leerlingen wordt het volgende probleem aangeboden. De Ronde van België telt 8 ritten van respectievelijk 165 km, 225 km, 275 km, twee van 195 km, 180 km, 105 km en 55 km (een tijdrit). Bereken de gemiddelde afstand die de renners per rit moeten afleggen. De leerlingen dienen dit probleem op te lossen en te controleren met de juiste oplossing (165 + 225 + 275 + 195 + 195 + 180 + 105 + 55 = 1395 km / 1395 km: 8 = 174,3 km: de gemiddelde afstand per rit bedraagt 174,3 km.) Daarna krijgen de leerlingen de volgende vraagjes. Op de toets lossen enkele leerlingen het probleem fout op. Kun jij hun fout ontdekken? Hoe zou jij die leerlingen helpen? a. Davy antwoordt: de gemiddelde afstand bedraagt 1743 km. b. Sara lost het zo op:

De gemiddelde afstand bedraagt 150 km. c. En dit lezen we in de schrift van Wim.

De gemiddelde afstand is 1614,3 km. a. Davy: b. Sara: c. Wim: -

komma (decimaal teken) vergeten in de uitkomst Hoe helpen? Controle laten uitvoeren, vragen of deze oplossing wel echt kan, ... . Een rit van 195 km vergeten Hoe helpen? Vraag aandachtig lezen en herlezen, de gegevens opschrijven, nagaan of ze wel 8 getallen heeft opgeschreven, want er zijn 8 ritten , ... . cijferfout: 6 x 8 = 48; er is een rest van 11! Hoe helpen? Hem zeggen of laten vinden dat de rest bij een deling nooit gelijk of groter kan zijn dan de deler, opnieuw laten uitrekenen, laten narekenen met een zakrekenmachine, ... .

37

38 1.5



De leerlingen kunnen geleerde begrippen, inzichten, procedures, m.b.t. getallen, meten en meetkunde efficiënt hanteren in betekenisvolle, realistische toepassingssituaties, zowel binnen als buiten de klas.

Aspecten: - ze kunnen in realistische probleemsituaties een wiskundig probleem herkennen; - ze kunnen bij een probleemsituatie soepel de transfer maken naar geleerde begrippen, inzichten en procedures uit de wiskunde; - ze kunnen deze geleerde begrippen, inzichten en procedures soepel, handig en zinvol toepassen in probleemsituaties; - ze kunnen bij getalsmatige en meetkundige gegevens een concreet voorbeeld uit hun leefwereld formuleren; - ze kunnen „kale‟ wiskundige bewerkingen omzetten naar min of meer realistische probleemsituaties en deze oplossen; - ...

ET 4.2

3 (leren leren)

Voorbeelden Lagere school: 6 j. en > Men biedt de leerlingen verschillende realistische situaties aan. Zij moeten er een rekenkundige bewerking bij vinden. Bv.Op de bus zitten 5 mensen. Er stappen er 6 op. Op de bus zitten 14 mensen. Bij de eerste halte stappen er 3 mensen af. Bij de tweede halte stappen er nog eens 5 mensen af. ... Lagere school: 10 j. en > Oppervlakteprobleem: Gegeven: drie vlakke figuren, niet-veelhoeken Proficiat: jij bent op een of andere slinkse manier in het bezit gekomen van deze schatkaart. Op het kleinste eiland in deze zee van het land Loam is de eeuwenoude piratenschat van zeerover Lin verstopt. Zoek het kleinste eiland en volg dan nauwkeurig de bijhorende opdrachten op de achterkant van deze schatkaart.

De leerlingen kunnen dit probleem op verschillende manieren aanpakken en deze verwoorden, bv. - de tekeningen beleggen met één frank-stukken en deze tellen; - de tekeningen overbrengen op roosterpapier (centimeter- of millimeterpapier) en de som maken van de hele cm² en de halve cm² of de cm² tellen die volledig binnen de figuur vallen en de cm² tellen die gedeeltelijk binnen de figuur vallen en deze voor een halve cm² nemen of de cm² tellen die volledig binnen de figuur vallen-van de andere hokjes volledige cm² maken; hiervan het gemiddelde nemen; - de niet-veelhoeken omtrekken met veelhoeken of in de niet-veelhoeken veelhoeken tekenen die de juiste oppervlakte benaderen; - de juiste schaal gebruiken en de werkelijke afmetingen schatten; - ... Een leerling kan de niet-veelhoek verdelen in veelhoeken die de oppervlakte benaderen omdat hij / zij de oppervlakteformules kent en kan toepassen. Een andere leerling voelt zich beter met het werken op ruitjespapier en kiest voor een telaanpak, omdat hij de oppervlakte van bv. een trapezium nog niet kan of niet meer kan berekenen.

HOOFDSTUK 1

DOELEN


1.6 De leerlingen kunnen met concrete voorbeelden uit hun leefwereld verwoorden welke de rol en het praktisch nut van wiskunde is in de maatschappij.

ET 4.3

Aspecten: - ze kunnen verwoorden dat wiskundige aspecten in verkeerssituaties (bv. wegwijzers, stijgingspercentage) hen helpen in het verkeer; - ze kunnen verwoorden dat uurtabellen (tv-programma‟s) nuttig zijn; - ze kunnen verwoorden dat geld een handig ruilmiddel is; - ze kunnen verwoorden dat getallen (bv. op genummerde kaarten bij een toneelvoorstelling, een voetbalwedstrijd) een hulpmiddel zijn om evenementen vlotter te laten verlopen; - ze kunnen verwoorden dat communicatie tussen personen in sommige gevallen duidelijker, vlotter, exacter, ... verloopt door het gebruik van getallen (bv. gebruik van paginanummering om iets op te zoeken in een encyclopedie, huisnummers, ...); - ... Voorbeelden Lagere school: 8 j. en > Op een werkblad worden aan de leerlingen pictogrammen, die illustreren wat de leerlingen al leerden, aangeboden. De leerlingen dienen bij de pictogrammen te verwoorden waarvoor ze de uitgebeelde wiskundige procedure in de werkelijkheid nodig kunnen hebben. Bv. klok kloklezen: uur van aanvang tv-programma‟s in krant opzoeken geld betalen in de winkel lengtematen  bij het spel op de speelplaats/het speelplein de penaltystip bepalen.

39

40



2

Wiskundeattitudes

2.1

Waardering voor menselijke inventiviteit

De leerlingen brengen waardering op voor wiskunde als dimensie van menselijke inventiviteit.

ET 5.1*

Wiskunde is een product van de menselijke geest, waarmee de omringende wereld beter kan geordend worden. Dat wiskunde niet in de werkelijkheid zelf gegeven is, maar door mensen geconstrueerd, wordt slechts bewustgemaakt bij kinderen wanneer ze zelf ervaren dat de wiskunde, die ze hanteren, toch niet zo evident is. Vaak brengen we in onze opvoeding (en onderwijs) kennis over alsof daar niet een lange zoektocht aan voorafgegaan is, alsof er geen keuzes konden gemaakt worden waar mensen in de loop der geschiedenis geprobeerd hebben een soort „beste‟ keuze te maken. Oog krijgen voor de menselijke inventiviteit achter de wiskunde zal slechts bereikt worden door de kinderen zelf inventief te laten zijn op wiskundig gebied. Pas als ze zelf allerlei maten hebben uitgeprobeerd om een lengte af te passen, zullen ze waardering kunnen opbrengen voor het metriek stelsel van geijkte maten. Het is ook interessant kinderen zelf voorstellen te laten formuleren om tot een standaardmaat te komen en dat te vergelijken met hoe de meter (tienmiljoenste deel van de afstand van pool tot evenaar via Parijs) ontstaan, geijkt en verspreid is. Heel wat historische anekdotes (Archimedes in zijn bad bv.) kunnen voor kinderen meer betekenis krijgen via deze „re-invention‟-didactiek: de Romeinen hadden geen symbool voor nul, probeer eens de getallen tot 100 te schrijven zonder dat symbool. Confrontatie met de Romeinse cijfers is ook interessant om de waarde van het positiestelsel te vatten. We kunnen kinderen ook eens laten zoeken hoe ze met andere dan het tientallig systeem zouden werken: laat ze maar eens zoeken op mogelijke cijfersymbolen voor een twaalftallig, twintigtallig of zestigtallig systeem. Kunnen ze daarbij voortbouwen op de logica achter de Arabische cijfers (het aantal hoeken dat de symbolen vormen) om een symbool te maken voor 10 en 11, bv. in een twaalftallig positiesysteem.

Uit : De Boever, 1995, p.217

Ook andere codes die niet rechtstreeks met getallen te maken hebben, maar waar een wiskundig patroon kan in gevonden worden, lenen zich tot „heruitvinding‟ of eigen variaties (brailleschrift, morsetekens, streepjescode ...). Het ontwerp voor blindenschrift van de 9-jarige Murat bracht zijn klas overigens op andere wiskundige vragen zoals: hoeveel dergelijke letterpatronen kunnen we maken met 2 stippen, hoeveel verschillende patronen met deze 3 x 2-structuur zijn er te maken ... .

HOOFDSTUK 1

DOELEN

ATTITUDES 41

Een vraag als “Hoe zit dat met die schrikkeljaren?” kan aanleiding zijn om zelf een kalender uit te werken. Kunnen we dat mooier maken zonder schrikkeljaren, met ronde getallen ... - en hoe is men tot de huidige kalender gekomen? Waardering voor de inventiviteit van de mens in de geschiedenis van de wiskundige oplossingen voor concrete problemen, zal telkens ontstaan vanuit eigen activiteit van kinderen waarvan de resultaten geconfronteerd worden met de historische vondsten. Die eigen wiskundige activiteit is trouwens essentieel bij de ontwikkeling van zowel wiskundige kennis, vaardigheden als attitudes. We zullen er dan ook herhaaldelijk op terugkomen.

2.2

Kritische houding

De leerlingen ontwikkelen een kritische houding ten aanzien van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan in hun omgeving bewust of onbewust, gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden, ... .

ET 5.2*

Informatie wordt vaak doorgegeven via cijfermateriaal. Daarbij is het ook mogelijk mensen die niet zo‟n goed doorzicht hebben in die wereld van getallen, iets te laten geloven dat door de cijfergegevens niet aangetoond of geïllustreerd wordt. Een goed begrip van het wiskundig materiaal is dus een eerste vereiste om kritisch te kunnen staan t.a.v. de opvattingen of (zogezegde) feiten die men ermee wil overdragen. Voortdurend worden kinderen en volwassenen met getallen geconfronteerd, waarvan ze de betekenis maar half snappen. Dat begint al bij de 6 à 7-jarige, bv. die fier zijn nieuwe schoenen laat zien in de klas en erbij vertelt dat hij al maat 32 heeft. Waarom zouden we de kinderen die schoenen (en van andere leerlingen) eens niet laten nameten? Of nemen we zomaar aan dat het om cm gaat i.p.v. om „Franse steken‟ van 2/3 cm (maat 32 is dan iets meer dan 21 cm ...). Gaan we ons geen vragen stellen bij het krantenbericht dat ons meldt dat de trillende ramen die ons vannacht wakker maakten een gevolg waren van een lichte aardschok (3,7 op de schaal van Richter). Het is toch ook niet gek als we willen te weten komen wat de betekenis van het getal is, dat we intikken om op de tekstverwerker de grootte van de letters te kiezen (puntgrootte). En wat bedoelde onze weervrouw met die zware storm van meer dan 10 Beaufort die gisteren die vissersboot deed kantelen? Eigen onderzoek van de leerlingen (schoenen of lettergroottes nameten en vergelijken met de opgegeven maten) kan ons al een eind op weg helpen. In andere gevallen zal de leraar of een andere informatiebron (bv. het boekje van M. Blocksma en H. Van Maanen, De schaal van Richter en andere getallen, 1992) moeten bijspringen. Het belangrijkste is hierbij hoe dan ook dat we altijd proberen te achterhalen wat er achter de getalleninfo steekt, dat we het betrekken op iets dat we wel al kennen of kunnen vatten (cm of km/u. bijvoorbeeld). Verder is het ook niet onbelangrijk te beseffen dat berichten die bewerkingen met getallen inhouden (bewust of onbewust) fout kunnen zijn. Kunnen deze berichten waar zijn? - De proloog van de Tour werd door Zülle gewonnen met een voorsprong van 1 sec. Na 8,9 km klopte hij Berzin dus met een verschil van nog geen 2 meter.

42



- De officiële wapenuitvoer naar Ruanda is sedert het conflict in Oost-Zaïre met 200 % gedaald. Ook interessant is de analyse van reclameboodschappen. Wanneer gaat men cijfermateriaal gebruiken, wat poogt men daarmee aan te tonen, te bereiken bij de ontvanger van de boodschap, is de juistheid te controleren, geeft men grafische voorstellingen (is dat de enig mogelijke voorstelling) ... . Leerlingen worden kritischer en doorgronden deze technieken beter, wanneer ze zelf kunnen proberen met een bepaald doel wiskundige gegevens te manipuleren. Het doorprikken van de schijn van objectiviteit die aan cijfermateriaal wordt toegekend is ook een belangrijk aspect van de ontwikkeling van een kritische houding. Om dat met de kinderen te bespreken kunnen we hen bv. zelf eens punten laten geven op een dictee en op een tekening. Wat betekent 6 op 10 in het ene en in het andere geval? Is dat even objectief? Wat betekent het gemiddelde van alle beoordelingen? Tot op hoeveel cijfers na de komma zouden we dat uitrekenen? Een echt kritische houding zal pas vanaf 10 jaar kunnen ontstaan. Maar de daarmee gepaard gaande (of voorafgaande) gerichtheid op begrijpen en controleren van informatie en manipulatie (bewerkingen) met getallen kan al veel vroeger.

2.3

Wiskunde is voor iedereen toegankelijk

De leerlingen ervaren dat bezig zijn met wiskunde een actief en constructief proces is dat kan groeien en uitbreiden als gevolg van eigen denken leeractiviteiten; ze ontwikkelen bijgevolg de opvatting dat alle leerlingen wiskundige bekwaamheid kunnen verwerven die kan leiden naar studies en beroepen waarin wiskunde aan bod komt.

ET 5.3*

Kinderen ervaren in de klas of ze het met rekenen moeilijk hebben of niet, ze weten ook vlug van elkaar wie de goede en de zwakkere rekenaars zijn. Dit kan bij die zwakke rekenaars tot een vicieuze cirkel leiden: hun zwakke prestaties tasten het zelfvertrouwen aan, daardoor geven ze het vlug op nieuwe dingen te begrijpen, daardoor presteren ze weer zwak ... . Leraren die daar attent op zijn zullen pogen die neerwaartse trend op alle mogelijke manieren te doorbreken, in de eerste plaats door wiskundeactiviteiten zo te kiezen dat iedereen daarbij succes ervaart. Dat kan door opdrachten te differentiëren, aan te passen aan waar een leerling op dat moment staat. Maar dat kan zeker ook door geregeld de klas te laten werken aan wiskundige opdrachten waarbij het best kan gebeuren dat zwakkere rekenaars meer succesvol zijn. Het is niet ondenkbaar dat kinderen die wat meer moeite hebben met de systematisch opgebouwde wiskundige leerlijnen (het getallensysteem en de procedures voor de bewerkingen bv.), toch inventiever zijn bij het oplossen van andere problemen, die toch ook duidelijk herkenbaar wiskundig van aard zijn. Voorbeeld: In een klas 8- en 9-jarigen werd onderstaand probleem opgelost. Probeer een vierkant zo te verdelen, dat elk deeltje terug een vierkant is. De deelvierkantjes moeten niet gelijk zijn. Sommige verdelingen zijn gemakkelijk: bv. in 4 of in 9. De vraag is: kan je dat ook met 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, ... . Teken elke verdeling die je gevonden hebt. Zoek een regel of een systeem zodat je onmiddellijk kan antwoorden op de vraag : kan het met 23, of met 57, ... (Heyerick, 1989). De twee grote doorbraken in de oplossing, nl. 4 + 3 = 7 en 6

werden aangedragen door kinderen die op de rekentoetsen in de klas eerder zwak presteerden. Deze constatatie bevestigde het commentaar van Freudenthal (1982) aan wie dit probleem ontleend werd:

HOOFDSTUK 1

DOELEN

ATTITUDES 43

“Aan een Franse universiteit stelden heuristiekonderzoekers (wat zijn dit?) aan vierdejaars wiskundestudenten in groepen van vier dit probleem. Tot 10 speelden ze het klaar; met 11 lukte het

44



hen niet meer. Ik gaf het vraagstuk aan een derde klas lagere school uit de Parijse „banlieu‟. De 8jarigen speelden klaar wat de wiskundestudenten niet was gelukt; ze losten het probleem helemaal op. Iets voor u en voor de kinderen onder uw hoede?” (p.217) Er leven in schoolverband soms ook hardnekkige vooroordelen t.a.v. het wiskundig presteren van groepen leerlingen, bv. “wiskunde is niets voor meisjes” of “Turkse kinderen leren niet goed wiskunde”. Dergelijke vooroordelen bestaan misschien ook al in de basisschool, maar kunnen daar meestal op het niveau van de klas al doorbroken worden. Laat de kinderen maar wat tabellen opmaken van de wiskundetoetsen in de klas en die interpreteren vanuit deze vragen: zijn jongens beter dan meisjes in wiskunde? Als het bij onze klas (gemiddeld genomen) waar is, geldt het voor alle meisjes, voor alle onderdelen van wiskunde, weten we nu of dat ook in andere klassen zo zou zijn ... . Hetzelfde kan je doen met een vergelijking tussen Vlaamse en verschillende groepen allochtone kinderen als die in de klas aanwezig zijn. Dit is terzelfder tijd een aanleiding om in te gaan op de problemen die (sommige) allochtone kinderen in het wiskundeonderwijs ondervinden: bv. de getal-taalverbinding (twintig-één i.p.v. éénentwintig), andere algoritmes voor cijferen in hun cultuur, moeilijke taal bij vraagstukken ... (Van Amersfoort, 1995).

2.4

Plezier in wiskunde

De leerlingen ontwikkelen zelfvertrouwen doorheen hun wiskundig bezig zijn zowel op school als daarbuiten. Daardoor is de kans groter dat ze plezier beleven in wiskundige activiteiten.

ET 6 (leren leren)

Omgaan met problemen is de essentie van het wiskundig bezig zijn. Wanneer kinderen er geregeld in slagen wiskundige problemen op te lossen, alleen of in groep, ontwikkelen ze als vanzelf de nodige dosis zelfvertrouwen om ook nieuwe problemen aan te pakken. In dat geval moeten ze niet extra gemotiveerd worden, ervaren ze wiskunde niet in de eerste plaats als iets moeilijks, maar als aan-genaam. Dan wordt wiskunde een spel. Dat spelelement kan trouwens expliciet in het wiskundeonderwijs opgenomen worden. Soms is dat om de saaie pil van bv. inoefening en herhaling te vergulden. Dat dit lukt zien we wanneer leerlingen de tafels inoefenen aan de hand van een of ander computerspel. Maar veel belangrijker zijn die spelen die een wiskundig probleem bevatten. Dat kunnen individuele rekenpuzzels zijn, zoals dit bv. (Speelpenning, 1986, p.244): Aan de acht ribben van de piramide zitten balletjes. Daarin mag je getallen invullen. Je kan kiezen uit de getallen tussen 1 en 10. Elk getal mag maar een keer gekozen worden. Twee van de tien getallen mogen niet meedoen. Je moet proberen de getallen zo te plaatsen dat de getallen op de balletjes van de ribben die in een hoekpunt samenkomen opgeteld 16 zijn. Als je in plaats van 16 een totaal van 18 maakt is er ook precies een oplossing. Waarschijnlijk mogen er dan andere getallen niet meedoen, al weet je dat vooraf niet zeker... ZOEKEN MAAR !!!

HOOFDSTUK 1

DOELEN

ATTITUDES 45

Er zijn ook heel wat strategiespelen (dammen, schaken, vier op een rij ...) die een wiskundige (meetkundige) ondergrond hebben. Het zoeken van een winnende strategie doet een beroep op heel wat vaardigheden en attitudes die ook bij het oplossen van andere wiskundige problemen aan bod komen. We denken aan: durven proberen, systematisch en planmatig werken, bewust keuzes maken, evalueren en terugkoppelen, structureren of ingebouwde structuur herkennen, ... . We geven nog enkele voorbeelden van strategiespelen die vooral bij oudere kinderen de structureringstendentie zullen aanwakkeren. - Voorbeeld 1: Broekman, 1986, p.19 x

0

x

0

Speler A heeft de fiches X, speler B de fiches 0. Het enige dat een speler, die aan de beurt is, mag doen is één fiche een of meer plaatsen voor- of achteruit verplaatsen. Springen is niet toegestaan. Twee fiches op één hok mag niet, veranderen van „baan‟ is evenmin toegestaan. Degene die geen fiche meer kan zetten, heeft verloren.

De motivatie om bij dit spel een winnende strategie te zoeken, verhoogt door de vakken op de grond te tekenen en de fiches te vervangen door telkens 2 kinderen. - Voorbeeld 2: Varianten van het Oud-Chinese NIM-spel. Van een stapel voorwerpen mogen er om beurt een aantal weggenomen worden (maximum vooraf te bepalen). Wie het laatste moet wegnemen, verliest. - Voorbeeld 3: Getallen maken. Elke speler gooit om beurt met een dobbelsteen en schrijft het speler A

speler B

aantal ogen in een van de 3 vakken. Wie na 3 keer gooien het grootste getal heeft, wint. Dit laatste is een voorbeeld van een spel dat niet enkel op strategie maar ook op kans gebaseerd is, zodat de strategie minstens met het kanselement rekening moet houden. De meeste spelen met kaarten (eenentwintigen bv.) of dobbelstenen (yahtzee bv.) zijn van die aard. Het interessante daaraan is dat ook kinderen die zwakkere strategieën hanteren, af en toe kunnen winnen, succes ervaren en zo geleidelijk aan ook meer plezier in wiskundige activiteiten kunnen krijgen.

HOOFDSTUK 2

DIDACTISCHE KATERNEN

Hoofdstuk 2:

1

WERKEN MET CONTEXTEN

45


Werken met contexten

Voorwoord Het onderstaande versje van G.W. Lovendaal is zeker niet zomaar uit de lucht gegrepen en alleen maar wegens het leuke woordenspel neergeschreven. Het houdt een boodschap in. Lees maar. Huiswerk Die nare sommen, wat verdriet! Ik kan ze niet en 'k maak ze niet! Ze denken maar dat je alles weet En nooit een snars vergeet. Je hebt tienduizend kapitaal ... Dat lees ik nu al twintig maal Tienduizend gulden, ik? ... da's lak Ik heb geen duit op zak. Laat A maar zoeken naar zijn procent, Scheelt jou het, als je platzak bent? 't Zijn goocheltoeren met een breuk, Nooit vin-je'reis: die's leuk. Die nare sommen, wat verdriet! Ik kan ze niet en „k maak ze niet! En buiten schijnt de zon zo blij ... Is dat geen plagerij? G.W. Lovendaal Het is niet moeilijk de opgave achter dit versje te vinden. Duidelijk is dat hier de leerstof centraal staat en daardoor de opgave geen realiteitswaarde inhoudt voor het kind. Werken met contexten kan hieraan verhelpen. Dat contexten reeds vroeger gebruikt werden, blijkt uit volgende opgave in een rekenboek uit de 16de eeuw van Peter van Halle. Daer syn twe ghesellen die tsamen over wech wandelde den welke den eenen van hun beijden ter sijen gaende sijn water maecte aen eenen gracht soe siet hij bij ghelucke int water een sacxken welck hi vuttreckende vint daer inne 6448 gouden croenen welck den anderen gheselle siende coemt hij terstont gheloepen willende hebben die helft van den voirschreeuen ghelde oft en is des niet soe wilt hijs den heere van dien lande ouerdraghen welck den anderen hem toelaet beloeuende hem die helft te gheuene op dat hijt niemanden seggen en soude soe dan is nu die vraeghe hoe veel dat elck hebben sal van dien ghevonden ghelde

46



Een vrije vertaling luidt: “Twee vrienden maken een wandeling. Eén van beiden krijgt hoge nood en watert in een gracht. Daar vindt hij een zak met 6448 gouden kronen. Zijn vriend dwingt hem de buit met hem te delen, anders zal hij de eigenaar van de grond van de vondst op de hoogte brengen. De gelukkige vinder kan niets anders doen dan instemmen. Hoeveel krijgt ieder?” Uit dit traktaat van Peter van Halle is duidelijk dat hij zich richtte tot de gewone lezer, die vraagstukjes uit de alledaagse werkelijkheid van de zestiende eeuw wilde oplossen. Vaak gaat het bij hem om praktische, realistische contexten. De zestiende-eeuwse vraagstukjes zouden ook passen in het hedendaagse rekenonderwijs, waarbij reële contexten worden gebruikt om de wiskundige inhouden die aan de orde komen betekenis te geven voor de kinderen. Werken met contexten houdt didactisch gezien een forse koerswijziging in. In deze katern willen we laten zien wat deze koerswijziging concreet inhoudt.

1.1

Wat zijn contexten?

In onze visie speelt het idee dat uitgegaan moet worden van contexten, een centrale rol. Globaal gezien bedoelen we daarmee dat kinderen, bij de keuze en uitvoering van hun rekenhandelingen, steun moeten kunnen vinden in een voor hen betekenisvolle omgeving. Zo'n omgeving ondersteunt het proces van betekenisverlening aan woorden of handelingen. Bij kleine kinderen is het zo, dat zij heel dikwijls nog een concrete situatie als context nodig hebben, om te begrijpen wat volwassenen bedoelen. In de loop van hun ontwikkeling gaan zij zich wel geleidelijk van de concrete situatie losmaken maar de gebondenheid aan contexten blijft. Zonder context is een betekenis niet te achterhalen of over te dragen. Het is bijvoorbeeld moeilijk, zonder context, de juiste betekenis aan het woord 'tafels' te geven. 'Tafels' zijn in de rekenles geen gewone dingen waar je kan aan eten, schilderen of tekenen maar rijtjes 'keer'-sommen. En welke betekenis geven we dan aan het woord 'meer'? Bedoelen we nu „bijdoen‟, „een groot water‟, „niet evenveel‟, „sterker‟, „een merrie‟ of nog iets anders? Een algemene en sluitende omschrijving geven van het begrip 'context' is moeilijk, omdat contexten onderling sterk kunnen verschillen naargelang van de functie die ze in het onderwijsleerproces vervullen en naargelang van de vroegere ervaringen en beschikbare kennis. En die verschillen nog wel eens bij kinderen. Als we in de klas werken met tekstopgaven, proberen we situaties uit de wereld van de kinderen te gebruiken. Maar in een tekst kunnen we niet alles van een situatie beschrijven. Meestal blijft er veel ruimte om nog van alles aan te vullen of er zelf bij te bedenken op basis van eigen ervaringen, kennis of fantasie. En dat is nu juist de context.Contexten bestaan niet alleen uit wat in de opgave (de tekst) staat, maar ook uit wat de situatie oproept. Bij het werken met contexten wordt de ervaringskennis van kinderen gemobiliseerd en bovendien geeft ze betekenis aan hun eigen handelen. Nelissen en van Oers (1990) geven, vermits een precieze omschrijving niet mogelijk is, een voorlopige werkdefinitie: “een context is een voor kinderen een aansprekelijke en in principe herkenbare situatie, die werkelijk maar ook fictief kan zijn en die bij de kinderen ervaringskennis, bijvoorbeeld op wiskundig gebied, oproept, welke de betekenisverlening aan het eigen handelen in de situatie ondersteunt.”

HOOFDSTUK 2



47

Er zijn een aantal verschillen tussen de klassieke vraagstukken en contextopgaven. - Een vraagstuk geeft soms een verschraalde werkelijkheid, waaraan elke zin ontbreekt. - Een vraagstuk dringt kinderen zijn (taal)structuur op; in een context kunnen kinderen hun eigen, alledaagse taal gebruiken. - Een vraagstuk schrijft vaak de oplossingsmanier voor, terwijl een context een open structuur heeft. Kinderen mogen bij contexten hun eigen strategie kiezen en die mag aansluiten op hun alledaagse oplossingsmanieren en handelingen. - Klassieke vraagstukken zijn vaak toepassingen achteraf; contextopgaven kunnen ook heel goed een introductie van het probleem zijn. Een context is een zinvolle en inleefbare situatie, gebaseerd op de realiteit. De context zelf hoeft echter niet altijd reëel te zijn. Een context kan ook een fantasiegebeurtenis zijn, een gefingeerde locatie of een andere wereld. Er wordt een levensecht probleem geanalyseerd en opgelost. De realiteit, de ervaringen die kinderen in de dagelijkse leefwereld opgedaan hebben, en de geschetste situatie spelen in het oplossingsproces samen een rol. Kenmerkend voor een context is de ruimte voor eigen inbreng van de kinderen, dat wil zeggen voor een eigen interpretatie van de situatie en voor eigen oplossingswijzen en soms ook voor eigen oplossingen en antwoorden. Net als in de werkelijkheid van alledag zijn er ook op het gebied van rekenen/wiskunde problemen waarvoor verschillende oplossingen mogelijk zijn. Het doel van een context is niet alleen het ontdekken van wiskundige relaties, maar vooral ook het betekenis-geven aan die wiskundige relaties. Eerst even een voorbeeld van een contextopgave waarin duidelijk ruimte is voor reële verwegingen.

We gaan met de twee zesde leerjaren van onze school op leeruitstap. Nu overleggen we samen hoe we dit het best organiseren. Zo moeten we bijvoorbeeld beslissen of we met de trein of de bus zullen gaan.

Deze context biedt enorm veel mogelijkheden tot wiskundig onderzoek en nodigt uit tot interactie. Vooreerst kunnen er heel wat vragen worden gesteld, zoals: 1 Wat is het voordeligst, bus of trein? 2 Hoeveel tijd hebben we nodig voor de verplaatsing a) met de trein? b) met de bus? 3 Welke voordelen zijn er volgens jou a) aan het reizen met de trein? b) aan het reizen met de bus? Bovendien zullen kinderen met elkaar moeten bespreken welke gegevens ze moeten bijeenbrengen om de situatie te kunnen onderzoeken. Bij dit voorbeeld kunnen we spreken over een rijke context en wel om volgende redenen: - kinderen kunnen hier hun eigen kennis, ervaring, ... met betrekking tot deze situatie activeren en gebruiken; - in het uiteindelijke antwoord kan er ook rekening gehouden worden met overwegingen die niet rechtstreeks te maken hebben met de uitkomst van de uitgevoerde berekening;

48



-

andere criteria zoals comfort, persoonlijke voorkeur, ... kunnen eveneens in aanmerking genomen worden. Hoe sterker dus de context meespeelt hoe rijker het probleem. Soms is het nodig het leerproces te sturen. Een ingeperkte context is dan aangewezen. Een voorbeeld (Treffers, de Moor en Feijs,1989) Op een ouderavond van de school komen 81 ouders. Aan één tafel kunnen zes ouders zitten. Hoeveel tafels moeten er geplaatst worden? De oplossingsmethoden uit één klas van zeventien leerlingen uit de tweede graad zijn de volgende. - Zeven leerlingen tellen herhaald op '6+6+6+6+...' of '6,12,18,...' of lopen de tafelrij af '1x6=6, 2x6=12, 3x6=18,...' - Zes leerlingen rekenen verkort. Ze nemen eerst '10x6=60' en rekenen vervolgens vanaf 60 verder, soms via optellen, soms via vermenigvuldigen. - Eén leerling weet dat '6x6=36'. Vervolgens verdubbelt hij 36 en daarna plaatst hij er nog twee tafels bij. - Van drie leerlingen is niet te achterhalen hoe ze tot hun resultaat kwamen. In de nabespreking brengt de leraar de drie genoemde oplossingsmethoden naar voren. Afgewogen wordt, welke oplossingswijze het meest efficiënt is. Hoe kan de oplossing het snelst worden gevonden? In een tweede fase wordt door de leraar het staartdelingsschema geïntroduceerd. Later kan ook met kale rekensommen worden geoefend. Maar de hiervoor geschetste contextopgaven blijven dan wel op de achtergrond staan. Al rekenend worden de leerlingen aangespoord zich de ouderavond weer voor de ogen te halen. De procedurehandelingen krijgen als het ware een concrete achtergrond en controle op en sturing van het rekenwerk blijven mogelijk. Ook worden kinderen in de gelegenheid gesteld zelf opgaven te bedenken. Op het allerhoogste niveau kan ten slotte de structuur van de staartdeling zelf tot onderwerp van onderzoek worden gemaakt.

HOOFDSTUK 2



49

Waar komen nu die contextproblemen vandaan? Contextopgaven kunnen meestal bestaande, regelrecht uit het leven gegrepen stukjes tekst zijn (een verhaal, een interview, een krantenknipsel, een reclamefolder, een prentenboek, ...) waarover één of meer interessante kwantitatieve vragen kunnen worden gesteld. Bovendien worden de gegevens vaak niet louter in tekstvorm gepresenteerd; er wordt daarnaast gebruikgemaakt van foto's, prenten, tabellen, figuren, ... .

50



Uiteraard kunnen we zelf ook sleutelen aan opgaven om er contextrijke toepassingen van te maken. We geven een voorbeeld hoe je van een kale rekensom over een ingeklede bewerking en een vraagstuk tot een rijke context komt. We kijken hoe we dat kunnen doen. a) kale rekensom 2 % van 9500 =

b) allerlei variaties van ingeklede bewerking tot vraagstuk -

ingeklede bewerking Verkoopprijs is 9500 fr. Bij contante betaling -2% Wie deze opgave wil oplossen, moet de gebruikte woorden begrijpen. 'Verkoopprijs', 'contante betaling' hebben een zeer bijzondere betekenis. Je zou dezelfde opgave net zo goed anders kunnen zeggen.

-

vraagstuk In het Rijwielpaleis staat een prachtige fiets voor 9500 fr. De verkoper vertelt je dat je bij directe betaling ook nog 2% minder hoeft te betalen. Hoeveel moet er in je spaarpot zitten als je de fiets direct wil betalen?

Of, als je er een 'echt' probleem van wilt maken: c) rijke context Stel je voor, je mag van je spaargeld een fiets kopen. Nu heb je er een zien staan in het Rijwielpaleis en een in het Fietsencenter. Ze zijn allebei hetzelfde, maar in het Rijwielpaleis is de prijs 9500 fr. Daar mag je bij directe betaling nog 2% in mindering brengen. In het Fietsencenter krijg je die korting niet maar daar staat op het prijskaartje: 9200 fr. Wat zou je doen en waarom? Je merkt, dat er in het laatste geval sprake is van een inleefbare situatie. Dat kan ertoe leiden dat er bij kinderen andere vragen opkomen. Bijvoorbeeld: wie geeft de beste service? Of: welke winkel is het dichtstbij? De open vraagstelling moet in feite dit soort nieuwe vragen oproepen. De leraar die zich heeft voorgenomen ook het reken-wiskundeonderwijs aan de kleuters realistisch in te richten, zorgt ervoor dat de rijke contexten van het dagelijks leven deel uitmaken van de leeromgeving. De leeromgeving van kleuters wordt namelijk gevormd door het leven van alledag: thuis, op straat, in de school, in de zandbak, in de supermarkt,... Alledaagse gebeurtenissen leveren steeds weer nieuwe ervaringen en gelegenheden tot ontwikkeling op. Zo ook op het gebied

HOOFDSTUK 2



51

van rekenen-wiskunde. De dagdagelijkse activiteiten in de klas zoals: winkeltje spelen, spelen in de poppenhoek of in de bouwhoek, ..., bieden enorme mogelijkheden om wiskundig actief te zijn. Soms is het ook in het kleuteronderwijs wenselijk om systematischer terug te keren op bepaalde contexten en wiskundige aspecten. De kleuteronderwijzer kan hierbij o.m. een beroep doen op prentenboeken. Kleuters zijn immers geboeid door prentenboeken. Ook deze scheppen heel wat kansen om wiskundig bezig te zijn. Wat kleuters fijn vinden om te doen, zien ze ook graag in de verhalen en illustraties terug. Zo beschouwd kunnen prentenboeken enerzijds de kleuterwereld weerspiegelen, anderzijds kunnen ze hun wereldje verrijken. Prentenboeken scheppen dus een inspirerende leeromgeving. Hoe kunnen we te werk gaan? Als voorbeeld nemen we het prentenboek 'Doe maar mee' van Quentin Blake en vertaald door Willem Wilmink. De tekst luidt als volgt:

We kunnen dit prentenboek als uitgangspunt van een activiteit nemen. Dit betekent dan dat de rekenactiviteit meer specifieke aandacht krijgt door middel van probleemstellingen, vragen, conflictsituaties (wiskundige), materialen en onderzoeksopdrachten bij het verhaal en de prenten. Met de prent 'keukenpannen soort bij soort' kan een activiteit 'sorteren' geïntroduceerd worden.

52



Het prentenboek 'Met tien in bed' van Penny Dale kan als context dienen voor het introduceren van het tellen in dalende orde.

Als oefencontext voor de begrippen 'kleiner en groter' kan dan weer het prentenboek 'Klein in de grote wereld' goed gebruikt worden. Het is van de hand van Svend Otto S., vertaald door Th. van Yperen.

HOOFDSTUK 2

1.2



53

Functies van contextopgaven

Contexten hebben verschillende functies. 1.2.1 De zingevende en begripsvormende functie van een context Een context kan betekenis geven aan een wiskundige structuur, procedure of strategie. De zingevende functie zit hierin, dat de kinderen het contextprobleem herkennen als een probleem uit hun eigen leefwereld of kunnen vertalen naar een voor hen zinvolle (bekende) situatie. Getallen kunnen bijvoorbeeld plotseling veel meer zeggen als ze gekoppeld worden aan een concrete situatie. Een los getal als 15 hoeft een kind niet veel te zeggen. Maar 15 mensen vóór je in de supermarkt is een heleboel. Daartegenover is 15 punten behalen op een toets heel weinig als je weet dat het maximaal aantal punten 100 was. Wanneer kinderen een bepaalde leergang aanvatten, bezitten ze vaak al een intuïtieve kennis en informele vaardigheden die kunnen worden benut om de beoogde formeel-wiskundige concepten en procedures te ontwikkelen. Contexten hebben een begripsvormende functie wanneer we kinderen confronteren met situaties die een beroep doen op deze intuïtieve, informele kennis en vaardigheden, maar die tegelijk de kinderen uitnodigen tot het vormen van de beoogde meer formele begrippen of procedures. Hierna geven we een voorbeeld van een context als introductie voor de vermenigvuldiging. Een knecht is er met een zak goudstukken op uitgestuurd om pinda's te kopen voor de sultan. Samen met een aantal andere knechten trekt hij van stad tot stad, maar nergens zijn pinda's te krijgen. Dan eindelijk weet een van de knechten de hand te leggen op een grote voorraad pinda's. Vol trots snelt hij naar de andere knechten toe met acht kamelen beladen met kisten pinda's. Elke kameel draagt precies zes kisten. "Morgen komt de koopman zijn geld ophalen", zegt die ene knecht. "Maar wat gaat dat kosten?", vragen de anderen bezorgd. "Oh, vier goudstukken per kist", zegt die ene knecht. "Dat kan nooit zoveel zijn." "Eh... nee, nee", zeggen de anderen onzeker. Die nacht proberen de knechten samen uit te zoeken of ze genoeg goudstukken hebben. Ze hebben alle munten op de grond uitgespreid, maar ze komen er maar niet uit... . Uit: Gravemeijer, K., 1983-1987

Het verhaal is bedoeld bij de introductie van de vermenigvuldiging als verkorting van de herhaalde optelling.

54



1.2.2 Een context als toepassingsgebied De toepasbaarheid is de kern van het reken-wiskundeonderwijs want wiskundige vaardigheden zijn slechts zinvol voor basisschoolleerlingen als ze kunnen toegepast worden. Contextproblemen leggen de realiteit als toepassingsgebied bloot. Ook kunnen specifieke vaardigheden in toepassingssituaties geoefend worden. Contexten die de functie hebben van toepassing zijn toepassingsopgaven, waarbij de rekenwiskundige stof niet nieuw is voor de kinderen. De situaties zijn echter wel herkenbaar en ook aantrekkelijk. Hoofdrekenen leent zich heel goed om in een context van praktische toepassingssituaties te plaatsen. Vragen die dan in wisselende situaties opduiken zijn: hoeveel kost het? Heb ik genoeg geld bij me? Wat is het voordeligst? Hoe ver is het? Hoe kan ik eerlijk delen? ... In het volgende voorbeeld kunnen verschillende wiskundige vaardigheden (aftrekken, vermenigvuldigen, delen, herleiden) worden toegepast. Eva gaat tijdens de vakantie naar Frankrijk. Op een ochtend wil ze op het reisbureau de treinreis gaan regelen. Ze stapt het kantoor van het bureau binnen en trekt een volgnummer: 110. Ze kijkt naar het bord. Allemensen! Nummer 62 is pas aan de beurt. Na een tijdje wachten heeft ze door dat het per klant toch gauw tien minuten tot een kwartier duurt. Er zijn gelukkig vier mensen tegelijk achter de balie aan het helpen. Toch duurt het wel lang. Aan de overkant van het reisbureau is er een winkel. Ze zou best even gauw nog wat vakantie-inkopen kunnen doen. Hoe lang zou Eva ongeveer weg kunnen blijven? Op bovenstaande opgave is geen eenduidig antwoord mogelijk. Als de tijdsduur van 10 minuten kan aangehouden worden, dan kan Eva er twee uur tussenuit. Maar er kan van alles veranderen: - er kunnen een paar klanten vlugger geholpen worden; - er kunnen mensen weggaan die vinden dat het te lang duurt; - één van de vier mensen achter de balie kan even pauzeren; - er kan een erg ingewikkeld probleem moeten behandeld worden dat heel lang duurt. Toch is het zinvol om de tijdsduur ongeveer uit te rekenen; het is immers zonde om twee uur te gaan zitten wachten als je in die tijd ook leuke dingen kunt gaan doen. In een dergelijke situatie kan een rekenbewerking weliswaar geen exact antwoord geven, maar is het wel een betekenisvolle handeling, een activiteit die zin heeft.

1.2.3 De oefenfunctie van een context Het gaat hier om situaties waarin kinderen de door hen geleerde rekenhandelingen op een zinvolle manier kunnen oefenen. Het oefenen wordt uitdagender en aantrekkelijker als het gekoppeld is aan een concrete vraag. Voorbeeld De gemeenteraad gaat stemmen over een heel belangrijke zaak. Om geldig te kunnen stemmen moeten minstens vijf zesde deel van alle raadsleden aanwezig zijn. 19 van de 24 blijken aanwezig. Kan er gestemd worden over deze belangrijke kwestie? Waarom wel/niet? Bij het oplossen van oefenopgaven is het uitdrukkelijk de bedoeling dat de kinderen hun ervaringskennis gebruiken naast wat ze op school geleerd hebben.

HOOFDSTUK 2



55

1.2.4 De modelvormende functie van contexten Hiermee bedoelen we contexten die zich gemakkelijk laten vertalen in een model (schema, tekening, ...) dat opnieuw kan gebruikt worden om andere wiskundige probleemsituaties op te lossen. Waar het bij modelvormende contexten op aankomt, is dat het probleem realiteitswaarde heeft in die zin dat de kinderen zich in de situatie goed kunnen inleven en het probleem binnen deze situatie kunnen oplossen. Dit houdt bijvoorbeeld in dat contexten niet altijd realistisch in de zin van 'uit het dagelijkse leven gegrepen' hoeven te zijn. Zij kunnen ook gesitueerd worden in een fantasiewereld, zoals een dorp waarin een heks woont die een toverketel heeft die alles verdubbelt, of een land dat bewoond is door mensen die slechts vier vingers hebben aan elke hand ... . Dit geldt ook voor contexten met begripsvormende functie. In vergelijking met de toepassingsgerichte contexten wordt er bij de modelvormende contexten minder de nadruk gelegd op praktische overwegingen, precies omdat men de kinderen wil richten op de wiskundige kern die in de situatie vervat zit. Als een context een modelfunctie heeft gebeurt dat bijvoorbeeld door het probleem weer te geven in een model of schema, zoals in het voorbeeld hieronder. Welke kleren trek je vandaag aan? Je hebt 4 verschillende T-shirts en 3 verschillende broeken. Op hoeveel verschillende manieren kun je je aankleden?

Het kruispuntmodel kan hier het probleem verduidelijken en ondersteunt het denkproces. Het belang van modellen is dat ze iets laten zien van de grondstructuur van problemen waarin bv een vermenigvuldiging vervat ligt en ze maken tevens bepaalde eigenschappen van de betreffende bewerking zichtbaar, bv. 3 x 4 = 4 x 3 Het kruispuntmodel leent zich er tevens toe om denkhandelingen die via combinatierekenen aan bod komen, te ondersteunen.

56



1.2.5 Tenslotte is het de bedoeling dat het werken met contexten een aanzet is tot het ontwikkelen van een 'wiskundige houding'. Zo'n attitude kan niet eenduidig beschreven worden. Er zijn wel verschillende voorbeelden van te geven. a) Snel en vanzelfsprekend een link met de alledaagse realiteit leggen Hoeveel sneetjes brood kan je smeren uit een groot lang brood van 800 gram? Riet weet direct te zeggen dat 1 sneetje wit brood ongeveer 30 gram weegt. Dat weet ze immers van haar moeder die telkens als ze een poging doet om enkele kilo's te vermageren per dag 90 gram brood mag eten. En haar moeder eet dan 3 sneetjes per dag. Als we dan zoeken hoeveel keer 30 gram in 800 gram past, dan is de klus vlug geklaard zegt ze. Zij noteerde: 10 + 10 + 6 = 26 Iemand anders noteerde als gevolg van de tussenkomst van Riet: 10 x 90 = 900 900 - 90 = 810 dus 30 - 3 = 27 Het verschil in uitkomst kan een boeiend gesprek opleveren. b) Het herkennen van een wiskundig probleem in de realiteit Joost, acht jaar oud, gaat met zijn moeder mee inkopen doen. Moeder heeft eieren nodig om cakes te bakken. Ze beloofde aan de trainer van de voetbalploeg om 6 cakes te bakken. “In een doosje zitten 6 eieren. Voor 6 cakes hebben we 4 doosjes nodig”, zegt moeder. Enthousiast zegt Joost: "Ik weet hoeveel er dat zijn! 24. Dat hebben we geleerd op school: 2 x 6 = 12 en 4 x 6 dat is 2 x 12 = 24."

HOOFDSTUK 2



57

1.3 Mogelijkheden van contexten Werken met contexten creëert heel wat interessante mogelijkheden. 1.3.1 De kinderen kunnen beter gemotiveerd worden om het antwoord op het gestelde probleem te achterhalen omdat het leren verbonden wordt met zinvolle situaties, m.a.w. met situaties die voor de kinderen betekenis hebben en die uit zichzelf al bekende en zinvolle handelingen situeren. 1.3.2 Contexten kunnen een bron van inzicht vormen waarop de kinderen, als dat nodig is, altijd kunnen terugvallen. Het kan als het ware een houvast bieden bij het vinden van een oplossingswijze. "Juf, moet ik optellen of aftrekken?" Dit is zeker een vraag die veel leraren herkennen. Die vraag komt vaak voort uit het feit dat een reken-wiskundebewerking geen betekenis heeft voor de kinderen. Het zegt hen niets en ze kunnen er zich niets bij voorstellen. Een duidelijk voorbeeld hiervan is een stipoefening als deze: . - 3 = 5. Dit is voor kinderen een betekenisloze formule. Een context geeft vaak al een richtlijn over de oplossingswijze, alleen al doordat het om een concrete situatie gaat. De volgende context heeft voor kinderen een betekenis en zal daardoor een bron van inzicht zijn om de 'stipoefening' op te lossen. Fien nam vanochtend voor het eerst haar 'flippo's‟ mee naar school. Tijdens het speelkwartiertje speelde ze tegen Sarah, haar vriendinnetje. Tijdens het spel verloor ze er 3 aan Sarah. Een beetje droevig om het verlies, ziet Fien dat ze nu nog maar 5 flippo's heeft. Weet jij hoeveel „flippo's‟ Fien deze morgen bij zich had? 1.3.3 Contexten bieden aan kinderen de ruimte en de mogelijkheid hun eigen constructies te maken. Zij kunnen hun eigen ervaringskennis en beschikbare rekenkennis inzetten om de aangeboden contextproblemen op te lossen. In eerste instantie zullen zij omslachtige en vrij primitieve oplossingsprocedures gebruiken. Maar door een geschikte keuze van een reeks van opgaven kunnen de kinderen gestimuleerd worden tot het verkorten en het vereenvoudigen van hun oplossingsmethoden. De eigen strategieën en de eigen vondsten van de kinderen kunnen zo als aangrijpingspunt voor het leerproces dienen. 1.3.4 Rijke contexten stimuleren en ondersteunen de begripsvorming. Begripsvorming steunt op de dagelijkse ervaringen van kinderen. Wiskundige begrippen ontwikkelen zich uit woorden die de kinderen vaak al vroeg hebben geleerd. Denk aan woorden als 'veel', 'hoeveel', 'meer', ... . Dit zijn eerst nog globale woordbetekenissen, die steeds preciezer worden bepaald. Via rijke contexten kunnen kinderen het begrip eerst in hun normale omgangsbetekenis gebruiken. Het mathematiseren, het verwiskundigen van het begrip komt pas daarna door het onderzoeken en vergelijken van de situaties. Een voorbeeld ontleend aan Freudenthal (1984): Een volwassene vertelt dat in de supermarkt 's middags gemiddeld meer publiek is dan 's ochtends. Een elfjarige vraagt wat 'gemiddeld' betekent. De volwassene: "Neem bijvoorbeeld eens 24, 13, 35. Kun je die optellen?" ... "Goed, en nu door 3 delen." Deze volwassene kent nog de schoolse definitie van het begrip 'gemiddelde' en denkt dat dat de beste manier is om het begrip uit te leggen. Terwijl in het dagelijks gebruik het woord

58



'gemiddelde' natuurlijk een bredere, vagere betekenis heeft. Het begrip 'gemiddelde' kunnen we laten ontdekken vanuit een meetactiviteit. Wanneer kinderen bijvoorbeeld gedurende een week, elke dag de ochtendtemperatuur gemeten hebben, kunnen we vragen: "Hoe koud was het deze week?" Het onderzoeken van deze situatie kan een ingang zijn tot het mathematiseren van het begrip. Als kinderen bovendien ook andere situaties met voorbeelden van 'gemiddelde' onderzoeken, zullen ze inzien waarvoor ze 'gemiddelde' zinvol kunnen gebruiken. Het is duidelijk dat contexten hierin een belangrijke rol spelen omwille van de betekenisgeving, zoals eerder reeds is aangehaald. 1.3.5 Rijke contexten stimuleren tot reflecteren. Onder reflecteren verstaan we het nadenken over het eigen denken en handelen. Kinderen moeten voortdurend de gelegenheid krijgen en gestimuleerd worden om na te denken over: - wat ze moeten doen; - hoe ze iets moeten doen; - hoe ze iets gedaan hebben; - hoe ze nu in een nieuwe situatie iets gaan doen. Reflecteren doe je echter niet zonder aanleiding. Zelden of nooit zullen kinderen reflecteren op het eigen handelen bij opgaven die ze reeds kennen. Reflectie wordt slechts opgeroepen als zich problemen voordoen bij het: - horizontaal mathematiseren: welke zijn de wiskundige aspecten en handelingen in deze situatie (context), hoe breng ik structuur aan? - verticaal mathematiseren: met welke wiskundige middelen (schema's, modellen, ...) kan het probleem worden aangepakt? Nadenken over deze aanpak is reflectief handelen. Reflectief handelen is dus nauw verbonden met de inhoud (begrippen, structuren, procedures) van het mathematiseren. In wiskundeactiviteiten kunnen we reflectie stimuleren tijdens 'bewustmakingsmomenten': wat hebben we gedaan, geleerd, hoe zijn we tot deze kennis gekomen? In rijke betekenisvolle contexten zijn meestal verschillende aanpakken mogelijk. Daardoor kan reflectie worden uitgelokt. Een kind kan immers heel goed redeneren over situaties die herkenbaar zijn. Het wordt zich bewust van zijn gebruik van vaardigheden als het deze in een context kan aanwenden. Aan de hand van een concreet voorbeeld gaan we het reflecteren eens nader bekijken (vrij naar: Nelissen en van Oers, 1990). Een leraar uit het derde leerjaar geeft de volgende opgave. Vier vrienden helpen hun lerares haar tuin voor de winter in orde te krijgen. Snoeien, bladeren ruimen, grasmaaien, enz. Een enorme karwei want de tuin is groot. Na een hele dag werken zijn ze klaar. Natuurlijk hoefden ze niet voor niets te werken. Ze krijgen ieder 500 fr. en bovendien een kist met heel grote, lekkere appels. “Eerlijk delen hoor”, zegt ze. De appels worden geteld. Het zijn er veel, 132 om precies te zijn. Hoeveel voor ieder? Hoe reken je dat uit?

HOOFDSTUK 2



59

De opgave is nieuw voor de kinderen en daarom moeten ze maar eens zien, zegt de leraar, of ze er zelf uitkomen. Erover praten mag gerust.  In een eerste fase zullen kinderen de context analyseren en het probleem 'verwiskundigen'. Reflectie stimuleren kan door bv. te vragen: „Wat moeten we doen?‟  Eenmaal de kinderen ontdekten dat ze moeten verdelen, kan je reflectie stimuleren door te vragen: „Hoe ga je dat doen?‟. Hierdoor worden kinderen aangezet om na te gaan: - Heb ik vroeger al een verdeelsituatie opgelost? - Hoe heb ik die vroeger aangepakt ? - Kan ik die oplossingswijze hier opnieuw toepassen?  Eenmaal de kinderen een „plannetje‟ hebben gemaakt, zullen ze het uitvoeren. Hierna beschrijven we kort hoe Peter, Marijke en Harry tot een oplossing kwamen. Harry zegt: "Eerlijk verdelen over 4 kinderen, dan teken ik vier bakken”.

Marijke weet het nu: "Voor ieder kind één appel en die moet je dan van de 132 afdoen. En zo iedere keer 4 appels verdelen." In elk bakje wordt een appel (een rondje) getekend.









-

132 4 128

Peter: "Nu zijn er 128 over en kunnen we verdergaan. In ieder bakje weer een appel." Marijke: "Ja en nu die 4 van 128 aftrekken." En zo gaat het nog even door. Al 8 keer zijn de bakjes opnieuw gevuld en Harry wordt ongeduldig. "Ja zeg, dat duurt uren en uren, we kunnen toch iedere keer vijf appels ineens geven."

















100 - 20 80

Peter: "Voor ieder kind vijf appels. Dat is dan 20 aftrekken." Nu zijn ze er snel uit: voor ieder van de vier kinderen zijn er 33 appels. Tijdens het handelen hebben de kinderen zelf ingezien dat het vlugger kon. Ze hebben hun handelen verkort door telkens vijf appels ineens in een bakje te leggen. Dit is een mooi voorbeeld van reflectie tijdens het handelen.

60



 Eenmaal de kinderen de oplossing vonden, kan je reflectie stimuleren door bv. te vragen: „Als je nog eens appels moet verdelen, zou het dan nog vlugger kunnen?‟ Harry, Peter en Marijke ontdekten tijdens het handelen dat 'ieder 5 appels in één keer' vlugger ging dan 'één voor één'. Misschien zien ze in dat ze de volgende keer ineens 10 of 20 appels aan ieder kunnen geven.Hier stimuleren we om achteraf na te denken over de gevolgde strategie. Inge loste dezelfde opgave als volgt op: Ook zij tekende 4 bakjes. Verdelen onder vier deed haar echter terugdenken aan de deeltafels. Ze verdeelde onmiddellijk per 10. Bovendien tekende ze de appels (rondjes) niet maar plaatste ze getallen in de 'bakjes'.

10

10

10

132 - 40 92

10

Om de 12 te verdelen onder 4 deed ze opnieuw een beroep op haar voorkennis van de deeltafels.

3 10

10 10

3 10

10 10

3 10

10 10

3 10

10 10

92 - 40 52 - 40 12 - 12 0 Sofie loste de opgave als volgt op: voor elk kind 132 - 40

10

92 -40

10

52 -40

10

12 -12

3

0

33 voor elk

Misschien hebben Harry, Peter en Marijke wel gezien hoe Inge of Sofie het probleem oplosten en kan dit hen aanzetten om na te denken over de eigen denkhandeling.

HOOFDSTUK 2



61

Als leraar kan je reflectie op het eigen handelen stimuleren door kinderen te confronteren met elkaars oplossingsstrategieën. Samengevat kunnen we zeggen dat kinderen door te reflecteren: - zich meer bewust worden van hun eigen handelen; - zich meer kritisch leren opstellen tegenover het handelen van zichzelf en anderen; - zelfstandiger worden in hun denken; - planmatiger te werk leren gaan; - komen tot generalisatie; - meer zelfvertrouwen krijgen; - meer waardering krijgen voor het eigen kunnen. Maar wat het grote belang van reflectie ook moge zijn, het heeft niet veel zin reflectie als zodanig, los van een zinvolle context, te trainen.

1.3.6 Werken met contextopgaven laat interactie toe. Een interactieve les houdt in dat er uitwisseling van ideeën plaatsvindt. Oplossingsstrategieën worden nabesproken en gewogen: wat is de handigste werkvorm, waarom is dit verkeerd, ...? Contexten vormen hierbij de omgeving die voor de kinderen het gesprek, de discussie moet ondersteunen. Het leerproces berust dan op een 'onderhandeling' over betekenissen tussen kinderen onder elkaar en tussen kinderen en leraar. Nemen we opnieuw het voorbeeld van daarnet. Harry, Peter en Marijke krijgen de kans om hun oplossingsstrategie, via interactie, te vergelijken met die van Inge en Sofie. Ze zien misschien in dat Inge handiger te werk is gegaan. De werkwijze van Sofie begrijpen ze misschien nog niet. Door uitwisseling van ideeën worden de kinderen gestimuleerd om verschillende oplossingsstrategieën kritisch te bekijken en te reflecteren op de eigen strategie.. Dit kan alleen maar in een soepele didactische aanpak want zelfs de rijkste context wordt aan banden gelegd met een starre aanpak. 1.3.7 Contexten laten ruimte voor eigen inbreng en voor reële overwegingen van de kinderen. Dit komt zeker tot uiting in het toetsen van een uitkomst op haar waarde, afhankelijk van de context. Als voorbeeld nemen we een reeks opgaven waarin telkens dezelfde bewerking voorkomt: 26 : 4 = 1 De uitkomst is respectievelijk: 7 - 6 - 6 - 6,5 - 6 rest 2 - 6,5 , naargelang van de situatie. 2

62



(Treffers e.a., 1987) a) Er worden 26 mensen per auto vervoerd. In iedere auto kunnen er 4. Hoeveel auto's zijn er nodig? b) Van een touw van 26 meter worden stukken van 4 meter geknipt. Hoeveel stukken kunnen eruit gehaald worden? c) Er worden 26 bananen eerlijk verdeeld over 4 even grote groepen. Hoeveel bananen krijgt iedere groep? d) Een wandelroute van 26 kilometer wordt in 4 gelijke etappes afgelegd. Hoe lang is ieder stuk? e) Ik zet 26 boompjes in rijen van 4. Hoeveel rijen krijg ik? f) Een rechthoekig terras van 26 m2 heeft een breedte van 4 meter. Hoe lang is dat terras? Dat we daarbij met erg realistische overwegingen rekening kunnen houden, blijkt uit het volgende probleem (analoog met a): Er moeten 187 voetbalsupporters vervoerd worden. In een bus kunnen 62 passagiers. Hoeveel bussen zijn er nodig? Dat kan aanleiding geven tot de bedenking of het wel zin heeft om voor een resterende passagier een extra bus te huren. 1.3.8 Reële problemen aanbieden impliceert nog dat er in hoge mate een beroep kan gedaan worden op schattend rekenen. Een kenmerk van probleemsituaties uit het dagelijkse leven is dat snel en uit het hoofd een benaderende uitkomst bepalen, vaak meer is aangewezen dan via pen en papier een oplossing tot twee cijfers na de komma nauwkeurig berekenen. Vermits we met ons reken-wiskundeonderwijs meer praktisch bruikbare rekenkennis en vaardigheden op het oog hebben, ligt het voor de hand om in contextrijk onderwijs vaak opgaven te geven waarbij het antwoord bepaald kan of moet worden via schattend of handig rekenen. De gegevens waarmee gerekend wordt, zijn veelal zelf geschat of onnauwkeurig. In deze gevallen kan zeker geopteerd worden voor een geschat antwoord.

1.4 Beperkingen Tot nu toe hebben we gesproken over de vele voordelen van het werken met contexten. We zullen nu even blijven stilstaan bij enkele beperkingen die contexten met zich meebrengen. Om te beginnen is het zo dat een context de kinderen zo kan aanspreken dat hun aandacht wordt afgeleid van datgene wat hij beoogt. Voorbeeld: Kinderen in het eerste leerjaar zijn druk bezig met het optellen en aftrekken tot 10. Als context wordt het busverhaal gebruikt. Kinderen stappen enthousiast in en uit de bus. Sommigen verlaten de bus tijdens het rijden. Anderen vallen uit de bus. Hun aandacht gaat meer naar het spel op zich in plaats van naar het rekenen. Kortom, ze beleven veel plezier. In dit voorbeeld wordt de vorming van de begrippen optellen en aftrekken eerder geblokkeerd in plaats van gestimuleerd.

HOOFDSTUK 2



63

Het kan ook zijn dat kinderen geen afstand kunnen doen van een voor hen vertrouwde situatie, ze blijven eraan vastzitten. Denk maar aan de kinderen die steeds met de blokjes spelen. Voor hen dient dit materiaal om te bouwen en niet om te rekenen. Daarnaast dreigt ook nog het gevaar dat kinderen zich te lang vasthouden aan concrete contexten. Hierdoor wordt dan de begripsvorming op hoger niveau in gevaar gebracht. Bij een staartdeling bijvoorbeeld moet op een bepaald ogenblik de context verlaten worden om meer aandacht te besteden aan het plannen, het schatten en het werken met grote getallen. Uiteraard wegen deze beperkingen niet op tegen al de voordelen.

1.5 Besluit In deze katern hebben we enkele zaken op een rijtje gezet met betrekking tot 'contexten' in het rekenonderwijs. We hebben proberen te tonen wat we nu juist bedoelen met contextrijk rekenonderwijs. Hiervoor hebben we gebruikgemaakt van een ruim aantal voorbeelden. Ter afsluiting willen we nog enkele zaken de revue laten passeren die in dit kader van belang zijn. 1 Ons pleidooi voor contextrijk rekenonderwijs betekent niet dat er in het vraagstukkenonderwijs geen plaats meer zou zijn voor een denkmodel, een standaardoplossing (bv. verhoudingstabel) waarop gevarieerd wordt geoefend. Sommige kinderen hebben immers moeite om zelf een hogere oplossingsstrategie te ontwikkelen. Bij het oplossen van een aantal problemen kunnen ze teruggrijpen naar de standaardoplossing. 2 De term contextopgave heeft in feite niet zozeer betrekking op de formulering en/of presentatie van een rekenprobleem als zodanig, maar wel op de wijze waarop er door de leraar in de klas wordt mee omgesprongen. Zelfs het rijkste contextprobleem kan door een starre didactiek worden gekortwiekt. 3 Modelvormende contexten worden zo gekozen dat ze veelzijdig kunnen worden aangewend om verschillende probleemsituaties op te lossen, ook in andere leergebieden. 4 Automatiseren is belangrijk maar het mag pas komen na inzichtelijk werken op basis van verkortingen van de oplossingsprocedure. Als slotbeschouwing nog het volgende: het belangrijkste voordeel van het werken met contexten is, dat het de kinderen aanzet tot betekenisvol handelen en hen hierbij ondersteunt vanuit de betekenis die de situatie voor de kinderen heeft en hen stimuleert om gebruik te maken van ervaringskennis.

64



2

Ontluikende gecijferdheid

2.1

Het begeleiden van de ontluikende gecijferdheid

De ontwikkelingsdoelen wiskunde kleuters zijn een verzameling van aspecten van de ontluikende gecijferdheid. Hierdoor wordt aangegeven dat het kleuteronderwijs zich dient te richten op iets wat in wording is, iets dat ontluikt. Er wordt hier gekozen voor ontwikkelingsgericht onderwijs. De leraren zullen dan aanknopen bij ontwikkelingsprocessen die spontaan op gang komen. De kinderen zullen bewegend, ontdekkend, spelend, experimenterend, nabootsend, ... op hun eigen manier ervaringen opdoen in verband met die aspecten van gecijferdheid. In deze reeks didactische suggesties worden mogelijkheden voorgesteld om de ontluikende gecijferdheid evenwichtig te begeleiden.

