I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

6

MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM

TANULÓK KÖNYVE

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi idő alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban levő vízmennyiséget az eltelt idő függvényében! Megoldás: 1. Válasz a kérdésre: 16 perc alatt telik meg a kád, mert

80 = 16 . 5

2. Értéktáblázat készítése: T (perc)

1

2

3

4

8

12

16

L (liter)

5

10

15

20

40

60

80

3. Ábrázolás grafikonnal:

4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az x tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x a 5 · x vagy f (x) = 5 ⋅ x.

Mintapélda2 Egy 20 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt időtől függően! Megoldás:

1. Válasz a kérdésre: A gyertya 1 óra alatt lesz alacsonyabb.

20 = 5 cm-t csökken, fél óra alatt 2,5 cm-rel 4

7

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

2. Értéktáblázat készítése: T (h)

0

0,5

1

1,5

2

3

4

M (cm)

20

17,5

15

12,5

10

5

0


4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az x tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x a –5 x + 20. vagy f (x) = –5 x + 20.

Mintapélda3 Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 110 km/h sebességgel halad. Mennyi idő alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! Megoldás:

1. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t =

v 50 = = 0,4& 5& . s 110

2. Értéktáblázat készítése: s (km)

⎛ km ⎞ v⎜ ⎟ ⎝ h ⎠

1

10

20

30

40

45

50

110

110

110

110

110

110

110


4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az x tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így: x a 110, vagyis f (x) = 110.

8


TANULÓK KÖNYVE

Feladatok 1. Egy csiga hajnalban útnak indul. A 2 m széles járda egyik oldaláról szeretne átjutni a

másikra. Óránként fél métert képes megtenni. Mennyi idő múlva ér át a túloldalra? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a megtett utat az eltelt idő függvényében! 2. Egy autó lakott területhez közeledvén lassítani kezdett. 5 km-re volt a falu szélétől,

amikor 110 km/h sebességét elkezdte egyenletesen csökkenteni. A falu határán belül 50 km/h a megengedett maximum. Hány km/h-val kellett csökkenteni a sebességét kilométerenként? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon az autó sebességének csökkenését a megtett út függvényében! 3. Egy macska felmászik a 4 m magas fa tetejére, miközben 15 N állandó erővel húzza

felfelé magát. (s = 4 m, F = 15N.) Számold ki, mennyi munkát végez a macska, míg feljut a fa tetejére! (W = F · s) Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon az erő és a magasság kapcsolatát! 4. A Jánoshegyi libegő 1040 m hosszú kötélpályán mozog. Az utasokat 4 km/h

sebességgel szállítja. Mennyi ideig (percig) tart egy utazás a libegővel? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a megtett út hosszát az idő függvényében! 5. A Jánoshegyi libegő 1040 m hosszú kötélpályán mozog. Az utasokat 4 km/h se-

bességgel szállítja. Mennyi ideig (percig) tart egy utazás a libegővel? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a visszafele vivő út hosszát az eltelt idő függvényében! 6. Egy gyerek az 1200 Watt teljesítményű hajszárítójával 0,5 órán keresztül szárítja a

haját. (P = 1200 Watt.) Mennyi a hajszárító fogyasztása? (W = P · t = … kWh) Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a teljesítményt az idő függvényében! 7. Válaszolj az alábbi kérdésekre!

1. Milyen kapcsolat van a Mintapéldák táblázatainak értékpárjai között? 2. Hogyan helyezkednek el a koordináta-rendszerben az ezekhez az értékpárokhoz tartozó pontok? Milyen alakzatot alkotnak? 3. Milyen viszonyban van a végeredményül kapott pont ezzel az egyenessel? 4. Tudsz-e szabályt mondani, aminek alapján könnyedén folytatható a táblázat kitöltése?


