Hand-out ) Penyusun : Soeparna Darmawijaya

𝒯𝒪𝒫𝒪ℒ𝒪𝒢ℐ ( 𝒫ℯ𝓃ℊ𝒶𝓃𝓉𝒶𝓇 ) ( Diktat/Hand-out )

Diktat atau hand-out Pengantar Topologi ini ditulis atau disusun atas Permintaan Jururan Matematika FMIPA-UGM dengan harapan membantu mahasiswa atau memudahkan mahasiswa Program-S! Matematika untuk memahami materi perkuliahaan Pengantar Topologi. Oleh karena itu cakupan materi dan kedalamannya disesuaikan dengan silabus yang telah dirancang. Telah diketahui bahwa ruang topologis merupakan abstraksi sistem bilangan real dan ruang metrik, maka diharapkan mahasiswa yang mengambil matakuliah telah mengtahui,walaupun sedikit, tentang sifat-sifat system bilangan real dan ruang metrik. Oleh karena itu diktat/hand-out ini, dengan Bab I “Latar Belakanng” bertujuan mengingat kembali sifat-sifat dasar Ruang Metrik. Dilanjutkan dengan Bab II “Ruang Topologis”. Bab ini memuat pengertian ruang topologis dan sifat-sifat dasarnya. Bab III “ Jenis-jenis himpunan di dalam ruang topologis” memuat jenis-jenis himpunan di dalam suatu ruang topologis dan kaitannya yang satu dengan yang lainnya. Bab IV “Fungsi Kontinu” membicarakan fungsi kontinu, to pologi relatif ( ruang-bagian ), fungsi identifikasi, dan topologi jumlah dan topologi produk. Bab V “Aksioma Separasi dan Kekompakan” memuat jenis-jenis aksioma separasi, pengertian kekompakan suatu himpunan, dan hubungan kekompakan dengan pengertian-pengertian lain di dalam suatu ruang topologis. Di dalam bab ini dibicarakan pula tentang pengetian ruang terhubung dan ruang tak terhubung dan beberapa sifatsifat sederhananya. Bab VI “Grup topologis dan ruang linear topologis” berisi pengenalan grup topologis dan ruang linear topologis dan disertakan pula sifat-sifat dasarnya. Penyusun :

Soeparna Darmawijaya

0

BAB 1 LATAR BELAKANG Telah diktahui setiap ruang bernorma ( normed space ) (X,∥ ∥) merupakan ruang metrik ( metric space ) (X,d) dengan d(x,y) = ∥ x – y ∥ Dimulai dengan membangun himpunan dasar yang disebut persekitaran ( neighborhood ) titik x 𝜖 X berjari-jari ( radius ) 𝜌 > 0 , yaitu himpunan 𝑁𝜌 (x) = { y 𝜖 X : d(x,y) < 𝜌 }, di dalam ruang metrik (X,d) dibangun pengertian-pengertian dasar, yaitu hubungan titik dengan suatu himpunan sebagai berikut. Diketahui A ⊂ X dan x 𝜖 X. x disebut (i)

titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada bilangan real 𝜌 > 0 sehingga 𝑁𝜌 (x) ⊂ A . Himpunan semua titik-dalam himpunan A disebut interior A dan ditulis dengan int(A) atau Ao.

(ii)

titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan Ac. Himpunan semua titik-luar himpunan A disebut exterior A dan ditulis dengan ext(A).

(iii)

titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap bilangan real 𝜌 > 0 benar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ A – {x} ≠ ∅ . Himpunan semua titik-limit himpunan A disebut derived set of A dan ditulis dengan A’.

(iv)

titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap bilangan real 𝛿 > 0 benar bahwa 𝑁𝛿 (x) ∩ A ≠ ∅ dan 𝑁𝛿 (x) ∩ Ac ≠ ∅ . 1

Himpunan semua titik-batas himpunan A disebut batas ( boundary ) himpunan A. Berdasarkan pengertian-pengertian dasar tersebut, pengertian-pengertian lainnya, antara lain himpunan terbuka dan himpunan tertutup. 

U ⊂ X disebut himpunan terbuka ( open set ) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam dan F ⊂ X disebut himpunan tertutup (closed set) jika Fc merupakan himpunan terbuka.

Pernyataan dan kenyataan teorema di bawah ini menjadi modal dasar atau ide dasar topologi pada suatu himpunan. Teorema 1.1 : Jika 𝜏 merupakan koleksi semua himpunan terbuka di dalam ruang metrik (X,d), maka (i)

∅ , X 𝜖 𝜏,

(ii)

𝑈, 𝑉 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜖 𝜏,

(iii)

𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃𝑈𝜖𝜎 𝑈 𝜖 𝜏.

Perlu mendapat perhatian bahwa setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka. Torema di atas ekuivalen dengan teorema di bawah ini. Teorema 1.2 Jika 𝜅 merupakan koleksi semua himpunan tertutup di dalam ruang metrik (X,d), maka (i)

∅ , X 𝜖 𝜅,

(ii)

𝐹, 𝐺 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅,

(iii)

𝜋 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂𝐹𝜖𝜋 𝐹 𝜖 𝜅.

Jika diamati semua sifat-sifat ,teorema , dan penertian lainnya di dalam ruang metrik dapat dibuktikan dan dibangun berdasarkan kesatuan tiga per-nyataan di dalam Teorema 1.1 di atas ; dengan demikian dapat dihindari penggunaan bilangan nyata, hkususnya bilangan real positif 𝜀 dan 𝛿. De-ngan demikian

2

timbul konsep baru topologi ( topology ) dan ruang topologis ( topological space ) yang menjadi pokok atau topik perkuliahan ini.

3

4

BAB 2 RUANG TOPOLOGIS 2.1 Pengertian ruang topologis dan sifat-sifat sederhananya Diketahui sebarang himpunan X ≠ ∅ ; jadi pada himpunan X tak perlu struktur atau sifa-sifat yang melekat padanya. Dengan 𝒫 atau 2X dimaksud adalah himpunan kuasa ( power set ) himpunan X, yaitu koleksi semua him-punanbagian himpunan X. Seperti telah diilustrasikan di atas diangkat pe-ngertian atau definisi topologi pada suatu himpunan X yang tak kosong sebagai berikut. ( Bandingkan dengan Teorema 1.1 di atas ). Definisi 2.1.1 : Diketahui sebarang himpunan X ≠ ∅. 𝜏 ⊂ 2X disebut topologi ( topology ) pada X jika memenuhi syarat-syarat di bawah ini : (i)

∅ , X 𝜖 𝜏,

(ii)

𝑈, 𝑉 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜖 𝜏,

(iii)

𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃𝑈𝜖𝜎 𝑈 𝜖 𝜏.

Jika 𝜏 suatu topologi pada X maka pasangan (X,𝝉) disebut ruang topologis ( topological space ), anggota topologi 𝜏 disebut himpunan terbuka ( open set ), dan anggota X disebut titik ( point ). Komplemen himpunan terbuka disebut himpunan tertutup ( closed set ). Contoh 2.1 (a) : 1. X ≠ ∅. 𝜏 = { ∅, X } merupakan topologi pada X yng disebut topologi indiskret ( indiscrete topology ) dan (X,𝜏) disebut ruang topologis indis-kret ( indiscrete topological space ); ∅ dan X merupakan himpunan terbuka dan sekaligus merupakan himpunan tertutup. 𝜎 = 2X merupakan topologi pada X yang disebut topologi dikret ( discrete topology ) dan (X,𝜏) disebut ruang topologis diskret ( discrete topological

5

space ); setiap himpunan-bagian di dalam X merupakan himpunan terbuka dan merupakan himpunan tertutup. 2. X = { a, b, c, d }. 𝜏 = { ∅, X , { a, b, c }, { b, c, d }, { b, c } } merupakan salah satu topologi pada X ; jadi (X,𝜏) merupakan ruang topologis. Sebagai contoh { a, d } merupakan himpunan tertutup karena himpunan komplemennya yaitu { b, c } merupakan himpunan terbuka. 3. Setiap ruang metrik (X,d}, termasuk ruang bernorma, merupakan ruang topologis dengan topologi yang dibangkitkan oleh metrik d seperti terlihat pada Teorema 1.2 di atas. Topologi yang dibangkitkan oleh suatu metric disebut topologi metrik ( metric topology ). 4. R, sistem bilangan real. Di dalam R dibentuk koleksi himpunan 𝜏 sebagai berikut. U 𝜖 𝜏 jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 U ada bilangan real 𝛿𝑥 > 0 sehingga (x - 𝛿𝑥 , x + 𝛿𝑥 ) ⊂ U. Tak sukar diperlihatkan bahwa 𝜏 merupakan topologi pada R dan topologi ini disebut topologi biasa ( usual topology ) serta ruang topologis (R,𝜏) disebut ruang topologis biasa ( usual topological space ). Di dalam ruang topologis biasa ini, mudah ditunjukkan bahwa setiap selang terbuka merupakan himpunan terbuka. Teorema 2.1.2 : 𝜏 topologi pada himpunan X jika dan hanya jika 𝜅, yaitu koleksi semua himpunan tertutup di dalam ruang topologis (X,𝜏), memenuhi sifat-sifat : (i)

∅, X 𝜖 𝜅,

(ii)

F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅,

(iii)

𝜌 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂𝐹𝜖𝜌 𝐹 𝜖 𝜅.

Bukti : Karena komplemen himpunan tertutup merupakan himpunan terbuka, diperoleh -

∅, X 𝜖 𝜅 ⟺ ( komplemennya ) X, ∅ 𝜖 𝜏,

-

{F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅 } ⟺ { Fc, Gc 𝜖 𝜏 ⟹ Fc ∩ Gc 𝜖 𝜏 },

-

{ 𝜌 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂𝐹𝜖𝜌 𝐹 𝜖 𝜅 } ⟺ { 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃𝐹𝑐 𝜖𝜎 𝐹 𝑐 𝜖 𝜏 }.

∎

6

Urutan dan basis topologi Jika 𝜎 dan 𝜏 masing-masing merupakan topologi pada himpunan dan 𝜎 ⊂ 𝜏 maka 𝜎 dikatakan topologi lebih kecil ( smaller ) atau lebih kasar ( coarser ) daripada topologi 𝜏 atau 𝜏 lebih besar ( larger ) atau lebih halus ( finer ) daripada topologi 𝜎. Contoh 2.1 (b) : 1. Diketahui himpunan X = { a, b, c, d } . Dibentuk topologi-topologi pada X sebagai berikut. 𝜏 = { ∅, X }, 𝜌 = { ∅, 𝑋, { a, b, c } , { b, c, d }, { b, c } } , 𝜋 = {∅, 𝑋, { a, b, c } , { b, c, d }, { b, c }, {b}, {c} } , dan 𝜎 = 2X . Jelas bahwa 𝜏 ⊂ 𝜌 ⊂ 𝜋 ⊂ 𝜎. Demikian pula { ∅, X } ⊂ { ∅, X, { a, b, ,c } } ⊂ 2X . 2. Pada setiap himpunan X yang tak kosong, topologi yang paling kecil atau paling kasar adalah topologi { ∅, X } dan topologi yang paling besar atau paling halus adalah topologi 2X . Diketahui ruang topologis (X, 𝜏). -

𝛽 ⊂ 𝜏 disebut basis topologi 𝜏 jika setiap V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 𝑉 ada U 𝜖 𝛽 sehingga x𝜖U⊂V .

-

𝛾 ⊂ 𝜏 disebut basis-bagian ( sub-basis ) topologi 𝜏 jika setiap irisan hingga anggotanya merupakan anggota basis. Jadi, 𝛾 ⊂ 𝜏 basis-bagian topologi 𝜏 jika dan hanya jika setiap V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 𝑉 ada U1 ,U2 , . . , Un 𝜖 𝛾 sehingga x 𝜖 U1 ∩ U2 ∩ . . . . Un ⊂ V .