2.2.1

Ontwikkelingsgericht onderwijs

Ontluikende gecijferdheid vraagt tijdens de periode van het kleuteronderwijs en het eerste leerjaar veel aandacht van de betrokken leraren. Bij deze leeftijdsgroepen wordt verondersteld dat de leraren aansluiten bij de ontwikkelingsprocessen, die spontaan op gang komen. Dit houdt in dat de aanpak niet methodisch vastligt. De begeleidende leraar speelt in op momenten en situaties. Er wordt van zeer dichtbij „op de bal‟ gespeeld. Het houdt een zeer flexibele houding in. Gestimuleerd vanuit de situatie voert het kind spontaan allerlei (wiskundige) activiteiten waardoor het wiskundige ervaringen opdoet en zijn eigen (wiskundig) ontwikkelingsproces bepaalt. Dat ervaren is steeds een totaliteitservaren. Wat door een kind geleerd wordt, hangt sterk samen met de situatie en hoe het hierop reageert. Het gaat steeds om een geïntegreerd gebeuren, bepaald door de situatie waarin het kind zich bevindt, zijn motivatie, zijn vroegere ervaringen, zijn fantasie ... Wiskundige aspecten worden dus niet op een geïsoleerde manier door het kind benaderd. Elk kind ontwikkelt zich op zijn manier en bepaalt zelf de wiskundige activiteiten waarlangs het wiskundige begrippen verwerft. De leraar dient deze wijze van bezig zijn met wiskunde te herkennen en te waarderen. Hij/zij dient dit alles te beschouwen als de onmisbare bouwstenen en zal dit ervaringsproces stimuleren via: - het scheppen van situaties waarin kinderen wiskundige activiteiten kunnen verrichten; - het aangrijpen van spontane situaties; - het plannen van geïntegreerde activiteiten met wiskundige aspecten over een lange periode; - het praten met kleuters over hun ervaringen; - het analyseren van problemen; - het creëren van „conflict‟-situaties; - ... . Vanuit probleemsituaties, thema‟s, belangstellingspunten, ... wordt dan gewerkt. Alleen vanuit hun eigen ervaringen en belevingen zullen jonge kinderen met een onderwerp kunnen bezig zijn en nieuwe kennis integreren in de reeds bestaande. Vroegere methoden waren dikwijls zeer gericht op het ontwikkelen van rekenvoorwaarden. Ze werden als „voorbereiden tot rekenen‟ of „voorbereidend rekenen‟ aangeduid en waren afgestemd op

HOOFDSTUK 2


ONTLUIKENDE GECIJFERDHEID

65

de systematiek van de lagere school. Het begeleiden van die ontluikende gecijferdheid omvat echter veel meer. Door afzonderlijk aan die rekenvoorwaarden te werken mist men te veel kansen binnen de totale ontwikkeling. Ontwikkelingsprocessen verlopen immers niet bij iedereen op precies dezelfde wijze, noch op telkens hetzelfde ogenblik, noch in hetzelfde tempo, ... . Om een duidelijker overzicht te kunnen verstrekken, werden de betreffende ontwikkelingsdoelen in domeinen gefragmenteerd aangeboden. Dit gebeurde echter niet vanuit de verwachting dat ze dan ook in die volgorde en in die geleding worden ontwikkeld bij de kleuters. Jassen aanen uitdoen, puzzels opbergen, wintersoep maken ... het zijn telkens situaties waarbij verschillende aspecten kansen kunnen krijgen: conservatie (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen), correspondentie (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen), maatbegrip (leerlijn 2.2: Lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek, volume), classificatie (leerlijn 2.1: Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen), seriëren (leerlijn 1.4: Vergelijken en ordenen), tellen (leerlijn 1.1: Tellen), ... . Allerlei ontwikkelingsdoelen kunnen hierbij tegelijkertijd ontwikkelingskansen krijgen. Indien de leraren goed hun activiteiten kiezen, kunnen veel van deze ontwikkelingsdoelen geïntegreerd worden verworven. De kleuteronderwijzer heeft hier een grote verantwoordelijkheid voor de inhouden en de werkvormen.

2.1.2

Nog andere voorbeelden

Tal van spontane, occasionele en geplande speelse situaties die in de kleuterschool aan bod komen, kunnen aanleiding zijn tot wiskundige activiteiten van kleuters: - spelen met zand en water: vullen, ledigen, vergelijken, tellen, meten, ... - spelen met klei: vervormen, verdelen, correspondentie, conservatie, ...; - knutselen, timmeren, naaien: meten, vergelijken, passen, ...; - bouwen met constructiemateriaal: groeperen, meten, passen, vergelijken, ontdekken van vormen, classificeren, ...; - uitzoeken en verdelen van materialen: classificeren, tellen, 1-1-relatie leggen, ordenen, seriëren, ...; - bewegingsspel: lichaamsschema ontdekken, ruimtelijke oriëntatie, begripsvorming, ...; - kalenders en speciale borden: oriëntatie in de tijd, tellen, ordenen, seriëren, ...; - winkelspel: meten, symbolen hanteren, 1-1-relatie leggen, classificeren, seriëren, tellen, ...; - huishoudelijk spel: classificeren, wegen, meten, tellen, symbolen hanteren, seriëren, ... ; - ... .

66



2.2

De ontwikkeling van wiskundige begrippen

2.2.1

Het verwerven van begrippen (leerlijn 1.9: Begripsvorming - Rekentaal)

Het verwerven van deze begrippen impliceert een langzaam groeiproces bij de kinderen. Alvorens een begrip werkelijk geassimileerd is en het kan functioneren in verschillende situaties, moeten kinderen concrete ervaringen rond dit begrip opgedaan hebben. Daarbij kunnen verschillende aspecten worden onderscheiden. Handelen Bij kleuters is handelen de belangrijkste voorwaarde in het proces van begripsverwerving. Een kleuter leert immers zichzelf en de dingen kennen door doen. Door exploreren en experimenteren, door waarnemen met zo veel mogelijk verschillende zintuigen en met een verscheidenheid aan materiaal, doen kleuters op een volkomen natuurlijke wijze ervaringen op. Uit een combinatie van die ervaringen, belevingen, voorstellingen en herinneringen krijgen begrippen stilaan vulling. Enkele voorbeelden: Sigrid ontdekt dat de grote pop niet in het kleine bed kan. Bart ervaart dat het lastiger is de lengte van de speelplaats te lopen dan de lengte van de klas. Hij ervaart wat „lang‟ en „kort‟ is. Met één vinger houdt Jos de ballon in de lucht. Wel vijf kleuters moeten de leidster helpen om de Zweedse banken en de matten te verplaatsen. Na ervaringen aan de hand van het eigen lichaam en met materialen kunnen de kleuters ervaringen toepassen in het platte vlak. Dit kan bijvoorbeeld door middel van plaatjesmateriaal, dat gesorteerd en geordend wordt en via het aanbrengen op het flanelbord van figuren van de in de ruimte verworven begrippen. Verwoorden Een ander aspect binnen het proces van begripsverwerving is het verwoorden. Begrippen zijn moeilijk grijpbaar. We hebben een hulpmiddel nodig om ze aan te duiden. Aangewezen hulpmiddelen zijn woorden of andere symbolen. Kleuters ontdekken dat dingen een naam hebben. Ze willen de naam van alle dingen kennen. Door zelf een correcte taal te gebruiken en door de kleuters kansen te geven tot praten in diverse omstandigheden, zal de leidster de taal, in het bijzonder de rekentaal, en het denken van de kleuters op een steeds hoger niveau brengen. Overdrijving om taal geforceerd uit te lokken, is niet aangewezen. In vele gevallen werkt dat hinderend op het handelen zelf. Uitdrukken Als kleuters iets beleefd hebben, willen ze dat uitdrukken. Ze maken enthousiast een tekening na een waarneming, een viering of een verhaal. Dat „voorstellen‟ beperkt zich niet alleen tot het maken van een tekening. De kleuters kunnen een aanduiding maken op een stok of een strook om bijvoorbeeld de lengte van iets aan te duiden. De kleuters zaaien bloemen of planten. Op bepaalde tijdstippen meten ze hoe groot hun plant is en maken een aantekening op een stok. Dat zijn rijke kansen tot vergelijken, verwoorden en bv. situeren in de tijd. Waarschuwing Pas na het handelen, het waarnemen en het verwoorden kan worden overgegaan tot evaluatie via een speelwerkblad.

HOOFDSTUK 2 2.2.2



67

Soorten wiskundige begrippen

Maatbegrippen (leerlijnen 2.1 en 2.2) Maatbegrippen vertellen wat over een kwaliteit, een eigenschap, de aard van de dingen zoals de kleur, de vorm, de grootte, de omvang, de inhoud, de lengte, de smaak, ... . Hiermede kan je ze beter beschrijven: groot, klein, even groot als ..., even klein als ..., groter, kleiner, lang, kort, breed, smal, scherp, stomp, zwaar, licht, dik, dun, lekker, rood, ... . Hoeveelheidsbegrippen (leerlijnen 1.1; 1.2; 1.4 en 1.8) Hoeveelheden kunnen aangegeven worden zonder getallen te gebruiken: veel, weinig, evenveel, meer, gelijk, alles, een beetje, een paar, niet veel, meest, minst, ... . Hoeveelheden zijn ook met getallen weer te geven. Beide types hoeveelheidsbegrippen ontwikkelen zich gelijktijdig. Ruimtelijke begrippen (leerlijnen 3.1 en 3.5) Ruimtelijke begrippen zijn o.a.: onder, boven, voor, achter, dichtbij, veraf, binnenin, naast, voorzijde, achterzijde, hoogte, recht, schuin, links, rechts, ... . Tijdsbegrippen (leerlijn 2.4) Voorbeelden hiervan: vroeg, laat, nu, straks, avond, middag, later, hiervoor, daarna, eerst, later, vroeger, oud, jong, nieuw, ... Begrippen bij wiskundig handelen (leerlijn 1.9: Begripsvorming - Rekentaal) Bij het wiskundig handelen kunnen o.a. volgende begrippen aan bod komen: erbij doen, nemen, verdelen, halveren, verminderen, samenleggen, wegen, meten, afnemen, ... .

2.2.3

Het ontwikkelen van het maatbegrip

Hieronder verstaan we: - datgene wat de kleuter verwerft na veelvuldig metend handelen; - het kunnen meten met wisselende maateenheden; - een onderdeel van het schatten, vergelijken en meten van voorwerpen. Suggesties - Als de kleuter een tafel meet met wascokrijtjes, zal hij een veel groter aantal krijtjes nodig hebben dan wanneer hij ze meet met een penseel, omdat de maateenheid kleiner is. Het wegen en meten met geïmproviseerde (niet-conventionele) maateenheden vormt een niet te verwaarlozen basis voor een goed inzicht in het maatbegrip. - Stefanie zal de planten gieten. De gieter is licht. Als ze er water in doet, wordt hij steeds zwaarder. Nu is er veel water in. Als ze de planten giet, wordt de gieter lichter. Er is nu minder water in. - Kleuters meten de lengte van het klaslokaal met „reuzenstappen, dwergstapjes‟... . Idem met voeten, gestrekte armen, ... .

68



- Ze meten de lengte van een tafel met speelgoedauto‟s, boekenruggen, pennen ... . Ze ervaren dat je een groter aantal van de kleinste auto moet nemen om eenzelfde lengte te bekomen. - Handelen en verwoorden bij het vergelijken van figuren of voorwerpen. Toon de grootste (of de kleinste) vis. Vertel het. Toon het dikste (of het dunste) boek of ... of ... . Vertel waar de langste (of het kortste) sok is. Zeg waar de hoogste (of de laagste) is. - Bert zegt waar hij er het meeste van nodig heeft om te weten hoeveel er in dat (die) ... gaat. Binnen het maatbegrip onderscheiden we de volgende aspecten: conservatie, classificatie, seriatie. A Conservatie Dit betekent dat het kind zich moet kunnen losmaken van alle toevalligheden en enkel de gevraagde eigenschap in het oog houdt. D.w.z. dat ondanks het feit dat de uiterlijke vorm of de ruimtelijke ordening van een geheel verandert, het kind moet beseffen dat het oorspronkelijke geheel behouden blijft. Met dat geheel bedoelen we hier: - een lengte (hoogte, dikte, afstand), - een gewicht, - een oppervlakte, - een inhoud, - een omvang, - ... . Een goede conservatie wordt gekenmerkt door het besef van reversibiliteit of omkeerbaarheid. Suggesties - Rik giet 3 bekers zand in een fles en eveneens 3 dezelfde bekers zand in een grote schaal. Hij stelt vast dat er evenveel zand is in de fles als in de schaal. - Griet giet water uit een fles in bekers. Ze kan 5 bekers vullen. Ze ervaart dat de hoeveelheid water gelijk blijft of het nu in de fles of in de bekers is. - Twee identieke glazen: kinderen ervaren dat ze evenveel water bevatten. Bij het overgieten van één van de glazen in een smal, hoog glas, blijft de hoeveelheid behouden. Jonge kinderen (tot een heel stuk in de lagere school) laten zich misleiden door de hoogte van het waterpeil. Kleuters worden geholpen bij het conservatieprobleem door: - een correcte taal te gebruiken; - hen te helpen de juiste criteria te hanteren (evenveel - even hoog); - niet af te gaan op indrukken maar door een hulpmiddel te leren inschakelen (bv. de kleuters meetinstrumenten laten gebruiken om te controleren); - de één-één-relatie toe te passen (bij aantallen).

HOOFDSTUK 2



69

B Classificatie Classificatie is het rubriceren (sorteren) op basis van gemeenschappelijke kenmerken of eigenschappen. We onderscheiden: - classificeren naar 1 eigenschap (sorteren); Zet alle gele auto‟s bij elkaar. - classificeren naar 2 eigenschappen; Spel met bv. fietsen of logiblokken: fietsen kunnen nieuw/oud, rood/geel, voor dames/heren, klein/groot, city-/mountain, ... zijn. Wijs in het fietsenrek alle blauwe fietsen voor meisjes aan. Wijs alle nieuwe gele fietsen aan. - classificeren naar 3 eigenschappen; Bv. de groep van de grote, ronde, blauwe parels Om het echte classificeren voor te bereiden, laten we de kleuters eigenschappen van voorwerpen onderzoeken en beschrijven: overeenkomst en verschil ontdekken en verwoorden. De kleuters noemen ook eigenschappen die de dingen niet hebben, bv. “Alle kleuters die geen laarzen aanhebben, mogen overvaren” (bij het spel: Schipper mag ik ...). Kunnen de kleuters classificeren op basis van één eigenschap, dan pas leren we ze met twee of meer eigenschappen tegelijk rekening houden. Het ligt voor de hand dat er materiaal voorhanden is dat het onderzoeken waard is en de kleuters boeit. Classificeren gebeurt in principe op basis van kwalitatieve eigenschappen (vorm, kleur, ...). Het kan ook op basis van kwantificeerbare eigenschappen (grootte, lengte, oppervlakte, ...) als er een inperking van categorieën aanwezig is: bv. klein en groot bij de logiblokken. Dan kan je klasseren zoals met kwalitatieve eigenschappen. Als alle voorwerpen verschillen in grootte zal je ze niet meer kunnen onderbrengen in een categorie „groot of klein‟, - dat zijn relatieve begrippen - dan moet je ordenen. C Ordenen Het gaat bij ordenen om het vinden van verschillen bij soortgelijke dingen: * stokken rangschikken op basis van hun lengte; * ballen ordenen van klein naar groot; * ... . Mogelijke variaties in de activiteiten zijn o.a.: - het rangschikken van één reeks voorwerpen op concreet niveau; - het rangschikken van één reeks voorwerpen op schematisch niveau; - twee reeksen onderling vergelijken op concreet niveau; - twee reeksen onderling vergelijken op schematisch niveau. . Het ordenen van één reeks voorwerpen op concreet niveau Rangschik deze auto's van groot naar klein. Idem maar nu met verschillende voorwerpen: eerst 5, daarna 7 en misschien zelfs 9. Activiteit met Russische poppetjes die in elkaar passen.

70



Het ordenen van één reeks voorwerpen op schematisch niveau (tekeningen, foto’s) Rangschik deze kegels van groot naar klein. Deze activiteiten worden herhaald met meer dan 3 voorwerpen. Twee reeksen onderling vergelijken op concreet niveau Onder of naast elkaar staan 3 kaarsen van een verschillende lengte en 3 flessen van een verschillende grootte. Zet de langste kaars bij de grootste fles. Zet de kortste kaars bij de kleinste fles. Deze activiteiten kunnen zich herhalen met andere voorwerpen: Dergelijke oefeningen kunnen nadien worden hernomen met meer dan 3 voorwerpen. Twee reeksen onderling vergelijken op schematisch niveau De vorige oefeningen worden hernomen maar op schematisch niveau. Voorbeelden van mogelijke seriaties van kleuters in hun vrij spel: - spontaan leggen ze de grootste blok onderaan als ze gaan stapelen; - in de keukenhoek zet Jozefien de grootste kom onderaan, daarin een kleinere en dan de kleinste. Korte seriatiemomentjes kunnen worden geïntegreerd in allerlei activiteiten; - tijdens een activiteit 'schoenen poetsen' worden de schoenen op een rij gezet van klein naar groot; - groenten vergelijken en rangschikken kan als deelmoment van een kookactiviteit; Welke is de dikste wortel? Welke prei is de langste? Welke appel smaakt het zoetst? Uitnodigende materialen in uitdagende situaties zullen de kleuters aanzetten tot seriëren. De leidster zal af en toe vragen stellen of activiteiten organiseren, die uitnodigen tot vergelijken. Bij de jongste kleuters beginnen we met twee of drie voorwerpen. Naargelang de kleuters met het seriëren vertrouwd geraken, breiden we de reeks uit of maken we ze ingewikkelder. Allerlei relatiebegrippen komen hier aan bod: hoger, langer dan, meer dan, lichter dan, ... .

2.2.4 Het ontwikkelen van het getalbegrip Binnen het getalbegrip onderscheiden we de volgende aspecten: - correspondentie, - conservatie, - tellen, - symboolbewustzijn. A Correspondentie (1-1-relatie) Het correspondentiebegrip duidt de handeling aan die het mogelijk maakt bv. het aantal prenten van een collectie te vergelijken met het aantal prenten van een andere collectie. Indien twee aantallen met elkaar overstemmen, dan weten we, zonder te tellen, dat het om eenzelfde hoeveelheid gaat. In de klas staat bv. in iedere bloempot één plant. Er zijn dus evenveel bloempotten als planten in de klas. Voorstellingen kunnen kleuters in de war brengen. De één-één-relatie kan dan hulp bieden. Als een kleuter twee rijen blokken ziet, gelooft hij dat de langste rij uit meer blokken bestaat dan de kortste

HOOFDSTUK 2



71

rij. De ruimtelijke ordering bepaalt zijn denkpatroon.

Door het oefenen van de één-één-relatie moeten kinderen kleine hoeveelheidsverschillen kunnen aanduiden. In een eerste fase moeten ze kunnen aanduiden waar er meer, minder of evenveel zijn. In een latere fase moeten ze kunnen aangeven hoeveel er meer of minder zijn. Suggesties - Twee reeksen voorwerpen die naar elkaar verwijzen Materialen die in de één-één-relatie bij elkaar horen, zijn belangrijke hulpmiddelen om correspondentie bij te brengen. We denken bijvoorbeeld aan: bokalen en deksels, poppen en bedden, bouten en moeren, ... . Jan speelt met auto‟s. In elke garage mag precies één auto. Zijn er meer / minder auto‟s dan garages? - Twee reeksen voorwerpen die neutraal staan tegenover elkaar Kinderen vergelijken het aantal appels met het aantal kastanjes. - Meer abstracte voorwerpen Twee kleuters vullen met twee identieke bekers twee emmers waarvan de inhoud verschilt. Telkens ze een beker in de emmer gieten, leggen ze een blok. Na het vullen vergelijken ze de blokken. Waar zijn er meer/minder? - Voorwerpen die duidelijk in grootte verschillen kabouters en bomen grote en kleine blokken bijen en bloemen - In een latere fase kan men vragen: hoeveel meer? Hoeveel minder? Hierbij komt ook het tellen aan bod. Nadat de kinderen de één-één-relatie toegepast hebben, tellen ze het resterende deel van de grootste hoeveelheid. Een kleuter dekt de tafel voor vier poppen. Hij neemt de borden uit de kast en zet telkens één bord bij één pop. De kleuter heeft twee borden over. Hij zegt eerst: “Er zijn meer borden dan poppen.” Later zegt hij: “Er zijn 2 borden meer.” - Eén-één-relatie toepassen op meer dan twee hoeveelheden Bij oudere kleuters kan men meer dan twee groepen laten vergelijken met de uitgangsgroep. De kleuter voert de één-één-relatie dan telkens opnieuw uit met de uitgangsverzameling. Vijf poppen 'zitten' aan een tafel. Fien dekt de tafel. Achtereenvolgens krijgt elke pop een bord, een glas, een mes, een lepel, een vork, ... . Kleuters hangen hun jas, muts, handschoenen, ... aan de kapstok. Dergelijke oefeningen kunnen vaak worden ingebouwd in allerlei opruim- of verdeelsituaties.

72



B Conservatie Reeds bij de ontwikkeling van het maatbegrip werden aspecten van conservatie besproken. Hier gaat het om de conservatie van discontinue (telbare) hoeveelheden. Het kind moet zich kunnen losmaken van alle toevalligheden en enkel de hoeveelheid voor ogen houden. Twee reeksen gezichten worden in rijen naast elkaar gelegd. De kleuters stellen vast dat er evenveel gezichten zijn. Legt men één van de rijen verder uit elkaar, dan moeten ze beseffen dat de hoeveelheid gelijk blijft.

   







   



 

 



C Tellen Een definitie van tellen Tellen kunnen we omschrijven als het tot stand brengen van een één-één-relatie tussen: - een bepaald aantal voorwerpen en - de geordende rij van telwoorden. Binnen het tellen zijn er twee einddoelen, nl.: - het bepalen van een hoeveelheid (kardinaal aspect) en - het bepalen van de rangorde (ordinaal aspect). Het opzeggen van de rij van de getallen is dus eigenlijk geen „echt‟ tellen. Het belang van het tellen Tellen is een interessante bezigheid voor de kinderen. Het is de grondslag voor het rekenen. Binnen de wiskundige ontwikkeling heeft tellen daarom een uitzonderlijke betekenis. Immers, optellen en aftrekken zijn in wezen verkorte vormen van tellen, waarbij het tellen op een specifieke manier wordt ingezet om bv. het totaal van twee hoeveelheden te bepalen.

HOOFDSTUK 2



73

Tellen: een ontwikkelingsproces Tellen is een vaardigheid die zich geleidelijk aan ontwikkelt. Binnen de ontwikkeling van het tellen kunnen we een aantal stappen onderscheiden. Deze overlappen elkaar ten dele maar zijn in het ontwikkelingsproces vaak duidelijk te onderscheiden en worden bij ongeveer alle kinderen volgens dezelfde fasering doorlopen. Akoestisch tellen Kinderen leren de telrij al voor ze echt hoeveelheden kunnen tellen. De telrij is niets anders dan het opzeggen van specifieke klanken die als een opzegversje worden geleerd. Akoestisch tellen heeft weinig te maken met hoeveelheden. De betekenis van de telwoorden is in dit stadium sterk verbonden met het liedje, versje of het spel waarin ze worden gebruikt en met de bewegingen en de rijmpjes die de opeenvolging structureren. Voorbeelden: “Eén, twee, drie, vier, hoedje van, hoedje van, ...” “Heb je al gehoord van de zeven, de zeven, ... ... en dat is één (beweging), ... ... en dat is twee (beweging), ...” Bij verstoppertje spelen: “Eén, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien wie niet weg is, is gezien.” Veelal komen er onvolkomenheden voor in deze telrijen en maken kinderen hun eigen telrij. We merken dat kinderen soms een bepaald telwoord overslaan (bv. één, twee, drie, vier, zes, zeven, ...) of dat ze na een bepaald telwoord terugschakelen (bv. één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, elf, twaalf, zeven, acht, negen, ...). Deze onvolmaaktheden zijn voor het kind niet van belang. Het kunnen opzeggen van de telrij betekent immers nog niet dat dit ook gebruikt wordt voor het tellen van hoeveelheden die als beeld te overzien zijn. Van asynchroon naar synchroon tellen In de loop van de tijd komen kinderen erachter dat ze met hun telwoorden ook iets kunnen tellen, dat je door tellen kunt aanduiden hoeveel dingen er zijn. Voorbeeld: Een kind bouwt een toren (8 blokken) en begint spontaan de „hoogte‟ te tellen door de blokken aan te wijzen en de telrij op te zeggen. Daarbij houdt het opzeggen van de telrij echter geen gelijke tred met het aanwijzen van de blokken. Het kind concludeert dat er zes blokken zijn. Dit kind weet al heel goed hoe het tellen in elkaar zit: je zegt de telrij op en beweegt tegelijkertijd met je vinger langs de dingen die je wilt tellen. Het laatste telwoord geeft aan hoeveel er in het totaal zijn. Eén ding loopt nog fout. Het opnoemen van de telrij houdt nog geen gelijke tred met het aanwijzen van de dingen. Je moet telkens één ding aanwijzen en daarbij telkens precies één telwoord zeggen. Het tellen verloopt m.a.w. asynchroon. Dit asynchrone tellen is een verschijnsel dat vrijwel bij elk kind op een bepaalde leeftijd voorkomt. Veelal duurt het een hele tijd voor het kind tot synchroon tellen komt en ontwikkelt dit zich stapsgewijs. Synchronisatie door het meer „totaal‟ lichamelijk handelen te koppelen aan het opzeggen van de telrij. Hier liggen veel mogelijkheden in bewegingsopvoeding en in muzikale momenten. Zo kunnen we de kinderen bv. reuzenstappen laten tellen; Voorwerpen vastpakken en verplaatsen bij het tellen; Voorwerpen tellen door ze aan te tikken of aan te raken;

74

OVSG - LEERPLAN WISKUNDE -


Voorwerpen tellen met aanwijzen (van op afstand). Dit kan in een eerste fase gebeuren door aan te wijzen met de vinger. Later kan dit door enkel aan te wijzen met de ogen. Je ziet als het ware de kinderen met de ogen volgen bij het tellen.

Gaandeweg ontwikkelt het één-voor-één tellen zich steeds verder. De hoeveelheden die een kind op deze wijze kan tellen worden steeds groter. Kinderen raken steeds beter vertrouwd met de regels van het synchroon tellen: er moet een één-één-relatie gelegd worden tussen de telwoorden uit de telrij en de te tellen voorwerpen. Elk voorwerp moet corresponderen met één telwoord en omgekeerd; de telrij moet in goede volgorde worden opgezegd en er mag geen telwoord worden overslagen. Zeven is het eerste cijfer dat bestaat uit twee lettergrepen. Dit heeft bij sommige kleuters tot gevolg dat een reeks van 8 voorwerpen, bij het tellen met aanwijzen en verklanken, als 7 wordt aangegeven. De leidster besteedt hier bijzondere aandacht aan. o o o o o o o o één twee drie vier vijf zes zeven Resultatief tellen Resultatief tellen betekent dat kinderen beseffen dat het laatst uitgesproken telwoord (bij dat tellen) aangeeft hoeveel er zijn. Het auditief geheugen speelt hierbij een rol. Het is daarom belangrijk dat men na het tellen van een hoeveelheid steeds vraagt: „Hoeveel waren er nu?‟. Via resultatief tellen ontwikkelt het kind het hoeveelheidsbegrip. Een hoeveelheid blijft gelijk ook al verandert men de voorwerpen van plaats of al verandert men de volgorde van de voorwerpen. Veelal zien we dan ook dat kinderen de reeks voorwerpen gaan structureren bij het tellen. Ze organiseren hun telactiviteit. Correct tellen, met echt hoeveelheidsbesef, veronderstelt dat het resultaat van het synchroon en het resultatief tellen, met de correcte hoeveelheid overeenstemt. Verdertellen en terugtellen Verdertellen vanaf een willekeurig punt kunnen we gebruiken bij het samenvoegen van hoeveelheden. Stel dat we vier knopen hebben en we doen er twee bij. We kunnen de totale hoeveelheid bepalen door opnieuw te tellen: 1 ... 6. Een stap verder naar rekenen toe is bij het totaal van de vier eerste knopen twee bij te tellen (4 ..., 5, 6). Als we al vier voorwerpen hebben en we moeten verdertellen, betekent dit dat we moeten beginnen te tellen op vijf. Dat geeft vaak aanleiding tot „startproblemen‟ of startfouten. Het terugtellen kan gebruikt worden om hoeveelheden te verminderen. Als we zes knopen hebben en we doen er twee af, dan kunnen we de nieuwe hoeveelheid tellen. Voor kleuters die het aankunnen, is het interessanter om terug te tellen. Dus 6..., 5, 4. Ook hier zullen we weer extra aandacht moeten besteden aan de „start‟. Aftellen vooraleer te laten starten is hierbij ook onder te brengen: vier ... drie ... twee ... één ... start ! Een ander voorbeeld: “Vijf poesjes op een rij Snoepten van de rijstebrij steeds maar meer steeds maar meer

HOOFDSTUK 2



75

Eén werd ziek en lust niet meer” “Vier poesjes op een rij ...” “Eén poesje heel alleen sabbelde op haar grote teen wat een strop wat een strop alle rijstebrij is op.” Tellen met wisselende teleenheden Zoals het tellen tot nu toe beschreven is, namen we telkens één voorwerp als eenheid. Als we bijvoorbeeld de treden van de trap tellen, dan is elke trede één eenheid. Bij het tellen kan ook al eens een andere eenheid afgesproken worden. In sommige omstandigheden ligt dat voor de hand. We kunnen schoenen tellen, maar ook evengoed de paren. Een paar is dan de teleenheid. Bij het kaartspel kunnen we slagen tellen, één slag is dan de teleenheid. Bij het tellen van blokken kunnen we afspreken om torens van drie te tellen. Het resultaat kan vergeleken worden met het resultaat bij het tellen van torens van twee. Met het wisselen van de teleenheid kunnen we echter pas beginnen wanneer kinderen het tellen al heel goed beheersen. Zij moeten zich eerst bewust worden van de eenheden in de zin van één voorwerp en weten dat bij het tellen telkens één voorwerp bijgevoegd wordt. Later kunnen paren of drietallen geteld worden. Rangorde: het ordinale aspect van het tellen Essentieel voor rangordeopgaven is dat via een telactiviteit slechts één bepaald voorwerp uit een gerichte rij wordt aangegeven nl.: ... het vijfde, ... het achtste, ... Een ander kernpunt bij het ordinale tellen is het in acht nemen van de juiste telrichting. Het moet voor de kleuter duidelijk zijn waar het startpunt ligt van de telrij. Wanneer er géén telrichting steekt in de aard van de aangeboden rij, begint men links te tellen, volgens de leesrichting. Eventuele gradaties op concreet niveau Telrichting is duidelijk uit de aard van de aangeboden rij. Een trein met wagonnetjes Vraag : Wijs de ... . Een rij auto‟s wordt geteld in de rijrichting. Vraag: Wijs de derde auto.

-

De gradatie om te tellen met aanraken, met aanwijzen en zonder aanwijzen (enkel het ... vijfde voorwerp wijst men aan) geldt hier eveneens. Geen telrichting in de aard van de aangeboden rij. Een rij ballen. Vraag: Wijs de vierde bal.

Eventuele gradaties op schematisch niveau Telrichting is duidelijk uit de aard van de aangeboden rij.

76



Kleur het derde wagonnetje. -

Geen telrichting in de aard van de aangeboden rij Kleur de zevende kaars.

Evolutie Eens kinderen goed kunnen tellen, gaat de verdere opbouw van het getallensysteem snel vooruit. Oudere kleuters kunnen dikwijls veel verder tellen dan hun getalbegrip reikt. Niet zelden zijn er vijfjarigen die akoestisch perfect tot 100 tellen. We kunnen echter niet verwachten dat zij al een goed beeld hebben van hoeveelheden tot 100. Toch is dat tellen heel zinvol, want daardoor krijgt het kind kijk op de systematiek in de opbouw van het getallensysteem. Het inzicht groeit dat „verder in de telrij‟ ook „meer‟ betekent. Elf is meer dan negen, want het komt erna bij het tellen. De ordening van de getallen, de opbouw van de getallenlijn wordt dus door het tellen zeker ondersteund. Verder wordt ook de structuur van het tientallig positiestelsel ontdekt. Door het tellen snappen kinderen dat zestien tien en zes is, drieëntwintig twintig en drie, enz. Soms horen we bij het tellen fouten, bijvoorbeeld „tien-en-twintig‟. Zulke uitspraken tonen hoe het kind bezig is met structureren. Telactiviteiten in de klas Telactiviteiten van kleuters spruiten enerzijds voort uit de eigen belangstelling (eigen initiatieven en ontdekkingen) van het kind. Anderzijds kan de wijze waarop de omgeving (bv. spelmaterialen in de klas) van het kind is ingericht, stimulerend werken om de ontwikkeling te bevorderen. Bij het begeleiden van de ontluikende gecijferdheid zal de leraar in de kleuterschool de kinderen ruimschoots de kans laten om zelf initiatieven te ontplooien en zelf een keuze te maken uit allerlei activiteiten. Daarnaast kan de leraar activiteiten organiseren die voor een groep kinderen bestemd zijn. Qua tellen onderscheiden we een drietal verschillende soorten activiteiten: - spontane activiteiten, - activiteiten met ontwikkelingsmateriaal, - gerichte groepsactiviteiten. Spontane activiteiten Dit zijn situaties waarbij het tellen spontaan aan bod komt. We denken hier bv. aan: het eerlijk verdelen van allerlei voorwerpen; de symbolen bij de hoeken die aanduiden dat een beperkt aantal kinderen (drie, vier, vijf) in een bepaalde hoek mogen spelen; spelen in de winkelhoek. Bijna dagelijks dienen zich mogelijkheden aan waarbij het tellen als vanzelfsprekend ingebed is in de bezigheden die op dat moment in de interessesfeer van de kinderen liggen. Voor de school komt het erop aan om deze spontane telactiviteiten aan te grijpen om het tellen verder te ontwikkelen. Het groeien naar bepaalde feesten toe (Sinterklaas, carnaval, schoolreis, ...) is bv. een bijzonder goede gelegenheid om gerichter aandacht te besteden aan de ontwikkeling van het tellen en het getalbegrip. Activiteiten met ontwikkelingsmateriaal Activiteiten met ontwikkelingsmateriaal bieden de kinderen de mogelijkheid om een uitbreiding en een verdieping te geven aan de eigen, spontane ervaringen. Deze ontwikkelingsmaterialen kunnen variëren van bouwmaterialen (vergelijken van torens) en mozaïeken tot specifieke telmaterialen zoals tellotto‟s en telkwartetten. Zo kan bv. in heel wat materialen worden voorzien die de kinderen de één-één-relatie laten oefenen.

HOOFDSTUK 2



77

78



Ook gezelschapsspelen met dobbelstenen bieden heel wat mogelijkheden om het tellen te oefenen. Waarom zou er geen plaats zijn voor een telhoek in de klas? Gerichte groepsactiviteiten Bij groepsactiviteiten spelen de sociale aspecten een belangrijke rol (met elkaar van gedachten wisselen, samen een oplossing zoeken, kennisnemen van elkaars oplossing). Via dergelijke activiteiten kan de leraar de kinderen stimuleren om na te denken over het eigen handelen. Zo sturen ze het eigen handelen en komen tot een beter inzicht in het wezenlijke van de handeling. Het is evident dat deze groepsactiviteiten steeds voortspruiten uit de belangstelling van de kinderen. D Symboolbewustzijn Getalbeelden zijn vaak de eerste symbolen voor hoeveelheden waar kleuters mee in aanraking komen, althans in de klas, want daarbuiten zien ze ook geregeld cijfersymbolen. o

o

o

o

o o

o

o

o

o

In getalbeelden kunnen de elementen geteld worden, zodat er een direct verband is met de hoeveelheid. Toch hebben getalbeelden reeds een symboolfunctie. Bij het ganzenbordspel bijvoorbeeld betekenen drie bolletjes op de dobbelsteen dat we drie stappen verder mogen op het speelbord. In het begin zullen kleuters de bolletjes in de getalbeelden tellen, maar na een tijd wordt het aantal onmiddellijk herkend en benoemd. Cijfers zijn als symbool abstracter dan getalbeelden want er is geen direct visueel verband meer met het aantal. Toch moeten we niet aarzelen om vijfjarigen er ervaringen mee te laten opdoen, ook al hebben de getalbegrippen nog niet helemaal een invulling. Integendeel, door het omgaan met de cijfersymbolen zal een kind een getal eerder los kunnen maken van concrete voorwerpen en van concrete hoeveelheden. Voor kleuters zijn getallen altijd gekoppeld aan concrete voorwerpen: drie koeken, vier blokken, één appel, ... . Als een kind de lagereschoolleeftijd bereikt, heeft het al heel wat ervaring met concreet materiaal. Het kan dan stilaan getallen losmaken van de concrete hoeveelheden. Het kan over „drie‟ praten zonder dat het nog per se aan drie appels of drie knopen moet denken. Cijfers kunnen deze overgang helpen maken. - Cijfermateriaal in de klas kunnen we zien als een soort milieuverrijking. Cijfers behoren tot het wereldbeeld van de kinderen. We vinden ze op de scheurkalender, op de klok, op de kaarten van het kaartspel, op de prijsetiketten van artikelen in de winkel, als maat op schoenen en kledingstukken, ... . Al deze dingen zijn dan ook in een kleuterklas terug te vinden. - Cijfers kunnen bij kleuters eventueel samen met het getalbeeld aangeboden worden. Zo worden ze spontaan geleerd. Natuurlijk zien we de cijfers in de kleuterschool als aanvullend materiaal. Ze mogen in geen geval het handelen met concrete voorwerpen gaan vervangen. Het is zeker niet de bedoeling te willen bereiken dat alle kleuters alle cijfers kunnen lezen.

HOOFDSTUK 2



79

Besluit: Pas als er voldoende op concreet vlak gewerkt is, kan de leidster overgaan tot voorstellingen of tekeningen. Wij achten het belangrijker dat alle basisbegrippen voldoende vulling krijgen dan dat er met cijfers en bewerkingssymbolen gewerkt wordt in de kleuterklas.

2.3

Didactische aandachtspunten bij de begeleiding van de ontluikende gecijferdheid

In 2.2 van dit katern werden suggesties gegeven naar deelaspecten van ontluikende gecijferdheid toe. Dit mag echter niet de indruk geven dat deze deelaspecten ook elk afzonderlijk worden behandeld met de kinderen. Ze dienen in een voortdurend samenspel op elkaar te worden betrokken. Verder is het ook zeer belangrijk te beseffen dat bij deze suggesties geen optie werd genomen voor vervroegde leerinstructie. Het zijn mogelijkheden voor een ongedwongen en vruchtbare sfeer van ontluikende gecijferdheid in de kleuterschool. Tal van spontane, occasionele maar ook geplande speelse situaties kunnen aanleiding zijn tot wiskundige activiteiten van kleuters. Bij het opzetten en begeleiden van zulke activiteiten worden een aantal didactische principes gerespecteerd.

2.3.1

Van bij de jongste kleuters worden ervaringen gestimuleerd naar ontluikende gecijferdheid toe

Ontluikende gecijferdheid is geen zaak voor vijfjarigen, maar begint vroeger. Eenvoudige begrippen als veel, weinig, leeg, hoog, laag, in, uit, ... worden al bij de jongste kleuters gevormd. Deze begripsvorming wordt gestimuleerd als kleuters interessant experimenteermateriaal wordt aangeboden, in een „rijke‟ omgeving, waarbij hun veel kansen worden gegeven om de ruimte motorisch te verkennen. Het abstract denken groeit vanuit het sensomotorisch handelen. Daarom maken we dit sensomotorisch bezig-zijn zo aantrekkelijk mogelijk. We zorgen ervoor dat jonge kleuters (en natuurlijk ook oudere kleuters) actief kunnen zijn en heel veel ervaringen kunnen opdoen.

2.3.2

Er wordt gezorgd voor een ‘rijk’ milieu

We zullen niet passief de ontwikkeling van de kleuter volgen, maar wel zo goed mogelijk inspelen op zijn ontwikkelingsbehoeften. In een rijk milieu, met materiaal dat uitdaagt tot verkennen en ontdekken, kan de kleuter veel van zijn omgeving leren. We willen hierbij niet vergeten dat de leidster deel uitmaakt van dat rijke milieu. Zij kan door gepaste impulsen en door een rijke en ervaringsgerichte dialoog de kleuter enorm stimuleren.

80



2.3.3

De leraar ziet mogelijkheden in het spontaan spel van de kleuter en het zelf ontdekken

Het spontaan spel van de kleuter biedt veel kansen. Die mogelijkheden zien en benutten vraagt van de leidster wel een brede achtergrond in verband met ontluikende gecijferdheid en wiskundige initiatie. De kleuter beschikt over heel wat materiaal tijdens zijn spel en gaat daarmee spelen, handelen en experimenteren. Hij ontdekt eigenschappen van de dingen. Het kind denkt hierbij aanschouwelijk (concreet materiaal). Het assimileert taaltermen, mede met de hulp van de leid(st)er. Hij/zij begeleidt de handelingen van de jongste kleuters met taal en zet oudere kleuters aan om hun handelingen en hun ontdekkingen zelf te verwoorden.

2.3.4

Voortdurend is er aandacht voor een ervaringsgerichte dialoog

Door het gesprek met de kleuters helpen we hen om ervaringen te verwoorden en om die ervaringen bewust te verwerken. Als we een kind de gelegenheid geven om zijn gedachten te verwoorden, kunnen we bovendien beter volgen hoe het redeneert en kunnen we daar goed op inspelen. Ook de dialoog tussen kleuters onderling is erg waardevol. Om die te bevorderen kunnen we de kleuters zelfstandig maken: elkaar laten helpen en in de mate van het mogelijke samen problemen laten oplossen.

2.3.5

Kleuters worden voor problemen gesteld

We stellen kleuters voor problemen, zetten ze aan tot denken, dagen ze uit om oplossingen te vinden en om verschillende oplossingen met elkaar te vergelijken.

2.3.6

Functionele en geïntegreerde activiteiten worden aangeboden

Ontluikende gecijferdheid staat niet op zichzelf, maar helpt de kleuter bij de opbouw van zijn wereldbeeld. Daarom zullen we de aspecten ervan integreren in andere activiteiten. We gebruiken de weegschaal bij een kookactiviteit, in de winkel, bij een waarneming van fruit, ... . We sorteren bij het inrichten van de winkel, het waarnemen van schoenen, het verkennen van een spel kaarten, ... . Begrippen i.v.m. ruimtelijke posities en richtingen worden verwerkt in een ritmiekactiviteit, ... . De beleving van het kind is steeds een totaliteitsbeleving. Dingen worden dus maar echt geleerd wanneer ze voor het kind deel uitmaken van de totale situatie. Pas dan krijgen ze betekenis en leiden opgedane ervaringen tot „ontwikkeling‟. Dit geldt ook voor de wiskundige ervaringen en de wiskundige ontwikkeling van het kind. 2.3.7

Het leergebied wordt ruim benaderd

We zoeken aanknopingspunten bij aspecten van fysische en van sociale kennis. Wanneer we bv. een winkelspel organiseren, zorgen we ervoor dat dit spel in een ruime context geplaatst wordt. In een kringgesprek kunnen de kleuters hun ervaringen i.v.m. winkelen verwoorden. We brengen een bezoek aan een winkel, maken er foto‟s en brengen prenten en koopwaar in de klas.

HOOFDSTUK 2



81

Het werken met spiegelbeelden geeft aanleiding tot het opdoen van informatie over de spiegel zelf: waarvoor een spiegel gebruikt wordt, waarvan hij gemaakt is, spiegelende voorwerpen verzamelen, zelf spiegels maken, ... . Het wegen geeft mogelijkheden om ervaringen op te doen met zwaartekracht en evenwicht. Pluimpjes omhoog blazen, spelen met een wip, een mobiel maken, ...

2.3.8

De betrokkenheid wordt verhoogd. Motivatie staat voortdurend in de kijker

Vertrekkend vanuit het spel of vanuit een verantwoord thema kunnen allerlei probleemstellingen naar voren komen. De interesse opwekken is noodzakelijk wil het kind gemotiveerd aan een activiteit deelnemen. Oefeningen en activiteiten die voor het kind té moeilijk of té gemakkelijk zijn, zullen de motivatie doen verdwijnen. Wil men de kinderen stimuleren dan zal het nodig zijn de beginsituatie van de kinderen te kennen. De leraar zorgt voor een ruim en interessant aanbod, zodat alle kleuters materiaal vinden dat hen aanspreekt en waar ze actief mee kunnen bezig zijn. Enkel op deze manier zullen we de betrokkenheid realiseren die nodig is voor het echte leren. Een voorbeeld: voor het stimuleren van het getalbegrip kunnen we een brede waaier van activiteiten organiseren. We kunnen een knopendoos aanbieden, werpspelen organiseren, kaart- of dobbelspelletjes aanleren, werkbladen ter beschikking stellen, ... . De kleuter kan dan zelf een keuze maken uit deze activiteiten.

2.3.9

Het zelfstandig werk wordt bevorderd

We zullen ons aanbod zo organiseren, dat kleuters er zo zelfstandig mogelijk mee overweg kunnen: - voor een dobbelsteenspel worden de spelregels symbolisch voorgesteld op een afleesfries; - het recept voor het maken van deeg staat uitgetekend op een werkfries; - de opdracht voor een werkblad staat symbolisch genoteerd; - ... .

2.3.10

Er wordt een glijdende moeilijkheidsgraad ingebouwd

Deze activiteiten zijn dikwijls groepsactiviteiten waar de kleuters vrij voor kiezen. We organiseren die activiteiten dan zo, dat er een variatie in de moeilijkheidsgraad mogelijk is. Op die manier kunnen we tegemoetkomen aan het ontwikkelingsniveau van de kleuters waar we toevallig mee werken: - bij gezelschapsspelletjes is er een variatie in de spelregel; - werkbladen worden individueel gegeven volgens het niveau van de kleuter; - tijdens een logispel kan gebruikgemaakt worden van één, twee, drie of vier kenmerken van het materiaal, ... .

82



2.3.11

Kleuters worden gestimuleerd op hun eigen niveau

Kleuters kunnen, wat hun ontwikkelingsniveau betreft, enorm verschillen. Het is dan ook een grote uitdaging om aan al die verschillende ontwikkelingsbehoeften te voldoen. We proberen alle kleuters te stimuleren en ze zo ver te brengen in hun ontwikkeling als kan. Dat impliceert aandacht geven aan kansarme kleuters, aan kleuters met een trage ontwikkeling of bepaalde achterstanden, maar er ook voor zorgen dat „slimme‟ kleuters voldoende aan hun trekken komen. Een rijk klasmilieu en een vrij kleuterinitiatief bieden daartoe zeker kansen. 2.3.12

Schematische voorstellingen komen daarna ...

Na het manipuleren van allerlei materialen kan het kind denken en handelen met afbeeldingen ervan. Werken met prentmateriaal komt na het handelen met materiaal.

2.3.13

Evaluatie

Dagelijkse observatie is nodig om ontwikkelingen van de kleuters te kunnen volgen. Om vast te stellen hoe het kind het leerproces doorgemaakt heeft, kan naast de permanente observatie af en toe met speelwerkbladen worden gewerkt. Het veelvuldig gebruik ervan in de kleuterschool is echter af te raden.

2.3.14

Foutenanalyse - remediëring

Via observatie kan worden vastgesteld welke kinderen de beoogde wiskundige begrippen hebben geassimileerd en welke niet. De namen worden genoteerd in een volgsysteem en deze gegevens zijn het vertrekpunt bij de daaropvolgende ondersteuningen.

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

GETALLENKENNIS

Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN GETALLEN

85

86


DOMEIN 1: GETALLEN

A Getallenkennis Domein 1: GETALLEN Getallenkennis

OD ET

kleuters

1ste fase

1.1

TELLEN

1 -

De leerlingen kunnen: de getallenrij akoestisch opzeggen van 1 tot en met 10; ....................................................

-

de mondeling begonnen getallenrij tot en met 10 verderzetten in klimmende orde: 1, 2, 3, ... 10; ....................................................

-

de mondeling begonnen getallenrij tot en met 10 verderzetten in klimmende orde, ergens in de rij beginnend: 3, 4, 5, ... 10; .....

-

idem, maar in dalende orde.......................... .

2

De leerlingen kunnen van een beperkte hoeveelheid (£ 5) aangeven hoeveel er zijn door:

-

materieel handelend te tellen (verschuiven, aanraken, aanwijzen);

-

verinnerlijkt te tellen;

-

ineens te overzien (zonder tellen).

3

De leerlingen kunnen met eenheden, tweetallen, vijftallen en machten van 10 tellen en terugtellen in intervallen tussen 0 en: 10 .................................................................. 20 .................................................................. 100................................................................ 1 000 ............................................................. 10 000 ........................................................... 100 000 ......................................................... 1 000 000 ...................................................... 1 000 000 000 ...............................................

4

De leerlingen kunnen gestructureerde hoeveelheden onmiddellijk herkennen (zien hoeveel er zijn) en zelf zo'n structuur aanbrengen in ongestructureerde hoeveelheden tot en met 20.

OD 1.2

ET 1.1

2de fase


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

Domein 1: GETALLEN Getallenkennis

GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

1.2

GETALLEN LEZEN EN NOTEREN

1

De leerlingen kunnen de cijfersymbolen (0,...,9) lezen en schrijven.

2

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen lezen en noteren tot en met

ET 1.5

20 ................................................................. 100 ............................................................... 1 000 ............................................................ 10 000 .......................................................... 100 000 ........................................................ 1 000 000 ..................................................... 1 000 000 000 .............................................. Zij kunnen dat ook met kommagetallen (tot en met 3 cijfers na de komma). .................... 3 De leerlingen kunnen gehele getallen < 0 lezen, noteren en interpreteren in concrete situaties (bv.: lift). 4 De leerlingen kunnen natuurlijke getallen groter dan een miljard lezen en noteren: -

met cijfers; .....................................

-

met machten van 10 (bv. 5 miljard = 5 x 109 ). ...................................

Ze kunnen een beperkt aantal namen van grote getallen hanteren (biljoen, triljoen,..., gogol). .......................................................... 5

De leerlingen kunnen getallen met Romeinse cijfers lezen en noteren:

-

tot en met XII (symbolen I, V, X); ...............

-

grotere getallen met symbolen: L, C, D, M. .

6

De leerlingen kunnen een intuïtieve breukentaal hanteren:

-

de helft, een halve, een vierde (een kwart) als resultaat van een verdeling in 2 of 4 gelijke delen; ................................................

ET 1.7

ET 1.4

2de fase

87


6j.

>

8j.

>

10j.

>

88



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

-

als operator: de helft, een vierde (een kwart) nemen van een hoeveelheid of een grootheid. .....................................................

7

De leerlingen kunnen de formele breukentaal (een derde, twee vijfde...) hanteren:

-

1 3 breuken lezen en noteren ( , ½, , 2 4

2de fase


6j.

ET 1.5 ET 1.6

¾, ...); .......................................................... -

de terminologie: stambreuk, breuk, teller, noemer, breukstreep hanteren. .....................

8

De leerlingen kunnen de begrippen natuurlijk getal, kommagetal en gemengd getal hanteren.

9

De leerlingen kunnen het begrip procent hanteren en het symbool % lezen en noteren.

ET 1.4

ET 1.3 1.6

10

De leerlingen kunnen het begrip promille hanteren en het symbool ‰ lezen en noteren.

1.3

GETALLEN VOORSTELLEN EN POSITIESTELSEL

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

1

De leerlingen kunnen in ongestructureerde hoeveelheden tot 100 een tientallige structuur aanbrengen en de hoeveelheid als getal noteren.

2

De leerlingen kunnen, in concrete situaties, hoeveelheden groeperen met als basis 2, 3, 4, 5... en deze groeperingen verwoorden, tekenen en in het gegeven talstelsel lezen en noteren. Ze beseffen dat de cijfers, die ze daarbij gebruiken, altijd kleiner zijn dan de groeperingsbasis.

3

ET 1.8

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen voorstellen met gestructureerd materiaal (bv. MAB) en voorgestelde getallen benoemen tot en met: 20 ................................................................ 100 ............................................................... 1 000 ............................................................

4

De leerlingen kunnen van elk cijfer in een gegeven getal de werkelijke waarde bepalen. Ze doen dit met natuurlijke getallen tot en met: 20 ................................................................ 100 .............................................................. 1 000 ............................................................ 10 000 ......................................................... 100 000 ........................................................ 1 000 000 ..................................................... 1 000 000 000 .............................................. en met kommagetallen tot 3 cijfers na de komma.

5

De leerlingen kunnen getallen splitsen en noteren in een tabel:

ET 1.5

2de fase

89


6j.

>

8j.

>

10j.

>

90



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

-

met tienen, énen .............................

-

met honderden, tienen, énen. ..........

Ze maken daarbij gebruik van de termen en symbolen :

6

-

D (duizendtal), H (honderdtal), T (tiental), E (eenheid), ................

-

TD (tienduizendtal), t (tiende), h (honderdste), d (duizendste) .........

-

HD (honderdduizendtal) ................

-

Md (miljardtal), M (miljoental). ...

De leerlingen kunnen getallen omzetten in de symbolen en omgekeerd (bv.: 3045 = 3 D + 4 T + 5 E 2 E + 3 d = 2,003) tot en met: 1 000 (enkel natuurlijke getallen) ................. 10 000 .......................................................... 100 000 ........................................................ 1 000 000 ..................................................... 1 000 000 000 ...............................................

7

De leerlingen kunnen op een tekening een verdeelsituatie weergeven en de bijpassende breuk noteren. Omgekeerd kunnen ze bij een gegeven breuk de verdeelsituatie tekenen en verwoorden.

8

De leerlingen kunnen op gestructureerd materiaal (bv. honderdveld) een percentage aanduiden en voorstellen.

1.4

VERGELIJKEN EN ORDENEN

ET 1.3

2de fase


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

1

2

De leerlingen kunnen aangeven dat een hoeveelheid gelijk blijft ook na een herschikking in de ruimte (conservatie).

OD

De leerlingen kunnen zonder te tellen, maar door een 1-1-relatie uit te voeren, twee hoeveelheden vergelijken. Zij kunnen daarbij de begrippen: (is) meer (dan), (is) minder (dan),(is) evenveel (als), (is) gelijk (aan), genoeg, te veel, te weinig, meest, minst, één meer (dan), één minder (dan), hoeveel meer, hoeveel minder, veel meer, veel minder, verschil (tekort, rest, overschot,...) hanteren.

OD

3

De leerlingen kunnen een beperkt aantal hoeveelheden (van identieke of verschillende elementen) ordenen van klein naar groot en van groot naar klein.

4

De leerlingen kunnen, als plaats en richting afgesproken zijn, een rangorde aanduiden en verwoorden . Ze maken daarbij gebruik van volgende begrippen:

5

-

rangtelwoorden: eerste, tweede,..., laatste, voorlaatste, middelste .......

-

volgende, vorige, voor, na, naast, tussen, boven, onder ......................

-

links, rechts ....................................

De leerlingen kunnen de conventie hanteren dat een rangschikking, tenzij anders afgesproken, verloopt van links naar rechts en van boven naar beneden.

1.5

1.1

OD 1.3

2de fase

91


6j.

>

8j.

>

10j.

>

92



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

6

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen vergelijken, ordenen en plaatsen op een getallenas. Zij kunnen een interval bepalen en vaststellen of een getal al dan niet tot een gegeven interval behoort in zo'n geordende rij getallen tot en met:

ET 1.5

20 ................................................................. 100 (ook plaatsen in honderdveld) ............... 1 000 ............................................................ 10 000 .......................................................... 100 000 ........................................................ 1 000 000 ..................................................... 1 000 000 000 .............................................. Ze kunnen dat ook met kommagetallen tot 3 cijfers na de komma. 7

De leerlingen kunnen de symbolen voor vergelijking van aantallen =, ¹, < en > hanteren en die koppelen aan de termen: is evenveel als (gelijk), is niet evenveel als (verschillend, niet gelijk), is minder dan (kleiner), is meer dan (groter) .

8

De leerlingen kennen de symbolen £, ³ en kunnen die koppelen aan de termen: is minder dan of is evenveel als (kleiner of gelijk), is meer dan of is evenveel als (groter of gelijk),

9

De leerlingen kunnen stambreuken (tot en met noemer 10) ordenen en daarbij verwoorden dat de breuk kleiner wordt naarmate de noemer groter wordt.

10

De leerlingen kunnen eenvoudige breuken ordenen en plaatsen op een getallenlijn.

11

De leerlingen kunnen eenvoudige breuken > 1 omzetten in zogenaamde gemengde getallen en omgekeerd (bv.

3 1 = 1 ). 4 4

ET 1.6

ET 1.5

2de fase


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

12

13

14

De leerlingen kunnen de termen gelijkwaardige en gelijknamige breuken correct gebruiken. De leerlingen kunnen gelijkwaardige breuken vinden van een gegeven breuk (bv. met behulp van een verhoudingstabel). Op grond daarvan kunnen ze een breuk vereenvoudigen (omzetten in gelijkwaardige breuk met de kleinste noemer) of breuken gelijknamig maken om ze te kunnen ordenen. De leerlingen kunnen decimale breuken (noemer is een macht van 10) omzetten in een kommagetal en omgekeerd (bv.

ET 1.4 ET 1.22

ET 1.18

35 = 0,35) ........................................ 100

Ze kunnen decimale breuken omzetten in procenten en omgekeerd (bv.

15

35 = 35 %). ....................................... 100

De leerlingen kunnen eenvoudige breuken, decimale breuken, kommagetallen en procenten naar elkaar omzetten (bv.

3 75 = = 0,75 = 75 %). 4 100

ET 1.18

2de fase

93


6j.

>

8j.

>

10j.

>

94



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

1.5

FUNCTIES VAN GETALLEN

1

De leerlingen weten dat een natuurlijk getal een hoeveelheid kan aanduiden. Ze hanteren het begrip 'hoeveel' en geven daarop een antwoord door te schatten, te tellen of te rekenen.

1.2

De leerlingen weten dat een natuurlijk getal een rangorde kan aangeven. Ze kunnen de rangtelwoorden hanteren.

ET

2

3

4

5

6

7

1.6

De leerlingen gebruiken een natuurlijk getal als maatgetal, zowel bij niet-conventionele (handen, voeten, stappen...) als bij conventionele maateenheden (m, l, kg, ...). De leerlingen weten dat een natuurlijk getal ook kan gehanteerd worden om een code weer te geven. De leerlingen kunnen de verschillende functies van natuurlijke getallen in contexten onderscheiden en verwoorden. Ze kunnen zelf voorbeelden bedenken bij elke functie (aantal, maatgetal, rangorde, code...). De leerlingen kunnen (mondeling of schriftelijk) met een breuk weergeven of een breuk interpreteren als: een deel (stuk) van ........................ -

het resultaat van een (ver)deling ....

-

een operator....................................

-

een verhouding ..............................

-

een getal ( met een plaats op de getallenas)

-

een kans ..........................................

De leerlingen kunnen met een procent weergeven of als een procent interpreteren: een verhouding .............................. -

een deel van ...................................

-

een kans ..........................................

-

een verandering (stijging of daling)

DELERS EN VEELVOUDEN

ET

1.2 ET 1.2

ET 1.2 ET 1.2

ET 1.4

2de fase


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

1

2

De leerlingen kunnen door manipuleren (bv. 1-1-relatie) de volgende hoeveelheden verdelen in 2 gelijke groepen (met en zonder rest): -

2, 3, 4, 5 ........................................

-

6, 7, 8, 9, 10 ...................................

-

hoeveelheden tussen 10 en 20 .......

De leerlingen kunnen in concrete situaties verdelingen maken van: een continue grootheid (bv. een appel voor 4 kinderen) .................

OD 1.4

OD 2.4

-

3

een hoeveelheid, waarbij de verdeling al dan niet een rest geeft: ( bv. 8 snoepjes voor 3 of 5 kinderen) .......................................

OD 1.4

een aantal continue grootheden (bv. 3 koeken voor 2 kinderen) ....

De leerlingen kunnen de begrippen (eerlijk of gelijk) verdelen, halveren, de helft, verdubbelen, het dubbel, even (paar), oneven (onpaar), correct hanteren en toepassen op aantallen: < 10 ............................................................. < 20 ............................................................. < 100 ........................................................... < 1 000 ......................................................... > 1 000 ........................................................

4

De leerlingen weten wanneer een natuurlijk getal een deler is van een ander. Ze weten dat elk natuurlijk getal 1 en zichzelf als deler heeft. Ze kunnen, in zinvolle contexten, alle delers vinden van natuurlijke getallen: < 20 .............................................................. < 100 ........................................................... > 100 ...........................................................

ET 1.3

2de fase

95


6j.

>

8j.

>

10j.

>

96



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

5

6

7

De leerlingen weten dat een natuurlijk getal met juist 2 delers (1 en zichzelf) een priemgetal is en zij kunnen van de getallen £ 100 vinden of het een priemgetal is. Ze ontwikkelen een procedure om van grotere getallen (> 100) vast te stellen of het een priemgetal is. De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke getallen (£ 100) de gemeenschappelijke delers vinden en kunnen aangeven wat de grootste gemeenschappelijke deler is. Ze verwoorden in welke situaties ze die handig kunnen gebruiken. Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen en/of voor grotere getallen. De leerlingen verwoorden wanneer een natuurlijk getal een veelvoud is van een ander. Ze weten dat elk natuurlijk getal een veelvoud is van 1 en dat elk getal 0 en zichzelf als veelvoud heeft. Ze kunnen enkele veelvouden opsommen van getallen: < 10 ............................................................. < 100 ........................................................... < 1 000 .........................................................

ET 1.19 1.3

ET 1.3

2de fase


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

ET 8

De leerlingen kennen de kenmerken van deelbaarheid door: -

2, 10 ..............................................

-

4, 5 ................................................

-

machten van 10 (100, 1 000...) .....

-

3, 9 ................................................

1.12

Ze verwoorden in welke situaties ze die kenmerken handig kunnen gebruiken (bv. bij de negenproef). Ze kunnen vaststellen en verwoorden wanneer een natuurlijk getal deelbaar is door 8, 11, 25. .............................................. Door combinatie van kenmerken van deelbaarheid kunnen zij ook vaststellen wanneer een getal een veelvoud is van 6 (deelbaar door 2 en 3), 12 (deelbaar door 3 en 4). ............................................................ 9

De leerlingen kunnen van 2 natuurlijke getallen (£ 20) gemeenschappelijke veelvouden vinden en aangeven welk getal het kleinste gemeenschappelijk veelvoud is. Ze kunnen verwoorden in welke situaties ze die handig kunnen gebruiken. Ze kunnen dit ook voor meer dan 2 getallen en/of voor grotere getallen (> 20).

10

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen opsplitsen in priemfactoren en dit als basis gebruiken voor een algoritme om de g.g.d. en het k.g.v. te vinden.

ET 1.20 1.3

2de fase

97


6j.

>

8j.

>

10j.

>

98



DOMEIN 1: GETALLEN

OD ET

kleuters

1ste fase

1.7

PATRONEN

1

-

2

De leerlingen kunnen een patroon (in de realiteit gegeven of getekend) van 2, 3 of 4 elementen, verderzetten.

-

Ze kunnen ook de mondeling geformuleerde samenstelling van een patroon van 2, 3 of 4 elementen realiseren.

-

De leerlingen kunnen zelfontworpen en -gerealiseerde patronen verwoorden.

De leerlingen kunnen in een gegeven reeks getallen een patroon herkennen, de rij verder zetten en dit verwoorden bij: -

2de fase

OD 3.4

ET 1.12

een enkelvoudig patroon (bv. telkens + 4 ); ..................................

een gecombineerd patroon (bv. telkens +4, dan -3: bv. 1 5 2 6 3 7 ...) ...................................................

3

1.8

De leerlingen kunnen de regelmaat in een reeks getallen weergeven via een formule met lettersymbolen en zo enige notie verwerven van het begrip variabele.

AFRONDEN (HOEVEELHEDEN SCHATTEN)


6j.

>

8j.

>

10j.

>

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


GETALLENKENNIS

OD ET

kleuters

1ste fase

1

2

3

4

De leerlingen kennen hoeveelheidsbegrippen die een benadering van een exact aantal weergeven: veel, weinig, sommige, geen (niets), alle(s), allemaal, een beetje, enkele, een paar, ongeveer, bijna, ruim,... .

OD

De leerlingen kunnen strategieën hanteren om in ongestructureerde hoeveelheden structuur aan te brengen om zo tot een schatting van het aantal te komen.

ET

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen afronden naar de dichtstbijzijnde macht van 10 (10, 100, 1 000...). Zij houden daarbij rekening met het doel van de afronding en de context om o.m. de graad van nauwkeurigheid te bepalen. De leerlingen kunnen kommagetallen en gemengde getallen afronden naar de dichtstbijzijnde eenheid, tiende of honderdste. Zij houden daarbij rekening met het doel van de afronding en de context om o.m. de graad van nauwkeurigheid te bepalen.

5

De leerlingen kunnen het symbool + (ongeveer, plusminus) gebruiken om aan te geven dat het daaropvolgende getal niet exact maar slechts benaderend de hoeveelheid weergeeft.

6

De leerlingen hebben enige notie van het begrip oneindig. Ze weten dat oneindig geen getal is, niettegenstaande er een symbool (¥) voor bestaat. Ze beseffen dat je voor elk gegeven getal een nog groter getal kunt bedenken.

1.1

1.17

ET 1.15

ET 1.15

2de fase

99


6j.

>

8j.

>

10j.

>

100

B


DOMEIN 1: GETALLEN

Bewerkingen

Domein 1: GETALLEN Bewerkingen

OD ET

kleuters

1ste fase

1.9

BEGRIPSVORMING - REKENTAAL

1

De leerlingen hanteren vlot de rekentaal i.v.m. bewerkingen:

OD 1.4 ET 1.9

erbij (en) - eraf samen bijdoen - wegdoen - afdoen (bij)krijgen - weggeven (bij)winnen - verliezen keer (maal) Zie ook leerlijnen getallen: 1.4 doel 2, 1.5 doel 1, 1.6 doel 3, 1.8 doel 1.

2

De leerlingen kunnen in concrete situaties rekenhandelingen uitvoeren m.b.t. het aantal en de hoeveelheid.

OD 1.4

3

De leerlingen kunnen deze rekenhandelingen verwoorden door gebruikmaking van de juiste begrippen. (zie leerlijn 1.9 doel 1)

OD 1.4 ET 1.9

4

De leerlingen kunnen volgende begrippen i.v. m. bewerkingen hanteren:

ET 1.3 1.9

-

optellen - aftrekken - vermenigvuldigen delen - plus - min - som - verschil vermeerderen - verminderen ........................

-

quotiënt - deeltal - deler - rest - term factor - product - aftrektal - aftrekker vergroten - verkleinen .................................

-

macht - exponent - wortel - kwadraat. ........