9

5. Az előző szabályt próbáld meg általánosságban is megfogalmazni! 6. Ez a szabály egyben a lineáris függvény hozzárendelési szabálya is. A függvény grafikonjában milyen szerepet játszik m és b? 7. Milyen kapcsolatot fedezel fel az arányossági tényező és a grafikon meredeksége között? 8. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége milyen értékeket vehet fel? Ennek az értékétől hogyan függ a grafikon? 9. A szöveges feladatok alapján többnyire csak a pozitív x értékeknek van értelme, a grafikont is ennek megfelelően ábrázoltuk. A szabály alapján folytatható lenne-e az egyenes negatív x-ek esetén? (Értelmezhetjük-e negatív számokra is?) 10. Mi az a legbővebb halmaz, ami a függvény értelmezési tartománya és értékkészlete lehet? 11. A koordináta-rendszerbe rajzoljunk egyeneseket. Igaz-e, hogy minden lineáris függvény grafikonja egyenes? 12. A koordináta-rendszerbe rajzoljunk egyeneseket. A koordináta-rendszer minden egyeneséhez tartozik lineáris függvény? 8. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis. Válaszodat indokold!

1. Az 1. és 2. feladat táblázatának értékpárjai közötti kapcsolat egyenes arányossággal jellemezhető. 2. Ezek az értékpárok szétszórva, rendszertelenül helyezkednek el a koordinátarendszerben. 3. A feladat végeredményét megadó értékpárnak megfelelő pont a koordináta-rendszerben mindig az egyenes alatti síkrészben található. 4. A hozzárendelési szabály mindig f (x) = m x + b alakú, amely egyben a lineáris függvény hozzárendelési utasítása is, ahol a hozzárendelési szabályban szereplő m és b értékek tetszőleges valós számok lehetnek.

5. A b érték a lineáris függvény grafikonjának meredekségét határozza meg. 6. Az arányossági tényező és a lineáris függvény meredeksége megegyezik. 7. Ha a lineáris függvény meredeksége 0, akkor képe párhuzamos az y tengellyel. 8. Ha a lineáris függvény meredeksége negatív, akkor a függvényt monoton csökkenőnek nevezzük. Ha pozitív, akkor monoton növekvőnek.

10


TANULÓK KÖNYVE

9. A lineáris függvény legbővebb értékkészlete és értelmezési tartománya egyaránt a valós számok halmaza, vagy annak egy valódi részhalmaza lehet. 10. Minden lineáris függvény grafikonja egyenes. 11. A koordináta-rendszer minden egyeneséhez tartozik lineáris függvény.

11


II. Lineáris függvények

f(x) = mx+b

Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük. A lineáris függvények megadhatók az f (x) = m x + b képlettel, ahol m és b valós számok. Jelentésük: m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontjának 2. koordinátája.

A lineáris függvények más lehetséges jelölései: x a mx + b, vagy y = mx + b. Ha m = 0, akkor az f (x) = b (vagy x a b, vagy y = b) hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk.

f(x) = b

Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m ≠ 0, akkor a függvény elsőfokú.

f(x) = mx, ha m > 0

f(x) = mx, ha m < 0

Ha m > 0, akkor a lineáris függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak.

12


TANULÓK KÖNYVE

Ha m < 0, akkor a lineáris függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Általában minden f (x) = m x függvény egyenes arányosságot fejez ki, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

Mintapélda4 A megrajzolt grafikon alapján állapítsuk meg a hozzárendelési szabályt és adjuk meg az értéktáblázat hiányzó adatait! Számítsuk ki a már ismert jelöléssel megadott helyeken a függvényértékeket! F ( x) = ?

f (–2) = f (–1) = f (2) =

x

–5

–3

0

1

f(x)

4 –3

–2,8

0

1

3,4

Megoldás:

1. A lineáris függvény általános hozzárendelési utasítása: f (x) = m x + b, ahol m a függvény meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspontja. Mivel a grafikonról leolvasva ez a metszéspont (+2)-nél található, így b = +2. A meredekséget megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladásra hány egységet lépünk függőlegesen. A grafikonról leolvasva ez az érték + A hozzárendelési utasítás: f (x) =