Jadi, jika diketahui ada basis-bagian suatu topologi maka basis dan topologinya dapat diketahui pula. Sebaliknya, jika diketahui satu topologi pada suatu himpunan, basis dan basis-bagiannya tidak mudah ditemukan. Teorama 2,1,3 : Diketahui himpunan X ≠ ∅. 𝛾 ⊂ 2X merupakan merupakan basis-bagian suatu topologi 𝜏 pada X jika X = ⋃𝑈𝜖𝛾 𝑈, X 𝜖 𝛾, dan untuk setiap U, V 𝜖 𝛾 dan x 𝜖 U ∩ 𝑉 ada W 𝜖 𝛾 sehingga x 𝜖 W ⊂ U ∩ V. Bukti : Diambil sebarang U, V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 U ∩ V diperoleh x 𝜖 U dan x 𝜖 V. Oleh karena itu ada U1 ,U2 , . . . . ,Um dan V1 ,V2 , . . . . ,Vn anggota 𝛾 sehingga 7

𝑛 x 𝜖 ⋂𝑚 𝑖=1 𝑈𝑖 ⊂ U dan x 𝜖 ⋂𝑗=1 𝑉𝑗 ⊂ V

yang berakibat 𝑛 x 𝜖 ⋃𝑚 𝑖=1 ⋂𝑗=𝑖(𝑈𝑖 ∩ 𝑉𝑗 ) ⊂ U ∩ V

yang berarti U ∩ V 𝜖 𝜏. Cukup jelas bahwa X, ∅ 𝜖 𝜏.

∎

Suatu ruang topologis dikatakan memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua ( second axiom of countability ) jika topologinya mempunyai basis yang banyak anggotanya terhitung { countable ).

Contoh 2.1 (c) 1. Ruang topologi biasa R memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua ; anggota basisnya adalah interval terbuka yang pangkal dan ujungnya bilangan rasional.

Persekitaran Di dalam ruang metrik setiap persekitaran selalu merupakaan himpunan terbuka, tetapi di dalam ruang topologis tak demikian halnya meskipun inti pengertianya sama. (X,𝜏) ruang topologis dan x 𝜖 X . Himpunnan N(x) ⊂ X disebut persekitaran ( neighborhood ) titik x jika ada himpunan terbuka U sehingga x 𝜖 U ⊂ N(x). Terlihat bahwa setiap himpunan terbuka merupakan persekitaran anggotanya. Teorema 2.1.4 : Himpunan U di dalam ruang topologis X terbuka jika dan hanya jika U memuat suatu persekitaran setiap anggotanya. Bukti : Syarat perlu : Karena U merupakan himpunan terbuka maka U merupakan persekitaran setiap anggotanya yang berarti U memuat setiap perkitaran anggotanya. Syarat cukup : U memuat suatu persekitaran setiap anggotanya jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 U ada persekiran N(x) dan himponan terbuka Ux sehingga x 𝜖 Ux ⊂ N(x) ⊂ U. Karena Ux himpunan terbuka untuk setiap x 𝜖 U, berdasarkan Definisi 2.1 (iii) diperoleh U = ⋃𝑥𝜖𝑈{𝑥} ⊂ ⋃𝑥𝜖𝑈 𝑈𝑥 ⊂ ⋃𝑥𝜖𝑈 𝑁(𝑥) ⊂ U 𝜏 .

∎ 8

Jika (X,𝜏) dan x 𝜖 X. Koleksi semua persekitaran di x dituliskan dengan 𝒩(x) dan disebut sitem persekitaran di ( titik ) x ( system of neighborhood at x ) Teorema di bawah ini tak sukar dibuktikan. Teorema 2.1.5 : Jika 𝒩(x) sistem persekitaran di x di dalam suatu ruang topologis, maka irisan setiap dua anggota menjadi anggota dan setiap himpunan yang memuat suatu anggota menjadi anggota sistem persekitaran itu. Jika 𝒩(x) sistem persekitaran di x di dalam suatu ruang topologis, maka 𝛽 ⊂ 𝒩(x) disebut basis lokal ( local basis ) di x jika setiap N(x) 𝜖 𝒩(x) ada N’(x) 𝜖 𝛽 sehingga N’(x) ⊂ N(x). Ruang topologis (X,𝜏) dikatakam memenuhi aksioma keterhitungan pertama ( first axiom of countability ) jika setiap 𝒩(x) mempunyai basis lokal yang banyak anggotanya terhitung. Berdasarkan pengertian terakhir ini mudah dibuktikan teorema di bawah ini. Teorema 2.1.6 : Setiap ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua akan memenuhi aksioma keterhitungan pertama.

Latihan 2 : 1. Jika X = { a, b, c, d, e }, buatlah paling sedikit 3 ( tiga ) topologi pada X selain {∅, X} dan 2X . 2. Jika 𝜏 dan 𝜎 dua topologi pada himpunan X, buktikan bahwa 𝜏 ∩ 𝜎 dan 𝜏 ∪ 𝜎 masing-masing merupakan topologi pada X. 3. Di dalam ruang topologi biasa R mana himpunan tertutup, himpunan terbukan dan persekitaran suatu titik : (a,∞), [a,∞), (-∞,b), (-∞,b], (a,b), [a,b], [a,b) ∪ {c, d}. Untuk mudahnya anggap saja a < b < c < d . 4. Buktikan Teorema 2.i.4 dan Teorema 2.1.5.

9

10

BAB 3 JENIS-JENIS HIMPUNAN DI DALAM RUANG TOPOLOGIS Jika (X,𝜏) ruang topologis, himpunan anggota topologi 𝜏 himpunan terbuka, komplemen himpunan terbuka di sebut himpunan tertutup, dan persekitaran suatu titik di definisikan/dibangun melalui himpunan terbuka. Karena ruang topologis merupakan abstract ruang metrik, maka pengertian-pengertian di dalamnya berupa absraksi pula ; tanpa menggunakan pengertian jarak ( tanpa menggunakan bahasa bilangan real 𝜀 − 𝛿 ), tetapi maknanya sama. Sebagai contoh definisi di bawah ini. 3.1 Jenis-jenis himpunan Definisi 3.1.1 : Jika (X, 𝜏) ruang topologis , x 𝜖 X dan A ⊂ X, maka x disebut (i)

titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada persekitaran N(x) sehingga N(x) ⊂ A Koleksi semua titik-dalam himpunan A disebut interior A dan ditulis dengan int(A) atau Ao.

(ii)

titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan Ac. Koleksi semua titik-luar himpunan A disebut exterior A dan ditulis dengan ext(A).

(iii)

titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap persekitaran N(x) benar bahwa N(x) ∩ A – {x} ≠ ∅ . Koleksi semua titik-limit himpunan A disebut derived set of A dan dituliskan dengan A’.

(iv)

titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap N(x) benar bahwa N(x) ∩ A ≠ ∅ dan N(x) ∩ Ac ≠ ∅. Koleksi semua titik-batas himpunan A disebut batas himpunan A ( boundary of A ) dan dituliskan dengan 𝝏(A). 11

(v)

Klosur himpunan A ( closure of A, ditulis singkat dengan cl(A), adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A.

Sifat-sifat koleksi tersebut tetuang ke dalam beberapa teorema di bawah ini. Teorema 3.1.2 : Untuk sebarang himpunan A di dalam ruang topologis (X, 𝜏) benar bahwa : (i)

int(A) merupakan himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A .

(ii)

int(int(A)) = int(A).

Bukti : (i) : x 𝜖 Ao = int(A), berdasarkan Definisi 3.1.1 (i), ada himpunan terbuka Ux sehingga x 𝜖 Ux ⊂ A. Jadi diperoleh int(A) = Ao = ⋃𝑥𝜖𝐴𝑜 𝑈𝑥 ⊂ A merupakan himpunan terbuka ( Def.2.1.1 (iii) ) termuat di dalam A. Selanjutnya, diambil sebarang himpunan terbuka B yang temuat di dalam A. Jadi untuk sebarang b 𝜖 B merupakan titik-dalamnya yang berarti ada himpunan terbuka Ub sehingga b 𝜖 Ub ⊂ B. Karena B ⊂ A diperoleh b merupakan titik-dalam himpuan A yang berarti b 𝜖 int(A) ; jadi B ⊂ int(A) yang berarti int(A) merupakan himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A . (ii) Menurut (i), int(A) himpunan terbuka dan oleh karena itu himpunanan terbuka terbesar yang termuat di dalam int(A) adalah dirinya sendiri, jadi terbukti int(int(A)) = int(A).

∎

Teorema 3.1.3 : Untuk sebarang himpunan A di dalam ruang topologis (X, 𝜏) benar bahwa : (i)

A – 𝜕(A) merupakan himpunan terbuka.

(ii)

A ∪ 𝜕(A) merupakan himpunan tertutup.

Bukti : (i) : Cukup diperlihatkan bahwa sebarang x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) merupakan titik-dalam. x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) jika dan hanya jika x 𝜖 𝐴 dan x bukan anggota 𝜕(𝐴) ( bukan titik-batas himpunan A ) jika dan hanya jika x 𝜖 𝐴 dan ada persekitaran N(x) sehingga A ∩ N(x) = ∅ atau Ac ∩ N(x) = ∅ } jika dan hanya x 𝜖 𝐴 dan ada persekitaran N(x) sehingga A ∩ N(x) ≠ ∅ dan Ac ∩ N(x) jika dan hanya jika 12

ada N(x) sehingga N(x) ⊂ A dan x bukan titik-batas himpunan A jika dan hanya jika x titik-dalam himpunan A – 𝜕(A) . (ii) : Membuktikan A ∪ 𝜕(A) merupakan himpunan tertutup ekuivalen dengan membuktikan (A ∪ 𝜕(A))c = Ac ∩ (𝜕(A))c = Ac − 𝜕(A) = Ac − 𝜕(Ac) merupakan himpunan terbuka dan memang benar bahwa Ac − 𝜕(Ac) merupakan himpunan terbuka, menurut (i). ∎ Teorema 3.1.4 : Di dalam setiap ruang topologis (X,𝜏), untuk sebarang A ⊂ X benar bahwa 𝐴 = A ∪ A’ merupakan himpunan tertutup. Bukti : Cukup dibuktikan bahwa 𝐴c = ( A ∪ A’ )c = Ac ∩ (A’)c himpunan terbuka. Diambil sebarang x 𝜖 Ac ∩ (A’)c. x 𝜖 Ac ∩ (A’)c jika dan hanya jika x 𝜖 Ac dan x bukan titik-limit himpunan A jika dan hanya jika x 𝜖 Ac ada N(x) sehingga N(x) ∩ A – {x} = ∅ yang berakibat ada N(x) sehingga N(x) ⊂ Ac dan x bukan titik-limit himpunan A yang berarti x 𝜖 Ac ∩ (A’). Bukti selesai. ∎ Teorema 3.1.5 : Di dalam setiap ruang topologis (X,𝜏), untuk sebarang A ⊂ X benar bahwa 𝐴 = A ∪ A’ = cl(A). Bukti : Karena cl(A) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A dan telah terbukti bahwa 𝐴 = A ∪ A’ himpunan tertutup, maka cl(A) ⊂ A ∪ A’. Sebaliknya, jika x 𝜖 A ∪ A’ maka x 𝜖 A atau { untuk setiap N(x) benar bahwa N(x) ∩ A – {x} ≠ ∅ } yang berakibat x 𝜖 cl(A} atau { untuk setiap N(x) benar bahwa N(x) ∩ cl(A} – {x} ≠ ∅ } atau x 𝜖 cl(A). Jadi A ∪ A’ ⊂ cl(A). ∎ Berdasarkan Teorema 3.2, Teorema 3.4, dan Teorema 3.5 diperoleh : Akibat 3.1.6 : Diketahui ruaang topologis (X,𝜏) dan A ⊂ X. (i)

A himpunan terbuka jika dan hanya jika int(A) = A .

(ii)

A himpunan tertutup jika dan hanya jika A memuat semua titiklimitnya.

(iii)

A himpunan tertutup jika dan hanya jika cl(A) = A .

(iv)

A himpunan tertutup jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 A benar bahwa N(x) ∩ A ≠ ∅ .

13

Definisi 3.1.7 : Diketahui ruang topologis (X,𝜏) dan A ⊂ X. A dikatakan dense di dalam X jika cl(A) = X . Teorema 3.1.8 : Diketahui ruang topologis (X,𝜏). A ⊂ X. A dense di dalam X jika dan hanya jika 𝜏 mempunyai basis sehingga setiap anggota basis yang tak kosong irisannya dengan A tak kosong. Bukti : Syarat perlu : Cukup dibuktikan bahwa setiap himpunan terbuka U yang tak kosong memotong A. Diambil sebarang x 𝜖 U. Karena A dense di dalam X maka x 𝜖 cl(A) dan karena U merupakan persekitaran titik x berarti U beririsan dengan A. Syarat cukup : Diketahui 𝜏 memepunyai basis, katakan basis itu 𝛽, dan jika U 𝜖 𝛽 tak kosong diketahui U ∩ A ≠ ∅. Diambil sebarang x 𝜖 X dan persekitaran N(x). Berdasarkan definisi persekitaran dan basis, maka ada V 𝜖 𝛽 sehingga x 𝜖 V ⊂ N(x) dan berdasarkan hipotesisnya irisan V dengan A tak kosong dan oleh karena itu x 𝜖 cl(A). Karena pengambilan x sebarang berarti X = cl(A) dan bukti selesai.

