Všeobecně
II. ČSN EN 1993-1-1 Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1.1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby 1 Všeobecně 1.1 Rozsah platnosti 1.1.1 Rozsah platnosti Eurokódu 3 Norma ČSN EN 1993 (neboli Eurokód 3) je určena pro navrhování ocelových konstrukcí pozemních a inženýrských staveb. Eurokód 3 se používá společně s ČSN EN 1990 Zásady navrhování konstrukcí, ČSN EN 1991 Zatížení stavebních konstrukcí a ČSN EN 1090 Provádění ocelových konstrukcí a hliníkových konstrukcí a dalšími eurokódy, pokud se týkají ocelových konstrukcí. S těmito eurokódy jsou v souladu evropské normy EN a evropská technická schválení ETA, popř. směrnice ETAG, stavebních výrobků pro ocelové konstrukce. Normu samozřejmě nelze kombinovat s jinými normami než normami systému ČSN EN. Eurokód 3 má šest částí, týkajících se různých konstrukcí (1. Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, 2. Ocelové mosty, 3. Stožáry a komíny, 4. Zásobníky, nádrže a potrubí, 5. Piloty a štětové stěny, 6. Jeřábové dráhy). Úvodní část, ČSN EN 1993-1, obsahuje základní pravidla, platná ve všech dalších částech Eurokódu 3, kde jsou podle potřeby doplněna o další ustanovení. Musí tedy obsahovat řadu podrobností k návrhu ocelových konstrukcí obecně a má proto 12 dílčích částí (1. Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, 2. Navrhování na účinky požáru, 3. Doplňující pravidla pro tenkostěnné za studena tvarované prvky a plošné profily, 4. Doplňující pravidla pro korozivzdorné oceli, 5. Boulení stěn, 6. Pevnost a stabilita skořepinových konstrukcí, 7. Deskostěnové konstrukce příčně zatížené, 8. Navrhování styčníků, 9. Únava, 10. Houževnatost materiálu a vlastnosti napříč tloušťkou, 11. Navrhování tažených prvků, 12. Doplňující pravidla pro oceli vysoké pevnosti). Zdůrazňuje se, že normy ČSN EN 1990 až 1999 budou od března 2010 jediným systémem platným pro navrhování stavebních konstrukcí v ČR; stejný postup by měl být zaveden i v ostatních evropských zemích, sdružených v CEN. Projektování ocelových konstrukcí tím bude pro celou Evropu sjednoceno, pouze nastavení některých výpočetních parametrů zůstane v kompetenci jednotlivých států. Technicky se to provede v tzv. národní příloze normy. Státy CEN jsou povinny tuto národní přílohu vydat kromě národního jazyka také v angličtině, takže nebude složité ji použít pro praktické projektování.
1.1.2 Rozsah platnosti části 1-1 Eurokódu 3 Používání normy EN 1993-1-1 se předpokládá pro prvky o tloušťce t ≥ 3 mm (pro tenkostěnné za studena tvarované prvky a plechy o tloušťce t < 3 mm se použije ČSN EN 1993-1-3). Norma má následující kapitoly:
25
Všeobecně Kapitola 1: Všeobecně Kapitola 2: Zásady navrhování Kapitola 3: Materiály Kapitola 4: Trvanlivost Kapitola 5: Analýza konstrukce Kapitola 6: Mezní stavy únosnosti Kapitola 7: Mezní stavy použitelnosti Přílohy A, B, AB, BB. Národní příloha NA, NB.
1.2 Citované normativní dokumenty Norma se odvolává na evropské normy z oblasti provádění ocelových konstrukcí, ochrany proti korozi a výrobkových norem materiálů.
1.3 Předpoklady Kromě obecných předpokladů ČSN EN 1990 (Zásady navrhování konstrukcí) jsou součástí normy i předpoklady obsažené v ČSN EN 1090 (Provádění ocelových konstrukcí a hliníkových konstrukcí).
1.4 Rozlišení zásad a aplikačních pravidel V souladu s ČSN EN 1990 se rozlišují zásady a aplikační pravidla. K zásadám neexistuje alternativa, proto musí být při návrhu za všech okolností splněny. Aplikační pravidla uvádějí obecně uznávaná pravidla, která jsou ve shodě se zásadami a jejichž použití je tedy doporučené, ale má alternativu. Alternativní postup musí být v plném souladu se zásadami, a také musí zaručovat přinejmenším stejnou bezpečnost návrhu, jako při použití doporučeného pravidla. Zásady se v normě odlišují písmenem P za číslem článku.
1.5 Termíny a definice V normě platí termíny a definice podle EN 1990. V ČSN EN 1993-1-1 jsou použity dále uvedené termíny a definice s následujícím významem: • prutová konstrukce (frame) konstrukce nebo část konstrukce ze vzájemně spojených nosných prvků, navržených tak, aby společně přenášely zatížení. Tento termín platí pro rámy se styčníky přenášejícími momenty i pro příhradové konstrukce a zahrnuje rovinné i prostorové soustavy • dílčí prutová konstrukce (sub-frame) konstrukce, která tvoří část rozsáhlejší soustavy, ale v analýze konstrukce je vyšetřována samostatně
26
Všeobecně • typ prutové konstrukce (type of framing) pro rozlišení jednotlivých typů konstrukcí se používají termíny: o částečně spojitá (semi-continuous), u které je nutné v globální analýze explicitně uvažovat vlastnosti nosných prvků a spojů; o spojitá (continuous), u které je nutné v globální analýze uvažovat pouze vlastnosti jednotlivých nosných prvků; o prostá (simple), u které se nepožaduje, aby spoje přenášely momenty • globální analýza (global analysis) stanovení úplného souboru vnitřních sil v konstrukci, který je v rovnováze s příslušným souborem zatížení působícím na konstrukci • systémová délka (system length) vzdálenost v dané rovině mezi dvěma sousedními body, ve kterých je prut zajištěn proti příčnému posunutí v této rovině, nebo vzdálenost mezi jedním takovým bodem a koncem prutu • vzpěrná délka (buckling length) systémová délka jinak shodného prutu s kloubovým uložením, který má stejnou vzpěrnou únosnost jako daný prut nebo část prutu • účinek smykového ochabnutí (shear lag effect) nerovnoměrné rozdělení napětí v širokých pásnicích v důsledku smykových deformací; uvažuje se v posudku bezpečnosti pomocí redukované účinné šířky pásnice • návrh na únosnost (capacity design) metoda navrhování pro dosažení plastické deformační kapacity prutu s uplatněním pevnosti jeho spojů a dalších připojených částí • prut stálého průřezu (uniform member) prut s konstantním průřezem po celé jeho délce
1.6 Značky V normě se používají obvyklé značky. Bude-li nutné, budou některé značky v této publikaci zvlášť vysvětleny, až se objeví.
27
Zásady navrhování
2 Zásady navrhování 2.1 Požadavky 2.1.1 Základní požadavky Ocelové konstrukce se navrhují na zatížení podle ČSN EN 1991, kombinace zatížení podle ČSN EN 1990 a spolehlivost, návrhová životnost, trvanlivost a robustnost se prověřuje rovněž podle této normy.
2.1.2 Zabezpečení spolehlivosti Žádané spolehlivosti ocelové konstrukce se dosáhne postupy uvedenými v normě ČSN EN 1993. Požadují-li se různé úrovně spolehlivosti, postupuje se podle ČSN EN 1990, příloha C (Zásady pro navrhování metodou dílčích součinitelů a pro analýzu spolehlivosti).
2.1.3 Návrhová životnost, trvanlivost a robustnost Návrhové životnosti v ČR stanoví ČSN EN 1990 v tab. 2.1 a NA (např. budovy a běžné stavby 80 let, mosty 100 let, méně dočasné, popř. zemědělské stavby). Tomu musí odpovídat návrh podle této normy (včetně případné únavy a mimořádných zatížení), ochrana proti korozi, opotřebení a konstrukce musí být řádně kontrolována a udržována. Pokud některé nosné prvky nemohou být navrženy na celkovou návrhovou životnost pozemní stavby (např. ložiska v oblastech zemních poklesů), má být možnost jejich bezpečné výměny ověřena jako dočasná návrhová situace.
2.2 Zásady navrhování podle mezních stavů Eurokód 3, podobně jako ostatní eurokódy, používá metodiku mezních stavů v souladu s ČSN EN 1990. Zjednodušené návrhové modely používají metodu dílčích součinitelů, kterou lze použít, jsou-li dodrženy požadavky na materiály a postupy uvedené v této normě.
2.3 Základní proměnné 2.3.1 Zatížení a vlivy prostředí Zatížení použitá v návrhu lze získat z příslušných částí ČSN EN 1991, které jsou v ČR k dispozici od roku 2008 v češtině. Jedná se o velmi rozsáhlý soubor norem, jež je pro praktické projektování nutné mít po ruce. Kombinace zatížení a dílčí součinitele spolehlivosti zatížení se stanoví podle ČSN EN 1990. Při nelineárních výpočtech (např. MKP) je možné použít přírůstkových metod pro návrhové zatížení příslušné návrhové situace. Všechna zatížení (stálá i proměnná) se přitom zvyšují úměrně. Pro zatížení působící při montáži se použije ČSN EN 1991-1-6. Uvažuje-li se sedání, použije se nejlepší odhad deformací a podobně jako předpětí se považuje za zatížení stálé. Při posudcích na únavu se zatížení, není-li definováno v ČSN EN 1991, stanoví podle ČSN EN 1993-1-9. 28
Zásady navrhování
2.3.2 Vlastnosti materiálu a výrobků Vlastnosti běžných ocelí jsou určeny v kap. 3 normy ČSN EN 1993. Pro jiné oceli a stavební výrobky se návrhové charakteristiky vezmou z příslušných norem EN, ETA nebo směrnic ETAG.
2.4 Ověření metodou dílčích součinitelů 2.4.1 Návrhové hodnoty vlastností materiálu Pro materiály (oceli, spojovací materiály) se při stanovení únosnosti používají jmenovité hodnoty podle tabulek normy ČSN EN 1993.
2.4.2 Návrhové hodnoty rozměrových dat Rozměry průřezů a systémů konstrukce se uvažují jako jmenovité hodnoty podle norem výrobků hEN, nebo z výrobních výkresů. Návrhové hodnoty imperfekcí jsou zavedeny jako náhradní geometrické imperfekce, které zahrnují všechny důležité imperfekce prvků a soustav. Zejména pokrývají počáteční průhyby a náklony patrových konstrukcí v důsledku výroby a montáže a reziduální pnutí od válcování a svařování.
2.4.3 Návrhové únosnosti Návrhová únosnost Rd ocelových konstrukcí se obecně určí podle ČSN EN 1990 a platí: Rd =
kde Rk
γM
Rk
γM
(2.1)
je charakteristická hodnota dílčí únosnosti průřezu nebo prvku, stanovená z hodnot charakteristické nebo jmenovité materiálové vlastnosti a rozměrů průřezu; globální dílčí součinitel spolehlivosti materiálu příslušné dílčí únosnosti.
2.4.4 Ověření statické rovnováhy (EQU) Postup ověření statické rovnováhy pozemních staveb je popsán v ČSN EN 1990, tab. A1.2(A).
2.5 Navrhování pomocí zkoušek Únosnosti v Eurokódu 3 byly stanoveny v souladu s ČSN EN 1990, příloha D (Navrhování pomocí zkoušek). Pokud se únosnost Rk výrobků stanovuje pomocí zkoušek, postupuje se statistickými metodami, přičemž charakteristická únosnost odpovídá přibližně 5 % kvantilu pro nekonečný počet zkoušek, popř. návrhová hodnota upravené směrné hodnotě indexu spolehlivosti αRβ.
29
Materiály
3 Materiály 3.1 Všeobecně Jmenovité hodnoty materiálových vlastností ocelí uvedených v této kapitole se považují za charakteristické. Oceli zde uvedené splňují požadavky pro návrh podle Eurokódu 3. Pro jiné oceli je nutné tyto požadavky (např. plastické vlastnosti, svařitelnost) prokázat.
3.2 Konstrukční oceli 3.2.1 Vlastnosti materiálu Hodnoty meze kluzu fy a pevnosti v tahu fu se berou podle tab. 1, popř. se přímo určují z normy hutního výrobku jako fy = Reh a fu = Rm.
3.2.2 Požadované plastické vlastnosti Konstrukční oceli mají mít po dosažení meze kluzu ještě dostatečnou plastickou rezervu. Požaduje se, aby platilo (materiály podle tab. 1 vyhovují): • fu /fy ≥ 1,10; • protažení při přetržení nejméně 15 % (viz obr. 1); • εu ≥ 15εy , kde εy je poměrné přetvoření při mezi kluzu (εy = fy /E).
Obr. 1 Vzorek pro tahovou zkoušku, měřená délka L = 5d (d je průměr tyče) Tab. 1 Jmenovité hodnoty meze kluzu fy a pevnosti v tahu fu konstrukčních ocelí válcovaných za tepla [Tab. 3.1 ČSN EN 1993-1-1] Norma a pevnostní třída oceli
Jmenovitá tloušťka prvku t [mm] t ≤ 40 mm
40 mm < t ≤ 80 mm fy [N/mm2] fu [N/mm2]
fy [N/mm2]
fu [N/mm2]
S235
235
360
215
360
S275
275
430
255
410
S355
355
510
335
470
S450
440
550
410
550
S275N/NL
275
390
255
370
S355N/NL
355
490
335
470
S420N/NL
420
520
390
520
S460N/NL
460
540
430
540
EN 10025-2
EN 10025-3
30
Materiály Tab. 1 pokračování Norma a pevnostní třída oceli
Jmenovitá tloušťka prvku t [mm] t ≤ 40 mm
40 mm < t ≤ 80 mm fy [N/mm2] fu [N/mm2]
fy [N/mm2]
fu [N/mm2]
S275M/ML
275
370
255
S355M/ML
355
470
335
450
S420M/ML
420
520
390
500
S460M/ML
460
540
430
530
S235W
235
360
215
340
S355W
355
510
335
490
460
570
440
550
S235H
235
360
215
340
S275H
275
430
255
410
EN 10025-4 360
EN 10025-5
EN 10025-6 S460Q/Q/QL1 EN 10210-1
S355H
355
510
335
490
S275NH/NLH
275
390
255
370
S355NH/NLH
355
490
335
470
S420NH/NLH
420
540
390
520
S460NH/NLH
460
560
430
550
S235H
235
360
S275H
275
430
S355H
355
510
S275NH/NLH
275
370
S355NH/NLH
355
470
S460NH/NLH
460
550
S275MH/MLH
275
360
S355MH/MLH
355
470
S420MH/MLH
420
500
S460MH/MLH
460
530
EN 10219-1
3.2.3 Lomová houževnatost Materiál musí mít dostatečnou lomovou houževnatost, aby se zabránilo křehkému lomu tažených prvků při nejnižší provozní teplotě během předpokládané návrhové životnosti konstrukce. V ČR je doporučeno uvažovat tuto teplotu Tmd = -35 ºC. Postup stanovení jakostního stupně oceli je uveden v ČSN EN 1993-1-10. Pro běžné konstrukce se obvykle určí největší napětí v konstrukci pro mimořádnou kombinaci zatížení σEd a referenční teplota TEd v místě potenciální trhliny. Z tab. 2 lze potom přímo pro danou tloušťku prvku zjistit požadovaný jakostní stupeň oceli: 31
Tab. 2 Největší přípustné tloušťky části v mm Značka oceli
Jakostní stupeň
Nárazová práce CVN při T [°C]
S235
JR
20
S275
S355
Jmin 27
[Tab. 2.1 ČSN EN 1993-1-10] Referenční teplota TEd [°C]
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
10
0
σEd = 0,75 fy(t) 60
50
40
35
30
-10
-20
-30
-40
-50
10
0
σEd = 0,50 fy(t) 25
20
90
75
65
55
90
45
-10
-20
-30
-40
-50
75
65
60
85
75
σEd = 0,25 fy(t) 40
35
135 115 100
85
J0
0
27
90
75
60
50
40
35
30
125 105
75
65
55
45
175 155 135 115 100
J2
-20
27
125 105
90
75
60
50
40
170 145 125 105
90
75
65
200 200 175 155 135 115 100
JR
20
27
55
45
35
30
25
20
15
80
70
55
50
40
35
30
125 110
80
70
60
55
J0
0
27
75
65
55
45
35
30
25
115
95
80
70
55
50
40
165 145 125 110
95
80
70
J2
-20
27
110
95
75
65
55
45
35
155 130 115
95
80
70
55
200 190 165 145 125 110
95
M,N
-20
40
135 110
95
75
65
55
45
180 155 130 115
95
80
70
200 200 190 165 145 125 110
ML,NL -50
27
185 160 135 110
95
75
65
200 200 180 155 130 115
95
230 200 200 200 190 165 145 95
95
JR
20
27
40
35
25
20
15
15
10
65
55
45
40
30
25
25
110
80
70
60
55
45
J0
0
27
60
50
40
35
25
20
15
95
80
65
55
45
40
30
150 130 110
95
80
70
60
J2
-20
27
90
75
60
50
40
35
25
135 110
95
80
65
55
45
200 175 150 130 110
95
80
K2,M,N -20
40
110
90
75
60
50
40
35
155 135 110
95
80
65
55
200 200 175 150 130 110
95
ML,NL -50
27
155 130 110
90
75
60
50
200 180 155 135 110
95
80
210 200 200 200 175 150 130
Tab. 2 pokračování Značka oceli
Jakostní stupeň
Nárazová práce CVN při T [°C]
S420
M,N
-20
S460
S690
Referenční teplota TEd [°C] 10
0
-10
-20
-30
-40
-50
10
0
σEd = 0,75 fy(t)
-10
-20
-30
-40
-50
10
0
σEd = 0,50 fy(t)
-10
-20
-30
-40
-50
85
σEd = 0,25 fy(t)
Jmin 40
95
80
65
55
45
35
30
140 120 100
70
60
50
200 185 160 140 120 100
ML,NL -50
27
135 115
95
80
65
55
45
190 165 140 120 100
85
70
200 200 200 185 160 140 120
85
Q
-20
30
70
60
50
40
30
25
20
110
95
75
65
55
45
35
175 155 130 115
95
80
70
M,N
-20
40
90
70
60
50
40
30
25
130 110
95
75
65
55
45
200 175 155 130 115
95
80
QL
-40
30
105
90
70
60
50
40
30
155 130 110
95
75
65
55
200 200 175 155 130 115
95
ML,NL -50
27
125 105
90
70
60
50
40
180 155 130 110
95
75
65
200 200 200 175 155 130 115
QL1
-60
30
150 125 105
90
70
60
50
200 180 155 130 110
95
75
215 200 200 200 175 155 130
Q
0
40
40
30
25
20
15
10
10
65
55
45
35
30
20
20
120 100
85
75
60
50
45
Q
-20
30
50
40
30
25
20
15
10
80
65
55
45
35
30
20
140 120 100
85
75
60
50
QL
-20
40
60
50
40
30
25
20
15
95
80
65
55
45
35
30
165 140 120 100
85
75
60
QL
-40
30
75
60
50
40
30
25
20
115
95
80
65
55
45
35
190 165 140 120 100
85
75 85
QL1
-40
40
90
75
60
50
40
30
25
135 115
95
80
65
55
45
200 190 165 140 120 100
QL1
-60
30
110
90
75
60
50
40
30
160 135 115
95
80
65
55
200 200 190 165 140 120 100
Materiály Příklad Prostý nosník IPE 500 z oceli S355 na rozpětí 10 m, zatížený stálým zatížením Gk = 27 kN/m a proměnným zatížením Qk = 15 kN/m. Napětí od mimořádné kombinace zatížení M y,Ed =
σ Ed =
1 1 ( Gk + ψ 1Qk ) L2 = ( 27 + 0,5 ⋅15 ) ⋅102 = 431, 25 kNm 8 8
M y,Ed Wy
=
431, 25 ⋅106 = 223, 6 MPa 1928 ⋅103
Referenční teplota přibližně (význam značení viz ČSN EN 1993-1-10) TEd = Tmd + ∆Tr + ∆Tσ + ∆TR + ∆Tε + ∆Tε ≈ − 35 − 5 + 0 + 0 + 0 + 0 = − 40 D C cf
Mez kluzu fy(t) prvku tloušťky t = 16 mm (tloušťka pásnice) f y (t ) = f y − 0, 25
t 16 = 355 − 0, 25 ⋅ = 351 MPa 1 t0
Poměr napětí k mezi kluzu
σ Ed =
223,6 f y ( t ) = 0,64 f y ( t ) 351
Z tab. 2 po interpolaci potom vyplývá potřebný jakostní stupeň oceli S355JR (vyhovuje do tloušťky 19,4 mm). Pro tlačené prvky, u nichž však může být tahové napětí od reziduálních pnutí, se doporučuje použít tab. 2 pro σEd = 0,25 fy(t).
3.2.4 Vlastnosti kolmo k povrchu V místech svarových spojů dochází zejména při jejich smršťování k namáhání, které může způsobit lamelární rozdvojení plechů. Zvláštní pozornost se má věnovat svařovaným přípojům nosníků na sloupy a přivařeným koncovým deskám, namáhaným tahem kolmo k povrchu. Obecně je proto nutné vybrat třídu jakosti ZRd > ZEd, v souladu s ČSN EN 10164. Požadovaná hodnota ZEd se určí postupem podle ČSN EN 1993-1-10. Tab. 3 Výběr tříd jakosti podle ČSN EN 10164
34
[Tab. 3.2 ČSN EN 1993-1-10]
Požadovaná hodnota ZEd podle ČSN EN 1993-1-10
Třída jakosti (hodnota ZRd) podle ČSN EN 10164
ZEd ≤ 10
(nepožadována)
10 < ZEd ≤ 20
Z 15
20 < ZEd ≤ 30
Z 25
ZEd > 30
Z 35
Materiály Příklad Spoj dvou plechů tloušťky 25 mm do tvaru T (obr. 2) vícevrstvými koutovými svary o účinné tloušťce a = 12 mm, zatížení plechu tahem kolmo k povrchu [viz tab. 3.2 ČSN EN 1993-1-10].
Obr. 2 Spoj dvou plechů do tvaru T ZEd = Za + Zb + Zc + Zd + Ze = 6 + 0 + 6 + 3 + 0 = 15 Za = 6
(vliv tloušťky svaru, podle normy Za = 0 až 15)
Zb = 0
(vliv tvaru spoje a počtu svarových housenek, Zb = -25 až 8)
Zc = 6
(vliv tloušťky plechu, Zc = 2 až 15)
Zd = 3
(vliv omezení smršťování jinou částí konstrukce, Zd = 0 až 5)
Ze = 0
(vliv předehřevu, Ze = 0 až -8)
V tomto případě je tedy požadován materiál se zlepšenými vlastnostmi ve směru kolmém k povrchu plechu Z 15.
3.2.5 Tolerance Tolerance rozměrů a hmotnosti ocelových průřezů mají být v souladu s příslušnou normou hutního výrobku, ETAG nebo ETA, pokud nejsou předepsány přísnější tolerance. Pro svařované části se mají uplatnit tolerance stanovené v ČSN EN 1090. Pro analýzu a navrhování konstrukce se používají jmenovité rozměry.
3.2.6 Návrhové hodnoty fyzikálních veličin ocelí Pro konstrukční oceli se zavádí běžné fyzikální hodnoty: • modul pružnosti v tahu a tlaku
E = 210 000 N/mm2
• modul pružnosti ve smyku
G=
• součinitel příčné deformace v pružné oblasti
ν = 0,3
• součinitel délkové tepelné roztažnosti
α = 12 · 10-6 / K (pro T ≤ 100 °C)
E ≈ 81000 N/mm2 2 (1 + ν )
(Při výpočtu účinků nerovnoměrných teplotních změn na spřažené ocelobetonové konstrukce podle ČSN EN 1994 se součinitel délkové tepelné roztažnosti uvažuje α = 10 · 10-6 / K).
