II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

Szolcsányi György: Általánosított Fibonacci sorozatok algebrai struktúrája

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak hányadosai egy adott számhoz közelítenek ha növeljük az indexet, ill. egy másik számhoz, ha csökkentjük az indexet. Figyelemreméltó, hogy komplex esetben is a hányadosok határértékei ugyanazok a valós számok. (Próbálkozhatunk a Példák_II „Határérték” munkalapján.) A határértékek létezése szintén könnyen bizonyítható, valós esetre a Neten is számtalan bizonyítással, levezetéssel találkozhatunk. A komplex eset kicsit bonyolultabb, de nem túl komplikált. A határértékek „előjelváltósan” egymás reciprokjai1. Mi A-val, ill. -1/A-val jelöljük ezen határértékeket. Számos jelölés van használatban A-ra; Φ, Phi, τ, …és hasonlóképpen 1/A-ra is, φ, phi, …. A jelölések sokféleségét megérthetjük, hiszen ha értékre nem is, de névre biztosan mindenki számára ismerős dologról van szó; az „aranymetszésnek” nevezett arányról, illetve annak negatív reciprokáról. Nálunk tehát: A = (√ 5 + 1) / 2 = 1,6180339887498948482045868343656… ill. -1 / A = (1 - √ 5) / 2= -0,6180339887498948482045868343656… Mivel az egymást követő tagok hányadosai határértékkel bírnak, a sorozatok közel állnak abszolút értékben vett nagy indexek esetén egyfajta mértani sorozatokhoz, vagyis hát mértani sorozathoz nagyon hasonlít mindkét vége. Van Fibonacci sor, ami egyúttal mértani sorozat is? Van bizony! Azonnal mondhatunk egy sorozatot, a …, 0, 0, 0, 0, …triviális 0 sorozatot, de van nem triviális is; q-val jelölve a mértani sor hányadosát, csak annak kell teljesülni, hogy: a*q n+1=a*q n +a*q n-1 . ha a=/=0, q=/= 0 (ezt az esetet az előbb tudtuk le), akkor egyszerűsíthetünk a*q n-1-el: q 2= q + 1 A kapott másodfokú egyenletnek gyökei pedig pont A és -1 / A. Nagyon érdekesek ezek a Fibonacci sorozatok! Definíciójukból könnyű számítással belátható, hogy a normájuk 0, holott ők nem a …, 0, 0, 0, 0, … sorozat. El is nevezzük őket rögvest; fm-1 = - fm*A sorozat esetén – látjuk ez mértani sorozat is, és hányadosa q = -1/A; a továbbiakban - feltételezve, hogy az 1-es érték szerepel a sorozatban - jelöljük ρ m - mel, „ikertestvérét”, mely szintén mértani sor - feltételezve, hogy az 1-es érték szerepel benne - és hányadosa q = A, jelöljük σ m – mel. Ha az 1-es érték nem szerepel a sorozatokban, akkor ρ m és σ m konstans szorosairól beszélünk.. Mátrix interpretációikat – mátrixos megadásaikat - pedig jelöljük rendre Pk-val és Σ k –val. Az elnevezésekkel konvenciót nem sértünk, nem említik sűrűn külön sorozatként őket, ha szó esik róluk – inkább csak a tagjaikról, azok hatványairól – akkor egyszerűen leírják: ((√ 5 + 1) / 2) n .

1

Bizonyítások: http://szolcs.hu/Fibonacci/bizonyitas/hanyadosok.pdf 1


A szorzási műveletünkkel vizsgálva a viselkedésüket megállapíthatjuk, hogy minden más sorozatot önmaguk képére formálnak – olyanok, mint a 0 vagy a ∞ a valós számok körében. Egyes egyedül egymással és önmagukkal nem bírnak el, furcsa eredményeket kapunk a szorzásunkat elvégezve. Mivel a normájuk 0, érthető ez a magatartás. Legyen fn Fibonacci sorozat. Vizsgáljuk a szorzatát a ρ m sorozattal:

fn-1 fn

-A 1 - fn-1* A + fn -fn*A + fn+1

fn fn+1

1 -1/A fn-1 - fn /A fn - fn+1 / A

Az egymást követő tagok hányadosa: (fn-1 - fn /A)/( - fn-1* A + fn) = (A* fn-1 - fn)/( - fn-1* A2+ fn*A)= 1/A*(-1)= - 1/A, tehát „önmaga képére” formálja fn sorozatot, mértani sort készít belőle. Egymással szorozva meg egyenesen a triviális …, 0, 0, 0, … sorozatot készítik el:

1 A

A A2

-A 1 -A + A=0 -A2 + A2 = 0

1 -1/A -A2 + A2 = 0 A - A2/A = 0

Nem nulla sorozatoknak a szorzata a csupa nulla sorozat! Összeadásnál nyilván semmi különösebb nem történik (ha mint tagokat szerepeltetjük), de a szorzásunkra nézve – úgy érzem joggal – nevezhetjük őket szinguláris elemeknek. (Érdemes, tanulságos megvizsgálni az önmagukkal való szorzatukat is.)2 A következőkben rátérünk egy adott valós fn Fibonacci sorozat Fn mátrix interpretációinak sajátérték/sajátvektor problémáinak tárgyalására. Sajátérték/sajátvektor problémán azt szokták érteni, hogy ha van egy Fn mátrix, és ezt, mint leképezést használjuk (jelen esetben Fn 2x2-es mátrix, tehát most mondhatni a sík, mint kétdimenziós dolog leképezése önmagára), akkor meg kell keresni az Fn um = λm um egyenlet megoldásait. Tehát az Fn (n rögzített érték) mátrixinterpretáció által meghatározott egyenlet megoldásait. Kikötés, hogy az um vektor nem lehet a triviális nullvektor. Mivel Fn 2x2-es mátrix, két megoldása van az egyenletnek minden Fn -re. ( m=1,2 értékeket vehet fel). Az előző egyenletet kielégítő um -et sajátvektornak hívják, a λm konstanst pedig az um –hez tartozó sajátértéknek. (m=1, 2)

