Hőátviteli műveletek példatár Szerkesztette: Erdélyi Péter és Rajkó Róbert
1. Milyen vastag legyen egy berendezés poliuretán szigetelése, ha a megengedhető legnagyobb W hőveszteség ϕ = 8 m2? A berendezés két oldalán mérhető hőmérséklet t1 = 20 °C, illetve t 2 = −18 °C. A poliuretán szigetelő hővezetési tényezője: λ = 0,063
W
.
m⋅K
Δt = t 2 − t1 = −18 °C − 20 °C = −38 °C λ ϕ = − ⋅ Δt δ
W 0,063 m ⋅ K λ δ = − ⋅ Δt = − ⋅ (−38 °C) = 0,299 m W ϕ 8 2 m
2
2. Mekkora a hőáram egy δvk = 2 mm vastag vízkőréteggel borított A = 1 m2 felületű, δf = 30 mm vastag acélfalon keresztül, melynek két oldalán mért hőmérséklet t1 = 250 °C, W illetve t 2 = 200 °C? A vízkő hővezetési tényezője λvk = 1,16 m⋅K, az acél hővezetési tényezője λf = 58
W
m⋅K
.
Δt = (t 2 − t1 ) = 200 °C − 250 °C = −50 °C Φ=−
Δt −50 °C ⋅A =− ⋅ 1 m2 = 22307 W 0,03 m 0,002 m δf δvk + W + W λf λvk 58 m ⋅ K 1,16 m ⋅ K
3
3. Egy hűtőkamra fala δp = 10 cm parafából, δt = 11 cm téglából és δb = 7,5 cm betonból áll. Belül, a parafa felőli oldalon t h = −18 °C a hőmérséklet, kívül, a beton felől t m = 18 °C. Számítsa ki a hőáramsűrűséget, valamint a parafa és a tégla érintkezési pontjánál mérhető W hőmérsékletet! A parafa, a tégla és a beton hővezetési tényezői rendre: λp = 0,043 m⋅K, λt = 0,69
W
m⋅K
, λb = 0,76
W
.
m⋅K
Δt = t h − t m = −18 °C − 18 °C = −36 °C ϕ=−
Δt δp δt δb + + λ p λt λb
−36 °C W = 13,93 2 0,1 m 0,11 m 0,075 m m W + W + W 0,043 m ⋅ K 0,69 m ⋅ K 0,76 m ⋅ K (t h − t p,t ) ϕ=− δp λp δp W 0,1 m t p,t = t h + ϕ ⋅ = −18 °C + 13,93 2 ⋅ = 14,4 °C λp m 0,043 W m⋅K ϕ=−
4
4. Mekkora az egyenértékű hővezetési tényezője annak a d = 25 mm vastag levegőrétegnek, amelynél a határoló két hőmérséklet értéke t m = 150 °C ill. t h = 50 °C? Az adott W kJ levegőréteg hővezetési tényezője λ = 0,037 m⋅K, fajhője cp = 1,009 kg⋅K, dinamikai viszkozitása η = 21,81 ⋅ 10−6 Pa ⋅ s, sűrűsége ρ = 0,945 1
kg m3
, köbös hőtágulási együtthatója
β = 2,068 ⋅ 10−3 K. λe = ϵ ⋅ λ ϵ = 0,18 ⋅ (Pr ⋅ Gr)0,25 J −6 ν cp ⋅ η 1009 kg ⋅ K ⋅ 21,81 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = = 0,595 W a λ 0,037 m ⋅ K d3 ⋅ ρ2 ⋅ g Gr = ⋅ β ⋅ Δt = η2 kg 2 m (0,025 m)3 ⋅ (0,945 3 ) ⋅ 9,81 2 1 m s = ⋅ 2,068 ⋅ 10−3 ⋅ (150 °C − 50 °C) = 5,951 ⋅ 104 −6 2 (21,81 ⋅ 10 Pa ⋅ s) K Pr ⋅ Gr > 1000 ⇒ ϵ = 0,18 ⋅ (0,595 ⋅ 5,951 ⋅ 104 )0,25 = 11,11 λe = 11,11 ⋅ 0,037
W W = 0,411 m⋅K m⋅K
5