35
Materiály
3.3 Spojovací prostředky 3.3.1 Mechanické spojovací prostředky Požadavky na mechanické spojovací prostředky jsou dány v ČSN EN 1993-1-8.
3.3.2 Přídavné materiály pro svařování Požadavky na přídavné materiály pro svařování jsou dány v ČSN EN 1993-1-8.
3.4 Jiné výrobky pro pozemní stavby Všechny ostatní částečně nebo zcela dokončené výrobky, použité při navrhování nosné konstrukce pozemních staveb, mají vyhovovat příslušným normám ČSN EN, ETAG nebo ETA.
36
Trvanlivost
4 Trvanlivost Z hlediska trvanlivosti konstrukce se mají dodržet příslušná ustanovení ČSN EN 1990 a ČSN EN 1090. Části náchylné ke korozi, mechanickému opotřebení nebo k únavě mají být navrženy tak, aby byla umožněna jejich kontrola, údržba a přestavba v průběhu životnosti konstrukce a aby byl zajištěn přístup pro jejich kontrolu a údržbu za provozu. Protikorozní ochrana vnitřních konstrukcí pozemních staveb není potřebná, jestliže relativní vlhkost není vyšší než 80 %. U částí pro kontrolu nepřístupných se musí uplatnit vhodný korozní přídavek. Pro konstrukce pozemních staveb se zpravidla nevyžaduje posouzení na únavu, kromě následujících případů: • prvky podpírající zvedací zařízení nebo pohyblivá zatížení; • prvky zatížené cyklickým opakovaným napětím od nevyvážených strojů; • prvky zatížené vibracemi od účinků větru; • prvky zachycující kmitání od pohybu osob.
37
Analýza konstrukce
5 Analýza konstrukce 5.1 Modelování konstrukce pro analýzu 5.1.1 Modelování konstrukce a základní předpoklady Analýza musí být založena na výpočetním modelu konstrukce, který je vhodný pro příslušný mezní stav a který dostatečně vystihuje chování průřezů, prvků, spojů a ložisek. Požadavky na modelování metodou konečných prvků (MKP) jsou uvedeny v ČSN EN 1993-1-5.
5.1.2 Modelování spojů Účinky chování spojů na rozdělení vnitřních sil v konstrukci a na celkové deformace konstrukce všeobecně mohou být zanedbány. Obecně se předpokládají 3 modely spojů: • kloubový spoj, u kterého lze předpokládat, že nepřenáší ohybové momenty; • tuhý spoj, u kterého lze v analýze předpokládat, že jeho tuhost a únosnost zajišťuje plnou spojitost prvků; • polotuhý spoj, jehož chování je třeba v analýze uvážit. Požadavky na různé typy spojů a jejich modely jsou uvedeny v ČSN EN 1993-1-8.
5.1.3 Interakce podloží a konstrukce Deformační charakteristiky podpěr se mají uvážit, pokud jsou významné. Návod na výpočet interakce podloží a konstrukce je uveden v ČSN EN 1997.
5.2 Globální analýza (výpočet vnitřních sil) 5.2.1 Účinky přetvořené geometrie konstrukce Druhy analýz ocelové konstrukce obecně popisuje tab. 4. Z hlediska uvážení účinků přetvořené geometrie lze postupovat lineárně (rovnice rovnováhy jsou sestaveny na počáteční geometrii konstrukce), nebo geometricky nelineárně. Geometricky nelineární analýza používá rovnice rovnováhy na deformované konstrukci a nelineární geometrické vztahy (přibližně lze použít lineární geometrické vztahy jako u lineární analýzy a řešení se potom nazývá teorie 2. řádu; naopak lineární analýza se označuje jako řešení 1. řádu). Tab. 4 Druhy analýz Druh analýzy Lineární pružnostní analýza (LA) Lineární bifurkační analýza (LBA) Geometricky nelineární pružnostní analýza (GNA) Materiálově nelineární analýza (MNA) Geometricky a materiálově nelineární analýza (GMNA) Geometricky nelineární pružnostní analýza s imperfekcemi (GNIA) Geometricky a materiálově nelineární analýza s imperfekcemi (GMNIA)
38
[Tab. 5.1 ČSN EN 1993-1-7] Ohybová teorie
Chování materiálu
Geometrie konstrukce
lineární
lineární
ideální
nelineární lineární nelineární
lineární nelineární nelineární
ideální ideální ideální
nelineární
lineární
imperfektní
nelineární
nelineární
imperfektní
Analýza konstrukce Účinky přetvořené geometrie (účinky druhého řádu) se mají uvažovat, jestliže jejich vliv na zvýšení účinků zatížení je významný, nebo když podstatně mění chování konstrukce (obvykle se používá pro řešení problémů stability, obloukové a lanové konstrukce). Běžnou analýzu prvního řádu (LA) lze použít, pokud zvýšení vnitřních sil nebo jiné změny v chování konstrukce vznikající v důsledku deformací lze zanedbat. Předpokládá se splnění této podmínky, je-li dodržen následující vztah:
α cr =
Fcr ≥ 10 FEd
pro pružnostní analýzu
α cr =
Fcr ≥ 15 FEd
pro plasticitní analýzu
(5.1)
kde αcr je součinitel, vyjadřující zvýšení návrhového zatížení pro dosažení ztráty stability v pružném stavu, který se získá běžným softwarem LBA (lineární bifurkační analýzou); FEd návrhové zatížení konstrukce; Fcr kritické zatížení pro celkové vybočení, vypočtené pro počáteční tuhosti v pružném stavu. Hodnota αcr = 10 je smluvní hodnotou, zajišťující 10násobnou bezpečnost proti ztrátě stability ideální konstrukce (v plasticitě je zvýšena na 15 v důsledku nelineárních vlastností materiálu v mezním stavu únosnosti při vytvoření plastických kloubů, nebo když se projeví významné nelineární deformace polotuhých spojů). Portálové rámy s mírným sklonem střechy (přibližně do 26º) a rovinnou konstrukci z nosníků a sloupů je možné v pozemních stavbách posuzovat analýzou prvního řádu, jestliže je podmínka (5.1) splněna pro každé podlaží. Pro tyto konstrukce je možné αcr vypočítat z následujícího přibližného vztahu, za předpokladu, že osový tlak v nosnících nebo krokvích není významný (viz dále): ⎛ H Ed ⎞ ⎛ h ⎟ ⎜⎜ ⎝ VEd ⎠ ⎝ δ H,Ed
α cr = ⎜
⎞ ⎟⎟ ⎠
(5.2)
kde HEd je návrhová hodnota vodorovné reakce v patě podlaží od vodorovných zatížení a fiktivních vodorovných zatížení od imperfekce (náklonu) soustavy, viz kap. 5.3.2; VEd celkové návrhové svislé zatížení konstrukce v patě podlaží; δH,Eh vodorovné posunutí horní úrovně podlaží vůči patě podlaží, při zatížení rámu vodorovnými silami (například od větru) a fiktivními vodorovnými silami, které působí ve všech úrovních stropů; h výška podlaží. Vztah (5.2) byl odvozen z momentové podmínky rovnováhy pro vybočení kloubového prutu pružně podepřeného na jednom konci (viz obr. 3 a 4), s malou tuhostí podepření: Vcr δ Ed = H Ed h
α cr =
Vcr H Ed h = VEd VEd δ H,Ed 39
Analýza konstrukce
Obr. 3 Označení pro vztah (5.2)
[Obr. 5.1 v ČSN EN 1993-1-1]
δ H,Ed Vcr < V E tuhost c < cL
VE =
π 2E I _____ 2 h
tuhost c > cL
HEd = δH,Ed c h H Ed Vcr
Vcr
Obr. 4 Odvození vztahu (5.2) Přibližně lze předpokládat, že osový tlak v nosnících nebo krokvích není významný, pokud je splněn vztah:
λ ≥ 0,3
A fy N Ed
(5.3)
kde NEd je návrhová hodnota tlakové síly;
λ
poměrná štíhlost pro vybočení v rovině, vypočtená pro nosník nebo krokev při uvažování kloubů na jejich koncích pro systémovou délku, měřenou podél nosníku nebo krokve.
V běžné globální analýze se neuvažuje vliv prokluzu ve šroubových dírách, spřahovacích trnech, kotevních šroubech apod., nejsou-li podstatné. Ve styku momentově namáhaných prvků pomocí čelních desek lze proto doporučit použití předpjatých šroubů.
5.2.2 Stabilita prutových konstrukcí Konstrukce splňující podmínky (5.1) lze označit jako „konstrukce řešené podle teorie 1. řádu“ a považovat jejich zatížení za tak nízké, že ke ztrátě stability prutů ani soustavy nedojde (při použití přibližného vztahu (5.2) musí vyhovovat stabilita prutů podle (5.3)). Prvky této konstrukce
40
Analýza konstrukce lze posoudit na prostý tlak, pokud podle kap. 6.3.1.2 platí Ncr/(γMNEd) ≥ 25. Konstrukce nesplňující podmínky (5.1) lze označit jako „konstrukce řešené podle teorie 2. řádu“ (viz obr. 5). Ověření stability konstrukcí řešených podle teorie 2. řádu vyžaduje zavedení imperfekcí. Při pružnostním řešení lze obecně postupovat třemi způsoby: a) Geometricky nelineárním řešením imperfektní konstrukce (GNIA). Účinky druhého řádu a imperfekcí (globálních i prutových) jsou potom zahrnuty ve výsledných vnitřních silách a posouzení jednotlivých tlačených a ohýbaných prutů se provede pouze na prostý tlak a prostý ohyb. Toto řešení je náročné na software, zavedení imperfekcí i vyhodnocení. b) Geometricky nelineárním řešením konstrukce s globální imperfekcí (obvykle náklonem konstrukce podle odst. 5.3). Posouzení jednotlivých prutů konstrukce se potom provede pro výsledné momenty a osové síly pro vzpěrné délky rovné systémovým délkám (např. výšce patra). Pro αcr ≥ 3 a odpovídá-li první vlastní tvar (získaný řešením kritických zatížení lineární bifurkační analýzou) vybočení styčníků, lze řešit účinky druhého řádu od posuvu styčníků přibližně metodou zvětšených sil. Pro jednoduché rámy a pravidelné vícepatrové skelety se vodorovné zatížení (např. od větru a globálních imperfekcí) zvýší součinitelem druhého řádu: 1 ≥1 (5.4) 1 1−
α cr
kde αcr se může vypočítat podle výrazu (5.2). Podle [1] však může být takové posouzení u prutů kde dominuje vzpěr prutů a nikoliv posun styčníků na straně nebezpečné. Autoři doporučují použít pro posouzení vzpěrné délky odpovídající globálnímu vybočení (viz c)); důkaz tohoto tvrzení však neuvádějí a příklad uvedený autorem v [3] tomu odporuje. c) Často se soustava řeší teorií I. řádu bez imperfekcí, určí se vzpěrné délky prutů podle globálního vybočení a na vzpěr se posoudí pro takto určené ekvivalentní pruty. Eurokód takové řešení předpokládá pouze pro „základní případy“. Aplikuje-li se totiž tento způsob pouze na sloupy, nejsou účinky 2. řádu zahrnuty v příčlích. Lze proto doporučit zvětšit jejich momenty od vodorovných posunů cca o 20 %. Konstrukce řešené podle teorie 1. řádu
α cr =
Fcr ≥ 10 FEd
Î prvky, pro něž platí: Ncr/(γMNEd) ≥ 25 lze posoudit na prostý tlak. Posouzení na systémové vzpěrné délky je konzervativní.
Konstrukce řešené podle teorie 2. řádu
α cr =
Fcr < 10 FEd δH
h Lcr ≤ h
nebo s posunem styčníků:
Lcr > h
Obr. 5 Stabilitní řešení konstrukcí (shrnutí)
41
Analýza konstrukce
5.3 Imperfekce 5.3.1 Zásady Analýza konstrukce musí zahrnovat vlivy výrobních a montážních imperfekcí (nedokonalostí) konstrukce. Zejména se jedná o vlivy počátečních deformací, reziduálních pnutí od válcování, tvarování a svařování a též různé excentricity v uložení a ve spojích. Eurokód je u prutových konstrukcí dovoluje nahradit ekvivalentními geometrickými imperfekcemi. Při návrhu konstrukcí se mají uvažovat následující imperfekce: • globální imperfekce konstrukční soustavy a výztužného systému; • lokální imperfekce jednotlivých prutů.
5.3.2 Imperfekce pro globální analýzu prutových konstrukcí Tvar zavedených imperfekcí (obecně v prostoru, tj. v rovině, z roviny, zkroucením) má být zaveden v nejnepříznivější podobě. Dá se ukázat, že obecně je takovým tvarem první vlastní tvar konstrukce („kritický tvar“) při lineární bifurkační analýze (LBA), běžně dostupným softwarem. Velikost (amplituda) imperfekcí je vhodně volena podle následujících článků. Pro prutové patrové konstrukce se ekvivalentní imperfekce vyjadřují ve tvaru počátečního naklonění konstrukce a imperfekcemi ve tvaru prohnutí jednotlivých prutů následovně: a) imperfekce soustavy ve tvaru celkového počátečního naklonění konstrukce, viz obr. 6:
φ = φ0αhαm
(5.5)
kde φ0
je základní hodnota φ0 = 1/200; redukční součinitel v závislosti na výšce sloupů h; 2 2 αh = ale ≤ α h ≤ 1, 0 ; 3 h h výška konstrukce v metrech;
αh
αm m
1⎞ ⎛ redukční součinitel pro počet sloupů v řadě: αm = 0,5 ⎜1 + ⎟ ; m⎠ ⎝ počet sloupů v řadě. Počítají se pouze sloupy, jejichž svislé zatížení NEd není menší než 50 % průměrného zatížení sloupů v posuzované svislé rovině.
Obr. 6 Ekvivalentní imperfekce ve tvaru počátečního naklonění [Obr. 5.2 v ČSN EN 1993-1-1]
42
Analýza konstrukce b) imperfekce prutů ve tvaru počátečního průhybu pro rovinný vzpěr, s hodnotami:
e0/L kde L
(5.6) je délka prutu.
Tyto imperfekce jsou uvedeny v tab. 5 a byly určeny tak, aby únosnost počátečně prohnutých prutů při výpočtu teorií 2. řádu byla shodná s únosností prutů počítaných přibližně se součiniteli vzpěrnosti, popř. klopení.
Tab. 5 Návrhové hodnoty imperfekcí ve tvaru počátečního prohnutí e0 / L [Tab. 5.1 ČSN EN 1993-1] Křivka vzpěrné pevnosti [tab. 6.1] (viz tab. 8)
Pružnostní analýza
Plasticitní analýza
a0
1/350
1/300
a
1/300
1/250
b
1/250
1/200
c
1/200
1/150
d
1/150
1/100
e0 /L
Pro prutové konstrukce pozemních staveb je možné imperfekce ve tvaru naklonění zanedbat, pokud je vodorovné zatížení konstrukce velké a platí:
HEd ≥ 0,15 VEd
(5.7)
Účinky imperfekcí soustavy (ve tvaru naklonění) se obvykle nahrazují soustavou náhradních vodorovných sil, působících na všechny sloupy, viz obr. 7.
V1
φ V1
V2
φ
≈
φ V2
V1 V2
Obr. 7 Imperfekce soustavy: náhradní vodorovné síly Imperfekce působí obdobně na diafragmata stropů a v prostoru je třeba zvážit i možnost protisměrného náklonu sousedních vazeb, způsobujících zkroucení konstrukce. Účinky imperfekcí prutů se v globální analýze většinou neuvažují a jejich vliv se zahrne při posouzení prutů na vzpěr a klopení pomocí součinitelů χ a χLT. Lokální imperfekce (podle kap. 5.3.4) se však musí zavést do globální analýzy spolu s imperfekcemi soustavy 43
Analýza konstrukce v případě prutových konstrukcí citlivých na účinky druhého řádu pro všechny tlačené prvky, jestliže jsou současně splněny následující podmínky: • alespoň na jednom konci prutu je ohybově tuhý přípoj (tzn. moment);
• λ > 0,5
A fy
(5.8)
N Ed
kde NEd je návrhová hodnota tlakové síly;
λ
poměrná štíhlost pro vybočení v rovině, stanovená pro prut s kloubovým uložením na koncích.
Pro praktický výpočet se imperfekce prutů obvykle nezavádějí počátečním průhybem, ale náhradním příčným zatížením se stejným účinkem podle obr. 8.
Obr. 8 Nahrazení lokálních imperfekcí náhradním zatížením
[Obr. 5.4 v ČSN EN 1993-1-1]
Místo separátních zavedení imperfekce soustavy a lokálních imperfekcí prutů lze pro globální analýzu zavést pro celou konstrukci tvar imperfekce podle kritického tvaru konstrukce (získaného z LBA) a velikost největší výchylky, tj. amplitudu e0, stanovit podle výše uvedených zásad ze vztahu:
ηinit = e0
N cr e N Rk ηcr = 02 ηcr " " ηcr,max E I ηcr,max E I λ
(5.9)
2
(
kde e0 = α λ − 0, 2
44
)
1−
χλ γ M1
M Rk N Rk 1 − χ λ 2
pro λ > 0, 2
(5.10)
Analýza konstrukce α ult,k je poměrná štíhlost konstrukce; α cr
λ=
α χ
je
(5.11)
NRk
imperfekce pro příslušnou křivku vzpěrné pevnosti, (viz tab. 8 a 9); součinitel vzpěrnosti pro příslušnou křivku vzpěrné pevnosti, určenou pro příslušný průřez, viz kap. 6.3.1; nejmenší násobitel soustavy osových sil NEd v prutech pro dosažení charakteristické únosnosti NRk v nejvíce osově namáhaném průřezu bez uvážení vzpěru; nejmenší násobitel soustavy osových sil NEd v prutech pro dosažení kritického vybočení v pružném stavu; charakteristická únosnost rozhodujícího průřezu v ohybu, například Mel,Rk nebo Mpl,Rk; charakteristická únosnost rozhodujícího průřezu při působení osové síly Npl,Rk;
" E I η cr, max
ohybový moment vyvolaný imperfekcí ηcr v rozhodujícím průřezu;
ηcr
tvar kritického vybočení konstrukce v pružném stavu.
αult,k αcr MRk
306
29,6
275
275
275
275
4 200
32,6
11 400
306
3 600
18,8
3 600
Na obr. 9 je uveden příklad příhradové věže (zatížení včetně imperfekcí v [kN]), kritický tvar vybočení má αcr = 6,17 a pro konkrétní data sloupu z HE 160 B je vypočítaná amplituda podle vztahu (5.9).
e0
6 000
Obr. 9 Příklad jednotné imperfekce podle kritického tvaru 2
(
e0 = α λ − 0, 2
) MN
Rk
χλ 1− γ M1
Rk
1− χ λ
2
=
0,88 ⋅ 0,502 83, 2 ⋅10 1.00 = 0,34 ⋅ ( 0,50 − 0, 2 ) ⋅ ⋅ = 8,5 mm 996, 4 ⋅103 1 − 0,88 ⋅ 0,502 6
1−
Je však zřejmé, že následné zavedení do nelineárního výpočtu není snadné. 45
Analýza konstrukce Je třeba uvést, že konstrukce s touto imperfekcí dává nejnižší únosnost konstrukce s danými parametry (zatížením, průřezy), ale jakákoliv jejich změna vyžaduje nový výpočet (může se změnit i kritický tvar tak, že vybočuje jiný prvek), zejména pokud jsou hodnoty αcr vyšších vlastních tvarů rovněž nižší než 10.
5.3.3 Imperfekce pro analýzu výztužného systému Výztužný systém představuje např. příčné ztužení ve střešní rovině, které zajišťuje příčnou stabilitu tlačených pásů vazníků. Účinky imperfekcí lze vyjádřit pomocí ekvivalentní geometrické imperfekce vyztužovaných prvků ve tvaru počátečního prohnutí: e0 = αmL /500
(5.12)
kde L
je rozpětí výztužného systému; 1⎞ ⎛ α m = 0,5 ⎜1 + ⎟ m⎠ ⎝ m počet vyztužovaných prutů.
Místo prohnutí prutů podepřených výztužným systémem je však obvyklé zavést ekvivalentní stabilizující zatížení podle obr. 10: e0 + δ q qd = ∑ N Ed 8 (5.13) L2 kde δq je průhyb výztužného systému v rovině od zatížení q a všech vnějších zatížení, vypočtených podle analýzy prvního řádu (δ q = 0, počítá-li se teorií 2. řádu). Sílu NEd v tlačených pásnicích nosníků (obr. 10), které výztužný systém stabilizuje, lze pro plnostěnné i příhradové nosníky stanovit přibližně jako konstantní z výrazu: NEd = MEd/h + N’Ed /2
(5.14a)
kde MEd je největší moment na nosníku (popř. tlaková osová síla N‘Ed); h celková výška nosníku; e0 imperfekce; ekvivalentní síla na jednotku délky; qd 1 výztužný systém.
Obr. 10 Ekvivalentní stabilizující síla
46
[Obr. 5.6 v ČSN EN 1993-1-1]
Analýza konstrukce Aplikace stanovení této imperfekce pro výztužný systém ze tří příhradových nosníků střechy haly je uvedena na obr. 6. vaznice 8 x 3 = 24 m
příčel IPE 550
10 x 6 = 60 m
Obr. 11 Půdorys střechy s výztužným systémem, jeho deformace od jednotkového zatížení, imperfekce a náhradní zatížení Z výpočtu příčných vazeb plyne MEd = 362 kNm, síla v tlačené pásnici NEd = MEd/h = 679,4 kN, vnější zatížení na jeden nosník výztužného systému qd,ext = 3,70 kN/m, počet vyztužovaných pásnic m = 11/3 = 3,67. Odtud ⎛ ⎝
α = 0,5 ⎜1 +
1⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎟ = 0,5 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ = 0,80 m⎠ ⎝ 3, 67 ⎠
e0 = α m L / 500 = 0,80 ⋅ 24000 / 500 = 38, 4 mm
Stanovení průhybu δq vyžaduje iterační výpočet, resp. vhodný odhad s ověřením. Pro odhad δq(0) ≈ L/500 = 48 mm vychází: qd = ∑ N Ed 8
e0 + δ q (0) L2
(
)
= 3, 67 ⋅ 679, 4 ⋅103 ⋅ 8 ⋅
38, 4 + 48, 0 = 2,99 N/mm 240002
Kontrolně pro δq(0) vychází:
δ q(1) = ( qd + qd,ext ) δ q (q =1) = ( 3, 70 + 2,99 ) ⋅ 4,5 = 30,1 mm
> δq(0) = 48 mm
Odhad byl konzervativní a stanovené náhradní příčné zatížení lze použít k analýze výztužného systému. Norma rovněž stanovuje postup pro posouzení prutů zajišťujících stabilitu jiných prutů. Požaduje se přenesení síly NEd /100, viz obr. 12.
47
Analýza konstrukce
Obr.12 Místní síly zajišťující stabilitu tlačených prutů
[Obr. 5.7a v ČSN EN 1993-1-1]
5.3.4 Imperfekce prutů Účinky imperfekcí prutů jsou zahrnuty při posudcích vzpěrné únosnosti a klopení v součinitelích χ a χLT, viz kap. 6.3. Pokud jsou imperfekce prutů zaváděny do analýzy druhého řádu, uvažují se pro tlačené pruty hodnoty e0,d podle kap. 5.3.2 a pro ohýbané nosníky ekvivalentní prohnutí ve směru osy nejmenší tuhosti 0,5e0,d (imperfekce ve tvaru zkroucení lze zanedbat).
5.4 Metody analýzy s uvážením nelinearity materiálu 5.4.1 Všeobecně Vnitřní síly lze vypočítat pomocí: • pružnostní globální analýzy; • plasticitní globální analýzy. Pružnostní globální analýzu lze použít vždy, ale řešení má smysl pouze do dosažení meze kluzu v nejvíce namáhaném vláknu konstrukce. Plasticitní globální analýza může být použita pouze tehdy, jestliže má konstrukce postačující rotační kapacitu pro skutečné vytvoření plastických kloubů v prutech nebo ve spojích. V místě plastického kloubu má mít prut osu symetrie shodnou s rovinou rotace plastického kloubu (jinak dochází k nekontrolovanému zkroucení), materiál musí splňovat podmínky kap. 3.2.2; dále musí být splněny požadavky specifikované v 5.6.