2 x+2 3

2 2 . Tehát m = . 3 3

13


2. Függvényértékek kiszámítása, értéktáblázat kitöltése: f (–2) = ?

A hozzárendelési utasításban x helyére behelyettesítjük a –2 -t: f (–2) =

2 2 ⋅ (− 2) + 2 = 3 3

4 10 ; f (2) = . 3 3 Az értéktáblázat első 5 oszlopának kitöltése, melyekben az x érték adott, és f (x)-et

Hasonlóan : f (–1) =

keressük, szintén ehhez hasonló. Az eredmények: x

–5

–3

0

1

4

4 3

0

2

8 3

14 3

–

f(x)

A 6–10. oszlopokban f (x) értéke adott, és x-et keressük: 6. oszlop: f (x) = –3 f (x) helyére írjuk a hozzárendelési utasítást:

2 x + 2 = –3. 3

Ezt az egyenletet megoldva kapjuk: x = –7,5. A 7–10. oszlopok kitöltése is hasonló. Az eredmények összefoglalva: x

–7,5

–7,2

–3

–1,5

2,1

f(x)

–3

–2,8

0

1

3,4

9. A megrajzolt grafikonok alapján állapítsd meg a hozzárendelési szabályt és add meg az

értéktáblázat hiányzó adatait! Számítsd ki a már ismert jelöléssel megadott helyeken a függvényértékeket! a) g (x) = ?

g (–1) = g (2) = g (3) =

x g(x)

–3

–2

0

1

7 –6

–1

0

3

5

14


TANULÓK KÖNYVE

b) h (x) = ?

1 h( )= 2 h (–5) = h (8) =

x

–2,5

–1

3

5,5

12

h(x)

–3

1 2

0

3,5

6

–9

1 2

7 4

84

–

c) l (x) = ?

l (0) = l (10,6) = l (–5,5) =

x l(x)

3 2

4

–1,5

–8

92 –

3 4

15


d) m (x) = ?

x

–

1 3

–6

12

2 3

97 3

m(x)

–8

0

–2

11

24

e) n (x) = ?

x

–

34 –2,75 3

0

11 2

4,66&

2,84

n(x)

Mintapélda5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f (x) = –x + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját! Megoldás: Mivel az adott függvény lineáris, ezért képe egyenes. Az egyenest két pontja egyértelműen meghatározza, tehát számítsuk ki a függvény két különböző helyen vett függvényértékét, hogy meghatározzuk a koordinátasík két pontját, P-t és Q-t, ami rajta van a függvény grafikonján.

16


TANULÓK KÖNYVE

A legegyszerűbb, ha először kiszámoljuk a függvényértéket a 0 helyen. Ez legyen a P pont, ez rajta van az y tengelyen. A P pont második, y koordinátája: f (0) = 0 + 7 = 7, ebből következik, hogy a pont koordinátái: P (0; 7) A Q pont pedig legyen az egyenesnek az a pontja, amely rajta van az x tengelyen, vagyis ahol a függvényérték 0. Itt –x + 7 = 0, azaz x = 7, ebből következik: Q (7; 0) A P és Q pontokat összekötő egyenes lesz a függvény grafikonja.

Mintapélda6 1 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a f (x) = – x + 4 hozzárendelési utasítással megadott 2 függvény grafikonját! Megoldás: A

hozzárendelési

utasítás

általános

alakja

1 f (x) = m x + b. Ebben az esetben b = 4, m = – . 2 A b a koordinátasík azon pontjának 2. koordinátája, ahol a grafikon az y tengelyt metszi. Ez a P (0; 4) pont.

m ismerete

segít

a

függvény

képének

megrajzolásában: m az egyenes meredeksége, egy. egységnyi jobbra haladásra m egységet lépünk az y tengellyel párhuzamosan, m előjelétől függően lefelé vagy felfelé. Jelen esetben egy egységnyi jobbra haladás után 0,5 egységet haladunk lefelé a „–” előjel miatt. A kapott pontot a P-vel összekötő egyenes lesz a keresett grafikon.