5. Mekkora az egyenértékű hővezetési tényezője annak a d = 25 mm vastag levegőrétegnek, amely egy fűtőtest bordái között helyezkedik el? A határoló két hőmérséklet t m = 50 °C ill. W t h = 15 °C. Az adott levegőréteg hővezetési tényezője λ = 0,037 m⋅K, fajhője cp = 1,009
kJ
, dinamikai viszkozitása η = 21,81 ⋅ 10−6 Pa ⋅ s, sűrűsége ρ = 0,945
kg⋅K
kg
m3
, köbös
1
hőtágulási együtthatója β = 2,068 ⋅ 10−3 K. λe = ϵ ⋅ λ ϵ = 0,18 ⋅ (Pr ⋅ Gr)0,25 J −6 ν cp ⋅ η 1009 kg ⋅ K ⋅ 21,81 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = = 0,595 W a λ 0,037 m ⋅ K d3 ⋅ ρ2 ⋅ g Gr = ⋅ β ⋅ Δt = η2 kg 2 m (0,025 m)3 ⋅ (0,945 3 ) ⋅ 9,81 2 1 m s = ⋅ 2,068 ⋅ 10−3 ⋅ (50 °C − 15 °C) = 1,0414 ⋅ 104 −6 2 (21,81 ⋅ 10 Pa ⋅ s) K Pr ⋅ Gr > 1000 ⇒ ϵ = 0,18 ⋅ (0,595 ⋅ 1,0414 ⋅ 104 )0,25 = 1,6 λe = 1,6 ⋅ 0,037
W W = 0,059 m⋅K m⋅K
6
6. Kovácsoltvasból készült sík tartály δv = 10 mm vastag falát δp = 50 mm vastag parafa szigeteléssel látták el. A fal belső hőmérséklete t m = 120 °C, a külső hőmérséklet t h = 25 °C,. Számítsa ki a fal felületegységén időegység alatti hőveszteségét, valamint a vas és a W W parafa érintkezési hőmérsékletét! A hővezetési tényezők: λv = 52 m⋅K, λp = 0,052 m⋅K. Δt = t h − t m = 25 °C − 120 °C = −95 °C ϕ=−
Δt δv δp + λv λp
−95 °C W = 98,78 2 0,01 m 0,05 m m W + W 52 m ⋅ K 0,052 m ⋅ K t v,p − t h ϕ= λp δp δp W 0,05 m t v,p = t h + ϕ ⋅ = 25 °C + 98,78 2 ⋅ = 119,98 °C λp m 0,052 W m⋅K ϕ=−
7
7. Mekkora legyen annak a cső a csőben típusú hűtőnek a hőátadó felülete, amelyben G = kg 0,4 s tömegárammal tejet áramoltatunk és t be = 49 °C-ról t ki = 18 °C-ra kell lehűtenünk? A hűtővíz hőmérséklete t v = 10 °C (a művelet során állandónak tekinthető), a tej fajhője J W cp = 3890 kg⋅K, a berendezés hőátbocsátási együtthatója k = 900 m2 ⋅K. Δt = t be − t ki = (49 °C − 18 °C) = 31 °C Φ = G ⋅ cp ⋅ Δt = 3890
J kg ⋅ 0,4 ⋅ 31 °C = 48236 W kg ⋅ K s
Δt1 = t be − t v = 49 °C − 10 °C = 39 °C Δt 2 = t ki − t v = 18 °C − 10 °C = 8 °C Δt1 − Δt 2 39 °C − 8 °C = = 19,57 °C Δt 39 °C ln Δt 1 ln 8 °C 2 Φ = k ⋅ A ⋅ Δt kö z
Δt kö z =
A=
Φ 48236 W = = 2,74 m2 W k ⋅ Δt kö z 900 ⋅ 19,57 °C m2 ⋅ K
8
8. Egy ℓ = 120 cm átmérőjű keverős duplikátorban étolajat melegítünk. A keverőlapát 1 átmérője d = 300 mm, fordulatszáma n = 100 min, a fal hőmérséklete t f = 70 °C, az olaj η
0,14
hőmérséklete t o = 20 °C, a Nusselt-függvény: Nu = 0,37 ⋅ Re0,667 ⋅ Pr 0,33 ⋅ (η ) fal
Mekkora a hőátadási együttható? Hőmérséklet, °C
Sűrűség, m3
20 70
.