5.4.2 Pružnostní globální analýza Pružnostní globální analýzu lze použít i v případě, že posouzení průřezů je plastické (jsou-li třídy 1 nebo 2), nebo je-li jejich únosnost omezena lokálním boulením (jsou-li třídy 4), viz kap. 6.2.
5.4.3 Plasticitní globální analýza Vnitřní síly v konstrukci lze řešit následujícími plasticitními analýzami: • pružnoplasticitní analýzou, předpokládající vytvoření plastických kloubů v nejvíce namáhaných průřezech, popř. spojích; • nelineární plasticitní analýzou, s uvažováním rozvoje plastizovaných zón (vyžaduje softwarové řešení, obvykle MKP);
48
Analýza konstrukce • tuhoplasticitní analýzou, předpokládající vytvoření plastických kloubů a zanedbávající pružné chování konstrukce mezi plastickými klouby. K použití plasticitní globální analýzy musí mít pruty (spoje) v místě vytváření plastických kloubů postačující rotační kapacitu, umožňující redistribuci ohybových momentů, viz kap. 5.5 a 5.6. V místech plastických kloubů musí být zajištěna stabilita prutů v souladu s kap. 6.3.5. Obecně je nutné ověřit podle kap. 5.2 účinky 2. řádu a stabilitu prvků a celé konstrukce. Pro analýzu lze použít pracovní diagramy ocelí podle obr. 12. Pro běžné oceli je dostačující bilineární závislost.
Obr. 12 Modelování chování oceli
5.5 Klasifikace průřezů 5.5.1 Zásady Cílem klasifikace průřezů je určit, v jakém rozsahu lokální boulení omezuje únosnost a rotační kapacitu průřezů.
5.5.2 Klasifikace Definují se 4 třídy průřezů: • třída 1 – umožňuje vytvořit plastické klouby s rotační kapacitou požadovanou při plasticitním výpočtu, tzn. umožňuje redistribuci momentů u staticky neurčitých konstrukcí; • třída 2 – umožňuje vytvořit plastický kloub, tzn. přenesení plastického momentu, ale neumožňuje redistribuci momentů v důsledku malé rotační kapacity; • třída 3 – umožňuje dosažení meze kluzu v krajních vláknech průřezu a přenesení pružného momentu únosnosti, ale v důsledku lokálního boulení není možné dosáhnout plastický moment únosnosti; • třída 4 – v důsledku lokálního boulení není možné dosáhnout mez kluzu v jedné nebo více částech průřezu. 49
Analýza konstrukce Klasifikace průřezu závisí na štíhlosti tlačených částí stěn průřezu, tj. poměru šířky a tloušťky tlačených částí. Je proto závislá na namáhání, resp. zatížení a může se lišit pro jednotlivé kombinace zatížení. Zatřídění průřezů je uvedeno v tab. 6 (části nesplňující požadavky pro třídu 3 se považují za průřezy třídy 4). Jednotlivé tlačené části průřezu (stojina, pásnice) mohou být obecně zařazeny v různých třídách. Průřez jako celek se obvykle klasifikuje podle nejvyšší (nejnepříznivější) třídy. Při posouzení průřezů třídy 4 (jejichž tlačené části boulí) se použije ČSN EN 1993-1-5. Obvykle se zavádí tzv. účinný průřez, stanovený pomocí součinitelů boulení. Alternativně je umožněno počítat i s původním plným průřezem, tzv. metodou redukovaných napětí (může být výhodná u složitých konstrukcí řešených MKP). Průřezy třídy 4 málo namáhané, s největším návrhovým tlakovým napětí v prvku σcom,Ed, lze považovat za průřezy třídy 3, jestliže poměr šířky a tloušťky je menší než krajní hodnota v tab. 6 pro třídu 3, když ε se fy / γ M 0 . zvýší vynásobením
σ com,Ed
Průřezy se stojinou třídy 3 a pásnicemi třídy 1 nebo 2 je možné klasifikovat jako třídu 2 s účinnou stojinou stanovenou podle kap. 6.2.2.4.
50
Analýza konstrukce Tab. 6 (list 1 z 3) Největší poměry šířky a tloušťky tlačených částí
[Tab. 5.2 ČSN EN 1993-1]
Vnitřní tlačené části
c
c
c
t
t
c
Osa ohybu
t
t
t c
t
t
t
c
c
Osa ohybu
c Třída průřezu
Ohýbaná část
Tlačená část
fy
Rozdělení napětí v částech (tlak má znaménko +)
Tlačená a ohýbaná část fy
fy
+
+
+ c
-
αc
c
fy
fy
-
fy
α >0,5 : c/t ≤ c/t ≤ 72ε
1
c/t ≤ 33ε
396ε 13α − 1
α ≤ 0,5 : c/t ≤ α >0,5 : c/t ≤ c/t ≤ 83ε
2
c/t ≤ 38ε
fy
fy
3
α
41,5ε
α
fy
+
+ c
+
c/2
-
36ε
456ε 13α − 1
α ≤ 0,5 : c/t ≤
Rozdělení napětí v částech (tlak má znaménko +)
c
-
c
c
ψ fy
fy
c/t ≤ 124ε
c/t ≤ 42ε
ψ > -1: c/t ≤
42ε 0, 67 + 0,33ψ
ψ ≤ -1*) : c/t ≤ 62ε (1 - ψ)
ε = 235 / f y
(−ψ )
fy
235
275
355
420
460
ε
1,00
0,92
0,81
0,75
0,71
*) ψ ≤ -1 platí pro napětí v tlaku σ ≤ fy , nebo pro poměrné přetvoření εy > fy /E
51
Analýza konstrukce Tab. 6 (list 2 z 3) Největší poměry šířky a tloušťky tlačených částí
[Tab. 5.2 ČSN EN 1993-1]
Přečnívající části pásnic
c
c
c
t
t
t
t
Válcované průřezy Třída průřezu
c
-
1
c/t ≤ 9ε
2
c/t ≤ 10ε
c/t ≤
αc
αc
+
+ -
c
9ε
c/t ≤
α 10ε
c/t ≤
α
9ε
α α 10ε
α α
+
-
c
tažený konec
c
c/t ≤
+
c
c
c/t ≤ 21ε kσ
c/t ≤ 14ε
3
ε = 235 / f y
Tlačená a ohýbaná část tlačený konec
+
Rozdělení napětí v částech (tlak má znaménko +)
52
Svařované průřezy
Tlačená část
Rozdělení napětí v částech (tlak má znaménko +)
c
kσ se určí podle EN 1993-1-5
fy
235
275
355
420
460
ε
1,00
0,92
0,81
0,75
0,71
Analýza konstrukce
Tab. 6 (list 3 z 3) Největší poměry šířky a tloušťky tlačených částí
[Tab. 5.2 ČSN EN 1993-1]
Úhelníky h
Viz také „Přečnívající části pásnic“ (list 2 z 3)
t
Třída průřezu
Nepoužívá se pro úhelníky spojitě spojené s jinými prvky
b
Tlačený průřez
+
Rozdělení napětí po průřezu (tlak má znaménko +)
fy
+ h/t ≤ 15ε:
3
b+h ≤ 11,5ε 2t
Trubky t
d
Třída průřezu
Ohýbaný anebo tlačený průřez
1
d/t ≤ 50ε2
2
d/t ≤ 70ε2
3
d/t ≤ 90ε2 Poznámka: Pro d/t > 90ε2 viz EN 1993-1-6.
ε = 235 / f y
fy
235
275
355
420
460
ε
1,00
0,92
0,81
0,75
0,71
ε2
1,00
0,85
0,66
0,56
0,51
53
Analýza konstrukce
5.6 Požadavky na průřezy při plasticitní globální analýze Pruty mají mít v místech plastických kloubů rotační kapacitu, která postačuje pro vytvoření plastického kloubu. To lze předpokládat, pokud: • prut má v místě plastického kloubu průřez třídy 1; • jestliže stojina v místě plastického kloubu přenáší příčnou sílu větší než 10 % únosnosti průřezu ve smyku (viz kap. 6.2.6), mají být provedeny výztuhy stojiny do vzdálenosti h/2 od místa plastického kloubu, kde h je výška průřezu v tomto místě. Pro pruty s proměnným průřezem jsou tyto podmínky normou žádány pro okolí plastického kloubu do vzdálenosti 2d, kde d je výška stojiny průřezu. V místě plastického kloubu není vhodné oslabovat průřez otvory pro šrouby, popř. je nutné splnit podmínku vztahu (6.16). Pokud je použita GMNIA s reálným pracovním diagramem (σ – ε), včetně účinků lokálního boulení, vzpěru prutů a globálního vybočení, není nutné požadavky na průřez respektovat (takové řešení vyžaduje softwarové řešení MKP).
54
Mezní stavy únosnosti
6 Mezní stavy únosnosti 6.1 Všeobecně Dílčí součinitele spolehlivosti materiálu γM, definované v kap. 2.4.3, se pro pozemní stavby v ČR uvažují pro různé charakteristické hodnoty únosnosti v této kapitole následovně: • únosnost průřezů kterékoliv třídy γM0 = 1,00; • únosnost průřezů při posuzování stability prutů γM1 = 1,00; • únosnost průřezů při porušení oslabeného průřezu v tahu γM2 = 1,25; • únosnost spojů viz ČSN EN 1993-1-8. Další hodnoty dílčích součinitelů materiálu jsou uvedeny v normách ČSN EN 1993-2 až ČSN EN 1993-6.
6.2 Únosnost průřezů 6.2.1 Všeobecně Návrhová hodnota účinku zatížení ve všech částech průřezu nesmí překročit odpovídající návrhovou únosnost. Jestliže několik účinků zatížení působí současně, nesmí jejich kombinovaný účinek překročit únosnost při této kombinaci. Návrhové hodnoty únosnosti se určují v závislosti na klasifikaci průřezu. Pokud má průřez široké pásnice (b0 > Le/50, kde b0 je přečnívající část pásnice nebo polovina šířky vnitřní části a Le je délka mezi body s nulovým momentem), zavádí se pružná účinná šířka s pro účinek smykového ochabnutí podle ČSN EN 1993-1-5. Podle stejné normy se posuzují průřezy třídy 4, jejichž části lokálně boulí. Pružné posouzení lze provést pro všechny třídy průřezů, včetně třídy 4 (počítá-li se s účinným průřezem), je ovšem konzervativní. Takové posouzení vychází obecně z Misesovy podmínky plasticity ve tvaru: ⎛ σ x,Ed ⎜⎜ ⎝ fy / γ M 0
kde σx,Ed
σz,Ed τEd
2
⎞ ⎛ σ z,Ed ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ fy / γ M0
2
⎞ ⎛ σ x,Ed ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ fy / γ M 0
⎞ ⎛ σ z,Ed ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ fy / γ M 0
2
⎞ ⎛ τ Ed ⎞ ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 1 ⎠ ⎝ fy / γ M 0 ⎠
(6.1)
je návrhová hodnota podélného normálového napětí v uvažovaném bodu; návrhová hodnota příčného normálového napětí v uvažovaném bodu; návrhová hodnota smykového napětí v uvažovaném bodu.
Pro všechny třídy průřezu je možné použít konzervativní lineární sumaci složek využití průřezu pro všechny složky namáhání. Pro průřezy třídy 1, 2 nebo 3, namáhané např. kombinací NEd, My,Ed a Mz,Ed, lze v tomto případě použít vztah: N Ed M y,Ed M z,Ed + + ≤1 N Rd M y,Rd M z,Rd
kde NRd, My,Rd a Mz,Rd
jsou
(6.2) návrhové hodnoty únosnosti, určené v závislosti na klasifikaci průřezu, včetně jejich redukce v důsledku účinků smyku, viz kap. 6.2.8. 55
Mezní stavy únosnosti Vztahy (6.1) a (6.2) je nutné aplikovat pro průřezy třídy 3 a 4 (u průřezů třídy 4 s účinnými charakteristikami). U nesouměrných průřezu třídy 4 se musí do vztahu (6.2) zavést momentový účinek normálové síly na excentricitě eN (viz kap. 6.2.9.3). Plastické posouzení únosnosti průřezů třídy 1 a 2 vychází z rozdělení napětí která nepřekračují mez kluzu, jsou v souladu s vyvolanými plastickými deformacemi a jsou v rovnováze s vnitřními silami.
Eurokód 3 umožňuje i zjednodušená posouzení průřezů. Např. je možné za nejvíce namáhaná vlákna považovat vlákna ve střední rovině pásnic. Při posouzení na únavu se postupuje podle ČSN EN 1993-1-9. U průřezů třídy 3 dovoluje Eurokód využít částečnou plastizaci tažené části průřezu, dokud není dosaženo únosnosti tlačených vláken.
6.2.2 Vlastnosti průřezu 6.2.2.1 Neoslabený průřez
Charakteristiky neoslabeného průřezu vycházejí z jmenovitých rozměrů (případné neprůběžné příložky se do průřezu neuvažují). 6.2.2.2 Oslabená plocha
Průřezové charakteristiky oslabeného průřezu se získají odečtením ploch jednotlivých otvorů pro spojovací prostředky. U otvorů pro zapuštěné spojovací prostředky se má přiměřeně uvážit tvar zapuštění. Jestliže otvory pro spojovací prostředky nejsou vystřídané, má se celková plocha oslabení určit jako největší součet průřezových ploch otvorů v libovolném řezu kolmém k ose prutu (viz obr. 13, čára porušení 2). Jestliže jsou otvory pro spojovací prostředky vystřídané, má se celková plocha oslabení určit jako větší z hodnot: • oslabení pro nevystřídané otvory; ⎛ s2 ⎞ (6.3) • t ⎜ n d0 − ∑ ⎟ 4p ⎠ ⎝ kde s je rozteč vystřídaných otvorů, která se rovná vzdálenosti středů dvou otvorů v sousedních řadách, měřená rovnoběžně s osou prutu (viz obr. 13); p rozteč středů dvou otvorů v sousedních řadách, měřená kolmo k ose prutu; t tloušťka; n počet otvorů v libovolné šikmé nebo lomené čáře po šířce prutu nebo části prutu; d0 průměr otvoru.
U úhelníků nebo jiných profilů s otvory ve více než jedné rovině, se má rozteč p měřit uprostřed tloušťky materiálu, viz obr. 14.
56
Mezní stavy únosnosti
Obr. 13 Vystřídané otvory
[Obr. 6.1 v ČSN EN 1993-1-1]
Obr. 14 Úhelník s otvory
[Obr. 6.2 v ČSN EN 1993-1-1]
6.2.2.3 Účinky smykového ochabnutí
Pro průřezy se širokými pásnicemi (se šířkou větší než je uvedeno v kap. 6.2.1) se zavádí v tlačené i tažené oblasti pružná účinnás šířka z hlediska smykového ochabnutí podle ČSN EN 1993-1-5. U průřezů třídy 4 se uvažuje podle stejné normy účinnáp plocha při boulení částí v tlaku, případně interakce smykového ochabnutí a lokálního boulení v tlačených pásnicích. Při návrhu tenkostěnných za studena tvarovaných profilů se postupuje podle ČSN EN 1993-1-3. 6.2.2.4 Účinné vlastnosti průřezů se stojinou třídy 3 a pásnicemi třídy 1 nebo 2
Někdy je výhodné průřez se stojinou třídy 3 a pásnicemi třídy 1 nebo 2 klasifikovat celkově jako průřez třídy 2 (viz kap. 5.5.2). Účinný průřez se potom stanoví v souladu s obr. 15. Tlačená část stojiny se nahradí částí o výšce 20 ε tw přiléhající k tlačené pásnici a další částí o výšce 20ε tw, umístěné u plastické neutrální osy.
1 tlak 3 plastická neutrální osa 2 tah 4 zanedbaná část stojiny Obr. 15 Stojina účinného průřezu třídy 2
[Obr. 6.3 v ČSN EN 1993-1-1] 57
Mezní stavy únosnosti 6.2.2.5 Účinné vlastnosti průřezů třídy 4
Účinné vlastnosti průřezu třídy 4 se stanoví na základě účinných ploch p jeho tlačených částí podle ČSN EN 1993-1-5, u za studena tvarovaných profilů podle ČSN EN 1993-1-3. U nesymetrických tlačených průřezu dochází při namáhání osovou silou k posunu těžiště účinnýchp ploch Aeff od těžiště plného průřezu a tento posun eN vyvolává přídavný moment
∆MEd = NEd
(6.4)
Kruhové duté průřezy třídy 4 se řeší podle ČSN EN 1993-1-6.
6.2.3 Tah Návrhová hodnota tahové síly NEd musí v každém průřezu splňovat podmínku N Ed ≤ 1, 0 N t,Rd
(6.5)
Pro průřezy s otvory se návrhová únosnost v tahu Nt,Rd stanoví jako menší z hodnot: a) návrhová plastická únosnost neoslabeného průřezu (z meze kluzu) A fy
N pl,Rd =
γ M0
(6.6)
b) návrhová únosnost průřezu oslabeného otvory pro spojovací prostředky (z oslabeného průřezu a meze pevnosti) N u,Rd =
0,9 Anet f u
γ M2
(6.7)
Při požadavku na návrh na únosnost podle ČSN EN 1998 má být návrhová plastická únosnost Npl,Rd podle vztahu a) menší než návrhová únosnost průřezu oslabeného otvory pro spojovací prostředky Nu,Rd podle vztahu b). U třecích spojů kategorie C (viz ČSN EN 1993-1-8, 3.4.2(1)) se návrhová únosnost v tahu Nt,Rd pro průřezy oslabené otvory pro spojovací prostředky počítá z oslabené plochy a meze kluzu N net,Rd =
Anet f y
γ M0
(6.8)
Únosnost úhelníků připojených excentricky jedním ramenem se stanoví podle ČSN EN 1993-1-8, články 3.10.3 a 3.10.4 (podle počtu šroubů, případně lze užít přípojný úhelník). Obdobně se má postupovat u jiných typů průřezů s nepřipojenými odstávajícími částmi.
6.2.4 Tlak Návrhová hodnota tlakové síly NEd musí v každém průřezu splňovat podmínku N Ed ≤ 1, 0 N c,Rd
58
(6.9)
Mezní stavy únosnosti Návrhová únosnost průřezu v prostém tlaku Nc,Rd se má stanovit z výrazu A fy
N c,Rd =
γ M0 Aeff f y
N c,Rd =
γ M0
pro průřezy třídy 1, 2 nebo 3
(6.10)
pro průřezy třídy 4
(6.11)
Vyplněné otvory pro spojovací prostředky se v tlačených prutech nemusí uvažovat, kromě nadměrných a oválných otvorů, definovaných v ČSN EN 1090. U nesymetrických průřezů třídy 4 se uvažuje podle kap. 6.2.9.3 přídavný moment ∆MEd, plynoucí z posunu těžišťové osy účinného průřezu p (viz též kap. 6.2.2.5).
6.2.5 Ohybový moment Návrhová hodnota ohybového momentu MEd musí v každém průřezu splňovat podmínku M Ed ≤ 1, 0 M c,Rd
(6.12)
kde Mc,Rd se určí s uvážením otvorů pro spojovací prostředky (viz dále). Návrhová únosnost v ohybu k některé hlavní ose průřezu se stanoví z výrazů M c,Rd = M pl,Rd =
M c,Rd = M el,Rd = M c,Rd =
Wpl f y
γ M0 Wel,min f y
Weff,min f y
γ M0
γ M0
pro průřezy třídy 1 a 2 (plastické rozdělení napětí)
(6.13)
pro průřezy třídy 3 (pružné rozdělení napětí)
(6.14)
průřezy třídy 4 (pružné rozdělení napětí na účinném průřezu) (6.15)
kde Wel,min a Weff,min odpovídají vláknům s největším pružným napětím. Otvory pro spojovací prostředky v tažené pásnici je možné zanedbat, jestliže je pro taženou pásnici splněna podmínka Af,net 0,9 f u
γ M2 kde Af
≥
Af f y
γ M0
(6.16)
je plocha tažené pásnice.
Obdobně lze zanedbat otvory pro spojovací prostředky v tažené části stojiny, jestliže je tato podmínka splněna v celé tažené oblasti, zahrnující taženou pásnici i taženou část stojiny. Vyplněné otvory pro spojovací prostředky je možné v tlačené oblasti průřezu zanedbat, kromě nadměrných a oválných otvorů. Při šikmém ohybu (ohybu okolo obou os průřezu) se postupuje podle kap. 6.2.9.
59
Mezní stavy únosnosti
6.2.6 Smyk Návrhová hodnota smykové síly VEd musí v každé části průřezu splňovat podmínku VEd ≤ 1, 0 Vc,Rd
(6.17)
kde Vc,Rd je návrhová únosnost ve smyku. Při plastickém posouzení se návrhová plastická únosnost Vc,Rd stanoví z předpokladu rovnoměrného rozložení návrhové smykové únosnosti po smykové ploše Av Vpl,Rd =
(
Av f y / 3
)
γ M0
(6.18)
Smyková plocha Av se může uvažovat následovně: a) válcované I a H průřezy, zatížené rovnoběžně se stojinou A – 2b t f + (tw + 2r) t f ale ne méně než η h w t w ; b) válcované U průřezy, zatížené rovnoběžně se stojinou A – 2b t f + (tw + r) t f ; c) válcované T průřezy, zatížené rovnoběžně se stojinou 0,9(A – b t f); d) svařované I, H a pravoúhlé duté průřezy, zatížené rovnoběžně se stojinami η ∑ ( hw tw ) e) svařované I, H, U a pravoúhlé duté průřezy, zatížené rovnoběžně s pásnicemi: A – ∑ ( hw tw ) f) válcované pravoúhlé duté průřezy s konstantní tloušťkou stěny o zatížené rovnoběžně s výškou: Ah/(b+h) o zatížené rovnoběžně se šířkou: Ab/(b+h) g) kruhové duté průřezy s konstantní tloušťkou stěny: 2A/π kde A je průřezová plocha; b celková šířka; h celková výška; hw výška stojiny; r poloměr zaoblení; tf tloušťka pásnice; tw tloušťka stojiny (jestliže není konstantní, má se uvažovat nejmenší tloušťka); η viz ČSN EN 1993-1-5. Pro oceli do třídy S460 se v ČR uvažuje hodnota η = 1,20, pro vyšší třídy ocelí η = 1,00. Při pružném posouzení, neposuzuje-li se boulení ve smyku podle ČSN EN 1993-1-5 (viz dále), lze posoudit návrhové pružné smykové napětí podle vztahu fy
60
(
τ Ed 3 γ M0
)
≤ 1, 0
(6.19)
Mezní stavy únosnosti kde τEd lze určit ze vztahu
τ Ed =
VEd S It
(6.20)
kde VEd je návrhová hodnota smykové síly; S statický moment připojované plochy k těžišťové ose průřezu; I moment setrvačnosti celého průřezu; t tloušťka stojiny nebo pásnice v posuzovaném místě. Pro I a H průřezy lze smykové napětí ve stojině počítat pro rovnoměrně rozložené napětí:
τ Ed = kde Af Aw
VEd Aw
pokud Af/Aw ≥ 0,6 (tzn. nelze např. pro T průřez)
(6.21)
je plocha jedné pásnice; plocha stojiny, Aw = hw tw.
Boulení ve smyku podle ČSN EN 1993-1-5 se posuzuje pro velké štíhlosti nevyztužených stojin a vždy pro stojiny s výztuhami. Pro stojiny bez mezilehlých výztuh se nemusí posuzovat, pokud štíhlost: hw ε > 72 η tw
(6.22)
Součinitel η je uveden u vztahu (6.18), konzervativně lze brát 1,00. Otvory pro spojovací prostředky není nutné při posuzování smyku uvažovat, kromě ověřování návrhové smykové únosnosti oblastí spoje podle ČSN EN 1993-1-8. Při kroucení se plastická smyková únosnost Vpl,Rd redukuje podle kap. 6.2.7.