∎

Sebagai contoh : Jika Q koleksi semua bilangan rasional maka Q dense di dalam ruang topologis biasa R . Mudah difahami bahwa setiap selang terbuka memuat suatu bilangan rasional dan koleksi semua selang terbuka merupakan basis topologi biasa pada R. Ruang topologis (X,𝜏) dikatakan separabel ( separable ) himpunan terhitung A ⊂ X sehingga A dense di dalam X . Contoh : Ruang topologis biasa R separable sebab Q, koleksi semua bilangan rasional, terhitung dan Q dense di dalam R. Teorema 3.1.9 : Setiap ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua merupakan ruang topologis separabel. Bukti : Jika (X,𝜏) ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhitungan kedua berarti 𝜏 mempunyai basis 𝛽 yang banyak anggotanya terhitung. Untuk setiap V anggota 𝛽 yang tidak kosong diambil satu anggota xv . Jika A koleksi semua xv maka A terhitung dan berdasarkan Teorema 2.8 di atas diperoleh A dense di dalam X yang berarti (X,𝜏) separable.

∎ 14

Latihan 3 : Diketahui ruang topologis (X,𝜏). 1. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa 𝜕(A ∪ B) ⊂ 𝜕(A) ∪ 𝜕(B). 2. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa a. int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B). b. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). 3. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa a.

cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ clB).

b. cl(A ∩ B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B). 4.

5.

Jika A ⊂ X buktikan bahwa a.

int(X – A) = X – cl(A).

b.

cl(X – A) = X – int(A).

Jika A dense di dalam X dan U himpunan terbuka di dalam X, buktikan bahwa U ⊂ cl(A ∩ U).

15

16

BAB 4 FUNGSI KONTINU

Berdasarkan materi-materi yang disajikan atau dibicarakan pada Bagian 2 dan Bagian 3 jelas bahwa materi-materi tersebut merupakan bentuk abstraksi materi-materi pada ruang metrik atau lebih khusus lagi merupakan bentuk abstraksi materi-materi analisis real. Memang itulah yang terjadi pada materi-materi selanjutnya.

4.1 Fungsi kontinu Definisi 4.1.1 : ( Fungsi kontinu ) Diketahui dua ruang topologis (X, 𝜏) dan (Y,𝜎). Fungsi f : X → Y dikatakan kontinu ( continuous ) di titik x 𝝐 X jika untuk setiap persekitaran N(f(x)) ada persekitaran N(x) sehingga f(N(x)) ⊂ N(f(x)). Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ X jika f kontinu di setiap titik anggota A. Karena himpunan terbuka yang tak kosong merupakan persekitaran setiap anggotanya, maka peran persekitaran di dalam definisi tersebut dapat diganti denan himpunan terbuka. Jadi, fungsi f kontinu di x jika himpunan terbuka V ⊂ Y yang memuat f(x) ada himpunan terbuka U ⊂ X yang memuat x sehingga f(U) ⊂ V . Teorema di bawah ini memperjelas arti fungsi kontinu tersebut. Teorema 4.1.2 : Diketahui dua ruang topologis (X, 𝜏) dan (Y,𝜎) serta fungsi f : X → Y . Tiga penyataan di bawah ini ekuivalen. (i)

Fungsi f kontinu pada X.

(ii)

Untuk setiap himpunan terbuka V ⊂ Y berakibat 𝑓 −1 (V) ⊂ X terbuka.

(iii)

Untuk setiap himpunan tertutup F ⊂ Y berakibat 𝑓 −1 (F) ⊂ X tertutup.

Bukti : (i) ⟹ (ii) Diambil sebarang x 𝜖 𝑓 −1 (V) ; jadi f(x) 𝜖 V. Karena V himpunan terbuka maka ada himpunan terbuka Vf,x ⊂ V yang memuat f(x). 17

Selanjutnya, karena f kontinu di x maka ada himpunan terbuka Ux yang memuat x sehingga f(Ux) ⊂ Vf,x . Jadi diperoleh 𝑓 −1 (V) = ⋃𝑥 𝑈𝑥 himpunan terbuka. (ii) ⟹ (i) Diambil sebarang x 𝜖 X. Menurut yang diketahui untuk sebarang himpunan terbuka, khususnya himpunan terbuka V yang memuat f(x), terdapat himpuanan terbuka U yang memuat x sehingga 𝑓 −1 (V) = U atau f(U) = V. Jadi terbukti f kontinu di setiap x 𝜖 X. (ii) ⟹ (iii) Diambil sebarang himpunan tertutup F ⊂ Y ; jadi Y – F himpunan terbuka. Menu- rut yang diketahui diperoleh X - 𝑓 −1 (F) = 𝑓 −1 (Y – F) himpunan terbuka yang berarti 𝑓 −1 (F) tertutup. (iii) ⟹ (ii) Diambil sebaraang himpunan terbuka V ⊂ Y ; jadi Y – V himpunan tertutup. Menurut yang diketahui diperoleh X - 𝑓 −1 (V) = 𝑓 −1(Y – V) himpunan tertutup yang berarti 𝑓 −1 (V) terbuka.

∎

Contoh 4 : 1. Fungsi f dari R ke R, sebagai ruang topologis biasa, dengan rumus : f(x) = x2 untuk seriap x 𝜖 R ; jadi f(R) = [0,∞). Mudah difahami bahwa f merupakan fungsi kontinu, sebab jika diambil V = [a,b], dengan 0 ≤ a < b, merupakan himpunan tertutup, diperoleh 𝑓 −1 (V) = [-b,-a] ∪ [a,b] merupakan himpunan tertutup. Teorema di bawah ini tak sukar dibuktikan. Teorema 4.1.3 : Jika X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis, f : X → Y dan g : Y → Z masing-masing fungsi kontinu, maka g.f : X → Z fungsi kontinu. Definisi 4.1.4 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis , maka fungsi f : X → Y disebut : (i)

fungsi terbuka jika setiap himpunan terbuka U ⊂ X berakibat f(U) ⊂ Y himpunan terbuka,

(ii)

fungsi tertutup jika setiap himpunan tertutup F ⊂ X berakibat f(F) ⊂ Y himpunan tertutup.

Teorema 4.1.5 : Diketahui X dan Y dua ruang topologis , fungsi f : X → Y bijektif dan kontinu. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen :

18

(i)

𝑓 −1 : Y → X kontinu.

(ii)

f fungsi terbuka.

(iii)

f fungsi tertutup.

Bukti : Karena f merupakan fungsi bijektif dari X ke Y maka 𝑓 −1 merupakan fungsi dai Y ke X. (i) ⟺ (ii) 𝑓 −1 : Y → X kontinu jika dan hanya jika setiap himpunan terbuka U ⊂ X berakibat (𝑓 −1 )−1 (U) = f(U) him-punan terbuka jika dan hanya jika f fungsi terbuka . (i) ⟺ (iii) 𝑓 −1 : Y → X kontinu jika dan hanya jika setiap himpunan tertutup F ⊂ X berakibat (𝑓 −1 )−1(F) = f(F) himpunan tertutup jika dan hanya jika f fungsi tertutup. Bukti selesai.

∎

Fungsi bijektif f dari ruang topologis X ke ruang topologis Y yang kontinu dan 𝑓 −1 juga kontinu disebut fungsi homeomorfisma ( homeomorphism ) dan dikatakan X homeomorfik ( homeomorphic ) dengan U. Jadi, berda-sarkan teorema terakhir di atas, jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang topologis X ke ruang topologis Y merupakan fungsi homeomorfisma jika memenuhi salah satu pernyataan di dalam teorema tersebut. Teorema 4.1.6 : Jika X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis, f : X → Y dan g : Y → Z masing-masing fungsi homeomorfisma, maka g.f : X → Z dan (𝑔. 𝑓)−1 = 𝑓 −1 . 𝑔−1 : Z → X masing-masing fungsi homeomorfisma. Bukti : Karena f dan g masing-masing fungsi homeomorfisma, yaitu f dan g masing-masing fungsi bijektif, kontinu, dan invesenya kontinu, maka g.f dan (𝑔. 𝑓)−1 juga fungsi bijektif dan kontinu ( fungsi homeomorfisma ). ∎

4.2 Topologi relatif ( Ruang-bagian ) Setelah memahami pengetian fungsi kontinu dari suatu ruang topologis ke ruang topologis yang lain, aplikasi langsung dapat untuk menyelesaikan masalah di bawah ini. Diketahui X dan Y dua himpunan yang tak kosong serta fungsi : f:X →Y.

19

a. Jika 𝜏 suatu topologi pada X , bagaimana membentuk suatu topologi pada Y. Dengan menggunakan pengertian fungsi kontinu, yaitu masalah itu terjawab adalah mengusahakan agar fungsi f tersebut kontinu. Jadi 𝜎 = { V ⊂ Y : 𝑓 −1 (V) 𝜖 𝜏 } tentu merupakan topologi pada Y dan 𝜎 disebut topologi terinduksi ( induced topology ) oleh 𝜏. b. Sebaliknya, jika 𝜋 topologi pada Y, bagaimana membentuk suatu topologi pada X. Dengan argumentasi yang sama diperoleh 𝜌 = { 𝑓 −1 (V) : V 𝜖 𝜋 } . Tentu 𝜌 merupakan topologi pada pada X yang disebut topologi terininduksi oleh 𝜋.

Latihan 4(a) 1. Diketahui X dan Y dua ruang topologis, f : X → Y, x 𝜖 X, dan 𝛽 basis local di f(x). Buktikan bahwa f kontinu di x jika dan hanya jika untuk setiap N(f(x)) 𝜖 𝛽 terdapat N(x) sehingga f(N(x)) ⊂ 𝑁(𝑓(𝑥)) . 2. X ruang topologis, E ⊂ X, dan 𝜒𝐸 : X → R fungsi karakteristik. Buktikan bahwa 𝜒𝐸 kontinu di x jika dan hanya jika x titik-batas himpunan E. 3. Buktikan bahwa setiap fungsi dari ruang topologis diskret ke sebarang ruang topologis selalu kontinu. Juga, buktikan bahwa fungsi dari sebarang ruang topologis ke ruang topologis indiskret selalu kontinu.

JIka E himpunan-bagian yang tak kosong di dalam ruang topologis X dengan topologi 𝜏, fungsi inklusi ( inclusion function ) : I : x 𝜖 E → i(x) = x 𝜖 X akan membangkitkan topologi terinduksi 𝜏𝐸 pada E : 𝝉𝑬 = = { 𝒊−𝟏 (V) : V 𝝐 𝝉 } . Topologi 𝜏𝐸 disebut topologi relatif ( relative topology ) dan ruang topologis (E, 𝜏𝐸 ) disebut ruang-bagian ( sub-space ). Karena i fungsi inklusi , fungsi 1-1 dari E ke X, diperoleh 20

𝑖 −1(V) = V ∩ 𝐸 untuk setiap V 𝜖 𝜏. Oleh karena itu diperoleh 𝝉𝑬 = = { V ∩ 𝑬 : V 𝝐 𝝉 } . Berdasarkan uraian tersebut diperoleh teorema 𝜏𝐸 ⊂ 𝜏 jika dan hanya jika E himpunan terbuka dan setiap setiap himpunan-bagian tertutup di dalam ruang-bagian (E, 𝜏𝐸 ) tertutup di dalam X jika dan hanya jika E tertutup. Oleh karena itu diperoleh teorema di bawah ini. Teorema 4.2.1 : Diketahui E himpunan-bagian tak kosong di dalam ruang topologis X dengan topologi 𝜏. Diperoleh dua pernyataan di bawah ini . (i)

Ruang-bagian (E, 𝜏𝐸 ) terbuka jika dan hanya jika E terbuka.

(ii)

Ruang-bagian (E, 𝜏𝐸 ) tertutup jika dan hanya jika E tertutup.

