Homogenisation of structured elastoviscoplastic solids
CIP-DATA LIBRARY TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Sluis, Olaf van der Homogenisation of structured elastoviscoplastic solids / by Olaf van der Sluis. – Eindhoven : Technische Universiteit Eindhoven, 2001. Proefschrift. – ISBN 90-386-2662-2 NUGI 834 Trefwoorden: micromechanica / constitutieve modellen; elastoviscoplasticiteit / homogenisatie / eindige-elementenmethode / heterogene materialen; mechanische eigenschappen Subjects: micromechanics / constitutive models; elastoviscoplasticity / homogenisation / finite element method / heterogeneous materials; mechanical properties Druk: Universiteitsdrukkerij TU Eindhoven, Eindhoven, The Netherlands
Homogenisation of structured elastoviscoplastic solids
Proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan de Technische Universiteit Eindhoven, op gezag van de Rector Magnificus, prof.dr. M. Rem, voor een commissie aangewezen door het College voor Promoties in het openbaar te verdedigen op maandag 15 januari 2001 om 16.00 uur
door
Olaf van der Sluis geboren te Eygelshoven
Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotoren: prof.dr.ir. H.E.H. Meijer en prof.dr.ir. F.P.T. Baaijens Copromotor: dr.ir. P.J.G. Schreurs
C ONTENTS Summary
vii
1 Introduction 1.1 General introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modelling strategies for heterogeneous materials . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Scope and outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Constitutive modelling 2.1 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . 2.2 The hyperelastoviscoplastic model 2.2.1 Hyperelasticity . . . . . . . 2.2.2 Viscoplasticity . . . . . . . . 2.3 Overview of the Leonov model . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3 Numerical implementation 3.1 The updated Lagrange procedure . . . . 3.2 Incrementally objective time integration 3.3 Iterative stress update . . . . . . . . . . 3.4 Jacobian tensor . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Planar configurations . . . . . . . . . . . 3.5.1 Plane strain . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Plane stress . . . . . . . . . . . . 3.6 Illustrative numerical examples . . . . . 3.6.1 Closed elastic deformation path 3.6.2 Strain softening simulations . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
4 A numerical homogenisation procedure for viscoplastic solids 4.1 The volume element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relations between macrofields and microfields . . . . . . . 4.3 Microscopic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Mixed boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Periodic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 4.4 Determination of the apparent properties . . . . . . . . . . 4.4.1 Apparent elastic properties . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Apparent viscoplastic properties . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 3
. . . . .
7 7 8 10 12 15
. . . . . . . . . .
17 17 21 22 24 26 26 28 30 30 31
. . . . . . . .
35 36 38 40 40 41 42 43 43
Contents
vi 4.4.3 Results from mixed boundary conditions . . 4.4.4 Results from periodic boundary conditions . 4.5 A periodically structured solid . . . . . . . . . . . . 4.6 An irregularly structured solid . . . . . . . . . . . . 4.7 Macroscopic model assumptions . . . . . . . . . . . 4.7.1 Isotropic elasticity . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Initial yield surface . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Isotropic hardening . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Homogenisation of the compressible Leonov model 4.8.1 Determination of the apparent properties . . 4.8.2 Benchmark problem . . . . . . . . . . . . . . 4.9 A macroscopic failure indicator . . . . . . . . . . . . 4.10 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Applications 5.1 Tensile specimen . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Notched specimen . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Influence of inclusion stiffness . . . . . . . . 5.4 Microstructure with interphase . . . . . . . 5.5 Comparison with Leonov multilevel results 5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
45 46 47 49 52 52 52 56 58 58 59 61 63
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
67 67 69 70 70 71 74
6 Discussion
75
A Implementation details A.1 The equilibrium equations in detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 The return mapping in detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 The Jacobian matrix in detail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81 81 83 85