2

Megfejtés: http://szolcs.hu/Fibonacci/bizonyitas/onmagukkal_szorzat.pdf

2


Precízebben: http://hu.wikipedia.org/wiki/Saj%C3%A1tvektor_%C3%A9s_saj%C3%A1t%C3%A9rt%C3%A9k

A probléma megoldása nem túl bonyolult, egyszerű levezetéssel:3

fn-1 fn

fn fn+1

u1 u2 fn-1*u1+ fn* u2 fn*u1+ fn+1* u2

=

λn*u1 λn*u2

fn-1*u1+ fn* u2 = λn*u1 és fn*u1+ fn+1* u2 = λn*u2 egyenleteket kapjuk; u2 =/=0 (ha u2 =0, akkor fn=0, és Fn az identitás konstans szorosa) esetén, t= u1 / u2 jelöléssel: fn-1*t+ fn = λn * t fn*t+ fn+1 = λn amit tovább alakítva: fn-1*t+ fn = (fn*t+ fn+1)*t fn-1*t+ fn = fn*t2+ fn+1*t fn*t2+ (fn+1 – fn-1)*t – fn = 0 fn*t2+ fn*t – fn = 0

és ekkor fn =/= 0 esetén (ha fn = 0 , akkor Fn az identitás konstans szorosa ): t2 + t - 1 = 0 egyenlőségnek kell teljesülni. Ezen egyenlet megoldásai pedig: t(1) = (-1-√ 5)/2

ill.

t(2) = (-1+√ 5)/2.

Így a sajátvektorok (nem normalizált alakban) a következőképpen írhatók: (-1-√ 5)/2 1

(-1+√ 5)/2 1

3

A „klasszikus Fibonacci” sorozat mátrix interpretációinak sajátérték-sajátvektor problémájával több cikk foglalkozik, például: https://www2.bc.edu/~reederma/llinalg6.pdf , http://www.maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf , … 3


A sajátvektorok egyáltalán nem függenek sem az m indextől, sem az fn Fibonacci sorozat tagjaitól!!! Vagyis hát a sajátvektorok: -A 1

A sajátértékekre pedig az

1/A 1

fn*t+ fn+1 = λn összefüggésből következtethetünk;

t= u1 / u2 volt, tehát t= -A vagy t=1/A. Ekkor viszont fn*t+ fn+1 = λn miatt:

λn,1 = fn+1 – A* fn λn,2 = fn+1 + fn /A Ami nagyon fontos, és a lényeg: a sajátvektorok függetlenek az indextől, sőt, a sorozat választásától is (kizárva a válaszhatók közül a csupa 0 sorozatot, valamint ρ m és σ m konstans szorosait – a „szinguláris” sorozatokat). Vegyük észre, hogyha fn komplex Fibonacci sorozat, levezetésünk akkor is helytálló. Egyszerű számítással levezethető továbbá, hogy valós esetben a megfelelő sajátértékek sorozatai mértani sorozatokat alkotnak.4 (Komplex esetben a sajátértékek komplex normáira igaz ez az állítás.) Még egy nem túl komplikált meghatározásra kerül sor ebben a fejezetben – fontos fogalom; a természetes indexelés fogalma. Legyen fm nem a ρ n és nem a σ n sorozat, és nem is ezek konstans szorosa. Az fm Fibonacci sorozat 0 indexű tagja a sorozatnak azon tagja, melyhez tartozó mátrix interpretáció sajátértékei négyzetösszege minimális. Egyenlőség legfeljebb két, egymást követő tag esetén léphet fel, ekkor a kisebb indexű tagot jelöljük 0 indexszel. Az fn taghoz tartozó mátrix interpretáció a fn-1 fn

fn fn+1

mátrix. (A diagonálison kívüli elem az adott indexű tag.) Az fn Fibonacci sorozat ilyen indexelését természetes indexelésnek nevezzük. A sajátértékek négyzetösszegét kiszámíthatjuk egyszerűen valós esetben minden m-re: (λm,1)2 + (λm,2)2 = (fm+1 – A* fm )2 + (fm+1 + fm /A)2 =; fm+1 2 + A2* fm2 – 2*A* fm+1* fm + fm+12 + fm2/A2 +2* fm+1* fm /A =;

4

Bizonyítás: http://szolcs.hu/Fibonacci/bizonyitas/sajatertekek_mertani_sorozat.pdf 4


2* fm+12+3* fm2 - 2* fm+1* fm =; ( hiszen A2+1/A2=3, továbbá A-1/A=1 ) 2*fm+1*(fm+1 – fm) +3* fm 2 =; 2*fm+1*fm-1 + 3* fm2. Könnyen belátható, hogy a definíció, a meghatározás helyes, a négyzetösszegek sorozata felveszi a minimumát, és egyenlőség legfeljebb két, egymást követő tag esetén léphet fel. (Láttuk, hogy a sajátértékek mértani sorozatot alkotnak – a négyzeteik is. Az egyik sorozat szigorúan monoton csökkenő és hányadosa 1/A2, a másik sorozat hányadosa pedig A2, szigorúan monoton növekedő. Innen már tényleg nem nehéz belátni az állítást.) Konkrét valós és komplex Fibonacci sorozatok természetes indexelését meghatározhatjuk szintén a Példák II. ( http://szolcs.hu/Fibonacci/Sajatertekek.xls ) segítségével.

5

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

Recommend Documents