Latihan 4(b) .1. R ruang topologis biasa dan a, b , c 𝜖 R dan a < b. a. Jika E = (a,b] buatlah contoh himpunan terbuka dan himpunan tertutup di dalam ruang topologis bagian E. b. Jika E = [a,b) ∪ {c} buatlah contoh himpunan terbuka dan himpunan tertutup di dalam ruang topologis bagian E. 2. A, B, C masing-masing ruang bagian di dalam ruang topologis X sehingga C ⊂ A ∩ B. Buktikan bahwa C terbuka di dalam ruang-bagian A ∪ 𝐵 jika C terbuka di dalam ruang-bagian A dan di dalam ruang bagian B. Buktikan pula C tertutup di dalam ruang-bagian A ∪ 𝐵 jika C tertutup di dalam ruang-bagian A dan di dalam ruang bagian B. 3. A dan B masing-masing himpunan-bagian di dalam ruang topologis X dan B ⊂ A.. Buktikan bahwa (a) Int(B) termuat di dalam interior B relatif terhadap ruang-bagian A. (b) Cl(B} ∩ A merupakan klosur relatif terhadap ruang-bagian A.

Fungsi identifikasi Teorema 4.2.2 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi kontinu, maka dua pernyataan di bawah ini equivalen : (i)

Himpunan E ⊂ Y terbuka jika dan hanya jika 𝑓 −1 (E) ⊂ X terbuka. 21

(ii)

Himpunan E ⊂ Y tertutup jika dan hanya jika 𝑓 −1 (E) ⊂ X tertutup.

BuktI : Karena f fungsi kontinu, maka (i) ⟺ (ii) merupakan akibat dari kenyataan bahwa 𝑓 −1 (Y – E) = X - 𝑓 −1 (E).

∎

Definisi 4.9 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi surjektif dan kontinu, maka f disebut fungsi identifikasi ( identification function ) jika f memenuhi salah satu pernyataan Teorema 4.8. Teorem 4.2.3 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi surjektif, kontinu, dan terbuka atau tertutup, maka f merupakan fungsi identifikasi. Bukti : Dibuktikan hanya jika f surjektif, kontinu, dan terbuka saja karena untuk kemungkinan lain bukti sama. Karena f surjektif dan 𝑓 −1 (E) terbuka di dalam X maka f(𝑓 −1 (E)) = E himpunan terbuka, dengan kata lain pernyaan di dalamTeorema 4.8 (i) terpenuhi. Jadi terbukti bahwa f fungsi identifikasi.

∎

Teorema 4.2.4 : X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis. Jika f : X → y fungsi identifikasi dan g : Y → Z, maka syarat perlu dan cukup agar g merupakan fungsi kontinu adalah g.f juga merupakan fungsi kontinu. Bukti : Syarat perlu : Syarat perlu cukup jelas, karena komposisi dua fungsi kontinu merupakan fungsi kontinu. Syarat cukup : Jika h = g.f : X → Z fungsi kontinu, maka untuk setiap himpunan terbuka E ⊂ Z diperoleh ℎ−1 (E) = 𝑓 −1 (𝑔−1 (E)) merupakan himpunan terbuka di dalam X. Karena f fungsi identifikasi maka 𝑔−1 (E) = f(ℎ−1(E)) merupakan himpunan terbuka di dalam Y. Jadi terbukti bahwa g merupakan fungsi kontinu.

4.3

∎

Topologi jumlah dan topologi produk

Diketahui ruang topologis ( 𝑥𝛼 ,𝜏𝛼 ) untuk setiap 𝛼 𝜖 I dengan I himpunan indeks dengan anggapan para 𝑋𝛼 saling asing. Salah satu masalah yang 22

timbul adalah bagaimana membentuk topologi pada a. himpunan gabungan S = ⋃𝜶𝝐𝑰 𝑿𝜶 b. himpunan produk ( hasil ganda ) P = ∏𝜶𝝐𝑰 𝑿𝜶 Teorema 4.3.1 : Koleksi himpunan 𝝈 = { U ⊂ S : U ∩ 𝑿𝜶 𝝐 𝝉𝜶 untuk setiap 𝜶 𝝐 I } merupakan topologi pada S yang disebut topologi jumlah ( sum topology ). Jadi (S,𝜎) merupakan ruang topologis yang disebut ruang topologis jumlah ( sum topological space ). Bukti : S 𝜖 𝜎, sebab S ∩ 𝑋𝛼 = 𝑋𝛼 𝜖 𝜏𝛼 . jelas bahwa ∅ 𝜖 𝜎 . Jika U, V 𝜖 𝜏𝛼 maka U ∩ V 𝜖 𝜎, sebab U ∩ V ∩ 𝑋𝛼 = U ∩ 𝑋𝛼 ∩ V ∩ 𝑋𝛼 𝜖 𝜏𝛼 . Diambil sebarang 𝜌 ⊂ 𝜎. Diperoleh ( ⋃𝑈𝜖𝜌 𝑈 ) ∩ 𝑋𝛼 = ⋃𝑈𝜖𝜌( 𝑈 ∩ 𝑋𝛼 ) 𝜖 𝜏𝛼 . Jadi, ⋃𝑈𝜖𝜌 𝑈 𝜖 𝜎 dan bukti selesai.

∎

Untuk membicarakan topologi produk perlu pengenalan pergandaan himpuan-himpunan yang banyak faktornya hingga lebih dahulu. Jika X1 , X2 , . . . . , Xn himpunan-himpunan yang saling asing, maka S = ⋃𝑛𝑘=1 𝑋k dan P = ∏𝛼𝜖𝐼 𝑋𝛼 = ∏𝑛𝑘=1 𝑋𝑘 = { (x1 ,x2 , . . . . ,xn) : xk 𝜖 Xk }, I = { 1,2,3, . . . ,n } Jadi setiap (x1 ,x2 , . . . . ,xn) 𝝐 P dapat diidentifikasikan sebagai fungsi f : I → S dengan f(k) = xk untuk setiap k 𝝐 I. Jadi secara umum, jika I sebarang himpunan indeks, { 𝑋𝛼 : 𝛼 𝜖 I } koleksi himpunan yang saling asing untuk sebarang himpunan indeks I, dan S = ⋃𝛼𝜖𝐼 𝑋𝛼 , maka P = ∏𝜶𝝐𝑰 𝑿𝜶 = { f : I → S : f(𝜶) 𝝐 𝑿𝜶 dan 𝜶 𝝐 I } . 𝑋𝛼 disebut komponen ke-𝜶 ( 𝜶-th component ) himpunan produk P. Fungsi 𝒑𝜶 : P → 𝑿𝜶

dengan rumus

𝒑𝜶 (f) = f(𝜶) 𝝐 𝑿𝜶 untuk setiap f 𝝐 P

disebut fungsi projeksi orthogonal ke 𝑿𝜶 . 23

Definisi 4.3.2 : Jika (𝑋𝛼 ,𝜏𝛼 ) merupakan ruang topologis untuk setiap 𝛼 𝜖 I dan 𝑈𝛼 𝜖 𝜏𝛼 , himpunan-bagian di dalam P : 𝑼∗𝜶 = { f 𝝐 P : f(𝜶) 𝝐 𝑼𝜶 }. Berdasarkan definisi tersebut dan topologi tereduksi mudah difahami bahwa ∗ 𝒑−𝟏 𝜶 (𝑼𝜶 ) = 𝑼𝜶

merupakan himpunan terbuka di dalam ruang topologis (P,𝜋) yang akan dibentuk yang berarti 𝑼∗𝜶 anggota basis-bagian topologi 𝜋. Oleh karena itu 𝜸 = { ⋂𝜶𝝐𝑱 𝑼∗𝜶 ; J ⊂ I terhitung } merupakan anggota basis topologi 𝜋 pada P dan topologi 𝜋 disebut topologi produk ( product topology ) pada P dan (P,𝜋) disebut ruang topologis produk ( product topological space ). Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema ini. Teorema 4.3.3 ; Fungsi projeksi orthogonal 𝑝𝛼 : P → 𝑋𝛼 merupakan fungsi kontinu dan terbuka.

Latihan 4(c) : 1. Jika X dan Y masing-masing ruang topologis, himpunan-himunan mana yang menjadi anggota basis-bagian ruang topologis X x Y dan himpunanhimpunan mana yang menjadi anggoya basis topologi produk pada XxY. 2. Pada ruang topologis produk R2 ( bidang datar ) himpunan-himpunan mana yang menjadi anggota basis-bagian dan himpunan-himpunan mana yang menjadi anggota basis.

24

BAB 5 AKSIOMA SEPARASI DAN KEKOMPAKAN 5.1 Aksioma separasi ( Separation Axioms ) Terdapat paling sedikit 4 (empat ) jenis aksioma separasi. Definisi 5.1.1 : Ruang topologis X disebut ruang-T1 atau ruang Frechet jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y terdapat himpunan terbuka Ux yang memuat x dan tak memuat y. Teorema 5.1.2 : Ruang topologis merupakan ruang-T1 jika dan hanya jika setiap singleton merupakan himpunan tertutup. Bukti : X ruang-T1 jika dan hanya jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y terdapat himpunan terbuka Ux yang memuat x dan tak memuat y. Jadi jika diambil titik y tetap dan titik x sebarang diperoleh { y } = X - ⋃𝑥≠𝑦 𝑈𝑥 merupakan himpunan tertutup. Sebaliknya, jika diketahui { y } himpunan tertutup dipieroleh U = ⋃𝑥≠𝑦 𝑈𝑥 = X – { y } merupakan himpunan terbuka yang memuat setiap x ≠ y.

∎

Teorema 5.1.3 : Setiap ruang-bagian ruang-T1 merupakan ruang-T1 . Bukti : Diambil sebarang ruang-bagian E di dalam ruang-T1 X. Jika x, y 𝜖 E dan x ≠ 𝑦 maka x, y 𝜖 X dan oleh karena itu ada himpunan Ux yang memuat x dan tak memuat y. Hal ini berakibat Ux ∩ E terbuka di dalam ruang-bagian E dan tak memuat y.

∎

Definisi 5.1.4 : Ruang topologis X disebut ruang-T2 atau ruang Hausdorff jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y terdapat dua himpunan terbuka Ux dan Uy sehingga Ux ∩ Uy = ∅, x 𝜖 Ux , dan y 𝜖 Uy . Mudah dihahami kebenaran teorema di bawah in. 25

Teorema 5.1.5 : Setiap ruang Hausdorff merupakan ruang Frechet. Teorema 5.1.6 : Jika (𝑋𝛼 , 𝜏𝛼 ) merupakaan ruang Hausdorff untuk setiap 𝛼 𝜖 I dengan 𝑋𝛼 ∩ 𝑋𝛽 = ∅ untuk 𝛼 ≠ 𝛽, maka ruang tupologis jumlah dan ruang topologis produknya merupakan ruang Hausdorff. Bukti : (S,𝜎) ruang topologis jumlah. Menurut Teorema 4.12, U ⊂ S anggota 𝜎 jika U ∩ 𝑋𝛼 𝜖 𝜏𝛼 . Jadi 𝑋𝛼 𝜖 𝜎 dan setiap anggota 𝜏𝛼 anggota 𝜎. Sekarang diambil sebarang x, y 𝜖 S dan x ≠y. Jika x 𝜖 𝑋𝛼 dan 𝜖 𝑋𝛽 dan 𝛼 ≠ 𝛽 diperoleh 𝑋𝛼 ∩ 𝑋𝛽 = ∅ dan jka x, y 𝜖 𝑋𝛼 untuk suatu 𝛼 dan karena (𝑋𝛼 , 𝜏𝛼 ) merupakaan ruang Hausdorff maka ada dua himpunan terbuka Ux dan Uy sehingga Ux ∩ Uy = ∅, x 𝜖 Ux dan y 𝜖 Uy . Jadi terbukti bahwa (S,𝜎) ruang Hausdorff dan tinggal membuktikan bahwa ruang topologis produk (P,𝜋) merupakan ruang Haudorff. Diambil sebrang f, g 𝜖 P dengan f ≠g. Jadi ada 𝛼 𝜖 I sehingga f(𝛼) ≠ g(𝛼), tetapi telah diketahui bahwa f(𝛼), g(𝛼) 𝜖 𝑋𝛼 dan 𝑋𝛼 ruang Hausdorff. Jadi ada 𝑈𝛼 , 𝑉𝛼 𝜖 𝜏𝛼 sehingga 𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛼 = ∅, f(𝛼) 𝜖 𝑈𝛼 , dan g(𝛼) 𝜖 𝑉𝛼 yang berakibat 𝑈𝛼∗ , 𝑉𝛼∗ 𝜖 𝜋 sehingga 𝑈𝛼∗ ∩ 𝑉𝛼∗ = ∅, f 𝜖 𝑈𝛼∗ dan g 𝜖 𝑉𝛼∗ . Bukti selesai.