Bibliography
87
Samenvatting
95
Dankwoord
97
S UMMARY All materials, both natural and man-made, have a heterogeneous structure at one or more scales of observation. This heterogeneous nature has a drastic impact on their macroscopic mechanical behaviour. Studying the relation between microstructural phenomena and the macroscopic behaviour will provide a way to design the microstructure of a material such that specific requirements on the resulting macroscopic mechanical behaviour can be fulfilled. This is called material design. One way to obtain a quantitative relation between the separate scales is to use homogenisation methods. Here, the heterogeneous material is effectively replaced by an equivalent homogeneous one, that represents the real material in an averaged sense. The fundamental assumption in these methods is the existence of a unit cell that is representative for the microstructure of the material under consideration, the so-called representative volume element (RVE). In this thesis, a numerical homogenisation method has been developed to model the mechanical behaviour of heterogeneous elastoviscoplastic solids at finite strains. At the microscopic and macroscopic level, strain softening behaviour (i.e., a decreasing stress with increasing strain) can be described properly. The continuous matrix material is assumed to be polycarbonate, whereas the heterogeneities are taken to be rubber particles and voids. A hyperelastoviscoplastic constitutive model has been formulated to account for the typical deformation characteristics of polycarbonate. In order to perform numerical simulations, the constitutive model has been implemented in an updated Lagrange weighted residual formulation of the equilibrium equation, which is solved iteratively using the finite element method. The homogenisation procedure can be summarised as follows: (i) definition of an RVE, of which the constitutive behaviour of its individual components is assumed to be known; (ii) formulation and application of microscopic boundary conditions on the RVE; (iii) calculation of the macroscopic state variables from the simulations on the RVE by means of so-called micro-macro relations; (iv) determination of the macroscopic constitutive parameters. The thus obtained constitutive equation enables the modelling of complex macrostructures, while taking into account the influence of the microstructure. The method has been validated by comparing results of homogenised simulations with reference solutions. For this purpose, a specimen with a periodic microstructure and an irregular microstructure has been considered. Of course, several macroscopic model assumptions have been evaluated. A simple failure criterion at the macroscopic
viii level has been formulated, which follows rather straightforwardly from an assumed failure behaviour of the material at the microscopic level. Several applications are discussed, in which the macroscopic mechanical behaviour of different specimens is modelled by means of the homogenised constitutive equations.
Bibliography
91
chanics of Materials , 31, 493–523. Nemat-Nasser, S., Hori, M. (1993). Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials . Elsevier Science Publishers. Nemat-Nasser, S., Obata, M. (1986). ‘Rate-dependent, finite elasto-plastic deformation of polycrystals.’ Proceedings of the Royal Society of London, A., 407, 343–375. Nowacki, W. (1986). Theory of Asymmetric Elasticity . Pergamon Press/PWN Polish Scientific Publishers, Warsawa/Oxford. Oden, J., Vemaganti, K. (1999). ‘Adaptive modeling of heterogeneous media: local estimates of modeling error.’ In Solids, Structures, and Coupled Problems in Engineering (Edited by W. Wunderlich), Munchen, ¨ Germany. Proceedings of the European Conference on Computational Mechanics. on CD-ROM. Ostoja-Starzewski, M. (1999). ‘Scale effects in materials with random distributions of needles and cracks.’ Mechanics of Materials , 31, 883–893. Owen, D., Hinton, E. (1980). Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice . Pineridge Press Limited, Swansea, UK. Paquin, A., Sabar, H., Berveiller, M. (1999). ‘Integral formulation and self-consistent modelling of elastoviscoplastic behavior of heterogeneous materials.’ Archive of Applied Mechanics , 69, 14–35. Pecullan, S., Gibiansky, L., Torquato, S. (1999). ‘Scale effects on the elastic behavior of periodic and hierarchical two-dimensional composites.’ Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 47, 1509–1542. Peerlings, R., De Borst, R., Brekelmans, W., De Vree, J. (1996). ‘Gradient enhanced damage for quasi-brittle materials.’ International Journal for Numerical Methods in Engineering , 39, 3391–3403. Peirce, D., Shih, C., Needleman, A. (1984). ‘A tangent modulus method for rate dependent solids.’ Composite Structures , 18, 875–887. Pellegrino, C., Galvanetto, U., Schrefler, B. (1999). ‘Numerical homogenization of periodic composite materials with non-linear material components.’ International Journal for Numerical Methods in Engineering , 46, 1609–1637. ´ D. (1992). ‘On consistent stress rates in solid mechanics: computational impliPeric, cations.’ International Journal for Numerical Methods in Engineering , 33, 799–817. ´ D. (1993). ‘On a class of constitutive equations in viscoplasticity: formulation Peric, and computational issues.’ International Journal for Numerical Methods in Engineering , 36, 1365–1393. ´ D., Owen, D. (1992). ‘A model for large deformations of elasto-viscoplastic Peric, solids at finite strain: Computational issues.’ In Finite Inelastic Deformations – Theory and Applications (Edited by D. Besdo, E. Stein), 299–312. IUTAM Symposium Hannover/Germany, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Perzyna, P. (1966). ‘Fundamental problems in viscoplasticity.’ In Advances in Applied Mechanics , volume 9, 243–377, New York. Academic Press. Perzyna, P. (1971). ‘Thermodynamic theory of viscoplasticity.’ In Advances in Applied Mechanics , volume 11, 313–354, New York. Academic Press. Perzyna, P. (1980). ‘Modified theory of viscoplasticity. Application to advanced flow and instability phenomena.’ Archives of Mechanics , 32(3), 403–420. Perzyna, P. (1985). ‘On constitutive modelling of dissipative solids for plastic flow,
92
Bibliography
instability and fracture.’ In Plasticity today: modelling, methods and applications (Edited by A. Sawczuk, G. Bianchi), 657–679, London. Elsevier Applied Science Publishers. Perzyna, P., Pecherski, R. (1983). ‘Modified theory of viscoplasticity. Physical foundations and identification of material functions for advanced strains.’ Archives of Mechanics , 35(3), 423–436. ˜ Ponte Castaneda, P. (1996). ‘Exact second-order estimates for the effective mechanical properties of nonlinear composite materials.’ Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 44, 827–862. van Rens, B., Brekelmans, W., Baaijens, F. (1998). ‘Homogenization of the elastoplastic behavior of perforated plates.’ Computers and Structures , 69, 537–545. Rohan, E., Whiteman, J. (2000). ‘Shape optimization of elasto-plastic structures and continua.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 187, 261– 288. Rubin, M. (1989). ‘A time integration procedure for plastic deformation in elasticviscoplastic metals.’ Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) , 40, 846– 871. Simo, C., Hughes, T. (1998). Computational Inelasticity . Interdisciplinary Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York. Simo, J. (1988a). ‘A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: part I. Continuum formulation.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 66, 199–219. Simo, J. (1988b). ‘A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition. Part II: Computational aspects.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 68, 1–31. Simo, J., Pister, K. (1984). ‘Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 46, 201–215. Skrzypek, J. (1993). Plasticity and Creep – Theory, Examples and Problems . CRC Press, Inc., Florida, USA. van der Sluis, O., Schreurs, P., Brekelmans, W., Meijer, H. (2000). ‘Overall behaviour of heterogeneous elastoviscoplastic materials: effect of microstructural modelling.’ Mechanics of Materials , 32(8), 449–462. van der Sluis, O., Schreurs, P., Meijer, H. (1999a). ‘Effective properties of a viscoplastic constitutive model obtained by homogenisation.’ Mechanics of Materials , 31(11), 743–759. van der Sluis, O., Schreurs, P., Meijer, H. (1999b). ‘Homogenisation of heterogeneous viscoplastic materials.’ In Proceedings of the 15th annual meeting of the Polymer Processing Society (Edited by P. Anderson, P. Kruijt), ’s-Hertogenbosch, The Netherlands. on CD-ROM. van der Sluis, O., Schreurs, P., Meijer, H. (1999c). ‘Modelling the mechanical behaviour of heterogeneous viscoplastic materials by homogenisation.’ In Solids, Structures, and Coupled Problems in Engineering (Edited by W. Wunderlich), Munchen, ¨ Germany. Proceedings of the European Conference on Computational Mechanics. on CD-ROM.