6.2.7 Kroucení Eurokód 3 uvádí základní vztahy pro posouzení prutů s tuhým průřezem podle Vlasova (tzn. u nichž nedochází k distorzi příčného řezu). Pro návrhovou hodnotu krouticího momentu TEd má ve všech průřezech platit TEd ≤ 1, 0 TRd
(6.23)
kde TRd je návrhová únosnost průřezu v kroucení. Celkový krouticí moment TEd lze pro otevřené i uzavřené průřezy (podle Vlasovovy teorie vázaného kroucení) stanovit jako
TEd = Tt,Ed + Tw,Ed
(6.24)
kde Tt,Ed je moment prostého kroucení (St. Venantův); Tw,Ed moment ohybového kroucení.
61
Mezní stavy únosnosti Obvykle se hodnoty Tt,Ed a Tw,Ed stanoví pro pružné rozdělení napětí, na základě uvážení průřezových vlastností prutu, podmínek podepření prutu na jeho koncích a rozdělení zatížení po délce prutu. Při kroucení se uvažují následující napětí: • smykové napětí τ t ,Ed od momentu prostého kroucení Tt,Ed; • smykové napětí τw,Ed od momentu ohybového kroucení Tw,Ed; • normálové napětí σw,Ed od bimomentu BEd. Pro otevřené průřezy lze velikosti vnitřních sil od vázaného kroucení Tt,Ed, Tw,Ed a BEd stanovit ze vztahů, tabulek a grafů Vlasovovy teorie [5], popř. podle následující zjednodušené analogie ohybu a kroucení se zanedbáním účinku prostého kroucení. Potom pro zatížení působící s excentricitou e ke středu smyku průřezu platí
BEd = MEd e (1 – κ) Tt,Ed = VEd e κ
[NB.2.1]
Tw,Ed = VEd e (1 – κ) kde MEd , VEd
κ
jsou je
ohybový moment a smyková síla, stanovené pro příčné zatížení a okrajové podmínky uložení v ohybu, analogické k zatížení a podepření prutu při kroucení; opravný součinitel, zahrnující vliv skutečné tuhosti průřezu v prostém kroucení, závislý na bezrozměrném parametru tuhosti prutu při kroucení Kt = L (GIT / EI w)0,5.
Opravný součinitel lze stanovit z výrazu:
κ = 1/[ β + ( α / K t )2 ]
[NB.2.2]
s koeficienty α a β zahrnujícími vliv typu zatížení a okrajových podmínek v uložení prutu podle tab. 7.
Tab. 7 Koeficienty α a β pro typ zatížení a okrajových podmínek [Tab. NB.2.1 ČSN EN 1993-1] Okrajové podmínky při kroucení
Oboustranné podepření nosníku
Konzola
prosté podepření (volná deplanace) vetknutí (deplanaci je zabráněno) vetknutí
Krouticí zatížení
α
β
plné rovnoměrné
3,1
1,00
obecné plné rovnoměrné
3,7
1,08
pro vnitřní síly v podpoře
8,0
1,25
pro maximum v poli
5,6
1,00
obecné
6,9
1,14
obecné – pro vnitřní síly v podpoře
2,7
1,11
V případě oboustranně prostě podepřeného nosníku lze při Kt ≤ 1 zanedbat účinek prostého kroucení (Tt,Ed) , zatímco při Kt ≥ 15 lze zanedbat složky ohybového kroucení (BEd, Tw,Ed). Pro posouzení průřezu se může použít podmínka plasticity, viz vztah (6.1), v libovolném vlákně.
62
Mezní stavy únosnosti U uzavřených průřezů s tuhým příčným řezem jsou účinky ohybového kroucení zanedbatelné a lze počítat pouze s napětím od prostého kroucení. Podle Bredta platí:
τ t,Ed = kde As
Tt,Ed 2 As t je plocha průřezu uzavřená střednicí a t je tloušťka stěny průřezu v místě počítaného napětí. Uzavřené průřezy velkých rozměrů s netuhým příčným řezem se mohou zkosit při vzniku nezanedbatelných ohybových napětí v příčném řezu.
Návrhová únosnost jednotlivých částí průřezu ve smyku (včetně boulení) se stanoví podle ČSN EN 1993-1-5, odst. 5.2. Pokud k boulení stěn při smyku nedochází, je možné využít částečné zplastizování smyku po tloušťce stěny, viz vztahy (6.26) a (6.27). Při kombinaci smykové síly a krouticího momentu lze plastickou únosnost ve smyku redukovat vzhledem k účinkům kroucení z hodnoty Vpl,Rd (stanovené podle kap. 6.2.6) na Vpl,T,Rd. Návrhová smyková síla má splňovat podmínku: VEd Vpl,T,Rd
≤1
(6.25)
kde pro • I nebo H průřezy Vpl,T,Rd = 1 −
τ t,Ed
(
)
1, 25 f y / 3 / γ M 0
(6.26)
Vpl,Rd
• U průřezy ⎡ ⎤ τ t,Ed τ w,Ed ⎥V − Vpl,T,Rd = ⎢ 1 − ⎢ ⎥ pl,Rd 1 25 3 3 γ γ , f / / f / / y M 0 y M 0 ⎢⎣ ⎦⎥
(
)
(
)
(6.27)
• duté průřezy ⎡ ⎤ τ t,Ed ⎥V Vpl,T,Rd = ⎢1 − pl,Rd ⎢ fy / 3 / γ M 0 ⎥ ⎣ ⎦
(
)
(6.28)
6.2.8 Ohyb (ohybový moment) a smyk Při namáhání průřezu momentem a posouvající silou je nutné posoudit vliv interakce normálových a smykových napětí. Eurokód 3 dovoluje zanedbat vliv smykové síly na momentovou únosnost v těch případech, když je smyková síla menší než polovina plastické smykové únosnosti podle kap. 6.2.6 (popř. polovina únosnosti při boulení ve smyku podle ČSN EN 1993-1-5). Jedná se o tzv. případy s malým smykem.
63
Mezní stavy únosnosti Pro ostatní případy (s velkým smykem) se momentová únosnost vypočte jako návrhová únosnost průřezu, vypočtená s použitím meze kluzu redukované v oblasti smykové plochy na hodnotu (1 – ρ)fy
(6.29) 2
⎛ 2V ⎞ kde ρ = ⎜ Ed − 1⎟ a Vpl,Rd se určí podle kap. 6.2.6, popř. při kroucení jako Vpl,T,Rd podle kap. 6.2.7. ⎜ Vpl,Rd ⎟ ⎝ ⎠
Pro I průřezy se stejnými pásnicemi, ohýbané okolo osy větší tuhosti, lze pro všechny třídy průřezů stanovit únosnost při velkém smyku jako
M y,V,Rd
⎡ ρ Aw 2 ⎤ ⎢Wpl, y − ⎥ fy 4 tw ⎦ ⎣ =
γ M0
ale My,V,Rd ≤ My,c,Rd
(6.30)
kde My,c,Rd se určí v závislosti na třídě průřezu podle kap. 6.2.5 a plocha stojiny Aw = hwtw. Interakce pro namáhání momentem, smykem a příčným lokálním zatížením je uvedena v ČSN EN 1993-1-5, kapitola 7.
6.2.9 Ohyb a osová síla V této kapitole jsou uvedeny interakce (kombinace) namáhání v tahu, prostém tlaku a prostém ohybu (tzn. pro případy neovlivněné vzpěrem a klopením). 6.2.9.1 Průřezy třídy 1 a 2
Pro interakci osové síly a momentu při plastickém rozdělení napětí po průřezu lze odvodit nelineární vztahy v závislosti na tvaru průřezu a úrovni jednotlivých namáhání. Obecně lze psát:
MEd ≤ MN,Rd kde MN,Rd
(6.31)
je návrhový plastický moment únosnosti, redukovaný v důsledku působení osové síly NEd. Interakci není nutno posuzovat pro malé osové síly, viz vztahy (6.33) až (6.35).
Pro pravoúhlý průřez bez otvorů pro šrouby platí: 2 M N,Rd = M pl,Rd ⎡1 − ( NEd / Npl,Rd ) ⎤ ⎥⎦ ⎣⎢
(6.32)
Pro dvojose symetrické I a H průřezy nebo jiné průřezy s pásnicemi není nutné uvažovat účinek osové síly na plastický moment únosnosti při ohybu okolo osy y-y, jestliže jsou splněny obě následující podmínky:
N Ed ≤ 0, 25 N pl,Rd N Ed ≤
64
0,5 hw t w f y
γ M0
(6.33) (6.34)
Mezní stavy únosnosti Pro dvojosé symetrické I a H průřezy není nutné uvažovat účinek osové síly na plastický moment únosnosti při ohybu okolo osy z-z, pokud je splněna podmínka N Ed ≤
hw tw f y
(6.35)
γ M0
Pro válcované I nebo H průřezy a pro svařované I nebo H průřezy se stejnými pásnicemi bez otvorů pro šrouby je možné použít následující přibližné vztahy ale MN,y,Rd ≤ Mpl,y,Rd
MN,y,Rd = Mpl,y,Rd (1 – n) / (1 – 0,5a) pro
n ≤ a:
MN,z,Rd = Mpl,z,Rd
pro
n > a:
⎡ ⎛n−a⎞ MN,z,Rd = Mpl,z,Rd ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ 1 − a ⎠
kde n = NEd/Npl,Rd a = (A – 2btf )/A
(6.36) (6.37)
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
(6.38)
a ≤ 0,5
ale
Pro pravoúhlé duté průřezy s jednotnou tloušťkou stěn a pro svařované pravoúhlé duté průřezy se stejnými pásnicemi a stejnými stojinami bez otvorů pro šrouby je možné použít následující přibližné vztahy: MN,y,Rd = Mpl,y,Rd (1 – n)/(1 – 0,5aw)
ale
MN,y,Rd ≤ Mpl,y,.Rd
(6.39)
MN,z,Rd = Mpl,z,Rd (1 – n)/(1 – 0,5af )
ale
MN,z,Rd ≤ Mpl,z,Rd
(6.40)
kde aw = (A – 2bt)/A aw = (A – 2btf)/A af = (A – 2ht)/A af = (A – 2htw)/A
ale ale ale ale
aw ≤ 0,5 aw ≤ 0,5 af ≤ 0,5 af ≤ 0,5
pro duté průřezy; pro svařované duté průřezy; pro duté průřezy; pro svařované duté průřezy.
Pro šikmý ohyb (namáhání momenty k oběma osám) lze použít vztah α
β
⎡ M y,Ed ⎤ ⎡ M z,Ed ⎤ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ≤1 ⎢⎣ M N,z,Rd ⎦⎥ ⎣⎢ M N,y,Rd ⎦⎥
kde α a β
jsou
(6.41)
konstanty, které je možné konzervativně uvažovat hodnotou 1,0. Jinak je možné počítat
o pro I a H průřezy:
α = 2; β = 5n, ale β ≥ 1
o pro kruhové duté průřezy:
α = 2; β = 2
o pro pravoúhlé duté průřezy:
α =β =
1, 66 , ale α = β ≤ 6 1 − 1,13n 2
kde n = NEd/Npl,Rd
65
Mezní stavy únosnosti 6.2.9.2 Průřezy třídy 3
U průřezů třídy 3 namáhaných osovou silou a momenty se stanoví výsledné pružné normálové napětí ze součtu napětí podle kap. 6.2.3, 6.2.4 a 6.2.5 (s uvážením možného oslabení průřezu otvory pro šrouby), které musí vyhovovat podmínce
σ x,Ed ≤
fy
resp.
γ M0
M y,Ed M z,Ed N Ed + + ≤1 N Rd M el,y,Rd M el,z,Rd
(6.42)
6.2.9.3 Průřezy třídy 4
U průřezů třídy 4 namáhaných osovým tlakem a momenty se stanoví výsledné pružné normálové napětí ze součtu napětí v účinném průřezu podle kap. 6.2.3, 6.2.4 a 6.2.5 (s uvážením možného oslabení průřezu otvory pro šrouby), které musí vyhovovat podmínce
σ x,Ed ≤
fy
(6.43)
γ M0
resp. při osové tlakové síle M y,Ed + N Ed eNy M z,Ed + N Ed eNz N Ed + + ≤1 Aeff f y / γ M 0 Weff,y,min f y / γ M 0 Weff,z,min f y / γ M 0
(6.44)
je účinná plocha rovnoměrně tlačeného průřezu; kde Aeff Weff,min účinný modul průřezu (odpovídající vláknu s největším pružným napětím), který je namáhán pouze momentem okolo příslušné osy; posun příslušné těžišťové osy rovnoměrně tlačeného průřezu, viz kap. 6.2.2.5. eN Znaménka činitelů se stanoví podle kombinace příslušných normálových napětí.
6.2.10 Ohybový moment, smyk a osová síla Při interakci momentu, smyku a osové síly průřezů třídy 1, 2 a 3 se postupuje obdobně jako v kap. 6.2.8. Pokud je smykové namáhání malé (VEd ≤ 0,5 Vpl.Rd) a nedochází k boulení při smyku, lze účinek smykové síly na únosnost průřezu při působení momentu a osové síly podle kap. 6.2.9 zanedbat. Jestliže VEd je větší než 50 % Vpl,Rd, stanoví se návrhová únosnost průřezu při kombinaci momentu a osové síly s použitím meze kluzu redukované v oblasti smykové plochy na hodnotu (1 – ρ)fy
(6.45) 2
kde
⎛ 2V ⎞ ρ = ⎜ Ed − 1⎟ a Vpl,Rd se určí podle kap. 6.2.6. ⎜ Vpl,Rd ⎟ ⎝ ⎠
U průřezů třídy 4, popř. při boulení ve smyku, se postupuje podle kap. 7 ČSN EN 1993-1-5.
66
Mezní stavy únosnosti
6.3 Vzpěrná únosnost prutů 6.3.1 Tlačené pruty stálého průřezu 6.3.1.1 Vzpěrná únosnost
Tlačený prut se na vzpěr posuzuje podle podmínky: N Ed ≤ 1, 0 N b,Rd
(6.46)
kde NEd je návrhová hodnota tlakové síly; Nb,Rd návrhová vzpěrná únosnost tlačeného prutu. Návrhová vzpěrná únosnost tlačeného prutu se určí z výrazu: N b,Rd = N b,Rd =
kde χ
χ Af y γ M1
χ Aeff f y γ M1
pro průřezy třídy 1, 2 a 3
(6.47)
pro průřezy třídy 4
(6.48)
je součinitel vzpěrnosti pro příslušný způsob vybočení.
Úloha je složitější, je-li prut po délce proměnného průřezu, nebo je-li tlaková síla po délce prutu proměnná. V takových případech se může provést analýza druhého řádu podle kap. 5.3.2 a 5.3.4, nebo se určí vzpěrná délka přibližně pomocí vhodného obecného postupu. Při stanovení A, příp. Aeff není nutné uvažovat otvory pro spojovací prostředky na koncích prutů. 6.3.1.2 Křivky vzpěrné pevnosti
Pro osový tlak v prutu se hodnota χ pro odpovídající poměrnou štíhlost λ určí z příslušné křivky vzpěrné pevnosti z výrazu:
χ=
1
, ale χ ≤ 1, 0
(6.49)
φ + φ2 − λ 2
(
)
kde φ = 0,5 ⎡1 + α λ − 0, 2 + λ 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ Af y pro průřezy třídy 1, 2 a 3 λ= N cr
λ=
Aeff f y N cr
pro průřezy třídy 4
α je součinitel imperfekce; Ncr
pružná kritická síla pro příslušný způsob vybočení, určená pro vlastnosti plného průřezu.
67
Mezní stavy únosnosti Součinitel imperfekce α pro jednotlivé křivky vzpěrné pevnosti se stanoví podle tab. 8. Závislost součinitele vzpěrnosti χ na poměrné štíhlosti λ podle vztahu (6.49) je znázorněna v grafu na obr. 16. Při poměrné štíhlosti λ ≤ 0, 2 nebo pro γ M N Ed / N cr ≤ 0, 04 je možné účinky vzpěru zanedbat a posuzovat průřez pouze na prostý tlak. Tab. 8 Součinitele imperfekce pro křivky vzpěrné pevnosti
[Tab. 6.1 ČSN EN 1993-1]
Křivka vzpěrné pevnosti
a0
a
b
c
d
Součinitel imperfekce α
0,13
0,21
0,34
0,49
0,76
Tab. 9 Přiřazení křivek vzpěrné pevnosti k průřezům
Průřez
tf
tf y
y
y z
Svařované duté průřezy
z
68
a0 a0
40 mm < tf ≤ 100 mm
y–y z–z
b c
a a
tf ≤ 100 mm
y–y z–z
b c
a a
tf > 100 mm
y–y z–z
d d
c c
tf ≤ 40 mm
y–y z–z
b c
b c
tf > 40 mm
y–y z–z
c d
c d
válcované za tepla
všechny
a
a0
tvarované za studena
všechny
c
c
všechny průřezy, kromě níže uvedených výjimek
všechny
b
b
tlusté svary: a > 0,5 tf b / tf < 30 h / tw < 30
všechny
c
c
y
Duté průřezy
z
h
tf
y
S460
a b
y
z b
S235 S275 S355 S420
y–y z–z
h/b > 1,2 y
Vybočení kolmo k ose
Křivka vzpěrné pevnosti
tf ≤ 40 mm
h/b ≤ 1,2
Válcované průřezy Svařované průřezy
Meze
z
tf
h
[Tab. 6.2 ČSN EN 1993-1]
y tw z b
Mezní stavy únosnosti Tab. 9 pokračování
S235 S275 S355 S420
S460
U, T a plné průřezy
všechny
c
c
Úhelníky
Vybočení kolmo k ose
Křivka vzpěrné pevnosti
všechny
b
b
Průřez
Meze
1,1 1,0
a0 a b c d
0,9
χ
Součinitel vzpěrnosti χ
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Poměrná štíhlost λ
Obr. 16 Křivky vzpěrné pevnosti
[Obr. 6.4 v ČSN EN 1993-1-1]
69
Mezní stavy únosnosti 6.3.1.3 Štíhlosti pro rovinný vzpěr
Poměrná štíhlost λ se stanoví z výrazu Af y
λ=
N cr
Lcr 1 i λ1
Aeff f y
λ=
N cr
kde Lcr je i
λ1 = π
ε=
=
L = cr i
Aeff A
λ1
pro průřezy třídy 1, 2 a 3
(6.50)
pro průřezy třídy 4
(6.51)
vzpěrná délka v uvažované rovině vybočení; poloměr setrvačnosti plného průřezu k příslušné ose.
E = 93,9ε fy
235 fy
(fy se dosazuje v [N/mm2])
Pro rovinný vzpěr se příslušná křivka vzpěrné pevnosti stanoví z tab. 9. Rovinný vzpěr prutů příhradových konstrukcí
Rovinným vzpěrem prutů příhradových konstrukcí se zabývá první oddíl přílohy BB. Jsou uvedena doporučení pro určení vzpěrných délek pro různé případy. Pro pruty pásů obecně a pro vybočení výplňových prutů z roviny se vzpěrná délka Lcr může uvažovat jako vzdálenost bodů podepření, nebo systémová délka L. Vzpěrná délka Lcr prutů pásů z průřezu I nebo H se může pro vybočení v rovině uvažovat jako 0,9L. Výplňové pruty se mohou navrhovat pro vybočení v rovině pro vzpěrnou délku která je menší než systémová délka, jestliže pásy zajišťují příslušné vetknutí jejich konců a koncový přípoj zajišťuje příslušnou tuhost (u šroubovaných přípojů nejméně 2 šrouby). Při splnění těchto podmínek se vzpěrná délka Lcr výplňových prutů obvyklých příhradových konstrukcí pro vybočení v rovině může uvažovat 0,9L, s výjimkou průřezů z úhelníků. Vzpěrné délky lze též určit stabilitním výpočtem, ve kterém se uváží skutečné okrajové podmínky v uzlech příhradové konstrukce a skutečný průběh normálových sil po konstrukci. Lze tak dospět ke kratším hodnotám vzpěrných délek, než je uvedeno pro obecné případy. Výplňové pruty z úhelníků
Jestliže pásy zajišťují příslušné podepření konců výplňových prutů z úhelníků a jejich koncové přípoje zajišťují příslušnou tuhost (nejméně 2 šrouby u šroubovaných přípojů), je mož-
70
Mezní stavy únosnosti né zanedbat excentricity a výplňové pruty z úhelníků navrhovat jako tlačené pruty. Účinná poměrná štíhlost λeff se může stanovit z výrazů:
λ eff,u = 0,35 + 0, 7λ u
pro vzpěr k ose v-v
λ eff,y = 0,50 + 0, 7λ y
pro vzpěr k ose y-y
λ eff,y = 0,50 + 0, 7λ z
pro vzpěr k ose z-z
kde⎯λ
(BB.1)
se stanoví podle kap. 6.3.1.2.
Jestliže se v koncovém přípoji výplňového prutu z úhelníku použije pouze jeden šroub, má se uvažovat s excentricitou podle kap. 6.2.9 a vzpěrná délka Lcr se má uvažovat rovna systémové délce L. Pruty z dutých průřezů
Vzpěrná délka Lcr pásového prutu z dutého průřezu se může uvažovat jako 0,9L pro vybočení v rovině i pro vybočení z roviny, kde L je systémová délka v příslušné rovině. Pro vybočení v rovině se systémová délka rovná vzdálenosti mezi styčníky, pro vybočení z roviny se rovná vzdálenosti bodů, zajištěných proti vybočení. Vzpěrná délka Lcr příček (výplňových prutů) z dutých průřezů se šroubovanými přípoji se může uvažovat rovna 1,0L pro vybočení v rovině i pro vybočení z roviny. Pro příhradové nosníky s rovnoběžnými pásy je možné obecně uvažovat pro vybočení příček z dutých průřezů v rovině i pro vybočení z roviny vzpěrnou délku v hodnotě 0,75L, jestliže poměr průměru nebo šířky příčky a pásu β je menší než 0,6, příčky z dutých průřezů jsou bez seříznutí nebo zploštění a jsou přivařeny podél svého obvodu k dutému průřezu pásu. 6.3.1.4 Štíhlosti pro vzpěr zkroucením a prostorový vzpěr
Prostorový vzpěr nebo vzpěr zkroucením může být rozhodující u prutů s jednoose symetrickým nebo nesymetrickým otevřeným průřezem. Poměrná štíhlost λ T se stanoví z výrazu:
λT = λT =
Af y N cr Aeff f y N cr
pro průřezy třídy 1, 2 a 3
(6.52)
pro průřezy třídy 4
(6.53)
kde Ncr je menší z hodnot Ncr,T, Ncr,TF, přičemž je Ncr,TF pružná kritická síla pro vybočení při prostorovém vzpěru; pružná kritická vzpěrná síla při vybočení zkroucením. Ncr,T Pro vzpěr zkroucením nebo prostorový vzpěr lze příslušnou křivku vzpěrné pevnosti stanovit z tab. 9 pro osu z-z. Kritické síly Ncr,T, Ncr,TF lze určit například podle ČSN EN 1993-1-3.
71
Mezní stavy únosnosti
6.3.2 Ohyb prutů stálého průřezu 6.3.2.1 Únosnost na klopení
Příčně nepodepřený nosník, namáhaný na ohyb k hlavní ose větší tuhosti, se na klopení posuzuje následovně: M Ed ≤ 1, 0 M b,Rd
(6.54)
kde MEd je návrhová hodnota ohybového momentu; Mb,Rd návrhový moment únosnosti nosníku při klopení. Nosníky s dostatečným podepřením tlačené pásnice nejsou citlivé na klopení. Rovněž nosníky s dutými průřezy nejsou díky své vysoké torzní tuhosti citlivé na klopení. Návrhový moment únosnosti na klopení příčně nepodepřeného nosníku se stanoví z výrazu: M b,Rd = χ LTWy
fy
(6.55)
γ M1
je kde Wy Wy = Wpl,y Wy = Wel,y Wy = Weff,y χLT je
příslušný průřezový modul, který se určí následovně: pro průřezy třídy 1 nebo 2; pro průřezy třídy 3; pro průřezy třídy 4; součinitel klopení.