5

De leerlingen kunnen de symbolen - die bij de rekenhandelingen horen - benoemen, noteren en hanteren: +, -, x en : Ö (wortel) en ² (kwadraat)

ET 1.6 1.9

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN


OD ET

BEWERKINGEN kleuters

1ste fase

1.10

OPTELLEN EN AFTREKKEN TOT 10

1

De leerlingen kunnen optellen tot 10.

2

De leerlingen kunnen bij optellingen, waarvan de som £ 10, de ontbrekende term vinden (indirecte sommen of stipsommen).

3

De leerlingen kunnen van een natuurlijk getal £ 10 een natuurlijk getal aftrekken.

4

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen £10 splitsen in 2 of meer getallen. Bv. 6 = 3 en 3, 4 en 2, 5 en 1, ...

5

De leerlingen kunnen bij aftrekkingen waarbij aftrektal en aftrekker £ 10, de ontbrekende term vinden (indirecte sommen of stipsommen).

6

De leerlingen kunnen in een vergelijking met getallen £ 10, ontbrekende symbolen (vergelijkingssymbool, bewerkingsteken, getal) invullen.

ET 1.10

ET 1.10

ET 1.9

2de fase

101


6j.

->

8j.

->

10j.

->

102



OD ET

DOMEIN 1: GETALLEN kleuters

1ste fase

1.11

OPTELLEN

1 -

De leerlingen kunnen twee of meer getallen optellen: natuurlijke getallen; som £ 20 ....................

-

natuurlijke getallen; som £ 100 ..................

-

natuurlijke getallen; som £ 1000 ................

-

gelijknamige breuken .................................

-

natuurlijke getallen; som > 1000 ................

-

natuurlijk getal + kommagetal (of breuk/gemengd getal) .................................

-

kommagetal (of breuk/gemengd getal) + natuurlijk getal ............................................

-

kommagetal (of breuk/gemengd getal) + kommagetal (of breuk/gemengd getal) ......

-

ongelijknamige breuken (gemengde getallen) ......................................................

2

De leerlingen kunnen bij optellingen, flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toepassen, op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van de getallen. het splitsen van getallen .............................. bv. 47 + 26 = (47 + 20) + 6 = 67 + 6 = 73 /\ 20 6 6 + 7 = (6 + 6) + 1 =12 + 1 = 13 /\ 6 1

-

(verdubbelregel) -

het aanvullen van getallen (compenseren) ... bv. 47 + 26 = (47 + 30) - 4 = 77 - 4 = 73

-

het toepassen van de commutativiteit (verwisselregel) ........................................... bv. 6+9=9+6

ET 1.13

ET 1.23

ET 1.11 1.13 1.14

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN


OD ET


1ste fase

-

het toepassen van de associativiteit (schakelen) ................................................. bv. (8 + 3) + 4 = 8 + (3 + 4) = 11 + 4 = 8 + 7

-

het groeperen van getallen .......................... bv. 13 + 25 + 17 + 15 = (13 + 17) + (25 + 15) = 30 + 40 = 70

-

gelijknamig maken van breuken. ................. bv.

-

2 3 8 9 + = + 3 4 12 12

breuken in kommagetallen omzetten en omgekeerd .................................................. bv.

0,25 +

ET 1.22

ET 1.18

1 = 0,25 + 0,25 4

3

De leerlingen kunnen grote getallen met eindnullen optellen. bv. 32 000 + 12 000

ET 1.13

4

De leerlingen zijn in staat tot onmiddellijke reproductie van correcte resultaten bij optellingen tot 20.

ET 1.10

2de fase

103


6j.

->

8j.

->

10j.

->

104



OD ET


1ste fase

1.12

AFTREKKEN

1

De leerlingen kunnen twee of meer getallen van elkaar aftrekken:

-

natuurlijke getallen £ 20 ..............................

-

natuurlijke getallen £ 100 ............................

-

natuurlijke getallen £ 1000 ..........................

-

gelijknamige breuken ..................................

-

natuurlijke getallen > 1000 ..........................

-

kommagetal - natuurlijk getal ......................

-

natuurlijk getal - kommagetal (of breuk, gemengd getal) ............................................ kommagetal (of breuk/gemengd getal) kommagetal (of breuk/gemengd getal) .......

-

ongelijknamige breuken (gemengde getallen) ......................................................

2

De leerlingen kunnen bij aftrekkingen flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toepassen, op basis van inzicht in de eigenschappen van be-werkingen en in de structuur van de getallen. het splitsen van getallen............................... bv. 36 - 28 = (36 - 20) - 8 = 16 - 8 = 8 /\ 20 8

-

ET 1.13

ET 1.23

ET 1.11 1.14

-

het aanvullen van getallen (compenseren). bv. 74 - 57 = (74 - 60) + 3 = 14 + 3 = 17

-

gelijknamig maken van breuken ..................

-

breuken en kommagetallen in elkaar omzetten .....................................................

3

De leerlingen kunnen grote getallen met eindnullen van elkaar aftrekken. bv. 400 - 100

ET 1.13

4

De leerlingen zijn in staat tot onmiddellijke reproductie van correcte resultaten bij aftrekkingen met getallen tot 20.

ET 1.10

5

De leerlingen zien in dat de aftrekking niet commutatief is en niet associatief is. bv. 5-3¹3-5 8 - 5 = (8 - 3) - 2 ¹ 8 - (3 - 2)

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN


1.13 1

OD ET

ET 1.10 1.11

bv. 2 + 2 + 2 = 3 x 2

2

De leerlingen zien in dat bij een deling of -

een hoeveelheid in gelijke delen verdeeld wordt (verdelingsdeling)

ET 1.10 1.11

dat er nagegaan wordt hoeveel keer een getal in een hoeveelheid gaat (verhoudingsdeling). bv. 21 : 7 = 3 want 7 x 3 = 21 21 : 7 = 3 want 7 gaat 3 keer in 21

3

De leerlingen kunnen vermenigvuldigingen verbinden aan de corresponderende delingen.

ET 1.10 1.11

bv. 3 x 6 = 18 « 18 : 3 = 6

4

De leerlingen zijn in staat tot een onmiddellijke reproductie van correcte resultaten bij tafels van vermenigvuldiging tot en met de tafel van 10 en de bijhorende deeltafels.

kleuters 1ste fase

MAAL- EN DEELTAFELS TOT 100

De leerlingen zien in dat de vermenigvuldiging een verkorte vorm is van herhaald optellen van gelijke getallen.

BEWERKINGEN

ET 1.10

2de fase

105

lagereschoolkinderen 6j.

->

8j.

->

10j.

->

106



1.14 1

OD ET

-

natuurlijke getallen; product £ 100 ..........

-

natuurlijke getallen £ 100; product £ 1000

-

natuurlijke getallen; product ³ 1000 .......

-

natuurlijk getal x kommagetal (ook < 1) (of breuk/gemengd getal) .........................

-

kommagetal (ook < 1) (of breuk/gemengd getal) x natuurlijk getal..............................

-

kommagetal (ook < 1) (of breuk) x kommagetal (ook < 1) (of breuk)...............

2

De leerlingen kunnen bij een stambreuk als operator de gelijkwaardigheid hanteren van: een breuk x... een breuk van ... ... delen door de noemer van de breuk. bv. 1/3 van 21 = 1/3 x 21 = 21 : 3

3

De leerlingen kunnen bij een breuk als operator de gelijkwaardigheid hanteren van: een breuk x... een breuk van ... ... delen door de noemer en vermenigvuldigen met de teller van de breuk. bv. 2/3 van 21 = 2/3 x 21 = (21 : 3) x 2

4

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen vermenigvuldigen met 10 .............................................................. -

100 ............................................................

-

1000 ..........................................................

-

10 000 .......................................................

-

100 000. ....................................................

kleuters 1ste fase

VERMENIGVULDIGEN

De leerlingen kunnen twee of meer getallen met elkaar vermenigvuldigen:

DOMEIN 1: GETALLEN

ET 1.13 1.14

ET 1.23

ET 1.13

2de fase


->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN Bewerkingen 5

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen vermenigvuldigen met veelvouden van 10.

6

De leerlingen kunnen kommagetallen vermenigvuldigen met machten van 10. bv. 14,7 x 10 4,7 x 100 14,7 x 1000

7

De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigingen, flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toepassen, op basis van inzicht in de eigenschappen van de bewerkingen en in de structuur van de getallen. het hanteren van steunpunten ..................... bv. 19 x 7 is één maal 7 minder dan 20 x 7 -

het toepassen van de commutativiteit (verwisselregel) .......................................... bv. 3 x 6 = 6 x 3 23 x 3 = 3 x 23

-

het toepassen van de associativiteit (schakelen) ................................................. bv. 7 x 2 x 5 = 7 x 10 = 70

-

het toepassen van de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling (= splitsen van het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldiger) ...................................... bv. 6 x 5 = (5 + 1) x 5 = (5 x5) + (1 x 5) = 25 + 5 = 30 7 x 124 = 7 x (100 + 20 + 4) = (7 x 100) + (7 x 20) + (7 x 4) = 700 + 140 + 28 = 868

-

het toepassen van de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de aftrekking ..... bv. 9 x 5 = (10 - 1) x 5 = (10 x 5) - (1 x 5) = 50 - 5 = 45 4 x 73 = 4 x (75 - 2) = (4 x 75) - (4 x 2) = 300 - 8 = 292

-

met inzicht vermenigvuldigen met

OD ET

BEWERKINGEN kleuters 1ste fase

2de fase

107


->

8j.

->

10j.

->

ET 1.13 ET 1.13

ET 1.11 1.13 1.14

De leerlingen kunnen een int

de helft, een halve, een vierde (e

108



van een kommagetal een breuk maken en omgekeerd ................................................. bv. 2 x 0,75 = 2 x

-

8

3 6 = 4 4

van een percentage een breuk of een kommagetal maken .................................... bv. 40 % van 20 =

kleuters 1ste fase

machten en veelvouden van 10 naar analogie met de tafels ................................ -

OD ET

DOMEIN 1: GETALLEN

2 van 20 = 8 5

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 .................... De leerlingen kunnen kommagetallen vermenigvuldigen met 5; 25 en 50 .....................

2de fase


->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

1.15 1

DELEN

De leerlingen kunnen twee getallen door elkaar delen: -

natuurlijke getallen; quotiënt, deler en deeltal £ 100 ; zonder rest ......................... (60 : 3 / 60 : 20 / 75 : 5 / 75 :25)

-

natuurlijke getallen; quotiënt, deler en deeltal £ 100 ; met rest .............................. (60 : 7 / 65 : 20 / 45 : 7 / 47 : 25)

-

natuurlijke getallen; quotiënt, deler en deeltal £ 1000 ; zonder rest ....................... (560 : 10 / 560 : 100 / 450 : 9 / 336 : 7 / 388 : 4 / ...)

-

natuurlijke getallen; quotiënt, deler en deeltal £ 1000 ; met rest ............................ (566 : 10 / 566 : 100 / 455 : 9 /

-

392 : 7 / 378 : 4 / ...) natuurlijke getallen delen door:

10 ......... 100 .......

-

-

1000 ..... Het quotiënt blijft een natuurlijk getal. natuurlijke getallen delen door: 10; 100; 1000 Het quotiënt wordt een kommagetal. ......... kommagetallen delen door: 10; 100 ...........

-

natuurlijke getallen delen door 10 000, 100 000, ... ................................................

-

kommagetallen delen door 1000, 10 000, 100 000, ... ................................................

-

natuurlijke getallen delen door

-

25; 50... Het quotiënt blijft een natuurlijk getal. natuurlijke getallen delen door: 5; 25; 50 .. Het quotiënt wordt een kommagetal. kommagetallen delen door: 5; 25; 50 .........

-

5 ...........

natuurlijke en kommagetallen delen door 0,1 / 0,01 / 0,001 ....................................... natuurlijk getal : kommagetal of breuk ...... kommagetal of breuk : natuurlijk getal...... kommagetal of breuk : kommagetal of breuk .........................................................

ET 1.13


1ste

2de

fase

fase

109


6j.

->

8j.

->

10j.

->

110


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

2

3

De leerlingen zien in dat de deling niet commutatief is ( 6 : 3 ¹ 3 : 6). De leerlingen zien in dat de deling niet associatief is

ET 1.14 ET 1.14

bv. (15 : 3) : 2 ¹ 15 : (3 : 2) 4

De leerlingen kunnen bij delingen, flexibel en inzichtelijk een doelmatige oplossingsmethode toepassen, op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van de getallen. -

ET 1.11 1.13 1.14

het hanteren van steunpunten ..................... bv. 6550 : 5 = 2 x (6550 : 10) = 2 x 655 = 1310

-

een getal opsplitsen in factoren .................. bv. 120 : 4 = (120 : 2) : 2 = 60 : 2 = 30

-

het toepassen van de distributiviteit van de deling t.a.v. de optelling (= splitsen van het deeltal) ................................................. bv. 75 : 5 = (50 : 5) + (25 : 5) = 10 + 5 = 15

-

het toepassen van de distributiviteit van de deling t.o.v. de aftrekking .......................... bv. 45 : 5 = (50 : 5) - ( 5 : 5) = 10 - 1 = 9 395 : 5 = (400 : 5) - (5 : 5) = 80 - 1 = 79

-

met inzicht delen in getallen met nullen. .... bv. 3000 : 15 = 200 ® 30 : 15 = 2 ; deeltal is 100 keer groter : quotiënt is ook 100 keer groter.

-

het toepassen van de eigenschap 'het quotiënt verandert niet van waarde als men het deeltal en de deler met eenzelfde getal vermenigvuldigt of deelt............................ bv. 123 : 5 = 246 : 10 = 24,6

1.16

RELATIE TUSSEN BEWERKINGEN


1ste

2de

fase

fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

1

De leerlingen weten dat optellen en aftrekken omgekeerde bewerkingen zijn en passen dit toe als controlemiddel.

2

De leerlingen weten dat vermenigvuldigen en delen omgekeerde bewerkingen zijn en passen dit toe als controlemiddel.

3

De leerlingen kunnen in sommige zinvolle contexten gebruikmaken van de relaties tussen bewerkingen.


1ste

2de

fase

fase

ET 1.11

ET 1.11

ET 1.11

bv. winkelsituatie: teruggeven op 1000 fr. (aftrekking) wordt uitgevoerd door bij te passen tot 1000 fr.

4

De leerlingen kunnen in een vergelijking de ontbrekende symbolen (vergelijkingssymbool, bewerkingsteken, getal) invullen.

bv. 8 . 6 = 4 . 2

5

6

De leerlingen weten dat bij een serie opeenvolgende bewerkingen de vermenigvuldiging en de deling voorgaan op de optelling en de aftrekking en dat het gebruik van haakjes dit kan doorbreken.

ET 1.6

De leerlingen weten dat machtsverheffing een verkorting is van herhaald vermenigvuldigen: bv. 2³ = 2 x 2 x 2

1.17

WERKEN MET NUMERIEKE VERHOUDINGEN

111


6j.

->

8j.

->

10j.

->

112


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

1

2

De leerlingen kunnen een numerieke verhouding vaststellen, bv. de verhouding tussen de rode en zwarte kralen is 2 op 3.

ET 1.21

De leerlingen beheersen een passende strategie om verhoudings- en kansproblemen op te lossen. bv. schikken in een verhoudingstabel, opstellen van een rooster

3

De leerlingen kunnen twee of meer numerieke verhoudingen vergelijken, bv. is de verhouding

ET 1.21

3 : 5 gelijkwaardig aan 5 : 7 ? ............................ Bij gelijkwaardige verhoudingen kunnen zij de evenredigheidsfactor berekenen, bv. 5 : 12 en 25 : 60 zijn gelijkwaardig, de evenredigheidsfactor is 5. ..................................

4

5

De leerlingen kunnen gelijkwaardige verhoudingen maken, al dan niet met een gegeven evenredigheidsfactor. ..........................

1.21

Ze kunnen een verhouding omzetten in een breuk of een procent en omgekeerd.

ET

Ze kunnen ook een procent berekenen ...............

1.25

De leerlingen kunnen bij twee gelijkwaardige verhoudingen een ontbrekend verhoudingsgetal (de vierde evenredige) vinden.

ET

6

De leerlingen kunnen vaststellen of twee verhoudingen recht of omgekeerd evenredig zijn.

7

De leerlingen beseffen dat niet alle verhoudingen lineair zijn. v. de kans op succes en het aantal pogingen

ET

1.21


1ste

2de

fase

fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

1.18 1

TABELLEN EN GRAFIEKEN

De leerlingen kunnen 2 (of meer) stapels/rijen gelijke voorwerpen (bv. brikken melk/choco) vergelijken naar aantal aan de hand van de hoogte/lengte van de stapels/rijen, en deze vergelijking verwoorden.

2

De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen voorwerpen vergelijken naar aantal door de reeksen voorwerpen te vervangen door stapels/rijen gelijke blokken, en deze vergelijking verwoorden.

3

De leerlingen kunnen 2 (of meer) reeksen voorwerpen vergelijken naar aantal door de reeksen voorwerpen te vervangen door gelijke vakken en deze vergelijking verwoorden.

4

5

6

De leerlingen kunnen stapels/rijen schematisch voorstellen door: -

een symbool in elk corresponderend vak te tekenen; ......................................................

-

slechts één symbool aan de rij te koppelen (legende). ...................................................

De leerlingen kunnen een beeldgrafiek samenstellen: -

1 teken = 1 voorwerp; .................................

-

1 teken = het in de legende gegeven aantal voorwerpen. ...............................................

De leerlingen kunnen kwantitatieve gegevens aflezen op een horizontaal of verticaal opgebouwde beeldgrafiek en met deze gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren: -

1 teken = 1 voorwerp; .................................

-

1 teken = het in een legende gegeven aantal voorwerpen ................................................

OD 1.1

ET 1.8


1ste

2de

fase

fase

113


6j.

->

8j.

->

10j.

->

114


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

7

8

9

De leerlingen kunnen reeksen voorwerpen in een blokgrafiek voorstellen en daarbij de verschillende reeksen benoemen: -

1 teken = 1 voorwerp; .................................

-

1 teken = het in de legende gegeven aantal voorwerpen;................................................

-

1 teken = een zelf te bepalen aantal voorwerpen. ................................................

De leerlingen kunnen van een blokgrafiek kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren: -

1 teken = 1 voorwerp; .................................

-

1 teken = het in de legende gegeven aantal voorwerpen. ................................................

De leerlingen kunnen zelfopgebouwde blokgrafieken over dezelfde gegevens vergelijken en de verschillen interpreteren.

10 De leerlingen kunnen een enkelvoudige tabel samenstellen. bv. leerjaar aantal lln. 1

17

2

21

3

24

...

...

11 De leerlingen kunnen van een enkelvoudige tabel kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren. 12 De leerlingen kunnen een kruistabel (= indeling op meerdere categorieën) samenstellen. bv. leerj.

jongens meisjes totaal

1

9

8

17

2

11

10

21

3

12

14

26

...


1ste

2de

fase

fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

13 De leerlingen kunnen van een kruistabel kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren. 14 De leerlingen kunnen in een kruistabel verbanden tussen gegevens ontdekken en interpreteren. 15 De leerlingen kunnen bij een staafgrafiek (of histogram) de betekenis van de twee assen afleiden en vanuit deze gegevens de staven benoemen. 16 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of histogram) de keuze van de intervallen, de maateenheden, de meetpunten en de verhouding met de reële kwantitatieve gegevens vaststellen. 17 De leerlingen kunnen van een staafgrafiek (of histogram) kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige berekeningen uitvoeren. 18 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of histogram) samenstellen. 19 De leerlingen kunnen een staafgrafiek (of histogram) interpreteren. 20 Als in een staafgrafiek een evolutie wordt weergegeven, kunnen de leerlingen die ontdekken en verwoorden. Dit soort staafgrafiek kunnen ze omzetten naar een lijngrafiek. 21 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek de keuze van de intervallen, de maateenheden en de verhouding met de reële kwantitatieve gegevens vaststellen. 22 De leerlingen kunnen van een lijngrafiek kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige bewerkingen uitvoeren. 23 De leerlingen kunnen een lijngrafiek samenstellen. 24 De leerlingen kunnen, bij een lijngrafiek, schattingen van kwantitatieve gegevens maken tussen twee meetpunten. 25 De leerlingen kunnen de evolutie die door een lijngrafiek wordt weergegeven ontdekken, verwoorden en interpreteren.

ET 5.2*


1ste

2de

fase

fase

115


6j.

->

8j.

->

10j.

->

116


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET

26 De leerlingen kunnen van een cirkelgrafiek (of sectordiagram) verwoorden dat: -

de oppervlakte van de cirkel het totaal aanduidt; .....................................................

-

de sectoren de delen of percentages van het geheel aanduiden. .......................................

27 De leerlingen kunnen van een cirkeldiagram (of sectordiagram) kwantitatieve gegevens aflezen en met deze gegevens eenvoudige bewerkingen uitvoeren. 28 De leerlingen kunnen een cirkelgrafiek (of sectordiagram) tekenen aan de hand van gegevens. Op de cirkel is de verdeling gegeven. 29 De leerlingen kunnen het gemiddelde bepalen van een aantal hoeveelheden aangeboden in een opsomming, een tabel, een grafiek. 30 De leerlingen kunnen verschillende grafische voorstellingen van dezelfde gegevens met elkaar vergelijken en kritisch beoordelen. 31 De leerlingen kunnen van een aantal hoeveelheden, aangeboden in een opsomming, een tabel of een grafiek, de modus en de mediaan bepalen.

ET 5.2*


1ste

2de

fase

fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1.19 1

2

SCHATTEN

De leerlingen kunnen het resultaat van een te maken bewerking schatten. De leerlingen kunnen schattingsstrategieën vlot toepassen

ET 1.16 ET 1.16

bv. -

bepalen van de beste schatting 5 x 47 ® 5 x 40 of 5 x 50 of 5 x 60 of ...

-

groter - kleiner, meer - minder 4200 : 7 = 600 dus 4235 : 7 is meer dan 600

-

plaatsen tussen tientallen, honderdtallen, ... 12 x 26 ligt tussen 10 x 20 en 20 x 30

-

rekenen met afgeronde getallen 382 + 819 ® 400 + 800

3

4

De leerlingen maken spontaan een schatting bij cijferoefeningen en contextopgaven. De leerlingen hanteren de schatting als een handig controlemiddel bij cijferoefeningen en contextproblemen.

ET 1.16 ET 1.16

bv. bij cijferen: verifiëren of de komma (juist) geplaatst is. 5

Indien de schatting te veel afwijkt van het bekomen resultaat bij cijferoefeningen en contextproblemen, sporen de leerlingen spontaan de fout op.

6

In een bespreking van een opgave, voorgesteld in vorige doelen, kunnen de leerlingen hun schatprocedure verwoorden, vergelijken met andere procedures en de meest effectieve vinden en toepassen.

7

De leerlingen weten wanneer een exacte of een geschatte berekening aangewezen is en kunnen dit toepassen in contexten.

8

De leerlingen kunnen bij schatting de graad van nauwkeurigheid (te groot, te klein) bepalen en aanpassen aan de context.

ET 1.16

2de fase

117


6j.

->

8j.

->

10j.

->

118


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1.20 1

CIJFEREND OPTELLEN

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen cijferend optellen.

ET 1.24

( max. 5 getallen, som < 10 000 000)

2

3

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen en kommagetallen cijferend optellen.

De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend optellen.

ET 1.24

ET 1.24

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN


OD ET


1ste fase

1.21 1

CIJFEREND AFTREKKEN

De leerlingen kunnen natuurlijke getallen cijferend aftrekken.

ET 1.24

(aftrektal < 10 000 000 - max. 8 cijfers)

2

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal cijferend aftrekken van een kommagetal.

3

De leerlingen kunnen kommagetallen cijferend aftrekken zowel van een natuurlijk getal als van een kommagetal.

ET 1.24

2de fase

119


6j.

->

8j.

->

10j.

->

120


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1.22 1

CIJFEREND VERMENIGVULDIGEN

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een ander natuurlijk getal bestaande uit:

-

één cijfer.....................................................

-

twee cijfers .................................................

-

drie cijfers ..................................................

2

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal en/of kommagetal cijferend vermenigvuldigen met een ander natuurlijk getal en/of kommagetal (vermenigvuldiger maximum drie cijfers product maximum 8 cijfers).

3

De leerlingen kunnen bij vermenigvuldigen met een kommagetal de plaats van de komma bepalen via een schatting of via de som van het aantal cijfers na de komma in beide factoren.

4

De leerlingen kunnen de commutativiteit van de vermenigvuldiging toepassen bij de keuze van de vermenigvuldiger voor de uitvoering van het algoritme.

ET 1.24

ET 1.24

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1.23 1

CIJFEREND DELEN

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal cijferend delen door: -

een natuurlijk getal van één cijfer tot op 1 nauwkeurig. ..............................................

-

een natuurlijk getal van twee cijfers tot op 1 nauwkeurig .............................................

-

een natuurlijk getal van één cijfer tot op 0,1 en 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig). .............................................

De leerlingen kunnen een kommagetal cijferend delen door een natuurlijk getal van één cijfer tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig) . .....................................................

De leerlingen kunnen een natuurlijk getal of kommagetal cijferend delen door : -

een natuurlijk getal bestaande uit meer dan één cijfer tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig). .......................

-

een kommagetal bestaande uit 2 of 3 cijfers tot op 1 - 0,1 - 0,01 nauwkeurig (tot op 0,001 nauwkeurig). ........................

2

De leerlingen kunnen de eigenschap 'het quotiënt verandert niet van waarde als men het deeltal en de deler vermenigvuldigt met of deelt door eenzelfde getal' toepassen om bv. de komma of de nullen weg te werken.

3

De leerlingen kunnen na de uitvoering van het algortime van de deling de juiste waarde van het resterend getal bepalen.

1.24

CIJFEREN ALGEMEEN

ET 1.24

2de fase

121


6j.

->

8j.

->

10j.

->

122


Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1

De leerlingen kunnen de getallen van een cijferoefening ordelijk schikken, waar nodig aanvullen met nullen en de oefening zorgvuldig uitwerken.

2

De leerlingen kunnen het resultaat van een cijferoefening controleren door: -

het resultaat te vergelijken met de schatting, ...................................................

-

de omgekeerde bewerking uit te voeren, ....

-

de bewerking uit te voeren met de zakrekenmachine, ......................................

-

het resultaat te toetsen aan de realiteit die in de context is weergegeven, ....................

-

de negenproef toe te passen ........................

en beseffen ook de beperkingen van elk van deze strategieën. 3

4

Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen een ontbrekende term berekenen. Bij cijferoefeningen kunnen de leerlingen ontbrekende cijfers in de termen vinden (= vleksommen) bv.

629 x

. 5 3.4.

. . 8 7

5

De leerlingen kunnen reflecteren over de cijferalgoritmes. bv. De leerlingen kunnen fouten in eigen of andermans uitwerking opsporen, corrigeren en ontwikkelen strategieën om deze fouten te vermijden.

6

De leerlingen hebben weet van andere cijferalgoritmes.

ET 1.11 ET 1.11

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN GETALLEN

Domein 1: GETALLEN

OD

Bewerkingen

ET


1ste fase

1.25

DE ZAKREKENMACHINE

1

De leerlingen kunnen de zakrekenmachine aanen uitzetten; ze kunnen ermee experimenteren en exploreren het gebruik ervan.

2

De leerlingen kunnen de volgende toetsen correct gebruiken: +

-

x

¸

=

ET 1.6

............................................

1.26

............................................

1.27

. (kommatoets) ........................................... C- en CE-toets ........................................... % en geheugentoets .................................. 3

De leerlingen weten wanneer ze een zakrekenmachine zinvol kunnen gebruiken.

4

De leerlingen kunnen verbaal aangeboden natuurlijke getallen intikken.

5 6

Ze kunnen verbaal aangeboden kommagetallen intikken.

ET 1.26 ET 1.26

Ze kunnen de zakrekenmachine vlot en correct gebruiken bij de hoofdbewerkingen met grotere getallen in zinvolle contexten en/of als controlemiddel. ................................................. Ze kunnen dit ook met:

7

-

kommagetallen;

-

grotere reeksen getallen. ............................

Ze kunnen de zakrekenmachine correct gebruiken bij het omzetten van breuken in kommagetallen.

1.26 1.27

8

Ze kunnen de zakrekenmachine correct gebruiken om percentages te berekenen.

ET 1.25

9

Ze kunnen een reeks opeenvolgende bewerkingen (eventueel met haakjes ) correct berekenen met de zakrekenmachine.

10 Ze kunnen met de zakrekenmachine de rest bepalen van een deling. 11 De leerlingen weten dat er verschillende rekenmachines bestaan en zijn in staat om deze te exploreren.

ET

2de fase

123


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 2


REKENEN TOT 20

125

Hoofdstuk 2: DIDACTISCHE KATERNEN GETALLEN 1

Rekenen tot 20

1.1 Inleiding De periode van het aanvankelijk rekenen beschouwen we als die periode waarin het kind leert om praktisch gebruik te maken van 'getallen en andere rekensymbolen'. Dit praktisch gebruikmaken van getallen en rekensymbolen onderstelt een voortschrijdend proces van mathematisering. Bij dit proces wordt er vertrokken van de realiteit en de handelingswereld van het kind om via materialen (rekenrek, multilinkmateriaal ...), modellen (busmodel, teltrein ...), schema's (lege getallenlijn ...), tabellen en notatiewijzen uiteindelijk, in een latere fase, tot het formele rekenen te komen. Rekenen is mentaal handelen, maar kan (moet kunnen) terugvallen op concreet handelen. Vandaar het belang van het vertrekken vanuit de realiteit en van het veelvuldig gebruik van materiaal. Telervaringen sluiten zeer nauw aan bij de leefwereld van het kind. Tijdens het spel van kinderen wordt er onbewust heel wat geteld. Het vertrekpunt voor het aanvankelijk rekenen in het eerste leerjaar is dan ook het tellen, maar de getelde hoeveelheden worden dan wel onmiddellijk gestructureerd.

126


DOMEIN 1: GETALLEN

1.2 Rekenen tot 10 Stappen in het proces

Materialen

Stap 1: Aftellen Tijdens deze fase leren de kinderen de telwoorden in de juiste volgorde opzeggen. Er worden geen hoeveelheden geteld. De kwantitatieve ordeningsbegrippen: meer, minder, evenveel, komen tijdens deze fase ook aan bod. De hoeveelheden worden vergeleken door middel van de één-één-relatie. Voor meer suggesties bij deze stap verwijzen we naar het didactisch katern Ontluikende gecijferdheid waar zowel op begripsvorming als op tellen dieper wordt ingegaan.

liederen en/of versjes aftelspelletjes

Stap 2: Resultatief tellen De kennis van de telrij wordt gekoppeld aan het tellen van hoeveelheden. (Hoeveel zijn er?) Het resultatief tellen is zeer complex. Het moeilijkheidsniveau wordt bepaald door: - de verinnerlijking: we laten de voorwerpen manipuleren, vervolgens aanwijzen en ten slotte tellen met de ogen. - de organisatie van het materiaal: een geordende rij is gemakkelijker dan een ongestructureerde hoop. Dezelfde voorwerpen tellen makkelijker dan verschillende. Sommige dingen kun je niet aanraken, andere moet je tellen terwijl ze bewegen. - de context: hoe dichter de telervaring aansluit bij de concreet herkenbare situatie, hoe makkelijker; kleurpotloden in een doos tellen is makkelijker dan tellen hoeveel appels er getekend staan. Ook over tellen en resultatief tellen vind je meer in het didactisch katern Ontluikende gecijferdheid.

allerlei materialen uit de reële leefsituatie van de kinderen: kleurpotloden, speelgoed, dingen uit de poppenkast, materialen in de kast, de stoelen en tafels, de jassen aan de kapstok, de fietsen in het fietsrek, de appels onder de boom, de kinderen zelf, ...

schematisch voorgestelde realiteiten

Stap 3: Koppeling symbool - hoeveelheid We leren de cijfersymbolen aan: de leerling neemt een gepaste hoeveelheid bij een gegeven cijfer en omgekeerd. -

-

concreet materiaal schematisch materiaal (hoeveelheidskaarten) symboolkaarten

HOOFDSTUK 2


Stap 4: Hoeveelheden vergelijken

(en

hun

REKENEN TOT 20

127

symbolen)

Al tellend (niet meer door de één-één-relatie) bepaalt het kind of een hoeveelheid meer of minder is dan een andere. Er worden ook symbolen (cijfers) vergeleken.

concreet materiaal schematisch materiaal (hoeveelheidskaarten)

-

symboolkaarten

Stap 5: Kleine hoeveelheden 'op zicht' herkennen.

-

Deze stap is fundamenteel. Het herkennen van kleine hoeveelheden zonder te tellen is een voorwaarde voor het automatiseren van de basissommen tot 10. De hoeveelheden worden gestructureerd aangeboden. In een latere fase worden de hoeveelheden ook ongestructureerd aangeboden en door de kinderen zelf in een vaste structuur gelegd of getekend.

-

hoeveelheidskaarten met een structuur (steeds dezelfde!) vijfstructuur kwadraat domino flashkaarten

Stap 6: Splitsen van hoeveelheden Met concreet materiaal worden de reeds aangeleerde hoeveelheden en hun symbolen gestructureerd in twee groepjes. Het is een zuiver materiële fase: de splitsing wordt gelegd, verwoord en eventueel genoteerd. Het automatiseren volgt later.

concrete materialen splitsdozen

Stap 7: Ordenen van de getallen op de getallenlijn Alle gekende getallen worden geordend van klein naar groot en gesitueerd op een getallenlijn. De kinderen leren deze lijn gebruiken als 'telstructuur' Ze leren door- en terugtellen (van 5 door tot 8, van 8 terug tot 3). Dit door- en terugtellen is een belangrijke handelingsstructuur voor de latere automatisatie van de basissommen. Alle getallen tot 10 worden op dezelfde wijze aangepakt. Uiteindelijk kunnen de kinderen de hoeveelheden tot 10 tellen, benoemen, ordenen en structureren.

een klassikale 'ballenketting' (een ketting met ballen i.p.v. kralen) een getallenlijn

128


DOMEIN 1: GETALLEN

Stap 8: Omzetten van een handeling in een formule (HÞF) We gebruiken getallen niet enkel om hoeveelheden te benoemen, maar ook (en vooral) om erbij- en erafhandelin-gen te ‘mathematiseren’. De bewerkingssymbolen (+, -) en het gelijkheidsteken (=) worden in deze fase aangeleerd. Bij het omzetten van een verhaal in een som en bij het bedenken van een verhaal bij een som, kan gebruikgemaakt worden van modellen. Zo een model moet in een zinvolle context geplaatst kunnen worden. Een voorbeeld daarvan is het 'busmodel’ of de ‘busverhaaltjes'.

reële situaties prentsituaties

-

bus- of treinmodel

-

bewerkings- en cijfersymbolen

HOOFDSTUK 2


Stap 9: Automatiseren van de sommen tot 10 De sommen tot 10 moeten vlot uit het hoofd opgelost kunnen worden. Op zeker moment moeten we dus het materiaal kunnen weglaten wanneer we sommen gaan maken. Om in deze fase tellen te vermijden, laten we de kinderen met een kralenketting of met een rekenrek werken. Door het werken met gestructureerde materialen, groeien vaste getalbeelden en kunnen kinderen hoeveelheden in één keer identificeren (zie stap 5). Wij opteren voor materialen met een vijfstructuur (kralenketting, rekenrek) omdat ze ook kunnen worden gebruikt bij het rekenen tot 20 en omdat ze een gemakkelijke overgang naar de getallenlijn en later ook naar een kralenketting met 100 kralen mogelijk maken. Ook bieden ze het voordeel dat ze voor kinderen heel gemakkelijk te hanteren zijn. Het is echter evident dat ook andere materialen (met bv. een kwadraatstructuur) kunnen worden gebruikt om de sommen tot 10 stapsgewijs te automatiseren. Wel is het belangrijk dat de voorstelling van een bepaalde hoeveelheid (bv. 3) zichtbaar blijft in de volgende hoeveelheden (bv. in 4, in 6). Bij dominobeelden is dit niet het geval. Het gebruik van Cuisenaire-staafjes heeft als nadeel dat het aantal (bv. 5) niet zichtbaar is. Het getal wordt gekoppeld aan een kleur (bv. 5 is geel) en een lengte, maar de kinderen zien in de staaf geen '5' blokjes, eenheden. Hierna bespreken we aan de hand van het gebruik van de kralenketting een aantal stappen om de sommen tot 10 stapsgewijs te verinnerlijken. 9.1 De sommen worden volledig materieel op de kralen-ketting geschoven. 9.2 Een gedeelte van de handeling wordt innerlijk verricht. Enkel het uitgangsgetal wordt gelegd, erbij en eraf wordt ‘gekeken’. Verwoording zoals in 9.1 9.3 De handeling wordt innerlijk verricht. De kinderen mogen wel naar de kralenketting wijzen. De verwoording blijft zoals in 9.1 9.4 De kralenketting blijft voor de kinderen liggen. Er wordt niet meer hardop verwoord. De leerling verwoordt innerlijk, terwijl hij kijkt. Hij mag wel gebaren maken om zijn verwoording te ondersteunen. 9.5 De kralenketting wordt niet meer gebruikt. Er is wel een groot klassikaal schema van de ketting, dat biedt visuele ondersteuning, nu echter in twee dimensies. 9.6 De sommen worden nu volledig mentaal opgelost.

REKENEN TOT 20

kralenketting (met 2 vijfstructuren) rekenrek

129

130


DOMEIN 1: GETALLEN

Stap 10: Automatiseren van de splitsingen tot 10 De automatische kennis van de splitsingen tot 10 is onontbeerlijk voor het verdere rekenproces. 10.1 Met behulp van de kralenketting wordt een hoeveelheid gesplitst, de twee termen worden benoemd en de splitsing wordt genoteerd. 10.2 Zie 10.1 De splitsing wordt niet meer uitgevoerd op de kralenketting, maar visueel aangeboden in schematische vorm. De kinderen verwoorden en noteren in T-schema of als som (9=5+4) 10.3 Zie 10.2 De splitsing wordt niet meer visueel aan-geboden. De leerling krijgt enkel nog steun van het volledige (ongesplitste) getal. 10.4 De splitsingen worden volledig mentaal opgelost.

kralenketting rekenrek splitsingsdoosjes (met deksel dat in 2 helften opengaat)

Verworven deelvaardigheden Alhoewel de hierboven beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn en in elkaar overvloeien, moeten we erover waken dat een aantal deelvaardigheden zeker verworven zijn. Tussentijds kunnen volgende deelvaardigheden worden getoetst: -

kunnen tellen (aftellen en resultatief); de koppeling symbool - hoeveelheid beheersen; hoeveelheden en hun symbolen kunnen vergelijken; kleine hoeveelheden op zicht kunnen herkennen; hoeveelheden tot 10 kunnen structureren en splitsen; de getallen kunnen ordenen op een getallenlijn; een handeling in een formule kunnen omzetten en omgekeerd en daarbij de gepaste cijferen rekensymbolen kunnen hanteren; rekenhandelingen kunnen uitvoeren en verwoorden; de sommen (+ en -) en de splitsingen tot 10 geautomatiseerd hebben.

HOOFDSTUK 2


REKENEN TOT 20

131

1.3 Rekenen tot 20 Als basis voor het rekenen nemen we het veelvuldige, spontane tellen van kinderen. Rekenen is immers gebaseerd op tellen. Tellen is het één voor één afgaan van de telrij. Optellen en aftrekken is het sprongsgewijze tellen waarbij een hoeveelheid in zijn geheel wordt beschouwd (6 is 6 en niet 1, 2, 3, 4, 5, 6). Optellen en aftrekken zijn dus gebaseerd op tellen. Het bijzondere van ons getalsysteem komt pas tot uiting als we met getallen groter dan 10 gaan werken. Om het rekenen met getallen groter dan 10 onder de knie te krijgen, moeten kinderen inzicht verwerven in het positiestelsel. Dit inzicht beduidt dat het kind, bij het structureren van hoeveelheden in getallen, steeds van maateenheid wisselt na een afgesproken hoeveelheid. Tien losse blokjes worden een staaf, tien staven worden een plak, tien plakken worden ingewisseld in een blok enzovoort. Dankzij dit inwisselprincipe kunnen we oneindig grote of oneindig kleine getallen schrijven met slechts tien symbolen. Dit inzicht in de getalstructuur hebben we in een later stadium nodig als basis voor het 'hoofdrekenen' en het 'cijferen'.

132


DOMEIN 1: GETALLEN

1.3.1 Getalbegrip tot 20

Stappen in het proces

Materialen

Stap 11: Tellen tot 20 De kinderen leren hoeveelheden tellen tot 20. We controleren of iedereen de telrij kent. Dan koppelen we het tellen aan resultatief tellen: tellen om de hoeveelheid te bepalen. Bij grotere hoeveelheden kan dit het makkelijkst door de hoeveelheid te ordenen: we groeperen steeds eerst tien en tellen dan de rest.

-

Stap 12: Koppelen van symbolen aan getelde hoeveelheden De hoeveelheden worden gestructureerd en geteld in een schema. Onderaan wordt genoteerd wat er gelegd werd. -

De leerlingen gebruiken concreet materiaal (bv. een volle eierdoos, die dan dichtgaat en een tweede doos met nog drie losse). Nadien kan o.a. ook multilink-materiaal gebruikt worden om het inwisselprincipe te visualiseren (tien losse blokjes worden samengeklit tot een staaf). Het lezen en schrijven van tweecijferige getallen We blijven even stilstaan bij het lezen van tweecijferige getallen omdat dat in onze taal meer problemen geeft dan in andere talen. Daarom is het belangrijk om bij activiteiten er regelmatig op te wijzen (zelfs in te oefenen), dat wij eerst de losse zeggen en daarna de groepjes van 10. Van links naar rechts schrijven we eerst de groepjes van tien en dan de losse.

concrete voorwerpen eierdozen van 10 kralenketting rekenrek twintigveld met vijfstructuur

eierdozen multilink-materiaal optima-blokken MAB-materiaal (staven, losse)

HOOFDSTUK 2


REKENEN TOT 20

Stap 13: Hoeveelheden tot 20 vergelijken Al tellend bepaalt het kind of een hoeveelheid meer of minder is dan een andere. Er kunnen concrete hoeveelheden vergeleken worden en ook de getalsymbolen zelf. In dat laatste geval moet het kind steeds kunnen teruggrijpen naar concreet materiaal om deze symbolen voor te stellen.

hoeveelheidskaarten symboolkaarten

Stap 14: Snel herkennen van voorgestructureerde hoeveelheden Er worden aan de kinderen voorgestructureerde hoeveelheden aangeboden (op flashkaarten, op een bedekbaar transparant, ...) De hoeveelheden worden echter steeds geordend in 10 en nog losse (die op zich ook gestructureerd zijn).

flashkaarten transparanten

Stap 15: Getallen tot 20 structureren in een tiental en eenheden Met materiaal wordt ieder getal systematisch gestructureerd. De wijze van structurering is afhankelijk van het gekozen materiaal, essentieel is evenwel dat steeds een ordening naar tien wordt gemaakt. In een twintigveld met vijfstructuur werken, lijkt ons de meest aangewezen weg. Twee eierdozen van 10 eieren zijn prachtig en goedkoop materiaal; een kaart met een eenvoudig raster waarop kinderen hoeveelheden voorwerpen (bv. blokjes, flippo's, kroonkurken) kunnen structureren, voldoet ook. De kralenketting met vijfstructuur is hier iets minder interessant omdat het structureren in tien en losse hier hoofddoel is. Een kralenketting met tienstructuur is wel zinvol, vooral omdat deze ook uiterst nuttig kan worden aangewend bij het uitbreiden van de getallenrij tot 100. De structurering in geautomatiseerd (15 is 10 en 5).tien en losse wordt

-

splitskaarten rekenrek kralenketting eierdozen van 10 twintigveld met vijfstructuur

-

T-schema

133

134


DOMEIN 1: GETALLEN

Stap 16: Opbouwen van de getallenlijn tot 20 De hoeveelheden tot 20 en de symbolen worden geordend op een getallenlijn. -

getallenlijn ballenketting (klassikaal)

De ballenketting (zie ook stap 7) is eigenlijk een grote klassikale kralenketting, die geleidelijk met de kinderen opgebouwd wordt. Telkens er een getal aangeleerd wordt komt er een nieuwe bal bij op die ketting (op elke bal staat een cijfersymbool). Tussen elke bal wordt een wasknijper geplaatst. De ballen kunnen gekleurd zijn zodat we hier ook weer de vijfstructuur kunnen inbrengen. Het is vooral de bedoeling om de gekende getallen te ordenen op de getallenlijn en om door- en terug-teloefeningen op deze lijn uit te voeren. Er moet ook op de wasknijpers gewerkt worden: de leraar toont een knijper en vraagt aan de kinderen: 'Hoeveel ballen hebben we moeten tellen om bij deze knijper te komen?' Dit soort oefeningen is noodzakelijk om de volgende stap te zetten naar de getallenlijn zonder symbolen. Op een bepaald ogenblik vervangt de leraar de ballen door symboolkaarten die aan de wasknijpers worden gehangen. Hij/zij moet deze stap samen met de kinderen zetten: aan de eerste spijker hadden we nog geen enkele bal geteld (symboolkaartje 0), aan de tweede knijper hadden we één bal geteld (symboolkaartje 1) en zo verder. De leerlingen leren door- en terugtellen op deze lijn. De kinderen bouwen een getallenlijn op en Het werken met een getallenlijn biedt het voordeel dat krijgen meteen inzicht in de positie van de nul de relatie tussen de getallen verduidelijkt wordt. op de lijn. Bij het streepje van nul hebben we Bovendien is de getallenlijn een handig instrument bij immers nog niet geteld. het hanteren van rekenstrategieën, zowel bij optellen en aftrekken tot 20 en verder. kralenketting

Verworven deelvaardigheden De hierboven beschreven stappen zijn in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden. Toch moeten we erover waken dat een aantal deelvaardigheden verworven zijn. Tussentijds kunnen volgende deelvaardigheden worden getoetst: - kunnen 'tellen' tot 20; - de koppeling symbool-hoeveelheid beheersen; - voorgestructureerde hoeveelheden tot 20 snel kunnen herkennen; - getallen tot 20 kunnen structureren in een tiental en eenheden; - een getallenlijn tot 20 kunnen opbouwen.

HOOFDSTUK 2 1.3.2


REKENEN TOT 20

Bewerkingen tussen 10 en 20

Stap 17: Bewerkingen tussen 10 en 20 17.1 Handelingen uit de realiteit dienen te worden omgezet in een somnotatie, een formule. Het busmodel, ook wel buscontexten of busverhalen genoemd, kan daarbij een belangrijk hulpmiddel zijn. Ook een of andere teltrein kan op gelijkaardige wijze worden aangewend en biedt bovendien mogelijkheden om de stap naar het meer schematische twintigveld of het rekenrek te vergemakkelijken. Deze trein bestaat immers uit een locomotief en twee wagons met telkens tien passagiers (houten poppetjes) verdeeld in twee rijen van vijf. Nadien wordt gegeneraliseerd via andere verhaaltjes. Vervolgens wordt de formule uitgerekend met behulp van de kralenketting, de getallenlijn, het rekenrek of het twintigveld met vijfstructuur. Ten slotte worden de somnotaties stapsgewijs verinnerlijkt. We illustreren dit aan de hand van het rekenrek/twintigveld: -

-

Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld geschoven, eventueel bijgelegd/weggenomen. De handeling wordt verwoord. Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'. Het materiaal wordt niet meer aangeraakt, de hele handeling wordt 'gekeken'. De opgave wordt opgelost op perceptief niveau (kijken naar het klassikale rek). Mentaal niveau: geen ondersteuning van materiaal en geen luidop verwoorden meer.

17.2 Optelsommen waarbij de tweede term groter is dan de eerste. Dit soort oefeningen wordt steeds opgelost via de commutativiteit. We laten de kinderen ervaren via concreet materiaal, busschema, ... dat de termen bij een optelling verwisseld mogen worden.

- rekenverhalen - kralenketting - teltrein (bv. twee eierdozen met wieltjes)

135

136


DOMEIN 1: GETALLEN

1.3.3 Bewerkingen met overschrijden van het tiental

Stap 18: Bewerkingen met overschrijden van het tiental. De bewerkingen met overschrijding van het tiental tot twintig zijn een belangrijke stap in het leerproces en moeten de nodige aandacht krijgen. Dit wil echter niet zeggen dat de school er niet kan voor opteren om eerst de getallenrij tot 100 uit te breiden en zelfs optellingen en aftrekkingen tot 100 binnen hetzelfde tiental (bv. 37 + 2, 88 - 7) aan te bieden. Het overbruggen doen we echter grondig tot 20 voor we de andere overbruggingen aanpakken. Rekenvaardige kinderen zullen als het ware op een bijna natuurlijke wijze op zoek gaan naar een strategie bij het overbruggen van 10. Deze kinderen zullen 7+6 oplossen als 7+3+3 of zullen bijvoorbeeld de verdubbeling gebruiken en 7+6 oplossen als 6+6+1. Rekenzwakke leerlingen hebben echter behoefte aan één vaste basisstructuur. We opteren voor hen voor de techniek van 'aanvullen tot 10' (8+5=8+2+3) als basisprincipe. Daarvoor moet het kind niet alleen de splitsingen van alle getallen tot 10 blindelings kennen. Het moet ze ook in zijn geheugen kunnen vasthouden. Het eerste getal aanvullen tot 10 met het eerste deel van de splitsing en dan pas de rest van deze splitsing bij 10 voegen. Het materiaal moet aanzetten tot het sprongsgewijs tellen. De kralenketting en het rekenrek of het twintigveld met vijfstructuur blijven het meest aangewezen materiaal om het splitsen en het sprongsgewijs tellen onder de knie te krijgen. Later wordt er overgestapt naar het werken met een lege getallenlijn. Deze lege getallenlijn is bijna een natuurlijk vervolg op de kralenketting en is allicht één van de krachtigste hulpmiddelen bij het rekenen tot 100 (en tot 20). De voorwaarde om de lege getallenlijn te kunnen hanteren is echter wel dat het kind de basisvaardigheden van het splitsen en het sprongsgewijs tellen bezit.

- kralenketting - rekenrek

HOOFDSTUK 2


18.1 Vertrekkend vanuit contexten met een modelfunctie (bv. busmodel of de teltrein) wordt de handeling omgezet in een formule. Kinderen zien de dynamische verandering, daardoor realiseren ze zich wat er gebeurt. Aan de handeling kunnen kinderen een bepaalde betekenis koppelen. Ook het nulprobleem kunnen we binnen deze contexten bevattelijk maken (0 betekent dat er niemand op de bus/trein zit, dat er niemand op- of afstapt of dat iedereen afstapt). 18.2 Gebruikmakend van gestructureerd materiaal worden de oefeningen opgelost. Door de structuur kunnen de kinderen het resultaat ineens 'zien'. 18.3 Stapsgewijze verinnerlijken we met behulp van hetzelfde gestructureerd materiaal. Als voorbeeld werken we dit hierna uit met behulp van het rekenrek/twintigveld: -

-

Eerst wordt met het rekenrek/twintigveld geschoven, eventueel bijgelegd/ weggenomen. De handeling wordt verwoord. Het erbij/eraf wordt erbij of eraf 'gekeken'. Het materiaal wordt niet meer aangeraakt, de hele handeling wordt 'gekeken'. De opgave wordt opgelost op perceptief niveau (kijken naar het klassikale rek). Mentaal niveau: geen ondersteuning van materiaal en geen luidop verwoorden meer.

REKENEN TOT 20

137

138


DOMEIN 1: GETALLEN

Stap 19: Integratie van alle somtypen: gebruik van de lege getallenlijn Alle mogelijke sommen tot 20 kunnen nu worden opgelost. De kinderen gebruiken gestructureerd materiaal met vijfstructuur. Daarnaast kunnen zij deze sommen ook oplossen met behulp van de getallenlijn. Zo worden ze aangespoord om sprongsgewijze te blijven rekenen en dit met een hulpmiddel (model) dat ook bij het rekenen tot 100 en 1000 grote diensten zal kunnen blijven leveren. We vatten de stappen even samen: de lege getallenlijn wordt aan de kralenketting gekoppeld; er worden sommen gemaakt met behulp van de lege getallenlijn: er wordt sprongsgewijze geteld naar het tiental (rijgmethode); sommen tot 20 worden volledig mentaal opgelost.

Stap 20: Automatiseren van de splitsingen tot 20 De splitsingen tot 20 worden geautomatiseerd. De automatische kennis van de splitsingen tot 20 is belangrijk voor het verdere rekenproces. Zowel de splitsingen zonder brug (type 17 is 4 en 13) als splitsingen met brug (17 is 8 en 9) komen aan bod. Deze automatisering gebeurt door dergelijke types oefeningen geregeld in te oefenen volgens de stappen die we in 18.3 opsomden. Een zinvolle oefenvorm is de splitsing die aangeboden wordt in T-schema.

- kralenketting (ruiters) - ballenketting (wasknijpers) - getallenlijn

HOOFDSTUK 2

1.4


REKENEN TOT 20

139

Besluit Het proces dat kinderen doormaken bij het leren rekenen is ongetwijfeld een ingewikkeld en complex proces. Kinderen ontwikkelen bij het rekenen vaak ook eigen strategieën, waarin wij als leraar niet meteen inzicht hebben. We hebben de didactiek van het rekenen tot twintig in deze katern in twintig stappen opgedeeld. We beseffen heel goed dat deze opdeling, zoals elke opdeling, altijd wat kunstmatig zal blijven en de beschreven stappen in de realiteit niet ten volle van elkaar te scheiden zijn en in elkaar zullen overvloeien. Toch hebben we voor deze vorm gekozen omdat we leraren een belangrijk hulpmiddel ter hand willen stellen. -

Ten eerste verwachten we dat de ingewikkelde rekenprocessen voor leraren op die manier duidelijker zullen worden.

-

Ten tweede hebben we vanuit de zorgverbredingsgedachte leraren een instrument ter hand willen stellen dat hen kan helpen bij de evaluatie en de remediëring. Door de indeling in stappen moet het immers mogelijk zijn voor de leraren om in de meest voorkomende gevallen vrij snel te ontdekken in welke stap van het proces kinderen vastlopen. Daaraan gekoppeld kan uit deze suggesties opgemaakt worden met welk soort oefeningen en met welk soort materialen kinderen weer op het juiste spoor kunnen gezet worden.

140


2

Hoofdrekenen

2.1

Wat is hoofdrekenen?

DOMEIN 1: GETALLEN

Hoofdrekenen wordt meer en meer benadrukt in de recente ontwikkelingen van het reken/wiskundeonderwijs. Hier zijn allerlei redenen voor: Hoofdrekenen heeft men in het dagelijkse leven veel meer nodig dan cijferrekenen. Ondanks het invoeren van de zakrekenmachine blijft het handig de berekening vlug uit het hoofd te kunnen maken. Hoofdrekenen is maatschappelijk heel belangrijk. Personen die vaardig en met inzicht kunnen hoofdrekenen, winnen aan zelfvertrouwen. Zij krijgen greep op de wiskundige elementen van hun omgeving. Hoofdrekenen helpt bij het maken van een vlugge schatting. Zo'n vlugge schatting geeft ons onmiddellijk een benaderende uitkomst en geeft meteen een goede controle op de uitgerekende oplossing. Denk maar aan de correcte plaatsing van de komma in kommagetallen. Hoofdrekenen bevordert de kritische houding ten aanzien van getalsmatige informatie. Hoofdrekenen heeft een belangrijke vormende waarde: Het leert een verantwoorde keuze te maken bij het kiezen van een oplossingsmethode. Het probleemoplossend, flexibele denkvermogen wordt geactiveerd en gestimuleerd. Het afwegen tegenover elkaar van mogelijke oplossingswijzen kan bij de leerlingen de attitude tot stand brengen zich eerst te bezinnen alvorens te beginnen. Het individuele denken wordt gestimuleerd. De leerling moet steeds bedacht zijn op het vinden van kortere en betere oplossingsmethodes. Het biedt een enorme hulp bij het cijferen. Bij het werken met contexten speelt het hoofdrekenen een zeer belangrijke rol. Bij het opsporen van een mogelijke oplossingsweg is het zeer handig al hoofdrekenend bij benadering de gevolgen van een gekozen weg te onderzoeken. In verband met de term 'hoofdrekenen' zijn er echter verscheidene omschrijvingen en stromingen aan te geven. Traditioneel werd het hoofdrekenen geïnterpreteerd als het puur rekenen uit het hoofd, rekenen zonder papier, snel en zonder aarzelingen. Een typische uitwerking hierbij is het zogenaamde commandorekenen. In een modernere visie wordt meer aandacht besteed aan het handig werken met structuren van getallen en hun eigenschappen. Of er gebruik wordt gemaakt van pen en papier, is niet zo belangrijk. Wij interpreteren hoofdrekenen als een vorm van rekenen, waarbij de leerling flexibel gebruikmaakt van: bijzonderheden van getallen; eigenschappen van bewerkingen; relaties tussen getallen; relaties tussen bewerkingen. Hoofdrekenen omschrijven we niet zozeer als rekenen-uit-het-hoofd maar eerder als rekenen-methet-hoofd. Er kan papier worden gebruikt om tussenuitkomsten te noteren of om tekeningen te maken. Elke leerling kiest zijn eigen werkwijze om de bewerking te zoeken en uit te rekenen. Hiervoor is het noodzakelijk dat zij varianten van oplossingswegen leren kennen. Rekenvoordelen worden afgewogen. Er wordt gezocht naar de meest efficiënte werkwijze.

HOOFDSTUK 2


HOOFDREKENEN

141

De basis voor hoofdrekenen wordt gelegd in het getallengebied tot 100, waarin geen plaats is voor cijferen. Dat wil zeggen dat cijferen noch in het eerste noch in het tweede leerjaar expliciet aan bod komt.

2.2

Voorwaarden

2.2.1

Voorwaarden naar de rekenaar toe Een goed getalbegrip beheersen Dit houdt in dat de rekenaar: inzicht heeft in de getalopbouw; de structuur van de getallenrij kent; de rekenaar moet de structuur van de telrij goed kunnen doorzien en zich gemakkelijk mentaal over die telrij kunnen verplaatsen, daarbij steunend op de getallenlijn; tevens is inzicht in het positiesysteem een voorwaarde; in hogere leerjaren houdt het in dat de rekenaar o.a. weet dat: 5 % = 5/100 = 0,05 20 % = 20/100 = 1/5 = 0,20 ½ = 5/10 = 50/100 = 0,5 betekenis kan geven aan het getal en aan de bewerkingen hiermee. Elementaire vaardigheden bezitten Het gaat hier dan om: het tellen; het automatiseren van optellen en aftrekken tot 20; het kunnen optellen en aftrekken over het tiental heen; het kunnen optellen en aftrekken met zuivere tientallen, honderdtallen, duizendtallen, ... (afhankelijk van de leeftijdsgroep); het automatiseren van de tafels (vermenigvuldigingen en delingen); het rekenen tot 100; het kunnen vermenigvuldigen van bv. 30 x 60 als een afleiding van de tafelproducten; in hogere leerjaren: het kunnen werken met kommagetallen, procenten en breuken in eenvoudige situaties.

2.2.2

Voorwaarden naar het hoofdrekenonderwijs toe Gebaseerd op bovenstaande voorwaarden kan een programma 'flexibel hoofdrekenen' uitgewerkt worden. Ook hierin onderscheiden we enkele belangrijke condities: -

Het hoofdrekenonderwijs moet een belangrijke plaats krijgen in het rekenonderwijs. De school volgt bewust een leerlijn voor hoofdrekenen, voorziet in voldoende tijd op de lesroosters en legt de aanpak vast in het schoolwerkplan;

-

Het hele schoolteam hanteert dezelfde visie in verband met hoofdrekendidactiek. Het hele korps stapt af van de idee dat onder hoofdrekenen enkel wordt verstaan: het uit het hoofd uitrekenen van bewerkingen, met als doel het automatiseren van elementaire vaardigheden.

142


DOMEIN 1: GETALLEN

-

Het moet inzichtelijk worden onderbouwd. Een voorwaarde om vlot en vaardig te kunnen hoofdrekenen is dat de leerlingen bewust gebruikmaken van de bijzonderheden van getallen, eigenschappen van de bewerkingen, relaties tussen getallen en relaties tussen bewerkingen.

-

De leerlingen worden begeleid in de richting van een gevarieerd en flexibel rekenen. Interactief werken is hierbij de aangewezen weg. De leerlingen ontdekken een brede waaier van oplossingsmogelijkheden. Passend gebruik van schema's en modellen bevordert eveneens de flexibiliteit. De verschillende gevolgde werkwijzen worden met de leerlingen besproken en vergeleken, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan kiezen. De gekozen werkwijze kan verschillend zijn voor elke leerling. Onderzoek wees uit dat kinderen en volwassenen veelvuldig gebruikmaken van eigen informele oplossingsmethoden. Die zijn niet altijd even effectief of handig. Het bespreken van die informele strategieën van leerlingen is daarom een noodzaak. Verschillende oplossingsmogelijkheden moeten worden uitgelokt.

-

Elke leraar is ervan overtuigd dat hoofdrekenen in de eerste plaats keuzerekenen is. De leerlingen kiezen, individueel of met partner(s), de meest efficiënte werkwijze om een bewerking uit te voeren, afhankelijk van de uit te voeren opdracht en de aard van de getallen. Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt: hoe zou ik het hier kunnen doen? Welke weg uit mijn 'arsenaal' leent zich hier het best toe? Voorbeeld : 11 x 99 = (10 x 99) + (1 x 99) = 990 + 99 = 1089 11 x 99 = 99 x 11 = (100 x 11) - (1 x 11) = 1100 - 11 = 1089 11 x 99 = ... De gemakkelijkste weg is hier niet voor elke leerling dezelfde.

-

De leerlingen worden aangezet via hoofdrekenen de oplossing van hun rekenproblemen vooraf bij benadering te schatten en achteraf te verifiëren.

-

De werksituaties moeten kort en uitnodigend (motiverend) zijn. Het hoofdrekenen wordt voortdurend gekoppeld aan praktische situaties uit de ervarings- en belevingswereld van de lerenden. Het aanbieden van problemen in herkenbare contexten maakt deze problemen toegankelijk voor de leerlingen en ondersteunt de keuze van efficiëntere oplossingsmogelijkheden. Voorbeeld van zo'n context: de afvalberg In de kring brengt Sandra het probleem ter sprake dat steeds meer kinderen een blikje cola of limonade of een individueel brik fruitsap meebrengen om 's middags bij hun boterhammen op te drinken. Er ontstaat een discussie over hoe (on)gezond deze drankjes zijn, over de hoeveelheid afval dat dit blik of brik oplevert, over recyclage van afval, over hoe vervelend het is voor kinderen die geen drankje meehebben, ... . Ze willen weten hoe groot de afvalberg in een schooljaar zou zijn als alle kinderen van de school alle dagen een blikje zouden meebrengen.

-

De leerlingen krijgen voldoende tijd en oefengelegenheid om zich de nieuwe kennis en inzichten eigen te maken en de vaardigheid te verwerven. De aangeleerde kennis en de vaardigheden zullen bij de meeste leerlingen pas na veel training en oefening tot het beschikbare repertorium gaan behoren. Dit integreren heeft de grootste kans van slagen als de leerlingen gevarieerde oefenvormen

HOOFDSTUK 2


HOOFDREKENEN

143

aangeboden krijgen, het geleerde in wisselende situaties wordt gehanteerd en als de opgaven een beroep doen op die kennis en dat inzicht.

2.3

Vormen van hoofdrekenen

Bij hoofdrekenen wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen het precieze hoofdrekenen en het schattend rekenen. -

Het precieze hoofdrekenen Bij het precieze hoofdrekenen dient het eindresultaat 100 % correct te zijn. Soms is dit niet mogelijk of het kan niet doelmatig worden uitgevoerd. Het resultaat voldoet niet altijd of is soms minder betekenisvol. Het is een misvatting dat je in situaties die een precieze uitkomst vergen best de zakrekenmachine inschakelt of een cijferprocedure hanteert. De keuze is afhankelijk van de getallen. Het precieze hoofdrekenen kan gestandaardiseerd (gestileerd) aangepakt worden of gevarieerd (flexibel):

-

-

Het gestandaardiseerd of gestileerd hoofdrekenen We spreken van gestandaardiseerd hoofdrekenen als rekenaars bewerkingen van een bepaald type steeds op een bepaalde manier (leren) oplossen. Het is van oudsher de meest beoefende vorm van hoofdrekenen in de praktijk van het onderwijs. Deze vorm kan noodzakelijk blijken voor kinderen die moeilijk zelfstandig tot de oplossing komen. Het mag dan wel niet beperkt worden tot het leren hanteren van een trucje.

-

Het gevarieerd en flexibel hoofdrekenen Hierbij gaat het niet om een vaste oplossingswijze. Verschillende methodes zijn mogelijk, afhankelijk van de structuur van de getallen, hun combinaties en hun bewerkingen. Om flexibel te kunnen hoofdrekenen moet de rekenaar weten welke oplossingsweg in welke situatie de meest passende is. Afhankelijk van de situatie, de getallen, het eigen opgebouwd inzicht, het beheersen van allerlei mogelijke oplossingswegen en de eigen voorkeur wordt dan gekozen.

Het schattend rekenen Bij schattend rekenen werken we met benaderingen, afrondingen, (on)nauwkeurigheden in toepassingssituaties of met kale bewerkingen. Als we schattend rekenen, berekenen we niet exact de uitkomst. We gokken ook niet. Aan de hand van steunpunten bepalen we ongeveer de uitkomst. We werken dan met grotere gehelen. De rekenaar ziet de getallen achter de cijfers en weet bv. dat fouten bij het optellen van honderdtallen grotere gevolgen hebben dan fouten met eenheden. Schattend rekenen kwam in het vroegere rekenonderwijs nauwelijks voor. Dat kwam omdat het vanwege het gebrek aan nauwkeurigheid minderwaardig werd geacht. Schatten is vooral zinvol als het gaat om het ruwweg bepalen van de uitkomst en het globaal controleren van de uitkomst van een berekening. Het schattend rekenen geeft inzicht in de bewerkingen. Waarom wijkt mijn schatting af?