Bibliography
93
van der Sluis, O., Vosbeek, P., Schreurs, P., Meijer, H. (1999d). ‘Homogenization of heterogeneous polymers.’ International Journal of Solids and Structures , 36(21), 3193–3214. Sluys, L., De Borst, R. (1992). ‘Wave propagation and localization in a ratedependent cracked medium – model formulation and one-dimensional examples.’ International Journal of Solids and Structures , 29(23), 2945–2958. Smit, R. (1998). Toughness of Heterogeneous Polymeric Systems – a modeling approach . Ph.D. thesis, Eindhoven University of Technology, Eindhoven. Smit, R., Brekelmans, W., Baaijens, F. (2000a). ‘Flexible, consistent and fully implicit finite element implementation of the generalised compressible Leonov model.’ International Journal for Numerical Methods in Engineering . submitted. Smit, R., Brekelmans, W., Meijer, H. (1998). ‘Prediction of the mechanical behavior of non-linear heterogeneous systems by multi-level finite element modeling.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 155, 181–192. Smit, R., Brekelmans, W., Meijer, H. (1999). ‘Prediction of the large-strain mechanical response of heterogeneous polymer systems: local and global deformation behaviour of a representative volume element of voided polycarbonate.’ Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 47, 201–221. Smit, R., Brekelmans, W., Meijer, H. (2000b). ‘Predictive modelling of the properties and toughness of polymeric materials – pt. III Simultaneous prediction of micro- and macrostructural deformation of rubber -modified polymers.’ Journal of Materials Science , 35, 2881–2892. Steenbrink, A., van der Giessen, E., Wu, P. (1997). ‘Void growth in glassy polymers.’ Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 45(3), 405–437. Suquet, P. (1985). ‘Local and global aspects in the mathematical theory of plasticity.’ In Plasticity Today – Modelling, Methods and Applications (Edited by A. Sawczuk, G. Bianchi), 279–310, London. Elsevier Applied Science Publishers. Suquet, P., Moulinec, H. (1998). ‘Numerical simulation of the effective elastic properties of a class of cell materials.’ In Mathematics of Multiscale Materials (Edited by K. Golden, G. Grimmett, R. James, G. Milton, P. Sen), volume 99, 271–280. SpringerVerlag, New York, the IMA volumes in mathematics and its applications edition. Swan, C. (1994). ‘Techniques for stress- and strain-controlled homogenization of inelastic periodic composites.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 117, 249–267. Terada, K., Hori, M., Kyoya, T., Kikuchi, N. (2000). ‘Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches.’ International Journal of Solids and Structures , 37, 2285–2311. Terada, K., Kikuchi, N. (1995). ‘Nonlinear homogenization method for practical applications.’ In Computational Methods in Micromechanics (Edited by S. Ghosh, M. Ostoja-Starzewski), AMD-Vol.212, MD-Vol.62, 1–16. ASME. Tervoort, T. (1996). Constitutive Modelling of Polymer Glasses: Finite, Nonlinear Viscoelastic Behaviour of Polycarbonate . Ph.D. thesis, Eindhoven University of Technology, Eindhoven. Tervoort, T., Smit, R., Brekelmans, W., Govaert, L. (1998). ‘A constitutive equation for the elasto-viscoplastic deformation of glassy polymers.’ Mechanics of Time
94
Bibliography
Dependent Materials , 1, 269–291. Timmermans, P. (1997). Evaluation of a Constitutive Model for Solid Polymeric Materials: Model Selection and Parameter Quantification . Ph.D. thesis, Eindhoven University of Technology, Eindhoven. Toupin, R. (1962). ‘Elastic materials with couple-stresses.’ Archives of Rational Mechanics and Analysis , 11, 385–414. Triantafyllidis, N., Aifantis, E. (1986). ‘A gradient approach to localization of deformation. I. Hyperelastic materials.’ Journal of Elasticity , 16, 225–237. Vosbeek, P. (1994). A Micromechanical Approach to Deformation and Failure of Discrete Media . Ph.D. thesis, Eindhoven University of Technology, Eindhoven. Wang, W., Sluys, L., De Borst, R. (1996). ‘Interaction between material length scale and imperfection size for localisation phenomena in viscoplastic media.’ European Journal of Mechanics A/Solids , 15(3), 447–464. Weber, G., Anand, L. (1990). ‘Finite deformation constitutive equations and a time integration procedure for isotropic, hyperelastic-viscoplastic solids.’ Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 79, 173–202. Wienecke, H., Brockenbrough, J., Romanko, A. (1995). ‘A three-dimensional unit cell model with application toward particulate composites.’ Transactions of the ASME , 62, 136–140. Wu, F., Freund, L. (1984). ‘Deformation trapping due to thermoplastic instability in one-dimensional wave propagation.’ Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 32(2), 119–132. Wu, P., van der Giessen, E. (1994). ‘Analysis of shear band propagation in amorphous glassy polymers.’ International Journal of Solids and Structures , 31, 1493– 1517. Zienkiewicz, O., Taylor, R. (1989a). The Finite Element Method. Vol.1. Basic Formulation and Linear Problems . McGraw-Hill, London, UK. Zienkiewicz, O., Taylor, R. (1989b). The Finite Element Method. Vol.2. Solid and Fluid Mechanics, Dynamics and Non-linearity . McGraw-Hill, London, UK.
