IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB

Seminar Nasional Teknologi 2007 (SNT 2007) Yogyakarta, 24 November 2007

ISSN : 1978 – 9777

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Krisnawati STMIK AMIKOM Yogyakarta e-mail : [email protected]

ABSTRACT Integral dengan batas didefinisikan sebagai luasan daerah yang dibatasi oleh suatu fungsi, sumbu x, x=a dan x=b. Salah satu metode untuk penyelesaian integral dengan batas adalah menggunakan aturan segiempat. Aturan ini membagi daerah yang dicari luasannya menjadi beberapa bagian segiempat, sehingga dengan lebar yang semakin kecil (persegi empat yang dihasilkan semakin banyak), diharapkan hasilnya akan semakin mendekati yang sebenarnya. Ada tiga macam aturan segiempat, yakni segiempat atas, segiempat tengah (midpoint rule), serta segiempat bawah. Dari tiga macam aturan tersebut metode segiempat tengah (midpoint rule) lebih cepat konvergen dibandingkan dua metode lainnya. Keywords : integral dengan batas, aturan segiempat. 1.

PENDAHULUAN Integrasi suatu fungsi yang dinotasikan:

I=

(1)

merupakan integral suatu fungsi f terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a sampai x = b. Dari persamaan di atas, yang dimaksud dengan integrasi adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f dan sumbu x, serta antara batas x = a dan x = b.

y=f(x)

x=a

x=b

Integral analitik suatu fungsi dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk selanjutnya yang akan dibahas di sini adalah integrasi numerik yang merupakan metode pendekatan dari integrasi analitik. Integrasi numerik akan dilakukan apabila: integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analitik. Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang berdasarkan pada hitungan perkiraan. Seperti pada metode perhitungan integral secara analitik, hitungan integral secara numerik dapat dilakukan dengan membagi luasan dalam sejumlah pias kecil. Jumlah luas semua pias yang disebut dengan luas total. D ‐ 1


2.

ISSN : 1978 – 9777

ATURAN SEGIEMPAT

Untuk mempermudah mencari luasan daerah yang dimaksud maka dilakukan pemecahan interval batas menjadi beberapa bagian yang sama luasnya.

y=f(x)

x=a

x=b

Gambar 1. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat atas

Luas daerah dicari dengan: Luas

= jumlahan luas segiempat n

= ∑ Luas i 1

n

= ∑ lebarxpanj ang i 1

n

= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i ) 1

dengan x1=a+(b-a)/n xi = xi-1+(b-a)/n n : jumlah panel

y=f(x)

: titik tengah interval

x=a

x=b

Gambar 2. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat tengah (mid point rule)

D ‐ 2


ISSN : 1978 – 9777



= ∑ Luas i 1

n


n

= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i ) 1

dengan x1=a+(b-a)/2n xi = xi-1+(b-a)/n n : jumlah panel y=f(x)

x=a

x=b

Gambar 3. Pemecahan daerah untuk aturan segiempat bawah



= ∑ Luas i 1

n


n

= ∑ ((b − a ) / n ) * f ( x i ) 1

dengan x1=a xi = xi-1+(b-a)/n n : jumlah panel 3.

IMPLEMENTASI PROGRAM Algoritma diatas diimplementasikan menjadi sebuah program, dengan jumlah panel D ‐ 3


ISSN : 1978 – 9777

(jumlah segiempat) awal adalah 100. Untuk setiap proses berikutnya dibuat jumlah panelnya bertambah 100, sehingga dengan semakin banyaknya panel yang dibuat, hasil yang didapat akan mendekati yang sebenarnya. Listing programnya sebagai berikut: clc;clear; syms x; f=input('Masukkan persamaan = '); x1=input('Masukkan batas bawah = '); x2=input('Masukkan batas atas = '); b=100; fprintf('=====================================================\n'); fprintf('Jml panel

PPA

PPT

PPB\n');

fprintf('=====================================================\n'); for j=1:25 %metode segiempat atas d=(x2-x1)/b; luasa=0; t=x1; for i=1:b t=t+d; ft=subs(f,x,t); luas1a=ft*d; luasa=luasa+luas1a; end %metode segiempat tengah (midpoint rule) t=x1-d/2; luast=0; for i=1:b t=t+d; ft=subs(f,x,t); luas1t=ft*d; luast=luast+luas1t; end %metode segiempat bawah luasb=0; t=x1; for i=1:b D ‐ 4


ISSN : 1978 – 9777

ft=subs(f,x,t); luas1b=ft*d; luasb=luasb+luas1b; t=t+d; end fprintf('%4d

%2.7f

%2.7f

%2.7f\n',b,luasa,luast,luasb);

b=b+100; end fprintf('=====================================================\n'); 4.