144


DOMEIN 1: GETALLEN

Waarom is mijn schatting te groot? Te klein? Soms is alleen maar schattend rekenen mogelijk omdat bv. de gegevens voor exacte berekening ontbreken. In allerlei andere situaties kan het zinvoller zijn enkel een benaderend resultaat te geven, zoals bv. in de volgende context: Elk kind van onze klas krijgt elke dag één brikje melk. Hoeveel brikjes zijn dat dan per dag voor heel onze school? Per week? Tot aan Kerstmis? Tot het einde van het schooljaar? Is het nodig dat we dat correct aangeven, tot op het brikje? Kunnen we afronden? 20 kinderen per klas ... 12 klassen ... 5 dagen ... 10 weken ... 40 weken ...

2.4

Precies en flexibel hoofdrekenen

2.4.1

Doelstellingen Wegen kenbaar maken De eerste doelstelling bij de didactische aanpak zal erin bestaan de leerlingen een waaier van keuzemogelijkheden te laten ontdekken en ervaren. Sommige wegen kunnen door de leraar zelf als aanvulling worden aangereikt, indien ze niet door de leerlingen zelf worden ontdekt. De leraar zal wel niet opleggen die steeds te hanteren. Alhoewel in vele gevallen de keuzemogelijkheden zeer groot zijn, kunnen ze toch gebundeld worden. Een zeer belangrijke taak is dan ook deze basiswerkwijzen te leren kennen. -

Relatie tussen getallen . 25 % is 25/100 = 1/4 = 0,25 . 25 % nemen van een getal kan bv. door dit getal te delen door 4. . Vermenigvuldigen met 25 kan worden gevonden door het vermenigvuldigtal te vermenigvuldigen met 100 en daarna te delen door 4. . ...

-

Inzicht in de structuur van de getallen . Het splitsen van getallen 484 - 270 = (484 - 200) - 70 = 284 - 70 = 214 . ...

-

Toepassen van de eigenschappen van de bewerkingen .

De commutatieve eigenschap (wisselen) kan bij de optelling en de vermenigvuldiging worden gehanteerd. a+b=b+a 360 + 2 540 = 2 540 + 360 axb=bxa 460 x 5 = 5 x 460

HOOFDSTUK 2 .


HOOFDREKENEN

145

De associatieve eigenschap (schakelen) van de optelling en de vermenigvuldiging (a + b) + c = a + (b + c) (84 + 75) + 25 = 84 + (75 + 25) = 84 + 100 = 184

(a x b) x c = a x (b x c) (34 x 25) x 4 = 34 x (25 x 4) = 34 x 100 = 100 x 34 = 3400

-

.

De distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling (aftrekking) a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 7 x 44 = 7 x (40 + 4) = (7 x 40) + (7 x 4) = 280 + 28 = 308

.

De distributieve eigenschap van de deling t.o.v. de optelling (aftrekking) (a + b) : c = (a : c) + (b : c) 848 : 8 = (800 + 48) : 8 = (800 : 8) + (48 : 8) = 100 + 6 = 106

Toepassen van wiskundige aspecten .

Een som verandert niet van waarde als men bij de ene term een getal bijtelt dat van de andere term wordt afgetrokken (compenseren). 865 + 398 = (865 - 2) + (398 + 2) = 863 + 400 = 1263

.

Een verschil verandert niet van waarde als men aftrektal en aftrekker vermeerdert of vermindert met hetzelfde getal (compenseren). 387 - 198 = (387 + 2) - (198 + 2) = 389 - 200 = 189 587 - 305 = (587 -5) - (305 - 5) = 582 - 300 = 282

.

Een product verandert niet van waarde als men de vermenigvuldiger deelt door een getal dat met het vermenigvuldigtal wordt vermenigvuldigd en omgekeerd. 16 x 45 = (16 : 4) x (4 x 45) = 4 x 180 = 720 5 x 48 = (2 x 5) x (48 : 2) = 10 x 24 = 240

.

Een quotiënt verandert niet van waarde als men deeltal en deler vermenigvuldigt met (of deelt door) hetzelfde getal. 840 : 60 = (840 : 10) : (60 : 10) = 84 : 6 = 14 24 : 0,6 = (10 x 24) : (10 x 0,6) = 240 : 6 = 40

Een verantwoorde keuze maken De volgende doelstelling is dat de leerlingen, als zij over keuzemogelijkheden beschikken, een persoonlijke maar verantwoorde keuze kunnen maken tussen de respectieve mogelijkheden. Dit houdt in dat individuele verschillen worden geaccepteerd en zelfs benut bij het bespreken van mogelijke oplossingsmethodes.

146


DOMEIN 1: GETALLEN

Interactief onderwijs is dan noodzakelijk. Interactief leren is een voorwaarde om de leerlingen voldoende gelegenheid te geven tot een eigen inbreng en tot reflectie op de oplossingsmogelijkheden. Slechts bij een goede interactie krijgen meer algemene doelstellingen van reken/wiskundeonderwijs een kans: reflecteren op eigen wiskundige activiteiten, eenvoudige verbanden, regels en structuren opsporen, onderzoeks- en redeneerstrategieën in eigen woorden beschrijven en gebruiken. Het flexibel toepassen van het geleerde en de wendbaarheid van het geleerde binnen het rekensysteem worden zo ontwikkeld. Het flexibel kunnen gebruiken van kennis en vaardigheden is noodzakelijk.

2.4.2

Verschillende hoofdrekenactiviteiten Hoofdrekenen dient niet alleen schriftelijk plaats te vinden, maar vooral ook mondeling binnen het interactief onderwijs in korte activiteiten van een kwartier. A

Intentionele activiteiten

Bij de intentionele activiteiten ligt het hoofdaccent op het bespreken en vergelijken van gevolgde oplossingswegen. Het is immers zeer belangrijk dat de leerlingen een brede waaier ontdekken. Het is noodzakelijk dat die verschillende gevolgde werkwijzen worden besproken en beoordeeld, zodat elke leerling voor zichzelf de meest efficiënte werkwijze kan kiezen. Ook het bespreken van eigen informele strategieën van leerlingen moet kansen krijgen. De uiteindelijk gekozen werkwijze kan verschillen van persoon tot persoon. Een passend gebruik van schema's en modellen bevordert de flexibiliteit. Schriftelijke oefenvormen 'sommen'rijtjes pijldiagrammen machientjes getallenmolens getallenblokken tovervierkanten doolhoven geheimschriften tabellen ... Mondelinge oefenvormen aanvullen tot 100, 1000, ... kettingsommen grenssommen, waarin bepaald wordt of uitkomsten al dan niet binnen bepaalde grenzen vallen (bv. £ 100 , £ 1000). is er een rest? ...

4

HOOFDSTUK 2 B


HOOFDREKENEN

147

Open vraagstelling

Ook hier zijn schriftelijke en mondelinge oefenvormen mogelijk. Het berekenen van bv. de afvalberg (voorgesteld bij 2.2.2) is een zeer open vraagstelling. Ook de leraar weet niet vooraf exact welke sommen daarbij zullen uitgerekend worden.

2.4.3

Specifieke suggesties bij optellen en aftrekken De leerlijnen 1.11 en 1.12 van het domein GETALLEN geven een mogelijke spreiding aan voor de respectieve leeftijdsgroepen. Tevens worden enkele strategieën aangeboden. Hierna geven we een aantal verschillende oplossingsmethoden die kinderen spontaan gebruiken bij het optellen en aftrekken. In de reële klassituatie komen ze telkens voor binnen aangereikte contextproblematieken. Contexten brengen immers leerprocessen op gang en de kinderen abstraheren deze contexten tot bruikbare modellen en schema's. Opgaven worden dikwijls gemakkelijker doorzien als ze aangeboden worden in een context. Belangrijk blijft dat aanvankelijk telkens tijd wordt uitgetrokken om een oplossingsweg te bepalen. Bij optellingen:

149 + 126 = ?

Geert doet het als volgt: 149 = 100 + 40 + 9 126 = 100 + 20 + 6 149 + 126 = (100 + 100) + (40 + 20) + (9 + 6) = 200 + 60 + 15 = 275 Ann rekent zo: 149 + 126 = 149 + (100 + 20 + 6) = 249 + (20 + 6) = 269 + 6 = 275

148


DOMEIN 1: GETALLEN

Wim doet het nog anders: 149 + 126 = (150 - 1) + (130 - 4) = 150 - 1 + 130 - 4 = 150 + 130 - 1 - 4 = 250 + 30 - 5 = 280 - 5 = 275 Johan volgt deze weg: 149 + 126 = 149 + (130 - 4) = 249 + 30 - 4 = 279 - 4 = 275 Nancy kiest voor deze aanpak: 149 + 126 = (150 - 1) + 126 = 150 + 126 - 1 = 276 - 1 = 275 Bij aftrekkingen:

75 - 38 = ? Geert doet het zo: 38 = 40 - 2 75 - 38 = 75 - (40 - 2) = 75 - 40 + 2 = 35 + 2 = 37 Ann rekent zo: 75 - (30 + 8) = 75 - 30 - 8 = 45 - 8 = 37 Wim doet het op deze manier: 75 = 80 - 5 75 - 38 = (80 - 5) - 38 = 80 - 38 - 5 = 37 De leraar kan de leerlingen wijzen op een andere aanpak in bepaalde gevallen. Daarom zetten we die nog even op een rij.

HOOFDSTUK 2 A


HOOFDREKENEN

149

Het splitsen van getallen

Als de 2 getallen van de bewerking worden gesplitst in (duizendtallen), honderdtallen, tientallen en eenheden en zo bij elkaar worden opgeteld of van elkaar afgetrokken, spreken we van een splitsmethode. Deze manier leunt sterk aan bij het cijferrekenen. Geert volgt deze werkwijze voor de optelling. Hij is flexibel genoeg om bij de aftrekking een andere strategie te hanteren want het splitsen van het eerste getal geeft problemen bij aftrekking met overbrugging: 70 - 30 en 5 - 8 ??? B Het rijgen van getallen Een eenvoudige manier van optellen en aftrekken is die van het aanvullen of rijgen. Hierbij blijft het eerste getal volledig en het tweede getal wordt daar met sprongen bijgedaan of afgetrokken.

C

De verwisselregel

Op basis van de commutativiteit kan bij optellingen de volgorde van de termen worden verwisseld 56 + 132 = 132 + 56 D

E

Het schakelen (gebruikmaken van de associativiteit van de bewerking)

Het groeperen van getallen

150 2.4.4


DOMEIN 1: GETALLEN

Specifieke suggesties bij vermenigvuldigen en delen Zie de leerlijnen 1.14.7 en 1.15.4.

A

De verwisselregel Op basis van de commutativiteit kunnen de factoren van plaats worden verwisseld. De verwisselregel kan enkel gehanteerd worden bij de vermenigvuldiging. 6 x 15 = 15 x 6

B

Het schakelen Op basis van de associativiteit kan bij de vermenigvuldiging worden geschakeld.

C

Het toepassen van de distributiviteit

D

Het toepassen van de verdubbeling en de halvering Je kan dit interpreteren als een toepassen van de ontbinding in factoren. In plaats van iets in één keer achtmaal te berekenen, neemt men driemaal het dubbele, wat hetzelfde eindresultaat geeft.

HOOFDSTUK 2


HOOFDREKENEN

151

Delen door 8 kan dan betekenen dat je bv. driemaal achtereenvolgens de helft neemt.

F

Flexibel hanteren van de tafelkennis Dit sluit sterk aan bij het vorige gedeelte. Ook hier kan gesproken worden van een ontbinden in factoren. Vermenigvuldigen met 12 kan bv. tot gevolg hebben dat een leerling kiest voor de weg (afhankelijk van de getallen, de context, de eigen vaardigheid, ...): eerst met 4 vermenigvuldigen en dan nog eens met 3.

2.4.5

Keuzerekenen

Op grond van reflectie wordt een keuze gemaakt. Het is duidelijk dat om te kunnen kiezen verschillende oplossingswegen moeten gekend zijn. De didactiek bij hoofdrekenen heeft dus tot doel de leerlingen verschillende mogelijkheden te laten ontdekken en/of ervaren. Daarna moeten ze de kans krijgen om zelf een verantwoorde keuze te maken tussen de (vele) benaderingen. 2.4.6

Reflectie

Permanent dient aandacht te worden besteed aan het reflecteren op de gekozen oplossingswijze: Kwam ik tot het goede resultaat? Koos ik een goede werkwijze? Nam ik een korte weg? Hoe kon ik het nog vinden? ... Reflectie komt niet enkel achteraf. Het speelt ook een rol in het keuzeproces: Welke weg uit mijn 'arsenaal' kan ik hier gebruiken? Welke weg is hier de gemakkelijkste? De kortste? Deze fase wordt in het onderwijs te dikwijls vergeten. Het resultaat wordt wel beoordeeld, maar het proces wordt te vaak verwaarloosd in de bespreking. Leraren verwijzen dan naar de grote tijdsinvestering die dat veronderstelt. Bij fouten zal het soms nog wel gebeuren, maar bij een correct antwoord hoeft het niet meer! Dit kan worden opgevangen door te werken met partner(s). Hierbij wordt de eigen gevolgde werkwijze verduidelijkt en vergeleken met de oplossingswijze van de partner. Door hardop met elkaar na te denken over oplossingen, reflecteer je op de gekozen weg, kun je besluiten trekken en, zo nodig, nieuwe wegen leren bewandelen.

152 2.4.7


DOMEIN 1: GETALLEN

Plezier

Tijdens deze activiteiten moet de leraar aandacht besteden aan de noodzakelijke vaardigheden bij hoofdrekenen en schattend rekenen, moet hij oog hebben voor de verscheidenheid in mogelijke volgwegen, voor het ondersteunend strategiegebruik en voor voldoende en gevarieerde oefensituaties. Van groot belang is echter ook dat onderwijssituaties worden gecreëerd waarin het loont en het plezierig is om uit het hoofd te rekenen.

2.4.8

Differentiatie

Ook bij hoofdrekenen is differentiatie noodzakelijk. Minder begaafde leerlingen kiezen één oplossingswijze, knappe leerlingen kunnen meer werkwijzen toepassen en toelichten.

2.5

Schattend rekenen

Zie de leerlijn 1.19 Als we schattend rekenen, zoeken we niet naar de exacte uitkomst. We zijn echter ook niet aan het raden. Aan de hand van enkele 'steunpunten' trachten we de uitkomst ongeveer te bepalen. Schatten is zinvol als het gaat om: het ruwweg bepalen van de uitkomst; het globaal controleren van de uitkomst van een berekening; niet exact bepaalde gegevens, waar het onmogelijk is of absurd om precieze berekeningen te maken.

"Mijn papa werkt wel 200 uur per week!" zegt Tom tot zijn kameraad. Kan dat ? Neen, want in een week zijn er maar 5 werkdagen. Dat zou willen zeggen dat die papa per werkdag gewoonlijk 40 uur werkt en er zijn maar 24 uren. Zelfs als er 10 dagen in een week kon worden gewerkt, was dat nog 20 uur per dag.

HOOFDSTUK 2


HOOFDREKENEN

153

Bij het schattend rekenen werken we veel met benaderingen en afrondingen. Is het te groot of te klein? Is dat mogelijk? ... Hierbij hebben we oog voor het gegeven dat bij grote getallen een afronding tevens een grotere afwijking van het correcte resultaat tot gevolg heeft. We weten dat bij het afronden naar honderdtallen de afwijking groter zal zijn dan bij het afronden naar tientallen.

2.5.1

Contexten die uitnodigen tot schatten

Voor de basisschool is het belangrijk dat uiteindelijk de leerlingen weten in welke situaties schattend rekenen de voorkeur heeft (zie leerlijn 1.19.7) en weten hoe nauwkeurig er moet worden geschat (zie leerlijn 1.19.8). Allerlei contexten zullen de rekenaars in contact brengen met dergelijke situaties. Deze moeten zoveel mogelijk verschillend van aard zijn. De leerlingen moeten ervaren dat schattend rekenen in heel veel gevallen afdoende en lonend is. -

Moet de behanger exact berekenen hoeveel m papier hij nodig heeft of moet hij het aantal rollen uittellen? ...

Ook de vragenstelling kan uitnodigen tot schattend rekenen: Heb ik met mijn briefje van 2 000 BEF voldoende om al de artikelen van dat boodschappenlijstje te kopen? Hoeveel cijfers moeten er in het product van 58 x 9 voorkomen? Is 7 x 499 meer of minder dan 4 000? ... Schattend rekenen zou in elke activiteit aan bod dienen te komen. De leraar moet daarom zoeken naar opgaven die uitnodigen tot het schatten.

154 2.5.2


DOMEIN 1: GETALLEN

Werkwijzen ontwikkelen

Het is nodig bij de leerlingen enkele vaardigheden te helpen ontwikkelen, die het schattend rekenen ondersteunen. Hierbij denken we dan aan: het handig hoofdrekenen; het afronden; het rekenen met nullen; het compenseren; het herformuleren van de reken opdracht; het vertalen; het besef bij de keuze dat de afwijking groter wordt naargelang de afronding: 18 x 983 = ? 18 x 1000 = 20 x 1000 = Bij 20 x 1000 is de afwijking groter dan bij 18 x 1000. A

Handig hoofdrekenen Hierbij komt opnieuw ter sprake wat in het vorig hoofdstuk werd voorgesteld bij de suggesties voor precies en flexibel hoofdrekenen. We denken o.a. aan de volgende werkwijzen: het splitsen van getallen; het aanvullen van getallen; de verwisselregel; het schakelen; het toepassen van de distributiviteit; het toepassen van de verdubbeling; het toepassen van de halvering; ...

B

Afronden In heel veel gevallen bepalen de getallen zelf hoe je afrondt. Zo zal 488 meestal worden afgerond naar 500 en 408 naar 400. Als we echter 458 ook naar 500 gaan afronden, kan de berekening in bepaalde situaties vrij grof overkomen. Als we dan nog een hele rij dergelijke afrondingen uitvoeren, is er in die omstandigheden werkelijk sprake van een 'zeer ruwe' berekening. Daarom is het belangrijk de leerlingen te laten ervaren dat het afronden niet enkel bepaald wordt door de grootte van de getallen, maar tevens door de context. Hoe dicht moeten de ronde getallen liggen waarnaar we afronden? De nauwkeurigheidsgraad wordt bepaald door de situatie (de realiteit), maar ook door de bewerkingen die je met de afgeronde getallen uitvoert: 595 afgerond naar 600 geeft een afwijking van 5 bij de som, maar van 1000 bij het product. 595 + 200  600 + 200 = 800 595 x 200 600 x 200 = 120 000 Het afronden mag grover gebeuren als we al schattend bij de uitkomst van een cijferoefening willen nagaan of de komma juist geplaatst werd. Dikwijls maakt men bij het afronden een combinatie van verschillende basiswerkwijzen. Bv. 194 - 37 = 200 - 40 = 160 Het resultaat van 194 - 37 ligt in de buurt van 160.

HOOFDSTUK 2 C


HOOFDREKENEN

155

Rekenen met nullen Rekenen met nullen kunnen we gebruiken als een strategie bij grove schattingen. Bij de berekening van 600 x 40 kan, naar analogie van de tafels, 6 x 4 x 100 x 10 worden uitgevoerd om vlug de uitkomst te vinden.

D

Compenseren Bij compenseren gaat het om het aanpassen van de schatting op basis van de veranderingen die bij het herformuleren of het vertalen zijn aangebracht. Zo is de schatting nauwkeuriger als we in een product de ene factor wat naar boven en de andere factor wat naar beneden afronden: 598 x 127 600 x 120

E

Herformuleren Bij het herformuleren worden de numerieke gegevens in een meer hanteerbare vorm veranderd. Dit gebeurt via afronden (zie hierboven) of door gelijkwaardige vormen te gebruiken of een combinatie van beide (bv. ¼ in plaats van 0,27).

F

Vertalen Vertalen houdt in dat de wiskundige structuur wordt gewijzigd in een meer hanteerbare vorm (bv. door gebruik te maken van een gemiddelde of een referentiepunt). Zo wordt de hoogte van een schoolgebouw geschat op basis van de gekende hoogte van een kamer. Niet enkel bij het meten komt schattend rekenen ter sprake. Ook bij het schattend benaderen van een som, een verschil, een quotiënt, een product, ... is het een efficiënte hulp.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN

AUTOMATISEREN VAN DE TAFELS 157

3

Automatiseren van de tafels

3.1

Belang van het kennen van de tafels

-

Het kennen van de tafels is een echte basisvaardigheid: de tafels onvoldoende beheersen is een belangrijke bron van fouten bij vermenigvuldigen en delen, zowel bij cijferend als bij hoofdrekenen.

-

Tafelkennis is ook heel belangrijk bij het 'dagelijkse' rekenen. In de realiteit worden kinderen en volwassenen zeer dikwijls geconfronteerd met de tafels en 'herhaalde telstructuren': 6 stukken van 5 BEF zijn samen 30 BEF, in het zwembad zwem je 4 lengtes van 25 meter, 12 maandelijkse afbetalingen van 4500 BEF, ... . Het kennen van de tafels is dus een vaardigheid die rechtstreeks verband houdt met integratie in de maatschappij.

3.2

Tafels leren in de vernieuwde rekendidactiek

-

In de traditionele rekendidactiek werd elke tafel in zijn geheel aangeboden en werd er zeer snel overgegaan naar het snel en foutloos opdreunen van de tafelproducten. Had een kind problemen bij het vinden van het product 8 x 7, dan diende het eerst de tafel van zeven op te zeggen tot het bij het te zoeken product belandde.

-

De vernieuwde rekendidactiek tracht in te spelen op de verschillende oplossingsstrategieën die kinderen kunnen hanteren bij het oplossen van maal- en deelsommen. Deze rekendidactiek stuurt niet uitsluitend en direct aan op de reproductie van tafelkennis, maar probeert dit mede door een proces van kennisopbouw via vaardig rekenen te realiseren. Kennis van tafels is hier het resultaat van een proces van steeds verdergaande verkorting van handig rekenen, met als laatste stap het volledig inprenten. Die verkorting geschiedt onder meer door het efficiënt gebruiken van eigenschappen en strategieën, het benutten van reeds gekende tafelproducten, het uitbuiten van bepaalde structuren in het getalsysteem en ... het gericht oefenen. Memoriseren wordt zo het resultaat van een gefaseerd leerproces.

3.3

Fasen voor het automatiseren van de tafels

We onderscheiden vier fasen, die elk als een apart onderdeel van het volledige leerproces kunnen worden beschouwd.

3.3.1

Introductiefase

-

In deze fase vindt begripsvorming van de bewerkingen plaats. De belangrijkste aspecten van de operaties komen aan bod.

-

De begrippen 'keer' en 'maal' dienen aangebracht en vastgezet te worden, alsook de begrippen 'vermenigvuldigen met' en 'delen door'.

158


DOMEIN 1: GETALLEN

-

In deze fase moet ook reeds het inzicht groeien dat de vermenigvuldiging en de deling omgekeerde bewerkingen zijn, de vermenigvuldiging en de deling moeten m.a.w. aan elkaar worden gekoppeld. In latere stadia moet men immers kunnen terugvallen op de vermenigvuldiging bij de deling. Aan elke vermenigvuldiging (bv. 3 x 5 = 15; 3 keer 5) kunnen twee delingen worden gekoppeld; namelijk: de verdelingsdeling waarbij gevraagd wordt naar de grootte van de gelijke delen (bv. 15 : 3 =  verdeel 15 in 3 gelijke delen). De verdelingsdeling zal normaliter eerst aan bod komen omdat men hierbij kan uitgaan van het intuïtieve begrip 'eerlijk verdelen' dat ook jonge kinderen reeds bezitten; de verhoudingsdeling waarbij gevraagd wordt naar het aantal delen (bv. 15 : 5=  hoeveel keer gaat 5 in 15?). De verhoudingsdeling kan worden beschouwd als een vorm van verkort aftrekken. Beide operaties (verdelen in gelijke delen en verkort aftrekken) monden uiteindelijk uit in de deling. Toch veronderstellen ze andere contexten. Alhoewel sommige methodes ervoor opteren om slechts één deling (ofwel verdelingsdeling ofwel verhoudingsdeling) te koppelen aan de vermenigvuldiging, vinden wij het belangrijk om beide vormen aan bod te laten komen vanuit verschillende contexten om een brede begripsvorming (-vulling) te realiseren.

-

Inzicht in de operaties 'vermenigvuldigen' en 'delen' is fundamenteel om de tafels te leren. Dit alles dient aangebracht te worden in zinvolle situaties, zinvolle contexten. bv. klaswinkel: 1 doosje kost 4 BEF. Hoeveel kosten 3 doosjes? 2 rijen van 5 conservenblikken. Hoeveel blikken? 10 conservenblikken verdelen in rijen van vijf. Hoeveel rijen? Jan heeft 24 BEF. Hoeveel snoepjes van 3 BEF elk kan hij kopen? opdrachten:

... keer in de handen klappen, ... ... keer op de trom slaan, ... keer een glas vullen en in een kom gieten, 4 keer 5 blokjes leggen, leg ... maal een hoopje van 6, bouw ... keer een toren van 7 blokken; bv. verhoudingsdeling: haal telkens 3 blokjes weg, hoeveel keer kan je er wegnemen? ... Belangrijk hierbij is het handelen en het verwoorden (van materiële handeling tot mentale handeling). -

Het verwerven van inzicht gebeurt via allerlei modellen, die iets laten zien van de grondstructuur van problemen waarin een vermenigvuldiging/deling vervat ligt en maken bepaalde eigenschappen van de desbetreffende bewerking zichtbaar. Zodoende komen ze zowel het rekenen als het toepassen ten goede. De keuze van modellen is afhankelijk van de context. Voor het begrip van de vermenigvuldiging en de deling is het verkennen van een aantal verschillende modellen heel belangrijk. Hierdoor worden de eigenschappen van deze bewerkingen duidelijk en leren kinderen het verband zien tussen de vermenigvuldiging en de deling.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN 


Groepjesmodel De structuur van enerzijds een vermenigvuldiging als herhaalde optelling en anderzijds de deling als verkorte aftrekking (verhoudingsdeling) komt hiermee het duidelijkst tot uiting.

4 kersen + 4 kersen of 2 x 4 kersen 8 kersen  Hoeveel groepjes van 4 kersen? 

Dozenstructuur De dozenstructuur wordt gebruikt om de leerlingen te dwingen groepsgewijs te tellen. In plaats van zichtbare hoeveelheden worden de leerlingen geconfronteerd met een schematische voorstelling van dozen, waarop genoteerd staat hoeveel erin zit. 5

5

5

4x5

5

De dozenstructuur kan ook worden gebruikt om leerlingen 'eerlijk' te laten verdelen. Ze kunnen daarbij één voor één, maar ook groepsgewijs verdelen 2 * 

3

2

3

2

3

2

3

 20 : 4 *

bv. groepsgewijs verdelen: eerst overal 2 en dan elk nog 3

Stroken Hiermee komt het verhoudingsaspect van vermenigvuldigen in beeld. Het sprongsgewijs tellen kan hiermee worden geoefend. 7

7 

7

7

7

4x7

Getallenlijn Het sprongkarakter van zoveel keer komt in beeld. Ook hiermee kan het sprongsgewijs tellen handig worden geoefend.

-

Elke sprong is 2 meter ver. Jan maakt 5 sprongen  5 x 2 = Elke sprong is 2 meter ver. Jan komt terecht op 10 meter.  10 : 2 =

160

OVSG - LEERPLAN WISKUNDE 

DOMEIN 1: GETALLEN

Rechthoek- of oppervlaktemodel Het herhaald optellen geraakt wat op de achtergrond en het vermenigvuldigen krijgt nu een geheel eigen status. Een opgave als 4,2 m x 7,3 m i.v.m. oppervlakte weerspiegelt dit: deze opgave is nog maar moeilijk als herhaald optellen te interpreteren. 'Puzzelproblemen' dienen als introductie tot het rechthoek- of oppervlaktemodel.

4 rijen van 4 = 4 x 4 Dit model biedt later ook steun bij het introduceren van 'handige' telstrategieën. bv. de 'verwisselregel' (commutativiteit) wordt hier direct geïllustreerd, dit is niet het geval met voorgaande modellen, ... .

4x5=5x4



Kruispuntenmodel Dit model is bijzonder geschikt om combinatorische problemen te verduidelijken. Bv. hoeveel combinaties met 4 voorgerechten en 8 hoofdgerechten?

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN


Als criterium voor de modelkeuze geldt de mate waarin een model de eigenschappen van vermenigvuldigen, die bij het leren van de tafels en het maken van de toepassingen ervan een sleutelrol vervullen, goed zichtbaar maken. -

Verschillende aspecten van de vermenigvuldigings- en delingssituatie (de context, de formulering die bij de context past, de notatie, het uitrekenen) dienen samen in relatie met elkaar aangeboden te worden.

-

Contexten, situaties zijn belangrijk. We werken eerst concreet, dan schematisch, dan abstract.

-

Gradatie van informele formulering (in de taal van het kind: 9 keer 4, 4 maal 5, 3 groepjes van 6, ...) naar formele formulering (9 x 4, 4 x 5, 3 x 6, ...). Zo ook van eerlijk verdelen naar gedeeld door.

-

De tafels van vermenigvuldiging en de bijkomende deeltafels dienen met inzicht te worden aangeleerd. Inzicht hebben betekent o.m. dat: 

de vermenigvuldiging wordt gezien als een verkorte optelling van gelijke getallen;



de deling kan worden gezien als een verkorting van herhaald aftrekken;



voor de juiste bewerking (vermenigvuldiging of deling) wordt gekozen om een probleem op te lossen;



in het probleem een vermenigvuldigings- of delingsstructuur wordt herkend;



de vermenigvuldiging of deling uit het probleem kan worden geïsoleerd;



men ook eens de omgekeerde weg kan bewandelen: van de abstracte formulering tot een zinvolle context. Bv. 3 x 6 = 18 ® vertel daar eens iets bij - schrijf er een kort verhaaltje bij;



men vermenigvuldigingen kan koppelen aan corresponderende delingen en vice versa: 3 x 6 = 18  18 : 3 = 6 (verdeel 18 in 3 gelijke delen  verdelingsdeling)  18 : 6 = 3 (hoeveel keer gaat 6 in 18  verhoudingsdeling).

162


DOMEIN 1: GETALLEN

3.3.2

Reconstructiefase

-

Hoe bijvoorbeeld de tafel van 7 gereconstrueerd en gememoriseerd kan worden, wordt hieronder weergegeven. 1x7 2x7 3x7 4x7 5x7 6x7 7x7 8x7 9x7 10 x 7

een weetje verdubbelen; wordt snel een weetje via (2 x 7) + 7 - één maal meer verdubbelen van 2 x 7 halveren van 10 x 7; de helft van 70 via (5 x 7) + 7 - één maal meer of verdubbelen van 3 x 7 gevarieerd, snel een weetje (7 x 7) + 7 of verdubbelen van 4 x 7 (10 x 7) - 7 - één maal minder door de verwisselregel toe te passen (7 keer 10 = 70) of als een weetje (nul achter de 7 zetten)

-

Uit de hier gegeven opsomming leiden we de belangrijkste onderwijsregel voor de tafels af: richt de leerlingen op de centrale steunpunten van tweemaal (verdubbelen), tienmaal en vijfmaal (halveren tienmaal). Via één-maal-meer en één-maal-minder is dan het grootste deel van de betreffende getaltafel te bestrijken. Ook de verwisselregel (3 x 7 = 7 x 3) wordt doeltreffender naarmate de leerlingen meer tafelkennis bezitten. Door de verwisseleigenschap wordt elke tafel in feite steeds opengebroken, waardoor de leerlingen flarden van andere tafels van meet af aan meememoriseren.

-

Voor kinderen die daar moeite mee hebben kunnen we het leerproces in een zestal stappen onderverdelen. 1

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

kapstokproducten

2 3

omdraaien

4 5

één keer meer

6 7

omdraaien

8 9

één keer minder

10

omdraaien Uit: Vandenbussche, P.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCHE KATERNEN 1


Aanleren van de kapstokproducten: deze producten zijn de basis voor het verdere leerproces. In de bijhorende tabel ziet u deze producten aangeduid: 2x1 2x2 2x3 ... 2 x 10

10 x 1 10 x 2 10 x 3 ... 10 x 10

2

Deze kapstokproducten worden vervolgens uitgebreid door de commutativiteit toe te passen: via 2 x 6 wordt nu ook 6 x 2 gevonden. Op de tabel ziet u hoe het aantal producten dat snel kan worden berekend, aangroeit.

3

In een derde stap leren de kinderen de strategie van 'één keer meer' toepassen. Daarmee kunnen ze de kapstokproducten uitbreiden: van 5 x 3 vinden ze nu ook 6 x 3 (6 x 3 = 15 + 3).

4

De producten die in de derde stap aan de tabel werden toegevoegd, kunnen ook weer omgedraaid worden. Weer krijgen we een uitbreiding van de 'uitrekenbare' producten.

5

Via de strategie van 'één keer minder' wordt een product als 4 x 4 berekend: vijf maal vier is twintig, vier eraf geeft zestien.

6

Nemen we van deze laatste producten ook het omgekeerde, dan blijkt dat vrijwel de volledige leerstof van de tafels tot 10 'berekend' kan worden via toepassing van slechts een drietal, nauw aan elkaar verbonden strategieën. Er blijven dan nog vier producten over, die waarschijnlijk 'ingedrild' zullen moeten worden tijdens de reproductiefase: 7 x 7; 7 x 8; 8 x 7 en 8 x 8.

3.3.3

Reproductiefase

-

In deze fase willen we drie doelen verwezenlijken: 1 2

3

-

5x1 5x2 5x3 ... 5 x 10

Nog bestaande hiaten in het kennisbestand opvullen via gevarieerde oefenopdrachten. Memoriseren van alle tafels. Uit de opgebouwde kapstokken en het gebruik van rekenstrategieën zal blijken dat er nog slechts weinig echte 'moeilijke' producten overblijven. Differentiëren naar opdrachten toe: in remediëringskansen voorzien voor wie nog hiaten vertoont in zijn/haar kennisbestand.

Aan te wenden middelen:  oefenspelen: varianten van bingo, domino, kwartet e.d. om snelheid, handigheid en kennis te oefenen.  gevarieerde oefenopdrachten: het maken van tafelproducten wordt verbonden met een bepaalde opdracht waarin zelfcontrole besloten ligt, bv. het verbinden van punten, zodat een mooie tekening ontstaat, het kleuren van gebieden, het ontcijferen van geheimschriften, het doorlopen van doolhoven, ... .

164

OVSG - LEERPLAN WISKUNDE 

DOMEIN 1: GETALLEN

het type opdrachten dat vraagt in welke tafels een bepaald getal, bv. 24, voorkomt. Bij deze type taken kunnen eigenschappen van de producten uit de verschillende tafels ontdekt worden: bv. . een oneven product komt uit een 'oneven' tafel, maar als het product even is, zegt dat over de herkomst uit een even of oneven tafel nog niets; . een product dat op een nul eindigt moet uit de tafel van tien of vijf komen: eindigt het op vijf, dan kan het uit de tafel van vijf of uit een andere oneven tafel komen; . ... De verwisseleigenschap (commutativiteit) van de vermenigvuldiging gaat door dit type opgave echt leven voor het kind.



Tafeldictee of andere vormen van mondelinge lesjes stimuleren het memoriseren.



De computer opent nieuwe mogelijkheden en kansen: tafels oefenen al dan niet in spelvorm, met remediëringskansen (bv. onder de vorm van visuele modellen en schema's), ... .

3.3.4

Fase van consolidatie en uitbreiding

-

Het maken van toepassingen gebeurt in alle fasen. In de fase van uitbreiding gaat het echter speciaal om toepassingen die al wat buiten het besloten terrein van de tientafels liggen en in de richting van het hoofdrekenen en het cijferen gaan. De toepassingen krijgen gestalte in allerlei contexten. Eventueel kan er gebruikgemaakt worden van de modellen. Tracht als leraar toepassingssituaties aan te wenden waarbij de antwoorden context-afhankelijk zijn (zie didactisch katern contexten).

-

Ook in hogere leerjaren moet geregeld aandacht besteed worden aan consolidatie en uitbreiding. Dit kan bv. door contexten aan te bieden waarbij de oplossing van het probleem een decimaal getal is; bv. een wandelroute van 26 kilometer wordt in één dag in 4 gelijke etappes afgelegd. Hoe lang is ieder stuk? (6,5).

HOOFDSTUK 2

4


BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 165

Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten

Inleiding In dit katern zullen we enige aanwijzingen geven hoe een leergang breuken kan opgezet worden vanuit een concrete basis van realistische contexten. Het zijn deze contexten die het inzicht kunnen bevorderen en de samenhang met verhoudingen, kommagetallen en procenten duidelijker maken. In de basisschool wordt het onderdeel „breuken‟ als een van de moeilijkste ervaren. Dit heeft o.m. te maken met het feit dat in de traditionele breukendidactiek de begripsvorming verwaarloosd of te eenzijdig benaderd wordt en meestal helemaal los van het werken met verhoudingen, kommagetallen en procenten. Op deze wankele basis wordt dan vrij vlug doorgestoten naar het formele rekenen met breuken. Voor heel wat leerlingen krijgen de rekenregels die ze dan niet kunnen doorgronden de status van magische trucjes, die ze al gauw door elkaar gaan haspelen of slechts fragmentarisch kunnen toepassen. Het hoeft dan ook niet te verwonderen dat we in elk onderdeel van dit katern de nadruk zullen leggen op de begripsvorming.

4.1

Breuken

4.1.1

Ontwikkeling van het breukbegrip

De traditionele breukendidactiek benadrukt het deel-geheelaspect in het breukbegrip. In dat verband spreekt men zelfs van „echte‟ breuken (deel van één geheel) en „onechte‟ breuken (groter dan één geheel). Met dat laatste hebben de kinderen dan conceptueel uiteraard veel moeite. Deze didactiek, met als concrete basis de versneden taart (breuken als cirkelsectoren), veronachtzaamt de wijze waarop breuken in de realiteit ontstaan: als resultaat van een eerlijke verdeling of als een verfijning bij het meten (met niet-conventionele maten). We richten ons eerst op deze twee bronnen van de breuken. A

Eerlijk verdelen

Het eerlijk verdelen waarbij iedereen een (zo) gelijk (mogelijk) aandeel krijgt, behoort zeker en vast tot de wereld van het kind, ook reeds van kleuters. Soms levert zo‟n eerlijke verdeling een rest op waar je mee blijft zitten: bv. bij de verdeling van 9 snoepjes, knikkers, flippo‟s, kleurpotloden, ... onder 4 kinderen. In andere gevallen kan die rest vermeden worden door te snijden of te breken: bv. bij de verdeling van 6 appels, bananen, koekjes, pizza‟s, pannenkoeken, wafels, chocoladerepen ... onder 4 kinderen. Het eerste breukbegrip ontstaat dan als een beschrijving van de bekomen delen: één en een halve appel, één en twee kwart pizza‟s, ... . In veel gevallen levert de beschrijving van deze verdeelresultaten zogenaamd gemengde getallen op, bestaande uit een geheel gedeelte en een breukgedeelte. Begripsmatig is dat voor kinderen geen probleem, het kan wat lastiger zijn wanneer ze eraan toe zijn om de verkregen resultaten ook wiskundig te noteren: anderhalf wordt dan 1 1/2, 1 2/4 ... . Over deze notatiewijze bestaan nogal wat misverstanden. We gaan er dus even op in, maar eerst willen we erop wijzen dat het noteren van de breuk pas komt nadat kinderen veelvuldig verdelingen in de realiteit of schematisch (op tekeningen) hebben uitgevoerd en in woorden beschreven:

166


DOMEIN 1: GETALLEN

6 pannenkoeken verdeeld over 4 kinderen

     

elk kind één hele en één halve, anderhalve pannenkoek

     

elk kind 3 halve pannenkoeken

     

elk kind 1 en 2 kwart pannenkoeken

     

elk kind 6 kwart pannenkoeken

Uit het voorbeeld met de pannenkoeken blijkt ook dat in dit soort verdeelsituaties niet alleen het breukbegrip zelf opgebouwd wordt maar ook de relatie (gelijkwaardigheid) tussen bv. 1 1/2, 3/2, 1 2/4, 6/4, ...,omdat verschillende oplossingen van het verdeelprobleem door de kinderen kunnen aangedragen worden. Notatie van gemengde getallen Vanuit de formele benadering en de gerichtheid op het wiskundig systeem vinden we in de meeste wiskundemethodes in Vlaanderen een soort ontkenning van het bestaan van (uit de realiteit gegroeide) gemengde getallen. Wanneer men deze toch tegenkwam, dienden ze genoteerd als een rationeel getal (verhouding tussen 2 gehele getallen): 3/2, 6/4, ... of als een bewerking tussen een geheel getal en een rationeel getal: 1 + 1/2, 1 + 2/4 ... . Het plusteken tussen het gehele en breukgedeelte werd verantwoord vanuit de idee dat later, in het secundair onderwijs, de kinderen twee opeenvolgende getallen als een vermenigvuldiging dienden te interpreteren: 3 5/8 zou dan 3 x 5/8 betekenen. Dit slaat uiteraard nergens op. Dit zou betekenen dat de notatie 57 zou moeten gezien worden als 5 x 7 i.p.v. als zevenenvijftig. In de algebraïsche notatie wordt het teken voor de vermenigvuldiging slechts weggelaten als er geen dubbelzinnigheid mogelijk is: bv. ab = a x b 7y = 7 x y. Wanneer 34 als 3 x 4 gezien moet worden zullen we een notatie als 3 x 4, 3.4 of 3(4) gebruiken. Aangezien we vierendertig als 34 noteren en niet als 30 + 4, kunnen we ook twee en een half blijven noteren als 2 ½ en niet als 2 + 1/2. Overigens zijn gemengde getallen bevattelijker dan rationele getallen. Om een idee te krijgen van hoe groot 16/3 bv. is (waar plaats je dat getal op een getallenlijn?), zal je dat quasi automatisch omzetten naar een gemengd getal: 5 1/3 zegt meer, het ligt tussen 5 en 6. Het is dus een goede gewoonte om de kinderen breuken met een grotere teller dan noemer, te laten omzetten in gemengde getallen opdat die breuken voor hen meer betekenis zouden krijgen. Dat is vooral van belang in latere stadia van het breukenonderwijs, bij het uitvoeren van bewerkingen (naakt of in context). Bij elk resultaat van een bewerking met breuken moeten kinderen zich nog iets kunnen voorstellen, het mag geen ondoorzichtig gegoochel met cijfers boven en onder de breukstreep worden.

HOOFDSTUK 2 B



Breuken als verfijnde maten

Hans stapt de lengte van de klas af. Bij zijn twaalfde stap komt zijn voet tegen de muur terecht. “11 stappen en nog wat” zegt hij. We concentreren ons op het “nog wat”-gedeelte. De meeste kinderen schatten dat op iets meer dan een halve stap. Vanuit de meetactiviteit komen deze kinderen tot de ervaring dat een voorafgekozen maateenheid vaak niet volstaat om een reëel voorwerp te meten, dat de maat verfijnd moet worden. Vertrekkend van dit gegeven kunnen we van de stappen van Hans een strook maken en op die strook verdere verfijningen aanbrengen, bv. via een aantal keren halveren van de maateenheid (in twee vouwen van de strook):

De lengte van de klas wordt nu bepaald op 11 5/8 stap van Hans. Zoals bij de verdeelsituaties komen we weer op gemengde getallen uit, nu als beschrijving van het meetresultaat. En ook hier krijgen we onmiddellijk zicht op de relaties tussen de breuken (5/8 is iets meer dan ½, 1/4 = 2/8 ...). Het meten met stroken is daarmee ook een goede introductie van de breuk als getal, met een plaats op de getallenlijn. Met het strokenmodel in het achterhoofd zullen de kinderen in een later stadium van hun leerproces breuken kunnen situeren op de getallenlijn, eventueel zelf onderverdelingen aanbrengen op de strook (die nu een lijnstuk geworden is): Plaats 3/5 en 1 6/10 op de getallenlijn.

168


DOMEIN 1: GETALLEN

De overschakeling van het in-woorden-beschrijven van de delen naar de formele breuknotatie is ook handig te maken binnen het taartmodel: Ik snij een taart (breukstreep) in 5 stukken (noemer: zo‟n stukje noem ik dan een vijfde) en ik neem er 2 van (teller): 2/5. Een nadeel van de eigen identiteit van elke (stam)breuk binnen het geheel is wel dat de breuken dan te vlug als onbenoemde getallen beschouwd worden die enkel tussen 0 en 1 te situeren zijn. Het verdient dus aanbeveling om naast het deel-geheelaspect bij de begripsvorming ook de andere aspecten uit te werken en in de aanvangsfase de breuken te benoemen: 2/5 taart, 1 ½ appel, 11 5/8 stap of strook, ... . De verwijzing naar concrete realiteiten is in deze fase nog te belangrijk.

D

De breuk als operator

De idee van de breuk als operator ontstaat op een vrij natuurlijke manier: van het „ver-delen‟ naar het deel van een geheel, naar het deel van een aantal. Als we een appel in twee verdelen krijgen we twee halve appels. De helft van een appel is een halve appel. Als we 4 snoepjes in twee verdelen krijgt ieder ook de helft. De helft van die 4 snoepjes is twee. Het weergeven van de verdeeloperatie als een stambreuk van één geheel of van een aantal is niet zo‟n groot probleem voor kinderen van 6 à 7 jaar. Ook de latere uitbreiding naar breuken met een teller groter dan 1, lukt nog wel: in een rolletje snoep zitten er 20. Mirko heeft er op één dag al 3/4 van opgegeten. Hoeveel zijn er dat? De redenering dat 3 vierde 3 keer een vierde of de som van 1/4 + 1/4 + 1/4 is wordt hier door de kinderen gevolgd. Dus 3/4 van 20 is 3 x 5 of 5 + 5 + 5 = 15. Het conceptueel probleem ligt vooral in de gelijkschakeling van „deel van een aantal‟ met de vermenigvuldiging: 3/4 (deel) van 20 is hetzelfde als 3/4 x 20. Deze formalisering is ver van evident: intuïtief lijkt een deel nemen van iets en iets zoveel keer nemen niet direct hetzelfde. We kunnen hierbij best weer met gemengde getallen werken in een voorstelbare context. Voorbeeld: De piste rond het voetbalveld is 400 m. De atleten lopen er 2 en een halve keer rond. Hoeveel m lopen ze? 2 1/2 x 400 m = 1.000 m. Hiermee leggen we de verbinding tussen de helft (van een ronde) van 400 m en 1/2 keer (maal) die 400 m. Daarna kunnen we dat met getallen (onbenoemd): 1 1/2 keer 12 = 1 keer 12 + 1/2 (keer of de helft van) 12 = 12 + 6 = 18. Pas als deze verbinding goed gelegd is gaan we in de klas door elkaar een „deel van een aantal‟ noteren als de breuk maal dat aantal : 1/3 van 12 = 1/3 x 12 = 4.

E

Verhoudingen en kansen

Numerieke verhoudingen komen eerst aan bod als zoveel op (van) zoveel. Bij een kralenketting is 1 op 4 kralen een rode, 4 van die 10 eieren zijn bruin, er zijn nog 3 van de 8 plaatsen leeg in dat minibusje. Bij de verwoording kan aandacht gegeven worden aan 1 op 4, 1 van de 4, 1/4 van de kralen zijn rood. Globaal schattend kan de verhoudingentaal en de breukentaal al verbonden worden: Ik heb al 43 bladzijden van mijn boek gelezen (in totaal 121 bladzijden). Welk deel is dat ongeveer? ongeveer 1/3 ... Verhoudingen komen ook vrij vroeg in beeld via toepassingssituaties waarin de recht-evenredigheid een rol speelt: met z‟n drieën hebben we een hele fles limonade uitgedronken. Hoeveel limonade hebben we nodig om de dorst van heel de klas te lessen (24 kinderen)? Ruilsituaties (met of zonder geld) zijn ook op verhoudingen gebaseerd: één potlood voor 5 flippo‟s. Wat krijg ik voor 15 flippo‟s? Het vlees staat 570 BEF per kg. Hoeveel betaal ik voor 200 g ...? Bij dit soort situaties kan eventueel de verhoudingstabel al geïntroduceerd worden die dan weer van nut zal zijn om verdeel-.

HOOFDSTUK 2



situaties en breuken die daarbij ontstaan te vergelijken (zie 1.2.1) gewicht

1 kg

2 kg

prijs

570 fr.

1 140 fr.

200 g 114 fr.

Ook het begrip „kans‟ verschijnt eerst als een verhouding: Als ik bij een spel met dobbelstenen minstens 3 moet gooien om nog te kunnen winnen, heb ik 4 kansen op 6 om dat te doen. Een kans noteren als breukvorm komt in een latere fase, bv. via 1 kans op 2 dat het nieuwe kindje in mama haar buik een jongetje is. De kans op een jongen is ½ (en dus levert ca. de helft van de geboortes een jongen op). De relatie tussen kans en de werkelijkheid is echter een zeer lastige. Slechts bij zeer grote aantallen komen kans en realiteit bij elkaar. Het is de ervaring van kinderen dat ze vaak meer dan 6 keer moeten gooien met de dobbelsteen om bv. een zes te gooien. Of dat ze in hun gezin met 3 meisjes zijn ... . Hoe zit dat dan met die kans van ½ voor jongens en 1/6 om een 6 te gooien? Met kinderen van 10 à 12 jaar kan hierover al gereflecteerd worden, maar over de betekenis van kans en waarschijnlijkheid bestaan ook bij volwassenen nog veel misverstanden, die we in de basisschool zeker niet allemaal uit de weg zullen ruimen: bv. als je twee keer gooit, heb je dan dubbel zoveel kans om minstens één 6 te gooien? (die kans is 11/36 en niet 2/6 : kans op een 6 enkel de eerste keer : 1/6 x 5/6 (kans op geen zes) = 5/36 kans op een 6 enkel de tweede keer: 5/6 x 1/6 = 5/36 kans op 2 zessen: 1/6 x 1/6 = 1/36 kans op (minstens) 1 keer zes bij twee keer gooien is 5/36 + 5/36 + 1/36 = 11/36)

F Breuk als getal We vertrekken met breuken als benoemd getal: 2 1/2 banaan, 3/4 appel, 1/2 reep chocolade, 2 1/4 meetstrook... . Zoals we eerder al stelden kan de associatie van de serie meetstroken naar de getallenlijn gemakkelijk gelegd worden. Waar we op de bovenste tekening nog 3 ½ strook situeren, gaan we op de onderste het getal 3 ½ plaatsen.

Maar de breuk als (onbenoemd) getal met een plaats op de getallenlijn komt niet in de aanvangsfase van de vorming van het breukbegrip. Breuken ordenen op een getallenlijn kan pas als de gelijkwaardigheid tussen bv. 2/3, 4/6, 6/9, ... ook duidelijk geworden is, nadat breuken herhaaldelijk vergeleken zijn. Dat vergelijken vormt dan weer de aanzet tot bewerkingen met breuken, in de eerste plaats de aftrekking: als we een verschil gevonden hebben, willen we ook wel weten hoe groot dat verschil is ... .

170


4.1.2

Bewerkingen met breuken

A

Vergelijken, aftrekken en optellen

DOMEIN 1: GETALLEN

Voor de basisoperaties van het vergelijken van breuken, het verschil bepalen tussen 2 breuken en breuken optellen kan men vertrekken vanuit verschillende contexten die dan als model kunnen gehanteerd worden in de verdere leergang. We geven twee voorbeelden. Het ene gebaseerd op verhoudingen, het andere op deel-geheelaspect. - De pizzacontext en de verhoudingstabel In een pizzarestaurant zijn er tafels met 4 stoelen. Voor de 4 kinderen aan tafel bestellen we maar 3 pizza‟s, want het zijn grote. De kinderen aan de tafel verdelen die eerlijk. Een andere groep schuift 2 tafels bij elkaar, die krijgen 6 pizza‟s voor 8 kinderen. Is dat evenveel? Hoeveel krijgt elk? Zijn er nog tafelschikkingen waar ze evenveel krijgen? In verhoudingstabel: Pizza‟s

3

6

Kinderen 4 8 Deze tabel is links en rechts uitbreidbaar om de verschillende vragen op te lossen: naar rechts krijg je gelijkwaardige verhoudingen. Naar links (hoeveel krijgt elk) komt de breuk tevoorschijn:

P

3/4

3

6

9

12

15

K

1

4

8

12

16

20

Bij de volgende stap gaan we ons richten op het verschil: 3 pizza‟s voor 4 kinderen aan tafel 1, 2 pizza‟s voor 3 aan tafel 2. Wie krijgt meest? Hoeveel meer? tafel 1 P

3

6

9

K

4

8

12

P

2

4

6

8

K

3

6

9

12

tafel 2

De verhoudingstabellen worden voortgezet tot we een vergelijkbare situatie vinden. Die vergelijkbaarheid ontstaat eerst in de teller: aan tafel 1 6 pizza‟s voor 8 kinderen, aan tafel 2 evenveel voor 9 kinderen. Dan weten we al dat men aan tafel 1 wat meer krijgt. Om te vinden hoeveel meer moet de verhoudingstabel nog wat voortgezet worden, tot het aantal kinderen (de noemer) gelijk is. Aan tafel 1: 9 pizza‟s voor 12 kinderen, aan tafel 2 maar 8 pizza‟s voor 12 kinderen. Als we in

HOOFDSTUK 2



beide gevallen de pizza‟s stuksgewijze verdelen krijgt de 1ste groep elk 9/12 pizza, de tweede groep 8/12. Aan tafel 1 hebben ze dus 1/12 pizza meer. In formele breukentaal (gelijknamig maken) wordt dit 3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12. Hoeveel pizza heeft iemand gegeten als hij eerst aan tafel 1 zat en daarna aan tafel 2? Het gelijknamig maken van de op te tellen breuken verloopt dan op dezelfde manier als bij het vinden van het verschil. Aan tafel 1: 9/12 pizza en dan nog 8/12 pizza aan tafel 2; samen 17/12 of 1 5/12 pizza, dat is iets minder dan anderhalve pizza.

- De chocoladereepcontext (deel van geheel - deel van aantal) Wouter en Willem hebben elk een reep chocolade gekregen. Wouter eet de helft op, Willem een derde. Hoe ziet die reep eruit waar je zowel 1/2 als 1/3 kunt van nemen? Hoeveel stukjes heeft die? Kinderen van een vierde leerjaar vinden gauw dat een reep met 6 stukjes daar best bij past. Wouter

½ reep: 3 van de 6 stukjes Willem

1/3 reep: 2 van de 6 stukjes Het verschil is 1 stukje (1 van de 6 stukjes, dus 1/6). Samen hebben ze 5 stukjes opgegeten (5 van de 6 stukjes of 5/6) Om te kunnen vergelijken, verschil en som bepalen, kunnen we dus altijd op zoek gaan naar een passende verdeling in onze chocoladereep of -plak (als we meer stukjes nodig hebben). Wie heeft het meest chocolade gegeten deze week? Wouter 3/5 van een plak, Willem 5/8 plak.

Een plak van 40 stukjes kan je zowel in 5 als in 8 verdelen. Willem heeft dan 5 keer 1/8 plak verorberd, dat is 5 keer 5 stukjes of 25 stukjes van de 40; 25/40

172


DOMEIN 1: GETALLEN

plak. Wouter at 3 keer 1/5, 3 x 8 stukjes of 24/40. Willem heeft 1 stukje van zo‟n 40-plak meer gegeten, het verschil is 1/40. Het eindpunt is ook hier na het gelijknamig maken (zoek een geschikte reep of plak) het formele noteren: 5/8 - 3/5 = 25/40 - 24/40 = 1/40. Uiteindelijk mondt een dergelijk opgebouwde leergang uit in het herkennen van de gelijke noemer (40) als kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de aparte noemers: 5 en 8. Maar door deze opbouw kunnen ook kinderen die aan die formalisatie niet toe zijn op hun niveau - bv. met behulp van het chocoladereepmodel dezelfde breukproblemen oplossen als de andere leerlingen in de klas. B Vermenigvuldigen en delen De vermenigvuldiging van een breuk met een natuurlijk getal hebben we reeds aangegeven bij de omzetting van „een deel van een aantal‟ naar „breuk x aantal‟ (zie 4.1.1 D: breuk als operator). Een breuk delen door een natuurlijk getal is een voortzetting van verdeelsituaties: Er is reeds een halve taart op, nog 4 kinderen willen een stuk; hoeveel krijgt ieder? Op dat moment weten de leerlingen al dat „delen door 4', „1/4 van‟ en „1/4 x‟ hetzelfde betekenen. 1/2 : 4 = 1/4 x 1/2 (breuk maal stambreuk) Dit kan weer met het chocoladerepenmodel benaderd worden. Een reep van 8 stukjes kan ik eerst in 2 en dan nog eens in 4 verdelen. 1/2 reep is 4 stukjes, 1/4 van 1/2 reep is 1 stukje (van de acht, dus 1/8). De onderverdeling van de chocoladeplakken is verder ook bruikbaar als veralgemening van het rechthoeksmodel van de vermenigvuldiging, waardoor „breuk x breuk‟ altijd te visualiseren is. Deze didactische aanpak kan veel verhelderen voor kinderen en zo „breuk x breuk‟ toch toegankelijk maken voor hen hoewel we het in onze leerlijn enkel als uitbreidingsdoel opnamen (leerlijn 1.14, doel 1, zesde gedachtestreepje) Hoeveel is twee derde van driekwart (2/3 x 3/4 ?) 1/4

2/4 3/4

Een plak van 12 stukjes kan eerst in 3 en dan in 4 verdeeld worden. De vermenigvuldiging 2/3 x 3/4 levert 6 van de 12 stukjes op, dat is de helft: 2/3 x 3/4 = 6/12 = 1/2. Langs deze weg kan de algemene regel (vermenigvuldig de noemers en de tellers met elkaar) geleidelijk ontdekt worden. Het formele delen door een breuk (met het „trucje‟: vermenigvuldig met het omgekeerde) zouden we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs. Delen door een breuk kan wel als verhoudingsdeling in voorstelbare contexten die ook oplosbaar zijn zonder een „deling‟ uit te voeren: bv. - Ik heb eindjes touw nodig van 3/4 m. Op mijn bol zit 12 m. Hoeveel stukken touw kan ik daaruit snijden? - Een wijnfles (0,7 l) wordt op tafel gezet. Hoeveel glazen van ongeveer 1/8 liter kan ik vullen met een fles?

HOOFDSTUK 2



- Mijn papa heeft onze tuin afgepast en kwam rond in 120 stappen. Een stap van mij is slechts 2/3 van die van mijn vader. Hoeveel passen heb ik nodig om rond de tuin te gaan? - Ik heb 3 repen chocolade. Als ik halve repen wil uitdelen, hoeveel kinderen kan ik dan gelukkig maken? En als ik stukken van 1/3 reep ga uitdelen? Bij dat laatste voorbeeld kan je weer met ondermaten werken. Het probleem 3 : 1/2 of 3 : 1/3 wordt dan weer omgezet in een verdeling van gehele stukjes.

(1/3 reep is 2 stukjes; 3 repen is 18 stukjes) 3 : 1/3 wordt dan (in stukjestaal) : Hoeveel keer kan ik 2 stukjes uit 18 stukjes nemen? 18 : 2 = 9 3 : 1/3 = 9 Deze situatie met repen en stukjes (als ondermaat) is ook op een soort dubbele getallenlijn neer te zetten om het verband tussen de gehelen en breuken (repen) aan de ene kant en de gehele getallen die een hulpmiddel voor berekeningen vormen (de stukjes) aan de andere kant duidelijk aan te geven

4.2

Kommagetallen

Kommagetallen kunnen via drie verschillende wegen geïntroduceerd worden bij de leerlingen: als voortzetting van het positiestelsel van ons getalsysteem, als andere schrijfwijze van tiendelige breuken (1/10, 1/100, 1/1000,...), als verfijning van maateenheden. We denken dat de instap via meetcontexten meest aangewezen is, omdat daarbij de band met de realiteit een inzichtelijke begripsvorming best kan ondersteunen. 4.2.1

Begripsvorming

Kinderen worden in hun dagelijks leven met kommagetallen geconfronteerd als benoemde maatgetallen: op een brikje appelsap staat 0,2 l, een fles limonade bevat 1,5 l, de kilometerteller van zijn fiets geeft aan dat iemand 3.78 km van school woont, ze zien dat in de garage waar papa tankt een liter benzine 37,08 fr. kost ... . De invoering van de euro zal trouwens het werken met kommagetallen in geldcontexten wellicht vlugger in de kinderwereld brengen dan nu met de op de achtergrond geraakte centiemen. Lengtemeting is door haar visueel karakter de meest concrete instap voor kinderen. Als we bv. in de turnles noteren hoe ver iedereen uit de klas kan springen, hebben we een schat aan gegevens

174


waarmee in de rekenles kan gewerkt worden.

DOMEIN 1: GETALLEN

HOOFDSTUK 2



Vanuit de notatie in m en cm gaan we over naar een nieuwe notatie: Elke sprong 3 m en 12 cm; we noteren 3,12 m en plaatsen dat op onze grote „springmeter‟ in de klas.

Door met de m en de cm te werken gaan we onmiddellijk 2 cijfers na de komma noteren. Dit maakt het mogelijk om van bij de aanvang de notatiewijze van 3 m en 8 cm (de sprong van Joeri) als probleem te stellen: De sprong van Jo was 3 m en 80 cm  3,80 m. De sprong van Joeri was 3 m en 8 cm: kunnen we dat noteren als 3, 8m? Onmiddellijk komt de plaatswaarde van de cijfers (naar analogie met de gehele getallen) in het vizier. De 8 van Jo‟s sprong is 80 cm of 8 dm waard. Die van Joeri is maar 8 cm waard. Die mag dus niet op dezelfde plaats staan. Die moet op de plaats van de cm. We lossen dat op door 3,08 m te noteren. Van bij de aanvang verbinden we de benoemde maatgetallen met de positiewaarde. Bij de overgang naar onbenoemde kommagetallen leggen we dan de band met de tiendelige breuken. Moeten we na de eenheid verfijnen, dan krijgen we in het positiestelsel tienden (1 dm is 1/10 m, is 0,1 m) en honderdsten (1 cm is 1/100 m, is 0,01 m):

T

m

dm

cm

E

t

h

3,

0

8

Als de leerlingen na deze instap nog materialiseringen nodig hebben voor de positiewaarde van het gedeelte na de komma, kunnen we daar de abacus bij gebruiken. Hebben ze dat ook nodig voor de relatie met tiendelige breuken, dan kan het MAB-materiaal misschien dienstig zijn, al moeten we opletten voor verwarring als de kinderen dat materiaal ook op vroegere leeftijd op een andere manier gebruikten (het blok als 1000, de plak als 100, ...).

Binnen de meetcontext kan ook van bij de aanvang van de leergang kommagetallen de band gelegd worden met de gewone breuken: 3,50 m is 3 m en 50 cm, is 3 ½ m; 250 g is 1/4 kg, is 0,250 kg; 0,2 l is 2 dl (of 20 cl), is 1/5 l ... .

176


DOMEIN 1: GETALLEN

In de fase van de begripsvorming (en ook later nog) zal de leraar bijzondere aandacht moeten schenken aan twee sterke foutenbronnen bij het werken met kommagetallen: het asymmetrisch karakter van de kommagetallen en de kommascheiding. - asymmetrie t.o.v. de komma: Hiermee wordt bedoeld dat de tientallen en de tienden, de honderdtallen en de honderdsten, ... in het positiestelsel niet symmetrisch staan t.o.v. de komma, maar wel t.o.v. de eenheden.

Dit kan tot misverstanden aanleiding geven in bv. 233,087 : de 7 betekent 7 honderdsten (3 plaatsen na de komma geeft honderdsten, want 3 plaatsen vóór de komma zijn honderdtallen). Deze foutenbron speelt echter niet zo‟n grote rol als de kommascheiding.

- kommascheidingsfout: Hiermee wordt bedoeld dat de getallen voor en achter de komma als een zelfstandigheid worden opgevat en behandeld. Bv. 0,3 is kleiner dan 0,12 want 3 is kleiner dan 12 3,8 ¹ 3,80 want 8 ¹ 80 3,14 + 2,4 = 5,18 want 14 + 4 = 18 Deze veelvoorkomende fout hangt samen met de manier waarop kommagetallen meestal gelezen worden: 3,14 als “drie komma veertien”; 2,4 als “twee komma vier”. Vandaar dat in de fase van de begripsvorming deze (later niet te ontlopen) courante leeswijze beter kan vermeden worden. Aanvankelijk zal men bij het lezen van kommagetallen aandacht geven aan de plaatswaarde en bv. 3,14 lezen als “3 en 14 honderdste” of “3 en één tiende en 4 honderdste”. Oefeningen in het vergelijken en ordenen van kommagetallen (met plaatsing op getallenas) zijn in deze fase van belang. Bv. - Schrijf van klein naar groot: 0,3 0,237 0,24 0,23 1/4 - Welk getal ligt net tussen 1,4 en 1,5 ?

4.2.2

Rekenen met kommagetallen

Algemeen kunnen we hierbij stellen dat schatten op grond van afrondingen, en dus hoofdrekenen, belangrijker is dan het hanteren van strikte rekenregels bij het cijferen. Didactisch is het aangewezen de rekenregels (bv. over de plaats van de komma) te laten ontdekken i.p.v. ze vooraf te geven en dan in oefeningen te laten toepassen. Ook hier staat een meer inzichtelijke opbouw op de voorgrond. Het praktisch belang van cijferen met kommagetallen neemt trouwens af door het gebruik van de zakrekenmachine.