S AMENVATTING Zowel natuurlijke als synthetische materialen bezitten een heterogene structuur op een of meerdere lengteschalen. Deze heterogeniteiten hebben een aanzienlijke invloed op het macroscopisch mechanisch gedrag van deze materialen. Door bestudering van de relatie tussen de microstructuur en het macroscopisch gedrag wordt het mogelijk om de microstructuur van een materiaal zodanig te ontwerpen dat het macroscopisch mechanisch gedrag aan bepaalde eisen voldoet. Dit wordt material design genoemd. Een kwantitatieve relatie tussen de verschillende schalen kan verkregen worden door toepassing van homogenisatiemethoden. Het heterogene materiaal wordt dan vervangen door een equivalent homogeen materiaal dat op macroscopisch niveau hetzelfde gedrag vertoont. De aanname die ten grondslag ligt aan deze methoden is dat er een microscopisch element bestaat dat representatief is voor de microstructuur van het te beschouwen materiaal: het zogenaamde representatief volume element (RVE). In dit proefschrift wordt een numerieke homogenisatiemethode beschreven voor het analyseren van het mechanisch gedrag van heterogene elastoviscoplastische materialen die grote deformaties vertonen. Op zowel microscopische als macroscopische schaal moet verzwakkend (strain softening) materiaalgedrag kunnen worden beschreven. Polycarbonaat is als matrixmateriaal verondersteld, terwijl als heterogeniteiten rubber deeltjes of gaten worden genomen. Het deformatiegedrag van polycarbonaat wordt beschreven met een hyperelastoviscoplastisch constitutief model. Dit is ge¨ımplementeerd in een updated Lagrange gewogen afwijking formulering van de evenwichtsvergelijking, die iteratief wordt opgelost met behulp van de eindige-elementenmethode. De homogenisatieprocedure kan als volgt worden omschreven: (i) defini¨eren van een RVE, waarvan het constitutief gedrag van de individuele componenten bekend wordt verondersteld; (ii) formuleren en voorschrijven van microscopische randvoorwaarden op het RVE; (iii) berekenen van de macroscopische toestandsvariabelen uit de microscopische simulatieresultaten met behulp van zogenaamde micro-macro relaties; (iv) bepalen van de macroscopische constitutieve parameters. De aldus verkregen constitutieve vergelijking maakt het mogelijk om ingewikkelde macrostructuren te modelleren, rekening houdend met de microstructuur van het betreffende materiaal. De methode is gevalideerd door resultaten van gehomogeniseerde simulaties aan een proefstuk met een periodieke en een onregelmatige microstructuur te vergelijken met verkregen referentiewaarden. Tevens zijn verscheidene veronderstellingen met betrekking tot het macroscopisch model gecontroleerd. Een eenvoudig macroscopisch faalcriterium is geformuleerd, hetgeen direct volgt uit het veronderstelde microsco-
96 pisch faalgedrag. Verschillende toepassingen komen aan bod waarbij het macroscopisch mechanisch gedrag van verschillende proefstukken gemodelleerd wordt door middel van de verkregen gehomogeniseerde constitutieve vergelijkingen.
DANKWOORD Zonder de directe of indirecte steun van de volgende personen zou dit proefschrift niet tot stand zijn gekomen. Op de eerste plaats wil ik natuurlijk mijn beide begeleiders Han Meijer en Piet Schreurs bedanken voor hun enthousiasme en concretisering van het hele onderzoek. De kritische opmerkingen van Marcel Brekelmans hebben geresulteerd in een aantal aanvullingen op dit proefschrift, terwijl ook Ron Peerlings enkele nuttige bijdragen geleverd heeft. Varya Kouznetsova wil ik bedanken voor haar hulp met enige praktische problemen betreffende het gebruik van het Leonov model, waarvoor ook Robert Smit gegevens heeft verschaft. Uiteraard verdient de ‘het is weer half elf...laten we nu´ naar de kantine gaan’–groep een vermelding voor de altijd ‘diepgaande’ gesprekken over alles behalve het weer. Ondanks de variabele grootte en invulling van de groep gedurende de jaren, zouden de afgelopen vier jaar zonder dit ritueel een stuk saaier zijn verlopen. Mijn (ex-)kamergenoten hebben gezorgd voor een uitermate fijne werksfeer: Marc van de Wal, Bert van Beek, Frank Willems, Liviu Raulea, Edo Aneke en sinds kort Alejandro Rodriguez. Patrick van Brakel en Leo Wouters voor de ‘digitale’ ondersteuning, zowel op het werk als priv´e. Mijn moeder en mijn broer wil ik bedanken voor de steun en interesse die zij me gedurende de afgelopen jaren gegeven hebben. En uiteraard Manuela, die ervoor gezorgd heeft dat thuis ook daadwerkelijk de betekenis thuis heeft gekregen. Olaf van der Sluis Eindhoven, november 2000