∎

Definisi 5.1.7 : Ruang topologis (X , 𝜏) disebut : (i)

ruang-T3 jika untuk setiap x 𝜖 X dan himpunan tertutup F ⊂ X dengan x ∉ F terdapat dua himpunan terbuka Ux dan UF sehingga Ux ∩ UF = ∅, x 𝜖 Ux , dan F ⊂ UF .

(ii)

ruang-T4 atau ruang normal ( normal space ) jika untuk setiap dua himpunan tertutup F1 ,F2 ⊂ X dengan F1 ∩ F2 = ∅ terdapat dua himpunan terbuka U dan V sehingga U ∩ V = ∅, F1 ⊂ U , dan F2 ⊂ V.

Teorema 5.1.8 : Diketahui (X , 𝜏) ruang Frechet. Jika (X , 𝜏) ruang normal maka (X , 𝜏) merupakan ruang-T3 dan jika (X , 𝜏) ruang-T3 maka (X , 𝜏) merupakan ruang Hausdorff. Bukti : Karena (X , 𝜏) merupakan ruang Frechet, maka setiap singleton merupakan himpunan tertutup dan oleh karena itu jelas bahwa jika (X , 𝜏) ruang normal maka (X , 𝜏) merupakan (X , 𝜏) ruang-T3 dan jika (X , 𝜏) 26

ruang-T3 maka (X , 𝜏) merupakan ruang Hausdorff.

∎

Latihan 5(a) 1. Jika X ruang Hausdorff dan x1 ,.x2 , . . . . , xn titik-titik yang berlainan di dalam X, buktikan bahwa ada himpunan-himpunan terbuka yang saling asing U1 ,U2 , . . . . ,Un di dalam X sehingga xk 𝜖 Uk untuk setiap k. 2. E himpunan-bagian di dalam ruang-T1. Buktikan bahwa setiap persekitaran titik-limit himpunan E memuat tak hingga banyak anggota E. 3. X ruang normal. Buktikan bahwa setiap himpunan-bagian F di dalam X yang tertutup merupakan ruang-bagian yang normal pula.

5.2 Kekompakan ( Compactness ) Diketahui himpunan X tak kosong. 𝜅 ⊂ 2X disebut liput ( cover ) himpunan K ⊂ X jika K ⊂ ⋃𝑈𝜖𝜅 𝑈 dan 𝜎 ⊂ 𝜅 disebut liput-bagian ( sub-cover ) jika K ⊂ ⋃𝑈𝜖𝜎 𝑈. Jika X ruang topologis, 𝜅 ⊂ 2X disebut liput terbuka ( open cover ) himpunan K ⊂ X jika setiap anggota 𝜅 merupakan himpunan terbuka Definisi 5.2.1 : K himpunan bagian ruang topologis X dengan topologi 𝜏 dikatakan kompak ( compact ) jika setiap liput terbukanya memuat liput bagian yang banyak anggotanya hingga. Teorema 5.2.2 : Jika K himpunan yang tertutup di dalam ruang topologis X yang kompak maka K kompak. Bukti : Diambil 𝜅 sebarang liput terbuka himpunan tertutup K. Mudah difahami bahwa 𝜅 ∪ { Kc } merupakan liput terbuka himpunan X yang kompak. Oleh karena itu ada U1 ,U2 , . . . ,Un, Kc 𝜖 ∪ { Kc } sehingga X ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑈n ∪ Kc yang berakibat

K = X - Kc ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑈n

yang berarti terbukti bahwa K himpunan kompak.

∎ 27

Teorema 5.2.3 : Jika K himpunan kompak di dalam ruang Hausdoff X, maka K himpunan tertutup. Bukti : Membuktikan bahwa K tertutup ekuivalen dengan membuktikan bahwa Kc himpunan terbuka. Diambil titik tetap x 𝜖 Kc. Karena X ruang Hausdorff, maka untuk sebarang y 𝜖 K terdapat dua himpunan terbuka 𝑈𝑦𝑥 dan Vy sehingga 𝑈𝑦𝑥 ∩ Vy = ∅, x 𝜖 𝑈𝑦𝑥 dan y 𝜖 Vy . Diperoleh koleksi { Vy : y 𝜖 K } merupakan liput terbuka himpunan K dan karena K himpunan kompak maka ada liput bagiannya { V1 ,V2 , . . . ,Vn } ⊂ { Vy : y 𝜖 K } sehingga K ⊂ ⋃𝑛𝑘−1 𝑉 k = V . Karena setiap Vk mempunai pasangan himpunan terbuka 𝑈𝑘𝑥 maka diperoleh V ∩ Ux = ⋂𝑛𝑘=1 𝑈𝑘𝑥 = ∅ dan Ux ⊂ Kc yang berarti x titik-dalam himpunan Kc dan karena x 𝜖 Kc sebarang maka dapat dismpulkan Kc himpunan terbuka dan bukti selesai.

∎

Suatu koleksi himpunan tertutup Γ di dalam suatu ruang topologis X dikatakan mempunyai sifat irisan hingga ( finite intersection property ) jika setiap irisan hingga aggota-anggotanya tak kosong. Teorema 5.2.4 : Ruang topologis X kompak jika dan hanya jika setiap koleksi himpunan tertutup di dalamnya yang mempunyai sifat irisan hingga irisannya sendiri tak kosong. Bukti : X ruang topologis kompak ⟺ {setiap 𝜅 liput terbuka himpunan X ( X = ⋃𝑈𝜖𝜅 𝑈 ) ⟹ ada U1 ,U2 , . . ,Un 𝜖 𝜅 dan X ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝑘 } ⟺ { setiap 𝑛 𝐹𝑘 ≠ ∅ untuk sebarang himpunan tertutup F1 ,F2 , . . . , Fn 𝜖 Γ = { F : Fc ⋂𝑘=1

𝜖 𝜅 } ⟹ ⋂𝐹𝜖Γ 𝐹 ≠ ∅ .

∎

Teorema 5.2.5 : ( Teorema Bolzano-Weierstrass ) Setiap himpunan takhingga di dalam ruang topologis yang kompak paling sedikit mempunyai satu titik-limit. Bukti : Diambil sebarang himpuanan takhingga B di dalam ruang topologis X yang kompak dan dibentuk himpunan-himpunan-bagian di dalam B : B1 = { x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , . . . . . } B2 = { x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 , . . . . . } 28

B3 = { x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 , . . . . . } ......... Bn = { xn ,xn+1 ,xn+2 , . . . . . . . } . ........ Diperoleh koleksi himpunan tertutup { 𝐵𝑘 : k = 1,2,3, . . . . . } di dalam B yang mempunyai sifat irisan hingga. Karena koleksi himpunan tertutup itu di dalam ruang topologis X yang kompak, menurut Teorema 5.12, ⋂∞ 𝑘=1 𝐵𝑘 ≠ ∅ . Jadi ada x 𝜖 ⋂∞ 𝑘=1 𝐵𝑘 yang berakibat x 𝜖 𝐵1 ⊂ B atau x titik-limit him∎

punan B.

Teorema 5.2.6 : Diketahui dua ruang topologis X dan Y. Jika X kompak dan fungsi f : X → Y kontinu, maka f(X) kompak. Bukti : Diambil 𝜅 sebarang liput terbuka himpunan f(X). Jadi { 𝑓 −1 (V) : V 𝜖 𝜅} merupakan liput terbuka himpunan X. Karena X kompak maka ada liputbagian { 𝑓 −1 (V1), 𝑓 −1 (v2}, . . . . , 𝑓 −1 (Vn) } sehingga X ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑓 −1 (Vk) dengan V1 , V2 , . . . , Vn 𝜖 𝜅. Oleh karena itu diperoleh f(X) ⊂ f(⋃𝑛𝑘=1 𝑓 −1(Vk)) = ⋃𝑛𝑘=1 𝑉𝑘 yang berarti terbukti bahwa f(X) kompak.

∎

Akibat 5.2.7 : Jika X ruang topologis kompak dan f : X → R kontinu, maka (i)

f(X) tertutup dan terbatas,

(ii)

ada x’ dan x” di dalam X sehingga f(x’) = sup{ f(x) : x 𝜖 X } dan

f(x”) = inf{ f(x) : x 𝜖 X } .

Bukti : Menurut Teorema 5.2.6 diperoleh f(X) himpunan kompak di dalam sistem bilangan real R ; jadi f(X) tertutup dan terbatas. Karena f(X) tertutup dan terbatas di dalam R maka f(X) mrmpunyai dan memuat supremum dan infimumnya; katakan M = supf(X) = sup{ f(x) : x 𝜖 X } 𝜖 f(X) dan m = inff(X) = inf{ f(x) : x 𝜖 X } 𝜖 f(X). Jadi ada x’ dan x” di dalam X sehingga f(x’) = M = sup{ f(x) : x 𝜖 X } dan Bukti selesai.

f(x”) = m = inf{ f(x) : x 𝜖 X } .

∎

29

Teorema 5.2.8 : Jika (S,𝜎) dan (P,𝜋) berturut-turut merupakan ruang topologis jumlah dan ruang topologis produk koleksi ruang topologis (𝑋𝛼 ,𝜏𝛼 ) untuk setiap 𝛼 𝜖 I, I himpunan indeks, maka (S,𝜎) dan (P,𝜋) masing-masing merupakan ruang yang kompak asalkan 𝑋𝛼 ,𝜏𝛼 ) ruang yang kompak untuk setiap 𝛼 𝜖 I. Bukti : Dibuktikan lebih dahulu bahwa (S,𝜎) merupakan ruang topologis yang kompak. Diambil ∆ sebarang liput terbuka himpunan S. Oleh Karena itu S ⊂ ⋃𝑈𝜖∆ 𝑈 yang berakibat 𝑋𝛼 ⊂ S ∩ 𝑋𝛼 = 𝑋𝛼 ∩ ⋃𝑈𝜖∆ 𝑈 = ⋃𝑈𝜖∆(𝑈 ∩ 𝑋𝛼 ) yang berarti ∆ ∩ 𝑋𝛼 merupakan liput terbuka 𝑋𝛼 untuk setiap 𝛼 𝜖 I. Karena 𝑋𝛼 kompak maka ada U1 ,U2 , . . . . ,Un 𝜖 ∆ (U1∩ 𝑋𝛼 ,U2 ∩ 𝑋𝛼 , . . . . ,Un∩ 𝑋𝛼 𝜖 ∆ ∩ 𝑋𝛼 ) sehingga 𝑋𝛼 ⊂ ⋃𝑛𝑘=1(𝑈𝑘 ∩ 𝑋𝛼 ) yang berakibat S = ⋃𝛼𝜖𝐼 𝑋𝛼 ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝑘 yang berarti terbukti bahwa S kompak. Diambil ∇ sebarang liput terbuka P ; jadi P = ⋃𝑈 ∗𝜖∇ 𝑈 ∗ . Khususnya jika U* 𝜖 ∇ anggota basis. Oleh karena itu jika 𝑝𝛼 projeksi orthogonal pada 𝑋𝛼 diperoleh 𝑋𝛼 = 𝑝𝛼 (P) = 𝑝𝛼 (⋃𝑈 ∗𝜖∇ 𝑈 ∗ ) = ⋃𝛼𝜖𝐼 𝑈𝛼 ( { 𝑈𝛼 } liput terbuka 𝑋𝛼 ) karena 𝑝𝛼 (U*) = 𝑈𝛼 untuk suatu 𝑈𝛼 𝜖 𝜏𝛼 . Lebih lanjut, karena 𝑋𝛼 kompak maka ada 𝑈𝛼,1 ,𝑈𝛼,2 , . . . ,𝑈𝛼,𝑛 𝜖 { 𝑈𝛼 } sehingga 𝑋𝛼 ⊂ ⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝛼,𝑘 untuk setiap 𝛼 𝜖 I yang berakibat P = 𝑝𝛼−1 (𝑋𝛼 ) ⊂ 𝑝𝛼−1 (⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝛼,𝑘 ) = ⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝛼∗ dengan 𝑈𝛼∗ = 𝑝𝛼−1 (𝑈𝛼,𝑘 ) anggota basis-bagian ( k=1,2, . . . ,n ; n tergantung pada 𝛼) . Jadi diperoleh P = ⋂𝛼𝜖𝐼 ⋃𝑛𝑘=1 𝑈𝛼∗ yang berarti P kompak dan bukti selesai.