HOOFDSTUK 2 A



Optellen en aftrekken

Bij het optellen en aftrekken van kommagetallen is de grote moeilijkheid dat men de bewerkingen moet uitvoeren met de plaatswaarde van de cijfers in het achterhoofd. Bij hoofdrekenen zal men dus vooral de kommascheidingsfout moeten vermijden, bv. door te herformuleren: 3,37 - 1,7 als 3,37 1,70. Bij het cijferen is het vooral een kwestie van ervoor te zorgen de getallen zo te schikken dat de overeenkomstige posities onder elkaar staan. Om het inwisselen inzichtelijk te laten verlopen kan men teruggrijpen naar de abacus en een positiekaart. Geleidelijk aan evolueert dit naar ordelijk schikken (komma‟s onder elkaar eventueel aanvullen met nullen achteraan) zonder hulpmiddelen. Voorbeeld: 1,675 + 1,49

abacus

positiekaart

ordelijke schikking

1, 6 7 5 +1, 4 9 (0) 3, 1 6 5

uit: Streefland, 1995, p.42

“Abacus en positiekaart zijn beide gericht op het uitstellen van het inwisselen en de overdracht, wat de belasting van het werkgeheugen sterk vermindert. Op de abacus kan men naar believen de komma op de gewenste plaats aanbrengen. Beide hulpmiddelen staan in dienst van de inzichtelijke onderbouwing, gebaseerd op maatverfijning en het benadrukken van de samenhang in een kommagetal.” B

Vermenigvuldigen en delen

Bij het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen met natuurlijke getallen loert de kommascheidingsfout ook altijd om het hoekje: 2,24 x 5 = 10,120 (2 x 5 is 10 en 24 x 5 is 120) 8,24 : 4 = 2,6 (8 : 4 is 2 en 24 : 4 is 6) Bij het aanvankelijke hoofdrekenen kunnen we dan ook best het kommagedeelte benoemen: 2 m en

178


DOMEIN 1: GETALLEN

24 cm x 5 of 2 en 24 honderdsten x 5 omdat dan de plaatswaarde van de verkregen getallen expliciet in rekening gebracht wordt: 5 keer 24 cm is 120 cm, is 1,20 m; 5 x 24 honderdsten = 120 honderdsten of 1,20; dat mag ik niet schrijven als 0,120 want dat zijn 120 duizendsten of 12 honderdsten... . De kommaplaatsingsregel bij het (cijferend) vermenigvuldigen hoeft niet vooraf gesteld. We vertrekken van een schatting. Bv. we zoeken de oppervlakte van een kamer van 3,8 m op 5,2 m. Dat is ongeveer 4 m op 5 m, dus zowat 20 m². Uitrekenen (zonder komma‟s) levert:

38 x 52 76 1900 1976

Gezien de schatting van 20 zullen we de komma na de 9 plaatsen: 19,76 m². Dit kan ook door de m in dm om te zetten. 38 dm x 52 dm is 1976 dm² (zonder komma‟s). En nadien herleiden (1 m = 10 dm, 1 m² = 100 dm²) : 3,8 m x 5,2 m = 19,76 m² Door eerst te schatten of via herleiden te werken vermijdt men blind toepassen van de regel: tel het totaal aantal cijfers na de komma in beide getallen, het product heeft evenveel cijfers na de komma als dat totaal. De rekenregels bij het delen door kommagetallen, in het bijzonder het wegwerken van de komma in de deler, dienen voorbereid door het vermenigvuldigen en delen met machten van 10, het ontdekken van de daarmee samenhangende regels voor kommaverschuiving (102 : 10 = 10,2 3,62 x 100 = 362 ...) en door de deling op te vatten als een verhouding. Via de verhoudingstabel vinden we dat 3,7 : 10 gelijkwaardig is aan 37 : 100 ... .

Deze voorbereiding zal het mogelijk maken 8 : 0,4 inzichtelijk om te zetten naar 80 : 4. Het werken met uitsluitend natuurlijke getallen in de lagere leerjaren heeft bij de meeste kinderen de opvatting doen ontstaan dat vermenigvuldigen altijd betekent “groter maken” en dat delen een verkleinend karakter heeft. Naast kommascheiding kunnen veelvoorkomende fouten als 0,4 x 0,2 = 0,8 of 5 : 0,1 = 0,5 ook met deze misvatting te maken hebben. Daarom is het nodig aan het vermenigvuldigen en delen met kommagetallen kleiner dan 1 apart aandacht te besteden. Verbinding met breuken < 1 is hierbij ook belangrijk; 3 : 0,5 is 3 : 1/2, te vertolken als hoeveel stukken van een half kan ik uit bv. 3 volledige repen chocolade halen? Het quotiënt 6 is duidelijk groter dan het deeltal 3. Bij die relatie tussen breuken en kommagetallen zal men dan ook nog oog moeten hebben voor fouten die ontstaan uit een soort gelijkstellen van de komma met de breukstreep: 1,4 = 1/4 , 3/8 = 3,8 e.d..

HOOFDSTUK 2

4.3



Procenten

Procenten (zoveel op honderd) vormen een soort standaardbreuk of -verhouding. Ze beschrijven deel-geheelrelaties of veranderingssituaties (toename of afname, geheel plus- of min-deel) of fungeren daarbij als operator. Percentages komen in het dagelijks leven zeer veel voor, leiden daar als het ware een eigen leven, maar worden niet altijd correct gebruikt omdat ze soms moeilijk te vatten zijn. We geven eerst een overzicht van de verschillende situaties, met telkens een voorbeeld.

1

Deel-geheelrelaties

a. Becker heeft in de eerste set 28 van de 35 eerste opslagen goed geslagen. Wat is zijn % geslaagde 1ste services? b. In een potje jam zit 40 % vruchten. Hoeveel is dat in een pot van 450 g? c. Jan besteedt 5 % van zijn spaargeld aan een nieuwe cd van 550 fr. Hoeveel spaargeld had hij?

Geheel

Deel

Procent

35

28

?

450 g

?

40%

?

550 F

(Begin)

(Eind)

5%

2 Geheel min of plus deel

a. Een fiets kostte eerst 5 000 fr., nu 4 200 fr. Hoeveel % ging eraf? b. Een krant van 30 fr. wordt 10 % duurder. Hoeveel moet ik nu betalen? c. Een auto kost 450 000 fr., 25 % BTW inbegrepen. Hoeveel kost die zonder BTW?

5 000

30

4 200

?

?

(Verandering) ?

10%

450 000

25%

In een didactische opbouw zullen we er rekening moeten mee houden dat deze problemen sterk verschillen in moeilijkheidsgraad: veranderingssituaties zijn moeilijker dan deelgeheelbeschrijvingen; het zoeken van het geheel of terugkeren naar de beginsituatie is moeilijker dan het deel of % opsporen ... . Als vertrekpunt kunnen we best 1a-situaties nemen, waarbij we verschillende verhoudingen willen vergelijken. Het is omwille van die vergelijking dat de noodzaak van een normering wordt aangevoeld, een beetje zoals bij de overstap van meten met onconventionele naar geijkte maateenheden. De start kan bijvoorbeeld liggen bij een probleem als dit: De griepepidemie heeft ook in onze school toegeslagen: 7 van de 25 kinderen van ons 5de leerjaar zijn ziek. Meester Patrick hoorde deze morgen van de juffen van het eerste dat er bij hen al 10 van de 40 kinderen ziek zijn. Waar zijn er nu procentueel gezien de meeste zieken? Bij het zoeken van de percentages (hoeveel zouden er ziek zijn op 100) kan de verhoudingstabel weer dienstig zijn:

180


DOMEIN 1: GETALLEN

5de leerjaar

28 % ziek

7

14

28

Tot.

25

50

100

1ste leerjaar

25 % ziek

10

5

25

Tot. 40 20 100 Het is belangrijk om van bij de aanvang de verbinding te leggen met breuken en kommagetallen. Deze kunnen zeer bruikbaar zijn bij berekeningen, als het percentage als operator gehanteerd wordt: - 25 % van 4 800 F is 1/4 van 4 800 fr. - 40 % van 450 g is 4/10 (2/5) van 450 g of 450 g x 0,4 Als deze gelijkwaardigheid goed functioneert kan die flexibel ingezet worden bij het oplossen van problemen. Dan moeten we slechts zeer zelden teruggrijpen naar de dwangmatige 1%-regel : 40 % van 450 g ?  1 % = 450 g 100 40 % = 450 g x 40 100 Bij problemen van groei of afname moeten we speciaal aandacht vestigen op de asymmetrie: bv. een verdubbeling betekent een toename met 100 %, een halvering betekent echter een afname met 50 %! Dit probleem kunnen we aan de orde stellen via de context van het kopieerapparaat. We beschikken over twee kopieën in de verhouding 4 : 5 (de paperclip is op het ene blad 5 cm lang, op het andere 4 cm). De vraag is: op welk % was het apparaat ingesteld? We weten wel niet welk blad het origineel was.

Sommige kinderen nemen het kleinste als origineel. 4 cm is dan de beginsituatie of 100 %. 5 cm (een verschil van 1 cm = 1/4 of 25%) is de eindsituatie. We krijgen dus een toename van 25 %. Het apparaat was ingesteld op 125 %. De groep die het andere standpunt innam (5 cm is het origineel = 100 %), vindt een verschil van 1 cm = 1/5 of 20 %. Voor hen was het apparaat ingesteld op 80 %.

HOOFDSTUK 2

DIDACTISCHE KATERNEN begin

eind

BREUKEN, KOMMAGETALLEN, ... 181 verandering

= 100 % 4 cm

5 cm

+ 25 %

= 100 % 5 cm

4 cm

- 20 %

In dit geval kan je kiezen wat je als 100 % beschouwt. In het probleem van de auto zonder BTW (2 c) is dat niet zo. Het probleem is wel al half opgelost als je daar het correcte standpunt inneemt: 450 000 F is 125 %. We moeten dus niet 1/4 van 450 000 fr. aftrekken, maar 1/5. Een andere kwestie die in de eindfase van de basisschool aandacht zal moeten krijgen, is het samenstellen van percentages. Er kan gerekend worden met percentages van een percentage, bv. : On-geveer 60 % van de Vlamingen gaat jaarlijks op vakantie. 40 % daarvan gaat naar het buitenland. Hoeveel zijn er dat? Iets anders is het (vaak ten onrechte) optellen van percentages. We moeten kinderen daar ook mee confronteren om ze de waarde van statistische argumenten kritisch te leren bekijken. Bv.

In het eerste leerjaar kampt ongeveer 15 % van de kinderen met leesproblemen. En 10 % heeft last met rekenen. Zo‟n kwart van de leerlingen riskeert dus al te moeten overzitten in het eerste leerjaar! Mag je die conclusie hier trekken?

Zicht op de relativiteit van het begrip percentage moet in elk geval tot de doelstellingen van het basisonderwijs behoren. Een stijging van 2 naar 3 of van 1 000 naar 1 500 is telkens 50 %. Om daar echt de betekenis van te vatten zullen we toch naar de context moeten kijken ... . En 5 % (van wat?) is natuurlijk niet altijd kleiner dan 10 % (van iets anders?). Omwille van deze relativiteit is het beter procenten niet als een getal op te vatten (met een plaats op de getallenas). Getallen hebben immers een absolute waarde. Die kunnen ook altijd opgeteld worden ... .

4.4

Verhoudingen

In elk van de vorige onderdelen kwam de idee van verhoudingen reeds aan de orde. We zouden kunnen stellen dat verhoudingen het fundament vormen voor het werken met breuken, kommagetallen en procenten, als een rode draad door die leergangen lopen en er samenhang aan geven. Dit zou misschien kunnen suggereren dat het werken met verhoudingen beperkt is tot numerieke verhoudingen. De eerste ervaringen en noties van verhouding worden door kinderen nochtans opgedaan met visueel waarneembare dingen, en niet zozeer met getallen. Het gaat dan vooral over vergroten en verkleinen, vergelijken van speelgoedautootjes met echte, van poppen met mensen, van foto‟s met de werkelijkheid of van foto‟s in verschillende formaten van dezelfde werkelijkheid. Allerlei sprookjes en verhalen (Kleinduimpje en de reus, Nils Holgersson, Gulliver, ...) kunnen aanleiding zijn tot verkenningen op dit terrein vanaf de kleuterleeftijd. Een bezoek aan Mini-Europa of Madurodam, het maken van een kijkdoos, een maquette, een situatie in de zandtafel ... breidt de ervaringskennis die kinderen ook buiten de school opdoen uit. Het is niet onbelangrijk om dit nietnumerieke spoor bij de verhoudin-gen ook in latere fasen van de basisschool te blijven uitbouwen in het kader van de leergangen meten en meetkunde (werken rond gelijkvormigheid, schaalrekenen, schaduwmodel voor hoogteberekening, grafieken, ...).

182


DOMEIN 1: GETALLEN

In onderstaande figuur zien we een overzicht van de verhoudingsproblemen die in de basisschool aan de orde zijn (numeriek en niet-numeriek).

Uit: Van den Heuvel-Panhuizen, 1990, p 24

HOOFDSTUK 2



Heel wat verhoudingsproblemen kunnen opgelost worden met behulp van een verhoudingstabel. Die biedt het voordeel van een grotere flexibiliteit dan bv. de regel van drie, waarbij de vierde evenredige altijd gezocht werd via de verhouding t.a.v. de eenheid: In het snoepwinkeltje om de hoek kan ik 12 snoepjes kopen voor 20 fr.. Ik heb 50 fr. op zak. Zal ik heel de klas (28 kinderen) kunnen trakteren voor mijn verjaardag? regel van drie :

12 snoepen kosten 20 fr. 1 snoep kost 20 : 12 = 1,666...fr. 28 snoepen kosten 28 x 1,666...fr. = 46,648...fr.

Verhoudingstabel:

sn.

12

24

6

30

fr.

20

40

10

50

De leerlingen kunnen zelf bepalen hoeveel en welke stappen ze nodig hebben om het probleem op te lossen. Ze kunnen ook een eenvoudigere versie van de tabel hanteren (dubbele getallenlijn). Bv. bij een grenswisselkantoor krijg je voor 100 BEF 5 gulden (f). Wat staat er voor de Nederlanders (hoeveel BEF voor 100 f ?) BEF f

100 5

200 10

2000 100

of f

BEF 100 5 50

1000 2000 100

Meer formele kenmerken van het verhoudingsrekenen (bv. uit de gelijkwaardigheid a/b = c/d volgt ad = bc en vice versa) zouden we willen reserveren voor het voortgezet onderwijs. Wel tot het perspectief van de basisschoolleerling behoort het zinvol samenstellen van „nieuwe‟ grootheden op basis van verhoudingen: bv.: snelheid als verhouding tussen afstand en tijd; bevolkingsdichtheid als verhouding tussen aantal (inwoners) en oppervlakte; „sterkte‟ van de koffie: verhouding schepjes koffie en water; „zoetheid‟ van de limonade: verhouding lepels stroop en water; dichtheid (soortelijk gewicht): verhouding tussen massa (gewicht) en volume. In de derde graad zullen we kinderen ook confronteren met verhoudingen die niet noodzakelijk rechtevenredig en lineair zijn: vinden we een verhoudingsrelatie tussen lengte en gewicht van mensen, tussen oppervlakte en omtrek van figuren, tussen de zijde van een vierkant en de oppervlakte, tussen het aantal mensen dat een werk uitvoert en de tijd die dat vergt, ... . Het gaat hier om relaties die de leerlingen wel eens op het verkeerde been kunnen zetten en daardoor aanzetten tot bespreking en reflectie, een kans bieden op verdieping van inzicht. Niet onbelangrijk dus, maar misschien niet meer weggelegd voor alle leerlingen. Wel voor iedereen is het voortdurend leggen van het verband tussen de in dit katern besproken onderdelen: via de verhoudingen de samenhang en gelijkwaardigheid verankeren met breuken, kommagetallen en procenten.

HOOFDSTUK 2


5

Tabellen en grafieken

5.1

Inleiding


183

Met tabellen en grafieken worden hoeveelheden, reeksen hoeveelheden en verhoudingen grafisch weergegeven. De begrippen 'grafiek' en 'diagram' worden wisselend gebruikt. 'Grafiek' is een algemene en overkoepelende term voor een grafische voorstelling van gegevens. We kunnen daarmee continue (snelheid, tijd, afstand, ...) en discontinue grootheden (aantallen, hoeveelheden) voorstellen. In de basisschool worden door middel van tabellen en grafieken vooral kwantitatieve gegevens gevisualiseerd. In de latere schoolloopbaan (secundair onderwijs) zal men hieraan een specifieke vulling geven: de functies.

5.2

Kleuterschool

Kleuters kunnen reeds geconfronteerd worden met voorstellingen van tabellen en grafieken. In de kleuterschool visualiseren we op vele manieren aantallen in concreto. Het gaat dan om handelingen waarbij een stuk realiteit aan bod komt. Zo kunnen de kleuters een stapel maken van al de melkbrikken die in onze klas nodig zijn. Daarnaast komt de stapel met de chocobrikken. De kleuters zien welke stapel het hoogst is en relateren dit aan 'meer'. Ze verwoorden dat ook. Er zijn meer kinderen die choco drinken dan kinderen die melk drinken want de stapel met de chocobrikken is hoger. Er wordt in de klas minder melk gedronken door de kinderen want de stapel met de melkbrikken is lager of kleiner. In plaats van in de hoogte kan er ook in de lengte gewerkt worden. Dan zullen daarbij passende begrippen gebruikt worden. Rekenkundige begrippen als 'hoog, laag, hoger, lager, kort, lang, korter, langer, meer, minder ...' functioneren. Dit stapelen doen kleuters dikwijls spontaan. Duploblokken worden per kleur gesorteerd en er wordt per kleur een toren gemaakt. Er zijn meer gele dan groene blokken want de gele toren is hoger. Er zijn minder groene dan gele blokken want de groene toren is niet zo hoog als de gele toren. Kleuters kunnen gelijkvormige en evengrote voorwerpen al handelend vergelijken en de daarbij horende rekentaal functioneel gebruiken. In een volgende stap gebruiken we gelijkvormige en even grote blokken als symbool voor een product. De witte blokken stellen de melkbrikken voor. De blokken met een andere kleur stellen de chocobrikken voor. Hierbij wordt de één-één-relatie veelvuldig gelegd.

184


5.3

Lagere school

5.3.1

Een graduele opbouw

DOMEIN 1: GETALLEN

- Concrete handelingen De concrete handelingen zoals beschreven in de kleuterschool blijven uiteraard ook in de lagere school doorlopen. Dit handelen blijft steeds de eerste fase. - Het beelddiagram Huisdieren van kinderen in onze klas

Wat Sinterklaas bracht ...

Uit: van Dam, 1984

Het beelddiagram is eigenlijk een tabel, waarbij in plaats van met getallen de aantallen weer te geven, de aantallen door middel van beelden (afbeeldingen) worden weergegeven. In een eenvoudige vorm correspondeert één beeld met één reëel object. In een meer complexe vorm staat één beeld voor verschillende objecten. Deze gradatie vinden we ook terug in de leerlijn 'Tabellen en grafieken' (leerlijn.1.18 doelstelling 5). - Het blokdiagram Punten behaald bij het spel

Resultaten van 10 minuten rondjeslopen

Uit: van Dam, 1984

Het blokdiagram is eigenlijk een beelddiagram waarin het beeld vervangen wordt door een blok. Ieder blokje stelt één object voor en stemt daarin overeen met het eenvoudig beelddiagram. De blokken kunnen zowel horizontaal als verticaal worden geordend.

HOOFDSTUK 2



185

De rijbenoeming wordt nu een kolombenoeming. Vanuit de aangebrachte blokjes is op eenvoudige wijze een schaalverdeling op één van de assen aan te brengen. - De enkelvoudige tabel

Uit: van Dam, 1984

De enkelvoudige tabel heeft nog een sterke overeenkomst met de beeldgrafiek. De beelden worden echter vervangen door getallen. Soms wordt een bijkomende regel toegevoegd. De enkelvoudige tabel deelt in naar één categorie. Dit soort tabellen biedt de gelegenheid om het turven overzichtelijk te maken en samen met de leerlingen te zoeken naar de handigste oplossing om te turven: het doorkruisen van vier verticale streepjes om het aantal 5 weer te geven. - De kruistabel Vier op een rij ...

spelers

gespeeld

gewonne n

verloren

Johnny

20x

12x

8x

Odin

20x

4x

16x

Martijn

20x

10x

10x

Rogier

20x

14x

6x

Uit: van Dam, 1984

De kruistabel onderscheidt zich van de enkelvoudige tabel door een indeling op verschillende categorieën. In plaats van rijen die moeten gekozen worden, moet voor de betekenis van de cellen nu op twee zaken worden gelet: de rijen de kolomopschriften. Bij de totalen zijn rij-, kolom- en een algemeen totaal te onderscheiden.

186


DOMEIN 1: GETALLEN

- Het staafdiagram of het histogram Aantal keren nachtvorst per maand

Inwonersaantallen

Uit: van Dam, 1984

Ook het staafdiagram (of het histogram) bouwt verder op het blokdiagram. In de staaf zijn nu niet meer de eenheden te onderscheiden. Voor het aflezen van de hoogte (van het aantal) moet nu naar de schaalverdeling op de verticale as worden gekeken. Staven kunnen aaneen of los van elkaar worden getekend. - De lijngrafiek Een lijngrafiek geeft steeds een ontwikkeling weer. Meetpunten worden verbonden ook al worden de tussenliggende punten niet gemeten. De lijn wordt aangewend als hulpmiddel om te laten zien welke punten bij elkaar horen. Voor de betekenis van de meetpunten moet op de horizontale x-as en de verticale y-as worden gekeken. Een rooster als achtergrond kan dit aflezen vergemakkelijken. Meestal worden de meetpunten extra gemerkt. De verwijzingen op de x-as staan nu recht onder de meetpunten. Hier zit een wezenlijk verschil met het blok- en staafdiagram waar de verwijzingen onder de blokken en onder de staaf staan.

HOOFDSTUK 2


Aantal nieuwgebouwde huizen


187

De productie van granen en maïs

Uit: van Dam, 1984

Lijngrafieken met meer dan één lijn zijn geschikt voor vergelijkingen. - Het cirkeldiagram of het sectordiagram Verdeling van de leden van de vier sportverenigingen naar leeftijd

Het aantal auto's in de 'Schoolstraat'

A 06.00 u. C 16.00 u. B 08.00 u. D 19.00 u. Uit: van Dam, 1984

Het cirkeldiagram of het sectordiagram kenmerkt zich door het ontbreken van een schaalverdeling waarop absolute aantallen vermeld worden. Wel kunnen bijkomend verhoudingen met getallen worden weergegeven.

188


DOMEIN 1: GETALLEN

Bij het cirkeldiagram duidt de oppervlakte van de cirkel het totaal aan. De sectoren geven de aandelen of percentages van het geheel weer. Aansluitend hierop verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot breuken (4.1.1C: de breuk als deel van een geheel). Wanneer de leerlingen in de basisschool zelf een cirkeldiagram maken, zal de verdeling op de cirkelomtrek gegeven worden. Recente computerprogramma's maken het mogelijk de meeste diagrammen in perspectief weer te geven. Gegevens die verzameld worden in de klas, kunnen bij wijze van spreken onmiddellijk in een diagram gebracht worden. Daarbij kunnen de leerlingen verschillende voorstellingen met elkaar vergelijken.

HOOFDSTUK 2



189

- Een schematische voorstelling De schematische voorstelling van deze graduele opbouw zien we aldus:

Volgorde

5.3.2

diagrammen en grafieken

1

concreet handelen

2

het beelddiagram

3

het blokdiagram

tabellen

4

de enkelvoudige tabel

5

de kruistabel

6

het staafdiagram

7

de lijngrafiek

8

het cirkeldiagram

De didactische stappen

De logisch opeenvolgende stappen bij de opbouw zijn: van de concrete situatie over de tabel en het diagram naar de formule. Hierbij onthouden we dat de formule niet meer behoort tot de leerstof voor de basisschool. De didactische stappen bij de opbouw zullen eerder zijn: 1 de concrete situatie; 2 de diagrammen; 3 de tabellen; 4 de formule. Zoals reeds eerder beschreven gaan het beelden het blokdiagram de tabellen vooraf. Men dient eerst dit soort diagrammen te kunnen lezen vooraleer men komt tot het maken, het lezen en het interpreteren van tabellen. Ook hier zijn de didactische stappen duidelijk te onderscheiden: 1 het maken van diagrammen; 2 het lezen van de diagrammen; 3 het interpreteren van de diagrammen. De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de lijngrafiek maakt het mogelijk visuele indrukken te manipuleren. Het is zeker nuttig leerlingen van de derde graad hiermee ervaringen te laten opdoen.

190


DOMEIN 1: GETALLEN

De afbeelding bovenaan lijkt een weergave van het profiel van een parcours van een rit uit de Ronde van Frankrijk met aankomst op een steile alpencol. De afbeelding onderaan zou eerder het profiel weergeven van de Ronde van Vlaanderen met de aanloop naar en de top van de Muur van Geraardsbergen. In ieder geval ziet de tweede voorstelling van het aantal uitsluitingen uit de werkloosheid in België in de aangegeven periode er minder dramatisch uit dan de eerste voorstelling (Uit Heyerick, 1995).

Wanneer men kruistabellen heeft gemaakt kan men ook het staafdiagram, de lijngrafiek en het cirkeldiagram verder uitwerken.

HOOFDSTUK 2


6

Cijferalgoritmen

6.1

Inleiding

CIJFERALGORITMEN

191

In het leven gebruiken we vaak 'algoritmen' om problemen op te lossen. Een algoritme is een oplossingsmethode die uit een vaste rij elementaire handelingen bestaat. Wanneer ik deze handelingen in de goede volgorde uitvoer dan 'leidt' het algoritme me tot een zekere oplossing van het probleem. Je vindt algoritmen in een kookboek, een knutselboek, een telefooncel, ... . Mensen maken graag gebruik van algoritmen. Ze geven zekerheid. Wanneer je ze veel gebruikt 'moet je zelfs niet meer nadenken' over de te zetten stappen. Op school leren we kinderen vanaf het derde leerjaar algoritmen aan om te rekenen. Kenmerkend bij het gebruik van deze algoritmen is dat hoofdzakelijk gewerkt wordt met de losse cijfers van het getal. Vandaar ook de naam 'cijferen'. Wanneer leerlingen van de lagere school cijferen zou men de handelingen die ze uitvoeren, als volgt kunnen omschrijven. Het cijferen geschiedt: - schriftelijk: je kan je werk overlezen en eventueel verbeteren; - gestandaardiseerd: ieder volgt dezelfde werkwijze; - met verkortingen: kleine stappen worden samengevoegd tot één grote; - efficiënt: de procedure is zo opgesteld dat ze rechtstreeks naar een oplossing leidt; - automatisch: inzicht in wat men doet is niet meer nodig; - symbolisch: er wordt gecijferd met getallen die niet noodzakelijk een reële situatie moeten beschrijven; - algemeen: waar mogelijk wordt de procedure gebruikt voor alle mogelijke getallen, ongeacht hun grootte; - onnatuurlijk: de procedure wijkt vaak sterk af van de wijze waarop je spontaan het rekenprobleem zou oplossen; - positioneel: men werkt met E, T, H, D enzovoort, zonder dat men zich daar voortdurend van bewust is; - routineus: men streeft naar het vlot hanteren van de procedure, zonder nog bij elke stap te moeten nadenken. Bovenstaande opsomming geeft niet aan hoe leerlingen leren cijferen. Het is een aanduiding van het cijferen op het moment dat de procedure volledig verworven is. Er werd reeds verschillende malen gewezen op het gevaar van het vroegtijdig aanleren van cijfertechnieken. Het moet nogmaals onderstreept worden dat het aanleren van technieken niet het eerste en enige doel is van het rekenonderwijs. Vooraleer het leerproces van de cijferalgoritmen kan worden aangevat, moet de leerling een aantal basisvaardigheden verworven hebben. Ten eerste moet hij inzicht hebben in de context waarin de cijferprocedure kan worden toegepast (wanneer optellen, delen, ... ?). Daarnaast moet de leerling, afhankelijk van de procedure, voldoende inzicht hebben in het getalsysteem (positiewaarde, wisselprincipe, functie van de nul). Ten slotte moet de leerling de verschillende deelstappen van het algoritme op vrijwel automatisch niveau kunnen uitvoeren (schattend rekenen, werken met 'nullen', tafels, ...). Getallen met een nul behoren immers tot de realiteit en kunnen dan ook het vertrekpunt zijn. Je koopt in een supermarkt toch niet enkel de producten die geen nul in hun prijs hebben!

192

OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 1: GETALLEN

In dit katern wordt dieper ingegaan op het leerproces van het cijferen. Uitgaande van inzicht in een oplossingsprocedure zal het kind via stapsgewijze verkorting 'zijn cijferalgoritme' zelf ontwikkelen. Invloed van cultuur Het is een misvatting te denken dat de cijferalgoritmen die we gebruiken unieke, universele en onveranderlijke modellen zijn. Binnen de 'rekenkunde' is er waarschijnlijk geen enkel onderdeel dat zo sterk cultureel bepaald wordt als het cijferen. Je kan voor elke hoofdbewerking vrij makkelijk verschillende procedures terugvinden die op een bepaalde plaats, op een bepaald moment algemeen worden gebruikt. Nemen we bijvoorbeeld het algoritme voor een staartdeling, dan vinden we in verschillende landen ook verschillende procedures, die soms sterk afwijken van wat bij ons gangbaar is.

HOOFDSTUK 2


CIJFERALGORITMEN

193

Het zal duidelijk zijn dat niet alle procedures even makkelijk toe te passen zijn. Algemeen geldt dat naarmate de procedure korter wordt, ze verderaf staat van het doorzichtige 'logische' rekenen. Het algoritme zoals het in Joegoslavië wordt gebruikt is zeker moeilijk aan te leren. De tussenuitkomsten worden bijna volledig weggelaten. De procedure is zeer kort en abstract. Het is niet makkelijk om in dit deelalgoritme de oorspronkelijke 'verdeelhandeling' terug te vinden. Wanneer we kinderen bepaalde procedures willen aanleren, moeten we ons de vraag stellen in welke mate deze procedures een verkorte weergave moeten zijn van de oorspronkelijke rekenhandeling. Een leerlijn 'staartdelingen' Bij wijze van voorbeeld bepreken we hier twee verschillende invalshoeken bij het aanleren van het algoritme. Eerst bespreken we een werkwijze die snel leidt naar het vertrouwde en verkorte 'standaardalgoritme'. Centraal bij deze aanpak staat het inzicht in het positiesysteem en het werken met gestructureerd rekenmateriaal. Vervolgens bespreken we een methode die niet rechtstreeks leidt tot het toepassen van een standaardprocedure. Bij deze werkwijze moeten de leerlingen zelf de ‘verkortingen’ binnen het algoritme ontdekken. Deze werkwijze steunt eerder op het inzicht in de reële verdeelhandelingen dan op het inzicht in de eigenlijke structuur van het getalsysteem.

6.2

Delen

6.2.1

Werkwijze 1: progressieve complicering Via inzicht in het positiesysteem naar de standaardprocedure

Het inzicht in ons tiendelig positiesysteem staat bij deze werkwijze centraal. Het kind moet dit inzicht hanteren bij het opbouwen van het cijferalgoritme. Groot knelpunt is het gepast kunnen wisselen van maateenheden uit het deeltal. Net als bij de optelling, aftrekking en vermenigvuldiging wordt de volledige procedure opgebouwd met behulp van de positiekaart en het MAB-materiaal. Stap 1: Schattend rekenen Stap 2: Manipuleren van gestructureerd materiaal en voorstellen op de positiekaart (HET : E , zonder wisselen bij het begin) De leerlingen hebben in een voorgaande fase ondervonden dat het zeer moeilijk wordt om onderstaande oefeningen 'uit het hoofd' te berekenen. Een nieuwe schrijfwijze wordt door de leraar voorgesteld. Het deeltal wordt 'geanalyseerd' en gelegd met MAB-materiaal. Vervolgens werken de leerlingen de deling volledig uit met het MAB-materiaal. Ze delen eerst de 'honderden', dan de 'tienen' en ten slotte de 'enen'. Soms zullen ze de rest van de honderden of tienen moeten 'wisselen' om verder te kunnen werken. Het is van wezenlijk belang dat de leerling de bewerking ook volledig kan uitvoeren met het MAB-materiaal. De volledige bewerking wordt genoteerd in een voorgestructureerd schema, een 'positiekaart'.

194


-

-

Stap 3:

H

T

E

5

4

8

3 2

4

2

4 0

8

-

6

3 H

T

E

1

8

2

2 Manipuleren van gestructureerd materiaal waarbij de deler bestaat uit één cijfer en er van meet af aan moet worden gewisseld Op dezelfde wijze worden nu oefeningen aangeboden en verwerkt waarbij van meet af aan moet 'gewisseld' worden. De steun van het MAB-materiaal blijft in deze fase onmisbaar.

-

H

T

E

1

8

9

1

6

Stap 4:

-

4 H

2

9

2

8

T

E

4

7

1 Manipuleren van gestructureerd materiaal (de deler bestaat uit één cijfer, nullen in deeltal of quotiënt, met wisselen) Noodgedwongen zal in een aparte stap aandacht moeten besteed worden aan het werken met nullen in deler en quotiënt. De leerlingen moeten 'weten' dat, vóór ze gaan inwisselen, een 0 in het quotiënt moet geschreven worden wanneer een bepaalde hoeveelheid niet kan verdeeld worden. De functie van de nul 'als plaatshouder' is voor vele leerlingen zó abstract dat ze in een aparte stap specifieke oefening nodig hebben om het inzicht te verwerven. De notatie in het positieschema helpt het kind bij deze fase. H

T

E

9

0

8

9 0

0

-

0 0

8

-

6 2

3 H

T

E

3

0

2

HOOFDSTUK 2


CIJFERALGORITMEN

195

196


Stap 5: Uitbreiden in de getallenrij, afbouwen van het gebruik van het MAB-materiaal Stelselmatig wordt de procedure toegepast met grotere deeltallen. Het gebruik van het MAB-materiaal wordt stilaan afgebouwd. Uiteindelijk kunnen de leerlingen de procedure (het wisselen) verwoorden zonder het materiaal. De oefening wordt genoteerd in het positieschema. Stap 6: Gebruik van het positieschema bij delingen met twee cijfers in de deler Dit is voor vele leerlingen een zeer moeilijke stap. Steeds doen we een beroep op inzicht in het wisselprincipe. Zo moeten leerlingen 8 duizenden en 0 honderden samen nemen tot 80 honderden. Deze moeten dan verdeeld worden in 33. Het schatten van de (deel)uitkomst wordt steeds belangrijker. Enkel op die wijze kan worden voorkomen dat leerlingen 'nullen' in het quotiënt vergeten, of dat het notatieschema erg slordig en onoverzichtelijk wordt. Het manipuleren van materiaal in deze fase is niet meer noodzakelijk. De leerling moet voldoende inzicht hebben in de structuur van de positiekaart vooraleer hij aan deze stap kan beginnen.

-

-

D

H

T

E

8

0

5

9

6

6

1

4

5

1

3

2

1

3

9

1

3

2

-

33 D

H

T

E

2

4

4

7 Stap 7: Delingen zonder positieschema Uiteindelijk wordt het positieschema weggelaten. De notatie van het deelalgoritme wordt dus 'verkort' tot zijn bekende vorm. Besluit bij werkwijze 1 Zoals gesteld beschrijft deze leerlijn in zeven grote stappen een leerproces dat gebaseerd is op het inzicht in het positiesysteem en het inwisselen van onze getallen. De procedure wordt aangeboden door de leraar. De leerlingen moeten deze procedure leren reproduceren. De opbouw van de leerlijn wordt gekenmerkt door een progressieve complicering: - de gebruikte getallen in deeltal en deler worden steeds groter; - de uit te voeren handelingen worden complexer (eerst zonder wisselen, dan met wisselen, de rol van de nul, ...); - de leerlingen kunnen het algoritme op zich niet flexibel aanpassen: van meet af aan wordt de standaardprocedure gehanteerd. Het verloop van het leerproces (en de eventuele differentiatie) is gebaseerd op: - het al dan niet gebruiken van het rekenmateriaal; - het al dan niet gebruiken van het positieschema; - het stelselmatig compliceren van de te verwerken getallen.

HOOFDSTUK 2 6.2.2


CIJFERALGORITMEN

197

Werkwijze 2: progressieve schematisering Via inzicht in de verdeelhandeling naar een verkorte deelprocedure

Deze werkwijze vertrekt van totaal andere uitgangspunten dan de bovenstaande. Het kind leert een algemene procedure waarmee het vanaf het begin reeds alle mogelijke verdelingen kan oplossen. Gaandeweg zal het zelf de noodzaak van een verkorting van deze, soms zeer uitgebreide, procedure ervaren. De mate van verkorting hangt af van zijn eigen rekenvaardigheden en van zijn inzicht in het getalsysteem. Niet zozeer het wisselprincipe van ons getalsysteem staat centraal, maar wel het logisch kunnen werken met 'mooie getallen' en het schattend kunnen rekenen. Deze procedure leidt niet rechtstreeks naar het bekende deelalgoritme. Zij biedt de leerling een open structuur aan waarmee alle verdeelsituaties kunnen worden opgelost. Stap 1: Schattend rekenen Stap 2: Werken met materiaal en met een verdeeltabel (alle mogelijke getallen, deler niet groter dan 10) De leerlingen lossen alle mogelijke verdeelsituaties op. Ze leren daarbij een soort 'verdeeltabel' hanteren. Deze tabel wordt als steun gebruikt om de uitgevoerde 'verdeelhandeling' te noteren. Uiteraard wordt in deze fase steeds 'materieel' verdeeld. Om praktische redenen kan in deze stap de grootte van de deler beperkt blijven tot een getal kleiner dan 10. De lengte van de oplossing wordt bepaald door de leerling zelf. Ze is afhankelijk van het inzicht in het getalsysteem en van de rekenvaardigheden van de individuele leerling. 349

Jan

Rik

Mia

Dirk

Eva

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

5

5

5

5

5

20

4

4

4

4

4

4

69

69

69

69

69

- 100 249 - 100 149 - 100 49 -

25 24

-

198


Stap 3: Verdelingen noteren in een 'verdeeltabel' Dezelfde werkvorm als in stap 2 Het effectief werken met materiaal wordt nu vervangen door de schematische werkwijze in de verdeeltabel. De leerling kan de verdeling verwoorden zonder steun van de materiële handeling. De oplossing kan nog steeds zeer uitvoerig zijn. Stap 4: Verkorting van het verdeelschema De leerlingen ervaren zelf de noodzaak tot een verkorten van het schema. Zeker bij grote delers (tot 100) wordt duidelijk dat ze in het schema steeds hetzelfde schrijven. Vandaar dat dit schema ook verkort kan worden. Je noteert dan gewoon in hoeveel keer we het deeltal moeten verdelen (hoeveel kolommen je eigenlijk zou moeten trekken in één keer!).

-

1427

55

550

10

877 -

550

10

327 -

275

+5

52

25

Stap 5: Verkorting van de rekenstappen Vanaf nu wordt systematisch gewerkt aan het verkorten van de rekenoperaties. Deze verkorting kan de evolutie van de rekenvaardigheden van de leerling volgen. De leerling wordt aangezet tot het nemen van zo groot mogelijke 'happen' van het deeltal (rekenen met duizenden, honderden, tienen, ...) Toch blijft dit verkorten afhankelijk van de mogelijkheden van ieder kind. De kennis van de tafels, het kunnen vermenigvuldigen met veelvouden van tien en het cijfermatig kunnen aftrekken zijn basisvoorwaarden om deze procedure vlot en verkort te kunnen toepassen. Besluit bij werkwijze 2 Het bovenstaande maakt duidelijk dat de leerprocedure voor het aanleren van een algoritme sterk wordt bepaald door het gekozen uitgangspunt. Bij werkwijze 2 wordt de leerlijn - gebaseerd op het inzicht in de verdeelhandeling; - gekenmerkt door een constructief proces van de leerlingen (aansluitend bij de visie in de eindtermen). De leerling bepaalt in belangrijke mate zelf hoe hij de verdeling oplost. De procedure sluit zeer nauw aan bij de functionele verdeelhandeling. Het aldus verkregen algoritme is niet erg verkort. De rekenweg is minder gestandaardiseerd dan deze van werkwijze 1. Dit algoritme behoudt daarentegen een erg transparante structuur: de kinderen weten op elk moment heel duidelijk waarmee ze bezig zijn; de deelstappen zijn eerder inzichtelijk dan automatisch van aard;

HOOFDSTUK 2


CIJFERALGORITMEN

199

-

de leerlijn wordt gekenmerkt door een progressieve schematisering: van in het begin kan het algoritme worden toegepast op alle mogelijke oefeningen, gaandeweg 'ontdekt' het kind alle mogelijke verkortingen. Deze werkwijze lijkt zeer waardevol voor leerlingen die moeite hebben met het inzicht in het wisselprincipe. Vooral wanneer gekozen wordt voor een elementaire behandeling van cijferalgoritmen als rekentechniek, en voor een vroegtijdig en functioneel gebruik van de zakrekenmachine bij het werken met grote decimale getallen, kan deze werkwijze een te overwegen alternatief zijn voor de meer 'traditionele' didactiek van werkwijze 1.

6.2.3

Conclusies bij werkwijze 1 en werkwijze 2

Hoe korter het algoritme hoe verder weg het ligt van de eigenlijke handeling die eraan ten grondslag ligt. Bij het kiezen van een didactische leerweg voor het aanleren van een algoritme zal met dit principe rekening gehouden moeten worden. De beschreven werkwijzen hebben beide voor- en nadelen. - Zo sluit werkwijze 2 zeer direct aan bij de eigenlijke 'verdeelhandeling' en kan ze ogenblikkelijk worden toegepast in alle mogelijke situaties. Het probleem is echter dat deze werkwijze niet echt leidt tot een 'verkort deelalgoritme' zoals we het reeds jaren kennen. Werkwijze 2 kan je ook niet zo eenvoudig gaan toepassen bij het werken met decimale getallen. - Werkwijze 1 heeft als grote voordeel dat het uiteindelijk leidt tot een procedure waarmee je alle mogelijke problemen kan oplossen. Doordat de procedure vrij sterk verkort is, behoeft dit algoritme een langere en minder 'doorzichtige' leerweg. Welk uitgangspunt ook gekozen wordt, steeds zal vertrokken moeten worden van de zeer concrete materiële rekenhandeling. Zowel bij een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in het wisselsysteem' als bij een leerlijn gebaseerd op 'inzicht in de verdeelhandeling', wordt vertrokken van een inzichtelijke benadering.

6.3

Optellen en aftrekken met behulp van een cijferalgoritme

Bij het aanleren van de cijfertechniek voor optellingen en aftrekkingen hanteren we steeds deze handelwijze: 1 de oefening leggen met MAB-materiaal of de oefening leggen op de lusabacus; 2 de oefening noteren op de positiekaart; 3 de oefening noteren in een ruitjesschrift als 'echte' cijferoefening. De keuze of gewerkt wordt met de lusabacus of met het MAB-materiaal is afhankelijk van het schoolteam. Werken met MAB-materiaal is voor vele leerlingen op dit moment een vertrouwd iets. Het materiaal geeft duidelijk de tiendelige structuur van ons getalsysteem weer. Om problemen met de lege positie (zoals met 0) te voorkomen, kan het materiaal worden gelegd op een voorgestructureerd 'legblad' waarbij de leerling gedwongen wordt om de honderden, de tienen en de enen op een eigen plaats te leggen. Dit legblad sluit zodoende aan bij wat wordt genoteerd op de positiekaart. De abacus geeft ons het probleem van de 0 niet. Je ziet bij het getal 708 ogenblikkelijk dat op de staaf van de tienen geen kralen worden gelegd. Toch is het werken met de (lus)abacus niet altijd een makkelijke zaak. Bij de aftrekking is het wisselen vaak een omslachtige handeling : je moet één

200


kraal wisselen voor tien andere kralen, die bij de lusabacus aan de achterkant van de abacus te vinden zijn.

HOOFDSTUK 2


CIJFERALGORITMEN

201

Opbouw van het onderdeel optellen en aftrekken Bij het werken met MAB, abacus en positiekaart zijn twee werkwijzen bekend. Een eerste manier is om het wisselen uit te stellen tot de hele oefening 'gelegd' is. Hieronder zie je een voorbeeld van dit uitgesteld wisselprincipe (zie ook 4.2.2 rekenen met kommagetallen).

+

H

T

E

H

T

E

7 1

6 6

1 9

5 2

1 4

2 5

8

12

10

5 2

0 4

12 5

8

13

0

4 2

10 4

12 5

9

3

0

2

6

7

-

Je kan ook onmiddellijk wisselen. Hoewel deze werkwijze aanvankelijk misschien niet zo overzichtelijk is, sluit ze beter aan bij de uiteindelijke cijfertechniek waar we naartoe willen. Het volgende voorbeeld toont de techniek van het onmiddellijk wisselen aan. H

T

E

H

T

E

10

+

1

1

7 1

6 6

1 9

9

13

10

-

4

0

12

5 2

1 4

2 5

2

6

7

Nadien wordt deze notatie verkort, zodat ze al zeer nauw aansluit bij de uiteindelijke cijfertechniek: H

T

E

H

T

E

10

+

1

1

7 1

6 6

1 9

9

3

0

-

-

-

10

5 2

1 4

2 5

2

6

7

Op deze wijze proberen we het inzicht in het cijferalgoritme zo goed mogelijk te ontwikkelen. Niet ieder kind in de klas zal op hetzelfde ogenblik op dezelfde manier de som kunnen oplossen. Gestreefd moet worden naar de mogelijkheid om te differentiëren op handelingsniveau.

202


De twee voorgestelde werkwijzen, met al dan niet onmiddellijk inwisselen, kunnen ook gecombineerd worden. Je kan bv. met concreet materiaal het wisselen uitstellen, nadien noteren op de positiekaart wat er gebeurd is en daar dan wel onmiddellijk inwisselen. Eens het concreet materiaal (MAB, abacus) niet meer nodig is, werken we uitsluitend op de positiekaart met onmiddellijk inwisselen.

6.4

Vermenigvuldigen met behulp van een cijferalgoritme

Net als bij de tafels bekijken we de 'grotere' vermenigvuldigingen steeds als een herhaalde optelling. We vertrekken dan ook van een optelling met verschillende gelijke getallen. Vooraleer we echter het algoritme voor de vermenigvuldiging aanbieden, moeten leerlingen vlot kunnen vermenigvuldigen met veelvouden van 10. Dit is essentieel omdat bij een oefening als 54 x 23 de leerling moet inzien dat het resultaat van 54 x 20 steeds eindigt op een 0. Dit inzicht zal dan gebruikt worden bij het aanleren van het cijferalgoritme waarbij vermenigvuldigd wordt met meer dan één cijfer. Zoals gezegd starten we de leergang om te komen tot het vertrouwde cijferalgoritme, met een optelling. D

H

T

E

1

1

2 2 2

1 1 1

6 6 6

4 4 4

6

4

19

12

3 keer

U merkt dat de leerling hier het voor hem vertrouwde algoritme van de optelling (met onmiddellijk inwisselen) kan toepassen. De enige wijziging ten opzichte van de optelling is de toevoeging naast het algoritme van het maalteken en het aantal keer dat het getal opgeteld moet worden. D

H

T

E

2

1

2 . . 2

1 . . 1

6 . . 6

4 . . 4

8

6

25

16

x4

Natuurlijk moeten we deze notatiewijze verkorten wanneer we verschillende (7 of 8) getallen moeten optellen. We doen dit dan door puntjes te zetten. We kunnen aan het getal naast de oefening toch zien hoeveel keer we elk cijfer moeten nemen.

HOOFDSTUK 2


CIJFERALGORITMEN

203

De volgende stap brengt ons dan al heel dicht bij het eigenlijke cijferalgoritme. Je merkt dat we op deze wijze proberen het algoritme van de vermenigvuldiging inzichtelijk aan te leren. De leerling moet maximaal zijn bestaande kennis van de optelling kunnen gebruiken bij het aanleren van de vermenigvuldiging.

D

H

T

2

1

2

1

6

4 4

8

6

25

16

x

E

Een andere benadering leunt vooral aan bij het hoofdrekenen. Aanvankelijk wordt gewerkt met de reële waarden van de cijfers en alle tussenproducten worden genoteerd. Latere verkortingen zullen erin bestaan het aantal tussenproducten te verminderen (bv. eerst 4 x 43 en dan 50 x 43).

D

6.5

H

T

E

x

4 5

3 4

+

2

1 1 0

1 6 5 0

2 0 0 0

2

3

2

2

4 x 3 4 x 40 50 x 3 50 x 40

Besluit

Het blijft enorm belangrijk dat de leerlingen, vooraleer ze aan het rekenen slaan, zich afvragen of het in de gegeven situatie aangewezen is van exact of bij benadering uit te rekenen. Vereist de situatie een exact resultaat, dan moet een procedure gekozen worden: hoofdrekenen, cijferen of gebruik van de zakrekenmachine. Wordt gekozen voor cijferen, dan wordt de procedure uitgevoerd op niveau van verkorting en abstractie waar de leerling aan toe is (bv. met of zonder materialen, met of zonder positiekaart, met veel of weinig tussenresultaten).Er wordt bij de leerlingen een gerichtheid ontwikkeld om het resultaat van elke cijferoefening te controleren door: een proef, het uitrekenen op de zakrekenmachine, nagaan van de realiteitswaarde, vergelijken met een schatting, ... .

HOOFDSTUK 2


7

De zakrekenmachine

7.1

Inleiding

ZAKREKENMACHINE

203

Reeds in de vroegste tijden gebruikte de mens lichaamselementen bij het tellen en het rekenen. Zelfs in ons taalgebruik vinden we daarvan aanwijzingen terug. Denken we maar aan 'een teentje’ knoflook en 'een handvol' noten. Bij het tellen van het aantal dagen die liggen tussen twee opgegeven data zullen velen onder ons gaan 'vingertellen'. Illustreren de gegeven voorbeelden niet het gebruik van 'machines' die we steeds bij de hand hebben? Werd het gebruik van dergelijke machines overgedragen vanuit een toenmalige maatschappelijke evolutie of omwille van het praktisch nut ervan? Thans wordt het gebruik van de zakrekenmachine gestimuleerd vanuit de maatschappelijke evolutie. Het praktisch gebruik ervan zal een aantal rekenhandelingen vereenvoudigen en ons sneller het (juiste) resultaat geven. Het gebruik van de zakrekenmachine (ZRM) in de basisschool wekt bij sommige leraren en ouders nogal wat aversie op. Ze vrezen immers dat het gebruik van de zakrekenmachine ertoe zal leiden dat kinderen minder rekenvaardig worden, zowel in hoofdrekenen als in cijferend rekenen. De voornamelijk Amerikaanse onderzoeksresultaten m.b.t. de rekenvaardigheid en het gebruik van de ZRM tonen aan dat leerlingen die vanaf hun eerste schooldag met de ZRM hebben gewerkt geen nadeel ondervonden in hun rekenvaardigheid. Dit wordt elders bevestigd. Op voorwaarde dat het hoofd- en cijferrekenen blijvend wordt geoefend, geeft het gebruik van de ZRM geen nadeel. Gebruik van de ZRM heeft te maken met situaties waarin zinvol van het apparaat gebruik kan worden gemaakt. En dit zinvol leren gebruiken is een taak van het onderwijs. Het geïntegreerd opnemen van de ZRM in het onderwijs biedt ons inziens ook meer duidelijkheid over het gebruik ervan naar de praktijk toe. Daarmee wordt het gebruik van de ZRM minder als iets vrijblijvends ervaren. Door het regelmatig gebruik wordt de ZRM, door de onmiddellijke controle, zelfs een hulpmiddel bij het hoofdrekenen. De zakrekenmachine kan, door verantwoord gebruik, ertoe bijdragen om het zinloos en buitengewoon tijdrovend mechanisch cijferen om te buigen tot tijdwinst voor zinvolle probleemgerichte rekentoepassingen. Het Instituut voor Onderwijsonderzoek (RION) van de Rijksuniversiteit van Groningen begeleidde gedurende twee jaar een grootschalig experiment m.b.t. het gebruik van de ZRM in de groepen 7 en 8 van de basisschool (Edelenbos, P., Harskamp, E.G., 1988).

204


DOMEIN 1: GETALLEN

Zij besluiten: het is hoopgevend dat de leerlingen sneller inzicht krijgen in de plaatswaarde in kommagetallen; de leerlingen leren beter schatten; het oplossen van toepassingsopgaven verbetert; (al dan niet zelfontdekte) oplossingsstrategieën worden met meer inzicht toegepast. De uitvoering van allerhande bewerkingen kan door gebruik te maken van de ZRM feilloos verlopen. Dit moet vooral zwakke rekenaars stimuleren. Het verminderen van het aantal rekenfouten zal hun zelfvertrouwen weer opvijzelen en de aversie die vanuit het cijferen tegen rekenen is ontstaan, kan verdwijnen. Het toestel geeft vertrouwen en kan aldus motiverend werken. Het beheersen van een aantal basisvaardigheden blijft noodzakelijk: inzicht in de wereld van de getallen; inzicht in het positiestelsel; kennis van de basisbewerkingen; inzicht in de relaties tussen de bewerkingen. De betere leerlingen worden aangezet om te experimenteren en te controleren. Voor het vraagstukkenonderwijs kan de ZRM een grote verlichting betekenen. Er is dan zeker tijdwinst. Die tijd kan besteed worden aan het zoeken naar oplossingswegen en het bespreken ervan. We dienen de zakrekenmachine te zien als de 'snelle rekenaar'. De ZRM kan in de basisschool goed worden gebruikt om: -

kale sommen (388 x 433) uit te rekenen; de berekening van sommen te controleren; de geschatte uitkomst te controleren; het inzicht in de rekenvaardigheid te verdiepen; het uitrekenen van ingewikkelde cijferopgaven; het werken met heel kleine of heel grote getallen; het uitrekenen van redactieopgaven.

7.2

Functies (gebruiksmogelijkheden) van de zakrekenmachine

7.2.1

De ZRM als ’experimenteermiddel’

Na het oefenen van wat bedieningsaspecten kan je een aantal dingen ontdekken: wat is 'ON-OFF' of 'AAN-UIT'? Dat is nieuwe rekentaal; deze nieuwe rekentaal vinden we ook terug bij o.a. './.'; de punt vervangt op een ZRM de komma; symbolen verdwijnen bij het intoetsen van nieuwe gegevens; de bewerkingstekens verschijnen niet op het scherm; de ZRM breekt af of rondt af: 2/3 = 0,6666666 of 0,6666667; op de ZRM is ½ + ½ niet gelijk aan 1, wel aan 0,75. Hoe komt dat? hoeveel cijfers na de komma in de oefening: 2,14 x 3,08? ...

HOOFDSTUK 2


ZAKREKENMACHINE

205

206


DOMEIN 1: GETALLEN

7.2.2 De ZRM als 'snelle rekenaar' De ZRM kan worden gebruikt om kale sommen snel en correct uit te rekenen. Om de ZRM als handige rekenaar te gebruiken, moet je wel weten welke bewerkingen of reeks van bewerkingen je moet uitvoeren. Je moet eveneens weten hoe je die reeks bewerkingen op de ZRM (handig) kunt uitvoeren. Dat geldt ook ten aanzien van het hoofdrekenen. Soms gaat het hoofdrekenen sneller dan het gebruiken van de ZRM. Stellen wij ter illustratie deze voorbeelden naast elkaar: 4 x 9 x 25 = 6 x 9 x 0 x 5 x 10 = 23,9 x 43 = Je moet je de eenvoudige bedieningsaspecten eigen maken. Dit wil nog niet zeggen dat je alle rekenproblemen zomaar oplost. Er is vooreerst een preoperationele (voorbereidende) activiteit nodig: bedenken wat je moet berekenen. Je moet inzicht hebben in de aard van de opgave om zinvol van de ZRM gebruik te maken. Leerlingen leren snel dat je als gebruiker bedieningsfouten kunt maken. Dat is een zinvolle aanleiding om vooraf al enigszins in te schatten wat het resultaat kan zijn: 3 x 44 x 8 3 x 37 x 8

----> tussen 120 x 8 en 150 x 8 ----> 8 x 120

Toch kan de ZRM niet alles. Er is de beperkte capaciteit en getallen boven 9 999 999 worden niet meer weergegeven. Dit geeft ons de mogelijkheid om, wanneer we werken met grote getallen, handig te groeperen (bv.: nullen laten wegvallen en splitsen). Bv. 75 579 x 125 125 kan worden gesplitst in 100 en 25. 100 x 75 579 kan gemakkelijk door hoofdrekenen worden uitgerekend. 75 579 x 25 wordt uitgerekend met de ZRM. De ZRM kan de vlotte en foutloze rekenaar zijn op voorwaarde dat er voldoende inzicht is in de getallen- en bewerkingswereld en in het gebruik van het apparaat. 15 16 of ? De kinderen kunnen vlug opmerken dat beide breuken 1 deel minder 16 17 zijn dan één geheel. Ze kunnen nu de vraag stellen: 'Wat zou nu groter zijn: 1 1 1 of 1 ?' Nu kunnen ze een beroep doen op hun ervaring met stambreuken om te weten wat 16 17 1 1 meer of minder is: of . Bij stambreuken geldt immers: 'hoe groter de noemer, hoe kleiner de 16 17 1 1 15 16 waarde van de breuk'. Dus 1 is kleiner dan 1 of is kleiner dan . Nadien kan snel en 16 17 16 17 foutloos gecontroleerd worden met de ZRM.

Wat is het meest?

HOOFDSTUK 2 7.2.3


ZAKREKENMACHINE

207

De ZRM als 'controlemiddel'

Het gebruik van de ZRM maakt het mogelijk het resultaat van uit het hoofd berekende opgaven snel te controleren. Deze controle kan ook worden uitgevoerd na het cijferen. Het stelt ons tevens in staat onze schatting te controleren: Bv.

5043 x 45,2 = schatting:

5000 x 40 = 200 000 5000 x 50 = 250 000

De ZRM wordt dan het controlemiddel van een rekenprocedure. Zo kan je bij de controle van een deling het quotiënt nog eens vermenigvuldigen met de deler. Bij delen met 'rest' geeft de ZRM de rest niet aan. Je krijgt een kommagetal. Je moet je realiseren wat daar de betekenis van is. Je kan een manier bedenken om met de zakrekenmachine de rest te berekenen of te controleren. Bv. 5043 : 11 delen tot op één nauwkeurig Op de zakrekenmachine verschijnt als quotiënt: 458.45454 Het quotiënt is dus 458. Om de rest te berekenen trekken we het quotiënt (458) af. Op de ZRM verschijnt nu: 0.45454. We vermenigvuldigen met 11. We zien op de ZRM: 4.99994. We weten dat de rest 5 is. 7.2.4

De ZRM als 'ontdekker en inzichtgevend hulpmiddel'

De reeds verworven rekenkundige kennis kan verdiept worden. De relatie tussen de breuk, de deling, het decimaal getal en het procent is hiervan een voorbeeld. Door experimenteren zullen de leerlingen een aantal aspecten van de leerstof en van het apparaat zelf kunnen ontdekken. Specifieke functies (o.a. de geheugentoets) en rekenprocedures (percentberekening bijvoorbeeld) kunnen worden aangewend. De ZRM is hier het middel tot het ontdekken of het realiseren van bepaalde rekenrelaties. In de 'breukenwereld' vinden we voorbeelden om de ZRM te gebruiken bij het ontdekken of het realiseren van bepaalde rekenrelaties. Hoe reken je bijvoorbeeld ½ + 1/4 uit? Op het toetsenbord vind je ½ en 1/4 niet! En toch kan je het op de ZRM uitrekenen. De breuk moet dan in 'machinetaal' worden omgezet: ½ wordt 1:2 en 1/4 zie je als 1:4. Als som vind je evenmin een breuk, maar een kommagetal. De relatie tussen breuken en delingen en breukgetallen en kommagetallen wordt hier onderwerp van gesprek. Hoe zit dat nu eigenlijk? En hoe interpreteer je ten slotte de uitkomst weer als een breuk? Meer complexe breukopgaven kunnen ook via de ZRM worden opgelost. Neem bijvoorbeeld volgende breuksom: 3/8 + 5/13 Zal de som groter zijn dan 1? Waarom wel of waarom niet? Zal de som groter zijn dan ½? Waarom wel of waarom niet? 79 Door de breuken gelijknamig te maken komt men via hoofdrekenen tot de oplossing . Dit 104

208


DOMEIN 1: GETALLEN

70 80 en ligt. 100 100 Bij het uitrekenen van het antwoord op de ZRM krijg je als uitkomst: 0,7596153.

betekent dat de uitkomst tussen

Nu kan je in een leergesprek verder ingaan op de betekenis van het getal en op de relatie tussen kommagetallen en breuken. Een tekening kan hier voor de nodige ondersteuning zorgen:

Deze afbeelding leert ons dat 5/12 iets meer is dan 3/8. Dan zal 5/13 ongeveer even groot zijn als 3/8. Op die manier kom je uit op ongeveer 6/8 of 3/4. Dat is 0,75, te vergelijken met de uitkomst op de ZRM. Het inzicht in de relatie tussen breuken en kommagetallen wordt hier door het gebruik van de ZRM verdiept. 7.2.5

De ZRM in toepassingssituaties en als middel om strategieën te doorzien

Hierbij denken we vooral aan realistische contextopgaven. De denkweg wordt niet gehinderd door de complexiteit van de bewerkingen en er kan heel wat tijdwinst geboekt worden. Waar koop ik het voordeligst twee jassen? In een kledingzaak kost een jas 7340 BEF en krijg ik op de tweede jas 30 % korting. In een andere zaak kost elke jas 5000 BEF. Denken we aan de ZRM als een middel om strategieën te doorzien, dan speelt naast de grootte van de getallen zeker de uit te voeren bewerking ook een rol. Hoe krijg je 709 op het venster van je ZRM zonder de 0-toets aan te raken (bv. 711 - 2). Maak van 1594 het getal 994 zonder het venster van de ZRM eerst leeg te maken. Wat gebeurt er als je met de ZRM 18 x 36,50 doet? Wat is juist? 39 x 99 = (39 x 100) - 1 of (39 x 100) - 39 Controleer!

HOOFDSTUK 2 7.2.6


ZAKREKENMACHINE

209

De ZRM als 'spelletjesbron' via inzicht in de getallen

Talrijke rekenspellen kunnen via de ZRM worden uitgevoerd. Volgende strategiespelen kunnen hierbij als voorbeeld volstaan: 1

Joris begint met 2 en vermenigvuldigt de uitkomst steeds met 2. Griet begint bij 80 en telt steeds 80 bij de uitkomst. Wie zal het eerst over de 1000 zijn?

2

Doelschieten

7.3

De zakrekenmachine neemt niet de plaats in van het rekenen

Het resultaat van een bewerking op een ZRM moet steeds worden beoordeeld. De uitkomst moet m.a.w. worden gecontroleerd. Deze controle kan gebeuren aan de hand van: een schatting en/of de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt.

210 7.3.1


DOMEIN 1: GETALLEN

Controle aan de hand van een schatting Om eventuele bedieningsfouten onmiddellijk op te merken, dienen wij een benaderende uitkomst te kennen. Voorbeeld: 706 x 98,7 = De schatting levert ons deze gegevens: - 706 x 98,7 zal ongeveer (700 x 100) 70 000 zijn - én we hebben zeker één cijfer na de komma. Deze schatting is nodig om op te merken dat het product 7501,2 bijvoorbeeld veroorzaakt is door een toetsfout (het vergeten van de 0 in 706). Krijgen we als resultaat 6968,22 dan leert de schatting ons opnieuw dat er iets mis is gegaan (9,87 ingetoetst i.p.v. 98,7). 69 682,2 is de juiste uitkomst. Dit resultaat is vrij betrouwbaar vermits - het kort bij de geschatte 70 000 ligt; - er slechts 1 cijfer na de komma is.

7.3.2

Controle aan de hand van de werkelijkheidswaarde van wat berekend wordt Voorbeeld:

Een winkelier betaalt voor een karton (12 stuks) 'erwtjes en wortelen' 312 BEF. Hij verkoopt ze tegen 36,50 BEF het stuk. Bereken zijn winst!

Bekom je als resultaat 1210 BEF winst dan voel je onmiddellijk aan dat een dergelijke winst niet aanvaardbaar is. Je gaat dus opnieuw rekenen. Ditmaal bekom je 12,10 BEF als winst. Dit resultaat is eveneens twijfelachtig. De winkelier verkoopt 12 blikken en verdient slechts 12,10 BEF. Dat is amper 1 BEF per blik. Vanuit deze logische gedachtegang dringt een derde berekening zich op. Ditmaal bekom je een winst van 121 BEF. Dat is ongeveer 10 BEF per blik ... en dat is realistisch. De controle door het maken van een schatting en het nagaan van de werkelijkheidswaarde gaan hand in hand.

7.4

De zakrekenmachine en zorgverbreding

Wat kan de ZRM betekenen voor het onderwijs aan zwakke rekenaars in de basisschool? De vraag heeft twee aspecten: -

kunnen zwakke rekenaars in de basisschool steun hebben aan de ZRM? hoe kan het rekenonderwijs met behulp van de ZRM worden ingericht?