Při stanovení Wy není potřebné uvažovat otvory pro spojovací prostředky na konci nosníků. Pro výpočet součinitele klopení χLT uvádí norma alternativně více postupů, které dávají značně odlišné výsledky. Tyto postupy jsou dále rozebrány. 6.3.2.2 Křivky klopení – obecný případ
Používají se stejné vztahy jako pro tlačené pruty
χ LT =
1
φLT + φ − λ 2 LT
2 LT
(
χ LT ≤ 1, 0
ale
(6.56)
)
2 ⎤ kde φLT = 0,5 ⎡1 + α LT λ LT − 0, 2 + λ LT ⎣⎢ ⎦⎥
α LT λ LT = Mcr
je součinitel imperfekce při klopení; Wy f y M cr
pružný kritický moment při klopení.
Určení kritického momentu je zásadním a nejobtížnějším úkolem při výpočtu klopení. Mcr se určí pro plný průřez s uvážením zatěžovacích podmínek, skutečného rozdělení momentů a příčného podepření. Lze použít postup podle přílohy NB.3 normy, který je uveden níže
72
Mezní stavy únosnosti v kap. 6.3.2.4 této publikace. Alternativně lze použít libovolný jiný vhodný výpočetní postup nebo software, např. volně dostupný software LTBeam, vyvinutý francouzskou institucí CTICM [6]. Součinitel imperfekce αLT je pro příslušné vzpěrnostní křivky stejný jako pro tlačené pruty. Přiřazení křivek je odlišné než u tlačených prutů, viz tab. 10. Tab. 10 Doporučené přiřazení křivek klopení k průřezům při použití výrazu (6.56) [Tab. 6.4 ČSN EN 1993-1] Průřez
Meze
Křivka klopení
Válcované I průřezy
h/b ≤ 2 h/b > 2
a b
Svařované I průřezy
h/b ≤ 2 h/b > 2
c d
Jiné průřezy
–
d
Pro štíhlosti λ LT ≤ λ LT,0 nebo pro
γ M 0 M Ed M cr
≤ λ LT,0
2
(viz kap. 6.3.2.3) se mohou účinky
klopení zanedbat a posuzovat pouze únosnost průřezu. 6.3.2.3 Křivky klopení válcovaných nebo ekvivalentních svařovaných průřezů
Postup lze uplatnit pro válcované nebo ekvivalentní svařované průřezy, tyto termíny však norma blíže nedefinuje. Pro výpočet součinitele χLT jsou uvedeny rovnice:
χ LT =
⎧ χ LT ≤ 1, 0 ⎪ ale ⎨ χ ≤ 1 ⎪ LT λ −2 LT ⎩
1 2 −2 − β λLT φLT + φLT
(
)
(6.57)
φLT = 0,5 ⎡⎢1 + α LT λ LT − λ LT,0 + β λ LT ⎤⎥ ⎣
2
⎦
kde λ LT,0 = 0, 4
β = 0,75 Odpovídající křivky klopení jsou uvedeny v tab. 11. Postup vede k příznivějším výsledkům než při použití kap. 6.3.2.2. Pro jiný než konstantní průběh momentu na vyšetřovaném úseku je možné dále zvýšit hodnotu χLT vydělením součinitelem f, který se určí podle rovnice (6.58), přičemž součinitel kc se nalezne v tabulce 6.6 ČSN EN 1993-1-1.
χ LT,mod =
χ LT f
ale χ LT,mod ≤ 1
(
(6.58)
)
2 f = 1 − 0,5 (1 − kc ) ⎡1 − 2, 0 λ LT − 0,8 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦
ale
f ≤1
73
Mezní stavy únosnosti Tento postup vyjadřuje skutečnost, že vliv tvaru momentového obrazce na ohybovou únosnost je výraznější než vliv téhož na kritický moment. Se zvětšením χLT podle rovnice (6.58) ovšem není nutné počítat. Tab. 11 Doporučené přiřazení křivek klopení k průřezům při použití výrazu (6.57) [Tab. 6.5 ČSN EN 1993-1] Průřez
Meze
Křivka klopení
Válcované I průřezy
h/b ≤ 2 h/b > 2
b c
Svařované I průřezy
h/b ≤ 2 h/b > 2
c d
6.3.2.4 Pružný kritický moment Rozsah platnosti
Postup uvedený v národní příloze NB.3 je vhodný pro výpočet kritického momentu nosníků konstantního dvojose symetrického průřezu, konstantního průřezu jednoose symetrického k hlavní ose z-z (obr. 17) i konstantního průřezu jednoose symetrického k hlavní ose y-y, prochází-li zatížení středem smyku (obr. 18). Pro konzoly jednoose symetrického průřezu k ose z-z a pro průřezy s pásnicemi jiného než obdélníkového průřezu (například s pásnicemi z profilu U) se odkazuje na EN 1999-1-1, příloha I. Obecný vztah pro nosníky konstantního průřezu symetrického k hlavní ose z-z nebo y-y
V případě nosníku konstantního průřezu symetrického k jedné z hlavních os je pružný kritický moment Mcr pro ohyb k ose y-y dán obecným vztahem: M cr = µcr
π EI z GI t L
[NB.3.1]
kde bezrozměrný kritický moment µ cr je
µcr =
2 C1 ⎡ ⎤ 2 1 k C C + + − − ( C2ζg − C3ζj ) ⎥ ( ) wt 2ζg 3ζj kz ⎢⎣ ⎦
bezrozměrný parametr kroucení kwt =
π
EI w k w L GI t
bezrozměrný parametr působiště zatížení vzhledem ke středu smyku ζg =
74
π Zg kz L
EI z GI t
[NB.3.2]
Mezní stavy únosnosti bezrozměrný parametr nesymetrie průřezu
ζj =
π Zj kz L
EI z GI t
přičemž C1, C2 a C3 jsou součinitele závisející na zatížení a podmínkách uložení konců (viz tab. 12 a 13); L je délka nosníku mezi body zajištěnými proti posunu kolmo z roviny; jsou součinitele vzpěrné délky; kz a kw z g = z a − zs 0,5 z j = zs − ∫ ( y 2 + z 2 ) zdA ly A když za je souřadnice působiště zatížení vzhledem k těžišti průřezu (obr. 17); souřadnice středu smyku vzhledem k těžišti průřezu; zs souřadnice působiště zatížení vzhledem ke středu smyku. zg Pro I průřez s nestejnými pásy je I w = (1 −ψ f2 ) ⋅ I z ⋅ ( hs / 2 )
kde hs je
ψf
2
[NB.3.3]
vzdálenost mezi středy smyku pásnic, viz obr. 17; I −I parametr nesymetrie průřezu ψ f = fc ft I fc + I ft
přičemž Ifc je moment setrvačnosti tlačené pásnice k hlavní ose nejmenší tuhosti průřezu; moment setrvačnosti tažené pásnice k hlavní ose nejmenší tuhosti průřezu. Ift Poznámka: Pro průřezy symetrické k ose y-y je zj = 0.
z
(C)
zs
z
zg (C) S
S y G
G
hf = h s
zs
Fz
za
y hf
Fz
za zg
(T) (T)
(C) tlačená vlákna, (T) tažená vlákna, S – střed smyku, G – těžiště Obr. 17 Význam veličin a znaménková konvence při působení tíhového zatížení Fz [Obr. NB.3.1 v ČSN EN 1993-1-1] 75
Mezní stavy únosnosti
hf
Fz z y S S=G
Fz
Fz
z G
y
S
G
y
S
G
Fz
Fz z
Fz z
z
y
S
G y
S
z G y
Fz z
Fz z
S G y
S G y
Fz z y S=G
Obr. 18 Průřezy prutů symetrické k ose největší tuhosti nebo symetrické ke středu průřezu [Obr. NB.3.2 v ČSN EN 1993-1-1] Znaménková konvence pro určení z a zj, viz obr. 18, je: • souřadnice z je kladná pro tlačenou pásnici; • znaménko zj je stejné jako znaménko součinitele nesymetrie průřezu ψf. Znaménko ohybového momentu pro určení ψf se v případě koncových momentů (viz tab. 12) bere v místě největšího momentu, v případě příčného zatížení (viz tab. 13) ve středu úseku o délce L. Znaménková konvence pro určení zg je: • pro tíhové účinky je zg kladné při zatížení působícím nad středem smyku; • v obecném případě je zg kladné při zatížení směřujícím z místa působení do středu smyku. Pro zj lze použít následující aproximaci zj = 0,45 ψf hf
[NB.3.5]
Součinitele vzpěrné délky ky, kz (popisující okrajové podmínky uložení v ohybu) a kw (popisující okrajové podmínky uložení v kroucení) se mění od 0,5 pro vetknutí obou konců do 1,0 pro kloubové uložení obou konců, s hodnotou 0,7 pro jeden konec vetknutý a jeden konec uložený kloubově. Součinitel ky se vztahuje ke koncovému pootočení v rovině kolmé k ose y-y, součinitel kz se vztahuje ke koncovému pootočení v rovině kolmé k ose z-z. Tyto součinitele jsou analogické k poměru Lcr/L u tlačených prutů. Součinitel kw se vztahuje ke koncové deplanaci. Pokud není provedeno speciální opatření k zamezení deplanace, je možné brát kw = 1,0. Hodnoty C1, C2 a C3 jsou dány v tab. 12 a 13 pro různé případy zatížení, které je definováno průběhem ohybového momentu na délce L mezi body zajištěnými proti příčnému vybočení. Hodnoty jsou uvedeny v závislosti na součiniteli kz a v tab. 13 též na součiniteli kw. V praxi je téměř vždy kz = 1,0, neboť natočení koncových průřezů okolo osy menší tuhosti není zcela zabráněno (například i v ohybově tuhém přípoji nosníku ke sloupu může dojít k torznímu natočení sloupu, což odpovídá natočení nosníku okolo osy menší tuhosti). Proto jsou v tab. 12 a 13 řádky s kz = 1,0 zvýrazněny. V případech, kdy kz = 1,0, lze součinitel C1 pro libovolný poměr koncových momentů podle tab. 12 alternativně určit přibližně vztahem C1 = ( 0,310 + 0, 428ψ + 0, 262ψ 2 ) −0,5
76
[NB.3.4]
Tab. 12 Hodnoty součinitelů C1 a C3 při zatížení prutu koncovými momenty v závislosti na hodnotě součinitele kz a součinitelů ψf a κwt [Tab. NB.3.1 v ČSN EN 1993-1] Součinitel uložení konců prutu v rovině ohybu ky = 1,0, v kroucení kW = 1,0 Hodnoty součinitelů
Tvar momentového obrazce Poměr koncových momentů ψ
Mcr
Mcr
Mcr
Mcr
Mcr
ψ =+1
ψ =+3/4
ψ =+1/2
ψ =+1/4
ψ=0
C1 1)
C3
kz 2) C1,0
C1,1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0
ψ f = −1
1,0
1,00
1,00
0,7L
1,02
1,10
1,02 1,02
0,7R
1,02
1,10
0,5
1,00
1,13
1,0
1,14
1,14
0,7L
1,21
1,31
0 ≤ ψ f ≤ 0,9
1,00
1,00 1,00 1,02 1,00
1,05
1,00
0,7R
1,11
1,20
1,00
0,5
1,14
1,29
1,02
1,0
1,31
1,32
0,7L
1,48
1,62
1,15
1,21
1,32
0,5
1,31
1,48
1,15
1,0
1,52
1,55
1,29
0,7L
1,85
2,06
1,60
1,33
1,47
0,5
1,52
1,73
1,35
1,0
1,77
1,85
1,47
0,7L
2,33
2,68
2,00
1,45
1,59
1,75
2,03
1,00 1,00
0,7R
0,5
1,00
1,16
0,7R
0,7R
ψf =1
1,00 1,00
1,26
1,00 1,00 1,00 1,00
1,42
1,00 1,00
1,50
1,00
Tab. 12 pokračování Hodnoty součinitelů
Tvar momentového obrazce Poměr koncových momentů ψ
Mcr
Mcr
Mcr
ψ = -1/4
ψ = -1/2
ψ = -3/4
Mcr
ψ = -1
C1 1)
C3
kz 2) C1,0
C1,1
1,0
2,05
2,21
1,65
1,00
0,7L
2,83
3,32
2,40
1,55
2)
0 ≤ ψ f ≤ 0,9
ψf =1
0,85
0,85
-0,30
0,7R
1,58
1,75
1,38
0,85
0,70
0,20
0,5
2,00
2,34
1,75
1,00
0,65
-0,25
1,0
2,33
2,59
1,85
1,00
1,3 – 1,2 ψ f
-0,70
0,7L
3,08
3,40
2,70
1,45
1,0 – 1,2 ψ f
-1,15
0,7R
1,71
1,90
1,45
0,78
0,9 – 0,75 ψ f
-0,53
0,5
2,23
2,58
2,00
0,95
0,75 – ψ f
-0,85
1,0
2,55
2,85
2,00
1,00
0,55 – ψ f
-1,45
0,7L
2,59
2,77
2,00
0,85
0,23 – 0,9 ψ f
-1,55
0,7R
1,83
2,03
1,55
0,70
0,68 – ψ f
-1,07
0,5
2,35
2,61
2,00
0,85
0,35 – ψ f
-1,45
1,0
2,56
2,73
2,00
0,7L
1,92
2,10
1,55
-0,58
-1,55
ψf 0,38
-2,00
0,7R
1,92
2,10
1,55
0,58
-0,38
-1,55
0,5
2,22
2,39
1,88
0,125 – 0,7 ψ f
-0,125 – 0,7 ψ f
-1,88
Poznámky: 1)
ψ f = −1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0
C1 = C1,0 + ( C1,1 − C1,0 ) κ wt ≤ C1,1 , (C1 = C1,0 pro κ wt = 0 , C1 = C1,1 pro κ wt ≥ 1 )
0,7 L = vetknutý levý konec; 0,7 R = vetknutý pravý konec
Tab. 13 Hodnoty součinitelů C1, C2 a C3 pro různé případy příčného zatížení v závislosti na hodnotě součinitelů ky, kz, kw a součinitelů ψf a κwt [Tab. NB.3.2 v ČSN EN 1993-1] Součinitele vzpěrné délky Zatížení a podmínky podepření
q L Mcr
F L/2
L/2
Mcr
F
F
L/4
L/4
Mcr
ky
kz
kw
Hodnoty součinitelů
C1 1)
C2
C1,0
C1,1
C3
ψ f = −1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0,9
ψf = 1
ψ f = −1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0,9
ψf = 1
1
1
1
1,13
1,13
0,33
0,46
0,50
0,93
0,53
0,38
1
1
0,5
1,13
1,23
0,33
0,39
0,50
0,93
0,81
0,38
1
0,5
1
0,95
1,00
0,25
0,41
0,40
0,84
0,48
0,44
1
0,5
0,5
0,95
0,97
0,25
0,31
0,40
0,84
0,67
0,44
1
1
1
1,35
1,36
0,52
0,55
0,42
1,00
0,41
0,31
1
1
0,5
1,35
1,45
0,52
0,58
0,42
1,00
0,67
0,31
1
0,5
1
1,03
1,09
0,40
0,45
0,42
0,80
0,34
0,31
1
0,5
0,5
1,03
1,07
0,40
0,44
0,42
0,80
0,52
0,31
1
1
1
1,04
1,04
0,33
0,43
0,39
0,93
0,56
0,39
1
1
0,5
1,04
1,15
0,33
0,29
0,39
0,93
0,88
0,39
1
0,5
1
0,92
0,96
0,28
0,40
0,30
0,88
0,54
0,50
1
0,5
0,5
0,92
0,95
0,28
0,24
0,30
0,88
0,77
0,50
Tab. 13 pokračování Součinitele vzpěrné délky Zatížení a podmínky podepření
q L Mcr
F L/2
L/2 Mcr
ky
kz
kw
Hodnoty součinitelů
C1 1) C1,0
C2 C1,1
ψ f = −1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0,9
ψf = 1
ψ f = −1
−0,9 ≤ ψ f ≤ 0,9
ψf = 1
ψ f = −1
−0,5 ≤ ψ f ≤ 0,5
ψf = 1
ψ f = −1
−0,5 ≤ ψ f ≤ 0,5
ψf = 1
0,5
1
1
2,58
2,61
1,00
1,56
0,15
1,00
-0,86
-1,99
0,5
0,5
1
1,49
1,52
0,56
0,90
0,08
0,61
-0,52
-1,20
0,5
0,5
0,5
1,49
1,75
0,56
0,83
0,08
0,61
0,00
-1,20
0,5
1
1
1,68
1,73
1,20
1,39
0,07
1,15
-0,72
-1,35
0,5
0,5
1
0,94
0,96
0,69
0,76
0,03
0,64
-0,41
-0,76
0,5
0,5
0,5
0,94
1,06
0,69
0,84
0,03
0,64
-0,07
-0,76
Poznámky: 1) 2) 3)
C3
C1 = C1,0 + ( C1,1 − C1,0 ) κ wt ≤ C1,1 , (C1 = C1,0 pro κ wt = 0 , C1 = C1,1 pro κ wt ≥ 1 )
Parametr ψf se vztahuje ke středu rozpětí. Hodnoty kritického momentu Mcr se vztahují k průřezu, kde působí Mmax.
Mezní stavy únosnosti
6.3.2.5 Zjednodušené metody posuzování příčně podepřených nosníků pozemních staveb
V dále uvedených postupech se klopení převádí na vzpěr tlačeného pásu. Tyto metody však dávají přijatelnou přesnost pouze pro menší štíhlosti. Je-li štíhlost λ LT ≅ 1,0 , je chyba zjednodušené metody v porovnání s postupem podle kap. 6.3.2.2 okolo 100 %. Z toho vyplývá, že tuto metodu nelze při větších štíhlostech pro praktické navrhování doporučit. Pruty s jednotlivými příčnými podporami tlačené pásnice nejsou citlivé na klopení, jestliže vzdálenost Lc mezi příčnými podporami nebo výsledná štíhlost λ f ekvivalentní tlačené pásnice vyhovuje podmínce
λf =
M c,Rd kc Lc ≤ λ c0 if,z λ1 M y,Ed
(6.59)
kde My,Ed je největší návrhová hodnota ohybového momentu v úseku mezi příčnými podporami; M c,Rd = Wy
fy
γ M1
Wy je příslušný modul průřezu, vztažený k tlačené pásnici; kc opravný součinitel štíhlosti pro rozdělení momentů mezi příčnými podporami, [viz tab. 6.6 ČSN EN 1993-1-1]; if,z poloměr setrvačnosti průřezu ekvivalentní tlačené pásnice, složené z tlačené pásnice a 1/3 tlačené části plochy stojiny, k ose nejmenší tuhosti průřezu; λ c 0 = λ LT,0 + 0,1 největší štíhlost ekvivalentní tlačené pásnice, definované výše; λ1, ε viz kap. 6.3.1.3.
6.3.3 Ohyb a osový tlak prutů stálého průřezu Pokud se nepoužije analýza druhého řádu s imperfekcemi podle kap. 5.3.2, posoudí se stabilita prutů stálého průřezu, u kterých se nepředpokládají distorzní deformace průřezu, podle následujících článků. Přitom se rozlišují: • pruty, které nejsou náchylné na deformace od zkroucení, například kruhové duté průřezy nebo průřezy podepřené proti zkroucení; • pruty, které jsou náchylné na deformace od zkroucení, například pruty otevřeného průřezu, nepodepřené proti zkroucení. Navíc je nutné ověřit únosnost průřezů na obou koncích prutu podle kap. 6.2. Poznámka: Interakční vztahy jsou založeny na modelu prostě podepřeného prutu o jednom poli s vidlicovým podepřením na koncích, který je nebo není spojitě příčně podepřen a který je zatížen tlakovými silami, koncovými momenty a/nebo příčným zatížením.
Únosnost prutů konstrukčních systémů je možné posoudit jako únosnost jednotlivých prutů o jednom poli, uvažovaných jako výřez z konstrukčního systému. Účinky druhého řádu z naklonění soustavy (P-∆ účinky) se musí uvážit buď pomocí momentů na koncích prutu nebo pomocí příslušných vzpěrných délek, viz 5.2.2(3)c) a 5.2.2(8) ČSN EN 1993-1-1. 81
Mezní stavy únosnosti Pruty namáhané kombinací ohybu a osového tlaku mají splňovat podmínky M + ∆M y,Ed M + ∆M z,Ed N Ed + k yy y,Ed + k yz z,Ed ≤1 M z,Rk χ y N Rk χ LT M y,Rk
γ M1
γ M1
γ M1
N Ed
χ z N Rk γ M1
+ kzy
(6.61)
M y,Ed + ∆M y,Ed M + ∆M z,Ed + kzz z,Ed ≤1 χ LT M y,Rk M z,Rk
γ M1
γ M1
kde NEd, My,Ed a Mz,Ed My,Ed, ∆Mz,Ed
χ y a χz χLT
kyy, kyz, kzy, kzz
(6.62)
jsou návrhové hodnoty tlakové síly a největších momentů k ose y-y a z-z, působící na prutu; momenty v důsledku posunu těžišťové osy podle kap. 6.2.9.3, pro průřezy třídy 4, viz tab. 14; součinitele vzpěrnosti při rovinném vzpěru podle kap.6.3.1; je součinitel klopení podle kap. 6.3.2; součinitele interakce.
Tab. 14 Hodnoty pro výpočet NRk = fy Ai, Mi,Rk = fy Wi a ∆Mi,Ed
[Tab. 6.7 v ČSN EN 1993-1]
Třída průřezu
1
2
3
4
Ai
A
A
A
Aeff
Wy
Wpl,y
Wpl,y
Wel,y
Weff,y
Wz
Wpl,z
Wpl,z
Wel,z
Weff,z
∆My,Ed
0
0
0
eN,y NEd
∆Mz,Ed
0
0
0
eN,z NEd
Poznámka: Pro pruty necitlivé na distorzní deformace se uvažuje χLT = 1,0.
Součinitele interakce kyy , kyz , kzy , kzz lze určit pomocí dvou alternativních postupů, uvedených v přílohách A nebo B normy. Zde uvádíme postup podle přílohy B, který je jednodušší. Interakční součinitele kij podle přílohy B
Tab. 15 Interakční součinitele kij pro pruty, které nejsou náchylné ke zkroucení [Tab. B.1 v ČSN EN 1993-1] Interakční součinitele
kyy
82
Typ průřezu
I průřezy, pravoúhlé duté průřezy
Předpoklady navrhování Pružnostní návrh – průřezy třídy 3 a 4
Plasticitní návrh – průřezy třídy 1 a 2
⎛ ⎞ N Ed Cmy ⎜1 + 0, 6λ y ⎟ ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ≤ Cmy ⎜1 + 0, 6 ⎟ ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝
⎛ ⎞ N Ed Cmy ⎜1 + λy − 0, 2 ⎟ ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ≤ Cmy ⎜1 + 0,8 ⎟ ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝
(
)
Mezní stavy únosnosti Tab. 15 pokračování Předpoklady navrhování
Interakční součinitele
Typ průřezu
Pružnostní návrh – průřezy třídy 3 a 4
Plasticitní návrh – průřezy třídy 1 a 2
kyz
I průřezy, pravoúhlé duté průřezy
kzz
0,6 kzz
kzy
I průřezy, pravoúhlé duté průřezy
0,8 kyy
0,6 kyy
⎛ ⎞ N Ed Cmz ⎜1 + 0, 6λ z ⎟ χ z N Rk / γ M1 ⎠ ⎝
⎛ ⎞ N Ed Cmz ⎜ 1 + 2λ z − 0, 6 ⎟ χ N / γ ⎝ z Rk M1 ⎠ ⎛ ⎞ N Ed ≤ Cmz ⎜1 + 1, 4 ⎟ / χ N γ ⎝ z Rk M1 ⎠
I průřezy
kzz pravoúhlé duté průřezy
⎛ ⎞ N Ed ≤ Cmz ⎜1 + 0, 6 ⎟ χ z N Rk / γ M1 ⎠ ⎝
(
)
⎛ ⎞ N Ed Cmz ⎜1 + λ z − 0, 2 ⎟ χ z N Rk / γ M1 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ N Ed ≤ Cmz ⎜1 + 0,8 ⎟ χ / γ N ⎝ z Rk M1 ⎠
(
)
Pro I a H průřezy a pro pravoúhlé duté průřezy namáhané osovým tlakem a rovinným ohybem My,Ed může být kzy = 0.
