Hampiran turunan menggunakan metoda numerik Kie Van Ivanky Saputra
March 31, 2009
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
1/9
Tujuan
1
mengerti apa itu dari turunan numerik,
2
mengerti fungsi dari turunan numerik,
3
mengerti bagaimana menurunkan formula untuk turunan numerik,
4
mengerti bagaimana memperkirakan eror yang terjadi untuk setiap formula turunan numerik,
5
mengerti tentang extrapolasi Richardson.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
2/9
Turunan Numerik Definisi turunan yaitu: f (x + h) − f (x) . h→0 h
(1)
f (x + h) − f (x) (x + h)2 − x 2 = lim = 2x. h→0 h→0 h h
(2)
f 0 (x) = lim Contoh, bila f (x) = x 2 , maka, f 0 (x) = lim
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
3/9
Turunan Numerik Definisi turunan yaitu: f (x + h) − f (x) . h→0 h
(1)
f (x + h) − f (x) (x + h)2 − x 2 = lim = 2x. h→0 h→0 h h
(2)
f 0 (x) = lim Contoh, bila f (x) = x 2 , maka, f 0 (x) = lim
Namun, pada kenyataannya, turunan sebuah fungsi tidaklah semudah yang kita bayangkan, contoh, f (x) = 2x ,
f (x) = arcsin x.
(3)
Untuk itu digunakanlah metoda numerik dimana turunan dihampiri dengan sebuah metoda numerik. K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
3/9
Turunan Numerik Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
4/9
Turunan Numerik Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi. Sebagai contoh, turunan numerik BUKAN untuk menjawab soal di bawah ini: Contoh Carilah turunan pertama dan kedua dari f (x) = 2x .
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
4/9
Turunan Numerik Harus diingat, turunan numerik BUKAN untuk mencari ekspresi turunan sebuah fungsi. Sebagai contoh, turunan numerik BUKAN untuk menjawab soal di bawah ini: Contoh Carilah turunan pertama dan kedua dari f (x) = 2x . Tapi, turunan numerik digunakan untuk menjawab soal seperti di bawah ini: Contoh Diberikan sebuah fungsi f (x) = 2x . Hitunglah f 0 (1) dan f 00 (1). Jadi, turunan numerik digunakan untuk mencari nilai sebuah turunan, bukan untuk mencari ekspresi dari turunan.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
4/9
Hampiran turunan pertama dengan beda maju Deret Taylor: f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
f 00 (x) 2 h + .... 2!
(4)
March 31, 2009
5/9
Hampiran turunan pertama dengan beda maju Deret Taylor: f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
f 00 (x) 2 h + .... 2!
(4)
Karena tujuan kita adalah mencari turunan dari sebuah fungsi, maka persamaan di atas menjadi: 1 f 00 (x) 2 0 f (x) = f (x + h) − f (x) − h − ... . h 2!
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
(5)
5/9
Hampiran turunan pertama dengan beda maju Deret Taylor: f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
f 00 (x) 2 h + .... 2!
(4)
Karena tujuan kita adalah mencari turunan dari sebuah fungsi, maka persamaan di atas menjadi: 1 f 00 (x) 2 0 f (x) = f (x + h) − f (x) − h − ... . h 2!
(5)
Teorema Taylor mengatakan bahwa ada konstanta c dimana x ≤ c ≤ x + h sehingga f 0 (x) =
f (x + h) − f (x) f 00 (c) − h. h 2!
(6)
Inilah yang dinamakan hampiran beda maju untuk turunan pertama (forward difference approximation) K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
5/9
Contoh Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 . Hitunglah f 0 (1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25. Jawab: Tanpa turunan numerik, f 0 (x) = 3x 2 , sehingga f 0 (1) = 3.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
6/9
Contoh Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 . Hitunglah f 0 (1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25. Jawab: Tanpa turunan numerik, f 0 (x) = 3x 2 , sehingga f 0 (1) = 3. Lalu, kita coba selesaikan dgn turunan numerik untuk kasus h = 1. Maka, f (1 + 1) − f (1) = f (2) − f (1) = 8 − 1 = 7. 1 Errornya adalah 7 − 3 = 4. f 0 (1) =
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
(7)
6/9
Contoh Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 . Hitunglah f 0 (1) dengan beda maju h = 1, 0.5 dan 0.25. Jawab: Tanpa turunan numerik, f 0 (x) = 3x 2 , sehingga f 0 (1) = 3. Lalu, kita coba selesaikan dgn turunan numerik untuk kasus h = 1. Maka, f (1 + 1) − f (1) = f (2) − f (1) = 8 − 1 = 7. 1 Errornya adalah 7 − 3 = 4. Untuk kasus h = 0.5 dan kasus h = 0.25. f 0 (1) =
f 0 (1) =
(7)
f (1 + 0.5) − f (1) f (1.5) − f (1) = = (3.375−1)/0.5 = 4.75, (8) 0.5 0.5
dan
f (1.25) − f (1) f (1 + 0.25) − f (1) = = (1.953125−1)/0.25 = 3.8125 0.25 0.5 (9) Semakin kecil h, semakin kecil errornya (orde 1).