HOOFDSTUK 2


ZAKREKENMACHINE

211

We vinden dat het gebruik van de ZRM (eindterm 1.26) ook geldt voor zwakrekenende kinderen. Het is van belang dat kinderen vertrouwen krijgen in hun eigen mogelijkheden om rekenopgaven op te lossen met behulp van de basisvaardigheden en rekenstrategieën. Willen kinderen echter voldoende zelfvertrouwen krijgen bij het gebruik van de ZRM dan zullen ze daarmee een aantal ervaringen moeten opdoen. Vaardigheid met de ZRM geeft deze leerlingen de mogelijkheid te kiezen tussen een mentale oplossing of een oplossing met behulp van de ZRM. De leerlingen moeten uiteindelijk zelf bepalen welke werkwijze de meest efficiënte is. Het aanleren en oefenen van basisvaardigheden met de getallen tot 20 kan de zwakke rekenaar al voor problemen plaatsen. Ondanks een gerichte didactiek en een aangepaste training vallen op dat onderdeel al een aantal kinderen uit. Oorzaken van dit uitvallen kunnen zitten in het tempo en in het onvoldoende een beroep kunnen doen op het geheugen. Wanneer deze leerlingen de basisvaardigheden uiteindelijk beheersen, hebben zij soms al een behoorlijke achterstand opgelopen. Bovendien blijft het toepassen van de verworven vaardigheden meestal een probleem. Voor sommige leerlingen kan de ZRM een uitkomst bieden. Er zijn leerlingen die een behoorlijk inzicht hebben in de rekenbewerkingen maar niet zo snel de uitkomst van een som (re)produceren. De tafels zijn niet paraat gekend of ze hebben moeite met de overschrijdingen. Op een dergelijk moment zou de ZRM een passend hulpmiddel kunnen zijn omdat pen en papier (en soms de vingers) tijdrovend zijn. Om welke reden de zwakke rekenaars ook gebruikmaken van de ZRM, zij zullen aan zekere voorwaarden moeten voldoen: -

kunnen optellen en aftrekken tot en met 10; inzicht hebben in de getallen tot 100; inzicht hebben in de positiewaarde van de cijfers in een getal; inzicht hebben in de keuze van verschillende bewerkingen en de notatie ervan.

Wij gaan ervan uit dat bij gebruik van de ZRM eerst wordt geschat. Voor zwakke rekenaars is het schatten een moeilijke opgave. Daarnaast kan voor hen als controlemiddel ingebouwd worden dat de opgave tweemaal wordt ingetoetst. De eerste keer zal de bewerking de volle aandacht krijgen en wordt de oplossing vergeleken met de schatting. De tweede keer ligt de nadruk op het controleren en het vergelijken van de gevonden oplossing. Omdat de ZRM het vaak (te) moeilijk cijferwerk overneemt, ontstaat er meer gelegenheid om aandacht te besteden aan de oplossingsstrategieën. Kinderen raken soms weer gemotiveerd als zij de zakrekenmachine mogen gebruiken. De ZRM geeft kinderen vaak weer plezier in rekenen. Omdat zwakke rekenaars ook geheugenproblemen kunnen hebben, zullen zij vergeten wat ze al hebben ingetoetst. Om dat te vermijden, zullen ze de te maken som eerst op een blad noteren en eventueel doorstrepen wat al is uitgevoerd. Bij deze kinderen zullen wij tijd moeten besteden aan datgene wat er allemaal gebeurt wanneer zij iets met de toetsen doen

212


DOMEIN 1: GETALLEN

Volgend schema kan hen daarbij helpen:

ik toets

op het scherm zie ik ...

ON

0 verschijnt

5

0 verdwijnt, 5 verschijnt

+

5 blijft

6


=


Ondertussen verwoorden de leerlingen wat de ZRM doet. Wij menen te mogen stellen dat de ZRM ook past in het rekenonderwijs aan zwakke kinderen. Zij vervangt echter de essentiële elementen uit het aanvankelijk en voortgezet rekenonderwijs niet, maar vult die aan en verrijkt zo het rekenonderwijs. Het goed kunnen rekenen met behulp van de ZRM is een relevante maatschappelijke vaardigheid die inmiddels bijna net zo gewoon is als het kunnen draaien of intoetsen van een telefoonnummer.

7.5

Aanbevelingen

Voor het begin van het rekenonderwijs met de zakrekenmachine moet worden nagegaan in hoeverre leerlingen aan een aantal rekenvoorwaarden voldoen, zoals voldoende kennis van de basisautomatismen en inzicht in de plaatswaarde van de cijfers. Dat wil niet zeggen dat de leerlingen niet voordien reeds het apparaat kunnen exploreren en leren kennen. Maar dat is nog geen doelgericht onderwijs met de zakrekenmachine. We gaan ervan uit dat de leerlingen steeds de som uit het hoofd uitrekenen of schatten alvorens de ZRM wordt gebruikt. De school schaft de zakrekenmachines aan en beperkt zich tot één type. Naderhand kan de confrontatie met andere types ook zeer boeiend zijn. Bij het bepalen van het type dient het schoolteam zich af te vragen welke voorwaarden aan de ZRM moeten worden gesteld. Volgende voorwaarden kunnen richtinggevend zijn: -

een goed afleesbaar toetsenbord, de meest noodzakelijke toetsen voor de hoofdbewerkingen, licht terugverende toetsen zodat de leerling voelt dat de toets werd ingedrukt, zonnecellen besparen op energie en batterijen.

HOOFDSTUK 2

7.6


ZAKREKENMACHINE

213

Tot slot

Inpassing van de zakrekenmachine in het basisonderwijs eist een zorgvuldige analyse van de mogelijke gebruikswijzen en van de methodische opbouw van bepaalde leerstof. Bepaalde ervaringen met de zakrekenmachine hebben niettemin al aangetoond, dat er op dit gebied mogelijkheden zijn. In het algemeen blijkt dat kinderen gemakkelijk en gemotiveerd met de ZRM werken. Gesteld kan worden dat de ZRM ten aanzien van verschillende knelpunten van het rekenwiskundeonderwijs een rol kan spelen: -

bij het vergroten van de toepasbaarheid, doordat het rekenen zelf minder problemen oplevert en het gebruik van 'moeilijke getallen' geen extra moeilijkheden geeft;

-

bij het verminderen van de tijd die voor het cijferen wordt ingeruimd; te denken valt dan met name aan het cijferen met erg grote getallen;

-

bij het handig rekenen en schatten, via het handig en bewust hanteren van 'rekenwijzen' op de ZRM;

-

bij het hanteren van relaties tussen breuken, kommagetallen en procenten.

HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN

215

Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN METEN

216


Domein 2: METEN

OD ET

DOMEIN 2: METEN Kleuters 1ste fase

2 de fase

Lagereschoolkinderen

6j.



8j.



2.1

CLASSIFICEREN VOLGENS KWALITATIEVE EIGENSCHAPPEN

1

De leerlingen kunnen kwalitatieve eigenschappen bij zichzelf, bij anderen, bij voorwerpen (kleur, geur, smaak, gevoel, geluid, vorm, ...) verwoorden.

2

De leerlingen kunnen twee objecten vergelijken en classificeren steunend op één kwalitatieve eigenschap.

OD 2.1

3

De leerlingen kunnen meer dan twee objecten in twee groepen classificeren steunend op één kwalitatieve eigenschap .

OD 2.2

4

De leerlingen kunnen meer dan twee objecten classificeren, steunend op een combinatie van twee kwalitatieve eigenschappen.

OD 2.2

10j.




Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud, Oppervlakte, omtrek, volume 2.2

217

OD ET

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.



8j.



10j.



METEN VAN LENGTE, GEWICHT, INHOUD, OPPERVLAKTE, OMTREK EN VOLUME

2.2.1 Ordenen volgens kwantificeerbare eigenschappen 1 De leerlingen kunnen kwantificeerbare eigenschappen (continue) bij zichzelf, bij anderen, bij voorwerpen verwoorden en gebruiken daarbij de begrippen: -

voor lengte: lang, kort; hoog, laag; groot, klein.

-

voor gewicht: zwaar, licht

-

voor inhoud: vol, leeg, veel, weinig

-

voor oppervlakte: groot, klein

-

voor volume: groot , klein

OD 2.1

Ze beseffen dat het relatieve begrippen zijn. Bv. iets is slechts klein of groot in vergelijking met iets anders. 2 De leerlingen kunnen, door manipuleren en kijken, twee objecten vergelijken, steunend op één kwantificeerbare eigenschap, en gebruiken daarbij de begrippen: -

voor lengte: lang, langer, kort, korter, even lang/kort; idem voor hoog, laag; groot, klein

-

voor gewicht: zwaar, licht, zwaarder, lichter, even zwaar/licht (weegt evenveel)

-

voor inhoud: vol, leeg, meer of minder gevuld (voller, leger), even vol/leeg (evenveel) ..............

-

voor oppervlakte: groot, klein, groter, kleiner, even groot/even klein .............................................

-

voor volume: groot, klein, groter, kleiner, even groot/even klein ......

OD 2.2 2.3

218


Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud, Oppervlakte, omtrek, volume

OD -

3 De leerlingen kunnen door manipuleren en kijken meer dan twee objecten vergelijken en ordenen volgens toenemende of afnemende mate in: lengte: langst, kortst (hoogst, laagst, grootst, kleinst)..................

OD 2.3

-

ET

gewicht: zwaarst, lichtst ................

Ze kunnen dit met gelijkvormige objecten ook voor: inhoud: meest gevuld, minst gevuld (volst, leegst) .................... -

oppervlakte: grootst, kleinst ..........

-

volume: grootst, kleinst .................

4 De leerlingen ervaren en kunnen verwoorden dat lengtes, gewichten, inhouden, oppervlakten en volumes gelijk kunnen blijven ook als de vorm van het object verandert (conservatie). 5 De leerlingen kunnen grootheden (oppervlakte, volume, inhoud) omstructureren om ze beter te kunnen vergelijken. 6 De leerlingen kunnen voorbeelden geven van objectieve en subjectieve metingen.

OD 2.5

DOMEIN 2: METEN Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.



8j.



10j.




Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud, Oppervlakte, omtrek, volume

219

OD ET

1ste fase

2.2.2 Werken met niet-conventionele maateenheden 1 De leerlingen kunnen een lengte (bv. van de pennenzak) samenstellen uit twee of meer lengtes (bv. uit een potlood en een gom). Ze kunnen dit ook voor inhoud, gewicht, oppervlakte en volume. 2 De leerlingen kunnen objecten meten met een niet-conventionele maateenheid. Ze ordenen ze op grond van het meetresultaat naar: de lengte, het gewicht, de inhoud, de oppervlakte, het volume.

OD 2.6

3 De leerlingen kunnen grootheden veranderen door er iets aan toe te voegen of van weg te nemen, en deze verandering verwoorden.

OD 2.4

4 De leerlingen kunnen aangeven dat de maat van een object niet beïnvloed wordt door zijn plaats, richting, oriëntatie in de ruimte, ... .

OD 2.5

5 De leerlingen kunnen, in functie van wat ze willen meten, zelf oordeelkundig een nietconventionele maateenheid kiezen om een object te meten en, indien nodig, omschakelen van maateenheid tijdens de meetact. (bv.: de lengte van de muur is acht stappen en vijf voeten)

OD 2.6

6 De leerlingen kunnen, na het kiezen van een niet-conventionele maateenheid, het maatgetal schatten. 7 De leerlingen kunnen objecten meten met verschillende niet-conventionele maateenheden. Ze kunnen het verband zien tussen de grootte van de maateenheid en de grootte van het maatgetal en dat verband ook verwoorden.

ET 2.1


Kleuters

2de fase

6j.



8j.



10j.



220


Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud Oppervlakte, omtrek, volume 2.2.3

OD ET

Werken met conventionele maateenheden

1 De leerlingen kennen volgende maateenheden en hun symbolen en kunnen daarmee meet- of berekeningsresultaten noteren: m .................................................................. cm ................................................................ dm, mm ........................................................ km ................................................................ g ................................................................... kg ................................................................. ton ................................................................ l .................................................................... dl .................................................................. cl .................................................................. ml ................................................................. m², dm², cm², km² ........................................ m³, dm³, cm³ (cc) ......................................... a, ha, ca ....................................................... 2 De leerlingen kunnen geschikte meetinstrumenten kiezen om respectievelijk lengte, inhoud en gewicht te meten (bv. het gewicht van een leerling meet ik met een personenweegschaal en niet met een vouwmeter). 3 De leerlingen kunnen, in functie van wat ze willen meten en van de beoogde nauwkeurigheid, de geschikte maateenheid en het gepaste meetinstrument kiezen en correct gebruiken.

ET 2.1 2.2


1ste fase

2de fase


6j.



8j.



10j.




221

Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud Oppervlakte, omtrek, volume

OD -

4 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van de omtrek van veelhoeken.

ET 2.9

ET

5 De leerlingen kunnen een geschikte manier hanteren om de omtrek van niet-veelhoeken (cirkels, ovalen, eilandjes) te bepalen. 6 De leerlingen kennen de formule om de omtrek van een cirkel te berekenen. 7 De leerlingen kunnen de oppervlakte van een rechthoekige vlakke figuur meten door die te bedekken met vierkantjes (van bv. 1 cm²). 8 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van de oppervlakte van een rechthoek.

ET 2.9

9 De leerlingen kennen de formule om de oppervlakte van een rechthoek te berekenen.

ET 2.9

10 De leerlingen kunnen, door omstructurering, de oppervlakte van andere veelhoeken bepalen.

ET 2.9

11 De leerlingen kunnen een geschikte manier hanteren om de oppervlakte van niet-veelhoeken (cirkels, ovalen, eilandjes, kaart van België) bij benadering te bepalen.

ET 2.9

12 Ze kunnen veelhoeken tekenen die de omtrek en de oppervlakte van grillige figuren benaderen. 13 De leerlingen kennen de formule om de oppervlakte van een cirkel te bepalen. 14 De leerlingen kunnen een geschikte berekeningswijze hanteren voor het bepalen van het volume van een balk. 15 De leerlingen kennen de formule om het volume van een balk te berekenen. 16 De leerlingen kunnen de berekeningswijze die ze hanteren om het volume van een balk te bepalen, gebruiken om het volume van andere lichamen te bepalen: door omstructurering of naar analogie. 17 De leerlingen kunnen het volume van een cilinder bepalen door gebruik te maken van de formule van de oppervlakte van een cirkel.

ET 2.10

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.



8j.



10j.



222


Domein 2: METEN Lengte, gewicht, inhoud Oppervlakte, omtrek, volume

OD -

18 De leerlingen komen, na veelvuldig meten, tot afspraken over herkenbare, voorstelbare en/of zichtbare referentiepunten en kunnen die gebruiken bij het schatten.

ET 2.3 2.8

19 De leerlingen kennen, omwille van het systeem, het opbouwprincipe van de rij maateenheden voor lengte, inhoud, gewicht, oppervlakte en volume en kunnen daarbij de relatie leggen tussen de grootheid en de maateenheid. ...............

ET 2.1

ET

Daarbij kunnen ze het systeem aanvullen met een aantal ontbrekende maateenheden, zoals o.m.: dam, hm, hl, ... ........................................... 20 De leerlingen kunnen enkele frequent voorkomende maateenheden, die niet binnen het metriek stelsel te plaatsen zijn, gebruiken zoals bijvoorbeeld: mijl, zeemijl, pond, halfpond, ... . 21 De leerlingen geven, door frequent meten, eenzelfde maat op verschillende manieren weer. Ze kunnen: hun meetresultaten op verschillende manieren lezen en noteren; de voor- en nadelen van de verschillende notaties inzien en verwoorden; betekenisvolle herleidingen uitvoeren; op een zinvolle manier meetresultaten afronden. Ze kunnen daarbij aangeven dat maateenheid en maatgetal omgekeerd evenredig zijn.

ET 2.6

22 De leerlingen zien het verband tussen inhoud, gewicht en volume en kunnen het verwoorden (1 l water weegt 1 kg en heeft een volume van 1 dm³).

ET 2.6

23 De leerlingen kunnen de relatie tussen de omtrek, de oppervlakte en het volume van figuren onderzoeken, vaststellen en verwoorden. (bv. deze 4 figuren met eenzelfde oppervlakte, hebben alle een verschillende omtrek.)

ET 2.6

ET 2.2

ET 2.7


1ste fase

2de fase


6j.



8j.



10j.




223

OD -

Domein 2: METEN Schaal

ET 2.3

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

SCHAAL

Vooraf: Hier beperken we ons tot het noteren van de schaal en het meten en rekenen met de schaal. Het spreekt voor zich dat eerst het schaalbegrip vulling moet krijgen vooraleer men de doelstellingen uit deze leerlijn kan nastreven. Voor de opbouw van het schaalbegrip verwijzen we naar 'Domein 3: Meetkunde': Vormleer leerlijn 3.4: 'Relaties tussen geometrische figuren'; Meetkundige wereldoriëntatie: leerlijn 3.5: positiebepaling; leerlijn 3.6: beweging en richting. Tevens verwijzen we naar het leerplan Wereldoriëntatie, deel 7: Domein Ruimte. 1

De leerlingen kunnen de verhouding tussen een werkelijkheid en een gelijkvormige afbeelding ervan exact bepalen en verwoorden (... keer zo groot/zo klein als ...). Ze weten dat de verhouding bepaald wordt door de verkleinings-/vergrotingsfactor van één dimensie aan te duiden.

2

De leerlingen kennen het begrip schaal als verkleinings-/vergrotingsfactor. Ze kunnen de schaal verwoorden en noteren:

-

als breuk:

1 1000

-

als verhouding:

1 : 1000

-

in een metrieke schaal: 1cm = 10 m

-

2 1 2:1

1cm = 5 mm

in een lijnschaal 0

10 m

0

5 mm

Ze kunnen de verschillende schaalaanduidingen onderling naar elkaar omzetten. 3

De leerlingen kunnen de schaalaanduiding bij een afbeelding van een werkelijkheid gebruiken om de reële afstand tussen twee punten te bepalen door: gebruik te maken van stroken papier (afpassen van de lijnschaal); te meten en gebruik te maken van een verhoudingstabel; te meten en te berekenen.

ET 2.4

224


Domein 2: METEN Schaal

OD ET

4

De leerlingen hebben inzicht in de relatie tussen: lengte, oppervlakte en volume bij het hanteren van de schaal, bv.: schaal

1 betekent: lengte in 2

werkelijkheid 2 keer groter, oppervlakte 4 keer groter, volume 8 keer groter. 5

De leerlingen kunnen een percentage interpreteren en hanteren als schaal (verkleinen op 75 %, vergroten op 150 %).

6

De leerlingen kunnen van een werkelijkheid (of van een afbeelding van een werkelijkheid) een afbeelding op schaal tekenen (bv. grondplan van de klas).


1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>


Domein 2: METEN Tijd

225

OD ET

2.4

METEN VAN TIJD

1

De leerlingen kunnen onderscheiden wat: nu, ervoor (voor nu) en erna (na nu) is.

2

De leerlingen kunnen het onderscheid 'dagnacht' hanteren.

3

De leerlingen beseffen dat het begin en het einde van een activiteit kan worden aangeduid aan de hand van een signaal of van een tijdsinstrument (bv. zandloper). Ze kunnen zelf zo'n aanduiding gebruiken. De leerlingen kunnen, bij vergelijking van 2 gekende activiteiten, verwoorden welke het langst of het kortst duurt. ......................

4

De leerlingen beseffen, op grond van ervaring, dat tijdsduur (lang - kort) een relatief en subjectief begrip is.

5

De leerlingen kunnen verschillende kalenders begrijpen en kunnen deze hanteren:

6

7

-

een activiteitenkalender per dag ....

-

weekkalender ................................

-

maandkalender ..............................

-

jaarkalender...................................

De leerlingen kunnen volgende tijdseenheden begrijpen en verwoorden: -

dag ................................................

-

week ..............................................

-

maand ............................................

-

jaar. ...............................................

De leerlingen ervaren en beseffen dat uurwerken en kalenders middelen zijn die mensen gebruiken om tijd (tijdstip en tijdsduur) te meten en aan te duiden.

OD 2.8

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

226



OD ET

8

De leerlingen kunnen aan de hand van een kalender de dagen aftellen tussen het nu en een speciale gebeurtenis binnen de periode van een week.

OD 2.9

9

De leerlingen kunnen een kalender gebruiken om het aantal dagen tussen 2 gebeurtenissen correct te bepalen. De gebeurtenissen vallen binnen:

ET 2.3

-

een week ........................................

-

een maand .....................................

-

een jaar ..........................................

Ze kunnen de tijd tussen 2 gebeurtenissen correct bepalen zonder gebruik te maken van een kalender. Ze kunnen daarbij zelf bepalen welke maateenheid het meest geschikt is. 10

11

De leerlingen kunnen gebeurtenissen, handelingen in volgorde rangschikken; ze gebruiken daarbij begrippen als: -

nu, eerst, laatst, ervoor, erna, voorbij, vroeger, later, ... .............

-

morgen (ochtend), middag, avond, nacht, voormiddag, namiddag ..... .

-

vandaag, morgen, gisteren .............

-

vorige week, volgende week .........

-

eergisteren, overmorgen ................

-

voor ... weken, over ... weken, vorige maand, volgende maand ....

-

voor ... maanden, over ... maanden, vorig jaar, volgend jaar

-

voor ... jaren, over ... jaren ............

De leerlingen kunnen de datum op verschillende wijzen lezen en schrijven.

ET 2.2


1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>



227

OD ET

12

De leerlingen kunnen een wijzerklok lezen en instellen met een nauwkeurigheid van: -

een uur en een halfuur ...................

-

een kwartier...................................

-

5 minuten ......................................

-

1 minuut ........................................

ET 2.1 2.2

13

De leerlingen kunnen een digitale klok lezen en instellen.

ET 2.2

14

De leerlingen kunnen tijdsnotaties uit een 24-urenschaal omzetten in een 12urenschaal en omgekeerd.

ET 2.2

15

De leerlingen kennen het onderscheid tussen tijdstip en tijdsduur.

16

De leerlingen kunnen: - afkortingen, noteren en ge-bruiken:

17

-

u. .....................................

-

min. .................................

-

sec. ..................................

-

symbolen lezen: h, min, s, ' en " (bv. 3u.6'23") ....

De leerlingen kunnen eenvoudige uurtabellen lezen en interpreteren in betekenisvolle situaties (tv-programma's, tabel openbaar vervoer, openings- en sluitingsuren, ...)

ET 2.2

ET 2.3

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

228



OD ET

18

De leerlingen kennen de samenhang tussen de maateenheden: -

1 week = 7 dagen, 1 jaar = 12 maanden ......................

-

1 maand = ± 30 dagen, 1 jaar = ~ 52 weken = 365 (of 366) dagen.....................................

-

1 dag = 24 uur, 1 uur = 60 minuten, ½ uur = 30 minuten, 1 kwartier = ¼ van 1 uur = 15 minuten..........................................

-

1 minuut = 60 seconden ................

-

1 seconde wordt tiendelig verdeeld (in 10den, 100sten, 1000sten) ......................................

ET 2.12

19

De leerlingen kunnen zinvolle herleidingen van tijdsintervallen maken.

ET 2.6

20

De leerlingen kunnen, in functie van wat ze willen meten en van de beoogde nauwkeurigheid, de geschikte maateenheid en het gepaste meetinstrument kiezen en correct gebruiken (eierklok, zandloper, wijzerklok, chronometer ...).

ET 2.3

21

De leerlingen kunnen de tijdsduur schatten en berekenen.

ET 2.12


1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>


Domein 2: METEN Snelheid

229

OD ET

2.5

METEN VAN SNELHEID

1 De leerlingen ervaren en verwoorden het verschil tussen : traag en snel (vlug)........................ -

OD 2.1

heel traag en traag; heel snel en snel ...............................................

2 De leerlingen kunnen een beweging trager of vlugger uitvoeren of een voorwerp (bv. een bal) trager of vlugger doen bewegen.

OD 2.7

3 De leerlingen kunnen levende wezens en/of mechanische voorwerpen rangschikken op basis van hun normaal ontwikkelende snelheid, bv.: slak, haas; fiets, auto, vliegtuig.

OD 2.3

4 De leerlingen ervaren en verwoorden dat bewegende elementen een snelheid hebben of ontwikkelen (bv. water in een rivier).

OD 2.7

5 De leerlingen beseffen op grond van ervaringen dat snelheid een relatief en subjectief begrip is (bv. vliegtuig in de lucht). 6 De leerlingen kunnen verwoorden in welke situaties (bv. de snelheid van de wind) de snelheid wordt uitgedrukt in: km per uur ..................................... -

m per seconde ...............................

-

de schaal van Beaufort, Mach ......

ET 2.1 2.3

Ze kunnen dit lezen en noteren met afkortingen en symbolen: km/u. ............................................. -

m/sec. ............................................

7 De leerlingen kennen uit hun eigen leefwereld referentiepunten i.v.m. snelheid, bv.: wandelen aan 4 km/u. fietsen aan 16 km/u. autorijden aan 70 km/u.

ET 2.8

8 De leerlingen kunnen verschillende snelheidsmeters aflezen en interpreteren.

ET 2.2

9 De leerlingen kunnen de relatie leggen tussen afstand (afgelegde weg), tijd en gemiddelde snelheid. Ze kunnen het ontbrekende gegeven berekenen wanneer twee elementen gegeven zijn.

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

230


Domein 2: METEN Temperatuur

OD ET

2.6

METEN VAN TEMPERATUUR

1

De leerlingen ervaren en verwoorden het verschil tussen: -

koud en warm ................................

-

ijskoud en koud, warm en heet ......

-

lauw, koud en warm ......................

2

De leerlingen beseffen, op grond van ervaring, dat temperatuur (koud - warm) een relatief en subjectief begrip is.

3

De leerlingen weten dat de thermometer het instrument is om temperatuur objectief te meten.

4

De leerlingen kunnen temperaturen aflezen op de thermometer en ze correct noteren. Ze hanteren daarbij het symbool °.

-

positieve temperaturen ..................

-

negatieve temperaturen ..................

5

De leerlingen ervaren en kunnen verwoorden dat 0° C overeenkomt met het vriespunt van water (smeltpunt van ijs) en dat 100° C overeenkomt met het kookpunt van water (verdampingspunt).

6

De leerlingen kunnen temperatuurverschillen vaststellen of berekenen:

7

-

met uitsluitend positieve temperaturen .............................................

-

ook met negatieve temperaturen. ...

De leerlingen kunnen de gemiddelde temperatuur berekenen (ook met negatieve temperaturen).

OD 2.1

ET 2.1 2.2 2.5

ET 2.5

ET 2.4


1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>


Domein 2: METEN Temperatuur

231

OD ET

8

De leerlingen weten dat er naast de temperatuurschaal in Celsius (°C) ook een temperatuurschaal in Fahrenheit (°F) is. Ze kunnen een omrekentabel tussen beide schalen lezen. .............................................. De leerlingen kunnen het verband ontdekken tussen beide schalen. .................

9

De leerlingen kunnen, in functie van wat ze willen meten en van de beoogde graad van nauwkeurigheid, de geschikte thermometer kiezen en correct gebruiken. bv.: lichaamstemperatuur meten en noteren tot op 1/10° nauwkeurig.

ET 1.7

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

232


Domein 2: METEN Hoeken

OD ET

2.7

METEN VAN HOEKEN

1

De leerlingen weten dat de grootte van een hoek wordt bepaald door de stand van de benen ten opzichte van elkaar.

2

De leerlingen kunnen twee hoeken in het vlak op zicht vergelijken.

3

De leerlingen kunnen hoeken vergelijken met verschillende hulpmiddelen (uitknippen, op elkaar leggen, met transparant papier, ...).

4

De leerlingen kunnen hoeken ordenen volgens grootte.

5

De leerlingen kunnen hoeken vergelijken met een rechte hoek (een tekendriehoek, een zelfgeplooide rechte hoek, ...).

6

De leerlingen kennen de maateenheid van hoekgrootte (graad) en het daarbij horende symbool (°).

ET 2.1

7

De leerlingen kunnen hoeken meten met een graadboog (een geodriehoek) en het meetresultaat noteren.

ET 2.2

-

hoeken tot 180° .............................

-

hoeken groter dan 180° .................

8

De leerlingen kunnen met behulp van een graadboog (een geodriehoek) een hoek van een bepaalde grootte tekenen.

9

De leerlingen weten dat een rechte hoek 90° meet.

10

De leerlingen weten dat een kwartdraai 90°, een halve draai 180° en een volledige draai (cirkel) 360° meet.

ET 2.1

ET 2.3


1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>


Domein 2: METEN Geld

233

OD ET

2.8

GELD

1 De leerlingen beseffen dat dingen een verschillende waarde hebben. De leerlingen kunnen daar in ruilsituaties rekening mee houden.

OD 2.1

2 De leerlingen ervaren en beseffen dat geld een ruilmiddel is. Ze hanteren daarbij de begrippen: duur en goedkoop, duurder en goedkoper, kosten en betalen, kopen en verkopen ....................... -

winst en verlies .............................

-

intrest en rentevoet ........................

3 De leerlingen kunnen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in ons land t.e.m. 100 frank (1 - 5 - 20 en 50 frank) herkennen en gebruiken. Ze hanteren daarbij frank als maateenheid en de daarbij horende afkorting (fr.) of symbolen (BEF).

ET 2.2

4 De leerlingen beseffen, op grond van ervaring, dat waarde en kostprijs relatieve en subjectieve begrippen zijn. 5 De leerlingen kennen, binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gebruiken bij het betalen, teruggeven, natellen van wisselgeld en wisselen.

ET 2.11

6 De leerlingen kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen (met of zonder teruggeven) en in de situatie de meest passende betalingswijze kiezen.

ET 2.11

7 De leerlingen kennen benaderende prijzen van voorwerpen binnen de eigen interessesfeer en kunnen die hanteren ter controle van (be)rekeningen.

ET 2.11

8 De leerlingen kunnen kastiketten en prijslijsten lezen en interpreteren.

ET 2.11

9 De leerlingen kunnen eenvoudige omrekeningstabellen voor vreemde munten lezen. Ze stellen daarbij vast dat de verhouding tussen verschillende valuta’s (in tegenstelling tot bv. lengtematen) niet vast is.

ET 2.11

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

>

8j

>

10j

>

HOOFDSTUK 2

DIDACTISCH KATERN METEN

235

Hoofdstuk 2: DIDACTISCH KATERN METEN 1

Inleiding

Zowel in het dagelijks als professioneel leven wordt iedereen, jong en oud, passief en actief, geconfronteerd met meten, maten en meetresultaten. Meten in de meest ruime betekenis is een culturele vaardigheid ten dienste van persoonlijke redzaamheid. In de geschiedenis heeft meten heel wat veranderingen ondergaan. De mensheid ondervond en ondervindt voortdurend de noodzaak het meten te verfijnen en te komen tot algemeen geldende afspraken zodat effectieve communicatie mogelijk wordt. Die evoluties die het meten onderging vertonen heel wat gelijkenissen met de stappen waarin een kind zich ontwikkelt in het domein meten. Het reconstrueert in zijn ontwikkeling als het ware dit evolutieproces. We illustreren dit even. Het vaststellen en vergelijken van de grootte van voorwerpen (naar één dimensie: lengte, omtrek; naar 2 dimensies: oppervlakte; naar drie dimensies: volume) is een spontane bezigheid van kinderen, die dikwijls vertrekt vanuit een competitief element: is er in mijn glas evenveel limonade als in dat van mijn zusje?, ik spring verder dan jij, mijn koek is kleiner dan de jouwe, ik ben de grootste van de klas, mijn toren is hoger dan de tafel, ... Aanvankelijk gebeurt dat „op zicht‟, wat voor lengte vaak volstaat om te kunnen vergelijken. Maar als je met meer dan één dimensie rekening moet houden, is dat „zicht‟ vaak bedrieglijk. Je kan dan overstappen naar echt meten met maateenheden. Eerst nog met vrij gekozen, niet-conventionele eenheden, die in de onmiddellijke omgeving voorhanden zijn: potloden, stappen, touwtjes, ... voor lengte; handen, blaadjes papier, roostervakjes, ... voor oppervlakte; lepels, flesjes, kommen, blokjes, ... voor inhoud. Geleidelijk aan zal de nood aangevoeld worden om over te stappen naar conventionele, geijkte maateenheden om meetresultaten helemaal vergelijkbaar te maken. Met de introductie van de lengtematen, vierkante maten en kubieke maten wordt het meten meer en meer geformaliseerd. Vroeger werd die „formalisering‟ ook snel opgevat als „formulisering‟: vanaf de 2de graad werd er nog weinig gemeten op school. Omtrek, oppervlakte en inhoud van meetkundige figuren moesten berekend worden aan de hand van gememoriseerde specifieke formules: ba x h (l + b) x 2, , r² x h, enz. 2 Onze leerlijnen monden slechts zelden uit in een formule. De hoofdzaak is om in realistische contexten het meten functioneel te maken (het moet ergens voor dienen) en kinderen daarbij de kans te geven gestelde meetproblemen zelf op te lossen. De meetkundige vorm van de te meten voorwerpen zal mee de oplossingswijzen bepalen: als je de omtrek van een vierkant moet vinden, kan je volstaan met het meten van één zijde en die dan vermenigvuldigen met 4, de oppervlakte van een parallellogram kan je vinden door eerst om te structureren naar een rechthoek (verknippen, verplakken, „vertekenen‟, ...) enz. De leerlijnen meetkunde en meten zijn hier dus duidelijk met elkaar verbonden. Gelijkaardige evoluties, zowel bij de ontwikkeling van het meten bij kinderen als historisch, treffen we ook aan voor gewicht, tijd, snelheid en temperatuur.

236

2


DOMEIN 2: METEN

Fasen in de ontwikkelingslijn meten (zie ook didactisch katern ontluikende gecijferdheid : 2.2.3 ontwikkelen van het maatbegrip)

2.1 Ontdekken van kwalitatieve eigenschappen en classificeren (zie leerlijn meten 2.1) Door het omgaan met de dingen, het bekijken, het beluisteren, het hanteren... onderscheidt de kleuter eigenschappen aan zichzelf en aan objecten. Bij het heel jonge kind hebben deze eigenschappen een erg emotionele en subjectieve betekenis. Deze speelgoeddiertjes zijn zacht en plezierig om mee te spelen, die andere diertjes niet. De opgedane ervaringen zijn aanvankelijk woordloze notities. Deze vorm van primitief classificeren gebeurt nog vooraleer de peuter die specifieke eigenschappen kan benoemen. Ouderen praten over de dingen en hun eigenschappen. Met taal als basis wordt het ordenend denken van de kleuter verder ontwikkeld. Een goed maar begrijpelijk taalgebruik is daarom heel belangrijk om dit gericht verkennend bezig zijn te stimuleren. Peuters en kleuters bouwen regelmatig groepen of verzamelingen op. Voor volwassenen vertonen deze ordeningen niet altijd een samenhang of structuur. Het spelend kind legt deze objecten bij elkaar omdat ze in zijn leef- en belevingswereld bij elkaar horen. Classificeren gebeurt als het kind beseft, dat twee of meerdere objecten bij elkaar horen, omdat ze in een bepaald opzicht gelijk zijn. Dat 'gelijk zijn' kan het verwoorden (is bewust) en wordt ook door anderen herkend. Het gebruikt voor zijn classificeren criteria die door anderen worden aangenomen en mogelijk ook objectief zijn. Kleuters moeten veel kansen krijgen om classificaties uit te voeren zodat ze de aangeboden dingen expliciet gaan vergelijken naar bepaalde eigenschappen als vorm, kleur ... . Berg al de rode blokjes in de kleine doos, de niet-rode in de grote ronde doos. Rood, rond ... zijn vaste, onveranderlijke eigenschappen. Bij het meten gaat het echter vooral om relatieve eigenschappen als groot, dik, zwaar ... .

2.2 Ordenen volgens kwantificeerbare eigenschappen (zie leerlijn meten 2.2.1)

Jan trekt vaders schoenen aan en merkt dat er iets eigenaardigs mee is. Het verschil in schoeisel van hemzelf en van de volwassene boeit hem, hij experimenteert ermee. De volwassene geeft dat 'eigenaardige' een naam: “Die schoenen zijn te groot (voor jou).” “Laat mama‟s tas maar staan, hij is te zwaar (voor jou).”

Dit voorbeeld laat zien dat 'grootte' en 'gewicht' subjectieve en relatieve begrippen zijn. Vaders schoenen zijn groot omdat ze te groot zijn voor Jan. Voor Jan betekent 'groot' hier 'groter dan

HOOFDSTUK 2


237

de eigen schoenmaat' en is 'groot' dus subjectief. 'Groot' is hier ook relatief omdat de schoenmaat van Jan als vergelijkingsnorm geldt. Vergelijkt men vaders schoenen echter met die van een reus, dan zullen vaders schoenen 'klein' zijn. Driejarigen beginnen zich te interesseren voor maatverschillen. In het begin merkt het kind alleen op dat iets groot, zwaar, vol ... is. Het vergelijkt het ten opzichte van zichzelf of met voor hem heel bekende dingen. Eerst gebeurt deze vergelijking lichamelijk en concreet, in een latere fase mentaal.

Bij het vergelijken van twee of meer objecten blijkt het ene meer vol, lang, groot, zwaar, ... dan het andere. De begrippen 'meer' en 'minder' worden belangrijke begrippen in hun gedachtewereld. Het gebruik van 'meer' of 'minder' geeft de betrekkelijkheid aan. Het vergelijken gebeurt bewust als zij de begrippen meer en minder betrekken op diverse kwantificeerbare eigenschappen: zwaar, vol, groot, lang ... en hun tegengestelden: licht, leeg, klein, kort ... . Dit alles is voor een kind niet eenvoudig, want iets dat groot is, kan tezelfdertijd ook klein zijn. Een poes is t.o.v. een muis groot, maar klein t.o.v. een beer. Bij het onder woorden brengen moet het leren gebruikmaken van de vergrotende trap en de overtreffende trap: 'onze poes is groot, maar de beer is groter, hij is de grootste.' Een grote diversiteit aan indrukken, maar ook veel herhalingen zullen nodig zijn vooraleer de kleuter tot inzicht komt dat groot en klein geen vaste maar relatieve eigenschappen zijn. Wanneer daarmee voldoende ervaring is opgedaan kan hij verschillende objecten vergelijken en ordenen van klein naar groot, van kort naar lang, van zwaar naar licht, van vlug naar traag, van warm naar koud, ... . Normaliter zal je in de klassituatie niet te veel voorwerpen ineens aanbieden. Het uitvoeren van zo'n opdracht vergt immers heel wat strategische vaardigheden. Bij het paarsgewijs vergelijken rijst soms het probleem hoe veel groter, voller ... iets is, vergeleken met het ander object. Om daarop een antwoord te geven zijn maateenheden nodig.

238


DOMEIN 2: METEN

2.3 Samenstellen (zie leerlijn meten 2.2.2; doel 1) Hans is een vuist groter dan Jimmy. Mijn pennendoos is even lang als mijn potlood en mijn slijper. Op de balans weegt de zak kastanjes evenveel als de zak noten en de zak snoepjes. De lengte van Hans wordt samengesteld uit twee lengten: die van Jimmy en van een vuist. Het gewicht wordt samengesteld uit twee gewichten. Het gaat om een soort niet-numerieke optelling. Deze fase is een tussenstap naar het werken met niet-conventionele maateenheden, naar het antwoord op de vraag hoe groot, vol, zwaar, ... een object is.

2.4 Werken met niet-conventionele maateenheden (zie leerlijn meten 2.2.2) Door de ruilhandel en het belastingstelsel had de mensheid behoefte aan eenheden om preciezer af te meten. Oorspronkelijk werden alle maateenheden ontleend aan voorwerpen uit de natuur, vooral aan het menselijk lichaam. Een mijl van de Romeinen bv. betekende 1 000 (milia) stappen.

Uit: Feys (1990)

Ook nu nog worden natuurlijke maateenheden veelvuldig gebruikt: een mespuntje peper, een drieduimsspijker, een handvol noten, ... . Er zijn diverse redenen om bij het meten te starten met niet-conventionele maateenheden: het sluit aan bij de leefwereld van de kinderen. In heel wat van hun spelen maken ze er gebruik van omdat ze gemakkelijk hanteerbaar zijn. Zo tellen ze bij verstoppertje spelen bv. 5 keer tot 10 om de andere kinderen voldoende tijd te geven om zich te verstoppen; jonge kinderen hebben meer greep op natuurlijke maateenheden dan op de conventionele maateenheden van de volwassenen. Zo ruilen ze bv. hun potlood voor vijf flippo‟s i.p.v. geld te gebruiken of tellen ze de „dagen‟ door te zeggen: “Nog drie keer slapen voor de sint komt”; ze bieden meer inzicht in de essentiële eigenschappen van grootheden zoals oppervlakte; ze bieden kansen tot het bedenken van heel wat creatieve oplossingen zoals in de opgave hieronder. Welke lap is het grootst? De leerlingen zullen een manier moeten zoeken om de twee lappen stof te vergelijken. Ze kunnen dit bv. door op elkaar leggen en knippen, door bedekken met bierviltjes, ...

HOOFDSTUK 2


239

maar ook door in de stof een patroon te ontdekken (een vierkant met „zwarte‟ en/of „witte‟ bloemen) en te vergelijken. De leerlingen zullen m.a.w. een maat zoeken om te kunnen vergelijken.

Uit: Wiskobas-Bulletin

Om met deze maateenheden te meten is enig hoeveelheidsbesef noodzakelijk en moeten kinderen resultatief kunnen tellen. De grootte van de gekozen maateenheid mag bij kleuters niet te veel afwijken van die van het te meten object, het aantal keren dat de maateenheid past moet te overzien zijn (3 tot 5 keer). In de eerste fase is het aan te bevelen de maateenheid zichtbaar te laten, zodat ze naderhand kunnen tellen (bv. een reeks blokjes). 1

2

3

4

In een latere fase kan afpassend gemeten worden. 1 keer 2 keer 3 keer 4 keer

Ten slotte kan gebruikgemaakt worden van een meetstrook

Het hanteren van meetstroken zal het latere nauwkeurig meten met en aflezen van meetinstrumenten bevorderen. Via allerhande meetactiviteiten worden kinderen bewustgemaakt dat de grootte van het maatgetal afhankelijk is van de gebruikte maateenheid.

240


DOMEIN 2: METEN

Bij het vullen van de watertafel bv. merken ze dat ze minder grote emmers nodig hebben dan kleine emmers, dat hoe groter de maateenheid is hoe minder aantal keren die maateenheid moet gehanteerd worden en hoe vlugger ze klaar zijn met het meten. Deze ervaringen vormen onmisbare achtergronden en inzichten naar herleidingen, nl. de omgekeerde evenredigheid tussen maateenheid en maatgetal (zie verder). Het meten leidt op een gegeven moment tot het gebruiken van een passende maateenheid die best niet te klein is (het vullen van een kookpan gebeurt beter niet met een soeplepel maar bv. wel met een pollepel). Het blijkt soms dat die grote maateenheid niet precies een aantal keren in het te meten object gaat. Op dat ogenblik wordt de noodzaak aangevoeld om de maateenheid te verfijnen. Dit kan aanleiding geven tot kiezen van een kleinere maateenheid (bv. van stap naar voet) of tot een overgang naar breuken (bv. een halve stap) (zie ook 4.1.1 B: breuken als verfijnde maten). Niet-conventionele maateenheden zijn niet algemeen bekend, meestal onnauwkeurig, en bemoeilijken de communicatie. Bovendien staan ze los van elkaar, er is geen vaste verhouding bv. tussen een stap en een voet. Leerlingen ervaren via het meten met niet-conventionele maateenheden de nood aan afspraken, aan eenheden die geen betwisting mogelijk maken, aan conventionele maateenheden.

2.5 Werken met conventionele maateenheden (zie leerlijn meten 2.2.3) Het meten met hoofdmaateenheden zonder gradatie - meter, liter, kilogram - levert over het algemeen geen moeilijkheden op. Wel is het belangrijk dat deze eenheden niet in de abstractie blijven maar geïntegreerd en vastgezet worden (zie verder referentiematen). De noodzaak tot preciezer meting leidt tot gebruik van kleinere maateenheden die een vaste verhouding hebben (= metriek stelsel) met de hoofdmaateenheid. In aanvang wordt elke maateenheid gebruikt als meetinstrument op zichzelf en wordt de maat genoteerd in tabelvorm of als opsomming. Deze waterketel bevat: l

cl

2

5

2l + 5 cl  2l 5cl  2,05l

Het is wenselijk om in de aanvangsfase te meten met een ongegradueerde maateenheid en een onderdeel ervan en nog niet met een gegradueerde maateenheid. Werken met een ongegradueerde maateenheid biedt ook mogelijkheden om breuken te introduceren (zie domein 1: getallen, didactisch katern procenten, breuken, kommagetallen en verhoudingen). Door ze te gebruiken als aparte meetinstrumenten zullen ze beter beklijven. Deze ervaringskennis hebben ze later nodig bij het schatten. Bovendien stelt het aflezen van metingen met gegradueerde meetinstrumenten sommige kinderen voor problemen. Pas na

HOOFDSTUK 2


241

veelvuldig meten met ongegradueerde instrumenten komt het meten met gegradueerde meettoestellen aan bod. Bij het omgaan met de verschillende maateenheden leren de kinderen diverse meetinstrumenten kennen en gebruiken. Daarbij wordt ook aandacht besteed aan het kiezen van het meest geschikte meetinstrument. Deze wordt bepaald door de aard van het te meten voorwerp, de beschikbare meetinstrumenten en de graad van nauwkeurigheid vereist in de context. In welke context gebruik je bij voorkeur een robervalbalans, een winkelbalans, een personenweegschaal, een brievenweger, een keukenweegschaal, een veerbalans, ...? Hoe nauwkeurig weegt elk weeginstrument?

242


DOMEIN 2: METEN

2.6 Relaties tussen maateenheden, nauwkeurigheid bij het meten en herleidingen (zie leerlijn 2.2.3 doelen 19 t.e.m. 23) 2.6.1 Relaties tussen maateenheden De onderlinge verhoudingen tussen de maateenheden zijn, net als in ons getalstelsel, gebaseerd op de decimale structuur. Het is noodzakelijk dat de kinderen de onderlinge verhouding tussen de courante maateenheden kennen. In de tabel hierna zie je de volledige rij van de maateenheden voor lengte, oppervlakte, volume, inhoud en gewicht.De maateenheden tussen haakjes zijn maateenheden die volgens de leerlijn niet als basisleerstof worden beschouwd (zie leerlijn meten 2.2.3 doelen 1 en 19). De pijlen in de tabel duiden op de omzettingen (herleidingen) die zinvol kunnen zijn. De streepjeslijnen wijzen op het verband tussen inhoud en volume (zie leerlijn meten 2.2.3 doel 22).

HOOFDSTUK 2


243

De verhoudingen tussen de maateenheden voor tijd zijn minder eenduidig. Toch is het noodzakelijk dat kinderen ook deze onderlinge verhoudingen kennen om zinvolle herleidingen te kunnen maken. In de tabel hierna geven we de verschillende maateenheden voor tijd met de onderlinge verhoudingen. eeuw  100 jaar365/366  dag  24  uur 60 minuut 60  seconde   12   ±52  

 7 

maand week        ±4 

 tiende  honderdste

Voor geld kennen we slechts één maateenheid, nl. Belgische frank. Toch is het belangrijk dat de kinderen de onderlinge verhoudingen tussen de bestaande munten en biljetten kunnen gebruiken bij het betalen, teruggeven, wisselen (zie leerlijn meten 2.8). De onderlinge verhoudingen tussen de verschillende munten en biljetten leveren voor de kinderen meestal geen problemen op omdat het omgaan met geld steeds in concrete situaties gebeurt. Toch moeten kinderen ook weten dat er naast onze munteenheid andere munteenheden bestaan en dat de onderlinge verhouding tussen de verschillende munteenheden niet vast is Kennis over de relaties tussen maateenheden wordt opgebouwd in concrete situaties waarbij een nauwkeurigere meting noodzakelijk blijkt. Dan wordt een kleinere maateenheid geïntroduceerd. De onderlinge verhoudingen tussen de maateenheden moeten regelmatig opnieuw worden vastgesteld en dienen langdurig gevisualiseerd te worden. Soms is het omzetten in een grotere maateenheid functioneler om te grote getallen te vermijden. Om die reden wordt bv. het waterverbruik uitgedrukt in m3 i.p.v. in liter. Het oordeelkundig kiezen van de geschikte maateenheid in een bepaalde context is voor de kinderen niet eenvoudig. Het is belangrijk er aandacht aan te besteden. Kies de goede maat. -

Onze bank is 0,8 ... hoog. Een wandelaar stapt ongeveer 5,5 ... per uur. Een volle fles limonade van 1 l weegt ongeveer 1300 ... . Ons moestuintje is ongeveer 2500 ... groot.

2.6.2 Nauwkeurigheid bij het meten en meetfouten De nauwkeurigheid van een meting is o.m. afhankelijk van de context. Hierbij stellen zich de volgende vragen: Is het nodig hier heel precies te meten? Is een dergelijke nauwkeurigheid reëel?

244


DOMEIN 2: METEN

Wat is de meetfout?

Het interpreteren van maatgetallen naar nauwkeurigheid en naar maximale meetfout verdient aandacht.

Zo is de maximale meetfout bij de zwemproef 50 meter, want alles wat tussen 3,850 m en 3,950 m ligt wordt afgerond naar 3,9 km. De maximale meetfout bij het fietsen bedraagt 500 m en bij het nieuwe record ½ seconde. In dergelijke contexten kan de regel voor het afronden van getallen op een realistische manier aangebracht worden.

2.6.3 Herleidingen Herleiden is het omzetten van een maateenheid in een andere maateenheid. Deze procedure is soms noodzakelijk om twee of meer gelijksoortige metingen met elkaar te vergelijken of om de grootte van de maatgetallen aan te passen. Het herleiden (of naar 'verhouding' de waarde weten) start zeker niet en gebeurt niet enkel met conventionele maateenheden. Het vindt zijn oorsprong bij gewone dagelijkse activiteiten met nietconventionele maateenheden. De kijken belevingswereld van de kinderen kan een rijke bron zijn om het inzicht in wat herleiden in essentie is, op te bouwen. Herleiden is geen geïsoleerd onderdeel van het domein meten, maar sterk verweven met andere elementen van rekenen en wiskunde: maal- en deeltafels, schaal, breuken, kommagetallen, procenten ... . Om die reden is het noodzakelijk het niet te behandelen als een op zichzelf staand fenomeen, maar het in te bedden in het groot gebied van verhoudingen (zie ook didactisch katern breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten: 4.4 verhoudingen en leerlijn 1.17) .

HOOFDSTUK 2


245

Het herleiden steunt op heel wat wiskundige inzichten en verworvenheden: het onderlinge verband tussen de grootte van de maateenheid en de grootte van het maatgetal; de onderlinge verhouding tussen (courante) conventionele maateenheden; positiestelsel en kommagetallen; vermenigvuldigen en delen met machten van 10 zowel met gehele als met decimale getallen. Het te vroeg formaliseren van herleidingen is nefast. Het gebruik van modellen die dit complex denkproces ondersteunen, lijkt ons onmisbaar. Ze geven inzicht en brengen als het ware het 'hoe' en 'waarom' aan het licht. Bij herleiden dienen de gebruikte modellen zowel het rekenen als het denken te ondersteunen. In een volledige triatlon wordt 3,8 km gezwommen. Hoeveel meter is dat? 0 km

1

2

3

4 3,8

... 0m

1000

2000

3000

4000

 km

1

2

3

m

1000

2000

3000

3,8

4

....

 km

1

3,8



3,8 km = ... m

m 1000 ... Van dubbele getallenlijn naar verhoudingstabel of -blok Een dubbele getallenlijn of een verhoudingstabel (verhoudingsblok) bieden een prima ondersteuning bij het herleiden. Gelijksoortige grootheden worden als het ware bij elkaar gehouden en ondersteunen het uitrekenen. Voor de kinderen is het een flexibel model. Ze kunnen zelfstandig het aantal tussenstappen bepalen om tot een oplossing te komen. Voor de leraar biedt dit het voordeel dat zo'n model zowel de oplossingswijze alsook het niveau weergeeft. Zo kan de gedachtegang van de kinderen beter gevolgd worden en doeltreffende remediëring verstrekt worden.

246


DOMEIN 2: METEN

2.7 Referentiepunten en schatten 2.7.1 Referentiepunten De courante maateenheden mogen niet in de abstractie blijven. Door ze te verbinden met het eigen lichaam of te koppelen aan de realiteit om hen heen worden ze voor de kinderen voorstelbaar, ze verwijzen naar een realiteit. Deze koppeling kan - afhankelijk van de soort zowel motorisch (bv. een stap van 1 m), visueel (bv. de deur van de klas is precies 1 m breed), kinetisch (bv. als ik mijn armen strek is de afstand tussen mijn handpalmen ongeveer 1 m) of mentaal gebeuren. In het concreet maken ervan is het belangrijk een aantal referentiepunten te kiezen die één maateenheid voorstellen (zoals 1 m, 1 l, 1 kg, 1 m², 1m³, ...). Refererentiepunten die één maateenheid voorstellen noemen we 'referentiematen' (bv. Een doos melk van 1 l, een doos klontjessuiker van 1 kg). Het kan voor een school interessant zijn om een aantal referentiematen vast te leggen die uniform zijn voor alle klassen zodat men ernaar kan verwijzen in concrete klassituaties. Daarnaast kunnen en mogen kinderen ook individuele referentiematen gebruiken. Voor sommige maateenheden zoals bv. voor de m² en de m³ vinden we in de omgeving niet altijd referentiematen. Niets belet ons echter om voor deze maateenheden zelf referentiematen te maken en bv. een m² op de speelplaats te schilderen. Referentiematen bieden de kinderen het nodige houvast bij het gebruik van deze eenheden alsook bij het schatten. Belangrijk is ook dat de referentiematen, die we voor de school vastleggen, werkelijke visuele steunpunten vormen, daarom: worden ze verspreid over diverse plaatsen; blijven ze gedurende een langere tijd zichtbaar voor de kinderen.

Naast het gebruik van referentiematen is het voor kinderen belangrijk dat zij ook beschikken over andere referentiepunten. In hun dagelijkse realiteit worden ze immers geconfronteerd met verschillende meetacts waarbij ze niet onmiddellijk het geschikte meetinstrument bij de hand hebben of meetresultaten moeten controleren en dus schattend moeten meten/controleren aan de hand van een referentiepunt. Referentiepunten ontstaan door het intuïtieve gevoel voor grootte, afstand, oppervlakte, inhoud, tijd ... te ontwikkelen, door veelvuldig te focussen op maten bij henzelf en om hen heen. In het voorbeeld hierna is „de lengte van Ann‟ referentiepunt om de hoogte van de vuurtoren te schatten.

HOOFDSTUK 2


247

Bij de diverse leeftijdsgroepen moet daaraan aandacht besteed worden. Zo zullen de kinderen over een steeds uitgebreider arsenaal aan referentiepunten beschikken. Dit lukt alleen wanneer ze gelegenheid krijgen hun opgedane kennis en ervaringen in verschillende contexten toe te passen. In het kader van een project over 'vliegen' gaan de leerlingen van het tweede leerjaar (in hun verbeelding) met het vliegtuig op vakantie. De volgende ochtend hebben de kinderen allemaal gerief mee dat ze in hun handbagage willen stoppen. Straks moet elk groepje voorbij het controlepunt, daar wordt de handbagage gewogen die maximaal 5 kg mag wegen. Iedere groep krijgt een pak suiker van 1 kg en met dit hulpmiddel bepalen ze schattend wat bij elkaar ongeveer 5 kg zwaar is.

2.7.2 Schatten Schatten zit tussen het raden en precies rekenen in. Precies rekenen steunt op exacte gegevens, schatten daarentegen kan ook op basis van onvolledige gegevens. Bij het schatten in de sfeer van meten wordt gebruikgemaakt van 'passende' referentiepunten en 'passende' hoofdrekenen schatstrategieën. Een sterk uitgebouwd net van referentiepunten vergemakkelijkt de keuze van een 'passende' maat. Deze wordt als het ware de nieuwe maateenheid om de grootheid van het object bij benadering te bepalen. Het maatgetal 'past' bij een gegeven probleem als dit getal de realiteit ongeveer dekt en als het bovendien geschikt is voor een hoofdreken- of schatstrategie. De strategie 'past' als ze in de gegeven context wiskundig correct is en aansluit bij het gekozen maatgetal zodat snel en handig kan worden gerekend. Bij het schatten hoort de kunst van het fouten maken. De kunst bestaat erin te kunnen inschatten hoe groot de onnauwkeurigheid is en na te gaan of deze toelaatbaar is in de gegeven context.

248

3


DOMEIN 2: METEN

Meten van specifieke grootheden

3.1 Omtrek, oppervlakte, volume Veel kinderen blijken de begrippen omtrek en oppervlakte te verwarren. Uit een peilingsonderzoek in Nederland (Wijnstra, 1988) bleek dat slechts 45 % van de leerlingen van de bovenbouw van het basisonderwijs volgende oefening correct oplosten: "Je wilt te weten komen hoeveel graszoden je moet kopen voor je tuintje. Wat moet je meten?" A de lengte B de omtrek C de oppervlakte D de inhoud. Uit deze opgave blijkt dat heel wat kinderen onvoldoende inzicht hebben in de begrippen omtrek, oppervlakte en volume. De belangrijkste oorzaak is wellicht te vinden in het feit dat omtrek, oppervlakte en volume in de basisschool vooral aan bod komen vanaf de tweede graad van het lager onderwijs. De 'leerstof' werd bijna uitsluitend beperkt tot het 'meten' van rechtlijnige en regelmatige voorwerpen en meetkundige figuren. Bovendien wordt dit 'meten' vrijwel onmiddellijk verengd tot berekenen met standaardmaten aan de hand van specifieke formules. Willen we de begrippen omtrek, oppervlakte en volume voldoende vulling geven dan zullen we kinderen veelvuldig meetervaringen moeten laten opdoen met veel soorten maateenheden in gevarieerde situaties. Dit betekent dat het meten niet beperkt wordt tot het meten van typisch (schoolse) meetkundige figuren en dat kinderen veelvuldig ervaringen kunnen opdoen door te meten met niet-conventionele maateenheden vooraleer men de conventionele maateenheden introduceert. 3.1.1 Omtrek In de leerlijn meten (leerlijn meten 2.2.3; doelen 4, 5 en 6) komt het meten van de omtrek voor het eerst uitdrukkelijk aan bod bij de 8-jarigen. Dit betekent echter geenszins dat het begrip omtrek pas dan vulling kan krijgen. Meten van omtrek is een vorm van meten van lengte met dat verschil dat bij omtrek 'OM' iets heen wordt gemeten, m.a.w. dat het begin- en eindpunt van de lengte die we meten samenvallen. 'Omtrek' betekent 'er rond gaan', 'eromheen gaan'. Kinderen moeten dus in eerste instantie meetacts kunnen uitvoeren waar men 'de lengte' van iets bepaalt door rond iets te meten waarbij men een willekeurig beginpunt kiest en meet tot men opnieuw bij dat beginpunt komt. Dit 'er rond gaan' wordt door de kinderen verwoord. Deze meetacts worden op verschillende soorten voorwerpen uitgevoerd. Zo kan men bv. de omtrek van het hoofd meten met een touw om een passende kroon te maken voor de jarige of de handen polsomtrek meten om een armband te maken die niet over de hand kan schuiven. Ook bij grotere voorwerpen wordt dit 'er rond gaan' ervaren. Ze kunnen bv. een gracht maken rond hun zandkasteel. Ze kunnen rond het huis gaan en de stappen tellen. Ze moeten daarbij goed weten waar ze gestart zijn (bv. bij de voordeur). Het 'er rond gaan' ervaart men ook bij het tekenen van de omtrek van voorwerpen. Kinderen tekenen bv. hun hand door die te omlijnen. Ze tekenen hun lichaam door op de grond te

HOOFDSTUK 2


liggen en er rond te gaan met krijt. Ze tekenen rond een kartonnen doos.

249

250


DOMEIN 2: METEN

Het spreekt voor zich dat de fasen in de ontwikkelingslijn meten (zie 2) ook bij het meten van omtrek gevolgd worden. Bij het meten van omtrek met niet-conventionele maateenheden wordt vaak gewerkt met touwen en linten. Met deze „meetinstrumenten‟ kan men de omtrek (ook deze van grillige figuren) heel exact meten. Als men niet over dergelijke „plooibare‟ materialen beschikt, dan wordt de omtrek van (grillige) figuren meestal benaderend en/of schattend gemeten. Zo kan men de omtrek van het konijnenhok benaderend meten door er rond te stappen (de omtrek is zes stappen en nog drie voeten). Geleidelijk zal de behoefte ontstaan om de omtrek van voorwerpen en meetkundige figuren te meten met conventionele maateenheden. Het meten van de omtrek met conventionele maten kan op verschillende wijzen en met verschillende soorten meetinstrumenten:

-

meten van de omtrek met touwen, deze omvormen tot een rechte lijn en nameten;

-

meten van de omtrek met meetinstrumenten die ook geschikt zijn om de omtrek van grillige figuren te meten (bv. een lintmeter, een rolmeter; een kilometerteller op de fiets om de omtrek van het meer fietsend te meten; een curvimeter om, op een kaart, de omtrek van het meer van Genève te meten);

-

meten van de omtrek van voorwerpen en meetkundige figuren met alleen rechte zijden door elke zijde te meten en de som van de zijden te maken.

Het is belangrijk dat kinderen veelvuldige meetkansen krijgen. Enkel op deze wijze zullen ze tot het

HOOFDSTUK 2


251

inzicht komen dat werkwijze 3 (omtrek = som van de zijden) een handige manier is om de omtrek van veelhoeken te meten. Deze meetvorm via berekening (som van de zijden) is de enige vorm van 'formulisering' die in dit leerplan als basisdoel bij het meten van omtrek is opgenomen. Sommige leerlingen kunnen, op basis van inzicht in de eigenschappen van veelhoeken (zie leerlijn 3.2: vormen classificeren op grond van eigenschappen) a.h.v. deze berekeningswijze komen tot een versnelde procedure voor het berekenen van bv. de omtrek van een vierkant of een rechthoek. Ze zien dan bv. in dat het voldoende is om één zijde van een vierkant te meten om de som van de zijden te kunnen maken. Het is echter absoluut onzinnig om de verkorting van de berekeningswijze voor deze 'speciale' veelhoeken om te zetten in formules omdat die niets toevoegen aan het inzicht m.b.t. meten of berekenen van omtrek op zich.

3.1.2 Oppervlakte Oppervlakte is een grootheid waarmee kinderen in hun dagelijkse bezigheden veel te maken hebben: een rol papier, de muur van een huis die ze bouwen, de speelplaats, het bord in de klas, ... . Kinderen ervaren oppervlakken door erover te wrijven, door ze te bouwen, door ze te bekleven, door ze te kleuren, ... . Deze oppervlakken zijn zowel gebogen (bv. het hoofd van hun pop w assen) als vlak (bv. het bord in de klas schoonmaken). We spreken van oppervlakte zodra we de grootte van een oppervlak uitdrukken. Oppervlakken vergelijken en ordenen Kinderen kunnen reeds vrij vroeg verschillende oppervlakken vergelijken en ordenen. Dit vergelijken kan op verschillende wijzen gebeuren: -

vergelijken op zicht Kinderen kunnen gelijkvormige oppervlakken die duidelijk in oppervlakte verschillen vaak op zicht Figuur b vergelijken. Bij niet-gelijkvormige figuur a oppervlakken maken kinderen vaak „fouten‟ omdat ze zich vastpinnen op één dimensie. Bv. De lengte van figuur a is langer dan de lengte van figuur b, maar is figuur a ook de grootste?

-

vergelijken door op elkaar leggen Door op elkaar te leggen kan je van sommige voorwerpen of figuren onmiddellijk zien welke de grootste is. bv. 2 pannenkoeken

252 -


DOMEIN 2: METEN

vergelijken door knippen, scheuren en plakken Sommige oppervlakken kan je niet vergelijken door op elkaar te leggen omdat het ene oppervlak niet 'past' op het andere. Dergelijke oppervlakken kunnen pas worden vergeleken wanneer men één van de figuren omstructureert door knippen en plakken. bv.

Welke figuur heeft de grootste oppervlakte?

Bij het vergelijken van oppervlakken via omstructureren, ervaren de leerlingen dat de oppervlakte van een figuur niet wijzigt als de vorm of de plaats in de ruimte wijzigt (conservatie). Ook gebogen oppervlakken (bv. cilinder) kunnen worden omgevormd tot vlakke oppervlakken (bv. rechthoek) zonder dat de oppervlakte wijzigt. Oppervlakten meten (vergelijken en ordenen) met niet-conventionele maateenheden Oppervlakte kan ook worden gemeten door gebruik te maken van niet-conventionele maateenheden. Dit meten kan op twee wijzen gebeuren: -

bedekken met een niet-conventionele maateenheid Als je bv. de oppervlakte van het tafelblad wil vergelijken met de oppervlakte van de deur dan kan dit niet (of moeilijk) door op elkaar leggen en evenmin door omstructureren. Het vergelijken door gebruik te maken van niet-conventionele maateenheden is dan een volgende stap in het leerproces. Men zal het tafelblad en de deur beleggen (beplakken) met bv. DIN-A4-bladen. Door het aantal bladen te tellen kan men de oppervlakte meten en vergelijken. Meestal kunnen de oppervlakken niet precies worden bedekt met de niet-conventionele maat. Men kan dan de niet-conventionele maat verknippen om het hele oppervlak te kunnen bedekken. Je kunt er ook voor opteren om de 'restjes' te laten bedekken met een andere maateenheid (bv. bierviltjes) i.p.v. te bedekken door verknippen. Indien je op deze wijze werkt moeten de leerlingen inzien dat ze de verhouding tussen de twee verschillende maateenheden moeten kennen om oppervlakten te kunnen vergelijken.

HOOFDSTUK 2 bv.


253

De deur (78 op 200 cm) is bedekt met 18 DIN-A4-bladen en 43 bierviltjes. De tafel (90 op 180 cm) is bedekt met 24 DIN-A4-bladen en 9 bierviltjes. De leerlingen moeten weten dat de oppervlakte van een DIN-A4-blad ongeveer overeenkomt met de oppervlakte van 6 bierviltjes om deze twee oppervlakten te kunnen vergelijken. Ik heb 6 DIN-A4-bladen meer gebruikt bij het meten van de tafel. Uit 43 bierviltjes kan ik 6 DINA4-bladen halen (6 x 6 = 36) en dan heb ik nog 7 bierviltjes over. Nu kan ik vergelijken. De oppervlakten van de tafel en de deur zijn ongeveer even groot. De oppervlakte van de tafel is iets groter (2 bierviltjes) dan die van de deur.