Tab. 16 Interakční součinitele kij pro pruty, které jsou náchylné ke zkroucení [Tab. B.2 v ČSN EN 1993-1] Předpoklady navrhování
Interakční součinitele
Pružnostní návrh – průřezy třídy 3 a 4
Plasticitní návrh – průřezy třídy 1 a 2
kyy
kyy z tabulky B.1 (tab. 15)
kyy z tabulky B.1 (tab. 15)
kyz
kyz z tabulky B.1 (tab. 15)
kyz z tabulky B.1 (tab. 15)
kzy
⎡ ⎤ N Ed 0, 05λ z ⎢1 − ⎥ ⎣ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦ ⎡ ⎤ N Ed 0, 05 ≥ ⎢1 − ⎥ ⎣ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦
⎡ ⎤ N Ed 0,1λ z ⎢1 − ⎥ ⎣ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦ ⎡ ⎤ N Ed 0,1 ≥ ⎢1 − ⎥ ⎣ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦ pro λ z < 0,4 : kzy = 0, 6 + λ z ≤ 1 −
kzz
kzz z tabulky B.1 (tab. 15)
N Ed 0,1λz C 0, 25 N − χ ( mLT ) z Rk / γ M1
kzz z tabulky B.1 (tab. 15)
83
Mezní stavy únosnosti Tab. 17 Součinitele Cm ekvivalentního konstantního momentu v tab. 15 a 16 [Tab. B.3 v ČSN EN 1993-1] Průběh momentu
Rozsah
-1 ≤ ψ ≤ 1 0 ≤ αs ≤ 1 -1 ≤ αs < 0 0 ≤ αh ≤ 1 -1 ≤ αh < 0
Cmy a Cmz a CmLT rovnoměrné zatížení
soustředěné zatížení
0,6 + 0,4ψ ≥ 0,4
-1 ≤ ψ ≤ 1
0,2 + 0,8αs ≥ 0,4
0,2 + 0,8αs ≥ 0,4
0≤ψ≤1
0,1 - 0,8αs ≥ 0,4
-0,8αs ≥ 0,4
-1 ≤ ψ < 0
0,1(1-ψ) - 0,8αs ≥ 0,4
0,2(-ψ) - 0,8αs ≥ 0,4
-1 ≤ ψ ≤ 1
0,95 + 0,05αh
0,90 + 0,10αh
0≤ψ≤1
0,95 + 0,05αh
0,90 + 0,10αh
-1 ≤ ψ < 0
0,95 + 0,05αh(1+2ψ)
0,90 + 0,10αh(1+2ψ)
Součinitel ekvivalentního konstantního momentu při vybočení s posuvem styčníků (tj. v případech, kdy prvním vlastním tvarem vybočení je vybočení s vodorovným posuvem) se má uvažovat Cmy = 0,9 nebo CMz = 0,9. Cmy, Cmz a CmLT se mají stanovit v závislosti na průběhu momentu mezi příslušnými body podepření následovně: Součinitel osa ohybu body podepřené ve směru Cmy y-y z-z z-z y-y Cmz CmLT y-y y-y Poznámky: Tab. 15 se týká prutů uzavřeného průřezu nebo prutů, u kterých je zkroucení souvisle bráněno připojenou konstrukcí. Tab. 16 se týká prutů otevřeného průřezu v ostatních případech. Součinitel Cmy v tab. 17 se určí z tvaru momentu na délce Lcr,y, součinitel Cmz z tvaru momentu na délce Lcr,z, součinitel CmLT z tvaru momentu na délce L pro klopení.
6.3.4 Obecná metoda pro vzpěr z roviny a klopení konstrukčních částí Následující metoda se může použít, jestliže metody podle kap. 6.3.1, 6.3.2 a 6.3.3 nejsou vhodné. Obecně je vhodná v případech, kdy se u rovinných konstrukcí očekává výrazný vliv II. řádu v rovině. Konstrukce se řeší jako geometricky nelineárně rovinná s uvažováním všech imperfekcí v rovině namáhání, vzpěr z roviny a klopení se zavede ručním výpočtem pomocí součinitelů. Posouzení se provede podle rovnice
χ opα ult,k ≥ 1, 0 γ M1
84
(6.63)
Mezní stavy únosnosti kde λ op = α ult,k je globální poměrná štíhlost, určená pro vzpěr z roviny a klopení (6.64) α cr,op
χop
součinitel vzpěrnosti pro poměrnou štíhlost λ op ;
přičemž
αult,k
αcr,op
je nejmenší násobitel návrhového zatížení, při kterém se dosáhne hodnota charakteristické únosnosti v rozhodujícím průřezu prutu při jeho namáhání v rovině, ale bez uvažování vzpěru z roviny nebo klopení. Přitom se vnitřní síly v rovině určují nelineárním výpočtem se zavedením vlivu všech imperfekcí; nejmenší násobitel návrhových zatížení v rovině, při kterém se dosáhne pružná kritická únosnost prutu, stanovená s ohledem na vzpěr z roviny nebo klopení, ale bez uvažování vzpěru v rovině namáhání.
Součinitel χop lze určit různými postupy: může zahrnovat současně vzpěr z roviny i klopení, nebo může být určen odděleně pro oba jevy. Zavádí-li χop současně vzpěr z roviny i klopení, platí vztah M γ,Ed N Ed + ≤ χ op N Rk / γ M1 M y,Rk / γ M1
kde χop
(6.65)
lze určit jako menší z hodnot χz a χLT (což je konzervativní přístup), nebo se může vypočítat z lineárně stabilitního řešení metodou konečných prvků. Upozorňujeme ale, že běžný stabilitní výpočet prutové konstrukce není vhodný, protože postihuje pouze vzpěr tlačených prutů, nikoliv klopení.
Určuje-li se χop odděleně pro vzpěr z roviny i klopení, rozdělí se na součinitele χz a χLT a rovnice (6.63) přejde do tvaru M yEd N Ed + χ N Rk / γ M1 χ LT M yRk / γ M1
(6.66)
Vnitřní síly NEd, MEd ve vztazích (6.65) a (6.66) se určují výše popsaným postupem, tedy nelineárním výpočtem se všemi imperfekcemi při rovinném namáhání.
6.3.5 Klopení prutů s plastickými klouby 6.3.5.1 Všeobecně
Konstrukce mohou být navrženy pomocí plasticitní analýzy za předpokladu, že se klopení prutové konstrukce zabrání následujícími způsoby: • příčným podepřením v místech „rotačních“ plastických kloubů, viz kap. 6.3.5.2, a • ověřením stability v úseku mezi příčnými podporami plastických kloubů a jinými příčnými podporami, viz kap. 6.3.5.3. 6.3.5.2 Podepření rotačních plastických kloubů
V místech všech rotačních plastických kloubů má být průřez účinně podepřen proti příčnému vybočení a zkroucení. Toto podepření má mít potřebnou únosnost pro příčné síly a kroucení, vyvolané místními plastickými deformacemi prutu v posuzovaném místě. 85
Mezní stavy únosnosti Účinné podepření má být provedeno: • u prutů přenášejících moment nebo moment a osovou sílu pomocí příčného podepření obou pásnic. Může být také provedeno pomocí příčného podepření jedné pásnice a tuhým podepřením průřezu proti zkroucení, které zabezpečuje průřez proti příčnému posunutí tlačené pásnice vzhledem k tažené pásnici, viz obr. 19; • u prutů přenášejících pouze moment nebo moment a osový tah, jejichž tlačená pásnice je spojena se stropní deskou, pomocí podepření tlačené pásnice proti příčnému posunutí a zkroucení (například spojením s deskou, viz obr. 20). U průřezů štíhlejších než válcované I a H průřezy se má zabránit jejich distorzi v místě plastického kloubu (například výztuhou stojiny, připojenou k tlačené pásnici, která je tuze spojena s deskou).
Obr. 19 Typické tuhé podepření proti zkroucení
[Obr. 6.5 v ČSN EN 1993-1-1]
1
1 tlačená pásnice
Obr. 20 Typické podepření tlačené pásnice proti příčnému posunutí a zkroucení spojením [Obr. 6.6 v ČSN EN 1993-1-1] s deskou V místě každého plastického kloubu má být přípoj tlačené pásnice (například šrouby) k podporujícímu prvku v tomto místě (například vaznice) a všechny navazující prvky (například šikmá vzpěra) navrženy tak, aby přenesly místní sílu rovnu nejméně 2,5 % Nf,Ed. Síla Nf,Ed je osová síla v tlačené pásnici stabilizovaného prutu v místě plastického kloubu a přenáší se pásnicí v rovině kolmé k rovině stojiny. Při posouzení se neuvažuje s kombinací s jinými zatíženími. Podepření tlačené pásnice lze provést ve vzdálenosti menší než h/2 podél délky prutu od teoretické polohy plastického kloubu, kde h je celková výška průřezu v místě plastického kloubu. Při navrhování výztužného systému tlačeného nebo ohýbaného prutu podle kap. 5.3.3 se má kromě uvážení vlivu imperfekcí podle kap. 5.3.3 posoudit, zda výztužný systém může odolávat účinkům místních sil Qm, působících na všechny stabilizované pruty v místech plastických kloubů, kde: Qm = 1,5α m
N f,Ed 100
kde αm se stanoví podle 5.3.3 (1) ČSN EN 1993-1-1. 86
(6.67)
Mezní stavy únosnosti 6.3.5.3 Ověření stabilní délky úseku mezi podporami
Klopení úseků mezi příčnými podporami se může ověřit posouzením vzdálenosti mezi příčnými podporami, která nemá být větší než stabilní délka. Stabilní délka úseku nosníku stálého I nebo H průřezu s
h ≤ 40ε , zatíženého koncovými tf
momenty bez významného osového tlaku, se může stanovit z výrazů: Lstable = 35ε iz
pro 0, 625 ≤ ψ ≤ 1
Lstable = ( 60 − 40ψ ) ε iz
pro −1 ≤ ψ ≤ 0, 625
(6.68)
kde ε = 235 fy
ψ=
M Ed,min = poměr koncových momentů na úseku M pl,Rd
Stabilními délkami úseků s plastickými klouby pro vybočení z roviny se zabývá oddíl 3 přílohy BB normy. Jsou uvedeny vztahy pro takové největší vzdálenosti mezi příčným podepřením, aby bylo možné u nosníků navrhovaných plasticky zanedbat účinky ztráty stability při ohybu (klopení). Počítá se s pruty stálého průřezu i s pruty s náběhy, je zaveden i vliv tvaru momentového obrazce na řešeném prutu.
6.4 Členěné tlačené pruty stálého průřezu v tlaku 6.4.1 Všeobecně Eurokód předkládá přímé řešení členěných prutů stálého průřezu, s kloubovým uložením na koncích prutu. Jiné uložení vyžaduje individuální přístup. Zatímco k hmotné ose (procházející hmotou pásů) se členěný prut posuzuje jako celistvý, k nehmotné ose má nižší únosnost z důvodu diskrétního spojení pásů (chybí stojina prutu) a interakce celkového vybočení a vybočení dílčích prutů. Pro posouzení k nehmotné ose jsou přijaty následující předpoklady: • prut jako celek má počáteční průhyb (imperfekci) ve tvaru sinusoidy s amplitudou L ; e0 = 500 • smyková tuhost příhradových nebo rámových spojek SV (viz obr. 21) se uvažuje jako spojitá (rozmazaná). Uvedené řešení platí pro případy, kdy: • příhradové nebo rámové spojky tvoří stejné panely s rovnoběžnými pásy; • na prutu jsou nejméně tři panely.
87
Mezní stavy únosnosti
e0 = L/500
Obr. 21 Členěné pruty stálého průřezu s příhradovými a rámovými spojkami [Obr. 6.7 v ČSN EN 1993-1-1] Postup podle eurokódu lze použít i pro prostorové členěné pruty (např. s příhradovými spojkami ve dvou rovinách podle obr. 22) a pro pásy, které mohou být samy členěné s příhradovými nebo rámovými spojkami v kolmé rovině.
Lch = 1,52a
Lch = 1,28a
Obr. 22a Příhradové spojky ve čtyřech stěnách a vzpěrná délka Lch pásů [Obr. 6.8 v ČSN EN 1993-1-1]
88
Mezní stavy únosnosti
Lch = a
Obr. 22b Příhradové spojky ve čtyřech stěnách a vzpěrná délka Lch pásů [Obr. 6.8 v ČSN EN 1993-1-1] Při posuzování členěných prutů se posoudí pás (dílčí prut) na vzpěr uprostřed délky členěného prutu (v místě největšího vybočení členěného prutu) a spojky v koncových panelech, kde vzniká při vybočení největší posouvající síla. Návrhová síla v pásu Nch,Ed se stanoví z osové síly NEd a momentu MEd uprostřed výšky členěného prutu. Pro prut se dvěma stejnými pásy platí: N ch,Ed = 0,5 N Ed +
kde
M Ed =
N cr =
Ncr NEd MEd 1 M Ed
h0 Ach Ieff Sv
M Ed h0 Ach 2 I eff
(6.69)
1 N Ed e0 + M Ed N N 1 − Ed − Ed N cr Sv
π 2 EI eff
L2 je účinná kritická síla členěného prutu; návrhová hodnota tlakové síly členěného prutu; návrhová hodnota největšího momentu uprostřed členěného prutu s uvážením účinků druhého řádu (má sinusový průběh po délce L);
návrhová hodnota největšího momentu od vnějšího zatížení uprostřed členěného prutu bez uvážení účinků druhého řádu; vzdálenost mezi těžišti pásů; průřezová plocha jednoho pásu; účinný moment setrvačnosti členěného prutu, viz kap. 6.4.2 a 6.4.3; smyková tuhost panelu s příhradovými nebo rámovými spojkami, viz kap. 6.4.2 a kap. 6.4.3.
Posouzení spojek členěného prutu s příhradovými i rámovými spojkami se provede pro koncový panel, kde smyková síla v členěném prutu VEd (která má kosinusový průběh po délce L) plyne z derivace momentu MEd. Největší hodnota na konci členěného prutu je M (6.70) V Ed = π Ed L 89
Mezní stavy únosnosti
6.4.2 Členěné tlačené pruty s příhradovými spojkami 6.4.2.1 Únosnost součástí členěných tlačených prutů s příhradovými spojkami
Pásy (dílčí pruty) se posoudí na vzpěr N ch,Ed N b,Rd
≤ 1, 0
kde Nch,Ed Nb,Rd
(6.71)
je návrhová tlaková síla v pásu uprostřed délky členěného prutu podle (6.69); návrhová vzpěrná únosnost pásu pro vzpěrnou délku Lch rovnou vzdálenosti styčníků, popř. u prostorových členěných prutů podle obr. 22.
Smykovou tuhost SV příhradových spojek lze stanovit jako převrácenou hodnotu smykové úhlové deformace od jednotkových smykových sil, působících protisměrně na příhradový panel. Hodnoty SV pro obvyklé uspořádání panelů jsou uvedeny na obr. 23. Účinný moment setrvačnosti členěných prutů s příhradovými spojkami lze stanovit ze Steinerovy věty po zanedbání momentů setrvačnosti pásů k vlastní ose: I eff = 0 ,5 h02 Ach
(6.72)
Systém
SV
n je Ad , AV jsou
nEAd ah02 2d 3
2 0
nEAd ah
d3
nEAd ah02 ⎡ A h3 ⎤ d 3 ⎢1 + d 03 ⎥ ⎣ AV d ⎦
počet rovin příhradového ztužení; průřezové plochy diagonál a svislic.
Obr. 23 Smyková tuhost příhradových spojek členěných prutů
[Obr. 6.9 v ČSN EN 1993-1-1]
6.4.2.2 Konstrukční detaily
Jednoduchý příhradový systém spojek na protilehlých stranách členěného prutu má odpovídat uspořádání podle obr. 24. Při protisměrném uspořádání podle obr. 25 dochází ke kroucení členěného prutu, které je třeba posoudit. Na koncích členěného prutu a v místech spojení s jinými pruty je nutné členěný prut vyztužit spojkami. 90
Mezní stavy únosnosti
6.4.3 Členěné tlačené pruty s rámovými spojkami 6.4.3.1 Únosnost součástí členěných tlačených prutů s rámovými spojkami
Smyková tuhost SV se stanoví ze smykové deformace Vierendeelova pole mezi spojkami: Sv =
24 EI ch ⎡ 2I h ⎤ a ⎢1 + ch 0 ⎥ nI b a ⎦ ⎣
≤
2
2π 2 EI ch a2
(6.73)
Účinný moment setrvačnosti členěných prutů s rámovými spojkami se stanoví z výrazu: I eff = 0 ,5 h02 Ach + 2 µ I ch
kde Ich Ib
µ n
(6.74)
je moment setrvačnosti jednoho pásu v rovině; moment setrvačnosti jedné rámové spojky v rovině; součinitel účinnosti podle tab. 18; počet rovin s rámovými spojkami. pás Ë
Příhradovina na povrchu A
Příhradovina na povrchu B
Obr. 24 Souběžný systém příhradových spojek (doporučený systém)
pás Ë
Příhradovina na povrchu A
Příhradovina na povrchu B
Obr. 25 Vzájemně protisměrný systém příhradových spojek (nedoporučuje se)
Obr. 24 a 25 Jednoduchý systém příhradových spojek dvou protilehlých stran členěného prutu [Obr. 6.10 v ČSN EN 1993-1-1]
91
Mezní stavy únosnosti Pásy (dílčí pruty) se posoudí na vzpěr uprostřed délky členěného prutu pro odpovídající sílu Nch,Ed. Dále se posoudí na vzpěr a moment v koncovém úseku prutu, odvozený z obr. 26, kde pro sílu Nch,Ed ve vztahu (6.69) je excentricita počátečního prohnutí e0 ≈ 0 (pro zjednodušení dovoluje Eurokód 3 uvažovat v celé délce členěného prutu sílu Nch,Ed stanovenou uprostřed délky prutu a smykovou sílu VEd). Spojky se posoudí na ohyb podle obr. 26 (MEd,V = VEd a/4).
Obr. 26 Momenty a síly v koncovém panelu členěného prutu s rámovými spojkami [Obr. 6.11 v ČSN EN 1993-1-1] Tab. 18 Součinitel účinnosti µ
[Tab. 6.8 v ČSN EN 1993-1]
Podmínka
Součinitel účinnosti µ
λ ≥ 150
0
75 < λ < 150
λ ≤ 75 kde λ =
92
µ = 2−
λ 75
1,0
L I1 ; i0 = ; I1 = 0,5h02 Ach + 2 I ch i0 2 Ach
Mezní stavy únosnosti 6.4.3.2 Konstrukční detaily
Rámové spojky musí být provedeny na obou koncích prutu, dále alespoň 2 mezilehlé a v mezilehlých místech ve kterých se přenáší zatížení, nebo je připojeno příčné podepření. Jestliže jsou rámové spojky provedeny v rovnoběžných rovinách, mají být v obou rovinách uspořádány vzájemně proti sobě.
6.4.4 Složené členěné pruty Tlačené členěné pruty, jejichž pásy na sebe doléhají nebo jsou umístěny blízko sebe a jsou spojeny vložkami, viz obr. 27, nebo křížové pruty z úhelníků spojené dvojicemi spojek ve dvou kolmých rovinách, viz obr. 28, se posuzují na vzpěr jako jeden celistvý prut se zanedbáním vlivu smykové tuhosti (SV = ∞), jestliže jsou splněny podmínky uvedené v tab. 19. z
y
z
y
y
z
z
y
z
y
z
Obr. 27 Složené členěné pruty
y
y
y
z
z
[Obr. 6.12 v ČSN EN 1993-1-1]
Tab. 19 Největší rozteče spojek ve složených členěných prutech nebo v křížových členěných prutech z úhelníků [Tab. 6.9 v ČSN EN 1993-1] Největší rozteč mezi spojkami∗)
Typ členěného prutu Pruty podle obrázku 6.12, spojené šrouby nebo svary (obr. 27)
15 imin
Pruty podle obrázku 6.13, spojené dvojicemi spojek (obr. 28)
70 imin
∗)
vzdálenost těžišť spojek; imin je nejmenší poloměr setrvačnosti jednoho pásu nebo jednoho úhelníku
Při použití nerovnoramenných úhelníků, viz obr. 28, se může vzpěr k ose y-y posuzovat s hodnotou iy =
i0 1,15
kde i0
(6.75) je nejmenší poloměr setrvačnosti členěného prutu.
y v v z
z
v v y
Obr. 28 Křížové členěné pruty z úhelníků
[Obr. 6.13 v ČSN EN 1993-1-1] 93
Mezní stavy použitelnosti
7 Mezní stavy použitelnosti 7.1 Všeobecně Základní požadavky mezních stavů použitelnosti jsou uvedeny v ČSN EN 1990, 3.4 (zahrnují řádnou funkci, pohodu osob a vzhled). V projektu má být uvedena specifikace mezních stavů použitelnosti a příslušných zatěžovacích a výpočetních modelů. V mezním stavu použitelnosti se nevylučuje plastická globální analýza a plastické rozdělení napětí. Pro vzhled a dlouhodobé účinky se uvažuje kvazistálá kombinace zatížení.
7.2 Mezní stavy použitelnosti pozemních staveb Podle ČSN EN 1990, příloha A1.4, se svislé průhyby, vodorovné průhyby a dynamické účinky stanoví dohodou s objednavatelem a uvedou v projektu.
7.2.1 Svislé průhyby V ČR jsou dány v národní příloze (viz tab. 20), ve které L je rozpětí nosníku. Pro konzoly je nutné uvažovat délku L rovnu dvojnásobku délky konzoly. U prostorových konstrukcí nebo v jiných případech, kdy klasifikace nosných prvků podle tab. NA.1 není zřejmá, je nutné omezit průhyb δmax každého prvku vůči spojnici jeho podpor hodnotou nejvýše 1/250 jeho rozpětí. Největší průhyb se stanoví ze vztahu
δmax = δ1 + δ2 – δ0
(NA.1)
kde δmax je největší průhyb vztažený k přímce spojující podpory; δ0 nadvýšení nosníku v nezatíženém stavu – stav (0); δ1 průhyb nosníku od stálých zatížení bezprostředně po zatížení – stav (1); δ2 součet průhybů nosníku od proměnných zatížení a časový nárůst průhybu od stálých zatížení – stav (2). Tab. 20 Doporučené největší hodnoty svislých průhybů
[Tab. NA.1 v ČSN EN 1993-1]
Konstrukce, dílce Střešní konstrukce • vaznice • vazníky • s častým výskytem osob Stropní konstrukce • stropnice • průvlaky • nesoucí sloupy, pokud nebyl průhyb zahrnut v posouzení mezního stavu únosnosti
94
Mezní hodnoty
δmax
δ2
– – L/250
L/200 L/250 L/300
– – L/400
L/250 L/400 L/500
Mezní stavy použitelnosti Tab. 20 pokračování Mezní hodnoty
Konstrukce, dílce
δmax
δ2
L/250
L/350
Stěny • překlady
–
L/600
Průmyslové plošiny • podlahové nosníky • průvlaky • nosníky pod kolejí úzkého rozchodu • nosníky pod železniční kolejí
– – – –
L/250 L/400 L/300 L/400
L/250
–
Stropní a střešní konstrukce • nesoucí dlažby, omítky nebo jiné křehké obklady a nepoddajné příčky
Případy, kdy průhyb δmax může narušit vzhled objektu
U střešních konstrukcí s malým sklonem je nutné prokázat, že vytváření kaluží dešťové vody a vznik odpovídajících přírůstků průhybu nepovedou k narušení provozu, porušení izolací, závadám na odvodnění nebo k přetížení konstrukce.