Viszkozitás, Pa ⋅ s
Hővezetési tényező,
900
5,7 ⋅ 10−4
0,650
4,185
827
2,1 ⋅ 10−4
0,651
4,176
kg
W
kJ
Fajhő, kg⋅K
m⋅K
kg kg ρ20°C + ρ70°C 900 m3 + 827 m3 kg ρa´tl = = = 863,5 3 2 2 m η20°C + η70°C 5,7 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s + 2,1 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s ηa´tl = = = 3,9 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s 2 2 W W λ20°C + λ70°C 0,650 m ⋅ K + 0,651 m ⋅ K W λa´tl = = = 0,6505 2 2 m⋅K kJ kJ cp,20°C + cp,70°C 4,185 kg ⋅ K + 4,176 kg ⋅ K J cp,a´tl = = = 4180,5 2 2 kg ⋅ K kg 1 2 d2 ⋅ n ⋅ ρa´tl (0,3 m) ⋅ 100 min ⋅ 863,5 m3 Rekev = = = 332115,38 s ηa´tl 60 min ⋅ 3,9 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s J −4 cp,a´tl ⋅ ηa´tl 4180,5 kg ⋅ K ⋅ 3,9 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = 2,5 W λa´tl 0,6505 m ⋅ K ηa´tl 0,14 0,33 Nu = 0,37 ⋅ Re0,667 ⋅ Pr ⋅ ( ) = kev η70°C 0,14
0,667
= 0,37 ⋅ 332115, 38 Nu =
0,33
⋅ 2, 5
3,9 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s ⋅( ) 2,1 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s
α⋅ℓ λa´tl
W Nu ⋅ λa´tl 2629,42 ⋅ 0,6505 m ⋅ K W α= = = 1425,36 2 ℓ 1,2 m m ⋅K
9
= 2629,42
9. n = 64 db 48,4 × 2,6 mm méretű, ℓ = 1,8 m hosszú acélcsőben levegő áramlik. Mekkora a hőátadási tényező és mennyi levegő melegíthető fel, ha a légáramlást a turbulencia alsó W kJ határán tartjuk? A levegő hővezetési tényezője λ = 0,0358 m⋅K, fajhője cp = 1,015 kg⋅K, sűrűsége ρ = 0,8343
kg
, kinematikai viszkozitása ν = 26,39 ⋅ 10−6 m3 d
2 3
m2 s
. Ha 0,5 < Pr ≤ 1,5
akkor Nu = 0,0214 ⋅ (Re0,8 − 100) ⋅ Pr 0,4 ⋅ (1 + ℓ ) , ha Pr > 1,5 akkor Nu = 0,04 ⋅ Re0,75 ⋅ Pr 0,75 . A turbulencia alsó határa esetén Re = 10000. db = 48,4 mm − (2 ⋅ 2,6 mm) = 0,0432 m Re =
db ⋅ v ν
2 −6 m 10000 ⋅ 26,39 ⋅ 10 Re ⋅ ν s = 6,1 m v= = db 0,0432 m s 2 2 (0,0432 m) ⋅ 3,14 db ⋅ π A=n⋅ = 64 ⋅ = 0,0938 m2 4 4 m kg kg G = v ⋅ A ⋅ ρ = 6,1 ⋅ 0,0938 m2 ⋅ 0,8343 3 = 0,477 s m s 2 kg J m −6 cp ⋅ ν ⋅ ρ 1015 kg ⋅ K ⋅ 26,39 ⋅ 10 s ⋅ 0,8343 m3 Pr = = = 0,624 < 1,5 W λ 0,0358 m⋅K 2
db 3 Nu = 0,0214 ⋅ (Re0,8 − 100) ⋅ Pr 0,4 ⋅ (1 + ) = ℓ 2
0,0432 m 3 = 0,0214 ⋅ (100000,8 − 100) ⋅ 0, 6240,4 ⋅ (1 + ) = 26,73 1,8 m W Nu ⋅ λ 26,73 ⋅ 0,0358 m ⋅ K W α= = = 22,15 2 db 0,0432 m m ⋅K
10
10. Mekkora hőáram szükséges egy ℓ = 15 m hosszú, d = 62,2 mm átmérőjű, vízszintes, m egyenes csőben történő hőkezelés esetében a t h = 20 °C-os, v = 0,8 s sebességgel áramló olajos felöntőlé t m = 60 °C-ra történő felmelegítéséhez, és mekkora lesz a falhőmérséklet? kJ A felöntőlé fajhője cp = 4,178 kg⋅K, viszkozitása η = 0,733 ⋅ 10−3 Pa ⋅ s, hővezetési tényezője λ = 0,6245
W
, sűrűsége ρ = 990,7
m⋅K
kg m3
. Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4.
d2 ⋅ π ⋅ v ⋅ ρ ⋅ cp ⋅ Δt = 4 (0,0622 m)2 ⋅ 3,14 m kg J = ⋅ 0,8 ⋅ 990,7 3 ⋅ 4178 ⋅ (60 °C − 20 °C) = 402264 W 4 s m kg ⋅ K kg m d ⋅ v ⋅ ρ 0,0622 m ⋅ 0,8 s ⋅ 990,7 m3 Re = = = 67254 η 0,733 ⋅ 10−3 Pa ⋅ s J −3 cp ⋅ η 4178 kg ⋅ K ⋅ 0,733 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = 4,9 W λ 0,6245 m ⋅ K 0,8 0,4 Nu = 0,023 ⋅ Re ⋅ Pr = 0,023 ⋅ 672540,8 ⋅ 4, 90,4 = 316,2 W Nu ⋅ λ 316,2 ⋅ 0,6245 m ⋅ K W α= = = 3174,71 2 d 0,0622 m m ⋅K Φ = G ⋅ cp ⋅ Δt = A ⋅ v ⋅ ρ ⋅ cp ⋅ Δt =
Ah = d ⋅ π ⋅ ℓ = 0,0622 m ⋅ 3,14 ⋅ 15 m = 2.93 m2 t fal =
Φ tm + th 402264 W 60 °C + 20 °C + = + = 83,2 °C W α ⋅ Ah 2 2 3174,71 2 ⋅ 2,93 m2 m ⋅K
11
11. Egy ℓ = 10 m hosszú, 57 × 2,9 mm méretű csőben 105 °C-os gőz áramlik. A környezet hőmérséklete 19 °C. Mekkorára válasszuk a salakgyapot szigetelés vastagságát, ha a hőveszteséget tizedrészére akarjuk csökkenteni? A gőzoldali hőátadási tényező αg = 925
W
, a levegőoldali αℓ = 18
m2 ⋅K
salakgyapoté λsz = 0,076
W
W
. Az acélcső hővezetési tényezője λcs = 46,5
m2 ⋅K
W
,a
m⋅K
.