∎

30

Contoh 5 : 1. I = [0,1] merupakan ruang-bagian yang kompak di dalam ruang topologis biasa R. Jadi, menurut Teorema 5.2.8, In merupakan ruang-bagian yang kompak di dalam Rn. Lebih umum, jika K = [a,b] maka Kn merupakan ruangbagian yang kompak di dalam Rn . Teorema 5.2.9 : Jika K himpunan-bagian kompak di dalam ruang Hausdorff X dan x 𝜖 X – K maka ada dua himpunan terbuka Ux dad VK sehingga Ux ∩ VK = ∅, x 𝜖 Ux, , dan K ⊂ VK yang berarti X ruang-T3. Bukti : Karena X ruang Hausdorff maka untuk setiap y 𝜖 K ada dua himpunan terbuka Ux dan Vy sehingga Ux ∩ Vy = ∅, 𝑥 𝜖 Ux , dan y 𝜖 Vy . Jika ∆ koleksi semua Vy dengan y 𝜖 K maka ∆ merupakan liput terbuka himpunan kompak K. Oleh karena itu terdapat V1 , V2 , . . . . , Vn 𝜖 ∆ sehingga K ⊂ VK = ⋃𝑛𝑖=1 𝑉𝑖 . Jika himpunan terbuka 𝑈𝑖𝑥 pasangan himpunan terbuka Vi diperoleh himpunan terbuka Ux = ⋂𝑛𝑖=1 𝑈𝑖𝑥 dengan sifat Ux ∩ VK = ∅, x 𝜖 Ux , dan K ⊂ VK . Bukti selesai.

∎

Teorema 5.1.5 dan Teorema 5.1.8 telah memperlihatkan bahwa : -

jika X ruang-T4 merupakan ruang Frechet, maka X ruang-T3 ,

-

jjika

-

Jika X ruang-T2 , maka X ruang Frechet ( ruang-T1 ).

X ruang-T3 merupakan ruang Frechet, maka X ruang-T2 ,

Untuk sebaliknya tertuang ke dalam teorema di bawah ini. Teorema 5.2.10 : Diketahui X ruang Hausdorff dan kompak. Diperoleh : (i)

X ruang-T3.

(ii)

X ruang normal

Bukti : (i) : Diambil sebarang himpunan tertutup F di dalam X dan x 𝜖 X - F Karena F himpunan tertutup di dalam ruang topologis X yang kompak maka F kompak. Menurut Teorema 5.2.9, X ruang-T3. (ii) : Diambil sebarang dua himpunan tertutup F1 dan F2 di dalam X yang saling asing. Karena X ruang 31

topologis yang kompak maka F1 dan F2 merupakan himpunan yang kompak pula. Berdasarkan Teorema 5.2.9, untuk setiap x 𝜖 F1 terdapat himpunan terbuka Ux dan V2 yang saling asing sehingga x 𝜖 Ux dan F2⊂ V2. Jika ∆ = { Ux : x 𝜖 F1 } maka ∆ merupakan liput terbuka himpunan kompak F1 . Oleh karena itu ada U1 ,U2 ,U3 , . . . ,Um 𝜖 ∆ sehingga F1 ⊂ U = ⋃𝑚 𝑘=1 𝑈𝑘 . Pasangan himpunan terbuka Uk adalah himpunan terbuka 𝑉𝑘2 ; jadi F2 ⊂ 𝑉𝑘2 dan Uk ∩ 𝑉𝑘2 = ∅ . Oleh karena itu diperoleh 2 F2 ⊂ V = ⋂𝑚 𝑘=1 𝑉𝑘

dengan sifat U ∩ V = ∅. Jadi terbukti X ruang normal. Bukti selesai.

∎

Ruang topologis X dikatakan kompak lokal ( locally compact ) di titik x 𝜖 X jika x mempunyai persekitaran yang kompak. Ruang topologis X dikatakan kompak lokal ( locally ) jika X kompak lokal di setiap titiknya.

Mudah

dibuktikan teorema di bawah ini. Teorema 5.2.11 : Jika F himpunan tertutup di dalam ruang topologis yang kompak lokal, maka F kompak lokal.

5.3 Kompakifikasi ( Compactification ) Diketahui ruang topologis X yang tak kompak. Ruang topologis Y disebut ruang ruang kompaktifikasi ( compactification ) ruang topologis X jika Y kompak dan X tersisip ( imbedded ) dan dense di dalam Y . Salah satu cara pembentukan ruang topologi Y yang dimaksud adalah cara satu titik kompaktifikasi ( one point compactification ) sebagai berikut : Jika (X,𝜏) yang tak kompak, diambil sebarang unsur ∞ yang tak menjadi anggota X dan dibentuk himpunan X* = X ∪ { ∞ ). Topolologi pada X* dibentuk sebagai berikut : 𝜏 ∗ = 𝜏 ∪ 𝜎 dengan 𝜎 merupakan koleksi semua U ⊂ X* sehingga X* - U merupakan himpunan tertutup dan kompak di dalam X. Diperoleh Teorema 5.3.1 : (X*,𝜏 ∗ ) ruang topologis yang kompak dan X tersisip dan dense di dalam X*.

32

Bukti : Mudah difahami bahwa 𝜏* merupakan topologi pada X*. Dibuktikan lebih dahulu bahwa (X*,𝜏 ∗ ) kompak. Diambil sebarang ∆ liput terbuka himpunan X*. Jadi ada Uo 𝜖 ∆ yang memuat elemen ∞. Hal ini berarti X* - Uo merupakan himpunan kompak di dalam X. Jadi ada U1 ,U2 , . . . . ,Um 𝜖 ∆ sehingga 𝑚 X* - Uo ⊂ ⋃𝑚 𝑘=1 𝑈𝑘 yang berakibat X* ⊂ ⋃𝑘=0 𝑈𝑘

atau terbukti X* himpunan kompak. Fungsi f : X → X* dengan rumus f(x) = x untuk setiap x 𝜖 X merupakaan fungsi inklusi dan f kontinu sebab 𝑓 −1 (V) = V jika V 𝜖 𝜏 dan 𝑓 −1 (X* - U) = X – U jika U 𝜖 𝜎 yang berarti f fungsi kontinu . Karena f fungsi inklusi dan kontinu berarti X tersisip ke dalam X*. Lebih lanjut, untuk setiap x* 𝜖 X* diperoleh f(X) ∩ N(x*) – { x* } ≠ ∅ yang berarti X dense di dalam X* atau cl(X) = X*. Jadi dapat disimpulkan bahwa X* merupakan ruang topologis kompaktifikasi ruang topologis X.

∎

Teorema di bawah in mudah dibuktikan. Teorma 5.3.2 : Jika X ruang Hausdorff maka X*, ruang kompaktifikasinya, merupakan ruang Hausdorff.

5.4 Ruang terhubung dan tak terhubung. Jika X ruang topologis, dengan separasi ( separation ) yang di maksud adalah pasangan dua himpunan terbuka U dan V di dalamnya, ditulis singkat dengan U/V, sehingga U ∪ V = X dan U ∩ 𝑽 = ∅ . Separasi U/V dikatakan trivial jika U = ∅ atau V = ∅, sebaliknya separasi dikatakan nontrivial. Jadi jka U/V separasi ruang topologis X, maka U dan V keduanya himpunan terbuka. Ruang topologis X dikatakan terhubung ( connected ) jika X tak mempunyai separasi nontrivial dan jika tak demikian X dikatakan tak-terhubung ( disconnected ). Dengan kata lain, ruang topologis X terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua himpunan terbuka U ≠ ∅ dan V ≠ X sehingga 33

U ∪ V = X ⟹ U ∩ 𝑽 ≠ ∅. Sebagai contoh, ruang indiskret terhubung dan ruang diskret tak terhubung. Jika E himpunan-bagian di dalam ruang topologis X dikatakan terhubung jika E sebagai ruang-bagian terhubung. Mudah difahami bahwa U/V separasi ruangbagian E merupakan pasangan dua himpunan U dan V di dalam X sehingga U ∪ V = E dan cl(U) ∩ V = U ∩ cl(V) = ∅. Teorema 5.4.1 : Ruang topologis biasa R terhubung. Bukti : Andaikan R tak terhubung. Jadi ada dua himpunan terbuka yang tak kosong U dan V sehingga U ∪ 𝑉 = R dan U ∩ V = ∅. U dan V dapat dinyatakan sebagai gabungan selang-selang terbuka yang saling asing, katakan U = ⋃𝑖 (ai ,bi) dan V = ⋃𝑗(cj ,dj) . Karena U ∩ V = ∅ maka (ai ,bi) ∩ (cj ,dj) = ∅ untuk setiap i dan j. Tentu ada yang saling berdekatan ; jadi ada i dan j sehingga bi = cj atau dj = ai. Kenyataan ini berakibat bi atau dj bukan anggota R ; suatu kontradiksi. Jadi benar bahwa R terhubung.

∎

Akibat 5.4.2 : Setiap selang terbuka di dalam R terhubung. Teorema 5.4.3 : X dan Y dua ruang topologis. Jika X terhubung dan fungsi f : X → Y kontinu, maka f(X) terhubung. Bukti : Diambil sebarang dua himpunan terbuka U dan V di dalam Y sehingga U ∩ f(X) dan V ∩ f(X) yang tidak sama dengan kosong dan tidak sama dengan f(X) dan ( U ∩ f(X)) ∪ (V ∩ f(X) ) = f(X) Karena f kontinu maka 𝑓 −1 (U) dan 𝑓 −1 (V ) terbuka. Oleh karena itu X = 𝑓 −1(f(X)) = 𝑓 −1 (U) ∪ 𝑓 −1 (V ) dan karena X tehubung maka 𝑓 −1 (U) ∩ 𝑓 −1(V ) ≠ ∅ 34

yang berkibat ( U ∩ f(X)) ∩ (V ∩ f(X) ) ≠ ∅ ∎

yang berarti terbukti f(X) terhubung.

Teorema 5.4.4 : Jika A dan B dua himpunan di dalam ruang topologis X masing-masing terhubung dan A ∩ B ≠ ∅, maka A ∪ 𝐵 terhubung. Bukti : Andaikan A ∪ 𝐵 tak terhubung. Jadi ada dua himpunan terbuka U dan V yang berturut turut tidak sama dengan kosong dan tidak sama dengan X sehingga (U ∪ V ) ∩ (A ∪ 𝐵) = A ∪ 𝐵 dan (U ∩ V ) ∩ (A ∪ 𝐵) = ∅. Kenyataan ini berakibat ( U ∩ V ) ∩ A = ∅ dan (U ∩ V ) ∩ 𝐵 = ∅ ; suatu kontradiksi sebab A ∩ B ≠ ∅ . serta A dan B terhubung.

∎

Teorem di bawah ini tak sukar membuktikannya Teorema 5.4.5 : Jika setiap dua titik yang tak sama di dalam suatu ruang topologis X terhubung, maka X terhubung. Bukkti : Diambil sebarang dua titik x dan y yang berlainan di dalam ruang topologis X. Karena himpunan { x,y } terhubung maka setiap dua himpunan U ≠ ∅ dan V ≠ X sehingga (U ∩ { x,y }) ∪ (V ∩ { x,y }) = { x,y } berakibat

(U ∩ { x,y }) ∩ (V ∩ { x,y }) ≠ ∅. Kenyataan ini berakibat U ∪V =X yang berarti X terhubung.

⟹

U ∩V ≠∅

∎

Akibat 5.4.6 : Jika setiap himpunan-bagian hingga A di dalam ruang topologis X terhubung, maka X terhubung. Teorema 5.4.7 : Jika I himpunan indeks dan (𝑋𝛼 ,𝜏𝛼 ) ruang topologis terhubung untuk setiap 𝛼 𝜖 I, maka ruang topologi jumlah (S,𝜎) dan ruang topologis produk (P,𝜋) terhubung. Bukti : Diambil sebarang dua himpunan terbuka U ≠ ∅ dan V ≠ S di dalam S sehingga U ∪ V = S. Untuk sebarang 𝛼 𝜖 I diperoleh (U ∪ V) ∩ 𝑋𝛼 = S ∩ 35

𝑋𝛼 = 𝑋𝛼 . Karena 𝑋𝛼 terhubung maka (U ∩ V) ∩ 𝑋𝛼 ≠ ∅ yang berakibat U ∩ V ≠ ∅ yang berarti ruang topologis jumlah (S,𝜎) terhubung. Sekarang diambil sebarang dua himpunan terbuka U* ≠ ∅ dan V* ≠ P di dalam P sehingga U* ∪ V* = P. Untuk sebarang 𝛼 𝜖 I diperoleh 𝑈𝛼 ∪ 𝑉𝛼 = 𝑝𝛼 (U* ∪ V*) = 𝑝𝛼 (P) = 𝑋𝛼 . Karena 𝑋𝛼 terhubung maka 𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛼 ≠ ∅ yang berakibat U* ∩ V*= 𝑝𝛼−1 (𝑈𝛼 ∩ 𝑉𝛼 ) ≠ ∅ yang berarti ruang topologis produk (P,𝜋) terhubung.