17


Mintapélda7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f (x) =

x 2 − 25 hozzárendelési utasítással megadott x−5

függvény grafikonját! Megoldás: Egyszerűsítsük a törtet! x 2 − 25 ( x + 5) ⋅ ( x − 5) = x+5 f (x) = = x≠5 ( x − 5) x−5 Az előző két módszer valamelyikével ábrázoljuk f grafikonját. Figyeljünk arra, hogy a függvény az x = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.

Mintapélda8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az

f (x) = ⎧⎨

x − 3, ha x ≤ 5

⎩2 x − 8, ha x > 5

hozzárendelési utasítással

megadott függvény grafikonját!

Megoldás: Ábrázoljuk először az f1 (x) = x − 3 függvény grafikonját a ] –∞; 5] intervallumon, majd folytassuk az f2 (x) = 2 x − 8 függvény grafikonjával az ] 5; ∞ [ intervallumon.

18


TANULÓK KÖNYVE

Közben észrevehetjük, hogy az x = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik-e fel a függvények:

f1 (5) = 5 − 3 = 2 f2 (5) = 2 · 5 − 8 = 2

10. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott

függvények grafikonját!

e) f (x) = x + 2;

1 x; 3 f) f (x) = –x – 4;

i) f (x) = –2;

j) f (x) = 3.

a) f (x) = 2 x;

b) f (x) =

c) f (x) = –3 x; g) f (x) = –x + 4;

3 d) f (x) = – x; 2 h) f (x) = x – 3;


függvények grafikonját! 1 x + 5; 3 2 d) f (x) = – x – 1,5; 3 − 5x + 1 ; g) f (x) = – 3 2 j) f (x) = –( – x – 1 ); 3

a) f (x) = –

b) f (x) = 3 x – 5; 2x + 3 ; 6 3x − 2 h) f (x) = – ; 2 x +1 −7; k) f (x) = − 2

e) f (x) =

c) f (x) = –5 x + 1; f) f (x) =

4x − 1 ; 2

i) f (x) = –( 3 x + 4 ); l) f (x) =

2 (1 − x ) + 1 . 3


függvények grafikonját!

x +1 + 1) ; 3 1 x d) f (x) = − ( x − 1) + ; 3 3 x 2 + 6x + 9 ; g) f (x) = x+3

a) f (x)) = 2(−

3 x − (2 x − 5) ; 4 x 2 − 16 e) f (x) = ; x+4 x2 h) f (x) = ; x

b) f (x) =

1 (x + 4) − 3x + 2 ; 2 x(x − 3) f) f (x) = ; x−3 ⎧− x + 2, ha x ≥ 2 i) f (x) = ⎨ ; ⎩ 2 x − 4, ha x < 2 c) f (x) =

19


⎧− 2 x, ha x ≤ 3 j) f (x) = ⎨ ; ⎩− 6, ha x > 3

⎧ x − 2, ha x > −1 k) f (x) = ⎨ . ⎩− x − 4, ha x ≤ −1

13. Keresd meg az összetartozó négyeseket! (Egy összetartozó négyest alkot a függvény

hozzárendelési utasítása, a grafikonja, és a rá illeszkedő két pontja.)

f (x) = −2 x + 5;

g (x) =

2 x − 1; 3

h (x) =

2x − 8 ; 4

i (x) = −

4 + 7x ; 4

5⎞ 8 25 ⎛ ⎛ 1 ⎞ P ⎜ − ;6 ⎟ ; Q(3;1); R(3; − ); S(10;3); T(2;1); U( − ;1); V(4;0); Z ⎜ − 1;− ⎟ . 4 3⎠ 7 ⎝ 2 ⎠ ⎝ I.

II.

III.

IV.

Mintapélda9 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha grafikonja a) átmegy a P( −3; 5) ponton és az y tengelyt a –10 helyen metszi! b) átmegy a P( 2; −1) ponton és párhuzamos az f ( x ) = −2 x + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonjával!