7.2.2 Vodorovné průhyby V ČR se doporučuje největší hodnoty vodorovných průhybů δ konstrukcí pozemních staveb určovat následovně: Prvky stěn • příčle zasklení • sloupky a paždíky • sloupky a paždíky u zasklených a vyzděných stěn kde L je rozpětí prvku.
L/200 L/250 L/300
Vrcholy sloupů budov bez jeřábových drah od zatížení větrem • u portálových rámů h/150 h/300 • u jednopodlažních budov • u vícepodlažních budov: a) v každém podlaží h/300 b) pro konstrukci jako celek h0/500 Hodnota h je výška sloupu nebo podlaží; celková výška budovy. h0 Jsou-li stěny vyzděny, nemá být vodorovný průhyb sloupů vícepodlažních budov větší než 1/1000 výšky budovy. Přitom lze počítat se spolupůsobením zdiva, pokud je konstrukčně zajištěno.
95
Mezní stavy použitelnosti
7.2.3 Dynamické účinky Konstrukce přístupné obsluze nebo veřejnosti mají být navrženy tak, aby dynamické účinky zatížení, vyjádřené zejména zrychlením a frekvencí, nevyvolávaly nepohodu uživatele. Rozhodující vlastní frekvence konstrukce a jejích částí mají být pro zamezení rezonance dostatečně odlišné od frekvence budících sil. Vlastní frekvence f1 stropních konstrukcí v obytných, administrativních a obdobných budovách nemá být menší než 3 Hz, v tělocvičnách, tanečních sálech, tribunách apod. menší než 6 Hz. Ve zvláštních případech je třeba dynamickým výpočtem prokázat, že výsledná zrychlení a frekvence nezpůsobí výraznou nepohodu uživatele, nebo poruchy zařízení a jeho funkce. Národní příloha uvádí, že uvedené podmínky budou přibližně splněny, pokud průhyby nosníků o rozpětí L ≤ 10 m jsou: δ1 + δ2 ≤ 28 mm; • u běžně přístupných stropních a střešních konstrukcí • u tělocvičen, tanečních sálů, tribun apod. δ1 + δ2 ≤ 10 mm. Limity jsou odvozeny z podobnosti vztahů pro průhyb a první vlastní frekvenci prostého nosníku se soustředěnou hmotou uprostřed rozpětí. Správnější hodnota, pro prosté nosníky s rovnoměrně rozloženou hmotou, vede k teoretickému vztahu:
δ1 + δ 2 ≤
315, 2 f12
z něhož limit v prvním případě činí 35,0 mm a v druhém případě 8,7 mm. Netuhé konstrukce nebo některé jejich části (např. nosné konstrukce štíhlých budov, velkorozponová zastřešení a táhla) je potřebné posoudit z hlediska dynamických účinků větru ve směru i kolmo na směr větru.
96
Příklady
8 Příklady 8.1 Tažený prut – pás úhelníkového příhradového vazníku Navrhněte dolní pás příhradového vazníku z jednoho rovnoramenného úhelníku, viz obr. 29, z oceli S235 na vnitřní sílu NEd = 250 kN. Předpokládejte montážní šroubovaný styk pásu. η ξ
Obr. 29 Průřez pásu Návrh průřezu
Minimální průřezová plocha úhelníku Amin =
N Ed γ M0 fy
=
250 ⋅103 ⋅1, 0 = 1064 mm2 235
Navrhne se L90 x 8, jehož plocha průřezu je A = 1390 mm2. Posouzení mezního stavu únosnosti
Návrhová plastická únosnost plného průřezu: N t,Rd =
A fy
γ M0
=
1390 ⋅ 235 = 284, 0 ⋅103 N = 284 kN > NEd = 250 kN 1,15
viz (6.6)
Pro úhelník L90 je vhodný šroub M20. Budeme tedy předpokládat oslabení otvorem průměru 22 mm v každém rameni. Oslabená plocha: Anet = 1390 − 2 ⋅ 8 ⋅ 22 = 1038 mm2 Návrhová únosnost oslabeného průřezu: N u,Rd =
0,9 Anet f u
γ M2
=
0,9 ⋅1038 ⋅ 360 = 269, 0 ⋅103 N =269 kN > NEd = 250 kN 1, 25
viz (6.7)
Navržený průřez vyhovuje.
8.2 Tlačený prut – sloup průřezu I Stanovte únosnost centricky tlačeného prutu délky 4,5 m, profil IPE 300, ocel S 355. Prut je na obou koncích uložen kloubově a ve třetinách délky je zajištěn proti vybočení kolmo k ose z, viz obr. 30. 97
Příklady b
Průřezové hodnoty pro IPE 300: A = 5381 mm2
r d
h tw
y
Iy = 83,6 ⋅106 mm4
4 500
4
Iz = 6,04 ⋅10 mm 6
tf
z
iy = 124,6 mm iz = 33,5 mm
y z
Obr. 30 Tlačený prut Zatřídění průřezu (viz kap. 5.5.2)
Stojina 235 d 300 − 2 ⋅10, 7 − 2 ⋅15 = = 35 ≤ 38ε = 38 = 38 ⋅ 0,92 = 35 tW 7,1 fy
(viz tab. 6)
Pásnice c 75 235 = = 7 ≤ 10ε = 10 = 10 ⋅ 0,92 = 9, 2 tf 10, 7 fy
(viz tab. 6)
Profil IPE 300 odpovídá pro rovnoměrný tlak průřezu třídy 2. Vzpěrné délky vyplývají ze zadání:
Lcr,y = 4500 mm Lcr,z = 1500 mm Poměrná štíhlost
Poměrnou štíhlost tlačeného prutu λ , potřebnou pro určení součinitele vzpěru χ, lze nalézt dvěma postupy: výpočtem štíhlosti λ nebo výpočtem kritické síly ideálního prutu Ncr. Zde ukážeme oba postupy. 1. Výpočet s využitím štíhlostí λ
Štíhlosti při vybočení v hlavních rovinách
λy =
λz =
98
Lcr,y iy
Lcr,z iz
=
4500 = 36 124, 6
=
1500 = 45 33,5
Příklady Poměrné štíhlosti
λy =
λy 36 = = 0, 47 λ1 76, 4
λz =
λz 45 = = 0,59 λ1 76, 4
kde λ1 = 93,9ε = 93,9
viz (6.50)
235 235 = 93,9 = 76, 4 fy 355
2. Výpočet s využitím kritických sil Ncr
Kritické síly N cr, y = N cr, z =
π 2 EI y
=
2 cr, y
L
π 2 EI z 2 cr, z
L
=
π ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ 83,6 ⋅ 106 4500 2
π ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ 6 ,04 ⋅ 106 15002
= 8557 ⋅ 103 N = 5564 ⋅ 103 N
Poměrné štíhlosti
λy = λz =
A fy N cr,y A fy N cr,z
=
5381 ⋅ 355 = 0, 47 8557 ⋅103
=
5381 ⋅ 355 = 0,59 5564 ⋅103
viz (6.50)
Je vidět, že oba postupy vedou ke stejnému výsledku. Součinitele vzpěrnosti
Křivka vzpěrné pevnosti se určí z tab. 9 v závislosti na typu průřezu: křivka a • k ose y-y • k ose z-z křivka b Součinitele vzpěrnosti: viz vztah (6.49) nebo obr. 16 χ y = 0,933 pro λ y = 0, 47 a křivku vzpěrné pevnosti a,
χ z = 0,842 pro λ z = 0,59 a křivku vzpěrné pevnosti b
… rozhoduje
Návrhová vzpěrná únosnost prutu pro průřezy tříd 1, 2 a 3: N b,Rd =
χ min A f y 0,842 ⋅ 5381 ⋅ 355 = = 1608 ⋅103 N = 1608 kN γ M1 1, 0
viz (6.47)
Poznámka: Válcované profily jsou v závislosti na způsobu namáhání (tlak/ohyb) a na pevnostní třídě oceli zatříděny v tabulkách, např. [7].
99
Příklady
8.3 Ohyb stropního nosníku válcovaného průřezu bez ztráty stability Navrhněte nosník válcovaného průřezu IPE, viz obr. 31. Tíha stropní desky je 2,1 kN/m2, proměnné zatížení q = 2,5 kN/m2, vzdálenost nosníků (zatěžovací šířka) je 1,8 m. Nosník je zajištěn stropní deskou proti klopení po celé délce. Ocel třídy S235. Mezní průhyb δmax = L/250, mezní průhyb od proměnného zatížení δ2 = L/300. q
g
L = 6,6 m
Obr. 31 Schéma stropního nosníku Zatížení
charakteristické Stálé – deska
návrhové
2,1 kN/m2 ⋅1,8 = 3, 78 kN/m
1,35
5,10 kN/m
0,3 kN/m
1,35
0,41 kN/m
2,5 kN/m2 ⋅1,8 = 4,50 kN/m
1,50
6,75 kN/m
– vlastní tíha – odhad Proměnné (užitné)
souč. zat.
Celkem
8,58 kN/m
12,26 kN/m
Vnitřní síly 1 1 M Ed = qEd L2 = ⋅12, 26 ⋅ 6, 62 = 66,8 kNm 8 8 VEd =
1 1 qEd L = ⋅12, 26 ⋅ 6, 6 = 40,5 kN 2 2
Návrh profilu
Lze očekávat, že válcovaný profil bude splňovat požadavky pro průřez 1. třídy. Je proto možné stanovit nutný plastický průřezový modul: Wpl,y,min =
100
M Ed γ M 0 66,8 ⋅106 ⋅1, 0 = = 284,3 ⋅103 mm3 fy 235
Příklady Potřebný moment setrvačnosti z podmínky δmax = L/250:
δ max =
L 5 qk L4 5 ⋅ 8,58 ⋅ 66004 = = 250 384 EI y,min 384 ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ I y,min
I y,min ≥
250 ⋅ 5 ⋅ 8,58 ⋅ 66003 = 38, 24 ⋅106 mm4 384 ⋅ 210 ⋅103
Návrh: IPE 240
m = 30,7 kg/m Wpl,y = 366, 6 ⋅103 mm3 I y = 38,92 ⋅106 mm4
Avz = 1914 mm2 Zatřídění průřezu (viz kap. 5.5.2)
Stojina: d 194, 0 235 = = 31, 29 < 72 ⋅ ε = 72 ⋅ = 72, 0 6, 2 tw fy
(viz tab. 6)
c 60, 0 = = 6,1 < 10 ⋅ ε = 10, 0 tf 9,8
Pásnice:
. . . průřez třídy 1. Posouzení mezního stavu únosnosti
Protože vlastní tíha profilu 0,307 kN/m se blíží odhadnuté hodnotě 0,3 kN/m, lze určené zatížení ponechat. Návrhový moment únosnosti pro průřez třídy 1: M pl,Rd =
Wpl f y
γ M0
=
366, 6 ⋅103 ⋅ 235 = 74,9 ⋅106 Nmm 1, 0
Mpl,Rd = 74,9 kNm > MEd = 66,8 kNm
viz (6.13)
Návrhová smyková únosnost: Vpl,Rd =
Awz f y
γ M0 3
=
1914 ⋅ 235 1, 0 ⋅ 3
= 260 ⋅103 N = 260 kN > VEd = 40,5 kN
viz (6.18)
Nosník v mezním stavu únosnosti vyhoví.
101
Příklady Posouzení mezního stavu použitelnosti
Průhyb se vypočítá pro provozní zatížení při mezním stavu použitelnosti (dílčí součinitel zatížení γF = 1,0). Posoudí se průhyb od veškerého zatížení δ i průhyb od proměnného zatížení δ2.
δ=
5 qk L4 5 ⋅ 8,58 ⋅ 66004 6600 = = 25,9 mm < δ max = = 26,4 mm 3 6 384 EI y 384 ⋅ 210 ⋅ 10 ⋅ 38,92 ⋅ 10 250
δ2 =
4
5 q2, k L 5 ⋅ 4 ,5 ⋅ 66004 6600 = = 13,6 mm < δ max = = 22 mm 3 6 384 EI y 384 ⋅ 210 ⋅ 10 ⋅ 38,92 ⋅ 10 3000
Nosník na průhyb vyhoví. Dále je třeba posoudit kmitání nosníku. Podle národní přílohy nemá být u stropního nosníku první vlastní frekvence kmitání menší než 3 Hz. To lze přibližně zajistit splněním podmínky
δ1 + δ2 ≤ 28 mm 25,9 mm < 28 mm Podmínka je splněna.
8.4 Ohyb konzoly Navrhněte konzolu válcovaného průřezu IPE, zatíženou podle obr. 32. Konzola je zatížena krátkodobým proměnným charakteristickým zatížením Pk = 200 kN, součinitel zatížení γQ = 1,5. V působišti síly je bráněno klopení. Průhyb není omezen. Ocel třídy S355. F
500
Obr. 32 Schéma konzoly Vnitřní síly FEd = γ Q Fk = 1,5 ⋅ 200 = 300 kN VEd = FEd = 300 kN M Ed = FEd L = 300 ⋅ 0,5 = 150 kNm
Návrh profilu
Lze očekávat, že bude splňovat požadavky pro průřez 1. třídy. Je proto možné stanovit nutný plastický průřezový modul: M γ 150 ⋅106 ⋅1, 0 = 422 ⋅103 mm3 Wpl,y,min = Ed M0 = 355 fy 102
Příklady b
c
Návrh: IPE 270 (viz obr. 33)
r
Wpl,y = 484 ⋅103 mm3
d
h tw
y
Avz = 2, 214 ⋅103 mm3
třída průřezu pro ohyb, ocel S355: 1 (podle libovolných tabulek, např. [7])
tf z
Obr. 33 Průřez konzoly Posouzení
Je zřejmé, že konzola je krátká a únosnost není ovlivněna klopením. Pro ilustraci však ukážeme pomocí postupu podle kap. 6.3.2.4, že klopení skutečně ohybovou únosnost neovlivní, tj. že platí podmínka
λf =
M c,Rd kc Lc ≤ λc0 i f , z λ1 M y,Ed
viz (6.59)
Jednotlivé proměnné: kc =
1 1 = = 0, 75 1,33 − 0,33ψ 1,33 − 0,33 ⋅ 0
[viz tab. 6.6 v ČSN EN 1993-1-1]
λ c 0 = λ LT,0 + 0,1 = 0, 4 + 0,1 = 0,5 Poloměr setrvačnosti průřezu složeného z tlačené pásnice a 1/3 tlačené části plochy stojiny: ifz =
kde
I f, z Afz
I f, z =
=
2,091 ⋅ 106 = 36,9 mm 1537
10 ,2 ⋅ 1353 = 2,091 ⋅ 106 mm4 12
Afz = Af +
Aw A − Aw Aw 3912 − 190, 4 ⋅ 6, 6 190, 4 ⋅ 6, 6 = + = + = 1537 mm2 2⋅3 2 6 2 6
Po dosazení:
λf =
M kc Lc ≤ λ c 0 c,Rd if,z λ1 M y,Ed
λf =
M M kc Lc 0, 75 ⋅ 500 = = 0,133 ≤ λ c 0 c,Rd = 0,5 c,Rd if,z λ1 36,9 ⋅ 93,9 ⋅ 235 / 355 M y,Ed M y,Ed
viz (6.59)
103
Příklady Podmínka je jistě splněna, stačí tedy posoudit únosnost rozhodujícího průřezu. Pro průřez třídy 1 nebo 2 není třeba odděleně posuzovat samotnou ohybovou únosnost, protože rozhodne ohybová únosnost redukovaná vlivem smyku. Návrhová smyková únosnost: Vpl,Rd =
Avz
fy
γ M0
3
=
2,214 ⋅103 355 ⋅ = 453,8 ⋅103 N = 453 kN > VEd = 300 kN 1, 0 3
Konzola na smyk vyhoví. Protože smyková síla přesahuje 50 % smykové únosnosti, je nutné redukovat momentovou únosnost podle kap. 6.2.8. Redukovaný moment únosnosti se stanoví pro příslušný parametr ρ 2
⎛ 2V ⎞ ⎛ 2 ⋅ 300 ⎞2 − 1⎟ = 0,105 ρ = ⎜ Ed − 1⎟ = ⎜ ⎜ Vpl,Rd ⎟ ⎝ 453 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ρ AV2 M V,Rd = ⎜ Wpl − 4 tw ⎝
⎞ fy ⎟ ⎠ γ M0
viz (6.30)
⎛ 0,105 ⋅ 22142 ⎞ 355 = 164,9 ⋅106 Nmm = 164,9 kNm M V,Rd = ⎜ 484 ⋅103 − ⎟⋅ ⋅ 4 6, 6 1, 0 ⎝ ⎠
Posouzení: 164,9 kNm < 150 kNm. Konzola vyhoví.
8.5 Kloubový rám Příklad ilustruje globální analýzu jednoduchého dvojkloubového rámu (obr. 34) a alternativní posouzení jeho stojky a příčle. Pruty jsou navrženy z válcovaných tyčí (stojka HEB 340, příčle IPE 550), z oceli třídy S235. IPE 550 HE 340 B 24000
10000
Průřezové parametry:
IPE 550
HEB 340
A [mm2]
13 440
17 090
Iy [106 mm ]
671,2
366,6
iy [mm]
223,5
146,5
4
iz [mm]
44,6
75,3
Wpl,y [103 mm3]
2787
2408
Obr. 34 Kloubový rám Poznámka: Návrh průřezů byl proveden na základě doporučených deformací (svislého průhybu příčle a vodorovného posuvu rámového rohu) od charakteristických zatížení. Tento výpočet zde není ilustrován .
104
Příklady Analyzovány jsou dvě kombinace zatížení (viz obr. 35): K1 – zatížení vlastní tíhou a sněhem, K2 – zatížení vlastní tíhou a větrem. 0,6 kN/m'
12 kN/m' imp 2
40 kN
40 kN
4,6 kN/m' 40 kN
40 kN
imp 1
+ 3,0 kN/m'
Kombinace K1 Obr. 35 Varianty kombinace zatížení
10000
14000
- 1,5 kN/m'
Kombinace K2
Globální analýza
Řešení je provedeno podle teorie 1. řádu, postupem podle kap. 5.2.2 (7b) ČSN EN 1993-1-1. Kombinace 1
Imperfekce soustavy:
φ = φ0 α n α m = kde α h =
2 h
1 2 ⋅ ⋅ 0,87 = 0, 0029 200 3 2
=
10 ⎛ ⎝
α m = 0,5 ⎜1 +
ale α h,min =
viz (5.5)
2 3
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎟ = 0,5 ⎜ 1 + ⎟ = 0,87 m⎠ ⎝ 2⎠
imp 1 = φ ∑ V = 0, 0029 ⋅ (12 ⋅ 24 + 80 ) = 1, 07 kN Vlastní tvary vybočení
Kritický 1. tvar: αcr(1)= 6,93 Obr. 36 Tvary vybočení pro kombinaci 1
2. tvar: αcr(1)= 44,28
Protože αcr(1)= 6,93 < 10, je nutné uvažovat účinky 2. řádu. Ukážeme ruční výpočet podle 5.2.2 (5) B ČSN EN 1993-1-1.
105
Příklady Součinitel 2. řádu: 1 1 = = 1,169 1 1 1− 1− 6,932 α cr
viz (5.4)
Vnitřní síly
Vodorovná síla od imperfekcí Φ se zvětší účinkem 2. řádu, tj.: H = 1, 07 ⋅1,169 = 1, 25 kN
Výsledné vnitřní návrhové síly (viz obr. 37) získané z řešení teorií 1. řádu s vodorovnou silou H (obdobně přímo z řešení teorií 2. řádu podle poznámky výše): -374,6
387,1
144,5
-38,7
-483,2
143,5 -183,5
MEd [kNm] Obr. 37 Vnitřní síly pro kombinaci 1
-184,5
NEd [kN]
-37,5
38,7
VEd [kN]
Posouzení stability se provede pro vodorovně neposuvnou příčel, tj. bezpečně pro systémové délky prutů stojka:
hcr = 10 000 mm ⇒ poměrná štíhlost λ =
λy 10000 / 146,5 = = 0, 73 λ1 93,9
příčel:
Lcr = 24 000 mm ⇒ poměrná štíhlost λ =
λy 24000 / 223,5 = = 1,14 λ1 93,9
Kombinace 2 (viz obr. 35)
Imperfekce soustavy ve tvaru naklonění není nutné uvažovat, protože vodorovné zatížení je velké. HEd = 45,0 kN > 0,15 VEd = 0,15·150,4 = 22,6 kN Vlastní tvary vybočení
Kritický 1. tvar: αcr(1)= 16,958
2. tvar: αcr(1)= 99,396
Obr. 38 Tvary vybočení pro kombinaci 2
Protože αcr(1)= 16,958 > 10, není nutné uvažovat účinky 2. řádu (postup s jejich zahrnutím jako v případu kombinace 1 je však samozřejmě možný). 106
Příklady Vnitřní síly (podle teorie 1. řádu) 213,9
11,1
56,2
-13,9 -13,9
-14,2
13,9
16,1
28,9
129,9 -54,2
MEd [kNm]
NEd [kN]
-96,2
VEd [kN]
Obr. 39 Vnitřní síly pro kombinaci 2 Imperfekce pro řešení podle teorie 2. řádu
K běžnému posouzení průřezů se součiniteli vzpěru a klopení je třeba ověřit, zda není nutné v globální analýze uvažovat současně vedle globálních imperfekcí i imperfekce prutové. To je nutné, pokud současně: • na jednom konci prutu (stojky) je ohybově tuhý přípoj (splněno); • štíhlost pro systémovou délku je větší než
λ > 0,5
A fy N Ed
= 0,5
17090 ⋅ 235 = 2,34 184, 0 ⋅10,3
viz (5.8)
V našem případě je
λ=
λ y 10000 / 146,5 = = 0, 73 < 2, 34 λ1 93,9
kde λ1 = 93,9 235 / f y = 93,9 Druhá podmínka tedy není splněna a běžná globální analýza, pouze s uvažováním globálních imperfekcí (tj. náklonu konstrukce), je proto možná. Posouzení sloupu rámu
O únosnosti sloupu rozhoduje možnost ztráty stability prutu, proto není třeba posuzovat průřez na kombinaci prostého ohybu a osové síly. Nebudeme ilustrovat ani posudek smykové únosnosti, ale ukážeme dva různé, výše popsané postupy posouzení tlačeného a ohýbaného prutu. Výpočet budeme z prostorových důvodů ilustrovat pouze pro kombinaci 1. Profil: HE 340 B (viz zadání příkladu ) Zatřídění: třída průřezu 1 (např. podle tabulek [4] platí pro ohyb i pro tlak) Vnitřní síly
NEd = 184,5 kN My,Ed = 387,1 kNm
107
Příklady Posouzení průřezu (viz kap. 6.1.9.2)
Pro dvojose symetrické I a H průřezy není nutné uvažovat účinek osové síly na redukci plastického momentu únosnosti při ohybu okolo osy y-y, jestliže jsou splněny obě následující podmínky: N Ed ≤ 0, 25 N pl,Rd
viz (6.33)
184,5 kN ≤ 0, 25 ⋅ 4016 = 1004 kN kde
N pl,Rd = A f y = 17090 ⋅ 235 ⋅10−3 = 4016 kN N Ed ≤
0,5hw tw f y
viz (6.34)
γ M0
184,5 ≤
0,5 ⋅ 340 ⋅12 ⋅ 235 ⋅10−3 = 479, 4 kN 1, 0
Obě podmínky jsou splněny. Stačí tedy posoudit momentovou únosnost průřezu. M pl,Rd =
Wpl f y
γ M0
=
2408 ⋅103 ⋅ 235 = 569,9 ⋅106 Nmm = 569,9kNm > M Ed = 387,1 kNm 1, 0
Všechny průřezy sloupu vyhoví. Poznámka: V některých případech může být posouzení průřezu rozhodující i pro prut, který je namáhán kombinací tlakové síly a ohybového momentu a je χy <1 a χz <1.
