1
Výukový materiál Identifikační údaje školy
Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace Vytvořeno Určeno pro Přílohy
CZ.1.07/1.5.00/34.1076 III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 0105 Miloš Kafka Matematika – lineární rovnice VY_32_INOVACE_0105_0116 Lineární rovnice, graf lineární funkce DUM vedoucí žáky k pochopení řešení lineárních rovnic pomocí grafické metody 17.5.2013 Matematika – 1. ročník studijní a 2. ročník učební obory Bez příloh
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka.
Stránka 1
uvod
Jedna z metod, kterými lze vypočítat lineární rovnici, je tzv. grafická metoda. Je to postup, kdy se s lineární rovnicí pracuje jako s lineární funkcí, jejíž průběh (graf) se při řešení vykreslí. Př. s rovnicí x + 3 = 2 se bude pracovat jako s lineární funkcí x + 3 a lineární funkcí y = 2. Druhá funkce y = 2 je pouze rovnoběžná přímka s osou x, která protíná osu y v bodě 2. Pro vykreslení první funkce použijeme následující postup. Určí dvě hodnoty, které budou dosazeny za „x“ a ke každé z nich se vypočítá hodnota „y“. x+1=y 1. náhodná hodnota : -2. Když za „x“ dosadím -2, bude se „y“ rovnat -1. Tím jsme určili jeden z mnoha bodů, které určují naši lineární funkci. Bod má souřadnice [-2;-1]. 2. náhodná hodnota : 2. Po dosazení za „x“ se bude „y“ rovnat 3. Tím máme určený druhý bod lineární funkce. Bod má souřadnice [2; 3]. Nyní stačí vést přímku těmito dvěma body a protnout osu „x“. Hodnota, v jaké jsme protli osu „x“ je výsledkem původní lineární rovnice. Osu „x“ jsme protli v bodě -1.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Stránka 2
linearni_rovnice
Níže je vykreslen graf lineární rovnice: ax + b = 0. Máš možnost měnit parametry „a“ a „b“ a pozorovat, jak se graf bude měnit. Po té učiň závěry, jaký vliv mají parametry na průběh grafu.
1 a b x=
a) Jak se mění graf, pokud měníš parametr „a“ od záporných čísel ke kladným?
1
b) Jak se mění graf, pokud měníš parametr „b“? c) Co je výsledkem lineární rovnice?
-1 1
Rovnice podle parametrů x y
-4,00 -5,00
1x -1 = 0 -3,00 -4,00
-2,00 -3,00
-1,00 -2,00
0,00 -1,00
1,00 0,00
2,00 1,00
3,00 2,00
4,00 3,00
5,00 4,00
6,00 5,00
7,00 6,00
ax + b = 0 8,00 6,00
osa Y
4,00 2,00 0,00 -4,00
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
-2,00 -4,00 -6,00 osa X
-4,00
2
-3,00
-2,00
-1,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
Použij vykreslování grafu lineární rovnice v první úloze k řešení lineární rovnice: Správný výsledek bude označen zelenou barvou.
3x + 6 = 0 x=
3
Určitě jsi si všiml(a), že když je parametr „a“ nebo oba parametry „a“, „b“ rovné nule, graf se zásadně změní. Zkus co nejpřesněji popsat, jak vypadá graf lineární rovnice, jaké je její řešení a případně kolik řešení má.
0x + 6 = 0
0x + 0 = 0
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). Stránka 3
5,00
6,00
7,00
priklady
4
Graficky vyřeš rovnici: -2x + 5 = 7
x y
5
Graficky vyřeš rovnici: (x + 3)*2 + 7x – 12(x + 1) = 0
x y
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). Stránka 4
vysledky
1
Pokud je parametr „a“ záporný, je graf lineární funkce klesající. Opačně, pokud je parametr „a“ kladný, je graf lineární funkce rostoucí. Změnou parametru „b“ dochází k posunu grafu lineární funkce doleva či doprava. Výsledkem lineární rovnice je průsečík grafu lineární funkce a osy x. Jinými slovy je výsledkem lineární rovnice bod na ose „x“, ve kterém protíná osu „x“ graf lineární funkce vytvořené z lineární rovnice.
2 3
x = -2 Rovnice: 0x + 6 = 0 : výsledek je : 0x = -6. Tento a podobné výsledky poukazují na to, že rovnice nemá řešení, jelikož ať dosadím za „x“ jakékoliv číslo, nikdy nedostanu -6 či jiné (vyjma 0). Rovnice: 0x + 0 = 0 : výsledek je : 0x = 0. Tento výsledek poukazuje na nekonečně mnoho řešení. Ať dosadím za „x“ jakékoliv číslo, vždy dostanu výsledek 0.
4 -4 6
x y
-3 4
-2 2
-1 0
0 -2
1 -4
2 -6
3 -8
-2x + 5 = 7 8 6 4 2 0 -2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-4 -6 -8 -10 -12
5
x = -2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Miloš Kafka. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Stránka 5
4 -10
