Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc
Proč „historická“ metoda v dnešní počítačové době ?
Dnes údajně počítače zvládnou vše (hrubou silou) Zapomíná se na kvalitu myšlenek předpočítačové doby V historii matematiky najdeme mnoho příkladů složitých výpočtů realizovaných ručním způsobem Absence techniky byla nahrazována kvalitou metod Pokusit se využít dnešní techniku na odstranění výpočetní dřiny ale vyučovat metody, jde o matematické myšlenky
Hornerovo schéma výpočtu hodnoty polynomu Historická metoda, žádná technika, ruční práce Čína středověk 1669 – Isaac Newton 1819 – William Georg Horner Zápis polynomu z „klasického“ tvaru na tvar vhodný k výpočtům Příklad: P(x) = 1+3x-6x2+2x3 = 1+x[3+x(-6+2x)]
Zápis Hornerovy metody do tabulky Excel P(x) = 1 +3x -6x2 +2x3 = 1 + x[3+x(-6+2x)] Jak se bude počítat např. hodnota polynomu pro zadané ‚x‘ ? (takto možná počítal Newton a Horner ručním způsobem)
Princip: ‚x‘ (zde x=5) se dosazuje do nejvnitřnější závorky a po vyčíslení se pokračuje hiearchicky k vnější závorce. (kroky v pořadí výsledek ve žluté buňce)
Každá buňka v řádku č.4 znamená jednu závorku v Hornerově zápisu polynomu; buňka „D4“ je nejvnitřnější závorka, buňka „B4“ je výsledek
Zápis Hornerovy metody do tabulky Excel - vzorce P(x) = 1 +3x -6x2 +2x3 = 1 + x[3+x(-6+2x)], x=5; (kroky v pořadí výsledek ve žluté buňce)
VZORCE:
Hornerova metoda v tabulce Excel – dlouhý polynom EXCEL: kopírování vzorce tažením buňky za kostičku
1) 2)
3) 4)
Do řádku č.3 zapíšeme koeficienty polynomu vzestupně Do buňky „B4“ sestavíme prvotní vzorec vhodně zafixovaný Buňku „B4“ zkopírujeme za kostičku až po nejvyšší mocninu polynomu V buňce „B4“ ihned vyskočí výsledek, tedy hodnota polynomu pro „x“ zadané v buňce „B1“
Hornerova metoda v tabulce Excel – dlouhý polynom
Polynom může být vysokého stupně, jeho výpočet je umožněn pouze „tažením za kostičku“ doprava. Uvedený polynom P(x) = 1 +3x -6x2+2x3-3x5+x6+x8 , x=5 by se přímým výpočtem také mohl vyčíslovat následovně:
P(5) = 1 + 3*5 - 6*5*5 + 2*5*5*5 - 3*5*5*5*5*5 + 5*5*5*5*5*5 + + 5*5*5*5*5*5*5*5
Hornerova metoda v tabulce Excel – závěr
Ručně se sestaví malá tabulka (defacto nejvnitřnější závorka Hornerova zápisu) - Poté se řádky tabulky rozkopírují vpravo až do potřebného stupně polynomu - Doplní se zadané koeficienty polynomu - V levé spodní buňce je ihned vypočtena hodnota polynomu pro zadané „x“ - Maximální stupeň polynomu není omezen -
Hornerova metoda v tabulce Excel – problémy
Není omezen stupeň polynomu - Vypočtené hodnoty jednotlivých Hornerových závorek (tedy buněk v Excelu) mohou být veliké - Každý software je omezen na počet platných číslic, takže i zde dochází ke ztrátám a zaokrouhlování (což se patrně při ruční výpočetní dřině v minulosti nestávalo) -
Hledání kořene polynomické rovnice Hornerovým schematem -
Algebra vysvětluje pojem kořene poly. rovnice Kořen je definován vztahem P(x) = 0
(náhodným způsobem můžeme zkoušet dosazovat do buňky „x“ a sledovat výsledek (hodnotu polynomu); pokud vyjde nula, máme kořen) - Existuje algebraické věta o souvislosti kořenů a dělitelů absolutního členu polynomu - Při využití této věty nejprve zkoušíme dosazovat za „x“ dělitele, zda náhodou nebude P(dělitel) = 0; úspěch není zaručen !!!
Hledání kořene polynomické rovnice Hornerovým schematem - příklad -
Hledejme kořeny polynomu P(x) = −5 + 3x + 2x3. Absolutní člen je a0 = −5 a množina jeho dělitelů je {−1, 1, −5, 5}. Postupně dosazujeme do Hornerovy tabulky polynomu a hledáme jeho hodnotu Po dosazení za ‚x‘ vyjde v této tabulce:
-
x=-1
hodnota polynomu = 10
x=+1
hodnota polynomu = 0
x=-5
hodnota polynomu = -270
x=+5
hodnota polynomu = +260
Ukázalo se, že číslo x=+1 je kořenem polynomu P(x) Ostatní dělitele absolutního členu kořenem nejsou.
Dělení polynomů Hornerovým schematem -
-
Touto metodou lze dělit pouze lineárním dvojčlenem Použijeme stejnou Hornerovu tabulku jako pro výpočet hodnoty Čísla vypočtená v posledním řádku „vypočtené hodnoty“ jsou koeficienty podílu, tedy výsledného polynomu (o jeden stupeň nižšího) Příklad: (Dělení beze zbytku)
Vydělte polynom P(x) = −5 + 3x + 2x3 polynomem Q(x) = x − 1.
5 3x 2 x 3 5 2x 2x2 x 1
Dělení polynomů Hornerovým schematem -
Příklad: (Dělení se zbytkem)
Vydělte polynom P(x) = −5 + 3x + 2x3 polynomem Q(x) = x − 2.
5 3x 2 x 3 17 2 11 4 x 2 x x2 x2
Horner's Method using Excel ? nic jednoduššího: - sestavit Hornerovu tabulku - sestavit první ze vzorců a správně zafixovat adresy - naplnit tabulku koeficienty zadaného polynomu a zadané „x“ - za kostičku zkopírovat první vzorec do ostatních mocnin - odečíst vypočtenou hodnotu polynomu nebo koeficienty podílu
- ALE: ve vypočtených buňkách musí student vidět matematické závorky v Hornerově zápisu polynomu; musí vidět, jak to tehdy Horner počítal a (snad) ocenit hloubku jeho myšlenky
Děkuji za pozornost.