m⋅K
ϕ = k ⋅ Δt kö z ϕ2 = 0,1 ⋅ ϕ1 ⇒ k 2 = 0,1 ⋅ k1 1 W = 17,63 2 1 0,0029 m 1 m ⋅K W + W + W 925 2 46,5 m ⋅ K 18 2 m ⋅K m ⋅K W W k 2 = 0,1 ⋅ k1 = 0,1 ⋅ 17,63 2 = 1,763 2 m ⋅K m ⋅K 1 k2 = 1 δcs δsz 1 αg + λcs + λsz + αℓ 1 1 δcs δsz 1 = + + + k 2 αg λcs λsz αℓ δsz 1 1 δcs 1 = − − − λsz k 2 αg λcs αℓ 1 1 δcs 1 δsz = ( − − − ) ⋅ λsz k 2 αg λcs αℓ k1 =
1 = 1 δcs 1 αg + λcs + αℓ
δsz = (
1 17,63
W m2 ⋅ K
1
− 925
W m2 ⋅ K
−
0,0029 m 1 W − ) ⋅ 0,076 = 0,0389 m W W m⋅K 46,5 m ⋅ K 18 2 m ⋅K
12
12. Mekkora a hőátadási tényező egy ℓ = 3 m hosszú, d = 50 mm belső átmérőjű vízszintes csőben történő áramlás esetében, ha a közeg hőmérséklete t k = 50 °C, a csőfal W hőmérséklete pedig t f = 90 °C? A közeg hővezetési tényezője λ = 0,64 m⋅K, kinematikai viszkozitása ν = 5,56 ⋅ 10−7 sűrűsége ρ = 1000
kg m3
m2 s
, hőmérsékletvezetési tényezője a = 1,555 ⋅ 10−7
. A közeg v = 0,8
m s
s
,
sebességgel áramlik. Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4 .
m d ⋅ v 0,05 m ⋅ 0,8 s 4 Re = = 2 = 7,2 ⋅ 10 m ν 5,56 ⋅ 10−7 s 2 −7 m 5,56 ⋅ 10 ν s = 3,58 Pr = = 2 m a 1,555 ⋅ 10−7 s
Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4 = 0,023 ⋅ (7,2 ⋅ 104 )0,8 ⋅ 3, 580,4 = 295 Nu =
m2
α⋅d λ
W Nu ⋅ λ 295 ⋅ 0,64 m ⋅ K W α= = = 3776 2 d 0,05 m m ⋅K
13
13. Egy d = 51,2 mm átmérőjű, ℓ = 18 m hosszú, vízszintes csőben áramló közeg sűrűsége ρ = 1000
kg
, fajhője cp = 4,18 m3
tényezője λ = 0,653
W m⋅K
kJ
, kinematikai viszkozitása ν = 0,47 ⋅ 10−6 kg⋅K
m2 s
, hővezetési
. A közeg belépéskor t be = 20 °C-os és t ki = 80 °C-ra melegítjük fel, m
áramlási sebessége v = 1,8 s . Mekkora a közeg hőátadási együtthatója és a csőfal hőmérséklete? Pr = 2,97, Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4. m d ⋅ v 0,0512 m ⋅ 1,8 s 5 Re = = 2 = 1,96 ⋅ 10 m ν 0,47 ⋅ 10−6 s Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4 = 0,023 ⋅ (1,96 ⋅ 105 )0,8 ⋅ 2, 970,4 = 609 W Nu ⋅ λ 609 ⋅ 0,653 m ⋅ K W α= = = 7767 2 d 0,0512 m m ⋅K Δt = t ki − t be = 80 °C − 20 °C = 60 °C d2 ⋅ π Φ = G ⋅ cp ⋅ Δt = A ⋅ v ⋅ ρ ⋅ cp ⋅ Δt = ⋅ v ⋅ ρ ⋅ cp ⋅ Δt = 4 (0,0512 m)2 ⋅ 3,14 m kg kJ = ⋅ 1,8 ⋅ 1000 3 ⋅ 4,18 ⋅ 60 °C = 929 kW 4 s m kg ⋅ K Ah = d ⋅ π ⋅ ℓ = 0,0512 m ⋅ 3,14 ⋅ 18 m = 2,89 m2 t fal =
Φ t be + t ki 929000 W 20 °C + 80 °C + = + = 91,4 °C W α ⋅ Ah 2 2 2 7767 2 ⋅ 2,89 m m ⋅K
14
14. m3
Egy n = 60 db d = 30 mm átmérőjű csőből álló csőköteges hőcserélőn q V = 36 h térfogatáramú ecetes felöntőlé áramlik át. Számítsa ki a felöntőlére vonatkozó hőátadási kg tényezőt, ha a vonatkoztatási hőmérséklete t von = 50 °C, sűrűsége ρ = 1630 m3, viszkozitása η = 7 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s, hővezetési tényezője λ = 0,105