f 0 (1) =
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
6/9
Hampiran turunan pertama dengan beda pusat f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
K V I Saputra (Analisis Numerik)
f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + .... 2! 3!
Turunan Numerik
March 31, 2009
(10)
7/9
Hampiran turunan pertama dengan beda pusat f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + .... 2! 3!
(10)
f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h − h + .... 2! 3!
(11)
Deret Taylor dari f (x − h), f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h +
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
7/9
Hampiran turunan pertama dengan beda pusat f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + .... 2! 3!
(10)
f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h − h + .... 2! 3!
(11)
Deret Taylor dari f (x − h), f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h +
Persamaan 10 dikurangkan dengan persamaan 11, f (x + h) − f (x − h) = 2f 0 (x)h + 2
f 000 (x) 3 h + ..., 3!
(12)
atau,
f (x + h) − f (x − h) f 000 (c) 2 − h . 2h 3! Kita dapatkan hampiran turunan pertama dengan beda pusat. f 0 (x) =
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
(13)
7/9
Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2 . Artinya, semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
8/9
Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2 . Artinya, semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya. Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 , carilah f 0 (1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25.
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
8/9
Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2 . Artinya, semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya. Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 , carilah f 0 (1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25. Jawab: Berturut-turut adalah f 0 (1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f 0 (1) =
f (1 + 1) − f (1 − 1) f (2) − f (0) = = (8 − 0)/2 = 4, 2(1) 2
f 0 (1) =
f (1.5) − f (0.5) f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) = = 1.625, 2(0.5) 1
f 0 (1) =
f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) f (1.25) − f (0.75) = = 3.0625, 2(0.25) 0.5
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
8/9
Contoh hampiran turunan pertama dengan beda pusat Hampiran turunan beda pusat mempunyai error yang berorde h2 . Artinya, semakin kecil h akan semakin kecil pula kesalahannya/errornya. Contoh Diberikan fungsi f (x) = x 3 , carilah f 0 (1) dengan hampiran beda pusat dengan h = 1, 0.5, 0.25. Jawab: Berturut-turut adalah f 0 (1) dengan h = 1, 0.5, 0.25. f 0 (1) =
f (1 + 1) − f (1 − 1) f (2) − f (0) = = (8 − 0)/2 = 4, 2(1) 2
f 0 (1) =
f (1.5) − f (0.5) f (1 + 0.5) − f (1 − 0.5) = = 1.625, 2(0.5) 1
f 0 (1) =
f (1 + 0.25) − f (1 − 0.25) f (1.25) − f (0.75) = = 3.0625, 2(0.25) 0.5
Nilai sebenarnya adalah f 0 (x) = 3x 2 , sehingga f 0 (1) = 3. K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
8/9
Turunan kedua Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + ..., 2! 3! f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + h − h + .... 2! 3! Bila dijumlahkan, maka diperoleh, f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
9/9
Turunan kedua Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + ..., 2! 3! f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + h − h + .... 2! 3! Bila dijumlahkan, maka diperoleh, 1 4 (4) 2 00 f (x + h) + f (x − h) = 2f (x) + h f (x) + 2 h f (x) + . . . , 4! f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
atau dapat ditulis,
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
9/9
Turunan kedua Kita tinjau ulang deret Taylor dari f (x + h) dan f (x − h), f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 h + h + ..., 2! 3! f 00 (x) 2 f 000 (x) 3 f (x − h) = f (x) − f 0 (x)h + h − h + .... 2! 3! Bila dijumlahkan, maka diperoleh, 1 4 (4) 2 00 f (x + h) + f (x − h) = 2f (x) + h f (x) + 2 h f (x) + . . . , 4! f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
atau dapat ditulis, 1 (f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)) + E , h2 dengan E adalah error yang adalah: 1 2 (4) 1 4 (6) E = −2 h f (x) + h f (x) + . . . 4! 6! f 00 (x) =
K V I Saputra (Analisis Numerik)
Turunan Numerik
March 31, 2009
9/9