∎

Latihan 5(b) 1. Jika X ruang topologis dan F himpunan-bagian hingga di dalam X , buktikan bahwa F kompak. 2. X ruang diskret. Buktikan bahwa F ⊂ X kompak jika dan hanya jika F himpunan hingga. 3. Buktikan bahwa setiap ruang indiskret merupakan ruang normal yang kompak. 4. Buktikan bahwa klosur himpunan yang kompak di dalam ruang-T2 merupakan himpunan kompak pula. 5. Buktikan Teorema 5.2.11. 6. Diketahui X dan Y dua ruang topologis. Jika fungsi f : X → Y kontinu dan X kompak lokal maka f(X) kompak lokal. Buktikan.

36

BAB 6 GRUP TOPOLOGIS DAN RUANG LINEAR TOPOLOGIS

Grup topologis ( topological group ) dapat dipandang sebagai hasil perkawinan silang antara grup aljabar dengan ruang topologis. Untuk membangun pengertian grup topologis mengingat kembali pengerian ruang topologis produk lebih dahulu. Jika (G,𝜏) ruang topologis dan jika (GxG,𝜋) ruang topologis produknya, maka topologi 𝜋 mempunyai basis terbuka { UxV : U, V 𝜖 𝜏 }.

6.1 Grup topologis dan sifat-sifat dasar Definisi 6.1.1 : Diketahui G = (G,.) dan (G,𝜏) ruang topologis. Grup G disebut grup topologis ( topological group ) terhadap topologi 𝜋 jika fungsi f : GxG → G dengan rumus f(x,y) = x.𝑦 −1 untuk setiap x, y 𝜖 G kontinu. Perlu diperhatikan bahwa elemen netral grup topologis G tersebut dituliskan/disimbolkan dengan “e” ; jadi x.𝑥 −1 = 𝑥 −1 .x = e untuk setiap x 𝜖 G. Tetapi jika operasi biner pada G adalah “+” , jadi G = (G,+) grup, elemen netralnya dituliskan/disimbolkan dengan “0”. Teorema 6.1.2 : Diketahui G = (G,.) dan (G,𝜏) ruang topologis. Grup G grup topologis jika dan hanya jika dua fungsi g dan h : (i)

g(x,y) = x.y untuk setiap x, y 𝜖 G dan

(ii)

h(x) = 𝑥 −1 untuk setiap x 𝜖 G

kontinu. Bukti : Karena f kontinu untuk setiap pasangan x dan y diperoleh maka g dan h kontinu , sebab g(x,y) = x.y = f(x.𝑦 −1 ) dan h(x) = 𝑥 −1 = f(e..x) untuk setiap x, y 𝜖 G. Seba-

37

liknya , f kontinu sebab f(x,y) = x.𝑦 −1 = g(x.𝑦 −1 ) untuk setiap x, y 𝜖 G.

∎

Contoh : 1. Grup diskret ( discrete group ). Untuk sebarang grup G, maka G merupakan grup topologis terhdap topologi diskret. 2. Telah diketahui bahwa sistem bilangan real R merupakan grup terhadap operasi biner jumlahan “+”. Ternyata R merupakan grup topologis karena fungsi f : RxR → R dengan rumus f(x,y) = x – y untuk setiap x, y 𝜖 R kontinu. Teorema 6.1.3 : Untuk sebarang grup topologis G fungsi-fungsi di bawah ini merupakan homeomorfisma. (i)

Fungsi inversi i : G → G.

(ii)

Untuk setiap a 𝜖 G fungsi ra : ra(x) = x.a, untuk setiap x 𝜖 G.

(iii)

Untuk setiap a 𝜖 G fungsi la : la(x) = a.x, untuk setiap x 𝜖 G.

(iv)

Untuk setiap a 𝜖 G fungsi : x → x.a.𝑥 −1 , untuk setiap x 𝜖 G.

Bukti : (i) : Mudah difahami bahwa i fungsi bijektif dan berdasarkan Teorema 4.1.5(ii) i fungsi kontinu. Jadi terbukti i homeomorfisma. (ii) : 𝑟𝑎−1= 𝑟𝑎−1 merupakan fungsi inversi fungsi ra sebab 𝑟𝑎−1 ra(x) = x.a.𝑎−1 = x dan ra𝑟𝑎−1 (x) = x.𝑎 −1.a = x dna dua fungsi itu fungsi bijektif dan kontinu. Jadi ra merupakan homeomorfisma. (iii) : Bukti sejalan dengan bukti (ii). (iii) : Akibat (i) dan dan (ii).

∎

Akibat 6.1.4 : Jika G grup topologis, U ⊂ G himpunan terbuka, dan F ⊂ G himpunan tertutup, maka x.U dan U.x merupakan himpunan terbuka serta x.F dan F.x merupakan himpunan tertutup untuk setiap x 𝜖 G. Bukti : Menurut Teorema 6.1.3, rx dan lx merupakan homeomorfisma. Oleh karena itu diperoleh x.U dan U.x merupakan himpunan terbuka serta x.F dan F.x merupakan himpunan tertutup. ∎ Akibat 6.1.5 : Jika G grup topologis, U ⊂ G himpunan terbuka, dan F ⊂ G himpunan tertutup, maka :

38

(i)

A.U dan U.A merupakan himpunan terbuka untuk sebarang A ⊂ G,

(ii)

A.F dan F.A merupakan himpunan tetutup untuk setiap himpunan hingga S ⊂ G

Bukti : (i) : Berdasarkan Akibat 6.1.4, a.U dan U.a merupakan himpunan terbuka untuk setiap a 𝜖 A. Oleh karena itu diperoleh A,U = ⋃𝑎𝜖𝐴 𝑎. 𝑈

U.A = ⋃𝑎𝜖𝐴 𝑈. 𝑎

dan

merupakan himpunan terbuka. Juga, Berdasarkan Akibat 6.4, a.F dan F.a merupakan himpunan tertutup untuk setiap a 𝜖 A. Oleh karena itu dipe-roleh A,F = ⋃𝑎𝜖𝐴 𝑎. 𝐹

dan

U.F = ⋃𝑎𝜖𝐴 𝐹. 𝑎

merupakan himpunan tertutup asalkan A himpunan hingga.

∎

6.2 Persekiran Berdasarkan Akibat 6.1.4 diperoleh jika N(x) persekitaran titik x , maka a.N(x) = N(a.x) dan N(x).a = N(x.a) merupakan persekitaran titik a.x dan persekitaran titik x.a berturut-turut. Perlu diingat bahwa jika G merupakan grup topologis, sebagai grup G tidak disyaratkan bersifat komutatif. Oleh karena itu pada umumnya N(a.x) ≠ N(x.a). Jadi, agar mudah mengembangkan Sifat-sifat topologisnya pada suatu grup topologos perlu sistem persekitaran elemen netralnya. Jika {N(e)}, koleksi semua persekitarn elemen netral e, system persekitaran elemen netral e, maka {N(x)} system persekitaran titik x. {N(e)} disebut sistem persekitaran fundamental ( fundamental system of neighborhood ) titik e. Teorema 6.2.1 : Jika G grup topologis, untuk sebarang A ⊂ G dan x 𝜖 G benar bahwa 𝑥. 𝐴 =x.𝐴 dan 𝐴. 𝑥 = 𝐴.x . Bukti : x.A = { x.a : a 𝜖 A }. Jadi, s titik-limit himpunan A ⟺ sebarang N(s) benar bahwa A ∩ 𝑁(𝑠) - { s } ≠ ∅ ⟺ benar bahwa x.A ∩ 𝑁(𝑥. 𝑠) - {x. s } ≠ ∅ ⟺ x.s titik-limit himpunan x.A. Jadi x.A’ = (x.A)’ yang berakibat bahwa 𝑥. 𝐴 =x.𝐴. Bukti bahwa 𝐴. 𝑥 = 𝐴.x sejalan. ∎ Himpunan-bagian A di dalam grup topologis G dikatakan simetrik ( symme39

tric ) jika A = 𝐴−1. Jika grup topologis G beroperasi biner jumlahan A simetrik jika A = -A. Teorema 6.2.2 : Setiap grup topologis mempunyai sistem fundamental persekitaran terbuka titik e yang simetrik . Bukti : Diambil {V} sebarang sistem persekitaran terbuka fundamental titik e. Karena V persekitaran titik e tebuka, maka 𝑉 −1 juga merupakan persekitaran terbuka titik e. Oleh karena itu diperoleh U = V.∩ 𝑉 −1 persekitaran terbuka titik e yang simetrik sebab 𝑈 −1 = V.∩ 𝑉 −1. Mudah difahami bahwa U ⊂ V. Telah diketahui bahwa setiap persekitaran titik e memuat suatu V. Jadi, {U} merupakan system fundamental terbuka titik e yang simetrik. ∎ Berdasarkan Teorema 6.6 dan Teorema 6.7 diperoleh teorema di bawah ini. Teorema 6.2.3 : Diketahui {U} sistem fundamental persekitaran titik e di dalam grup topologis G. Untuk sebarang A ⊂ G benar bahwa 𝑨 = ⋂𝑼𝝐{𝑼} 𝑨. 𝑼 = ⋂𝑼𝝐{𝑼} 𝑼. 𝑨. Bukti : Untuk sebarang x 𝜖 𝐴 dan U 𝜖 {U} diperoleh x.𝑈 −1 merupakan persekitaran titik x dan oleh karena itu benar bahwa x.𝑈 −1 ∩ A ≠ ∅ yang berakibat x 𝜖 A.U . jadi, 𝐴 ⊂ ⋂𝑈𝜖{𝑈} 𝐴. 𝑈 . Sebaliknya, jika x 𝜖 ⋂𝑼𝝐{𝑼} 𝑨. 𝑼 yang berarti x 𝜖 A.U untuk setiap U 𝜖 {U}. Kenyataan ini berakibat x.𝑈 −1 ∩ A ≠ ∅ untuk setiap U 𝜖 {U} atau x 𝜖 𝐴 . Jadi terbukti bahwa 𝐴 = ⋂𝑼𝝐{𝑼} 𝑨. 𝑼. Bukti bahwa 𝐴 = ⋂𝑼𝝐{𝑼} 𝑼. 𝑨. sejalan.

∎

Akibat 6.2.4 : Untuk sebarang U persekitaran titik e di dalam suatu ruang topologis G terdapat V persekitaran titik e sehingga 𝑉 ⊂ U, dengan kata lain G ruang-T3 . Bukti : Diambil V = U ∩ 𝑈 −1. Jelas bahwa V ⊂ U dan berdasarkan Teorema 6.1.3 diperoleh 𝑉 ⊂ U. Selanjutnya diambil F ⊂ G himpunan tertutup dan sebarang x 𝜖 G – F = U ; jadi e = x.𝑥 −1 𝜖 U.𝑥 −1 dan U.𝑥 −1 persekitaran titik e. Menurut hasil terakhir, ada V persekitaran titik e sehingga 𝑉 ⊂ 𝑈. 𝑥 −1 yang

40

𝑐

berakibat x 𝜖 𝑉.x , F ⊂ 𝑉 . 𝑥 atau G ruang-T3.

∎

Teorema 6.2.5 : Setiap grup topologis G merupakan ruang Hausdorff. Bukti : Diambil sebarang a 𝜖 G dan a ≠ e. Menurut Teorema 6.2.4, untuk setiap U persekitaran titik e yang terbuka yang tak memuat a ada V persekitaran titik e yang terbuka sehingga 𝑉 ⊂ U. Jadi peroleh a 𝜖 W = G - 𝑉, W terbuka , e 𝜖 V, dan V ∩ W = ∅. Sekarang diambil sebarang x, y 𝜖 G dan x ≠ y. Jadi e = x.𝑥 −1 ≠ y.𝑥 −1= a. Berdasaarkan hasil terakhir di atas, ada dua himpuan terbuka V dan W sehingga V ∩ W = ∅, 𝑒 𝜖 𝑉, dan a 𝜖 W yang berarti V.x ∩ W.x = ∅, 𝑥 𝜖 𝑉.x, dan y 𝜖 W.x. Bukti selesai karena V.x dan W.x himpunan terbuka.