254 -


DOMEIN 2: METEN

bedekken met roosterfiguren Het is niet handig om steeds opnieuw de gekozen maateenheid te moeten leggen op het oppervlak (bv. de DIN-A4-bladen netjes tegen elkaar totdat het hele oppervlak bedekt is). In plaats daarvan kan men een meetrooster tekenen op een plasticvel met als maateenheid bv. een DIN-A4-blad. De oppervlakte wordt dan uitgedrukt in ... aantal hokjes. Verschillende oppervlakten worden vergeleken door het aantal hokken te vergelijken. De onvolledige hokjes worden geschat en zo mogelijk omgezet tot volledige hokjes.

In het voorbeeld hierboven vergeleken we rechthoekige oppervlakken. Ook andere oppervlakken (van bv. driehoeken, trapeziums, onregelmatige veelhoeken, cirkels, ovalen en grillige figuren zoals van eilandjes, de kaart van België) kunnen bij benadering worden vergeleken door gebruik te maken van niet-conventionele maateenheden en meetroosters. Reeds bij het werken met niet-conventionele maateenheden zullen sommige kinderen inzien dat het tellen van het aantal gebruikte maateenheden niet noodzakelijk één per één moet gebeuren. Ze zullen opmerken dat er bv. 3 rijen zijn en dat elke rij 5 bladen telt. Ze gaan m.a.w. het één-voor-één tellen vervangen door een berekeningswijze.

Oppervlakte meten (vergelijken en ordenen) met conventionele maateenheden Bij het meten (bedekken) met niet-conventionele maateenheden ervaren de leerlingen dat er nood is aan conventionele maateenheden. Deze nood ervaren ze het meest als de te meten oppervlakte door zijn vorm geen exact veelvoud is van de gebruikte maateenheid. Bij bedekken moeten ze de gebruikte maateenheid verknippen of een kleinere maateenheid gebruiken. Bij meten met een meetrooster moeten ze de grootte van de overblijvende stukjes schatten. Deze ervaringen wekken de behoefte om te kunnen meten met verschillende conventionele maateenheden waarbij voor de leerlingen duidelijk is welke (vaste) verhouding er is tussen de verschillende maateenheden. Afhankelijk van de context waarin de oppervlaktematen aan bod komen, zal de leraar opteren om eerst de m², dm² of cm² te introduceren. Start men bv. met de m² dan zal vlug de noodzaak ontstaan om de 'restjes' te kunnen meten met een

HOOFDSTUK 2


255

kleinere maateenheid. Vertrekt men bij de cm² dan zal, bij het meten van grotere oppervlakten, de nood aan een grotere maateenheid zich opwerpen. Wel is het belangrijk dat de leraar referentiematen van de verschillende maateenheden zichtbaar maakt in de klas. Ook hier zullen de leerlingen, op basis van ervaringen met het meten met niet-conventionele maateenheden, vlug doorzien dat ze handige telstrategieën kunnen hanteren om de oppervlakte (van rechthoeken) te berekenen. De berekening van de oppervlakte van de rechthoek mondt uit in het hanteren van de formule. Vanuit het tellen van hokjes (eenheidsmaat) overstappen naar een vermenigvuldiging van 2 afmetingen (lengte x breedte) is voor kinderen niet zo‟n grote stap. We beperken ons in het leerplan tot deze formule. Toch zullen de leerlingen nog geconfronteerd worden met de moeilijkheid om de oppervlakte van grillige figuren en andere veelhoeken zo exact mogelijk te bepalen. We onderscheiden: meten van de oppervlakte van veelhoeken; meten van de oppervlakte van andere figuren (o.m. grillige figuren, cirkels, ovalen, ...). Meten van de oppervlakte van driehoeken en vierhoeken Op grond van de kennis van de eigenschappen van figuren (zie leerlijn 3. 2: vormen classificeren op grond van eigenschappen en 3.3: puzzelen, bouwen, omstructureren en construeren) zullen de meeste leerlingen in staat zijn om bv. een parallellogram om te structureren tot een rechthoek of om een driehoek bv. aan te vullen tot een parallellogram en zodoende de oppervlakte te vinden. We vertrekken daarbij van een meetkundige benadering waarbij de berekeningswijze van de oppervlakte van een rechthoek model staat voor alle andere. Doel is dat de leerlingen de oppervlakteberekening vanuit meetkundig standpunt begrijpen. Uitgangspunt is dat de leerlingen begrip hebben van oppervlakte en het rechthoekmodel kennen. We illustreren dit met een aantal mogelijke activiteiten voor de berekening van de oppervlakte van het parallellogram en de driehoek (de Moor, 1991). Van een rechthoek een aantal parallellogrammen en driehoeken maken De leerlingen hebben bv. elk 4 rechthoeken van 6 bij 10 cm en vormen deze om tot parallellogrammen door bv. een driehoek af te knippen of op de diagonaal te knippen.

De gelijkheid van de oppervlakte van rechthoek en parallellogram wordt direct herkend op basis van inzicht in het begrip oppervlakte (conservatie).

256


DOMEIN 2: METEN

Bij verknippen op de diagonaal „zien‟ de leerlingen onmiddellijk dat de oppervlakte van de driehoek de helft is van die van de rechthoek of het parallellogram.

-

Werken tussen 2 evenwijdige rechten (rails) Vertrekkend van de rechthoek tussen de twee evenwijdigen worden de parallellogrammen tussen dezelfde „rails‟ bekeken en omgestructureerd naar de rechthoek. Op deze wijze begrijpen de kinderen dat de oppervlakte van een parallellogram kan worden „gezien‟ (via omvorming, al dan niet in gedachten) als een rechthoek met dezelfde lengte (basis) en breedte (hoogte).

Tussen de rails zie je gewoon hoe de oppervlakte kan worden berekend. Er ontstaat m.a.w. een beeld van de manier om de oppervlakte van een parallellogram te berekenen, nl. het beeld van de rechthoek met dezelfde oppervlakte. En bij die rechthoek hoort de formule lengte x breedte. Ook de oppervlakte van de driehoek kan door de leerlingen worden „gezien‟ als we werken tussen twee rails.

De leerlingen zien dat de oppervlakte van elke driehoek met een rechthoek of parallellogram (die op zijn beurt weer om te vormen is tot een rechthoek) is te vergelijken.

Op deze wijze bouwen ze een beeld op van de berekeningswijze van de

HOOFDSTUK 2


oppervlakte van de driehoek.

257

258


DOMEIN 2: METEN

Een bijzondere moeilijkheid: hoogte (breedte) valt buiten het parallellogram of de driehoek.

Uit: De Moor (1991)

Hier is het handig om de figuur eens van de andere kant te bekijken. Deze werkwijze biedt bovendien het voordeel dat de leerlingen ervaren dat de benaming lengte (basis) en breedte (hoogte) een arbitraire keuze inhoudt. Meten van de oppervlakte van andere figuren (o.m. grillige figuren, cirkels, willekeurige veelhoeken, ...). In de leerlijn beperken we ons tot het vinden van een geschikte wijze om de oppervlakte van dergelijke figuren bij benadering te vinden. Dit kan o.m. door: omstructureren of samenstellen uit verschillende figuren bij veelhoeken; te bedekken met een meetrooster (met conventionele maateenheden) waarbij de 'restjes' worden geschat; door een figuur (waarvan men de oppervlakte kan berekenen) te tekenen op de grillige figuur. Bv. Ik teken zowel aan de binnenkant als aan de buitenkant van dit ovaal een rechthoek. De oppervlakte van het ovaal ligt tussen de oppervlakten van beide rechthoeken.

HOOFDSTUK 2


259

Deze werkwijze hanteren we ook voor de „meting‟ van de oppervlakte van de cirkel (zie Heyerick; 1995).

3.1.3 Volume Volume (uitgedrukt in kubieke maten) en inhoud (uitgedrukt in inhoudsmaten) sluiten heel nauw bij elkaar aan. Om volumes te vergelijken zullen de leerlingen als vanzelfsprekend de relatie tussen inhoud en volume hanteren. Volumes vergelijken en ordenen Kinderen vergelijken volumes op verschillende wijzen: -

op zicht Kinderen kunnen bv. drie dozen (die qua vorm min of meer gelijk zijn maar in grootte duidelijk verschillen) ordenen van groot naar klein.

-

door in elkaar te steken Ik kan in die grote doos. Die doos is groter dan ik.

-

door vullen en vergieten met vormloos materiaal (zand, water, ...) Aan de zandtafel vult een kleuter een potje met zand. Hij wil het overgieten in een ander potje en stelt vast dat het zand er niet allemaal in kan. Het loopt over. Het tweede potje is kleiner dan het eerste. Hier doet de kleuter ook ervaringen op die ertoe leiden dat hij de begrippen volume (omvang, grootte van een omhulsel) en inhoud (wat er in kan), die aanvankelijk intuïtief iets anders betekenen (vandaar twee soorten maateenheden), als identiek gaat beschouwen; althans vanuit wiskundig oogpunt.

Volumes meten (vergelijken en ordenen) met niet-conventionele maateenheden Dit meten kan gebeuren door: -

meten met vormhebbend materiaal Hier kunnen we twee vormen onderscheiden: het volume is een geheel (bv. een kartonnen doos); het volume is opgebouwd uit delen (bv. een toren uit blokken).

260


DOMEIN 2: METEN

Het meten van een volume als geheel kan gebeuren door het volume op te vullen met een gekozen maateenheid. Bv. De speelgoedauto's worden bij het opruimen in de bak gelegd, maar ... ze kunnen er niet in. Ze worden in een andere bak gelegd waar ze wel in kunnen. De tweede bak is groter dan de eerste. Het volume van de twee bakken wordt hier gemeten en vergeleken door de voorwerpen ongeordend in de bakken te vullen. In andere situaties kunnen de leerlingen ervaren dat een aantal voorwerpen in een doos kunnen als ze geordend zijn. Bv. Fien neemt de blokkendoos en maakt allerlei constructies. Bij het opruimen wil het maar niet lukken om alle blokken weer in de doos te krijgen. Vanaf het ogenblik dat kinderen weten dat volumes meten, veronderstelt dat er geen 'gaten' meer mogen zijn (cf. het voorbeeld van de auto's bij meten met niet-conventionele maateenheden) ervaren ze dat meten met vormhebbend materiaal bijna uitsluitend kan door gebruik te maken van balkvormige maateenheden bij het meten van het volume van balkvormige voorwerpen. Bij het vullen van een volume met een niet-conventionele maateenheid zal men vaststellen dat men het volume in veel gevallen niet nauwkeurig kan bepalen. Er zijn nog openingen. Deze openingen kan men vullen met een kleinere maateenheid. Bv. De grootte van een kast wordt gemeten door ze op te vullen met de ontdekdozen (schoenendozen). De 'gaatjes' worden gevuld met houten blokken. In de kast kunnen 24 ontdekdozen en nog 18 blokken. Wil men twee volumes, die men op deze wijze gemeten heeft, vergelijken, dan is het noodzakelijk dat de leerlingen de verhouding tussen de gebruikte maateenheden kennen (zie ook bij oppervlakte). Bij het tellen van het aantal gebruikte maateenheden (voor het meten van het volume van een balk) zullen sommige leerlingen het één-voor-één tellen verkorten. Ze zullen bv. de blokken van één laag tellen en dit vermenigvuldigen met het aantal lagen. Anderen zullen misschien het aantal blokken van één laag berekenen door gebruik te maken van hun inzicht in de berekening van de oppervlakte en pas daarna vermenigvuldigen met het aantal lagen. Sommige volumes zijn opgebouwd uit een aantal delen (bv. blokken). Bij constructies waarbij de gebruikte delen even groot zijn, kan één deel als maateenheid worden gebruikt om de volumes van de verschillende constructies te vergelijken. Bv. In kabouterdorp hebben kabouter Roodmuts en kabouter Groenmuts allebei een nieuw huisje gebouwd. Ze zijn heel trots. Wel vragen ze zich af wie nu het grootste huis heeft. Zowel kabouter Roodmuts als kabouter Groenmuts beweren dat zijn huis het grootste is. Wie heeft gelijk?

HOOFDSTUK 2


261

Deze ervaringen kunnen ook bijdragen tot de groei van conservatie m.b.t. volume. Als de huisjes bv. even groot zijn, zien de leerlingen dat de vorm van de huisjes kan verschillen maar dat het volume gelijk is. Meten van volumes met vormhebbend materiaal vormt de basis voor het meten van volumes met conventionele kubieke maten. -

meten met vormloos materiaal De leerlingen kunnen volumes meten door deze te vullen met bv. een beker. Ze stellen vast dat er 8 bekers water in de vaas kunnen. De beker is de maateenheid. Als ze met dezelfde maateenheid ook een ander volume gaan meten (van bv. een waterkan), kunnen ze volumes vergelijken. Bij deze vorm van vergelijken zullen de leerlingen soms ervaren dat ze, naast de gebruikte maateenheid, nog een kleinere maateenheid nodig hebben om het volume exact te kunnen bepalen. In de vaas kunnen bv. 8 bekers water en nog drie soeplepels. De nood aan kleinere maateenheden ervaart men vooral bij het vergelijken van bijna even grote volumes. Meten van volumes met vormloos materiaal vormt de basis voor het meten van inhouden met conventionele inhoudsmaten.

Volumes meten met conventionele maateenheden Bij het meten van volumes met niet-conventionele maateenheden met vormhebbend materiaal ervaren de kinderen de noodzaak aan verschillende conventionele maten. Deze kubieke maten worden slechts bij de oudste lagereschoolkinderen geïntroduceerd. Afhankelijk van de context waarin de kubieke maten aan bod komen, zal de leraar opteren om eerst de m³, dm³ of cm³ te introduceren. Start men bv. met de dm³ dan zal vlug de noodzaak ontstaan om de 'gaatjes' te kunnen opvullen met een kleinere maateenheid. Vertrekt men bij de cm³ dan zal, bij het meten van grotere volumes, de nood aan een grotere maateenheid zich opwerpen. Wel is het belangrijk dat de leraar referentiematen van de verschillende maateenheden zichtbaar maakt in de klas. Ook hier zullen de leerlingen, op basis van ervaringen met het meten met niet-conventionele maateenheden, vlug doorzien dat ze handige telstrategieën kunnen hanteren om het volume van balken te berekenen. De berekeningswijze die kinderen hanteren kan verschillen van kind tot kind. Sommigen zullen een berekeningswijze hanteren die overeenstemt met de formule voor het berekenen van het volume van een balk. Enkel voor die leerlingen kan het zinvol zijn om deze berekeningswijze ook als formule te noteren (oppervlakte grondvlak x hoogte of l x b x h). Meten van volumes van 'niet-balken' Om het volume van 'andere' lichamen te meten zijn er een aantal mogelijkheden: -

omstructureren tot balken Bepaalde volumes kunnen worden omgestructureerd tot een of meer balken. We denken bv. aan een kartonnen doos waarvan het grondvlak een ruit is.

262 -


DOMEIN 2: METEN

naar analogie Eens de leerlingen inzien dat het volume van een balk kan worden berekend door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte (aantal lagen), kunnen ze, op basis van inzicht in de berekening van de oppervlakte van veelhoeken, het volume berekenen. Bv. Het volume van een recht prisma met een driehoek als grondvlak wordt berekend naar analogie met de berekeningswijze van de oppervlakte van een driehoek.

-

gebruikmaken van de relatie inhoudsmaten - kubieke maten Het volume van grillige lichamen (bv. een cilinder, een fles) kan worden gemeten door de inhoud ervan te meten en deze te vergelijken met kubieke maten. Bv. Het volume van deze fles is 1 dm³ en 500 cm³ want de inhoud is 1,5 l. Het volume van deze bol is 700 cm³ want er kan 70 cl water in.

-

toepassen van de wet van Archimedes Ik dompel een voorwerp onder in een volle kookpot en vang het water dat overloopt op. Het overgelopen water is bv. ½ l. Het volume bedraagt dus ½ dm³.

3.1.4 Verband tussen omtrek, oppervlakte en volume; de relatie met de vorm van de dingen Bij niet-gelijkvormigheid Zoals we reeds onder 3.1.2 bij 'vergelijken van oppervlakte op zicht' stelden is de lengte van een figuur (of soms ook de omtrek) een grote misleider bij het bepalen van de oppervlakte van een figuur. Het is belangrijk dat de leerlingen kunnen ervaren dat een figuur met een bepaalde oppervlakte verschillende vormen kan aannemen met telkens een andere omtrek. In het voorbeeld hierna is dit duidelijk vast te stellen.

Ook het omgekeerde, nl. dat een figuur met een bepaalde omtrek verschillende vormen kan aannemen met telkens een verschillende oppervlakte, moeten kinderen kunnen ervaren. Bv. Teken 3 verschillende rechthoeken met een omtrek van 16 cm (6 op 2 cm, 7 op 1 cm, 4 op 4 cm, 3 op 5 cm, ...). De oppervlakte van de verschillende rechthoeken wordt daarna gemeten (berekend) en vergeleken. Ook bij volume (inhoud) laten we ons vaak misleiden door één van de drie dimensies (bv. de hoogte van een fles). De industrie speelt daar handig op in bij het ontwerpen van allerhande verpakkingen.

HOOFDSTUK 2


263

Om kinderen dit te laten ontdekken, kunnen we ze verschillende kokers laten maken uit ruitjespapier en laten nagaan hoeveel papier ze nodig hebben voor elke koker. Door de kokers daarna te laten vullen, zullen kinderen ontdekken dat de koker waarvoor men het meeste papier nodig had, niet noodzakelijk het grootste volume heeft.

Bij gelijkvormigheid Voor het schilderen van een muur van 6 m bij 3 m hebben we 20 liter verf nodig. Hoeveel liter verf hebben we nodig voor een muur die tweemaal zo lang is en tweemaal zo hoog? Veel leerlingen denken spontaan dat 40 liter volstaat. (Feys, R., 1995) Leerlingen verkijken zich op het feit dat bij vergrotingen (of verkleiningen) van figuren twee dimensies betrokken zijn. Bij het vergroten of verkleinen van lichamen gaat het zelfs om drie dimensies. Tussen de twee (bij oppervlakte) of drie dimensies (bij volume) is er een vaste verhouding. In de bovenstaande oefening is de relatie tussen enerzijds lengte en breedte (omtrek) en anderzijds oppervlakte niet duidelijk omdat dit op abstract niveau moet worden opgelost. Laten we de kinderen de muur effectief vergroten, dan zullen veel meer kinderen tot de juiste oplossing komen.

3m

6m

264


DOMEIN 2: METEN

Ook volumes kan men laten vergroten. Een kubus met een zijde van 1 cm heeft een volume van 1 cm³. Hoeveel blokjes van één cm³ hebben we nodig om een kubus te maken met een zijde van 4 cm (4 x 4 x 4)? Conclusie Kinderen moeten kansen krijgen om te ervaren dat de relatie tussen omtrek, oppervlakte en volume verband houdt met de vorm van de dingen en zodoende kunnen ontdekken dat de vaste relatie (nl. de verhouding) enkel bestaat bij gelijkvormigheid.

HOOFDSTUK 2


265

3.2 Tijd Tijd is belangrijk in het leven van de westerse mens. Er zijn maar weinig dingen in het leven die niet aan een bepaald tijdstip gekoppeld zijn. Opstaan, opmaak, eten, werken, ontspanning, ... , bijna alles doen we met het uurwerk in de hand. Het gebeurt maar zelden dat iets ons zo in beslag neemt dat we „de tijd vergeten‟. Toch beleven we tijd meestal subjectief. Deze subjectieve gegevens worden echter vergeleken met objectieve maten. We beperken ons hier verder tot de ontwikkeling van tijdsbegrip d.m.v. tijd als meetsysteem. De subjectieve tijdsbeleving van kinderen vormt daarbij het uitgangspunt. De confrontatie van de eigen tijdsbeleving met een vorm van tijdmeting draagt ertoe bij dat kinderen beseffen dat tijdsduur subjectief is en dat er nood is aan objectieve tijdmaten. 3.2.1 Ontwikkeling van het tijdsbegrip Ook jonge kinderen ervaren dat dagen een ritme hebben. Na het opstaan volgen het aankleden en het ontbijt, de school, het middageten, even slapen of terug naar school, eten, tv-kijken, slapen. Ook ervaren ze dat dag en nacht afwisselen. In een eerste fase kunnen kinderen deze gebeurtenissen enkel situeren vanuit het nu. Ze onderscheiden m.a.w. wat nu is en wat „voor nu‟ (voor het middageten, voor vandaag) was. Wat er „na nu‟ (vandaag, morgen of over enkele dagen) zal gebeuren, is nog heel vaag. De relatie tussen heden, verleden en toekomst ontwikkelt zich door kinderen inzicht te laten verwerven in de volgorde van de gebeurtenissen van een dag. Een belangrijk middel daarbij is het gebruik van klokken en kalenders. De verschillende gebeurtenissen worden (vaak als tijdstip) op de activiteitenkalender per dag (tijdlijn van een dag) of dagklok geplaatst. Door gebeurtenissen op een kalender te plaatsen, krijgen ze letterlijk een plaats in de geschiedenis. De activiteitenkalender per dag groeit uit tot een weekkalender; na de dag wordt een strook voor de nacht aangebracht. Kinderen worden zich bewust van de continuïteit van tijd. Na iedere dag volgt er een nieuwe dag die er ongeveer uitziet als de vorige dag (een aantal gebeurtenissen komen dagelijks terug). De dagen weekklok zijn handige middelen om deze continuïteit te illustreren. Tijdsduur is nog moeilijker dan tijdstip. Zoals eerder reeds gesteld is tijdsduur ook voor kinderen subjectief. Om kinderen tijdsduur te laten ervaren moeten we ze confronteren met tijdsinstrumenten die tijdsduur op een of andere wijze visualiseren (bv. een zandloper). Ze beseffen dat een gebeurtenis een begin (startsein voor het opruimen van de poppenhoek is het omdraaien van de zandloper), een duur (opruimen kan zolang de zandloper loopt) en een einde (er loopt geen zand meer) heeft. Dergelijke instrumenten maken het mogelijk om verschillende activiteiten qua duur te vergelijken. Ook klokken en kalenders zijn uitstekende hulpmiddelen om tijdsduur voor te stellen. Dit veronderstelt dat men op de klok of de kalender niet alleen de tijdstippen van bepaalde gebeurtenissen aangeeft maar dat men ook de duur voorstelt door de afstand aan te duiden tussen begin- en eindtijdstip van een gebeurtenis. Bovendien moet men alle gebeurtenissen met hetzelfde meetinstrument meten (zandloper, waterklok met schaal). Bv. van „s morgens tot aan de speeltijd duurt het vijf streepjes op de waterklok; de speeltijd zelf duurt maar één streepje.

266


DOMEIN 2: METEN

3.2.2 Kloklezen A

Analoge tijd Kloklezen lijkt simpel. Je kijkt even naar de stand van de wijzers en je weet de juiste tijd. Bij heel wat klokken ontbreken de cijfers zelfs geheel of gedeeltelijk. Toch vormt kloklezen voor heel wat lagereschoolkinderen een struikelblok. Dit heeft o.i. te maken met de twee wijzers van de klok die elk hun eigen schaal hebben. De kleine wijzer (indeling van de uren) wordt weergegeven op een schaal van 1 tot en met 12 en gaat 2 keer per dag helemaal rond. De zestigdelige schaal hoort bij de grote wijzer en geeft de minuten weer. We stellen voor om, tijdens de aanvangsfase, de klok te leren lezen met enkel de kleine wijzer. Want eigenlijk hebben we enkel de kleine wijzer nodig om de klok „goed‟ te kunnen aflezen. Je kunt bv. een klok (met één wijzer) die slaat op de hele uren in de klas, plaatsen. De klok slaat 4 keer, het is vier uur, de wijzer wijst precies naar de vier. Later kan dit verfijnd worden. Vragen als „Hoelang duurt het nog voor de klok weer slaat?, Hoeveel keer zal hij dan slaan?, Hoeveel van het uur is nu voorbij? zullen ertoe leiden dat kinderen aan de hand van de stand van de klok ongeveer de juiste tijd kunnen aangeven (halftien, kwart over vier, bijna twaalf uur, iets over drie). Pas als ze de klok met één wijzer vrij goed kunnen lezen en als ze de noodzaak voelen om tijd nauwkeuriger te meten, komt de minuutwijzer erbij. Om kinderen duidelijk te maken dat de twee wijzers van een klok twee verschillende dingen aangeven, kunnen we (als tussenstap tussen de één- en twee-wijzerklok) twee aparte klokken maken.

Bij het oefenen met een tweewijzerklok is het evident dat „echte‟ klokken worden gebruikt. Met „echte‟ klokken bedoelen we klokken waarbij de twee wijzers niet onafhankelijk ten opzichte van elkaar kunnen worden verplaatst. Bij het oefenen met de klok moeten de leerlingen steeds de relatie tussen grote en kleine wijzer ervaren.

HOOFDSTUK 2 B


267

Digitale tijd Sinds de jaren „70 worden naast wijzerklokken ook veel digitale horloges gebruikt. Dagelijks heeft bijna iedereen te maken met zowel analoge als met digitale tijd. De digitale tijdsnotatie treffen we immers ook aan in televisiegidsen, tabellen van openbaar vervoer, ... . Omzetten van analoge tijd naar digitale tijd (of omgekeerd) levert meestal geen ernstige problemen op als kinderen voldoende inzicht hebben in de verschillende schalen van de twee wijzers van een wijzerklok. Toch is het belangrijk dat de link tussen analoge en digitale steeds gelegd wordt. 11.43 moet onmiddellijk het beeld „bijna kwart voor 12' oproepen. Een bijkomende moeilijkheid bij digitale tijd is dat deze wordt genoteerd in een 24-uurschaal. Dit betekent dat je vanaf de namiddag steeds 12 uur van de gegeven stand moet aftrekken, 21.06 betekent 6 over 9. Deze 24-uur-schaal biedt echter de mogelijkheid om een volledige dag, een etmaal, voor te stellen. Een tijdlijn met zowel analoge als digitale tijd kan hier ondersteunend werken.

We willen erop wijzen dat de 24-uur-schaal enkel in Europa wordt gehanteerd. Kinderen kunnen ook worden geconfronteerd met bv. de Angelsaksische tijdsnotatie voor 21.09 is dan 9.09 p.m.. P.m. komt van „post meridiem‟, Latijn voor „na het midden van de dag‟. Tijden voor de middag worden aangeduid met a.m. (ante meridiem - „voor het midden van de dag‟). 3.2.3 Tijdsduur berekenen Om te kunnen uitrekenen hoe lang iets duurt (verschil tussen twee tijdstippen: begin en einde), moet je de onderlinge verhoudingen tussen de verschillende maateenheden kennen. Voor tijd zijn die niet eenduidig (zie ook 2.6.1 van dit katern). Verwarrend daarbij is dat we gewoon zijn om in decimalen te rekenen en dat we bij tijd verschillende schalen gebruiken.

268


DOMEIN 2: METEN

3.3 Snelheid Snelheid is een samengestelde grootheid op basis van de verhouding tussen afstand en tijd. Net zoals bij andere verhoudingen zullen we ook bij snelheid veelvuldig gebruikmaken van de verhoudingstabel. We verwijzen hiervoor naar het didactisch katern „Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten‟ (Domein 1 Getallen, hoofdstuk 2, katern 4).

3.4 Temperatuur Reeds vrij vroeg ervaren kinderen het verschil tussen warm en koud, maar beseffen ze ook dat temperatuur (warm, koud) een subjectief en relatief begrip is. Voor het ene kind is het water van het zwembad koud terwijl het voor een ander kind warm aanvoelt. Temperatuur kan moeilijker dan andere grootheden gemeten worden met niet-conventionele maateenheden. De thermometer wordt daarom vrij vlug geïntroduceerd als instrument om temperatuur objectief te meten. Het meten van negatieve temperaturen is een van de weinige concrete mogelijkheden om gehele getallen < 0 aan bod te laten komen (zie leerlijn getallen 1.2 doel 3). Temperaturen worden vaak gemeten gedurende een bepaalde periode. Om de evolutie van de temperaturen visueel duidelijk te maken, worden de gemeten temperaturen vaak voorgesteld in grafieken (blokdiagram, staafdiagram of lijngrafiek). We verwijzen hiervoor naar het didactisch katern „Tabellen en grafieken‟ (domein 1 Getallen, hoofdstuk 2, katern 5).

3.5 Hoekgrootte De begripsvulling van hoeken vertrekt meestal vanuit het intuïtieve hoekbegrip (de hoek van de kast, de hoek van de tafel, ...). Toch hebben een aantal leerlingen moeite om, vanuit het intuïtieve hoekbegrip, hoeken in het vlak te herkennen. De grootste moeilijkheid bij hoeken is het meten van hoeken. De hoekgrootte wordt immers bepaald door de stand van de benen t.o.v. elkaar en niet door bv. de lengte van de benen. Om dit inzicht te verwerven is het belangrijk dat de leerlingen veel kansen krijgen om hoeken te vergelijken en te meten. Ze kunnen hoeken vergelijken door ze uit te knippen en op elkaar te leggen, door te tekenen op transparant papier, ... . Een handig middel om het inzicht in hoekgrootte te verwerven is gebruikmaken van een (zelfgemaakte) hoekmeter.

HOOFDSTUK 2


269

Hoeken kunnen ook geïntroduceerd worden via draaien. Leerlingen weten dat je een draai moet maken als je van richting wenst te veranderen. Vervolgens moeten de leerlingen inzien dat het maken van een draai tot gevolg heeft dat het spoor dat je achterlaat een hoek maakt (bv. voor vliegroutes).

3.6 Geld Het is evident dat geld vooral gebruikt wordt in reële ruilsituaties. In concrete situaties kunnen de leerlingen met de bestaande muntstukken en biljetten betalen, teruggeven, wisselgeld natellen en wisselen. Ze leren daarbij de meest geschikte betalingswijze hanteren. Omgaan met geld gaat bij de meeste leerlingen vrij vlot voorzover dit in concrete situaties gebeurt. Het valt te verwachten dat leerlingen heel wat meer problemen zullen kennen tijdens de (overgangs)periode waarbij zowel de Belgische munten en biljetten als de euro naast elkaar zullen worden gebruikt als betaalmiddel. De leerlingen zullen immers de verhouding tussen de BEF en de euro moeten kunnen hanteren. We zullen de leerlingen vrij vroeg vertrouwd moeten maken met omrekeningstabellen van BEF naar euro.

270

4


DOMEIN 2: METEN

Meetstands

Een van de mogelijkheden om de kleuters en lagereschoolkinderen meer kansen te geven om te meten is het werken met meetstands. Meetstands zijn in feite alle mogelijke meetactiviteiten die leerlingen zelfstandig (in kleine groepen) kunnen uitvoeren aan de hand van een opdracht(kaart). Meetstands zijn geen doel op zich, maar een middel om elk kind meer meetkansen te geven.

4.1 Meetstands voor kleuters Hierna geven we enkele voorbeelden van meetstands voor kleuters. Meetstands voor kleuters zijn activiteiten waarbij de kleuters voldoende tijd en ruimte krijgen om te experimenteren. Voorbeelden voor de jongste kleuters -

Activiteit i.v.m. lengte Met grote kartonnen buizen van verschillende hoogtes torens bouwen Dat gebeurt tegen een muur waarop de vereiste hoogtes van tevoren werden aangeduid.

-

Activiteit i.v.m. inhoud In de zandbak flessen vullen volgens een voorbeeld: 1ste fles is helemaal vol; 2de fles is half vol; 3de fles is maar een klein beetje gevuld.

Voorbeeld voor de oudste kleuters -

Activiteit i.v.m. lengte De kleuters laten verschillende auto's vanaf een startlijn zo ver mogelijk rijden. De afstand die de auto's afgelegd hebben passen ze af met de voeten. Voor iedere pas die ze zetten, trekken ze een streep op een blad.

HOOFDSTUK 2


271

4.2 Meetstands voor de lagere school Hierna geven we enkele mogelijke opdrachtkaarten voor meetstands.

LEERJAAR:

1

ASPECT:

Lengte, meten met niet-conventionele maateenheden

OPDRACHT:

Meet de bank eerst met een pen, dan met een schrift en tenslotte met een boek.

NOTEER:

Schrijf op hoeveel keer je de pen, het schrift en het boek op de bank kunt leggen.

MATERIAAL: bank, pen, schrift, taalboek

272


DOMEIN 2: METEN

LEERJAAR:

1

ASPECT:

Lengte, begrippenkader verruimen

OPDRACHT:

Ga na of de voorwerpen kleiner of groter zijn dan of gelijk zijn aan de meetstok (1 m) - het weerkalenderbord - het leesbord - de deurbreedte - de bank - de bordvleugel

NOTEER: Noteer: ' is groter dan 1 m', 'is kleiner dan 1 m' of 'is gelijk aan 1 m'

1 2 3 4 5

MATERIAAL: meetstok

HOOFDSTUK 2


LEERJAAR:

2

ASPECT:

Oppervlakte

OPDRACHT:

Hoeveel kleine witte bladen heb ik nodig om het tafelblad te bedekken? Hoeveel grote gekleurde bladen heb ik nodig om het tafelblad te bedekken?

NOTEER:

Ik kan ..... kleine witte bladen op de tafel leggen. Ik kan ..... grote gekleurde bladen op de tafel leggen.

MATERIAAL: kleine witte bladen, grote gekleurde bladen, tafel

273

274


DOMEIN 2: METEN

LEERJAAR:

2

ASPECT:

Inhoud

OPDRACHT:

Hoeveel kopjes kunnen in de karaf en in de kruik? Hoeveel bekers kunnen in de karaf en in de kruik? Hoeveel sauslepels kunnen in de karaf en in de kruik?

NOTEER:

Kleur telkens het passend aantal kopjes, bekers en sauslepels

MATERIAAL: trechter, water, kleurpotloden, karaf, kruik, sauslepel, kopje, beker

HOOFDSTUK 2


LEERJAAR:

3-4

ASPECT:

Inhoud

OPDRACHT:

Jeroen heeft twee drinkbussen. De ene voor op zijn fiets; de andere neemt hij met draagriem mee naar school. Schat welke bus de grootste inhoud heeft. Meet daarna hoeveel er in elke drinkbus kan. Bereken hoeveel er meer kan in de grootste.

NOTEER:

Ik schat dat ................................. de grootste inhoud heeft. Ik controleer. In de grootste drinkbus kan ..................... . In de kleinste drinkbus kan ...................... . Ik kleur de grootste drinkbus. In de grootste drinkbus kan ................ meer dan in de kleinste drinkbus.

MATERIAAL: -

twee drinkbussen een emmer water een trechter voldoende inhoudsmaten een dweil

275

276


DOMEIN 2: METEN

LEERJAAR:

5-6

ASPECT:

Oppervlakte

OPDRACHT:

Als hoofd van de firma V.L.A.G. krijg je de opdracht om deze vlaggen te vervaardigen. Welke hoeveelheid witte en zwarte stof heb je nodig voor elke vlag als je weet dat de vlaggen op schaal 1/100 getekend zijn?

NOTEER: VLAG 1 2 3 4

witte stof ............. ............. ............. ............

zwarte stof ................. ................. ................. .................

MATERIAAL: schaar, meetlat, lijm, centimeterpapier, millimeterpapier

HOOFDSTUK 2


ASPECT:

Volume

OPDRACHT:

Hieronder zie je drie bankkluizen. Welk van de drie bankkluizen is de grootste? Kleur de grootste bankkluis.

MATERIAAL: rekenmachientje

277

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

VORMLEER

Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN MEETKUNDE

279

280

OVSG -LEERPLAN WISKUNDE

A

DOMEIN 3: MEETKUNDE

Vormleer

MEETKUNDE Vormleer

OD ET

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

3.1 VORMEN BESCHRIJVEN, HERKENNEN, CONSTRUEREN, BENOEMEN EN CLASSIFICEREN 1

De leerlingen kunnen op grond van vormherkenning insteek- en inlegpuzzels voltooien.

OD 3.3

2

De leerlingen kunnen in concrete situaties onderstaande begrippen in hun juiste, intuïtieve betekenis gebruiken:

OD 3.1

3

-

in, uit, op, boven, onder, naast, voor, achter, tussen, schuin (scheef), op elkaar, in elkaar, onder elkaar, binnen, buiten, rondom ...........................................................

-

recht, rond, gebogen (krom), effen (vlak, plat, glad) ...................................................

-

rand (boord, kant), lijn, hoek ......................

-

bovenkant, onderkant, voorkant, zijkant, achterkant, binnenkant, buitenkant. ............

De leerlingen kunnen een patroon van vormen voortzetten, waarbij: -

in een rij twee verschillende vormen voorkomen ................................................

-

in een rij eenzelfde vorm in verschillende standen voorkomt ......................................

 -

in een vlak verschillende patronen voorkomen (tegelpatroon- mozaïek). .........

4

De leerlingen kunnen een beperkt aantal geometrische figuren globaal herkennen en intuïtief benoemen en classificeren : vierkanten, rechthoeken, driehoeken, cirkels (rondjes), eieren (eivormig), ‘vierkante blokjes’ (kubussen), ballen (bollen), ... .

5

Tevens kunnen zij vierkanten, rechthoeken en driehoeken construeren door te vouwen, prikken, knippen, tekenen, scheuren, omlijnen, leggen ... . Ze kunnen daarbij o.a. een schaar, een potlood, een meetlat, een touw, een spijkerbord, roosterpapier, ... als hulpmiddelen hanteren.

OD 3.4

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

MEETKUNDE Vormleer

VORMLEER

OD ET

6

Ze kunnen resultaten van knipfiguren (een stukje wegsnijden uit een gevouwen blad) voorspellen. Ze kunnen zelf knipfiguren maken: vrij of naar model.

7

De leerlingen kunnen volgende begrippen correct hanteren:

8

9

-

rechte lijnen (rechten) en kromme lijnen (krommen, gebogen lijnen) ........................

-

evenwijdige en snijdende rechten en lijnen

-

zijde, hoek, hoekpunt, benen van een hoek

-

rechte hoek, scherpe hoek, stompe hoek ....

-

lijnstuk, punt, diagonaal .............................

-

loodrecht, loodlijn, horizontaal, verticaal, schuin .........................................................

-

lengte (basis), breedte (hoogte) ..................

-

straal, diameter (middellijn), middelpunt ...

-

omtrek, oppervlakte ...................................

-

volume (inhoud), ribbe, grondvlak, bovenvlak, zijvlak. .....................................

-

kruisende lijnen en rechten. .......................

De leerlingen kunnen met behulp van een tekendriehoek, een geodriehoek of een rolliniaal volgende meetkundige objecten tekenen: -

snijdende en evenwijdige rechten ..............

-

hoeken .......................................................

-

rechte, scherpe en stompe hoeken. .............

De leerlingen kunnen globaal een aantal driedimensionale geometrische figuren herkennen en benoemen: kubus, balk, piramide, bol, cilinder ............ -

ET 3.2a

ET 3.4

ET 3.2b

prisma, kegel. ............................................

10 De leerlingen kunnen de symbolen voor loodrechte stand () en evenwijdigheid (//) lezen, noteren en gebruiken.

ET 3.3

Kleuters

1ste fase

2de fase

281


6j.

->

8j.

->

10j.

->

282


MEETKUNDE Vormleer

OD ET

11 De leerlingen kunnen volgende termen correct hanteren: -

vlakke figuur, veelhoek .............................

-

lichaam, veelvlak. ......................................

12 De leerlingen kunnen op grond van het aantal zijden (of hoeken) veelhoeken benoemen.

ET 3.2

DOMEIN 3: MEETKUNDE Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

MEETKUNDE Vormleer

VORMLEER

OD ET

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.

->

3.2 VORMEN CLASSIFICEREN OP GROND VAN EIGENSCHAPPEN 1

2

De leerlingen kunnen driehoeken classificeren op grond van de eigenschappen van: -

de hoeken: stomphoekige, scherphoekige, rechthoekige driehoeken ............................

-

de zijden : gelijkbenige, gelijkzijdige, ongelijkbenige, ongelijkzijdige, willekeurige driehoeken .................................................

-

hoeken en zijden samen: bv. rechthoekige gelijkbenige driehoeken. Zij kunnen hierbij ook eigenschappen onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. gelijkzijdige driehoeken zijn altijd scherphoekig en hebben gelijke hoeken. ..

De leerlingen kunnen bij onderstaande vierhoeken de eigenschappen van zijden en hoeken ontdekken en verwoorden en omgekeerd op grond van die eigenschappen de figuren benoemen: -

vierkant: alle zijden gelijk, alle hoeken recht (gelijk), tegenoverliggende zijden evenwijdig .................................................

-

rechthoek: tegenoverliggende zijden gelijk, alle hoeken recht (gelijk), tegenoverliggende zijden evenwijdig ........

-

ruit: alle zijden gelijk, tegenoverliggende hoeken gelijk, tegenoverliggende zijden evenwijdig .................................................

-

parallellogram: tegenoverliggende zijden gelijk, tegenoverliggende hoeken gelijk, tegenoverliggende zijden evenwijdig ........

-

trapezium: 1 paar tegenoverliggende zijden evenwijdig ................................................ vlieger: 2 paar aan elkaar liggende zijden gelijk, 1 paar tegenoverliggende hoeken gelijk. .........................................................

-

3

De leerlingen zijn ook in staat, op grond van die eigenschappen, de vierhoeken hiërarchisch op te delen en te benoemen, bv. een parallellogram met 4 gelijke zijden is een ruit.

ET 3.4

ET 3.4

ET 3.4

283

8j.

->

10j.

->

284


MEETKUNDE Vormleer

OD ET

4

De leerlingen kunnen andere eigenschappen van vierhoeken onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en ze delen elkaar middendoor.

5

De leerlingen weten dat een regelmatige veelhoek gelijke zijden en hoeken heeft. Ze kunnen andere eigenschappen onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. in een regelmatige achthoek lopen 2 diagonalen evenwijdig aan elke zijde.

6

De leerlingen kunnen van een willekeurige veelhoek aangeven of hij convex of concaaf is.

7

De leerlingen kunnen de eigenschappen van de cirkel onderzoeken, ontdekken en verwoorden.

8

De leerlingen kunnen bij onderstaande veelvlakken de eigenschappen van de begrenzende vlakken en hun onderlinge stand ontdekken en verwoorden en omgekeerd op grond van de eigenschappen het veelvlak benoemen:

9

-

kubus: alle vlakken zijn (gelijke) vierkanten, tegenoverliggende vlakken zijn evenwijdig ...........................................

-

balk: alle vlakken zijn rechthoeken, tegenoverliggende vlakken zijn evenwijdig en gelijk ..........................................................

-

prisma: 2 vlakken zijn evenwijdig, alle ribben, die niet in die vlakken liggen, zijn evenwijdig. .................................................

De leerlingen kunnen andere eigenschappen van kubussen en balken onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. een diagonaal vlak van een kubus is een rechthoek.

ET 3.2


1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

MEETKUNDE Vormleer

VORMLEER

OD ET

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.

->

3.3 PUZZELEN, BOUWEN, OMSTRUCTUREREN, CONSTRUEREN 1

De leerlingen kunnen (al dan niet met een constructievoorschrift) een model nabouwen -

in de ruimte................................................

-

in het vlak ..................................................

De complexiteit van zowel de constructie als van het constructievoorschrift, neemt toe met de leeftijd. 2

De leerlingen kunnen een driedimensionale blokkenconstructie (met kubussen) nabouwen: -

met een tweedimensionale tekening als model .........................................................

-

met een grondplan als model, waarbij het aantal blokken door een cijfer op het plan is weergegeven ..............................................

Zij kunnen van een dergelijk bouwsel een grondplan maken .............................................. . 3

De leerlingen kunnen een puzzel met geometrische figuren (bv. tangram) naar een model oplossen.

4

De leerlingen kunnen veelhoeken (mentaal) omstructureren naar rechthoeken en driehoeken door verdeling, aanvulling en compensatie.

5

De leerlingen kunnen in en om vlakke figuren die geen veelhoek zijn (cirkels, ovalen, eilandjes,...) veelhoeken tekenen die in omtrek en/of oppervlakte die figuren benaderen.

6

De leerlingen kunnen veelvlakken omstructureren naar balken door verdeling, aanvulling en compensatie.

7

De leerlingen kunnen driehoeken en vierhoeken tekenen volgens een constructievoorschrift dat gegrond is op de eigenschappen van de figuur, bv. teken een ruit met diagonalen van 5 cm en 4 cm. Ze maken daarbij gebruik van hulpmiddelen zoals liniaal, tekendriehoek, rolliniaal, passer, graadboog.

285

8j.

->

10j.

->

286


MEETKUNDE Vormleer

OD ET

8

De leerlingen kunnen een passer hanteren als een instrument om punten of lijnen te tekenen op een gelijke afstand van een punt. .................. Zij kunnen zo ook een cirkel tekenen met gegeven straal..................................................... Zij kunnen met passer en liniaal een loodlijn construeren op een rechte, al dan niet door een gegeven punt buiten of op die rechte, en kunnen de constructieprocedure begrijpen en verwoorden. .......................................................

9

De leerlingen kunnen van kubussen een uitslag (ontplooiing, ontwikkeling, bouwplaatje) tekenen en van getekende uitslagen nagaan welke een kubus kunnen opleveren. ................... Ze kunnen dat ook voor andere lichamen, bv. door na te gaan welke uitslag van een verpakking bruikbaar is voor een gegeven vorm. ..................................................................

10 De leerlingen kunnen in het kader van een constructietaak zelf passende hulpmiddelen kiezen en hanteren, eventueel zelf maken (bv. een toestel om evenwijdige lijnen te tekenen).

ET 3.5


1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN

MEETKUNDE Vormleer

VORMLEER

OD ET

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

3.4 RELATIES TUSSEN GEOMETRISCHE FIGUREN (meetkundige transformaties) 1

De leerlingen kunnen 2 geometrische vlakke figuren met elkaar vergelijken door ze op elkaar te leggen. ...........................................................

ET 3.6

Ze weten dat 2 figuren gelijk zijn als ze elkaar volledig bedekken.............................................. Ze hanteren daarbij de term congruent. ............ 2

De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en tekeningen gelijkvormige en niet-gelijkvormige figuren ontdekken. .............................................

ET 3.6

Ze kunnen met behulp van roosterpapier zelf gelijkvormige figuren (al dan niet met gegeven vergrotings- of verkleiningsfactor) en nietgelijkvormige figuren (vervormingen) tekenen. 3

De leerlingen kunnen de basiseigenschappen van gelijkvormige veelhoeken (overeenkomstige hoeken gelijk, overeenkomstig zijden in constante verhouding) onderzoeken, ontdekken en verwoorden. Ze kunnen gelijkvormige veelhoeken tekenen op grond van die eigenschappen.

ET 3.6

4

De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en tekeningen spiegelbeeldige (symmetrische) figuren ontdekken en de symmetrie controleren aan de hand van een spiegel of 'doorkijkspiegel'.

ET 3.6

5

De leerlingen kunnen in (geometrische) figuren spiegelassen ontdekken en ze vouwen of tekenen.

ET 3.6

6

De leerlingen kunnen de eigenschappen van symmetrie onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. elk punt van een figuur en zijn spiegelbeeld ligt even ver van de spiegel(as).

7

De leerlingen kunnen een getekende geometrische figuur spiegelen om een gegeven spiegelas: - op roosterpapier ............................................. - enkel met passer en liniaal. .............................

ET 3.6

287

->

288


MEETKUNDE Vormleer

OD ET

8

9

De leerlingen kunnen elementaire meetkundige transformaties toepassen op het eigen lichaam en met reële voorwerpen en die ook verwoorden, gebruikmakend van volgende termen: -

vooruit, achteruit ........................................

-

links, rechts ..............................................

-

verschuiven, draaien ...................................

-

halve draai, kwartdraai ..............................

-

draaien om een hoek van x graden, verschuiven over een afstand van x cm...

De leerlingen kunnen op een getekende geometrische figuur een draaiing (rotatie) met gegeven draaihoek en een verschuiving met gegeven verschuivingslijnstuk uitvoeren door het beeld te tekenen.


1ste fase

2de fase


6j.

->

8j.

->

10j.

->

HOOFDSTUK 1

B

LEERLIJNEN

MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE

Meetkundige wereldoriëntatie

MEETKUNDE Meetkundige wereldoriëntatie

OD ET

3.5 1

POSITIEBEPALING De kinderen kunnen zichzelf, anderen en voorwerpen in de ruimte situeren aan de hand van volgende plaatsbepalende begrippen (zie ook vormleer 3.1 doel 2 ) -

voorste (eerste), achterste (laatste), voorlaatste, op één na laatste, middelste, de eerste drie, de eerste vier,... ................................................

-

in de buurt van, rechts van, links van, opzij van, midden, hier, daar, waar, ver weg, dichtbij... ...................

OD 3.1

Zij kunnen ook op grond van een plaatsbeschrijving iets of iemand in de ruimte vinden. De complexiteit van de plaatsbeschrijving neemt toe met de leeftijd. 2

289

De leerlingen kunnen vanuit verschillende gezichtspunten, die ze in de ruimte innemen, verwoorden hoe eenzelfde voorwerp of persoon, of de plaats van verschillende dingen t.o.v. elkaar, verandert of lijkt te veranderen.

OD 3.2

Ze maken hierbij gebruik van de termen vooraanzicht, bovenaanzicht, zijaanzicht, ... .

ET 3.1

3

De leerlingen kunnen aangeven of foto's van dichtbij of van ver genomen zijn en verwoorden dat dingen dichtbij groter lijken dan ver weg.

4

De leerlingen kunnen mentaal een standpunt innemen en de relatie leggen tussen dat ingenomen standpunt en het uitzicht (in werkelijkheid, op foto, tekening).

ET 3.7

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

->

8j

->

10j

->

290



OD ET

5

De leerlingen kunnen van een reële ruimtelijke situatie een voorstelling maken: -

in 3 dimensies (zandtafel, maquette, kijkdoos,...) ......................................

-

in 2 dimensies (plattegrond, kaart,...)

Naarmate ze ouder worden, kunnen ze daarbij de reële verhoudingen nauwkeuriger weergeven.

Ook kunnen ze van deze voorstellingen aangeven met welke realiteit ze overeenkomen: -

driedimensionaal ...............................

-

tweedimensionaal ..............................

Ze kunnen de relatie leggen tussen verschillende voorstellingen van eenzelfde realiteit.

Ze kunnen zich er een mentale voorstelling van maken en die beschrijven of selecteren.

6

De leerlingen kunnen op een rooster, plattegrond of kaart coördinaten zetten of gegeven coördinaten hanteren om een plaats aan te duiden of terug te vinden. De coördinaten bestaan uit: een letter en een cijfer ...................... -

enkel natuurlijke getallen .................

-

positieve en negatieve gehele getallen..............................................

ET 3.7

DOMEIN 3: MEETKUNDE

Kleuters

1ste fase

2de fase


6j

->

8j

->

10j

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE OD ET

3.6 1

BEWEGING EN RICHTING De leerlingen kunnen aanwijzingen geven en volgen i.v.m. beweging en richting en hanteren daarbij volgende woorden en begrippen: -

OD 3.1 ET 3.1

(ga) naar, omhoog (naar boven), omlaag (naar beneden), vooruit, achteruit,... ........................................

-

naar links, naar rechts, doorheen, onderdoor, tussendoor, overheen, hierheen, daarheen, in de richting van... (zie ook vormleer 3.4 doel 8) .......................

2

3

-

noord, oost, zuid, west .......................

-

tussenwindstreken (noordoost, zuidwest, enz...). ................................

De leerlingen kunnen pictogrammen in verband met 'richtingen' als symbool hanteren: pijlen ................................................ -

wegwijzers.........................................

-

windroos ...........................................

De leerlingen kunnen in een concrete ruimte de kortste weg vinden tussen 2 plaatsen (in lege zaal, in doolhof,...) ...........................................

OD 3.1 ET 3.

ET 3.1

Ze kunnen het begrip afstand (hemelsbreed/ vogelvlucht of langs een route) correct hanteren. 4

De leerlingen kunnen op plattegronden en kaarten routes bepalen en met elkaar vergelijken (qua afstand, snelheid, tijd). Ze kunnen een verband leggen tussen de plaats op een kaart en de realiteit (bv. wegwijzers op een kruispunt).

5

De leerlingen kunnen op grond van een routebeschrijving de weg vinden in de realiteit en op kaart de route aanduiden. .................................. Omgekeerd kunnen ze ook van een gevolgde weg of een route op kaart een wegbeschrijving geven. Ze kunnen ook met behulp van een kaart de weg vinden in een niet-vertrouwde omgeving. .........

ET 3.7

Kleuters

1ste fase

2de fase

291


6j

->

8j

->

10j

->

292



OD ET

6

De leerlingen kunnen op grond van de legende, inclusief een schaalaanduiding, een verband leggen tussen een kaart en de realiteit.

7

De leerlingen kunnen een verband leggen tussen pictogrammen met stijgingspercentage (verhouding hoogteverschil - afstand) en de grafische voorstelling van een helling.

8

De leerlingen kunnen tabellen hanteren met gegevens over route en tijd van trein, tram, bus.


1ste fase

2de fase


6j

->

8j

->

10j

->

HOOFDSTUK 1

LEERLIJNEN


MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE OD ET

3.7

VISEERLIJNEN EN SCHADUW

1

De leerlingen kunnen experimenteren met licht en schaduw en conclusies trekken over de relatie tussen: de vorm (lengte) en de plaats van de schaduw en de onderlinge posities van de lichtbron en het voorwerp dat schaduw geeft.

2

De leerlingen kunnen in concrete situaties experimenteren met viseerlijnen (bv. bij verstoppertje spelen).

3

De leerlingen kunnen de relatie verklaren tussen: de vorm (lengte) en plaats van schaduwbeelden (met de zon als lichtbron) en het tijdstip van de dag.

4

De leerlingen kunnen viseerlijnen hanteren om op tekeningen aan te geven waar schaduw valt of om na te gaan wat er vanuit een bepaald standpunt zichtbaar is (rekening houdend met obstakels).

5

6

De leerlingen kunnen de vaste verhouding hanteren tussen de lengte (hoogte) van voorwerpen en de lengte van hun schaduwbeeld op een bepaald moment en een bepaalde plaats, om de hoogte van bv. bomen of gebouwen te schatten. De leerlingen kunnen fenomenen i.v.m. licht en schaduw (bv. zons- en maansverduistering) verklaren en op een schets weergeven.

ET 1.29*

ET 1.21 1.29*

Kleuters

1ste fase

2de fase

293


6j

->

8j

->

10j

->

HOOFDSTUK 2

DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE

295

Hoofdstuk 2: DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE 1

Inleiding

De meetkunde als wetenschap heeft zijn oorsprong in het praktische meten. ‘Geometrie’ betekent niets anders dan het meten van de aarde. Meetkunde is dat deel van de wiskunde waarin eigenschappen van de ruimte of een vlak en van lichamen of vlakke figuren bestudeerd worden. De oorsprong van de meetkunde ligt in de 'studie van het meten'. Meetkunde is ontstaan vanuit het bestuderen van en het zoeken naar oplossingen voor praktische problemen. We denken hierbij aan bouwen, het opmeten van een eigendom, ... . Daardoor is er ook een grote verbondenheid tussen de meetkunde en het metend rekenen. Dit stelt ons in staat de plaats van een schip op zee te bepalen, de omtrek van de aarde te kennen, de afstand tot de zon te berekenen, de hoogte van een berg nauwkeurig te bepalen, de oppervlakte van een land vast te leggen, ... . Meetkunde heeft een sterk aanschouwelijk karakter en kan ook op aanschouwelijke basis, mathematisch gefundeerd, opgebouwd worden. Daartegenover staat een andere benadering van de meetkunde, namelijk een deductieve. Het deduceren, het afleiden van de ene waarheid uit andere gebeurt volgens logische regels. Logica stond en staat model voor wat men noemt: zuiver denken. Beide tendensen kwamen in het meetkundeonderwijs van de lagere school voor.

2

Tendensen in de basisschool

De meetkunde deed zijn intrede in de lagere school vanaf de negentiende eeuw, onder de naam vormleer. In de handboeken uit die tijd werd een opbouw voorgesteld van het meest elementaire naar het meer complexe: eerst punten, dan lijnen of lijnstukken, daarna hoeken en vlakke figuren. De doelstellingen richtten zich enerzijds naar begripsvorming ter voorbereiding van de formele meetkunde in het secundair onderwijs. Anderzijds stonden de doelstellingen in relatie met het metend rekenen voorop. Men vond het nuttig specifieke vormkenmerken van de meetkundige figuren te bestuderen. Dit leidde tot de keuze van een gepaste formule voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte of de inhoud van de figuur. "Meetkunde is een vak waarin je eerst ziet en daarna pas gaat formaliseren." Vanuit dit standpunt werd in het leerplan van 1957 (Ministerie van het Openbaar Onderwijs) een andere volgorde van aanbieden van de meetkundige objecten voorgeschreven. Vormleer start vanuit de waarneming, vanuit concrete figuren die ontdekt worden in de werkelijkheid. Deze figuren worden getekend, gevouwen en geknipt. Verwoording van de eigenschappen en berekeningsformules kregen later een plaats. Memoriseren en inoefenen van standaardprocedures was vaak de belangrijkste taak van en voor de leerlingen. In de jaren '70 verdween grotendeels de interesse voor dit soort meetkunde onder invloed van de New Math-beweging. Het afzonderlijk bestuderen van figuur na figuur was uit den boze en de

296


DOMEIN 3: MEETKUNDE

opbouw werd volledig omgekeerd. Men startte met de verzameling van alle vlakke figuren waarin door bijkomende criteria meer structuur werd aangebracht. Zo kwam men tot o.a.: - vlakke figuren; - figuren met uitsluitend hoeken (veelhoeken); - veelhoeken met vier hoeken (vierhoeken); - vierhoeken met 1 paar evenwijdige zijden (trapezia); - vierhoeken met 2 paar evenwijdige zijden (parallellogrammen); - parallellogrammen met vier rechte hoeken (rechthoeken); - rechthoeken met vier gelijke zijden (vierkanten). Het vierkant, de figuur met de rijkste inhoud en de meest specifieke eigenschappen, kwam het laatst aan bod. De keuze en de volgorde van de onderwerpen in de lessen meetkunde werden niet meer bepaald door de waarneming (wat opvalt, in het oog springt, ...) in de werkelijkheid maar door een bepaalde systematiek van het wiskundig systeem. Het praktisch nut van de vormleer voor de berekeningen van de omtrek, de oppervlakte of de inhoud van een figuur of lichaam werd niet echt aan de kant geschoven. Toch werd de denkontwikkeling meer benadrukt. De meest kenmerkende meetkundeactiviteit werd dan ook het rubriceren van meetkundige figuren. Daarnaast duiken enkele nieuwe onderwerpen op: spiegelingen, verschuivingen, draaiingen, projecties, ... die echter soms op een zeer abstract niveau werden aangepakt. In Nederland bracht WISKOBAS een kentering door de klemtoon te leggen op de band tussen de realiteit en de meetkundige activiteiten op school. De leerlingen krijgen een totaal ander soort oefeningen aangeboden die we eerder onder de noemer ‘meetkundige wereldoriëntatie’ kunnen vatten. In allerlei meetkundige thema's en projecten vinden we roosteroefeningen, topologische onderwerpen, transformatieaspecten, tangramoefeningen, spijkerbordoriëntaties, grafieken, blokkenbouwsels, bouwpatronen, schaduwen, foto-opnamen, bouwplaten en uitslagen, ... . Gravemeijer en Kraemer (1984) schrijven hieromtrent het volgende: " Stel je voor dat je als leerling aan de hand van je leermeester de wereld doortrekt. Hij maakt je attent op allerlei verschijnselen, laat je verwonderen en vragen stellen, probeert samen met jou achter antwoorden te komen, filosofeert verder over antwoorden, vragen, verschijnselen, beschrijvingen, generalisaties, abstracties ... . Dit is wereldoriëntatie en afhankelijk van de soort vragen en antwoorden, wiskundige wereldoriëntatie. Men kan namelijk ‘de wereld-om-ons-heen’ in een meetkundige context beschouwen. Niet zo triviaal als men vroeger in oude vormleerboekjes deed. Daarin zag men slechts in vensters rechthoeken, in schaakborden vierkanten en in feestmutsen kegels. We treffen hier een papiermeetkunde aan waarbij leraar en leerling over datgene praten wat in boeken staat: een kant-en-klare meetkunde waar kant-en-klare oplossingen voor zijn. Onderwijs mag niet langer een kwestie van voorzeggen, nazeggen, voordoen en nadoen zijn." Dit is de aanzet tot een nieuwere visie met een ander soort oefeningen waarvan we ter illustratie enkele concrete voorbeelden geven:

HOOFDSTUK 2


297

- Roosteroefeningen en bouwpatronen

Uit: Sannen, R., 1996

- Topologische onderwerpen

Uit: Janssens, I., 1995

Welke eigenschappen blijven onder dergelijke transformaties onveranderd? - Randpunten blijven randpunten. - Grens blijft grens. - Een gesloten lijn blijft gesloten. - Inwendige (uitwendige) punten blijven inwendig (uitwendig). - De bestaande volgorde blijft behouden. Welke eigenschappen veranderen onder dergelijke transformaties? - Vorm en grootte veranderen. - Een rechte lijn kan krom worden. Soortgelijke zaken kunnen al in de kleuterschool aan bod komen. Het spiegelbeeld op het

298


DOMEIN 3: MEETKUNDE

wateroppervlak waarin een steen wordt gegooid, kan ook hier onderwerp van onderzoek, bespreking, reflectie zijn. - Transformatieaspecten Vergrotingen en verkleiningen Ook hier wordt nagegaan welke eigenschappen onveranderd blijven en welke er zullen veranderen.

- Tangramoefeningen

HOOFDSTUK 2


299

- Spijkerbordoefeningen

Uit Janssens, L., 1995

Bij de formuleringen van de eindtermen werden zowel doelen voor vormleer als voor meetkundige wereldoriëntatie opgenomen. De kernvraag van de meetkundige activiteiten is steeds "Waarom?". Deze vraag is ook op basisniveau te beantwoorden. Waarom is de vouwlijn van een stuk papier een rechte lijn? Hoe rolt een plastieken beker en waarom rolt die zo? ... De meetkunde tracht door denken en redeneren een verklaring te geven voor de verschijnselen in de ruimte. Dat is wat we kunnen noemen het begrijpen van de ruimte. Het visualiseren is daarbij een didactisch middel en niet een doel van de meetkunde. De basisschool heeft de bedoeling de kinderen de 'ons omringende wereld' te leren bekijken, te bestuderen en te structureren. Het lijkt ons dan ook logisch dat in de meetkundelessen vanuit die werkelijkheid gewerkt wordt. Dat die dingen bestudeerd worden waarmee de kinderen vertrouwd zijn en waarmee de kinderen te maken hebben.

300


DOMEIN 3: MEETKUNDE

3

Fasen in het meetkundige denken en didactische principes

Gravemeijer en Kraemer (1984) beschrijven de evolutie vertrekkende van de ruimtelijke oriëntatie van kleuters die zou kunnen uitmonden in ruimtelijk inzicht op het einde van de basisschool. Om dat te kunnen realiseren moeten er wel meetkundige activiteiten volgens die ontwikkelingslijn georganiseerd worden. Daarin herkennen zij vijf fasen: 1

de directe en indirecte waarneming waardoor de intuïtieve meetkundige begrippen ontstaan Een vliegtuig op een hoogte van 8000 m lijkt klein maar is het helemaal niet. Huizen in de verte lijken op een afbeelding kleiner dan deze die we kortbij zien.

2

het (mentaal) innemen van een standpunt In eerste instantie gebeurt ook dit in de realiteit. Bij het uithalen van enig kattenkwaad op de speelplaats zullen kinderen eerst het standpunt innemen van de toezichthoudende leraar om na te gaan of ze probleemloos kunnen handelen. Later gebeurt dit aan de hand van afbeeldingen en plattegronden.

HOOFDSTUK 2 3


301

de beschrijving van een object die geleidelijk preciezer wordt Zo maakt het gebruik van coördinaten een grote precisie mogelijk bij de plaatsbepaling. Deze precisie kan met een verbale omschrijving moeilijk worden gegeven.

4

de mentale beeldvorming

5

het handelen aan een mentale voorstelling waarbij een beroep gedaan wordt op het ruimtelijke voorstellingsvermogen Deze twee laatstgenoemde fasen vragen al een zekere vorming. Dit houdt in dat we deze sporadisch terugvinden in de derde graad. We denken hierbij aan ontwikkelingen van lichamen.

Vier didactische principes zullen hierbij aan bod komen: 1

2

Bij de keuze en de volgorde van meetkundige activiteiten laten we ons leiden door het niveau van de denkontwikkeling van de leerlingen en niet steeds door de systematiek van het wiskundig systeem. Voor elke van de vijf ontwikkelingsfasen zorgen we voor ruim voldoende

302


DOMEIN 3: MEETKUNDE

activiteiten vooraleer over te gaan naar een volgende ontwikkelingsfase. 3

We geven de leerlingen steeds de kans terug te keren naar een vorige denkfase wanneer ze het moeilijk hebben bij de verwerking van nieuwe zaken. Indien de leerlingen er niet in slagen de volgende opgave tot een goed einde te brengen, stellen we de leerlingen het materiaal ter beschikking en laten ze deze constructie maken.

4

Handelen belangrijker dan tekenen ... Tekenen is wellicht de meest voorkomende handeling in het meetkundeonderwijs. Zich bewegen in de ruimte, bouwen met constructiemateriaal, vouwen, knippen en plakken, ... gaan het tekenen vooraf. De meetkundehoek bevat legobouwpakketten. Hier houden de leerlingen rekening met de vorm, de positie, de opeenvolging van de handelingen. Vooral in dat handelen zullen de leerlingen eigenschappen van de meetkundige objecten ervaren en leren kennen. Leerlingen leren als ze actief betrokken zijn bij een constructie(probleem) en reflecteren op hun eigen handelen of oplossingswijze. Zo vindt men achter een puzzel een meetkundige wereld van begrippen met betrekking tot de gelijkvormigheid. Daarnaast speelt ook de vergrotingsfactor meestal mee.