W
, fajhője cp = 0,887 m⋅K
Nu = 0,023 ⋅ Re0,8 ⋅ Pr 0,4 ! d2 ⋅ π (0,03 m)2 ⋅ 3,14 = 60 ⋅ = 0,0424 m2 4 4 m3 36 qV m h v= = = 0,235 s A s 3600 ⋅ 0,0424 m2 h kg m d ⋅ v ⋅ ρ 0,03 m ⋅ 0,235 s ⋅ 1630 m3 Re = = = 16416,4 η 7 ⋅ 10−4 Pa ⋅ s J −4 cp ⋅ η 887 kg ⋅ K ⋅ 7 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = 5,91 W λ 0,105 m ⋅ K 0,8 Nu = 0,023 ⋅ Re ⋅ Pr 0,4 = 0,023 ⋅ 16416, 40,8 ⋅ 5, 910,4 = 110,3 W Nu ⋅ λ 110,3 ⋅ 0,105 m ⋅ K W α= = = 386,05 2 d 0,03 m m ⋅K A=n⋅
15
kJ
,
kg⋅K
15. kg
Egy hőcserélőben ellenáramban Gm = 12000 h tömegáramú sört t m,b = 82 °C-ról t m,k = 45 °C-ra hűtünk. A hűtővíz t h,b = 24 °C-os és legfeljebb t h,k = 53 °C-ra melegedhet fel, fajhője cp,h = 4,1
kJ
. A hőátadó felület A = 45 m2 , a sör fajhője cp,m = 3,6
kg⋅K
kJ
. Mekkora
kg⋅K
lesz a hőátbocsátási együttható? Mekkora legyen a víz tömegárama? Φ = Gm ⋅ cp,m ⋅ (t m,b − t m,k ) = kg 12000 kJ kJ h = s ⋅ 3,6 kg ⋅ K ⋅ (82 °C − 45 °C) = 444 s 3600 h Φ = k ⋅ A ⋅ Δt kö z Δt1 = t m,b − t h,k = 82 °C − 53 °C = 29 °C Δt 2 = t m,k − t h,b = 45 °C − 24 °C = 21 °C Δt1 − Δt 2 29 °C − 21 °C = = 25 °C Δt1 29 °C ln Δt ln 21 °C 2 kJ 444 s Φ W k= = = 395 A ⋅ Δt kö z 45 m2 ⋅ 25 °C m2 ⋅ K
Δt kö z =
Φ = Gh ⋅ cp,h ⋅ (t h,k − t h,b ) kJ s 444 s ⋅ 3600 kg h Gh = = = 13443 cp,h ⋅ (t h,k − t h,b ) 4,1 kJ ⋅ (53 °C − 24 °C) h kg ⋅ K Φ
16
16. Számítsa ki egy d = 0,9 m átmérőjű, ℓ = 1,2 m magas, függőleges henger alakú főzőedény t f = 49 °C-os fala mellett fellépő hőveszteséget! A levegő hőmérséklete t ℓ = 17 °C, kJ W viszkozitása η = 1,9 ⋅ 10−5 Pa ⋅ s, fajhője cp = 1,01 kg⋅K, hővezetési tényezője λ = 0,025 m⋅K, 1
köbös hőtágulási együtthatója β = 0,0032 K, sűrűsége ρ = 1,12
kg m3
. Nu = 0,13 ⋅ (Pr ⋅ Gr)0,33 .
Δt α = t f − t ℓ = 49 °C − 17 °C = 32 °C 3
2
kg 2 m ) ⋅ 9,81 2 3 1 m s ⋅ 0,0032 ⋅ 32 °C = 6,03 ⋅ 109 −5 2 (1,9 ⋅ 10 Pa ⋅ s) K
(1,2 m)3 ⋅ (1,12
ℓ ⋅ρ ⋅g ⋅ β ⋅ Δt = η2 J −5 cp ⋅ η 1010 kg ⋅ K ⋅ 1,9 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = 0,77 W λ 0,025 m ⋅ K 0,33 Nu = 0,13 ⋅ (Pr ⋅ Gr) = 0,13 ⋅ (0,77 ⋅ 6,03 ⋅ 109 )0,33 = 201,37 W Nu ⋅ λ 201,37 ⋅ 0,025 m ⋅ K W α= = = 4,2 2 ℓ 1,2 m m ⋅K Gr =
A = d ⋅ π ⋅ ℓ = 0,9 m ⋅ 3,14 ⋅ 1,2 m = 3,39 m2 Φ = α ⋅ A ⋅ Δt α = 4,2
W ⋅ 3,39 m2 ⋅ 32 °C = 455,62 W ⋅K
m2
17
17. Határozza meg egy d = 30 mm átmérőjű, t 0 = 18 °C kezdeti hőmérsékletű, m = 0,1 kg tömegű, gömbölyű mozzarella sajt felszíni hőmérsékletét, amit τ = 20 percen át t k = 0 °CW J os térben tároltak! A sajt hővezetési tényezője λ = 0,2 m⋅K, fajhője cp = 2200 kg⋅K, sűrűsége ρ = 931
kg m3
, a hőátadási tényező α = 8,47
W
.