∎

Teorema 6.2.6 : Jika {U} system persekitaran fundamental terbuka titik e di dalam suatu grup topologis G, maka ⋂𝑢𝜖{𝑈} 𝑈 = {e}. Bukti : Karena e 𝜖 U untuk setiap U 𝜖 {U} maka {e} ⊂ ⋂𝑢𝜖{𝑈} 𝑈 . Andaikan ada x ≠ e sehingga x 𝜖 ⋂𝑢𝜖{𝑈} 𝑈. Menurut Teorema 6.2.5, G ruang Hausdorff. Oleh karena itu ada U 𝜖 {U} dan himpunan terbuka W sehingga U ∩ W = ∅ dan x 𝜖 W yang berarti x bukan anggota U dan bukan anggota ⋂𝑢𝜖{𝑈} 𝑈. Suatu kontradiksi dan bukti selesai.

∎

Teorema 6.2.7 : Di dalam setiap grup topologis terdapat sistem persekitaran tertutup {U} titik e sehingga (a) U simetrik. (b) Untuksetiap U terdapat persekitaran V sehingga V2 ⊂ U. (c) Untuk setiap U dan a 𝜖 U sehingga a.V 𝜖 {U} dan 𝑉 ⊂ 𝑎−1 .U.a atau a.V.𝑎−1 ⊂ U. Bukti : Dengan memanfaatkan Teorema 6.2.2 dn Akibat 6.2.5 diperoleh (a). (b) diperoleh lansung dari Definisi 6.1.1. Selanjutnya, dengan memanfaatkan Teore-ma 6.1.3 akan diperoleh (c). ∎

6.3 Aksioma separasi Teorema 6.3.1 : Jika F himpunan tertutup dan C himpunan kompak di dalam 41

suatu grup topologis G sehingga F ∩ C = ∅, maka ada persekitaran U titik e sehingga (i)

F.U ∩ C.U = ∅,

(ii)

U.F ∩ U.C = ∅.

Bukti : (i): Andaikan untuk setiap persekitaran U titik e benar bahwa F.U ∩ C.U ≠ ∅. Berdasarkan Teorema 6.2.2 dan Akibat 6.2.4 dapat dianggap setiap anggota sistem persekitaran titik e tertutup dan simetrik. Berdasarkan alasan ini dan jika sistem perskitaran yang terbentuk adalah {U}, diperoleh { F .∩ (⋂𝑈𝜖{𝑈} 𝑈)} ∩ {C .∩ (⋂𝑈𝜖{𝑈} 𝑈)} = {F.{e}}∩ {𝐶. {𝑒}} = F ∩ C ≠ ∅, suatu kontradiksi dan bukti selesai.

∎

Teorema 6.3.2 : Jika G grup topologis yang kompak, maka 4 pernyataan di bawah ini ekuivalen. (i)

G ruang-T1 .

(ii)

G ruang Hausdorff.

(iii)

G ruang-T3 .

(iv)

G ruang normal.

Bukti : Bukti terdapat di dalam Bab 5.

6

6.4 Ruang linear topologis Yang dimaksud dengan ruang linear adalah ruang vektor atas lapaangan R atau C. Anggota R atau C disebut skalar. Jadi jika X ruang linear maka (X,+) merupakan grup komutatif dengan elemen netral o sehingga untuk setiap scalar 𝛼 dan x 𝜖 X maka 𝛼x 𝜖 X sehingga untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap x, y 𝜖 X memenuhi sifat-sifat : (i)

𝛼(x + y) = 𝛼x + 𝛼y,

(ii)

(α + β)x = 𝛼x + 𝛽x,

(iii)

(𝛼𝛽)x = 𝛼(𝛽x), dan

(iv)

1x = x.

Contoh : 1. Rn merupakaan ruang linear atas lapangan R. 42

2. Cn merupakan ruang linear atas lapangan C atau R 3. C[a,b}, koleksi semua fungsi bernilai real dan kontinu pada [a,b] merupakan ruang linear atas lapanngan R Definisi 6.4.1 : Jika (X,+) ruang linear atas lapangan F ( F=R atau F=C ) dan (X,𝜏) maka X disebut ruang linear topologis ( topological linear space ) terhadap topologi 𝜏 jika fungsi (i)

f : XxX → X dengan rumus f(x,y) = x – y untuk setiap x, y 𝜖 X dan

(ii)

g : FxX → X dengan rumus g(𝛼,x) = 𝛼x untuk setiap 𝛼 𝜖 F dan x 𝜖 X

kontinu. Teorema 6.4.2 : Jika X ruang linear topologis, maka fungsi h : XxX → X, dengan rumus h(𝛼𝑥, 𝛽𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 kontinu untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 serta x, y 𝜖 X. Bukti : Jika 𝛼 = 1 dan 𝛽 = -1 diperoleh h(x,-y) = x – y = f(x,y), jadi h kontinu. Jika 𝛽 = 0 diperoleh h(𝛼𝑥, 𝑜) = 𝛼𝑥 + o = 𝛼𝑥 = g(𝛼, 𝑥), h kontinu.

∎

Berdasarkan definisi tersebut terlihat bahwa setiap ruang linear topologis merupakaan grup topologis yang komutatif. Oleh karena itu setiap sifat yang melekat pada grup topologis berlaku pula pada ruang linear topologis dengan tambahan sifat translasi : A + x = x + A untuk setiap x 𝜖 X dan A ⊂ X. Oleh karena itu jika {U} merupakan system fundamental persekitaran o ( elemen netral ( vektot nol ) ruang linear topologis X ), maka {x + U} = {U + x} merupakan sistem persekitaran titik x 𝜖 X. Dengan kata lain, sistem persekitaran ditentukan oleh sistem fundamental titik o. Jadi {U}, sistem persekitaran fundamental titik o, memegang peran sangat penting di dalam suatu ruang linear topologis Sebagai contoh, V ⊂ X himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 V ada U 𝜖 {U} sehingga x + U ⊂ V, F ⊂ X himpunan tertutup di dalam X jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 F dan setiap U 𝜖 {U} benar bahwa (x + U) ∩ F ≠ ∅. Berdasarkan pembicaraan singkat terakhir dan berdasarkan teorema-teorema yang berlaku pada grup topologis di atas, maka dua teorema di bawah 43

ini mudah , tak perlu lagi, dibuktikan. Teorema 6.4.3 : Diketahui {U} sistem persekitaran fundamental titik o pada ruang linear topologis X. Pernyataan-pernyataan di bawah ini benar. (i)

Untuk setiap U, V 𝜖 {U} terdapat W 𝜖 {U} sehingga W ⊂ U ∩ V.

(ii)

Untuk setiap U 𝜖 {U} terdapat V 𝜖 {U} sehingga V + V ⊂ U.

(iii)

Untuk setiap U 𝜖 {U} dan scalar 𝛼 drngan |𝛼| ≤ 1 terdapat V 𝜖 {U} sehingga 𝛼V ⊂ U.

(iv)

Untuk setiap U 𝜖 {U} dan x 𝜖 X terdapat scalar 𝛼 sehingga x 𝛼𝑈.

(v)

Untuk setiap U 𝜖 {U} terdapat V 𝜖 {U} dan himpunan A ⊂ 𝑋 dengan 𝛼A ⊂ A untuk |𝛼| ≤ 1 sehingga V ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑈

(vi)

⋂𝑈𝜖{𝑢} 𝑈 = {o}

Dengan memfaatkan system persekitaran fundamental titik nol mudah membuktikan teorema di bawah ini. Teorema 6.4.4 : Jika X ruang linear topologis dengan {U} system persekitaran fundamental titik o, maka pernyaaan-pernyataan di bawah ini benar (i)

Untuk setiap A ⊂ X, x 𝜖 X, dan skalar 𝛼. maka 𝑥+𝐴=x+𝐴

(ii)

𝛼𝐴 = 𝛼𝐴.

Jika A, B ⊂ X, maka 𝐴+𝐵⊂ 𝐴+𝐵

(iii)

dan

dan A + Bo ⊂ (A + B)o .

Untuk setiap A ⊂ X dan U himpunan terbuka, maka A + U himpunan terbuka .

(iv)

Untuk setiap A ⊂ X, maka 𝐴 = ⋂𝑈𝜖{𝑈}(A + U).

(v)

Jika A ⊂ X dan F ⊂ 𝑋 himpunanterutup, maka A + F himpunan tertutup.

(vi)

Jika A, B ⊂ X himpunan kompak, maka A + B himpunan kompak.

6.5 Fungsi linear Jika X dan Y dua ruang linear topologis atas lapangan yang sama, maka fungsi f : X → Y dikatakan linear jika f(𝜶x + 𝜷y) = 𝜶f(x) + 𝜷f(y) 44

untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 serta setiap x, y 𝜖 X. Teorema 6.5.1 : Jika X dan Y dua ruang linear topologis dan f : X → Y fungsi linear, maka pernyataan di bawah in ekuivalen. (i)

f fungsi kontinu.

(ii)

f fungsi kontinu di suatu x 𝜀 X.

(iii)

f fungsi kontinu di o.

Bukti : (i) ⟹ (ii) : Cukup jelas. Untuk selanjutnya, o menyimbolkan titik nol di dalam X, {U} sistem persekitaran fundamental di o, dan {V} sistem persekitaran fundamental di o . (ii) ⟹ (iii) : Karena f kontinu di x, maka untuk setiap V 𝜖 {V} ada U 𝜖 {U} sehingga f(x + U) ⊂ f(x) + V yang berarti f(x) + f(U) ⊂ f(x) + V atau f(U) ⊂ V yang berarti f kontinu di o. (iii) ⟹ (i) f kontinu di o jika dan hanya jika untuk setiap V 𝜖 {V} ada U 𝜖 {U} sehingga f(U) ⊂ V. Diambil sebarang x 𝜀 X. Diprleh f(x + U) = f(x) + f(U) ⊂ f(x) + V yang berarti f kontinu di sebarang x 𝜀 X atau f kontinu pada X. Bukti selesai.

∎

Akibat 6.5.2 : Jika X dan Y dua ruang linear topologis dan f : X → F fungsi linear, maka pernyataan di bawah in ekuivalen. (i)

f fungsi kontinu.

(ii)

f fungsi kontinu di suatu x 𝜀 X.

(iii)

f fungsi kontinu di o.

(iv)

Himpunan { |f(x)| : x anggota suatu U 𝜖 {U} sehingga 𝛼U ⊂U 7dengan |𝛼| ≤ 1} terbatas.

Teorema 6.5.3 : Jika X dan Y dua ruang linear topologis, maka ; (i)

Lc(X,Y), yaitu koleksi semua fungsi linear dan kontinu dari X ke Y, merupakan ruang linear,

(ii)

Lc(X,Y) merupakan ruang linear topologis dengan topologi 𝜋 yang dibangun oleh basis-bagian 𝛾 yang berupa koleksi semua s(A,V) = { f 𝜖 Lc(X,Y) : f(A) ⊂ V } untuk setiap A ⊂ X dan V himpunan terbuka di dalam Y.

Bukti : Cukup jelas bahwa Lc(X,Y) merupakan ruang linear. Selanjutnya 𝛾 merupakan basis-bagian, sebab jika f 𝜖 s(A,U) ∩ s(B,V) dengan s(A,U) dan s(B,V) 45

anggota 𝛾 maka diperoleh A ∩ 𝐵 ⊂ X, U ∩ 𝑉 himpunan terbuka di dalam Y, s(A ∩ 𝐵,U ∩ 𝑉) anggota 𝛾 dan f 𝜖 s(A ∩ 𝐵,U ∩ 𝑉) ⊂ s(A,U) ∩ s(B,V).

∎

46

Daftar Pustaka : Sze Tsen Hu, 1965, “Element of General Topology”, Holden-Day, Inc., San-Francisco, London, Amsterdam. Sze Tsen Hu, 1966, “Element of Real Analysis”, Holden-Day, Inc., San-Francisco Cambridge, ondon, Taqdir Husain, 1966, “Introduction to Topological Group”, W.B. Saunders Company,Phikadelphia, London.

47