Posouzení na ohyb a tlak s vlivem stability (viz kap. 6.3.3)
Posouzení se provede postupem podle odst. 5.2.2(7b) ČSN EN 1993-1-1. Použijí se interakční podmínky (6.61), (6.62). Součinitele interakce se určí podle přílohy B normy ČSN EN 1993-1-1. Vstupní hodnoty pro stabilitní posouzení
Vzpěrná délka z roviny rámu: Lcr,z = 10 m Vzpěrná délka na klopení: LLT = 10 m Štíhlosti Lcr,y = 10 m
λz =
⇒ λ y = 0, 73 (bylo již uvedeno u výpočtu vnitřních sil)
L cr .z 10000 = = 132,8 75,3 iz
⇒ poměrná štíhlost
λz =
kde λ1 = 93,9 235 / f y = 93,9 Součinitele vzpěrnosti
108
χ y = 0, 768
pro křivku vzpěrné pevnosti b
χ z = 0,344
pro křivku vzpěrné pevnosti c
λz 132,8 = = 1, 41 λ1 93,9
Příklady Klopení Výpočet kritického momentu Mcr
Tlačená pásnice sloupu není v příčném směru podepřena. Sloup proto musí být posouzen s vlivem klopení. Kritický moment ohýbaného prutu se určí podle přílohy NB.3 pro následující okrajové podmínky: • L = 10 000 mm (výška sloupu, protože tlačená pásnice sloupu je v příčném směru podepřena v patce a ve vrcholu); • kz = 1,0 (na obou koncích úseku prutu o délce L je možné natočení průřezu okolo osy menší tuhosti z); • kw = 1,0 (deplanaci není ani na jednom konci úseku o délce L bráněno). Z tab. 12 pro trojúhelníkový průběh momentu po délce prutu a kz = 1,0: C1,0 = 1,77 C1,1 = 1,85 Výpočet:
κ wt =
π
210000 ⋅ 2454 ⋅ 109 π EI w = = 0,891 GI t 1,0 ⋅ 10000 81000 ⋅ 2572 ⋅ 103
kw L
C1 = C1,0 + ( C1,1 − C1,0 ) κ wt = 1, 77 + (1,85 − 1, 77 ) ⋅ 0, 494 = 1,81 ≤ C1,1 = 1,85
µcr =
C1 1,81 1 + κ wt2 = 1 + 0, 4942 = 2, 02 kz 1, 0
M cr = µcr
π EI zGI t L
= 2,02
π 210 ⋅ 103 ⋅ 96,9 ⋅ 106 ⋅ 81000 ⋅ 2572 ⋅ 103 10000
= 1306 kNm
Poměrná štíhlost (pro průřez třídy 1 nebo 2 s plastickým průřezovým modulem)
λ LT =
Wpl.y f y M cr
=
2408 ⋅103 ⋅ 235 = 0, 658 1306 ⋅106
Pro určení součinitele klopení se použije obecný postup podle kap. 6.3.2.2. Bylo by ovšem možné použít i příznivější postup podle kap. 6.3.2.3. Protože h / b = 360 / 300 = 1, 2 < 2 , platí křivka vzpěrné pevnosti a. Součinitel klopení χ LT :
χ LT = 0,87 Součinitele interakce kyy, kzy
Součinitele budou určeny pro: • pruty citlivé na deformace zkroucením (platí pro všechny pruty otevřeného průřezu, pokud nejsou obě pásnice příčně podepřeny);
109
Příklady • vybočení s posuvem styčníků (první vlastní tvar vybočení zahrnuje patrový posun; toto zatřídění platí bez ohledu na to, zda vyjde αcr < 10). Součinitele ekvivalentního konstantního momentu: Cmy = 0,9 pro vybočení s posuvem styčníků CmLT = 0, 6 + 0, 4ψ = 0, 6 > 0, 4 pro poměr koncových momentů ψ = 0
Interakční součinitel kyy – pro průřez třídy 1 ⎛ ⎞ N Ed k yy = Cmy ⎜ 1 + λ y − 0, 2 ⎟= ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 184,5 ⋅103 = 0,9 ⋅ ⎜1 + ( 0, 73 − 0, 2 ) = 0,928 ⎟ ⋅ ⋅ 0, 768 17090 235 / 1, 0 ⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N Ed 184,5 ⋅103 k yy ≤ C my ⎜ 1 + 0,8 = 0,9 ⎜ 1 + 0,8 ⎟ ⎟ = 0,943 ⎜ ⎟ χ y N Rk / γ M1 ⎠ 0, 768 ⋅17090 ⋅ 235 / 1, 0 ⎠ ⎝ ⎝
Je tedy kyy = 0,928 Interakční součinitel kzy – pro průřez třídy 1 a λ z > 0, 4 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ N Ed 0,1λ z 0,1 ⋅1, 41 184,5 ⋅103 kzy = ⎢1 − ⎥ = ⎢1 − ⎥ = 0,946 ⎣⎢ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦⎥ ⎣⎢ ( 0, 6 − 0, 25 ) 0,344 ⋅17090 ⋅ 235 /1, 0 ⎦⎥ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ N Ed 0,1 0,1 184,5 ⋅103 kzy ≥ ⎢1 − ⎥ = 0,962 ⎥ = ⎢1 − χ γ − − ⋅ ⋅ C 0, 25 N / 0, 6 0, 25 0,344 17090 235 / 1, 0 ) mLT z Rk M1 ⎦ ⎣ ⎣⎢ ( ⎦⎥
Je tedy kzy = 0,962 Podmínky spolehlivosti: M y,Ed N Ed + k yy ≤1 χ y N Rk χ LT M y,Rk
γ M1
viz (6.61)
γ M1
M y,Ed N Ed 184,5 ⋅103 387,1 ⋅106 + k yy = + 0,928 = χ y N Rk χ LT M y,Rk 0, 768 ⋅17090 ⋅ 235 / 1, 0 0,872 ⋅ 2408 ⋅103 ⋅ 235 / 1, 0
γ M1
γ M1 = 0, 06 + 0, 72 = 0, 78 < 1, 0
Ve vztahu je NRk = A · fy My,Rk = Wpl,y · fy M y,Ed N Ed + k zy ≤1 χ z N Rk χ LT M y,Rk
γ M1
110
γ M1
viz (6.62)
Příklady M y,Ed N Ed 184,5 ⋅103 387,1 ⋅106 + kzy = + 0,962 = χ z N Rk χ LT M y,Rk 0,344 ⋅17090 ⋅ 235 / 1, 0 0,872 ⋅ 24080 ⋅103 ⋅ 235 / 1, 0
γ M1
γ M1 = 0,13 + 0, 74 = 0,87 < 1, 0
Sloup vyhoví. Posouzení příčle
Z úsporných důvodů ukážeme pouze některé části posouzení, které se liší od posouzení sloupu. Zatřídění pro ohyb: třída 1 pro tlak: třída 4
(tabulkové hodnoty)
Třídu průřezu pro kombinaci tlaku a ohybu tedy určíme výpočtem. Pásnice je při samotném tlaku i samotném ohybu namáhána stejně (rovnoměrným tlakem) a o zatřídění celého průřezu tedy rozhoduje stojina. Výška stojiny c = 467,6 mm (z tabulek) z=
N Ed 38700 = = 14,8 mm tw f yd 11,1 ⋅ 235
αc= α=
c + z 467, 6 + 14,8 = = 241, 2 mm 2 2
241, 2 = 0,52 467, 6
Štíhlost stojiny
c 467, 6 = = 42,1 tw 11,1
Samotné zatřídění stojiny se provede pomocí tab. 6:
α > 0,5 : 42,1 <
396 ε 396 ⋅1, 0 = = 68, 75 13 α − 1 13 ⋅ 0,52 − 1
⇒ stojina je třídy 1
Průřez je tedy pro danou kombinaci namáhání třídy 1. Posouzení
Dále ukážeme pouze výpočet podle čl. 5.2.2 (7b) ČSN EN 1993-1-1 pro kombinaci 1 v oblasti rámového rohu. Vzpěrné délky
Vzpěrná délka v rovině rámu je rovna systémové délce prutu, tedy Lcr,y = 24 m. Vzpěrná délka z roviny rámu: Lcr,z = 2 m (vzdálenost vaznic). 111
Příklady Klopení
Spodní pásnice je příčně podepřena v rámovém rohu a dále 4 m od rámového rohu. V rámovém rohu je tedy vzpěrná délka na klopení LLT = 4 m. Vnitřní síly NEd = 38,7 kN My,Ed = 387,1 kNm Štíhlosti Lcr . y
λy =
λz = kde
iy
λcr.z iz
=
24000 = 107, 4 223,5
=
2000 = 44,9 44, 6
⇒ poměrná štíhlost λ y =
λz =
λy 107, 4 = = 1,14 λ1 93,9 44,9
π
235 = 0, 48 210000
λ1 = 93,9 235 / f y = 93,9
Součinitele vzpěrnosti
χ y = 0,566
pro křivku vzpěrné pevnosti a
χ z = 0,894
pro křivku vzpěrné pevnosti b
Klopení
Bezpečně zanedbáme příčné podepření horní tažené pásnice v polovině úseku o délce LLT a budeme počítat s lineárním průběhem momentu (viz obr. 40). Postupovat budeme podle přílohy NB.3 Eurokódu 3. kz = 1,0 kw = 1,0 Poměr koncových momentů ψ =
Obr. 40 Průběh momentu
112
95 = −0, 25 −387
Příklady Součinitele tvaru momentového obrazce: C1,0 = 2,05 C1,1 = 2,21 Výpočet:
κ wt =
π kw L
210000 ⋅ 1884 ⋅ 109 EI w π = = 1,56 GI t 1,0 ⋅ 4000 81000 ⋅ 1232 ⋅ 103
Protože κ wt > 1 , je C1 = C1,1 = 2, 21
µcr =
C1 2, 21 2 1 + κ wt 1 + 1,56 2 = 4,10 = kz 1, 0
M cr = µcr
π EI zGI t L
= 4,10
π 210 ⋅ 103 ⋅ 26 ,68 ⋅ 106 ⋅ 81000 ⋅ 1232 ⋅ 103 4000
= 2409 kNm
Poměrná štíhlost (pro průřez třídy 1 nebo 2 s plastickým průřezovým modulem)
λ LT =
Wpl, y f y M cr
=
2787 ⋅ 103 ⋅ 235 = 0 ,52 2409 ⋅ 106
Pro určení součinitele klopení se použije obecný postup podle kap. 6.3.2.2. Protože h / b = 550 / 210 > 2 , platí křivka vzpěrné pevnosti b. Součinitel klopení χ LT :
χ LT = 0,87 CmLT = 0, 6 + 0, 4 ψ = 0, 6 − 0, 4 ⋅ 0, 25 = 0,5 > 0, 4 (pro poměr koncových momentů ψ na úseku rovném vzpěrné délce na klopení LLT)
Součinitele interakce kyy, kzy
Pro určení součinitelů použijeme opět přílohu B. Součinitele budou určeny pro: • pruty citlivé na deformace zkroucením (platí pro všechny pruty otevřeného průřezu); • vybočení bez posuvu styčníků. Součinitele ekvivalentního konstantního momentu M h = –387,1 kNm M s = 483,2 kNm Ms > Mh
ψ =
⇒ αh =
M h −387,1 = = −0,80 Ms 483, 2
374, 6 = 0,97 > 0 387,1
Cmy = 0,95 + 0, 05 α h = 0,1 − 0, 05 ⋅ 0,80 = 0,91
113
Příklady Poznámka: Pro uvedený případ, kdy je největší moment v poli, ale posuzuje se rámový roh, je ilustrovaný postup přibližný. Jinou možnost však použitý normový postup nedává.
Interakční součinitel kyy – pro průřez třídy 1 ⎛ ⎞ N Ed k yy = Cmy ⎜ 1 + λ y − 0, 2 ⎟ = 0,91 ⋅ ⎜ χ y N Rk / γ M1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ 38, 7 ⋅103 ⋅ ⎜ 1 + (1,14 − 0, 2 ) ⎟ = 0, 755 0,566 13440 235 / 1, 0 ⋅ ⋅ ⎝ ⎠
(
)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ N Ed 38, 7 ⋅103 k yy ≤ Cmy ⎜ 1 + 0,8 = 0,91⎜ 1 + 0,8 ⎟ ⎟ = 0, 753 ⎜ ⎟ χ y N Rk / γ M1 ⎠ 0,566 ⋅13440 ⋅ 235 / 1, 0 ⎠ ⎝ ⎝
Je tedy kyy = 0,753 Interakční součinitel kzy – pro průřez třídy 1 a λ z > 0, 4 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ N Ed 0,1λ z 0,1 ⋅1, 41 38, 7 ⋅103 kzy = ⎢1 − ⎥ = ⎢1 − ⎥ = 0,997 − − ⋅ ⋅ C 0, 25 N / 0,5 0, 25 0,894 17090 235 / 1, 0 χ γ ) z Rk M1 ⎦⎥ ⎣⎢ ( ) ⎣⎢ ( mLT ⎦⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ N Ed 0,1 0,1 38, 7 ⋅103 k zy ≥ ⎢1 − ⎥ = ⎢1 − ⎥ = 0,995 ⎣⎢ ( CmLT − 0, 25 ) χ z N Rk / γ M1 ⎦⎥ ⎣⎢ ( 0,5 − 0, 25 ) 0,894 ⋅17090 ⋅ 235 / 1, 0 ⎦⎥
Je tedy kzy = 0,997 ≅ 1,0 Po dosazení do podmínek (6.61) a (6.62): M y,Ed N Ed 38, 7 ⋅103 387,1 ⋅106 + k yy = + 0, 753 = χ y N Rk χ LT M y,Rk 0,566 ⋅13440 ⋅ 235 / 1, 0 0,878 ⋅ 2787 ⋅103 ⋅ 235 / 1, 0
γ M1
γ M1 = 0, 02 + 0,51 = 0,53 < 1, 0
M y,Ed N Ed 38, 7 ⋅103 387,1 ⋅106 + k zy = + 1, 0 = χ z N Rk χ LT M y,Rk 0,894 ⋅13440 ⋅ 235 / 1, 0 0,878 ⋅ 2787 ⋅103 ⋅ 235 / 1, 0
γ M1
γ M1 = 0, 01 + 0, 67 = 0, 68 < 1, 0
Příčel v rámovém rohu vyhoví.
114
Příklady
8.6 Členěný prut s rámovými spojkami Posuďte centricky tlačený sloup (viz obr. 41) složený ze dvou profilů IPE 240, zatížený silou FEd = 1100 kN. Prut je 8 m dlouhý, osová vzdálenost mezi rámovými spojkami je 800 mm. Na obou koncích prutu jsou klouby. Ocel třídy S235.
12 240
y
12
Průřezové hodnoty pro navržený profil:
200 800
Ach = 3912 mm2 I ch = I z = 2,83 ⋅106 mm 4
180
iy = 99,7 mm 800
iz = 26,9 mm Wpl,z = 73,92 ⋅103 mm 3
třída průřezu pro tlak: 1 800 z
Obr. 41 Centricky tlačený sloup Vybočení kolmo k hmotné ose y
Štíhlost pro vybočení kolmo k hmotné ose y-y L 8000 λy = y = = 80, 2 iy 99, 7 Poměrná štíhlost λ y
λy =
λy 80, 2 = = 0,85 λ1 93,9
Součinitel vzpěrnosti
χ y = 0, 77
pro křivku vzpěrné pevnosti a
Návrhová únosnost prutu N b.Rd =
χ y A f y 0, 77 ⋅ 7824 ⋅ 235 = = 1416 ⋅103 N = 1416 kN > FEd = 1100 kN γ M1 1, 0
Prut pro vybočení kolmo k hmotné ose vyhoví.
115
Příklady Vybočení kolmo k nehmotné ose z (uprostřed délky členěného prutu) (viz obr. 42)
Moment setrvačnosti průřezu k ose z-z Iz = i0 =
λ=
1 1 Ach h02 + 2 I ch = ⋅ 3912 ⋅ 2002 + 2 ⋅ 2,83 ⋅106 = 83,90 ⋅106 mm4 2 2 Iz 83,90 ⋅ 106 = = 103,6 mm A 7820 Lz 8000 = = 77, 2 i0 103, 6
µ = 2−
λ 75
= 2−
77, 2 = 0,97 , viz tab. 18 75
Obr. 42 Vybočení uprostřed délky členěného prutu Efektivní moment setrvačnosti průřezu a kritická síla I eff =
1 1 Ach h02 + 2µ I ch = ⋅ 2002 ⋅ 3912 + 2 ⋅ 0, 619 ⋅ 2,83 ⋅106 = 83, 73 ⋅ 106 mm4 2 2
N cr, z =
π 2 EI eff L2z
=
π 2 ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ 83,73 ⋅ 106 80002
= 2711 ⋅ 103 N viz (6.74)
Spojky s rozměry P 12 - 180 x 250 mm jsou navrženy ve vzdálenosti 800 mm. Smyková tuhost spojek 24 EI ch 24 ⋅ 210 ⋅ 103 ⋅ 2,83 ⋅ 106 Sv = = = 19870 ⋅ 103 N 6 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2I h 2 ⋅ 2,83 ⋅ 10 200 a 2 ⎢1 + ch 0 ⎥ 8002 ⎢1 + ⎥ 6 nI a b ⎣ 2 ⋅ 5,83 ⋅ 10 800 ⎦ ⎣ ⎦ Sv ≤
viz (6.73)
2π 2 EI ch 2π 2 ⋅ 210 ⋅ 10 3 ⋅2,83 ⋅ 106 = = 18330 ⋅ 103 N ... rozhoduje a2 8002
Ekvivalentní geometrická imperfekce ve formě počátečního zakřivení e0 = M Ed
Lz 8000 = = 16 mm 500 500 N Ed e0 1100 ⋅103 ⋅16 = = = 32940 ⋅103 Nmm N Ed N Ed 1100 ⋅103 1100 ⋅103 1− − 1− − N cr.z S v 2711 ⋅103 18330 ⋅103
Síla v dílčím prutu uprostřed jeho délky: M hA N ch, Ed = 0,5 N Ed + Ed 0 ch 2 I eff 116
viz (6.69)
Příklady
N ch,Ed = 0,5 ⋅1100 ⋅103 +
32940 ⋅103 ⋅ 200 ⋅ 3912 = 857 ⋅103 N = 857 kN 83730 ⋅103
Štíhlost pásového prutu mezi spojkami:
λch.max = λ ch =
a ich.min
=
800 = 29, 7 26,9
λf ⋅max 29, 7 = = 0,32 λ1 93,9 χ min = 0,96
Pro křivku vzpěrnosti b: Únosnost jednoho pásu: N b.Rd =
χ min Ach f y 0,96 ⋅ 3912 ⋅ 235 = = 883 ⋅103 N = 883 kN > 857 kΝ γ M1 1, 0
Dílčí prut tedy uprostřed vzpěrné délky prutu vyhovuje. Členěný prut v koncovém úseku (obr. 43) – stabilitní posouzení
V koncovém úseku prutu působí tlaková síla i ohybový moment. Síla připadající na jeden pás je N ch.Ed =
1 1 N Ed = ⋅1100 = 550 kN 2 2
Smyková síla na konci členěného prutu: VEd =
π M Ed Lz
=
π ⋅ 32940 ⋅103 8000
= 12935 ⋅103 N
viz (6.70)
Moment od rámového působení připadající na jeden pás se určí podle obr. 26.
Obr. 43 Koncový úsek členěného prutu M z.Ed = VEd
a 800 = 12935 ⋅ = 2587 ⋅103 Nmm 4 4
Pás se posoudí na kombinaci tlakové síly Nch,Ed a momentu Mz,Ed podle kap. 6.3.3. Součinitele interakce kyy, kzy
Pro určení součinitelů použijeme přílohu B. Součinitele budou určeny pro: • pruty citlivé na deformace zkroucením (platí pro všechny pruty otevřeného průřezu); • vybočení bez posuvu styčníků.
117
Příklady Součinitele ekvivalentního konstantního momentu: poměr koncových momentů ψ = -1 Cmz = 0, 6 + 0, 4 ψ = 0, 6 + 0, 4 ( −1) = 0, 2 < 0, 4 , je tedy Cmz = 0,4
M
ψM
Obr. 44 Průběh momentů mezi spojkami
Vzpěr pásu mezi spojkami
χ z = 0,96 (viz výše)
λz = λ ch = 0,32 ;
Protože se jedná o ohyb k ose nejmenší tuhosti, ke klopení nedojde ⇒ χ LT = 1,0 Interakční součinitel kzz – pro průřez třídy 1 ⎛ ⎞ N Ed 550 ⎛ ⎞ k zz = Cmz ⎜ 1 + 2 λ z − 0, 6 ⎟ = 0, 6 ⎜1 + ( 2 ⋅ 0,317 − 0, 6 ) ⎟= χ z N Rk / γ M1 ⎠ 0,96 ⋅ 3912 ⋅ 235 ⎠ ⎝ ⎝
(
)
= 0, 613 ⎛ ⎞ N Ed 550 ⎛ ⎞ kzz ≤ Cmz ⎜ 1 + 1, 4 ⎟ = 0, 6 ⎜ 1 + 1, 4 ⎟ = 1,12 χ z N Rk / γ M1 ⎠ 0,96 ⋅ 3912 ⋅ 235 ⎠ ⎝ ⎝
Je tedy kyy = 0,613 Interakční součinitel kyz – pro průřez třídy 1 k yz = 0, 6 kzz = 0, 6 ⋅ 0, 613 = 0,368
Zde se posuzuje pouze vybočení k ose z-z, proto se použije pouze podmínka (6.62): N ch,Ed M z,Ed 550 ⋅103 2,59 ⋅106 + kzy = + 0, 613 = χ z N Rk χ LT M y,Rk 0,96 ⋅ 3912 ⋅ 235 / 1, 0 73920 ⋅ 235 / 1, 0 viz (6.62)
γ M1
γ M1
= 0, 63 + 0, 09 = 0, 72 < 1, 0
Pás v koncovém úseku vyhovuje. Členěný prut v koncovém úseku – posouzení průřezu v místě spojky
Posouzení se provede podle kap. 6.2.9 Eurokódu 3. Lze použít následující zjednodušený postup: N ch.Ed M z.Ed 550 ⋅103 2,59 ⋅106 + = + = Af f y / γ M1 Wpl.z f y / γ M1 3912 ⋅ 235 / 1, 0 73,92 ⋅103 ⋅ 235 / 1, 0 = 0, 60 + 0,15 = 0, 75 < 1, 0
Průřez pásu v místě spojky vyhovuje. Navržený členěný prut vyhovuje. 118
Literatura
9 Literatura [1]
TRAHAIR, N. S., BRADFORD, M. A., NETHERCOT, D. A., GARDNER, L. The behaviour and design of steel structures to EC3. Taylor and Francis, 2008, 490 p.
[2]
ACCESS STEEL. Přes 50 volně dostupných modulů pro registrované zájemce, obsahujících informace k návrhu jednopodlažních a vícepodlažních budov a staveb pro bydlení. (http://www.access-steel.com/)
[3]
EQUESTA (Electronic, Quality Assured, European Steel Training and Assessment). Přednáškové moduly k výkladu obtížnějších částí Eurokódu 3, obsahující PPP s hlasovým doprovodem (http://www.equesta.eu)
[4]
STUDNIČKA, J. Ocelové konstrukce, Praha: ČVUT, 2006.
[5]
VLASOV, Z. Tenkostěnné pružné pruty, Praha: SNTL, 1962.
[6]
http://www.cticm.com/spip.php?article29
[7]
VRANÝ, T., WALD, F.: Ocelové konstrukce – Tabulky, Praha: ČVUT, 2008.
119