m2 ⋅K
W 0,2 m ⋅ K m2 = 9,76 ⋅ 10−8 kg J s 2200 ⋅ 931 3 kg ⋅ K m d 30 mm ℓ= = = 0,015 m 2 2 2 −8 m a ⋅ τ 9,76 ⋅ 10 s ⋅ 1200 s = 0,52 Fo = 2 = ℓ (0,015 m)2 W α ⋅ ℓ 8,47 m2 ⋅ K ⋅ 0,015 m Bi = = = 0,635 W λ 0,2 m ⋅ K Bi : = 0,5, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg λ a= = cp ⋅ ρ
n = 1, mivel a felszíni hőmérsékletet kívánjuk meghatározni Y = 0,42 (a tömör gömbre vonatkozó Y − Fo diagramról) Y=
t − tk t0 − tk
t = Y ⋅ (t 0 − t k ) + t k = 0,42 ⋅ (18 °C − 0 °C) + 0 °C = 7,56 °C
18
18. t 0 = 15 °C-os, d = 18 mm átmérőjű kelbimbót kell előfőznünk t k = 96 °C-os vízben. Mennyi idő múlva éri el a maghőmérséklet a t = 90 °C-ot? A hőmérsékletvezetési tényező a = 1,4 ⋅ 10−7
m2 s
, a hővezetési tényező λ = 0,639
W
, a hőátadási tényező pedig α = 50,69 m⋅K
W
t − tk 90 °C − 96 °C = = 0,074 t 0 − t k 15 °C − 96 °C d 18 mm ℓ= = = 0,009 m 2 2 W α ⋅ ℓ 50,69 m2 ⋅ K ⋅ 0,009 m Bi = = = 0,714 W λ 0,639 m ⋅ K Bi : = 0,5, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg Y=
n = 0, mivel a maghőmérsékletet ismerjük Fo = 1,92 (a tömör gömbre vonatkozó Y − Fo diagramról) a⋅τ ℓ2 Fo ⋅ ℓ2 1,92 ⋅ (0,009 m)2 τ= = = 1111 s = 18,5 perc m2 a −7 1,4 ⋅ 10 s
Fo =
19
.
m2 ⋅K
19. t 0 = 25 °C-os húspogácsát kell előhűteni levegővel. Milyen hőmérsékletű levegőt áramoltassunk a teremben, ha a terméket τ = 10 perc alatt t = 2 °C-ra kell lehűteni? A húspogácsa 50 × 70 × 20 mm-es, de a csomagolás miatt csak az egyik 50 × 70 mm-es oldala W J felől hűl. Az anyag hővezetési tényezője λ = 10,77 m⋅K, fajhője cp = 3218 kg⋅K, sűrűsége ρ = 1249
kg m3
, hőátadási tényezője α = 244,4
W
.
m2 ⋅K
ℓ = 20 mm = 0,02 m a⋅τ λ τ Fo = 2 = ⋅ 2= ℓ cp ⋅ ρ ℓ
W 10,77 m ⋅ K 600 s ⋅ = 4,0194 kg (0,02 m)2 J 3218 ⋅ 1249 3 kg ⋅ K m
W α ⋅ ℓ 244,4 m2 ⋅ K ⋅ 0,02 m Bi = = = 0,454 W λ 10,77 m ⋅ K Bi : = 0,5, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg n = 0, mivel a maghőmérsékletet ismerjük Y = 0,19 (a végtelen síklapra vonatkozó Y − Fo diagramról) Y=
t − tk t0 − tk
Y ⋅ t0 − Y ⋅ tk = t − tk tk − Y ⋅ tk = t − Y ⋅ t0 tk =
t − Y ⋅ t 0 2 °C − 0,19 ⋅ 25 °C = = −3,86 °C 1−Y 1 − 0,19
20
20. d = 26 mm átmérőjű, ℓ = 120 mm hosszúságú sárgarépát kell blansíroznunk t = 90 °C-os maghőmérséklet eléréséig. A főzővíz hőmérséklete t k = 96 °C, a sárgarépa kezdeti W hőmérséklete t 0 = 15 °C, hővezetési tényezője λ = 0,639 m⋅K, hőmérsékletvezetési tényező a = 1,4 ⋅ 10−7
m2 s
, hőátadási tényező α = 50,69
W
. Mennyi legyen a blansírozás ideje?