HASIL PERCOBAAN Diambil contoh kasus sebagai berikut: 4

Hitung

∫

x 2 dx .

2

Secara analitis permasalahan diatas dapat diselesaikan sebagai berikut: 4

∫ 2

1 x dx = x 3 3

4

=

2

2

64 8 56 − = = 18 . 6666666 3 3 3

Dengan menggunakan implementasi algoritma ketiga aturan di atas didapat output sebagai berikut (dengan tingkat ketepatan 7 angka dibelakang koma untuk aturan titik tengah): Masukkan persamaan = x^2 Masukkan batas bawah = 2 Masukkan batas atas = 4 ====================================================== Jml panel

PPA

PPT

PPB

====================================================== 100

18.7868000

18.6666000 18.5468000

200

18.7267000

18.6666500 18.6067000

300

18.7066815

18.6666593 18.6266815

400

18.6966750

18.6666625 18.6366750

500

18.6906720

18.6666640 18.6426720

600

18.6866704

18.6666648 18.6466704

700

18.6838122

18.6666653 18.6495265

800

18.6816687

18.6666656 18.6516687

900

18.6800016

18.6666658 18.6533350

D ‐ 5


1000

18.6786680

18.6666660

18.6546680

1100

18.6775769 18.6666661

18.6557587

1200

18.6766676

18.6666662

18.6566676

1300

18.6758982

18.6666663

18.6574367

1400

18.6752388

18.6666663

18.6580959

1500

18.6746673

18.6666664

18.6586673

1600

18.6741672

18.6666664

18.6591672

1700

18.6737260

18.6666664

18.6596083

1800

18.6733337

18.6666665

18.6600004

1900

18.6729828

18.6666665

18.6603512

2000

18.6726670

18.6666665

18.6606670

2100

18.6723813

18.6666665

18.6609527

2200

18.6721215

18.6666665

18.6612124

2300

18.6718843

18.6666665

18.6614495

2400

18.6716669

18.6666666

18.6616669

2500

18.6714669

18.6666666

18.6618669

ISSN : 1978 – 9777

====================================================== 5.

PEMBAHASAN

Dengan melihat hasil percobaan diatas terlihat bahwa untuk jumlah panel berapapun aturan titik tengah memberikan hasil yang lebih mendekati kepada hasil yang sebenarnya. Dengan tingkat ketepatan 7 angka dibelakang koma, aturan titik tengah memberikan hasil benar dengan jumlah panel 2.500. Sedangkan dua metode lainnya sampai dengan 100.000 panel (hasil tidak dilampirkan), baru mencapai tingkat ketepatan 2 angka dibelakang koma. Dengan melihat visualisasi pada tiga gambar diatas bisa dijelaskan bahwa metode titik tengah mengambil rata-rata tinggi persegi panjang dari titik tengah lebar persegi panjangnya. Metode segiempat bawah menggunakan batas bawah interval untuk panjang segiempatnya, sedangkat metode persegiempat atas menggunakan batas atas interval untuk panjang persegiempatnya. Sehingga hasil untuk metode segiempat tengah akan nampak sebagai titik tengah antara metode segiempat atas dan segiempat bawah. Dengan melihat kelebihan/kekurangan luasan yang dihasilkan oleh ketiga metode diatas, telihat pula metode segiempat atas mempunyai kelebihan paling besar (error paling besar positif). Metode segiempat tengah mempunyai sedikit kekurangan pada daerah hasilnya (error paling kecil negatif). Metode segiempat bawah mempunyai banyak kekurangan pada daerah hasilnya (error paling besar negatif). 6.

KESIMPULAN

Dari ketiga aturan segiempat diatas, aturan segiempat tengah (midpoint rule) lebih cepat konvergen dibanding dengan dua metode lainnya. Ini dapat dimengerti dengan mudah, karena dalam metode ini kekurangan/kelebihan luasan yang ada, lebih kecil jika dibandingkan dengan dua metode lainnya.

D ‐ 6


7. [1] [2] [3] [4] [5]

ISSN : 1978 – 9777

DAFTAR PUSTAKA Gary J. Lastman & Naresh K. Sinha, 2000, Microcomputer-Based Numerical Methods for Science and Enginering. MatLab 6 Help. William J Palm, 2004, Introduction to MatLab 6 for Engineers, The McGraw-Hill Companies, Inc. http://www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/ http://library.gunadarma.ac.id/files/disk1/9/jbptgunadarma-gdl-course-2004-jackwidjaj415-met_num_-p.ppt

D ‐ 7

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB

Recommend Documents