HOOFDSTUK 2


303

Bij het werken met bouwpatronen maken de leerlingen een aantal constructies:

De leerlingen krijgen de gelegenheid op een voor hen passend niveau een typisch wiskundige werkwijze te volgen, namelijk deze van het proberen, bewijzen en weerleggen. Dit gebeurt zeker wanneer het gaat om redeneren op basis van aanzichten.

Van een blokkenbouwsel zijn plattegrond, voor- en zij-aanzicht gegeven. Zet de hoogtegetallen in de plattegrond.

Het handelen blijft ook naar het einde van de basisschool toe voor sommige oefeningen, zoals bv. bij onderstaande oefening, belangrijk.

304


DOMEIN 3: MEETKUNDE

4

Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters

4.1

Van een sensomotorische naar een gerepresenteerde ruimte

4.1.1

De egocentrische ruimte

De geboorte betekent voor de baby het verlaten van een veilige ruimte en terechtkomen in een grote, onbekende ruimte. Van bij de geboorte beschikt de baby ook over zintuigen en reflexen. Daarmee zal hij de wereld actief verkennen en veroveren. Allereerst door het betasten, dingen in de mond te stoppen. Ruimte is driedimensionaal, de dingen bieden weerstand (geven in mindere of meerdere mate mee), ze hebben een bepaalde grootte. Verder is het reiken naar dingen en het kunnen bewegen door de ruimte nauw verbonden met het begrip 'afstand'. Afstand is allereerst: dat wat je al of niet ‘onder je bereik’ hebt en wat meer of minder beweging (kruipen) kost om het te bereiken. Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder’ betekenen. Essentieel voor deze beleefde ruimte is ook dat ik altijd ergens ben, ik ben niet op meer plaatsen tegelijk. Dit houdt in dat ik een bepaald perspectief op de omgeving heb. Mijn lichaam, zo gezien, is het centrum van de wereld en van daaruit is er een mij omgevende horizon, bepaald door mijn standpunt. 4.1.2

De ervaringsruimte

De ervaringsruimte groeit vanuit het zintuiglijk waarnemen en de motoriek. De ruimte daagt uit, lokt uit tot steeds verder exploreren en handelen. De handelingsruimte Ik wil de weg vinden en weer thuiskomen en heb daarvoor oriëntatiepunten nodig. Ik ga gericht op zoek naar de bloemenkramen op de markt ... Kinderen die aan het hinkelen zijn, gaan zich aan de opgelegde beperkingen aanpassen en daarmee spelen; ze ‘luisteren naar de ruimte’. Maar omgekeerd nodigt de ruimte van de gymzaal uit tot hardlopen, een muurtje tot eroverheen lopen, eraf springen ... .Voor kinderen is de denk-handelingsruimte vooral een vitale ruimte, uitlokkend tot beweging, tot het benutten van die ruimte, het inschatten van afstanden, het steeds opnieuw bepalen van posities.Of en hoe ik de ruimte als handelingsruimte beleef, hangt af van de gestelde ruimte, of ik durf, of ik mij uitgedaagd voel, of ik me vertrouwd en veilig voel. De aanschouwingsruimte Het jonge kind exploreert actief zijn omgeving. Vanuit het zien, het voelen en het manipuleren van de dingen, vormt het innerlijke beelden. Handelingen die met voorwerpen uitgevoerd worden, brengen voorstellingen tot stand.De ons omringende ruimte is in grote mate mathematisch gestructureerd: de regelmatige patronen in bestratingen, het parket in huis, ramen en deuren in gebouwen, ... . We kunnen spreken van een aanschouwingsruimte. Het is de ruimte als object, waar ik tegenover sta en die ik kan bestuderen, beschrijven.

HOOFDSTUK 2


305

Zodra je iemand de weg moet uitleggen, word je meer bewust van de vaak onbewuste beleving van de eigen omgeving, moet je ook taal vinden en kennen om die te beschrijven. 4.1.3

De gerepresenteerde ruimte

Begrippen zoals in, uit, rand, open, gesloten, tussen, naast, ... vormen de eerste ruimtelijke verbanden die het kind kan representeren. Deze begrippen zijn onafhankelijk van de plaats van de waarnemer. Daarom kunnen ze het gemakkelijkst begrepen worden. Wanneer het kind bewegingen in de ruimte kan representeren, zal het begrijpen dat een persoon die op een andere plaats staat de dingen ook anders ziet. Het kind wordt zich bewust van de dimensies boven-onder, voor-achter en links-rechts. Het jonge kind begint de schijnbare vormen grootteveranderingen van bewegende voorwerpen te zien. Het kan zich indenken hoe de dingen er aan de andere kant uitzien. Nochtans ... een driejarige kleuter vindt gemakkelijk zijn weg in een vertrouwde omgeving. Zonder moeite kan hij zelfstandig naar zijn kamer gaan. Vragen we hem de afgelegde weg uit te leggen, dan zal hij daar moeite mee hebben. Een driejarige kleuter kan vlot blokken in geometrische vormen in de gelijkvormige gaten van een insteekdoos steken. Deze vormen worden visueel herkend. Tijdens een voelspel zal de kleuter moeilijk een vierkante blok herkennen. Een vierkant visueel herkennen kan hij wel, een vierkant representeren niet. Een kind dat bewegingen in de ruimte kan representeren heeft hier geen moeite meer mee. Stellen we dit ten slotte schematisch voor:

van egocentrisch ------------------>----------------- naar decentratie

ervaringsruimte

gerepresenteerde ruimte

(handelings- en aanschouwingsruimte) Deze opbouw houdt in dat wanneer een kind problemen ervaart met de gerepresenteerde ruimte, de stap terug moet worden gezet. De ervaringsruimte moet voldoende geëxploreerd zijn voor een kind erin slaagt de ruimte te representeren.

4.2

De grootte- en vormconstantie

Jonge kinderen nemen hun omgeving waar in de vorm van statische beelden. Deze statische beelden komen en gaan, volgen elkaar op zonder dat het kind in staat is ze met elkaar in verband te brengen. Naarmate de zintuigen zich meer ontwikkelen, ziet het kind de bewegingen die voorwerpen in zijn omgeving maken. Zo gaat het kind geleidelijk meer verbanden leggen tussen de ruimtelijke beelden. Via de ogen groeit het visueel beeld van een voorwerp. De grootte van dat beeld is afhankelijk van zijn afstand tot het voorwerp. Is het voorwerp verder verwijderd dan wordt het beeld kleiner. Is het dichterbij dan wordt het beeld groter. Door het ontwikkelen van de grootteconstantie groeit het vermogen om een voorwerp steeds als even groot te beoordelen. Het visuele beeld dat het jonge kind van een voorwerp krijgt, wisselt voortdurend van vorm. Bekijkt

306


DOMEIN 3: MEETKUNDE

het dit voorwerp vanuit een andere hoek dan verandert het beeld ervan. De vormconstantie is het vermogen om aan een voorwerp in de ruimte een vaste vorm toe te kennen. Wanneer een kind de grootte- en de vormconstantie heeft opgebouwd, kent het een vaste vorm toe aan een vast voorwerp. De perceptie van de specifieke vorm van de dingen ontwikkelt zich verder met de leeftijd. Sensomotorische activiteiten (zien, voelen, manipuleren, vervormen, ...) liggen aan de basis daarvan. Vierjarigen kunnen blokken volgens de vorm, de grootte, de kleur, ... sorteren en eenvoudige geometrische vormen zoals de cirkel, het vierkant en de driehoek herkennen en benoemen.

4.3

Van een egocentrisch standpunt naar een decentratie

Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder‘ betekenen. Op driejarige leeftijd begint de constructie van een boven- en onderliggende ruimte. Vanaf vier jaar wordt de kleuter zich bewust van de ruimte voor en achter hem. Omdat het kind de ruimte achter zich niet ziet, is de opbouw van de achterliggende ruimte moeilijk. Rond de leeftijd van vijf tot zes jaar maakt de kleuter onderscheid tussen zijn linker- en rechterkant, tussen de ruimte links en rechts van hem. De volledige ruimtelijke oriëntatie is nu opgebouwd. Vanuit de eigen ruimteoriëntatie worden nu voorwerpen in de ruimte georiënteerd. In bed ligt het knuffeldier voor of achter, boven of onder, links of rechts van hem. Het kind oriënteert voorwerpen ten opzichte van zichzelf. Daarna zal het kind voorwerpen ten opzichte van elkaar oriënteren. Het knuffeldier ligt nu op, onder, ..., links of rechts in het bed. Dit ziet het kind vanuit een eigen gezichtspunt. Het is er zich niet van bewust dat voor en achter, links en rechts voor iemand anders omgekeerd kunnen zijn. Dit wordt het grote keerpunt in de representatie van de ruimte. Naarmate het vermogen om zich te verplaatsen in de ruimte groeit, ontdekt het kind dat een ander persoon, vanuit een ander standpunt, de dingen anders ziet. Vanaf zeven tot acht jaar kan het kind de linker- en rechterkant aanduiden van een persoon die tegenover hem staat. Het kan ook de begrippen voor en achter overbrengen op die persoon. Pas vanaf 9 jaar kan een kind volledig decentreren en de plaats van een ander persoon innemen. Dan zit het kind in fase 2 van het meetkundig denken.

5

Vormleer

5.1

Begripsontwikkeling vertrekt in de driedimensionale ruimte

Kinderen bewegen in de driedimensionale ruimte. Ze ervaren die ruimte en verwerven geleidelijk een ruimtebewustzijn. Dat maakt dat ze zich moeten leren oriënteren in de ruimte. Geleidelijk verwerven ze daarbij ruimte-lijk inzicht. De school zal zorgen voor activiteiten waarin het ruimtelijk inzicht gestimuleerd wordt.

HOOFDSTUK 2


307

Aanvankelijk groeit een intuïtieve meetkunde. Aan de formele wiskunde gaat een intuïtieve meetkunde vooraf. De eerste meetkundige activiteiten moeten een kind de gelegenheid bieden om, al reflecterend en al experimenterend, zich bewust te worden van de eigen intuïtieve kennis. Ervaringskennis opdoen in de werkelijkheid komt hoe dan ook eerst. De problemen komen voort uit de echte realiteit of uit een voor de kinderen aangepaste maar wel motiverende realiteit. De problemen moeten uitnodigen tot onderzoek. Werken vanuit de 'realiteit' (en waar mogelijk in contexten) betekent dus vertrekken vanuit de waarneming en de manipulatie van materiaal. Zo zal het intuïtieve hoekbegrip groeien vanuit de ervaringen in de driedimensionale ruimte met de hoek van een tafel en een hoek van de woonkamer. We kunnen de driedimensionale ruimte bestuderen en daarin de tweedimensionale en de eendimensionale elementen vinden. Daarnaast 'zien' de kinderen vele figuren en voorwerpen met allerlei kenmerken. Voortdurend ontwikkelen zich daarmee begrippen. Deze begripsontwikkeling moet gestimuleerd en begeleid worden. De begripsvorming van evenwijdigheid, rechte hoek, ... gebeurt via - het herkennen, - het zelf tekenen, - het zich voorstellen.

5.2

Van globale herkenning naar de analyse van vormkenmerken

Tijdens meetkundeactiviteiten kunnen we ons concentreren op één facet: de vorm. Dan nemen we afstand van de andere meetkundige kenmerken: grootte, plaats en stand, patroon, ... . Vanuit de ontwikkelingsaspecten die we hierboven beschreven, is het zich toespitsen op de vorm niet de eerste meetkundige activiteit waarmee we kinderen confronteren. Het herkennen, benoemen en classificeren van meetkundige figuren op basis van de vormkenmerken sluit het dichtst aan bij wat we kennen als het vak 'vormleer'. Vertrekken vanuit de waarneming en niet vanuit de definities (leerplan 1957) is niet in tegenspraak met een realistische visie. De ‘criterium- en classificatieaanpak’ is dat wél. Het lijkt ons logisch dat men werkt vanuit datgene wat de leerlingen het meest zien en niet vanuit figuren waarmee ze eerder sporadisch geconfronteerd worden. We dienen aan te sluiten bij de psychologische ontwikkeling van de begripsvorming en de ruimtelijke oriëntatie bij kinderen. Het meetkundeonderwijs zal dan vertrekken vanuit de intuïtieve begrippen die kinderen zich reeds gevormd hebben: rondjes (cirkels), vierkanten, driehoeken, blokjes (kubussen).De globale herkenning van specifieke vormen is een goede start voor het vormleeronderwijs. Dit geldt eveneens voor de ontwikkeling van andere meetkundige begrippen zoals punten, lijnen en hoeken.Een lijn getrokken met een dikke stift of een potlood is duidelijk verschillend. Het intuïtieve begrip van een lijn dient dus verfijnd te worden. Door meetkundige figuren te vouwen, te knippen en te tekenen ervaren de leerlingen een aantal vormkenmerken. Het systematisch onderzoeken ervan gebeurt later. Niet alle in het verleden behandelde leerstof met betrekking tot het rubriceren en definiëren van de vierhoeken is basisleerstof.

308


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Om de vlakke figuren te rubriceren moeten de leerlingen uiteindelijk volgende criteria (ordeningsmiddelen) kunnen gebruiken: de gelijkheid van hoeken en zijden en de evenwijdigheid. Leerlingen kunnen pas hiërarchisch rubriceren wanneer het 'oerbeeld' van de figuren is afgebroken. Dit betekent o.m. dat een figuur, bv. een vierkant, in om het even welke stand als die figuur wordt herkend, maar ook dat op grond van aanwezigheid van kenmerken die figuur ook als een andere bv. een ruit of een rechthoek, kan worden gezien. (Het oerbeeld van die figuren is anders). Het ‘oerbeeld’ van ruit , rechthoek en vierkant zijn duidelijk verschillend, daarom is het voor kinderen zo moeilijk om te zeggen dat een vierkant (altijd) een ruit is en een ruit soms (als de hoeken recht zijn) een vierkant.

Noot: Voor elke meetkundige figuur kan een verschillende, uitsluitend voor die figuur geldende, formule gevonden worden voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte en de inhoud. Het kennen van al deze formules is zuivere ‘weetjeskennis’ die geleerd en dikwijls snel weer vergeten wordt. Formules worden inzichtelijk geleerd waarbij we gebruikmaken van de kenmerken van meetkundige figuren. Zo kan de evenwijdigheid van twee zijden van een vierhoek gebruikt worden. De afstand tussen de evenwijdige rechten wordt de breedte of de hoogte. Door omstructureren worden parallellogrammen gezien als rechthoeken, worden driehoeken gezien als de helft van een rechthoek of een parallellogram. Dit zijn beelden waaruit rekenkundige formules om de omtrek en de oppervlakte te berekenen, kunnen groeien en waarbij de beperking van het aantal formules als vanzelfsprekend gezien wordt. Beelden van formules lijken handiger dan de formules zelf en gaan er in de opbouw van een leergang zeker aan vooraf. Wij verwijzen hierbij naar het didactisch katern meten (3.1), hoofdstuk met betrekking tot de omtrek- en oppervlakteberekening.

5.3

Relaties en transformaties

Het zijn activiteiten die te maken hebben met spiegelen, draaien, verschuiven. Kinderen zijn vertrouwd met deze dingen. Alleen de spiegel al geeft aanleiding tot intrigerende probleemstellingen als: waarom wisselen in de spiegel wel links en rechts maar niet onder en boven? Aan het begrip spiegeling gaan dus tal van activiteiten vooraf:

HOOFDSTUK 2 -


309

Van een inktvlek maken de kinderen een symmetrisch beeld door hun blad te vouwen; de afdruk is een spiegelbeeld, de vouw de spiegelas. Zit de dia in de projector goed? Kunnen we elkaars spiegelbeeld spelen? ...

Evenwijdigheid, symmetrie, gelijkvormigheid, ... kunnen beschouwd worden als het resultaat van meetkundige transformaties. In de ons omringende wereld kunnen relaties ontdekt worden zonder dat de transformatie zichtbaar is. Symmetrie vind je ook in de realiteit zonder een spiegel te gebruiken: op het eigen lichaam, in handwerk, in patronen, ... .

Symmetrie, evenwijdigheid en loodrechte stand worden in de werkelijkheid ontdekt als een vormkenmerk van figuren. Om spiegelassen en symmetrische patronen in een figuur te ontdekken, maken we best gebruik van een 'mira-spiegel’ (gekleurd glas dat voldoende reflecteert om te spiegelen maar waar je toch doorheen kan zien).

Het hoekbegrip (wellicht één van de moeilijkste begrippen in de basisschool) kan vulling krijgen via bijvoorbeeld volgende opdrachten:

310


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Eén vak is één stap. Begin bij de pijl. Ga drie stappen vooruit. Draai naar rechts en doe twee stappen. Draai naar links en doe vijf stappen. Draai naar links en doe vijf stappen. Draai naar links en doe drie stappen. Draai naar rechts en doe twee stappen. Draai naar rechts en doe drie stappen. Draai naar links en doe drie stappen. Draai naar links en doe vijf stappen.

Hierbij kan de relatie tussen een draaihoek en een statisch gegeven hoek groeien. De leerlingen voeren de draaiingen uit en zetten de stappen eerst in een getekend patroon op de speelplaats, daarna op een afbeelding. Tekent men daarna wat men heeft gedaan dan krijgt men lijnen met een bepaalde stand ten opzichte van elkaar. Loodrechte lijnen en evenwijdige lijnen kunnen op deze manier ook vulling krijgen.

HOOFDSTUK 2


311

Vergrotingen en verkleiningen (gelijkvormigheid) zijn gemakkelijk aan te brengen dankzij het kopieerapparaat dat ons heel wat mogelijkheden biedt.

312


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Door middel van roosters kunnen bijvoorbeeld patronen worden ontdekt en voortgezet.

Later kunnen deze patronen geschematiseerd worden en vanuit deze schematisering voorgesteld worden op het roosterpapier. Hierin vinden we toepassingen op de ruimtelijke oriëntatie.

6 Meetkundige wereldoriëntatie Naar aanleiding van gestelde problemen tijdens ruimtelijke ervaringen kunnen we wiskundige vragen stellen. Tevens werken we aan een stelselmatige verruiming van het blikveld. Immers de ruimte waarin we ons oriënteren wordt steeds groter, van de wieg van de baby tot het heelal op het einde van de basisschool. Vertrekkend vanaf de ruimtelijke oriëntatie bij kleuters komen we geleidelijk tot ruimtelijke inzichten op latere leeftijd. In wezen is de meetkundige wereldoriëntatie eindeloos. Er wordt door ons een keuze gemaakt: - oriënteren en lokaliseren - viseren en projecteren.

HOOFDSTUK 2


313

6.1 Oriënteren en lokaliseren 6.1.1 Dichtbij en veraf Zullen we een foto nemen van een groep kinderen. Ze gaan niet allemaal op de foto. Wat doen we? De fotograaf gaat een paar stappen achteruit. Nu lukt het wel. Waarom verplaatst de fotograaf zich en niet de groep kinderen? Kijk eens naar de maan tijdens een heldere nacht. Hoe we ook gaan het lijkt of zij voortdurend met ons meereist. Waarom lijkt dat zo? Visualiseren maakt hier duidelijk dat het om een hoekverandering gaat bij voorwerpen die dichtbij zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het geheel niet wijzigt. Daarom geeft de maan de illusie dat zij meeloopt of meerijdt.

6.1.2 Zich mentaal verplaatsen Kunnen dit foto's zijn van eenzelfde situatie?

Wie nog nooit een wandeling gemaakt heeft en daarbij zijn ogen de kost gaf, zal onderstaand probleem (het mentaal innemen van een standpunt) nooit kunnen oplossen (Heyerick, L., 1995, pp. 156-157).

314


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Omzettingen van drie dimensies (de werkelijkheid) naar twee dimensies (een foto, een tekening, een plattegrond,...) en omgekeerd is een noodzakelijk element in een leergang meetkundige wereldoriëntatie (zie leerlijn 3.5 doel 5). We willen immers allemaal weten hoe we met een tweedimensionale kaart in de hand onze weg kunnen vinden in drie dimensies. We kunnen ons voorstellen hoe ons huis er zal uitzien als de architect iets aan het grondplan verandert en hoe we onze reële wensen of droombeelden min of meer naar dat plan kunnen vertalen. We kunnen werken met een plattegrond van een camping: Op een bandrecorder is een vossenjacht te horen. Steeds komt er een vos die een geluid laat horen. Vanuit zijn directe omgeving horen we: het rinkelen van een geluidssignaal aan de overweg, het geluid van stromend water in de douches,... Waar ben ik op het plan? Zoek en duid de plaats aan. Het gaat hier om oriënteringsopdrachten waarbij we ons 'in gedachten' in de ruimte bewegen.

6.1.3 Werken met coördinaten De juf neemt een muurprent in gedachten. De kinderen moeten verplicht op hun plaats blijven zitten maar mogen vragen stellen om te ontdekken welke prent de juf bedoelt. - Is dit het blad? Nee. - Dit dan? Nee. - Is het blad groen gekleurd? Een gedeelte heeft een groene kleur. - Hangt het in het midden? Nee. - Hangt het hoog of laag? Het hangt hoog. Geleidelijk merken de kinderen dat de ene vraag tot meer informatie leidt dan de andere en dat ze gedwongen worden om een structuur te ontwerpen (bv. een coördinatensysteem). Plannen met rasters zijn een eerste aanzet om met coördinaten te werken. Ook kan je bv. een flatgebouw als rooster gebruiken.

HOOFDSTUK 2


315

Oriëntatieoefeningen vormen een ander bindend element in de meetkundige wereldoriëntatie:

Met dergelijke oefeningen begint men pas als er in de concrete ruimte, in de werkelijkheid, oriëntatieoefeningen zijn uitgevoerd. In dit voorbeeld bewegen we ons reeds op het mentaal vlak. Bij oriëntatieoefeningen dienen we de leerlijn (leerlijn 3.6, doelen 3, 4, 5 en 6) te respecteren.

6.2 Viseren en projecteren Viseerlijnen zijn denkbeeldige lijnen vanuit de plaats waar men staat naar het punt waarnaar men kijkt, dat men viseert. Kinderen weten dat de toren minder hoog gaat uitsteken naarmate je dichter komt.

Visualisering maakt hier wel duidelijk dat het om de hoekverandering gaat bij voorwerpen die dichtbij zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het geheel niet wijzigt.

316


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Die ervaring kan schematisch worden weergegeven door de viseerlijnen te tekenen. Dit model kan men ook hanteren als een hulpmiddel bij het oplossen van de vragen in de onderstaande oefening.

Schaduwen De leerlingen experimenteren met licht en schaduw en trekken conclusies over de relatie tussen de vorm (lengte) van de schaduw en tussen de onderlinge posities van de lichtbron en het voorwerp dat schaduw geeft. Hierbij zullen de leerlingen gebruik maken van viseerlijnen om op een tekening aan te geven waar de schaduw valt. Het intuïtieve begrip van 'gelijkvormigheid' bewuster maken, kan door transformaties te laten uitvoeren of bekijken waarbij de vorm wel verandert. In de realiteit zal men dergelijke 'vervormingen' tegenkomen bij schaduwbeelden. In en buiten de klas kan men gemakkelijk experimenteren met schaduwen door gebruik te maken van binnenvallend zonlicht of van het licht van een sterke lamp, een projectieapparaat bijvoorbeeld. Naargelang men het scherm recht of schuin plaatst kan men daar zowel gelijkvormige als nietgelijkvormige beelden mee produceren. -

Wat gebeurt er met het diabeeld als je het projectietoestel op verschillende afstanden van het scherm plaatst?

-

Waarom worden schaduwen langer als je van de lantaarnpaal wegloopt en niet als je van de zon wegloopt?

-

Heeft de schaduw van de neushoorn dezelfde vorm als de neushoorn? Hoe zie je dat?

HOOFDSTUK 2


317

Bij deze opgave realiseren kinderen zich dat het gaat om gelijkvormigheid of juist niet. Dit hebben ze in verschillende contexten onderzocht. Ze hebben geleerd hoe je zo'n situatie meetkundig kan beschrijven. De verhouding vormt hierbij vaak een probleem. Bij het verklaren van schaduwen gaan kinderen gebruik maken van tekeningen. In een later stadium gaan ze het schaduwmodel zien als een brug tussen hun intuïtieve noties van schaduw en de meerwiskundige relatie tussen de vorm van een driehoek en de verhouding van de zijden.

Dit driehoeksmodel met viseerlijnen kan helpen bij de verklaring van de grootte van de schaduwen. Wanneer de kinderen ook enig begrip hebben van de zonnestand kan ook onderstaande oefening aan bod komen.

Uit: Bergervoet, e.a., 1993

318


DOMEIN 3: MEETKUNDE

7 Horizontale samenhang (geen geïsoleerde meetkunde) Meetkunde heeft in andere leerdomeinen naast een voorbeeldfunctie ook een sterk ondersteunende functie. We willen dit illustreren met een aantal voorbeelden zowel buiten als binnen de wiskunde.

7.1 Buiten de wiskunde Meetkunde in wereldoriëntatie en ruimte Elementen uit meetkunde zijn bij onderstaande oefeningen onmisbaar. Meetkundige wereldoriëntatie vormt de basis voor aardrijkskundige vaardigheden als kaartlezen, interpreteren van bouwplannen, plattegronden (leerlijn...). Ze wordt aldus een noodzakelijke voorbereiding op allerlei inzichten.

HOOFDSTUK 2


319

Welke weg volgt Lies? Lies en Petra gaan naar het zwembad. Lies haalt eerst Petra op. Bij bakker Smulpaap kopen de meisjes een broodje. Noteer de gevolgde weg van Lies. ..................................................................................................... ............................................................................................................................................................ Lies kan een andere weg volgen. Noteer deze ook. ............................................................................ ............................................................................................................................................................ Vicky moet van mama eerst naar dokter Geneesgraag. Daarna doet ze een aantal boodschappen in het warenhuis OLMO. Welke weg volgt Vicky? ...................................................................................................................... ............................................................................................................................................................ Kan Vicky nog een andere weg nemen? Welke? ............................................................................... ............................................................................................................................................................

Meetkunde in wereldoriëntatie en verkeer en veiligheid Net zo min als men bijvoorbeeld pictogrammen met betrekking tot de veiligheid in gebouwen los kan zien van meetkundige elementen.

Uit: Personeelsblad van de Kredietbank, 1996

Of nog: wat betekent dit bord? De stijging van de weg is ongeveer 10%. De kinderen kunnen zich dat als volgt voorstellen: als je 10 meter vooruit rijdt, rijd je ook 1 meter omhoog. Is dat veel een stijgingspercentage van 10%? Ja, een helling van 10% is een flinke hindernis.

320


DOMEIN 3: MEETKUNDE

In het vlakke Vlaanderen of Nederland kom je dergelijke hellingen nauwelijks tegen. De leerlingen kunnen hellingen tekenen. Ze kunnen daarbij gebruik maken van dingen die ze al eerder hebben gebruikt: ruitjespapier. Een helling van 50%, dat betekent: in 100 hokjes 50 hokjes hoger geraken, maar verhoudingsgewijs ook: per 2 hokjes 1 hokje omhoog. Hierbij kunnen de kinderen met verhoudingstabellen werken. Dit kan het resultaat zijn:

Meetkunde en wereldoriëntatie en technologische opvoeding Constructies met legoblokken zijn de moeite waard. Bij het construeren moeten immers vorm, positie, opeenvolging van handelingen,... in rekening gebracht worden.

Uit: Gravemeijer en Kraemer, 1984, p. .127

HOOFDSTUK 2


321

7.2 Binnen de wiskunde Meetkunde en verhoudingen Hier zullen we eerst streven naar visuele verhoudingen vooraleer we getalsmatige verhoudingen aan bod laten komen. De meetkunde is dan vaak het bindend element. Je kan namelijk dingen indirect meten zonder standaardmaten, zonder instrumenten. Je begint meestal met een vergelijking, op het oog en het zicht. Daarna kijkt men naar meetkundige eigenschappen en relaties. Kinderen hebben hier in het gewone leven geen problemen mee. Denk maar aan de legoconstructies waarin ook vlot op schaal gewerkt wordt.

Uit: Treffers, De Moor en Feijs, 1989, pag. 116

Wanneer kinderen een tekening van het bord natekenen, gaan ze spontaan in een verhouding tekenen. We verwijzen hierbij ook naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken en de schaalberekening. Meetkunde in breuken Met stroken en met een cirkeldiagram kan je het verdelingsaspect van breuken visueel vastleggen.

Ook hier verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken.

322


DOMEIN 3: MEETKUNDE

Meetkunde in tabellen, diagrammen en grafieken Tabellen, grafieken en diagrammen behoren tot ons dagelijks omgaan met de media. Men kan deze getallenitems niet los zien van een meetkundige voorstelling. De meetkundige voorstelling is hier én hulpmiddel én basiselement. De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de grafiek, laten je toe visuele indrukken te manipuleren (zie domein 1 getallen, didactisch katern 5: Tabellen en grafieken). Het is nuttig leerlingen uit de derde graad hier ervaringen mee te laten opdoen om zo hun kritische kijk aan te scherpen. Visualisering in grafieken moet worden voorbereid. Het geregeld meetkundig weergeven van verhoudingen is daar een belangrijke stap in.

Meetkunde in omtrek- en oppervlakteberekening Men kan oppervlakken vergelijken zonder te meten door het stellen van een aantal meetkundige handelingen zoals omvormen, omstructureren, terug samenstellen (het indirect meten).

In het didactisch katern met betrekking tot meten vindt men hiervan nog talrijke andere voorbeelden.De hier gegeven voorbeelden bewijzen hoe meetkunde in andere leergangen een voorbeeld- én ondersteunende functie heeft.

8 Slot Meetkunde en meetkundige wereldoriëntatie verdienen een plaats in de basisvorming omdat het de kinderen en de volwassenen begeleidt in hun evolutie van de eigen ruimtelijke oriëntatie in de hun omringende wereld en de daarin gevormde intuïtieve begrippen en meetkundige inzichten. Vanuit de reeds gevormde intuïtieve begrippen en inzichten gaan we verder bouwen om zo geleidelijk meer formele kennis te laten groeien. Deze formele kennis zien we als een einddoel voor het voortgezet onderwijs. In de basisschool gaat het om het proces van kijken, doen, ervaringen opdoen en denken, en aldus inzicht verwerven. Wanneer in de leergang breuken delen van grootheden (meetkundige figuren) worden genomen, moet de grootheid worden verdeeld in een aantal gelijke (evengrote) delen.

HOOFDSTUK 2


323

Er wordt gewerkt met verhoudingen. De meetkundige elementen zijn bruikbaar en nuttig om in de verhoudingen inzicht te krijgen. Het begrip 'schaal' kan hiervan een voorbeeld zijn. Het afstappen van de kilometer kan aanleiding zijn om het schaalbegrip aan te brengen. Of wordt het dan meten? Daarmee zitten we terug in wat in de aanhef van dit katern reeds aan bod kwam: de relatie tussen meten en meetkunde. Gescheiden van elkaar maar niet te scheiden...

VERKLARENDE WOORDENLIJST

1

327


Akoestisch tellen

Akoestisch tellen is het na elkaar opzeggen van woorden uit de telrij zonder dat er verwezen wordt naar een concreet aantal.

Algoritme

Dit is een oplossingsmethode die uit een vaste rij elementaire handelingen bestaat. Zo bestaan er bv. cijferalgoritmen maar je vindt ook algoritmen in een kookboek, een knutselboek, een telefooncel.

Associatief

Een bewerking is associatief als bij een reeks van die bewerkingen, het geen rol speelt in welke volgorde die bewerkingen worden uitgevoerd. Dit heeft geen invloed heeft op de uitkomst. In hoofdrekenen worden de associativiteit en de commutativiteit vaak terzelfder tijd toegepast. Men neemt bv. het eerste en het derde getal eerst bij elkaar. Bij de eindtermen wordt gesproken van 'schakelen'.

Axioma

Dit is een uitspraak die men aanvaardt zonder ze te bewijzen.

Cijferen

Cijferen is schriftelijk bewerkingen op getallen uitvoeren waarbij hoofdzakelijk gewerkt wordt met de losse cijfers van de getallen. Zie didactisch katern cijferalgoritmen.

Cirkel

Wiskundig wordt een cirkel gedefinieerd als de verzameling punten die op gelijke afstand (r) van een punt liggen. In strakke zin slaat die definitie enkel op de omtrek van de cirkel. Naar analogie met de andere vlakke figuren (bv. rechthoek) kunnen we echter evengoed over de oppervlakte van een cirkel spreken (deel van het vlak dat door de cirkel begrensd wordt). De term schijf hanteren we daar niet voor.

Classificeren

zie bij kwalitatieve eigenschap

Commutatief

Een bewerking is commutatief als de volgorde van de termen/de factoren geen belang heeft. Bij de eindtermen gebruikt men de term 'wisselen' om deze eigenschap aan te geven.

Concave figuren

Dit zijn niet-convexe figuren. Er zijn zijden die (bij verlenging) de figuur in twee verdelen. Figuur 2 in afbeelding 1 is een concave figuur.

Congruente figuren

Het zijn figuren met dezelfde vorm en dezelfde grootte. Ze bedekken elkaar volkomen. Ze zijn gelijk.

328

OVSG-LEERPLAN WISKUNDE Afbeelding 1


329

Conservatie

Ondanks het feit dat de uiterlijke vorm of de ruimtelijke ordening van een geheel verandert, dient het kind te beseffen dat het oorspronkelijk geheel behouden blijft.

Context

Een context is een betekenisvolle situatie die kinderen steun biedt bij de uitvoering van rekenhandelingen. Zie didactisch katern werken met contexten.

Continue hoeveelheid

Het is een niet-aftelbare hoeveelheid. De lengte van een stuk touw, een vloeistof in een fles, de tijdsduur, ... zijn voorbeelden.

Convexe figuren

Er is geen enkele zijde die (bij verlenging) de figuur in twee verdeelt. Figuur 1 in afbeelding 1 is een convexe figuur.

Coördinaten

Met coördinaten bedoelt men een stel getallen dat de plaats van één punt of van een vak in een rooster bepaalt. In de wiskunde wordt bij de coördinaten eerst de horizontale, daarna de verticale plaats afgelezen.

Discontinue hoeveelheid

Dit is een hoeveelheid die je één per één kunt tellen: een stapel potloden, een hoopje knikkers, ...

Distributief

Een bewerking is distributief t.o.v. een andere als ze in meerdere deelbewerkingen kan worden opgesplitst. Bij de eindtermen gebruikt men de term 'splitsen' om deze eigenschap aan te geven. Voorbeeld : 6 x (60 + 3) = (6 x 60) + (6 x 3)

Gelijkvormige figuren

Ze hebben dezelfde vorm maar kunnen verschillen in grootte. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk en de verhouding tussen overeenkomstige lijnstukken is constant.

Gemiddelde

Gemiddelde is de centrale waarde van een reeks hoeveelheden door de hoeveelheden te sommeren en te delen door hun aantal.

Gogol

Er zijn nog afzonderlijke benamingen voor getallen groter dan miljard. Zo noteren we o.a. een cijfer 1, gevolgd door: 12 nullen voor 1 biljoen 18 nullen voor 1 triljoen 24 nullen voor 1 quadriljoen 30 nullen voor 1 quintiljoen 100 nullen voor 1 gogol. De Amerikaanse benamingen voor getallen verschillen van de onze (bv. miljard wordt in de VS ‘one biljon’ genoemd).

Grafiek

Hiermede bedoelt men de grafische voorstelling van één of meerdere kwantitatieve eigenschappen of het verloop van die eigenschappen in één of meerdere lijnen, staven, sectoren of andere symbolen ... . De term "diagram" wordt doorgaans als synoniem gebruikt.

Heuristiek

Een heuristiek is een zoekstrategie, gericht op het oplossen van een probleem.

330


Hoofdrekenen

Hoofdrekenen is flexibel rekenen. Bij hoofdrekenen maakt men gebruik van de onderlinge relaties en structuren van getallen en bewerkingen.

Kwalitatieve eigenschap

Een kwalitatieve eigenschap is een kenmerk van voorwerpen op grond waarvan men ze in een rubriek (soort bij soort, kleur bij kleur, functie bij functie, ...) kan onderbrengen. Dat noemen we classificeren. Van zodra er in deze rubrieken een ordening kan worden gemaakt, ook al is die subjectief, noemen we de eigenschap kwantificeerbaar: er kan minstens een rangordegetal aan toegekend worden. Bij het gebruik van kwalitatieve termen voor kwantificeerbare eigenschappen stelt zich het probleem van de relativiteit van die begrippen; iets is maar groot, koud, mooi, zacht, ... in vergelijking met iets anders.

Kwantificeerbare eigenschap zie bij kwalitatieve eigenschap en bij meten Maat

De maat is de notatie van een meetresultaat. Bv. : 5 m.

Maateenheid

De maateenheid geeft aan waarin men meet. De maateenheid noemt de maatstaf waarmee men werkt. Men onderscheidt conventionele maateenheden en niet-conventionele. Conventionele maateenheid Vanuit de vaststelling dat natuurlijke (niet-conventionele) maateenheden niet eenduidig zijn en kunnen afwijken van elkaar, ervaren de kinderen de noodzaak aan een vaste, geijkte maateenheid, bij conventie vastgelegd en gestandaardiseerd. Meter, liter, kilogram, ... zijn hier voorbeelden van. Natuurlijke of niet-conventionele maateenheid Hiermede bedoelt men de natuurlijke maatstaf die vrij gekozen wordt bij meten. Natuurlijke maateenheden zijn niet eenduidig: mijn voetstap is korter dan die van jou ... Voorbeelden van zo'n maateenheden: een handspan, een armlengte, een voetstap, de inhoud van een kopje of een glas, het gewicht van deze knikker, de lengte van deze stok, ... .

Maatgetal

Het maatgetal duidt de verhouding aan met de gekozen maateenheid (conventionele of niet-conventionele). Het is een onbenoemd getal. Bij het meten duidt het maatgetal aan hoe dikwijls de gekozen maatstaf voorkomt in het op te meten object. Exacte maatgetallen aan-geven veronderstelt een verfijning van de meetapparatuur.

Mediaan

Het middelste getal van een in opklimmende/dalende orde gerangschikte reeks noemt men de mediaan. Bij een even aantal in die reeks neemt men het gemiddelde van de middelste twee waarden. Een kwantificeerbare eigenschap kan in principe gemeten worden. We spreken slechts van meten wanneer het toegekende getal verbonden wordt aan een maateenheid. Anders gebruiken we de

Meten


331

Modus

term ordenen of rangschikken. Dit is de meest voorkomende waarde in een reeks

Ordenen

zie ook kwalitatieve eigenschap en meten

Rij

In een rekenkundige rij nemen de getallen toe of af met een gelijk verschil. Elke term is gelijk aan de vorige, vermeerderd of verminderd met eenzelfde getal. In een meetkundige rij is elke term gelijk aan de vorige, vermenigvuldigd of gedeeld door eenzelfde getal.

Referentiematen

Onder ‘referentiematen’ verstaat men de maten van objecten uit de onmiddellijke omgeving die worden geassocieerd met één maateenheid: dit is net één meter, dit weegt precies één kg,

Referentiepunten

Met ‘referentiepunten’ bedoelt men de maat van voorwerpen uit de onmiddellijke omgeving die men hanteert om de maat van andere voorwerpen te bepalen, bv. een deur is ongeveer 2 meter hoog, in zo'n emmer kan 6 liter, ...

Regelmatige veelhoek

Een veelhoek waarvan alle zijden even lang en alle hoeken even groot zijn. Bv. Een vierkant is een regelmatige veelhoek, een parallellogram niet.

Resultatief tellen

Dit is tellen om de hoeveelheid te bepalen.

Viseerlijn

Een viseerlijn is een denkbeeldige lijn van de plaats waar je staat naar het punt waar je naar kijkt, dat je 'viseert'.

Willekeurig

Met deze term geeft men aan dat er geen voorwaarden bepaald zijn. Een willekeurig getal kan om het even welk getal zijn: natuurlijk getal, kommagetal, breuk, gemengd getal, ... . Een willekeurige driehoek kan om het even welke driehoek zijn: ongelijkzijdig, gelijkbenig, gelijkzijdig.

MATERIALEN

2

331

MATERIALEN

Deze opsomming werd beperkt tot die materialen die vermeld worden in de leerlijnen. In de katernen met didactische suggesties worden ook andere materialen vernoemd. Deze lijst mag niet worden geïnterpreteerd als een inventarisatie van de materialen waarover elke leerling moet beschikken. Slechts op bepaalde momenten dienen de leerlingen hiervan gebruik te maken. brikken, doosjes, blokken chronometer digitale klok eierklok geodriehoek geometrische figuren graadboog honderdveld inlegpuzzels insteekpuzzels kalenders MAB-materiaal passer personenweegschaal plattegrond, kaart, zandtafel ... rolliniaal spiegel of 'doorkijkspiegel' tekendriehoek thermometer uurtabellen, tv-programma's, openingsuren ... vouwmeter wijzerklok zakrekenmachine zandloper

BIBLIOGRAFIE

3

333

BIBLIOGRAFIE

Bergervoet, S., e.a., Pluspunt: reken/wiskundemethode voor de basisschool, Opdrachtenboek voor groep 7, Malmberg, Den Bosch, 1993 Bladergroen, W. J., Rekenvoorwaarden - Vademecum, IJmuiden, 1978 Blake, Q., Wilmink, W., Doe maar mee, Bekadidact, Baarn Blocksma, M., Vanmaanen, H., De Schaal van Richter en andere getallen, Bert Bakker, Amsterdam, 1992 Borghouts - Van Erp, J. W. M., Rekenproblemen: Opsporen en oplossen,Wolters - Noordhoff, Groningen, 1978 Broekman, H., Vermeulen,W., De zakrekenmachine de school in, Panama-Post, jg. 12 (3), 1994, pp. 39-40 Broekman, H.G.B., Spelen in het wiskundeonderwijs, Nieuwe Wiskrant, jg. 6(1), 1986, pp. 15-20 Buys, K., Telactiviteiten voor kleuters, Bekadidakt, Baarn, 1991 Claes-Van Waes,S., Rigaux, H., Kleuterinitiatie in vorm en maat, Levende didactiek, De Sikkel, Antwerpen, 1974 Dale P, Met tien in bed, Clavis, Hasselt De Boever, R., e.a., Een cultuurverruimende benadering van wiskunde, VLOR, Brussel, 1995 De Corte, E., Psychologie en reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp.50-92 Decraene, R., Coppens, P., Van Geet, R., Rekenkriebels, De Sikkel, Antwerpen, 1989 De Grande-De Kimpe, Wat is het grootste getal, in Van den Hoof, M., e.a., De grote magazijnen, BRT-Brussel, 1988, p. 124 Dejong, R., Treffers, A., Wijdeveld, E., Wiskobas bulletin, leerplanpublicatie 2, Instituut ontwikkeling wiskunde onderwijs, Utrecht, jg 5(2-3), 1975 De Lange, J., Assessing mathematical skills, understanding and thinking, in R. Lesh en S.J. Lamon (eds.), Assessment of authentic performance in school mathematics, AAAS Press, Washington, 1992, pp. 195-214 De Lange, J., Feijs, E., Verschillende koersen leiden tot een hoek, Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, jg. 13(2), 1995, pp. 10-15 de Moor, E., Een beeld van een formule. Willem Bartjens, jg. 10 (2/3), 1991, pp. 113-122

334


de Moor, E., Vormleer, Panamapost, jg. 9(1), 1990, pp. 34-44 Dijkstra, R., e.a., De meetlijn, Handelend rekenen voor de basisschool, Jacob Dijkstr, Groningen Dumont, J., Kok, J, Curriculum schoolrijpheid (deel 1), Malmberg, 's Hertogenbosch, 1973 Dumont, J.J., Leerstoornissen deel 1 Theorie en Model, Lemniscaat, Rotterdam, 1985 Dewinne, P., Friant, L., Wiskundig Lexicon, Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen, 1995 Edelenbos, P., Harskamp, E.G., Zakrekemachines in de Basisschool, deelrapport. Instituut voor Onderwijsonderzoek, Rijksuniversiteit Groningen, 1988 Edelenbos, P., De zakrekenmachine in de basisschool, Didaktief, jg. 22(3), 1992, pp. 14-15 Elchardus, M., e.a., De school staat niet alleen, Rapport aan de Koning Boudewijnstichting, Kapellen, 1994 Erades, L., Koster, K.B., Het rekenen van de kleuter: een begeleiding van het kwantificeren bij 5 tot 7-jarigen, Zwijsen, Tilburg, 1974, p. 133 Feys, R., Meten en metend rekenen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 3, STOGO/Acco, Leuven, 1995, pp. 96-135 Feys, R., Metend rekenen, Cursus lagere normaalschool, Pedagogisch Hoger Onderwijs, Torhout, 1990 Freudenthal, H., Dat zie je toch zo, Willem Bartjes, jg. 2(2-3),1983 Freudenthal, H., Appels en peren, wiskunde en psychologie, Walraven, Apeldoorn, 1984 Freudenthal, H., Wiskundig didactische doordenkingen, Willem Bartjens, jg. 1(4), 1982, pp. 214215 Gillard, R., Bouwen en rekenen, Willem Bartjens, jg. 6(2), 1987 Gobien, S., e.a. , Zo gezegd, zo gerekend 2, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996 Goffree, F., Gecijferdheid, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp. 16-49 Goffree, F., Wiskunde & Didactiek, Wolters-Noordhoff, Groningen, 1983 Goffree, Met het oog op ruimte (door de bril van een lerarenopleider), Willem Bartjes, jg. 5(4), 1986 Goffree,F. (red.), Handboek voor de rekencoördinator deel 1: In de context van schattend rekenen, CPS, Hoevelaken, 1995

BIBLIOGRAFIE 335 Gravemeijer, K., 'De vernieuwing van het reken-wiskundeonderwijs in de praktijk', School & begeleiding, jg. 7(25), 1990, pp.17-23 Gravemeijer, K., Meetkunde op de baisschool: een meetkundige wereldoriëntatie, In Gids voor het Basisonderwijs, Samson, Brussel, 1988 Gravemeijer, K., e.a., Rekenen en Wiskunde, Bekadidact, Baarn, 1983-1990 Gravemeijer, K., Kraemer, J.M., Met het oog op ruimte, Zwijsen, Tilburg, 1984 Het Laatste Nieuws, NV Hoste, Asse-Kobbegem, 1996 Heyerick, L., Vierkantig denken, een rekenprobleem, Onderwijskrant, nr. 57, 1989, pp. 21-22 Heyerick, L., Levend rekenen in het donker, De viervoeter, jg.9(2) 1995, pp. 3-6 Heyerick, L., Meetkunde, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3,STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 136 170 Huitema, S., van der Klis, A., Timmermans, M., De wereld in getallen, Ideeënboek voor groep 1 en 2, Malmberg, Den Bosch, 1991 Inspectie van het onderwijs, Hoofdrekenonderwijs, De Meern, Den Haag, 1994 Jansen, Toetsen en realistisch reken-wiskundeonderwijs. Interview met Marja van de HeuvelPanhuizen, Willem Bartjens, jg 16(2), 1996, pp. 4-12 Janssens, I., Wiskundige initiatie voor kleuters, deel: Ruimte, Plantyn, Deurne, 1995 Janssens, I., Wiskundige initiatie voor kleuters, Plantyn, Deurne, 1994 Kephart, Chaney, Ebersole, Hekkesluiters 2, Programma voor ontwikkelingsbevordering , Lemniscaat, Rotterdam, 1973 Kredietbank, KB-bulletin, personeelsblad van de Kredietbank, jg. 54(7), 1996, p. 7 Kool, M., 'Een zak met goud of een kat in de zak', Willem Bartjens, jg. 14(2), 1995, pp. 34-36 Korthoudt, L., e.a., Zo gezegd, zo gerekend 1, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996 Koster, K. B., De ontwikkeling van het getalbegrip op de kleuterschool, Tjeenk Willink, Groningen, 1975 Kraemer, J.M., Meetkunde geïntegreerd deel 1 - deel 2, Willem Bartjes, jg. 5(1-2), 1985 Lowagie,P., Staelens, R., Vaardig en vlot met de zakrekenmachine, De Garve, Brugge, 1995 Luyten, R., Hoofdrekenen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 2, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp. 204-226

336


Luyten, R., Cijferrekenen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 2, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp. 228-261 Ministerie van Nationale Opvoeding en Nederlandse Cultuur, Metend rekenen en vormleer, Weken van voorlichting en pedagogische volmaking ingericht in 1961, Brussel, 1961 Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs, Metend rekenen, Tweeënveertigste pedagogische week, Brussel, 1988 Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs, Werken met getallen en met vormen, Vierenveertigste pedagogische week, Brussel, 1990 Ministerie van Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap, Directie van het Basisonderwijs, Problemen oplossen, een vraagstuk !, Drieenveertigste pedagogische week, Brussel, 1989 Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, Basisonderwijs, Ontwikkelingsdoelen en eindtermen, decretale tekst en uitgangspunten, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, Departement Onderwijs, Centrum voor Informatie en Documentatie, 1995 Nelissen, J.M.C., Kinderen leren wiskunde. Een studie over constructie en reflectie in het basisonderwijs, De Ruiter, Gorinchem, 1987 Nelissen, J., Toetsen, praktijkcahier reken/wiskundeonderwijs, De Ruiter, Gorinchem, 1990 Nelissen, J., van Oers, B., Rekenen als realiteit, Zwijsen, Tilburg, 1990 Nelissen, J., e.a., Rekenwerk 8, De Ruiter, Gorinchem, 1989 Nelissen, J., Hoe werken kinderen met ruimtelijke beelden?, in 'Hoe kijken jonge kinderen naar zichzelf en naar anderen? Over representaties en mispresentaties' De wereld van het jonge kind, jg. 22(5), 1996 OVSG, OVSG-toets 6de leerjaar, schooljaar 1996-1997, OVSG, Brussel, 1997 OVSG, Beschouwingen bij OVSG-toets zesde leerjaar 1995-1996, OVSG, Brussel, 1996 OVSG, Rekenremediëring, Tellen tot 20, Project Zorgverbreding,Vormingspakket 3, Brochure 3, OVSG, Brussel, 1995 Pinxten, R., Cultuur en wiskunde, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp. 130-154 Ruesink, N., Een walvis op het puntje van zijn neus is net zo hoog als deze flat, Meten in het rekenwiskundeonderwijs, Willem Bartjens, jg. 13(3), 1994, pp. 4-8 Ruijssenaars, A.J.J.M., Rotterdam, 1992

Rekenproblemen, Theorie, diagnostiek, behandeling, Lemniscaat,

BIBLIOGRAFIE Sannen, R. e.a. , Zo gezegd, zo gerekend 3, experimentele versie, Plantyn, Deurne, 1996

337

338


Schwartz, J.L., The intellectual prices of secrecy in mathematics assessment, in R. Lesh en S.J. Lamon (eds.), AAAS Press, Washington, 1992, pp. 427-437 Speelpenning, J., Piramide, Willem Bartjens, jg. 5(4), 1986, pp. 244 Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (14) - procenten - didactische notities, Panama-post, jg. 10(1), 1991, pp. 29-38 Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (7), Panama-post, jg. 8(2), 1989, pp. 50-58 Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (21) - kerndoelen procenten, Panama-post, jg. 12(1), 1993, pp. 42-46 Streefland, L., De Moor, E., Treffers, A., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool (8) - Verhoudingen, Panama-post, jg. 8 (3), 1990, pp. 43-64 Streefland, L., Breuken en kommagetallen., in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe Reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3, STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 17 - 51 Streefland, L., Procenten en verhoudingen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe Reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3, STOHO/Acco, Leuven, 1995, pp. 52 - 94 Svend Otto, S., van Yperen, Th., Klein in de grote wereld, Thieme-Zuthpen Sweers, W., Rekenen en wiskunde ter overbrugging, Zwijsen, Tilburg, 1982 ter Heege, H., Het meten van oppervlakte, De Grabbelton, SLO projectbulletin, jg. 10(27), 1988 ter Heege, H., Vermenigvuldigen en delen als elementaire rekenvaardigheden, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 2, Stoho/Acco, Leuven, 1995, pp.132-169 ter Heege, H., de Moor, H., Wiskobas bulletin, leerplanpublicatie 7,Instituut ontwikkeling wiskunde onderwijs, Utrecht, jg. 7(1-2), 1977 Treffers, A., Streefland, L., De Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool, deel 3A: Breuken, Zwijsen, Tilburg, 1994

Treffers, A., Streefland, L., De Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool, deel 3B: Kommagetallen, Zwijsen, Tilburg, 1996

BIBLIOGRAFIE

339

Treffers, A., de Moor, E., Feijs, E., Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool, Deel 1, Overzicht einddoelen, Zwijsen,Tilburg, 1989 Treffers, F., de Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool,Deel 2, basisvaardigheden en cijferen, Zwijsen, Tilburg, 1990 Treffers, A., de Moor, E., De stille revolutie in het rekenwiskundeonderwijs, Jeugd in school en wereld, jg 79 (3), 1994, pp. 4-10 Treffers, A., e.a., Beredeneerde eindtermen, Willem Bartjens, jg. 8(1), 1988, pp. 46 Turpyn, V., Realistisch rekenen binnen het B.L.O.: een haalbare kaart?, OVSG, Brussel, 1993 Van Amersfoort J., Reken/wiskunde-onderwijs aan allochtonen, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 4, Stoho/Acco, Leuven, 1995 van Dam, P.R.L., Tabellen en grafieken, Opgavenboekje A, CITO, Instituut voor toetsontwikkeling, Arnhem, 1984 van Dam, P.R.L., Tabellen en grafieken,Handleiding, CITO, Instituut voor toetsontwikkeling, Arnhem, 1984 Van den Berg, W., Van Eerde, H., Kwantiwijzer voor leerkrachten, Infoboek, Meerhout, 1993 van den Boer, C., Dolk, M. (red.), Modellen, meten en meetkunde, Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht, 1996 Van den Bussche, P., Rekenen met rekenzwakke leerlingen, ontwerp leerlijn "tafels", Pedagogisch Centrum Antwerpen, Antwerpen, p.13 Vandenbussche, P., 'Rekenen met rekenzwakke leerlingen' Pas op je tellen!, Tel maar verder tot 20! , Pedagogisch Centrum Antwerpen, Antwerpen Van den Heuvel-Panhuizen, M., Lijn in verhoudingen, Panamapost, 9 (2), 1990, pp. 21 - 26 Van den Heuvel-Panhuizen, M., Toetsen bij reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 1, Stoho/Acco, Leuven, 1995, pp. 197-246 Van den Heuvel-Panhuizen, M., Realistic arithmetic/mathematics instruction en tests, in Gravemeijer, K., Van den Heuvel, M., Streefland, L., (red.), Context, free productions, tests, and geometry in realistic mathematics education, Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijs Computercentrum, Universiteit, Utrecht, 1990 Van Galen, F., Boswinkel, N., Tijd, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskunde-didactiek voor de basisschool en de basiseducatie deel 3, Stoho/Acco, Leuven, 1995, pp.172-201

340


Van Hove, W., Verstraete, G., RVT/3K1L, Rekenvoorwaardentoets derde kleuterklas - leerlingen lagere school, C.S.B.O., Brussel, 1977 Van Keymeulen, G., De tafels van vermenigvuldiging en de deeltafels in verruimd perspectief, Gids voor het basisonderwijs, CURR 7312, Samson, Brussel, 1996 Van Kuyk, Leerlingvolgsysteem, CITO, Arnhem, 1989 Van Reeuwijk, M., Nieuwe doelen, nieuwe toetsen, Panamapost, jg 13(2), 1996, p.32 - 35 Verschaffel, L., Visie op reken/wiskundeonderwijs, in Verschaffel en De Corte (red.), Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie, deel 1, STOHO/ Acco, Leuven, 1995, pp. 94-128 Verschaffel, L., Gravemeijer, K., Contextrijk reken-/wiskundeonderwijs, Gids voor het basisonderwijs, CURR 7420/5,Samson, Brussel, 1990 VLO-begeleidingsteam W.VL, Als de vraag stuk is ... zitten we met problemen, Deel schoolniveau, OVSG, Brussel, 1990 Vuurmans, A., Klukhuln, W., e.a., Rekenwerk, De Ruiter, Gorichem, 1989 Wijnstra, J.M., Balans van het rekenonderwijs in de basisschool, CITO, Arnhem, 1988

275-1

Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten

5

De euro

5.1

Euromunten en -biljetten

In alle lidstaten van de Europese muntunie zijn vanaf 01 januari 2002 acht munten in gebruik met als waarde: - 1, 2, 5, 10, 20 en 50 eurocent; - 1 en 2 euro.

De munten hebben een Europese en een nationale zijde. De Europese zijde is uniform in alle landen. De nationale zijde toont het land van herkomst. Wel zijn alle munten in alle landen geldig. Na verloop van tijd zullen Spaanse, Duitse, Franse, ... en Belgische munten door elkaar worden gebruikt. Daarnaast zijn er zeven biljetten met als waarde: 5, 10, 20, 50, 100, 200 en 500 euro.

De eurobiljetten hebben, in tegenstelling tot de munten, geen nationale zijde. Ze zijn dus identiek in alle landen van de Europese muntunie.

Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten

5.2

275-2

Het symbool

Er is alleen een symbool voor de euro: Voor de eurocent is geen symbool voorzien. Verder zal 'EUR' internationaal worden gebruikt. Omwille van de schrijfwijze van de euro kan verondersteld worden dat er geen afkorting komt voor de eurocent. Indien in Vlaanderen toch een afkorting van de eurocent zou opduiken, zal dat in relatie zijn met de vroegere 'cent' (ct). In het dagdagelijks taalgebruik zal 'eurocent' snel 'cent' worden.

5.3

De schrijfwijze

Op 31 december 1998 werd ten opzichte van de Belgische frank de correcte waarde van de euro vastgelegd: 40,3399. Vanaf 01 januari 2002, wanneer de nationale munten verdwijnen, heeft de op 31 december 1998 vastgelegde waarde van de euro ten opzichte van de Belgische frank, geen betekenis meer en zal dan ook verdwijnen. In de realiteit wordt gewerkt met getallen tot twee cijfers na de komma. Door bedragen steeds te noteren tot twee cijfers na de komma zullen tienden spontaan omgezet worden naar honderdsten. In de realiteit van de prijsaanduidingen worden wij en de kinderen geconfronteerd met getallen als: 7,19 17,75 12,50 19,95 99,99 50,90 214,05 210,25 263,10 199,09 555,35 450,50

5.4

De leeswijze

In de loop van de jaren, door het veelvuldig dagelijks gebruik, zal de leeswijze allicht veranderingen ondergaan in functie van de spreektaal. In belang van het inzicht in de waarde van de cijfers voor en na de komma (het decimaal teken) opteren we in de school voor de hierna volgende leeswijzen in de aanvangsjaren. Prijzen in euro lees je als: - 7,75 - 7 euro 75 eurocent - 7 euro 75 cent - 7 euro 75 - 7 komma 75 (euro)

275-3

5.5

Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten - 12,05

- 12 euro (en) 5 eurocent - 12 euro (en) 5 cent - 12 euro (en) 5 - 12 komma nul vijf (euro)

- 15,40

- 15 euro 40 eurocent - 15 euro 40 cent - 15 euro 40 - 15 komma veertig euro

- 200,50

- 200 euro 50 eurocent - 200 euro 50 cent - 200 en een halve euro - 200 komma vijftig (euro)

Werken binnen het getalbereik conform de leerlijnen in het leerplan wiskunde

Het schrijven en lezen van waarden in euro heeft consequenties met betrekking tot het aanbod aan getallen bij lagereschoolkinderen. Nochtans blijven we met de natuurlijke getallen binnen het getalbereik van de leerlijnen (leerlijn 1.2 pag. 87): - 6-jarigen: tot en met 20; - 7-jarigen: tot en met 100; - 8-jarigen: tot en met 1000; - 9-jarigen: tot en met 10 000; - 10-jarigen: tot en met 1 000 000; - 11-jarigen: tot en met 100 000 000. Wij wijken evenmin af van de voorgestelde leerlijnen met betrekking tot de kommagetallen: maximaal 3 cijfers na de komma. (Zie het didactisch katern 'Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten' pag. 175 en volgende.)

5.6

Inhouden per leeftijdsgroep

5.6.1

Kleuterschool kleuters

1ste fase

2 de fase

Lagereschoolkinderen 6j.

6

8j.

6

10j.

6

De kleuters vertrouwd maken met de gebruikte terminologie: 'euro' en 'eurocent'.

Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten 5.6.2

275-4

Lagere school kleuters

1ste fase

2 de fase


6

8j.

6

10j.

6

De leerlingen: kennen de geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10 en 20 eurocent, 1 en 2 euro) binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken; kennen de geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10 en 20 euro) binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken; kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van wisselgeld en het wisselen; bv.: 2 keer 1 eurocent = 2 eurocent 2 keer 10 eurocent = 20 eurocent ... 2 euro = 2 keer 1 euro 5 euro = 1 euro + 1 euro + 1 euro + 1 euro + 1 euro 5 euro = 5 keer 1 euro 20 euro = 10 keer 2 euro ... Combinaties van euro én eurocent komen niet voor. kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en kiezen in de situatie de meest passende betalingswijze. Bij de zesjarigen komen geen kommagetallen voor. kleuters 1ste fase

2de fase


6

8j.

6

10j.

6

De leerlingen: kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10, 20 en 50 eurocent, 1 en 2 euro) en kunnen ze gebruiken; kennen de geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10, 20, 50 en 100 euro) binnen het getalbereik en kunnen ze gebruiken; kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen ( € en EUR) gebruiken; kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van wisselgeld en het wisselen; - teruggeven: - te betalen: 1,43 euro (lezen als 1 euro 43 eurocent)

275-5

-

-

Didactische bijlage bij het leerplan wiskunde: katern meten - terug te geven: 57 (euro)cent - doortellen of aanvullen (winkelrekenen) - te betalen: 1,43 euro - 1 euro en 43(euro)cent + 57 (euro)cent = 2 euro kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de meest passende betalingswijze kiezen; kennen de verbanden tussen de verschillende munten: 1 euro = 100 eurocent; 2 keer 50 eurocent = 100 eurocent = 1 euro; 5 keer 20 eurocent = 100 eurocent = 1 euro; kunnen prijzen in euro ( met twee cijfers na de komma) lezen als - 12,15 - 12 euro 15 (euro)cent; - 20,85 EUR - 20 euro 85 (euro)cent; - 75,25 euro - 75 euro 25 (euro)cent.

kleuters 1ste fase

2 de fase


6

8j.

6

10j.

6

De leerlingen: kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken in het eurostelsel (1, 2, 5, 10, 20 en 50 eurocent, 1 en 2 euro) en kunnen ze gebruiken; kennen alle geldige en gebruikelijke biljetten in het eurostelsel (5, 10, 20, 50, 100, 200 en 500 euro) en kunnen ze gebruiken; kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen (€ en EUR) gebruiken; kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van wisselgeld en het wisselen; - teruggeven: - te betalen: 1,43 euro (lezen als 1 euro 43 eurocent) - terug te geven: 57 (euro)cent - doortellen of aanvullen (winkelrekenen) - te betalen: 1,43 euro - 1 euro en 43(euro)cent + 57 (euro)cent = 2 euro kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de meest passende betalingswijze kiezen; kennen de verbanden tussen de verschillende munten: 1 euro = 100 eurocent; 2 keer 50 eurocent = 100 eurocent = 1 euro; 5 keer 20 eurocent = 100 eurocent = 1 euro; 200 euro = 2 keer 100 euro = 4 keer 50 euro = 10 keer 20 euro; ... kunnen prijzen in euro ( met twee cijfers na de komma) lezen als: - 12,15 - 12 euro 15 (euro)cent; - 20,85 EUR - 20 euro 85 (euro)cent; - 75,25 euro - 75 euro 25 (euro)cent.

Didactische bijlage bij het OVSG-leerplan wiskunde: katern meten

kleuters 1ste fase

2de fase

275-6


6

8j.

6

10j.

6

De leerlingen: kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken en biljetten in het eurostelsel en kunnen ze gebruiken; kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen (€ en EUR) gebruiken; prijzen in euro lezen en noteren (ook als kommagetallen); kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gecombineerd gebruiken bij het tellen, het betalen, het teruggeven, het natellen van wisselgeld en het wisselen; kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de meest passende betalingswijze kiezen; kennen alle verbanden tussen de verschillende munten en biljetten; kunnen bewerkingen met geld in decimalen uitvoeren: bij het vermenigvuldigen is de vermenigvuldiger kleiner dan 10; bij de deling is de deler is de deler kleiner dan 10.

kleuters 1ste fase

2de fase


6

8j.

6

10j.

6

De leerlingen: kennen alle geldige en gebruikelijke muntstukken en biljetten in het eurostelsel en kunnen ze gebruiken; kunnen de euro als maateenheid hanteren en de daarbij horende symbolen ( € en EUR) gebruiken; prijzen in euro lezen en noteren als kommagetallen; kennen binnen de rij van de gekende getallen, de bestaande munten en biljetten en kunnen ze gecombineerd gebruiken bij het betalen, het teruggeven (doortellen), het natellen van wisselgeld en het wisselen; kunnen op verschillende manieren eenzelfde bedrag betalen en in de situatie de meest passende betalingswijze kiezen; kennen alle verbanden tussen de verschillende munten en biljetten; kunnen bewerkingen met geld in decimalen uitvoeren; verbanden leggen met niet-Europese munten en met munten die niet tot de unie behoren; decimale getallen afronden van 4 of 3 naar 2 decimalen.

INHOUD. Voorwoord... VII. Visie op basisonderwijs... IX. I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool... 1

Recommend Documents