m2 ⋅K
d 26 mm = = 0,013 m 2 2 W α ⋅ ℓ 50,69 m2 ⋅ K ⋅ 0,013 m Bi = = = 1,03 W λ 0,639 m⋅K Bi : = 1, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg ℓ=
n = 0, mivel a maghőmérsékletet ismerjük Y=
t − tk 90 °C − 96 °C = = 0,074 t 0 − t k 15 °C − 96 °C
Fo = 1,75 (a végtelen hengerre vonatkozó Y − Fo diagramról) a⋅τ ℓ2 Fo ⋅ ℓ2 1,75 ⋅ (0,013 m)2 τ= = = 2112,5 s = 35,2 perc m2 a −7 1,4 ⋅ 10 s
Fo =
21
21. d = 8,5 cm átmérőjű almát tárolunk t k = 8 °C-os pincében. Az alma betárolási W hőmérséklete t 0 = 18 °C, hővezetési tényezője λ = 0,623 m⋅K, fajhője cp = 3594,8 hőátadási tényezője α = 21,66 kg
W
, hőmérsékletvezetési tényezője a = 1,68 ⋅ 10
m2 ⋅K
J
,
kg⋅K 2 −7 m s
sűrűsége ρ = 1026 m3 . Mennyi idő múlva éri el az alma felülete és mennyi idő múlva a maghőmérséklete a t ce´l = 10 °C-ot? d 8,5 cm = = 0,0425 m 2 2 t ce´l − t k 10 °C − 8 °C Y= = = 0,2 t0 − tk 18 °C − 8 °C W α ⋅ ℓ 21,66 m2 ⋅ K ⋅ 0,0425 m Bi = = = 1,48 W λ 0,623 m ⋅ K Bi : = 1,5, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg ℓ=
A felületi hőmérséklet esetében: n=1 Fo = 0,5(a tömör gömbre vonatkozó Y − Fo diagramról) a⋅τ ℓ2 Fo ⋅ ℓ2 0,55 ⋅ (0,0425 m)2 τ= = = 5376 s = 89,6 perc m2 a −7 1,68 ⋅ 10 s A maghőmérséklet esetében:
Fo =
n=0 Fo = 0,65 (a tömör gömbre vonatkozó Y − Fo diagramról) a⋅τ ℓ2 Fo ⋅ ℓ2 0,65 ⋅ (0,0425 m)2 τ= = = 6353 s = 105,9 perc m2 a −7 1,68 ⋅ 10 s
Fo =
22
,
22. Határozza meg egy 30 × 50 × 70 mm méretű, t 0 = 18 °C hőmérsékletű, m = 0,1 kg tömegű vajtömb termikus középpontjában mért hőmérsékletét, miután τ = 20 percet töltött t k = 0 °C -os közegben, ha a vajtömb csak az 50 × 70 mm-es oldalai felől hűl! A vaj hővezetési W J kg tényezője λ = 0,2 m⋅K, a fajhője cp = 2200 kg⋅K, a sűrűsége ρ = 931 m3 , a hőátadási tényezője α = 8,47 ℓ=
W
.
m2 ⋅K
30 mm = 0,015 m 2
W 0,2 m ⋅ K m2 = 9,76 ⋅ 10−8 kg J s 2200 ⋅ 931 3 kg ⋅ K m 2 −8 m a ⋅ τ 9,76 ⋅ 10 s ⋅ 1200 s = 0,52 Fo = 2 = (0,015 m)2 ℓ W α ⋅ ℓ 8,47 m2 ⋅ K ⋅ 0,015 m Bi = = = 0,64 W λ 0,2 m ⋅ K Bi ≔ 0,5, mert az Y − Fo diagramon nincs a valódi értékhez tartozó görbesereg λ a= = cp ⋅ ρ
n = 0, mivel a maghőmérsékletet keressük Y = 0,06 (a végtelen síklapra vonatkozó Y − Fo diagramról) Y=
t − tk t0 − tk
t = Y ⋅ (t 0 − t k ) + t k = 0,09 ⋅ (18 °C − 0 °C) + 0 °C = 1,08 °C
23
23. Számítsuk ki egy t1 = 177 °C-os kemencében sülő kenyér által felvett sugárzásos hőmennyiséget! A kenyér felületének feketeségi foka ϵ = 0,85, felülete A = 0,0645 m2 , W felszíni hőmérséklete t 2 = 100 °C. A Stefan-Boltzmann állandó: σ = 5,67 ⋅ 10−8 m2 ⋅K4. T1 = t1 + 273,15 = 177 °C + 273,15 = 450,15 K T2 = t 2 + 273,15 = 100 °C + 273,15 = 373,15 K Φ = A ⋅ ϵ ⋅ σ ⋅ (T14 − T24 ) = = 0,0645 m2 ⋅ 0,85 ⋅ 5,67 ⋅ 10−8