Megoldás: a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x ) = m x + b. Adott: P( −3; 5), valamint b = −10.

f ( x ) az x helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így x = −3 és

f ( −3 ) = 5 Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe, kapjuk: 5 = −3 m − 10. Ebből: m = −5 A keresett hozzárendelési utasítás: f ( x ) = −5 x − 10.

20


TANULÓK KÖNYVE

b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x ) = m x + b. Adott: P ( 2; −1). Az előző példához hasonlóan x = 2 és f ( 2 ) = −1. Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az f ( x ) = −2 x + 6, akkor az azt jelenti, hogy a meredekségük megegyezik. Vagyis a keresett hozzárendelési szabályban is a meredekség –2. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe, kapjuk: −1 = 2·(−2) + b, ebből b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: g ( x ) = −2 x + 5. 13. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha grafikonja

a) átmegy a P ( 7; 4) ponton, és a meredeksége ½! b) átmegy a P ( 2 ; 2) ponton és az x tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P ( −1; −4) és a Q ( 4; 1) pontokon! d) átmegy a P ( 5; 3) ponton és merőleges az f (x) =

1 x − 3 hozzárendelési utasítással 3

megadott függvény grafikonjára! e) átmegy a P (−2; 6) ponton, és meredeksége 0! f) átmegy a P (100; −1) ponton és párhuzamos az x tengellyel!

14. Állapítsd meg, hogy az alábbiak közül mely geometriai transzformációkat, milyen

sorrendben kell alkalmazni, hogy az f (x) = x függvény grafikonjából kiindulva az a) f (x) = –3 x;

b) f (x) = –x – 4;

c) f (x) = –x + 4;

függvény grafikonját kapjad? Geometriai transzformációk: tükrözés, eltolás, nyújtás.

d) f (x) = –2.

21


III. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása 1. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek Mintapélda10 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank éves számlafenntartási díja 3000 Ft, de havonta 2 tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 70 Ft-ba kerül. A másik banknál az éves számlafenntartási díj 1300 Ft, de minden tranzakció 170 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha az első hónapban 5 tranzakció történik? Az első hónapban hány tranzakció esetén éri meg, hogy az első, illetve a második bankot válassza? Az első hónapban hány tranzakció esetén fizet ugyanannyit a bankoknak? Válaszaidat indokold!

Megoldás: Értéktáblázat készítése: Egyik bank tranzakciók száma.

1

2

3

5

10

15

16

17

díj (Ft)

3000

3000

3070

3080

3560

3910

3980

4050

tranzakciók száma.

1

2

3

5

10

15

16

17

díj (Ft)

1470

1640

1810

2160

3000

3850

4020

4190

Másik bank

Hozzárendelési szabályok: Egyik bank: ⎧3000 + ( x − 2 ) ⋅ 70 , x ≥ 3 e ( x ) =⎨ , x ∈ {1;2} ⎩3000 Másik bank:

m ( x ) = 1300 + 170 x

Grafikon készítése:

22


TANULÓK KÖNYVE

Szöveges válasz: Az első hónapban 5 tranzakció esetén a 2. bankot célszerű választani, mert itt csak 2150 Ft-ot kell fizetnie, míg az első banknál 3210 Ft-ot. Az első hónapban 15,6 tranzakció esetén kellene ugyanakkora díjat fizetnünk mindkét banknál. A tranzakciók száma csak természetes szám lehet, ezért 15 ill. annál kevesebb tranzakció esetén a 2. bankot érdemes választani, 16 vagy annál több tranzakció esetén pedig az elsőt. Útmutató a 15–18. feladatok megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat! Töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatnál a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! 15. Egy új autó 2 500 000 Ft-ban kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz a

ráfordított költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 100 000 Ft-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó csak 800 000 Ft, de az éves szerviz díja 200 000 Ft. Hosszú távon melyiket érdemes megvenni? Melyik az a legkésőbbi időpont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Új autó év