W ⋅ ((450,15 K)4 − (373,15 K)4 ) = 67,37 W ⋅ K4
m2
24
24. Egy must hűtésére használt cső a csőben típusú hőcserélő külső csöve 38 × 2,6 mm méretű, W belső csöve 25 × 2,3 mm méretű. A vízoldali hőátadási együttható αv = 3148 m2 ⋅K, a W
mustoldali αm = 2910 m2 ⋅K. Hány nap múlva kell tisztítani, ha naponta δvk = 6 ⋅ 10−4 mm vastag vízkőréteg és δsz = 4 ⋅ 10−3 mm vastag mustoldali szennyeződés rakódik le? A vízkő W W W hővezetési együtthatója λvk = 2 m⋅K, a szennyeződésé λsz = 0,4 m⋅K, a csőfalé λcs = 43 m⋅K. Tisztítás akkor szükséges, ha a hőcserélő teljesítménye 20%-kal csökken. Tiszta hőcserélő esetén: k1 =
1 = 1 δcs 1 αv + λcs + αm
1 W = 1399 2 1 0,0023 m 1 m ⋅K W + W + W 3148 2 43 m ⋅ K 2910 2 m ⋅K m ⋅K
Ha 20 %-kal csökken a teljesítménye: k 2 = 0,8 ⋅ k1 = 0,8 ⋅ 1399 k2 =
1
W W = 1119,2 2 ⋅K m ⋅K
m2
1 δcs 1 δvk δsz αv + λcs + αm + n ⋅ (λvk + λsz ) 1 1 δvk δsz = +n⋅( + ) k 2 k1 λvk λsz 1 1 − k 2 k1 n= δvk δsz + λvk λsz 1 1 1 1 m2 ⋅ K − = − = 1,79 ⋅ 10−4 W k 2 k1 1119,2 W W 1399 2 2 m ⋅K m ⋅K δvk δsz 6 ⋅ 10−7 m 4 ⋅ 10−6 m m2 ⋅ K + = + = 1,03 ⋅ 10−5 W W λvk λsz W 2 m⋅K 0,4 m ⋅ K m2 ⋅ K 1,79 ⋅ 10−4 W n= 2 ⋅ K = 17,38 nap ≈ 17 nap m 1,03 ⋅ 10−5 W
25
25. Egy nyugvó vízben fekvő henger alakú test és a víz közötti hőátadási együtthatót kell meghatározni. A henger átmérője d = 40 mm, hossza ℓ = 50 mm, hőmérséklete t t = 60 °C. A víz hőmérséklete t v = 20 °C. 1
Pr ⋅ Gr ≤ 5 ⋅ 102 → Nu = 1,18 ⋅ (Pr ⋅ Gr)8 1
5 ⋅ 102 < Pr ⋅ Gr < 2 ⋅ 107 → Nu = 0,54 ⋅ (Pr ⋅ Gr)4 1
Pr ⋅ Gr ≥ 2 ⋅ 107 → Nu = 0,135 ⋅ (Pr ⋅ Gr)3
Hőmérséklet, °C
Fajhő,
Sűrűség,
kJ
kg m3
Hővezetési W tényező, m⋅K
Viszkozitás, Pa ⋅ s
Köbös hőtágulási 1 együttható, K
kg⋅K
20
4,1818
998,2
0,598
1,002 ⋅ 10−3
0,207 ⋅ 10−3
40
4,1784
992,2
0,628
0,652 ⋅ 10−3
0,385 ⋅ 10−3
60
4,1843
983,2
0,651
0,465 ⋅ 10−3
0,523 ⋅ 10−3
80
4,1964
971,8
0,669
0,335 ⋅ 10−3
0,643 ⋅ 10−3
t von =
t t + t v 60 °C + 20 °C = = 40 °C 2 2
Δt = t t + t v = 60 °C − 20 °C = 40 °C Gr =
d3 ⋅ ρ2 ⋅ g ⋅ β ⋅ Δt = η2
kg 2 m ) ⋅ 9,81 2 1 m3 s = ⋅ 0,385 ⋅ 10−3 ⋅ 40 °C = 2,24 ⋅ 107 −3 2 (0,652 ⋅ 10 Pa ⋅ s) K J −3 cp ⋅ η 4178,4 kg ⋅ K ⋅ 0,652 ⋅ 10 Pa ⋅ s Pr = = = 4,34 W λ 0,628 m ⋅ K (0,04 m)3 ⋅ (992,2
1
Pr ⋅ Gr = 4,34 ⋅ 2,24 ⋅ 107 = 9,72 ⋅ 107 → Nu = 0,135 ⋅ (Pr ⋅ Gr)3 1
Nu = 0,135 ⋅ (4,34 ⋅ 2,24 ⋅ 107 )3 = 62,07 W Nu ⋅ λ 62,07 ⋅ 0,628 m ⋅ K W α= = = 974,5 2 d 0,04 m m ⋅K 26