0

6

7

8

10

11

15

8

10

11

15

költség Használt autó év költség

0

6

7

23


16. Mónika a munkahelyére villamossal és busszal egyaránt mehet. A villamos azonnal

indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megy, akkor a 4 km-es út 25 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjen, hogy minél hamarabb beérjen? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos

s(km)

0

0,5

1

2

3

4

5

2

3

4

5

t(min) Busz

s(km)

0

0,5

1

t(min) 17. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek

autóbusszal. A táv 100 km, a biciklisták 25 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat ér le hamarabb? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli

s(km)

0

20

40

60

70

80

100

60

70

80

100

t(h; perc) Autóbusz

s(km) t(h; perc)

0

20

40

24


TANULÓK KÖNYVE

18. Kati könyvtárba szeretne beiratkozni. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj,

és minden kölcsönzés 150 Ft. A másik könyvtárban 1200 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az első, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db)

0

1

2

5

7

8

9

7

8

9

Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db)

0

1

2

5

Összeg(Ft)

2. Lineáris egyenlőtlenségek Mintapélda11 Határozzuk meg a P(–3; ) és Q(–3; ), illetve az R(2; ) és S(2; ) 2. koordinátáit úgy, hogy 1 az így kapott pont az f(x) = − x − 2 hozzárendelési utasítással megadott függvények 2 grafikonjai felett illetve alatt legyenek!

Megoldás: Több megoldás van, az ábra mutat egy lehetőséget.

25


19. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek!

Hozzárendelési utasítások: 3 1 1 f (x) = – x – 2 g (x) = x + h (x) = –2 x + 4 4 2 2 Pontok: 1 P(–1; ) Q(5; ) R( − ; ) S(1; ) T(–6; ) 2

i (x) = x – 3

U(0; )

V(3,5 ; )

Mintapélda12 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! a) 3 x + 6 ≤ –2 b) 3 x + 6 > –2

Megoldás: 8 a) x ≤ − 3

b) x > −

8 3

Megjegyzés: A 20. feladat a) és c) példáihoz valamint a 22. és 23. feladatokhoz idézd fel az „Összefüggések, képletek, grafikonok, tájékozódás a koordináta-rendszerben” modulban szerzett ismereteidet. Ha a határvonal fekete, akkor az < illetve >, ha a határvonal színe megegyezik a kitöltési színnel, akkor az ≤ illetve ≥ relációs jelet jelent. 20. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a

megoldási halmazt! a) y ≥ 3;

1 b) − x + 4 > 0,5, 3

c) –1 ≤ y < 5,

d) 2 x – 4 ≤ 2.

21. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a

megoldási halmazt! a) x + 4 > x – 2;

b) 3 x – 2 ≥ –2 x + 5;

c) –5 x – 7 < –5 x + 1;

d)

3 x – 1 ≤ –x. 2

26


TANULÓK KÖNYVE

22. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a

megoldási halmazt! a) y > 3 x – 1;

b) y ≥ 3 és |x| < 1;

c) y < –2 x + 1 és –1 < x < 5.

23. Jellemezd az adott ponthalmazokat!

a)

b)


27

Kislexikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége.

Grafikonja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete): f (x) = mx + b, ahol m a függvény

grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont 2. koordinátája. (b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón, m = 0 esetén konstans függvény, párhuzamos az x tengellyel.) Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra

haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépünk pozitív m esetén felfelé, negatív

m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása:

–

ha m > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak.

–

ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak.

Pont és egyenes illeszkedése: A P(x0;y0) pont rajta van az f (x) = mx + b hozzárendelési

utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0-at; f (x) helyébe y0-at helyettesítve az egyenlőség teljesül. (Ha y0 > mx0 + b, akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el. Ha y0 < mx0 + b, akkor pedig alatta van) Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,

akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f (x) = mx, m ≠ 0 lineáris függvény írja le, ahol m az arányossági tényező.

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

Recommend Documents